本科《复变函数》考试作业参考答案
复变函数考试试题及参考答案
复变函数考试试题及参考答案下面是十道复变函数考试试题(一)的参考试题及答案:1.计算下列复数的幂函数:$z=1+i$,$n=3$。
答案:$(1+i)^3=-2+2i$。
2.计算下列复数的幂函数:$z=-2+i$,$n=4$。
答案:$(-2+i)^4=7-24i$。
3.求解方程:$z^2+4z+5=0$。
答案:可以使用求根公式求解,$(z+2)^2+1=0$,得到两个解:$z_1=-2+i$和$z_2=-2-i$。
4. 计算下列复数的极坐标形式:$z = 3e^{i \pi/6}$。
答案:$z = 3\cos(\pi/6) + 3i\sin(\pi/6) = \frac{3}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{2}i$。
5.计算下列复数的共轭复数:$z=2-i$。
答案:$z^*=2+i$。
6. 将下列复数表示为共轭形式:$z = 4e^{i \pi/3}$。
答案:$z = 4\cos(\pi/3) + 4i\sin(\pi/3) = 4(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i) = 2 + 2\sqrt{3}i$。
7.计算下列复数的实部和虚部:$z=3+2i$。
答案:实部为3,虚部为28.计算下列复数的模长:$z=-4+3i$。
答案:$,z, = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$。
9.求复数的幂函数:$z=-1-i$,$n=2$。
答案:$(-1-i)^2=1-2i-1=-2i$。
10. 求复数的幂函数:$z = \sqrt{3} + i$, $n = 3$。
答案:$(\sqrt{3} + i)^3 = -2\sqrt{3} + 2i$。
《复变函数》试题及参考答案
《复变函数》在线作业参考资料一、单选题1、设则(C )ABCD2、当iiz −+=11时,5075100z z z ++的值等于(B ) A i B i − C 1 D 1−3、若,则双边幂级数的收敛域为(A)A B C D4、复数)2(tan πθπθ<<−=i z 的三角表示式是(D )A )]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++i B )]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i C )]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++−iD )]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++−i5、设为复数,则方程的解是(B )A B C D6、若z 为非零复数,则22z z −与z z 2的关系是(C )A z z z z 222≥−B z z z z 222=−C z z z z 222≤−D 不能比较大小 7、下列方程所表示的曲线中,不是圆周的为(B )A BC D8、设y x ,为实数,yi x z yi x z +−=++=11,1121且有1221=+z z ,则动点),(y x 的轨迹是(B )A 圆B 椭圆C 双曲线D 抛物线 9、关于圆周的对称点是(C)ABCD10、一个向量顺时针旋转3π,向右平移3个单位,再向下平移1个单位后对应的复数为i 31−,则原向量对应的复数是(A )A 2B i 31+C i −3D i +311、积分( B)A0 B C10 D12、使得22z z =成立的复数z 是(D )A 不存在的B 唯一的C 纯虚数D 实数13、设复数满足那么(A )A B C D14、在复平面上(A)A 无可导点B 有可导点,但不解析C 有可导点,且在可导点集上解析D 处处解析15、方程232=−+i z 所代表的曲线是(C )A 中心为i 32−,半径为2的圆周B 中心为i 32+−,半径为2的圆周C 中心为i 32+−,半径为2的圆周D 中心为i 32−,半径为2的圆周16、函数在点处是(B)A 解析的B 可导的C 不可导的D 既不解析也不可导17、00)Im()Im(lim0z z z z x x −−→(D )A 等于iB 等于i −C 等于0D 不存在18、函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是(C )A ),(y x u 在),(00y x 处连续B ),(y x v 在),(00y x 处连续C ),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续D ),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续19、设为解析函数的级零点,那么(A)ABCD20、设C z ∈且1=z ,则函数zz z z f 1)(2+−=的最小值为(A )A 3−B 2−C 1−D 1 21、积分(C)A0 B C D22、设为函数的级极点,那么(C)A5 B4 C3D223、设为负向,正向,则(B)AB0 CD24、幂级数在内的和函数为(A)A B C D25、设函数在以原点为中心的圆环内的洛朗展开式有个,那么(C)A1 B2 C3 D426、设在区域内解析,为内任一条正向简单闭曲线,它的内部全属于.如果在上的值为2,那么对内任一点(C)A等于0 B等于1 C等于2 D不能确定27、设函数的泰勒展开式为,那么幂级数的收敛半径(C)A B1 C D28、设是复数,则(C)A在复平面上处处解析 B的模为C一般是多值函数 D的辐角为的辐角的倍29、满足不等式的所有点构成的集合是(D)A有界区域 B无界区域 C有界闭区域D无界闭区域30、下列级数中,绝对收敛的级数为(D)A B C D31、设,则( A)A2 B C D32.、设为正向圆周,则(C)A B C0 D33、是函数的(D)A可去奇点B一级极点C一级零点 D本性奇点34、分式线性变换将区域:映射为(D)A BC D35、下列命题中,正确的是(C) A 设在区域内均为的共轭调和函数,则必有B 解析函数的实部是虚部的共轭调和函数C 若在区域内解析,则为内的调和函数D 以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数36、函数)(z f 在点z 可导是)(z f 在点z 解析的(B) A 充分不必要条件 B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既非充分条件也非必要条件 37、下列命题中,正确的是(D) A 设y x ,为实数,则1)cos(≤+iy xB 若0z 是函数)(z f 的奇点,则)(z f 在点0z 不可导C 若v u ,在区域D 内满足柯西-黎曼方程,则iv u z f +=)(在D 内解析 D 若)(z f 在区域D 内解析,则)(z if 在D 内也解析 38、下列函数中,为解析函数的是(C)A xyi y x 222−−B xyi x +2C )2()1(222x x y i y x +−+−D 33iy x + 39、若函数)(2)(2222x axy y i y xy x z f −++−+=在复平面内处处解析,那么实常数=a (C)A 0B 1C 2D 2−40、如果)(z f ′在单位圆1<z 内处处为零,且1)0(−=f ,那么在1<z 内≡)(z f (C)A 0B 1C 1−D 任意常数41、设函数)(z f 在区域D 内有定义,则下列命题中,正确的是(C)A 若)(z f 在D 内是一常数,则)(z f 在D 内是一常数B 若))(Re(z f 在D 内是一常数,则)(z f 在D 内是一常数C 若)(z f 与)(z f 在D 内解析,则)(z f 在D 内是一常数 D 若)(arg z f 在D 内是一常数,则)(z f 在D 内是一常数 42、设22)(iy x z f +=,则=+′)1(i f (A) A 2 B i 2 C i +1 D i 22+43、ii 的主值为(D)A 0B 1C 2πe D 2π−e43、ze 在复平面上(A)A 无可导点B 有可导点,但不解析C 有可导点,且在可导点集上解析D 处处解析 44、设z z f sin )(=,则下列命题中,不正确的是(C) A )(z f 在复平面上处处解析 B )(z f 以π2为周期 C 2)(iziz e e z f −−= D )(z f 是无界的45、设α为任意实数,则α1(D)A 无定义B 等于1C 是复数,其实部等于1D 是复数,其模等于1 46、下列数中,为实数的是(B)A 3)1(i − B i cos C i ln D i e23π−47、设c 为从原点沿x y =2至i +1的弧段,则=+∫cdz iy x )(2(D)A i 6561−B i 6561+−C i 6561−−D i 6561+ 48、设c 为不经过点1与1−的正向简单闭曲线,则dz z z zc∫+−2)1)(1(为(D)A 2iπ B 2i π− C 0 D(A)(B)(C)都有可能二、判断题1、如果是的可去奇点,则一定存在且等于零(错)2、若f(z)在z 0的某个邻域内可导,则函数f(z)在z 0解析(错)3、若函数是区域内的解析函数,则它在内有任意阶导数(对)4、有界整函数必在整个复平面为常数(对)5、若在区域内解析,则||也在内解析(错)6、若}{n z 收敛,则} {Re n z 与} {Im n z 都收敛(对)7、是一个有界函数(错)8、若函数在处解析,则在满足Cauchy-Riemann 条件(对)9、有界整函数必为常数(对)10、若f(z)在区域D 内解析,且0)('≡z f ,则C z f ≡)((常数)(对)11、如果函数为整函数,且存在实数,使得,则为一常数(错)12、若z 0是)(z f 的m 阶零点,则z 0是1/)(z f 的m 阶极点(对)13、若与在内解析,且在内一小弧段上相等,则(对)14、若)(lim 0z f z z →存在且有限,则z 0是函数f(z)的可去奇点(对)15、若函数在处解析,则它在该点的某个领域内可以展开为幂级数(对)16、(错)17、若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数,则f(z)在区域D 内恒等于常数(错)18、若函数是区域内的单叶函数,则(对)19、若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续,则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续(对) 20、若函数在解析,则在的某个邻域内可导(对)21、若函数f (z )在z 0解析,则f (z )在z 0连续(对)22、若,则为的n 阶零点(错)23、若在单连通区域内解析,则对内任一简单闭曲线都有(对)24、若f (z )在区域D 内解析,则|f (z )|也在D 内解析(错) 25、若在区域内解析,则对内任一简单闭曲线(错)26、存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f (错)27、若函数是非常的整函数,则必是有界函数(错)28、若函数f (z )是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数,则数f (z )在区域D 内为常数(对)29、若函数在区域内的解析,且在内某一条曲线上恒为常数,则在区域内恒为常数(对)30、若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析(错)31、设函数是有界区域内的非常数的解析函数,且在闭域上连续,则存在,使得对任意的,有(对)32、如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f (对)33、与在复平面内有界(错)34、若0z是)(z f 的可去奇点,则0)),((Res 0=z z f (对)35、若是的一级极点,则(对)36、若f (z )在z 0解析,则f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件(对) 37、当复数时,其模为零,辐角也为零(错)38、若函数f (z )在z 0可导,则f (z )在z 0解析(错)39、如果是的极点,则一定存在且等于无穷大(对)40、函数z sin 与z cos 在整个复平面内有界(错)41、若收敛,则与都收敛(对)42、设函数与在区域内解析,且在内的一小段弧上相等,则对任意的,有(对)43、一定不存在(对)44、若函数f (z )是单连通区域D 内的解析函数,则它在D 内有任意阶导数. (对) 45、若函数f (z )在区域D 内的解析,且在D 内某个圆内恒为常数,则在区域D 内恒等于常数.(对)46、若幂级数的收敛半径大于零,则其和函数必在收敛圆内解析.(对) 47、若函数f (z )在z 0可导,则它在该点解析.(错) 48、设函数)(z f 在复平面上解析,若它有界,则必)(z f 为常数.(对)49、若函数()f z 在0z 解析,则()f z 在0z 的某个领域内可导.(对) 50、如果0z 是()f z 的本性奇点,则0lim ()z z f z →一定不存在.(对)51、若函数()f z 是区域D 内解析,并且()0()f z z D ′≠∀∈,则()f z 是区域D 的单叶函数.(错)52、如果函数()f z 在1z ≤内解析,则11max{()}max{()}.z z f z f z ≤==(对)。
《复变函数》考试试题与答案各种总结.docx
---《复变函数》考试试题(一)一、判断题( 20 分):1. 若 f(z) 在 z 0 的某个邻域内可导,则函数f(z) 在 z 0 解析 .2. 有界整函数必在整个复平面为常数.3. 若{ z n }收敛,则{Re z n } 与{Im z n }都收敛 .4. 若 f(z) 在区域 D 内解析,且f '( z),则f ( z) C(常数) 5. 若函数 f(z) 在 z 0 处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数6. 若 z 0 是 f ( z)的 m 阶零点,则 z 0 是 1/f (z)的 m 阶极点 .lim f ( z)7. 若 zz 0存在且有限,则 z 0 是函数 f(z) 的可去奇点 .( ) ( ) ( ). ( ).( )()()8. 若函数 f(z) 在是区域 D 内的单叶函数,则f ' (z) 0( zD ).()9. 若 f(z)在区域 D 内解析 , 则对 D 内任一简单闭曲线Cf z dz.( )C( )10. 若函数 f(z) 在区域 D 内的某个圆内恒等于常数,则 f(z)在区域 D 内恒等于常数 . ()二. 填空题( 20 分)1、|z z 0 |dz__________. ( n 为自然数)1 ( z z )n2.sin 2zcos 2z_________.3. 函数sin z的周期为 ___________.f (z)z 2 11,则f ( z)的孤立奇点有 __________.4.设5. 幂级数nz n 的收敛半径为 __________.n 06. 若函数 f(z) 在整个平面上处处解析,则称它是__________.lim z nlimz 1z 2 ...z n7. 若 n,则 nn______________.Res(e z8.n,0)________,其中 n 为自然数 .z---9.sin z的孤立奇点为 ________ .z若z 0 是 f (z)lim f (z)___10. 的极点,则z z.三. 计算题( 40 分):f (z)11. 设(z 1)( z 2) ,求 f ( z) 在 D { z : 0 | z | 1} 内的罗朗展式 .1dz.|z| 1cos z2.3. 设f ( z)3 271d{ z :| z | 3} ,试求 f ' (1 i ).Cz,其中 Cz 1w1 的实部与虚部 .4.求复数z四 . 证明题 .(20 分 )1. 函数f (z)在区域 D 内解析 . 证明:如果 | f ( z) |在 D 内为常数,那么它在D 内为常数 .2. 试证 : f ( z) z(1 z) 在割去线段 0Re z 1 的 z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0 Re z 1上岸取正值的那支在 z 1的值 .《复变函数》考试试题(一)参考答案一. 判断题1.× 2.√ 3.√ 4.√5.√6.√ 7.×8.×9.× 10.×二.填空题2 in1 2.1 ;3. 2k , ( k z) ;4.z i ; 5.11.n;16. 整函数;7. ; 1 ; 9. 0; 10..8.(n 1)!三.计算题 .1. 解因为 0 z 1, 所以 0 z 1f ( z)1 1 1 z zn1 ( z )n.( z 1)(z 2) 1 z 2(1 )n 02 n 0 22---2.解因为z21Re s f (z)lim lim,cosz sin z1 z z z222Re s f (z)lim z2lim1 1 . cosz sin zz z z2 22所以1dz2i(Re s f (z)Re s f (z)0. z2 cosz z2z23.解令 ()3271,则它在 z 平面解析,由柯西公式有在z 3内,f (z)c ()dz2i(z) . z所以 f (1i )2i( z) z 1 i2i (136i )2(613i ) .4.解令 z a bi ,则w z 11212( a1bi )12( a1)2b2. z 1z 1222b22b( a 1) b( a 1)(a 1)z12(a1)z12bb2 .故 Re( z1)1( a1)2b2,Im(z1)(a1)2四. 证明题 .1.证明设在 D 内 f (z) C .令 f ( z) u iv ,2u2v2c2.则 f ( z)两边分别对 x, y 求偏导数,得uu x vv x0(1) uu y vv y0(2)因为函数在 D 内解析,所以 u x v y ,u y v x.代入 (2)则上述方程组变为uu x vv x0 .消去 u x得,(u2v2 )v x0 .vu x uv x01)若 u2v20 ,则 f (z)0 为常数.2)若 v x0,由方程(1) (2) 及C.R.方程有u x0,u y0 , v y0 .所以 u c1, v c2. ( c1 ,c2为常数).---所以 f ( z) c 1 ic 2 为常数 .2. 证明 f ( z)z(1 z) 的支点为 z 0,1 . 于是割去线段 0 Re z 1 的 z 平面内变点就不可能单绕 0 或 1 转一周 , 故能分出两个单值解析分支 .由于当 z 从支割线上岸一点出发 ,连续变动到 z0,1 时 , 只有 z 的幅角增加. 所以f ( z)z(1 z) 的幅角共增加. 由已知所取分支在支割线上岸取正值 , 于是可认为该分2z1的幅角为, 故 f ( 1)i2i .支在上岸之幅角为 0,因而此分支在2e22《复变函数》考试试题(二)一. 判断题 . (20 分)1. 若函数 f ( z)u( x, y) iv ( x, y) 在 D 内连续,则 u(x,y)与 v(x,y)都在 D 内连续 .( ) 2. cos z 与 sin z 在复平面内有界 .()3.若函数 f(z)在 z 解析,则 f(z)在 z 连续 .()0 04. 有界整函数必为常数 .一定不存在 .()5. 如 0是函数f(z)的本性奇点,则 lim f ( z) ()zz z 06. 若函数 f(z)在 z 0 可导,则 f(z)在 z 0 解析 .()7.若 f(z)在区域 D 内解析 , 则对 D 内任一简单闭曲线 Cf (z)dz0 .C( ) 8. 若数列 { z n } 收敛,则 {Re z n } 与 {Im z n } 都收敛 .() 9. 若 f(z)在区域 D 内解析,则 |f(z)|也在 D 内解析 .()10. 存在一个在零点解析的函数1 ) 0 1 1 1,2,... .f(z) 使 f (且 f ( ) ,nn 1 2n 2n( )二 . 填空题 . (20 分)1. 设 zi ,则 | z | __,arg z__, z __2.设 f (z) ( x 22xy) i(1 sin( x 2y 2 ), z x iy C ,则 limf ( z) ________.z 1i3.|z z 0| 1(zdz_________.z )n( n 为自然数)---4.幂级数 nz n的收敛半径为__________ .n05.若 z0是 f(z)的 m 阶零点且 m>0,则 z0是f '( z)的 _____零点 .6.函数 e z的周期为 __________.7.方程 2z5z33z 8 0 在单位圆内的零点个数为________.8.设 f ( z)1,则 f (z) 的孤立奇点有_________.21z9.函数 f ( z) | z | 的不解析点之集为________.10. Res(z41,1) ____ . z三. 计算题 . (40 分)1.求函数sin( 2z3)的幂级数展开式 .2.在复平面上取上半虚轴作割线 . 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支,并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点 z i 处的值.i3.计算积分: I| z | dz,积分路径为(1)单位圆( | z | 1)i的右半圆 .sin z dzz 2(z) 24.求2.四. 证明题 . (20 分)1. 设函数 f(z)在区域 D 内解析,试证: f(z)在 D 内为常数的充要条件是 f (z) 在D内解析 .2.试用儒歇定理证明代数基本定理 .《复变函数》考试试题(二)参考答案一.判断题 .1.√2.×3.√4.√ 5.× 6.×7.×8.√9.× 10.× .二.填空题---1.1 ,, i ;2. 3(1sin 2)i ;3.2 i n14. 1;5. m 1 . 0n;216.2k i ,( k z) .7. 0;8. i;9.R ;10. 0.三.计算题1.解 sin(2 z3 )( 1)n (2 z3 )2 n 1(1)n 22n 1 z6n3.n 0(2 n1)!n 0(2n1)!2.解令 z re i.2 ki则 f ( z)z re2,(k0,1).又因为在正实轴去正实值,所以k0 .所以 f (i)ie 4.3.单位圆的右半圆周为z e i,ide i e i 所以 zdz22i22 4.解.2 2 2i .即 u, v 满足 C.R.,且u x , v y , u y ,v x连续 , 故f ( z)在D内解析 .( 充分性 ) 令f ( z)u iv, 则 f ( z)u iv ,因为 f ( z) 与 f ( z) 在D内解析,所以u x v y , u y v x,且 u x ( v) y v y , u y( v x )v x.比较等式两边得u x v y u y v x0 .从而在 D 内 u, v 均为常数,故f ( z)在 D 内为常数.2. 即要证“任一n次方程a0 z n a1z n1a n 1z a n0(a00) 有且只有n 个根”.证明令 f (z)a0 z n a1z n 1a n1za n0 ,取 R max a1a n,1 ,当 za0在 C : z R 上时,有(z)a1 R n 1an 1R a n( a1a n )R n 1a0R n.f ( z) .由儒歇定理知在圆z R 内,方程 a0 z n a1z n 1a n 1z a n0与 a0 z n0有相---同个数的根 . 而 a 0 z n 0 在 z R 内有一个 n 重根 z 0 . 因此 n 次方程在 z R 内有 n 个根 .《复变函数》考试试题(三)一 . 判断题 . (20 分).1. cos z 与 sin z 的周期均为 2k .( )2. 若 f ( z) 在 z 0 处满足柯西 - 黎曼条件 , 则 f ( z) 在 z 0 解析 . ( )3. 若函数 f ( z) 在 z 0 处解析,则 f ( z) 在 z 0 连续 . ( )4. 若数列 { z n } 收敛,则 {Re z n } 与 {Im z n } 都收敛 .( )5.若函数 f ( z) 是区域 D 内解析且在 D 内的某个圆内恒为常数,则数 f ( z) 在区域 D 内为常数 . ( )6. 若函数 f ( z) 在 z 0 解析,则 f ( z) 在 z 0 的某个邻域内可导 . ()7.如果函数 f ( z) 在 D{ z :| z | 1} 上解析 , 且 | f (z) | 1(| z | 1) , 则| f ( z) | 1(| z | 1) .( )8.若函数 f ( z) 在 z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.( ) 9. 若 z 0 是 f ( z) 的 m 阶零点 , 则 z 0 是 1/ f ( z) 的 m 阶极点 . ( )10.若z 0 是 f (z)的可去奇点,则 Res( f ( z), z 0 ) 0. ( )二 . 填空题 . (20 分)1. 设 f ( z)1 ,则 f ( z) 的定义域为 ___________.2 z 12. 函数 e z 的周期为 _________.3. 若 z nn 2 i (1 1) n ,则 lim z n__________.1 nnn4. sin 2 z cos 2 z___________.dz5.|z z 0 | 1(z z )n( n 为自然数)_________.6. 幂级数nx n 的收敛半径为 __________.n设 f (z) 1f z 的孤立奇点有z 2 1,则7.( ) __________.ez---9.若 z 是 f (z)的极点,则 lim f (z) ___ .z z 0z10.Res(en ,0) ____ .z三 . 计算题 . (40 分)11. 将函数 f ( z) z 2e z 在圆环域 0 z内展为 Laurent 级数 .2. 试求幂级数n!z n的收敛半径 .n nn3. 算下列积分:e zdz,其中 C是| z |1.Cz 2 (z29)4. 求 z92z6z 28z 2 0 在| z|<1内根的个数 .四 . 证明题 . (20 分)1.函数 f (z) 在区域 D 内解析 . 证明:如果 | f ( z) |在 D 内为常数,那么它在D 内为常数 .2.设 f (z) 是一整函数,并且假定存在着一个正整数 n ,以及两个正数 R 及 M ,使得当 | z|R 时| f ( z) |M | z |n,证明 f (z) 是一个至多 n 次的多项式或一常数。
复变函数参考答案(1-8章)
复变函数与积分变换同步练习参考答案中北大学复变函数教研室编印1复变函数同步练习第一章参考答案三、作业题1、(1)设23412i z i +⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠,则z = 5 ,辐角主值为4arctan()3π−。
(2)设55(1)1(1)1i z i −−=++,则其实部为125−,虚部为3225−。
提示:本题注意到2(1)2i i −=−,2(1)2i i +=。
则52225222(1)1[(1)](1)1(2)(1)1132(1)1[(1)](1)1(2)(1)12525i i i i i z i i i i i i −−−−−−−−====−−+++++++ 。
(3)一复数对应的向量按逆时针方向旋转23π时对应的复数为1i +,则原复数为1122−+−+。
提示:本题相当于解23111(1)()(1)2222i z ei i i i π−−+−=+=−−+=+。
(4)设1z =2z i =−,则12z z 的指数式i122e π,12zz 的三角式为 155[cos sin 21212i ππ+。
(5)2122lim1z zz z z z →+−−=−32。
提示:211122(2)(1)23limlim lim 1(1)(1)12z z z zz z z z z z z z z z →→→+−−+−+===−−++。
(6)设复数z 满足arg(2)3z π+=,5arg(2)6z π−=,那么z=1−+。
提示:(利用复数的几何意义)向量2z −与向量2z +夹角为5632πππ−=,在复平面上,代表复数2z −、z 、2z +的点在平行于x 轴的直线上(由于此三点的虚轴没有发生变2化)。
连接0,2z +,2z −的三角形为Rt Δ。
因此推出向量2z =,2arg 3z π=,即1z =−+。
本题也可以利用代数法来做。
2、把复数πααα≤≤+−=0,sin cos 1i z 化为三角表示式与指数表示式,并求z 的辐角主值。
完整版)复变函数测试题及答案
完整版)复变函数测试题及答案复变函数测验题第一章复数与复变函数一、选择题1.当 $z=\frac{1+i}{1-i}$ 时,$z+z+z$ 的值等于()A) $i$ (B) $-i$ (C) $1$ (D) $-1$2.设复数 $z$ 满足 $\operatorname{arc}(z+2)=\frac{\pi}{3}$,$\operatorname{arc}(z-2)=\frac{5\pi}{6}$,那么 $z$ 等于()A) $-1+3i$ (B) $-3+i$ (C) $-\frac{2}{3}+\frac{2\sqrt{3}}{3}i$ (D) $\frac{1}{3}+2\sqrt{3}i$3.复数 $z=\tan\theta-i\left(\frac{1}{2}\right)$,$0<\theta<\pi$,则 $[0<\theta<\frac{\pi}{2}$ 时,$z$ 的三角表示式是()A) $\sec\theta[\cos(\pi+\theta)+i\sin(\pi+\theta)]$ (B)$\sec\theta[\cos\theta+i\sin\theta]$ (C) $-\sec\theta[\cos(\pi+\theta)+i\sin(\pi+\theta)]$ (D) $-\sec\theta[\cos\theta+i\sin\theta]$4.若 $z$ 为非零复数,则 $z^2-\bar{z}^2$ 与$2\operatorname{Re}(z)$ 的关系是()A) $z^2-\bar{z}^2\geq 2\operatorname{Re}(z)$ (B) $z^2-\bar{z}^2=2\operatorname{Re}(z)$ (C) $z^2-\bar{z}^2\leq2\operatorname{Re}(z)$ (D) 不能比较大小5.设 $x,y$ 为实数,$z_1=x+1+\mathrm{i}y,z_2=x-1+\mathrm{i}y$ 且有 $z_1+z_2=12$,则动点 $(x,y)$ 的轨迹是()A) 圆 (B) 椭圆 (C) 双曲线 (D) 抛物线6.一个向量顺时针旋转 $\frac{\pi}{3}$,向右平移 $3$ 个单位,再向下平移 $1$ 个单位后对应的复数为 $1-3\mathrm{i}$,则原向量对应的复数是()A) $2$ (B) $1+3\mathrm{i}$ (C) $3-\mathrm{i}$ (D)$3+\mathrm{i}$7.使得 $z=\bar{z}$ 成立的复数 $z$ 是()A) 不存在的 (B) 唯一的 (C) 纯虚数 (D) 实数8.设 $z$ 为复数,则方程 $z+\bar{z}=2+\mathrm{i}$ 的解是()A) $-\frac{3}{3}+\mathrm{i}$ (B) $-\mathrm{i}$ (C)$\mathrm{i}$ (D) $-\mathrm{i}+4$9.满足不等式$|z+i|\leq 2$ 的所有点$z$ 构成的集合是()A) 有界区域 (B) 无界区域 (C) 有界闭区域 (D) 无界闭区域10.方程 $z+2-3\mathrm{i}=2$ 所代表的曲线是()A) 中心为 $2-3\mathrm{i}$,半径为 $2$ 的圆周 (B) 中心为 $-2+3\mathrm{i}$,半径为 $2$ 的圆周 (C) 中心为 $-2+3\mathrm{i}$,半径为 $2$ 的圆周 (D) 中心为 $2-3\mathrm{i}$,半径为 $2$ 的圆周11.下列方程所表示的曲线中,不是圆周的为()A) $\frac{z-1}{z+2}=2$ (B) $z+3-\bar{z}-3=4$ (C) $|z-a|=1$ ($a0$)12.设 $f(z)=1-z$,$z_1=2+3\mathrm{i}$,$z_2=5-\mathrm{i}$,则 $f(z_1-z_2)$ 等于()A) $-2-2\mathrm{i}$ (B) $-2+2\mathrm{i}$ (C)$2+2\mathrm{i}$ (D) $2-2\mathrm{i}$1.设 $f(z)=1$,$f'(z)=1+i$,则 $\lim_{z\to 0}\frac{f(z)-1}{z}=$ $f(z)$ 在区域 $D$ 内解析,且 $u+v$ 是实常数,则$f(z)$ 在 $D$ 内是常数。
(完整版)复变函数试题及答案
-5四123456五1一二三四2、、、、、、、、5、、、填(1611-计求将计计求设证使单判计B计证空e算函函算算将函明符选断算i1算明题n)9积数数积实单数:合题题题2题题(解,2分分积位在D条(((,((每不析fff2分圆件每每每z7每每小存zzz函CC3e小小小小小在题在zL数CIxz0=2题题题2题题区解的z221zzd1k402y321域2析z零226,共(Di分1k6a7,点分分分=1iD形0,x分z分80z且是zd,,,2,5内,c映,视))1满doC孤本共共共A±1解射iL答zs:足立质,2在…1析成题2134在的6的,x006C),z单情:2C所分分分(证,位a况f9有1i)))i y明圆的可23孤2711n:去)酌01C1立+w函52心情,1z奇iy数的邻给8点41D直域21的(2i,1线内n1f,分包9u,段分展zA式括,1,成也f0线15共洛在2性01n9朗)A变D21z0级处换内分数2的解1n)w留(析,数并nL指z1出,2 收敛)的域函数____________________________________________________________________________________________________________ f z
1 解: C 的参数方程为: z=i+t, 0 t 1 dz=dt
x
y
ix 2
dz =
1
t
1
it 2 dt =
1
i
C
0
23
2 解: z 1为 f z 一阶极点
z 1 为 f z 二阶极点
2
2k
1, 2 ) , 4 ei ln 2 e 4
(k=0, 1, 2 )
5
i , 6 0, 7
《复变函数》考试试题(八)参考答案
《复变函数》考试试题(八)参考答案一、判断题.1. ×2. ×3. ×4. √5. × 二、填空题.1. 1-2. ()π-3. 1()f z z z=+4. 0,∞5. i6. 2π7. 18. 221nπ-9.本性 10. π- 三、计算题.1.解:arg 2155z k ik w zeπ+= 0,1,2,3,k =1=- 得251k ieππ+-= 从而有2k =4114105102331(1)22(co s sin )44iw i e i i ππππ-+--=⋅=+=2.解:(1)2()1L n z f z z =-的各解析分支为2ln 2()1k z k f z z π+=-,(0,1,)k =± .1z =为0()f z 的可去奇点,为()k f z 的一阶极点(0,1,)k =± 。
0R e ((),1)0s f z = R e ((),1)ks f z k i π= (1,2,)k =±± (2)1100011R e R e !!znn n z z n e z ss zz n n ∞++===⎡⎤=⋅=⎢⎥⎣⎦∑ 3.计算下列积分 解:(1)72323221()12(1)(2)(1)(1)zf z z z z zz==-+-+1R e (,)1s f C -∞=-=-2()2[R e (,)]2z f z d z i s f i ππ==-∞=⎰(2)设2222222()()()()zzf z z a z a i z a i ==++-令22()()zz z a i ϕ=+, 32()()a iz z z a i ϕ'=+则23()2()1R e (,)1!(2)4a i a i s f a i i a i aϕ'===-I m 0()2R e (,)2z f z d z i s f a i aππ>==⎰2222()2x d x x a aπ+∞-∞=+⎰4.儒歇定理:设c 是一条围线,()f z 及()z ϕ满足条件: (1)它们在c 的内部均解析,且连续到c ; (2)在c 上,()()f z z ϕ>则f 与f ϕ+在c 的内部有同样多零点,即()10f z = 6()6g z z z =+有 ()()f z g z >由儒歇定理知66100z z ++=在1z <没有根。
大学《复变函数》试卷及答案
---------------------------- 6分
2.函数 在复平面内何处可导,何处解析,并求
解:设 , 则
.四个偏导数在复平面上都连续,
由C—R方程得: .
故 仅在直线 上可导,在复平面上处处不解析.
--------------------------- 4分
且因为点 在曲线 上,所以 .
大学《复变函数》试卷及答案
一.判断题(每小题2分,共10分.
正确打“√”,错误打“×”.)
评
分
阅
卷
人
1. .()
2.若 在 不解析,则 不存在.()
3. 为函数 的孤立奇点.()
4.级数 收敛.()
5. 在点 处不连续.()
二.填空题(每小题2分,共10分.
将正确结果填在横线上.)
评
分
阅
卷
人
1.复参数方程 (t为参数)的直角坐标方程为
3.下列结论错误的是()
(A) 是函数 的二阶极点.(B) 是函数 的可去奇点.
(C) .(D) 是函数 的本性奇点.
4.下列结论错误的是()
(A)C为不通过原点的简则 也为解析函数.
(C)在点 解析的函数一定可以在点 的邻域内展开成泰勒级数.
(D)对于任意的复数 .
解:由于 在平面上处处解析,所以积分
与路径无关,又 的一个原函数为 ,
---------------------------- 5分
故
= .
------------------------ 7分
2. .
解: 在 内有两个不解析点, 分别为简单极
点、二级极点
,
------------------------ 5分
复变函数考试卷试题及答案
应用数理统计应用数理统计 试题试题第 1 页 共 4 页复变函数考试卷一、单项选择题(15分,每小题3分)分)1. 设()2,00,0z z f z zz ì¹ï=íï=î,则()f z 的连续点集合为(的连续点集合为()。
(A )单连通区域)单连通区域 (B )多连通区域)多连通区域 (C )开集非区域)开集非区域 (D )闭集非闭区域)闭集非闭区域 2. 设()(,)(,)f z u x y iv x y =+,那么(,)u x y 与(,)v x y 在点()00,x y 可微是()f z 在点000z x i y =+可微的(可微的()。
()()()()A B C D 充分但非必要条件必要但非充分条件充分必要条件既非充分也非必要条件3. 下列命题中,不正确的是(下列命题中,不正确的是()。
()()()()()()()()()0R e s ,0I m 1.zz A f z f z B f z D z f z D C e i Dz e iwp w ¥¥=-=<<<+如果无穷远点是的可去奇点,那么若在区域内任一点的邻域内展开成泰勒级数,则在内解析.幂级数的和函数在收敛圆内是解析函数.函数将带形域0()映射为单位圆4. 设c 是()1z i t =+,t 从1到2的线段,则arg d cz z ò( )。
()()()()()11444AB iC iD i ppp ++5. 设()f z 在01z <<内解析且()0lim 1z zf z ®=,那么()()Res ,0f z =( )。
()()()()2211A iB iCD p p --二、填空题(15分,每空3分)分) 1.()Ln 1i -的主值为的主值为。
2.函数()()Re Im f z z z z ()=+仅在点z = 处可导。
(完整版)复变函数试题及答案
2、下列命题正确的是()
A B零的辐角是零
C仅存在一个数z,使得 D
3、下列命题正确的是()
A函数 在 平面上处处连续
B 如果 存在,那么 在 解析
C每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛
D如果v是u的共轭调和函数,则u也是v的共轭调和函数
4、根式 的值之一是()
1、 的指数形式是
2、 =
3、若0<r<1,则积分
4、若 是 的共轭调和函数,那么 的共轭调和函数是
5、设 为函数 = 的m阶零点,则m =
6、设 为函数 的n阶极点,那么 =
7、幂级数 的收敛半径R=
8、 是函数 的奇点
9、方程 的根全在圆环内
10、将点 ,i,0分别变成0,i, 的分式线性变换
二、单选题(每小题2分)
1 2 3 4 5
四 计算题(每小题6分,共36分)
1解: , 分
…5分
解得: 分
2解:被积函数在圆周的 内部只有一阶极点z=0
及二阶极点z=1 分
= 2i(-2+2)=0 分
3解:
= …4分
( <2)…6分
4解: 被积函数为偶函数在上半z平面有两个
一阶极点i,2i…1分
I= …2分
= …3分
= …5分
A可去奇点B一阶极点C一阶零点D本质奇点
6、函数 ,在以 为中心的圆环内的洛朗展式
有m个,则m=( )
A 1 B2C3 D 4
7、下列函数是解析函数的为()
A B
C D
8、在下列函数中, 的是()
A B
C D
9、设a ,C: =1,则 ()
复变函数试题答案
1-3参考答案试题一一1.11)),22i -+2.526632,2,2ii i e e eπππ 3.2exp(2)2z π+4.1ln 2(2)22e e i k k ππ-+++为整数 5.2(1)i e π+6.27.21(2)(1)(21)!n nn z n +∞=-+∑ 823Re()09s s >+ 二.1-5 D A A C D三.1.解:由于=1z ,=2z i ,均位于圆周内,由柯西积分公式得23431212C CCdz dz dz z z i z z i ⎛⎫+=+ ⎪--++⎝⎭⎰⎰⎰ 224212i i i πππ=⨯+⨯=注:其他解法正确也应给分2.解: ()f z 在C 所围成的区域内有121,1z z ==-两个孤立奇点,2211213211Re [(),1]lim(1),Re [(),1]lim(1)1212z z z z s f z z s f z z z z →→-++=-=-=+=--,2' 所以由留数定理,原式()2Re [(),1]Re [(),1]224i s f z s f z i i πππ=⋅+-=⨯=.注:其他解法正确也应给分 3.解:11sin cos z zdz z d z ⋅=-⎰⎰111000cos |cos cos1sin |z z z zdz z =⎡⎤⎡⎤=--=--⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰sin1cos1.=-四.1.解:因为22u x axy by =++,22v cx dxy y =++2,2,2,2u u v vx ay ax by cx dy dx y x y x y∂∂∂∂=+=+=+=+∂∂∂∂ 要使,u v u vx y y x∂∂∂∂==-∂∂∂∂ 只需22,22x ay dx y ax by cx dy +=++=-- 得到2,1,1,2a b c d ==-=-=2.解:23231,2!3!!(1)1,2!3!!nzn zn z z z e z n z z e z z n -=++++++-=-+-+++3521()23!5!(21)!z z n n e e z z z f z z n -+∞=-∴==+++=+∑ 收敛半径.R =+∞3.解:011z <-<时,()21111()()(1)(1)22f z z z z z '=⋅=⋅----- 因为()()0111121111nn z z z z ∞===-=----+---∑所以()111()12n n n z z ∞-='=---∑所以 ()()12111()111n n n n f z n z n z z ∞∞--===-=--∑∑ 当021z <-<时,220111()(1)(2)(2)12(2)n n n f z z z z z ∞==⋅=⋅---+--∑ 20(1)(2)n n n z ∞-==--∑4.22(2)()(sin )z z f z z π-=sin()0z z k πππ=⇒=,故()f z 的奇点为,0,1,2,z k k ==±± ---------当()(),sin |0,sin |0z k z k z k z z ππ=='==≠,z k ∴=是sin()z π的一级零点, 是2(sin())z π的二级零点 ------------------又由于12z =,是(1)(2)z z --的一级零点 所以12z =,是()f z 的一级极点,-------当,1,2z k z =≠时,k 是()f z 的二级极点。
《复变函数》考试试题与答案各种总结
《复变函数》考试试题(一)一、 判断题(20分):1、若f(z)在z 0的某个邻域内可导,则函数f(z)在z 0解析、 ( )2、有界整函数必在整个复平面为常数、 ( )3、若}{n z 收敛,则} {Re n z 与}{Im n z 都收敛、 ( )4、若f(z)在区域D 内解析,且0)('≡z f ,则C z f ≡)((常数)、 ( )5、若函数f(z)在z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数、 ( )6、若z 0就是)(z f 的m 阶零点,则z 0就是1/)(z f 的m 阶极点、 ( )7、若)(lim 0z f z z →存在且有限,则z 0就是函数f(z)的可去奇点、 ( )8、若函数f(z)在就是区域D 内的单叶函数,则)(0)('D z z f ∈∀≠、 ( ) 9、 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C0)(=⎰Cdz z f 、( )10、若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数,则f(z)在区域D 内恒等于常数、( ) 二、填空题(20分)1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________、(n 为自然数)2、=+z z 22cos sin _________、 3、函数z sin 的周期为___________、4、设11)(2+=z z f ,则)(z f 的孤立奇点有__________、5、幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________、6、若函数f(z)在整个平面上处处解析,则称它就是__________、7、若ξ=∞→n n z lim ,则=+++∞→n z z z nn (i)21______________、8、=)0,(Re n zz e s ________,其中n 为自然数、9、 zz sin 的孤立奇点为________ 、10、若0z 就是)(z f 的极点,则___)(lim 0=→z f z z 、三、计算题(40分):1、 设)2)(1(1)(--=z z z f ,求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式、2、 .cos 11||⎰=z dz z3、 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2,其中}3|:|{==z z C ,试求).1('i f +4、 求复数11+-=z z w 的实部与虚部、四、 证明题、(20分) 1、 函数)(z f 在区域D 内解析、 证明:如果|)(|z f 在D 内为常数,那么它在D 内为常数、 2、 试证: ()f z =0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值、 《复变函数》考试试题(一)参考答案一. 判断题1.×2.√ 3.√ 4.√ 5.√ 6.√ 7.×8.×9.×10.× 二.填空题 1、 2101i n n π=⎧⎨≠⎩ ; 2、 1; 3、 2k π,()k z ∈; 4、 z i =±; 5、 16、 整函数;7、 ξ;8、 1(1)!n -; 9、 0; 10、 ∞、三.计算题、1、 解 因为01,z << 所以01z <<111()(1)(2)12(1)2f z z z z z ==-----001()22nn n n z z ∞∞===-∑∑、 2、 解 因为22212Re ()limlim 1cos sin z z z z s f z z z ππππ→→=+===--, 22212Re ()limlim 1cos sin z z z z s f z z zππππ→-→-=--===-、 所以22212(Re ()Re ()0cos z z z dz i s f z s f z z πππ==-==+=⎰、 3、 解 令2()371ϕλλλ=++, 则它在z 平面解析, 由柯西公式有在3z <内, ()()2()c f z dz i z z ϕλπϕλ==-⎰、所以1(1)2()2(136)2(613)z i f i i z i i i πϕππ=+''+==+=-+、 4、 解 令z a bi =+, 则 222222122(1)2(1)211111(1)(1)(1)z a bi a bw z z a b a b a b -+-+==-=-=-+++++++++、 故 2212(1)Re()11(1)z a z a b -+=-+++, 2212Im()1(1)z bz a b-=+++、 四、 证明题、1、 证明 设在D 内()f z C =、令2222(),()f z u iv f z u v c =+=+=则、两边分别对,x y 求偏导数, 得 0(1)0(2)x x yy uu vv uu vv +=⎧⎨+=⎩因为函数在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-、 代入 (2) 则上述方程组变为00x x x x uu vv vu uv +=⎧⎨-=⎩、 消去x u 得, 22()0x u v v +=、 1) 若220u v +=, 则 ()0f z = 为常数、2) 若0x v =, 由方程 (1) (2) 及 ..C R -方程有0,x u = 0y u =, 0y v =、 所以12,u c v c ==、 (12,c c 为常数)、 所以12()f z c ic =+为常数、2、证明()f z =0,1z =、 于就是割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内变点就不可能单绕0或1转一周, 故能分出两个单值解析分支、由于当z 从支割线上岸一点出发,连续变动到0,1z = 时, 只有z 的幅角增加π、 所以()f z =2π、 由已知所取分支在支割线上岸取正值, 于就是可认为该分支在上岸之幅角为0, 因而此分支在1z =-的幅角为2π,故2(1)i f e π-==、《复变函数》考试试题(二)一. 判断题、(20分)1、 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续,则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续、 ( )2、 cos z 与sin z 在复平面内有界、 ( )3、 若函数f (z )在z 0解析,则f (z )在z 0连续、 ( )4、 有界整函数必为常数、 ( )5、 如z 0就是函数f (z )的本性奇点,则)(lim 0z f z z →一定不存在、 ( )6、 若函数f (z )在z 0可导,则f (z )在z 0解析、 ( )7、 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f 、( )8、 若数列}{n z 收敛,则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛、 ( ) 9、 若f (z )在区域D 内解析,则|f (z )|也在D 内解析、 ( )10、 存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f 、( )二、 填空题、 (20分)1、 设i z -=,则____,arg __,||===z z z2、设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222,则=+→)(lim 1z f iz ________、3、=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________、(n 为自然数)4、 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ 、5、 若z 0就是f (z )的m 阶零点且m >0,则z 0就是)('z f 的_____零点、6、 函数e z 的周期为__________、7、 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________、 8、 设211)(zz f +=,则)(z f 的孤立奇点有_________、 9、 函数||)(z z f =的不解析点之集为________、10、 ____)1,1(Res 4=-zz 、 三、 计算题、 (40分)1、 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式、2、 在复平面上取上半虚轴作割线、 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支,并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z=处的值、3、 计算积分:⎰-=iiz z Id ||,积分路径为(1)单位圆(1||=z )的右半圆、4、 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π、四、 证明题、 (20分)1、 设函数f (z )在区域D 内解析,试证:f (z )在D 内为常数的充要条件就是)(z f 在D 内解析、2、 试用儒歇定理证明代数基本定理、《复变函数》考试试题(二)参考答案一. 判断题、1.√ 2.×3.√ 4.√ 5.×6.×7.×8.√ 9.×10.×、 二、 填空题1、1,2π-, i ; 2、 3(1sin 2)i +-; 3、2101i n n π=⎧⎨≠⎩; 4、 1; 5、 1m -、 6、 2k i π,()k z ∈、 7、 0; 8、 i ±; 9、 R ; 10、 0、 三、 计算题1、 解 3212163300(1)(2)(1)2sin(2)(21)!(21)!n n n n n n n z z z n n +++∞∞==--==++∑∑、2、 解 令i z re θ=、则22(),(0,1)k if z k θπ+===、又因为在正实轴去正实值,所以0k =、所以4()if i eπ=、3、 单位圆的右半圆周为i z e θ=, 22ππθ-≤≤、所以22222ii i iz dz de ei ππθθππ---===⎰⎰、4、 解dz z zz ⎰=-22)2(sin π2)(sin 2ππ='=z z i 2cos 2ππ==z zi =0、四、 证明题、1、 证明 (必要性) 令12()f z c ic =+,则12()f z c ic =-、 (12,c c 为实常数)、 令12(,),(,)u x y c v x y c ==-、 则0x y y x u v u v ====、 即,u v 满足..C R -, 且,,,x y y x u v u v 连续, 故()f z 在D 内解析、 (充分性) 令()f z u iv =+, 则 ()f z u iv =-, 因为()f z 与()f z 在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-, 且(),()x y y y x x u v v u v v =-=-=--=-、比较等式两边得 0x y y x u v u v ====、 从而在D 内,u v 均为常数,故()f z 在D 内为常数、2、 即要证“任一 n 次方程 101100(0)n n n n a z a z a z a a --++⋅⋅⋅++=≠ 有且只有 n 个根”、证明 令1011()0nn n n f z a z a z a z a --=++⋅⋅⋅++=, 取10max ,1n a a R a ⎧⎫+⋅⋅⋅+⎪⎪>⎨⎬⎪⎪⎩⎭, 当z 在:C z R =上时, 有 111110()()n n nn n n z a R a R a a a R a R ϕ---≤+⋅⋅⋅++<+⋅⋅⋅+<、()f z =、由儒歇定理知在圆 z R < 内, 方程10110n n n n a z a z a z a --++⋅⋅⋅++= 与 00na z = 有相 同个数的根、 而 00na z = 在 z R < 内有一个 n 重根 0z =、 因此n 次方程在z R <内有n 个根、《复变函数》考试试题(三)一、 判断题、 (20分)、1、 cos z 与sin z 的周期均为πk2、 ( ) 2、 若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析、 ( )3、 若函数f (z )在z 0处解析,则f (z )在z 0连续、 ( )4、 若数列}{n z 收敛,则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛、 ( )5、 若函数f (z )就是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数,则数f (z )在区域D 内为常数、 ( )6、 若函数f (z )在z 0解析,则f (z )在z 0的某个邻域内可导、 ( )7、 如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f 、 ( )8、 若函数f (z )在z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数、( )9、 若z 0就是)(z f 的m 阶零点, 则z 0就是1/)(z f 的m 阶极点、 ( ) 10、 若z 就是)(z f 的可去奇点,则)),((Res 0=z z f 、( )二、 填空题、 (20分)1、 设11)(2+=z z f ,则f (z )的定义域为___________、2、 函数e z的周期为_________、3、 若n n n i n n z )11(12++-+=,则=∞→n z n lim __________、4、 =+z z 22cos sin ___________、5、 =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________、(n 为自然数) 6、 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________、7、 设11)(2+=z z f ,则f (z )的孤立奇点有__________、8、 设1-=ze ,则___=z 、9、 若0z 就是)(z f 的极点,则___)(lim 0=→z f z z 、10、 ____)0,(Res =n zze 、三、 计算题、 (40分)1、 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数、2、 试求幂级数nn n z nn ∑+∞=!的收敛半径、3、 算下列积分:⎰-C z z z ze )9(d 22,其中C 就是1||=z 、4、 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数、四、 证明题、 (20分) 1、 函数)(z f 在区域D 内解析、 证明:如果|)(|z f 在D 内为常数,那么它在D 内为常数、 2、 设)(z f 就是一整函数,并且假定存在着一个正整数n ,以及两个正数R 及M ,使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤,证明)(z f 就是一个至多n 次的多项式或一常数。
复变函数1到5章测试题及答案
第一章复数与复变函数(答案)一、选择题1.当时,的值等于(B )ii z -+=115075100z z z ++(A ) (B ) (C ) (D )i i -11-2.设复数满足,,那么(A )z arg(2)3z π+=5arg(2)6z π-==z (A ) (B ) (C ) (D )i 31+-i +-3i 2321+-i 2123+-3.复数的三角表示式是(D ))2(tan πθπθ<<-=i z (A ) (B ))]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++i )]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i (C )(D ))]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++-i )]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 4.若为非零复数,则与的关系是(C )z 22z z -z z 2(A ) (B )z z z z 222≥-z z z z 222=-(C ) (D )不能比较大小z z zz 222≤-5.设为实数,且有,则动点y x ,yi x z yi x z +-=++=11,11211221=+z z 的轨迹是(B )),(y x (A )圆 (B )椭圆 (C )双曲线 (D )抛物线6.一个向量顺时针旋转,对应的复数为,则原向量对应的复数是(A )3πi 31-(A ) (B ) (C ) (D )2i 31+i -3i+37.使得成立的复数是(D )22z z =z(A )不存在的 (B )唯一的 (C )纯虚数 (D )实数8.设为复数,则方程的解是(B )z i z z +=+2(A ) (B ) (C ) (D )i +-43i +43i -43i --439.满足不等式的所有点构成的集合是(D )2≤+-iz iz z (A )有界区域 (B )无界区域 (C )有界闭区域 (D )无界闭区域10.方程所代表的曲线是(C )232=-+i z (A )中心为,半径为的圆周 (B )中心为,半径为2的圆周i 32-2i 32+-(C )中心为,半径为的圆周 (D )中心为,半径为2的圆周i 32+-2i 32-11.下列方程所表示的曲线中,不是圆周的为(B )(A ) (B )221=+-z z 433=--+z z (C ) (D ))1(11<=--a azaz )0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12.设,则(C ),5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=12()f z z -=(A ) (B ) (C ) (D )i 44--i 44+i 44-i 44+-13.(D )000Im()Im()limz z z z z z →--(A )等于 (B )等于 (C )等于 (D )不存在i i -014.函数在点处连续的充要条件是(C )),(),()(y x iv y x u z f +=000iy x z +=(A )在处连续 (B )在处连续),(y x u ),(00y x ),(y x v ),(00y x (C )和在处连续(D )在处连续),(y x u ),(y x v ),(00y x ),(),(y x v y x u +),(00y x15.设且,则函数的最小值为(A )C z ∈1=z zz z z f 1)(2+-=(A ) (B ) (C ) (D )3-2-1-1二、填空题1.设,则)2)(3()3)(2)(1(i i i i i z ++--+==z 22.设,则)2)(32(i i z +--==z arg 8arctan -π3.设,则 43)arg(,5π=-=i z z =z i 21+-4.复数的指数表示式为 22)3sin 3(cos )5sin5(cos θθθθi i -+ie θ165.以方程的根的对应点为顶点的多边形的面积为 i z 1576-=6.不等式所表示的区域是曲线(或522<++-z z 522=++-z z ) 的内部1)23()25(2222=+y x 7.方程所表示曲线的直角坐标方程为 1)1(212=----zi iz 122=+y x 8.方程所表示的曲线是连接点 和 的线段的垂i z i z +-=-+22112i -+2i -直平分线9.对于映射,圆周的像曲线为zi =ω1)1(22=-+y x ()2211u v -+=10. =+++→)21(lim 421z z iz 12i -+三、若复数满足,试求的取值范围.z 03)21()21(=+++-+z i z i z z 2+z((或))]25,25[+-25225+≤+≤-z 四、设,在复数集中解方程.0≥a C a z z =+22(当时解为或10≤≤a i a )11(-±±)11(-+±a 当时解为)+∞≤≤a 1)11(-+±a 五、设复数,试证是实数的充要条件为或.i z ±≠21zz+1=z Im()0z =六、对于映射,求出圆周的像.)1(21zz +=ω4=z (像的参数方程为.表示平面上的椭圆)π≤θ≤⎪⎩⎪⎨⎧θ=θ=20sin 215cos 217v u w 1)215()217(2222=+v u 七、设,试讨论下列函数的连续性:iy x z +=1.⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,00,2)(22z z y x xyz f 2..⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,00,)(223z z y x y x z f (1.在复平面除去原点外连续,在原点处不连续;)(z f 2.在复平面处处连续))(z f 第二章 解析函数(答案)一、选择题:1.函数在点处是( B )23)(z z f =0=z(A )解析的 (B )可导的(C )不可导的 (D )既不解析也不可导2.函数在点可导是在点解析的( B ))(z f z )(z f z (A )充分不必要条件 (B )必要不充分条件(C )充分必要条件 (D )既非充分条件也非必要条件3.下列命题中,正确的是( D )(A )设为实数,则y x ,1)cos(≤+iy x (B )若是函数的奇点,则在点不可导0z )(z f )(z f 0z (C )若在区域内满足柯西-黎曼方程,则在内解析v u ,D iv u z f +=)(D (D )若在区域内解析,则在内也解析)(z f D )(z if D 4.下列函数中,为解析函数的是( C )(A ) (B )xyi y x 222--xyi x +2(C ) (D ))2()1(222x x y i y x +-+-33iy x +5.函数在处的导数( A ))Im()(2z z z f =0z =(A )等于0 (B )等于1 (C )等于 (D )不存在1-6.若函数在复平面内处处解析,那么实常)(2)(2222x axy y i y xy x z f -++-+=数( C )=a (A ) (B ) (C ) (D )0122-7.如果在单位圆内处处为零,且,那么在内( C ))(z f '1<z 1)0(-=f 1<z ≡)(z f (A ) (B ) (C ) (D )任意常数011-8.设函数在区域内有定义,则下列命题中,正确的是( C ))(z f D (A )若在内是一常数,则在内是一常数)(z f D )(z f D (B )若在内是一常数,则在内是一常数))(Re(z f D )(z f D (C )若与在内解析,则在内是一常数)(z f )(z f D )(z f D(D )若在内是一常数,则在内是一常数)(arg z f D )(z f D 9.设,则( A )22)(iy x z f +==+')1(i f (A ) (B ) (C ) (D )2i 2i +1i 22+10.的主值为( D )ii (A ) (B ) (C ) (D )012πe 2eπ-11.在复平面上( A )ze (A )无可导点 (B )有可导点,但不解析(C )有可导点,且在可导点集上解析 (D )处处解析12.设,则下列命题中,不正确的是( C )z z f sin )(=(A )在复平面上处处解析 (B )以为周期)(z f )(z f π2(C ) (D )是无界的2)(iziz e e z f --=)(z f 13.设为任意实数,则( D )αα1(A )无定义 (B )等于1(C )是复数,其实部等于1 (D )是复数,其模等于114.下列数中,为实数的是( B )(A ) (B ) (C ) (D )3)1(i -i cos i ln e 23π-15.设是复数,则( C )α(A )在复平面上处处解析 (B )的模为αz αz αz(C )一般是多值函数 (D )的辐角为的辐角的倍αz αz z α二、填空题1.设,则i f f +='=1)0(,1)0(=-→zz f z 1)(limi +12.设在区域内是解析的,如果是实常数,那么在内是 常数iv u z f +=)(D v u +)(z f D3.导函数在区域内解析的充要条件为 可微且满足x vix u z f ∂∂+∂∂=')(D xvx u ∂∂∂∂, 222222,xvy x u y x v x u ∂∂-=∂∂∂∂∂∂=∂∂4.设,则2233)(y ix y x z f ++==+-')2323(i f i 827427-5.若解析函数的实部,那么或iv u z f +=)(22y x u -==)(z f ic xyi y x ++-222为实常数ic z +2c 6.函数仅在点处可导)Re()Im()(z z z z f -==z i 7.设,则方程的所有根为 z i z z f )1(51)(5+-=0)(='z f 3,2,1,0),424sin 424(cos 28=π+π+π+πk k i k 8.复数的模为ii ),2,1,0(2L ±±=π-k ek 9.=-)}43Im{ln(i 34arctan -10.方程的全部解为01=--ze),2,1,0(2L ±±=πk i k 三、试证下列函数在平面上解析,并分别求出其导数z 1.();sinh sin cosh cos )(y x i y x z f -=;sin )(z z f -='2.());sin cos ()sin cos ()(y ix y y ie y y y x e z f xx++-=.)1()(ze z zf +='四、已知,试确定解析函数.22y x v u -=-iv u z f +=)((.为任意实常数)c i z i z f )1(21)(2++-=c 第三章 复变函数的积分(答案)一、选择题:1.设为从原点沿至的弧段,则( D )c x y =2i +1=+⎰cdz iy x )(2(A )(B ) (C ) (D )i 6561-i 6561+-i 6561--i 6561+2.设为不经过点与的正向简单闭曲线,则为( D)c 11-dz z z zc ⎰+-2)1)(1((A )(B ) (C ) (D )(A)(B)(C)都有可能2iπ2iπ-03.设为负向,正向,则( B )1:1=z c 3:2=z c =⎰+=dz zzc c c 212sin (A )(B ) (C ) (D )i π2-0iπ2iπ44.设为正向圆周,则( C)c 2=z =-⎰dz z zc2)1(cos (A ) (B ) (C ) (D )1sin -1sin 1sin 2i π-1sin 2i π5.设为正向圆周,则 ( B)c 21=z =--⎰dz z z z c23)1(21cos(A ) (B ) (C ) (D ))1sin 1cos 3(2-i π01cos 6i π1sin 2i π-6.设,其中,则( A )ξξξξd ze zf ⎰=-=4)(4≠z =')i f π((A ) (B ) (C ) (D )i π2-1-i π217.设在单连通域内处处解析且不为零,为内任何一条简单闭曲线,则积分)(z f B c B( C )dz z f z f z f z f c⎰+'+'')()()(2)((A )于 (B )等于 (C )等于 (D )不能确定i π2i π2-08.设是从到的直线段,则积分( A )c 0i 21π+=⎰cz dz ze (A ) (B) (C) (D) 21eπ-21eπ--i e21π+ie21π-9.设为正向圆周,则( A )c 0222=-+x y x =-⎰dz z z c1)4sin(2π(A )(B ) (C ) (D )i π22i π20i π22-10.设为正向圆周,则( C)c i a i z ≠=-,1=-⎰cdz i a zz 2)(cos (A ) (B )(C ) (D )ie π2eiπ20i i cos 11.设在区域内解析,为内任一条正向简单闭曲线,它的内部全属于.如果)(z f D c D D 在上的值为2,那么对内任一点,( C ))(z f c c 0z )(0z f (A )等于0 (B )等于1 (C )等于2 (D )不能确定12.下列命题中,不正确的是( D )(A )积分的值与半径的大小无关⎰=--ra z dz az 1)0(>r r (B ),其中为连接到的线段2)(22≤+⎰cdz iy xc i -i (C )若在区域内有,则在内存在且解析D )()(z g z f ='D )(z g '(D )若在内解析,且沿任何圆周的积分等于零,则)(z f 10<<z )10(:<<=r r z c 在处解析)(z f 0=z 13.设为任意实常数,那么由调和函数确定的解析函数是 ( D)c 22y x u -=iv u z f +=)((A) (B ) (C ) (D )c iz +2ic iz +2c z +2ic z +214.下列命题中,正确的是(C)(A )设在区域内均为的共轭调和函数,则必有21,v v D u 21v v =(B )解析函数的实部是虚部的共轭调和函数(C )若在区域内解析,则为内的调和函数iv u z f +=)(D xu∂∂D (D )以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数15.设在区域内为的共轭调和函数,则下列函数中为内解析函数的是( ),(y x v D ),(y x u D B )(A ) (B )),(),(y x iu y x v +),(),(y x iu y x v -(C ) (D )),(),(y x iv y x u -xv i x u ∂∂-∂∂二、填空题1.设为沿原点到点的直线段,则 2c 0=z i z +=1=⎰cdz z 22.设为正向圆周,则c 14=-z =-+-⎰c dz z z z 22)4(23i π103.设,其中,则 0 ⎰=-=2)2sin()(ξξξξπd zz f 2≠z =')3(f 4.设为正向圆周,则=+⎰cdz zzz c 3=z i π65.设为负向圆周,则 c 4=z =-⎰c z dz i z e 5)(π12iπ6.解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的 平均值7.设在单连通域内连续,且对于内任何一条简单闭曲线都有,)(z f B B c 0)(=⎰cdz z f 那么在内 解析)(z f B 8.调和函数的共轭调和函数为xy y x =),(ϕC x y +-)(21229.若函数为某一解析函数的虚部,则常数 -323),(axy x y x u +==a 10.设的共轭调和函数为,那么的共轭调和函数为 ),(y x u ),(y x v ),(y x v ),(y x u -三、计算积分1.,其中且;⎰=+-R z dz z z z)2)(1(621,0≠>R R 2≠R (当时,; 当时,; 当时,)10<<R 021<<R i π8+∞<<R 202..(0)⎰=++22422z z z dz四、求积分,从而证明.()⎰=1z zdz z e πθθπθ=⎰0cos )cos(sin d e i π2五、若,试求解析函数.)(22y x u u +=iv u z f +=)(((为任意实常数))321ln 2)(ic c z c z f ++=321,,c c c 第四章 级 数(答案)一、选择题:1.设,则( C )),2,1(4)1(L =++-=n n nia n n n n a ∞→lim (A )等于 (B )等于 (C )等于 (D )不存在01i2.下列级数中,条件收敛的级数为( C )(A ) (B )∑∞=+1)231(n n i ∑∞=+1!)43(n nn i (C ) (D )∑∞=1n n n i ∑∞=++-11)1(n n n i3.下列级数中,绝对收敛的级数为(D )(B ) (B )∑∞=+1)1(1n n i n ∑∞=+-1]2)1([n n n in (C) (D )∑∞=2ln n n n i ∑∞=-12)1(n n nn i 4.若幂级数在处收敛,那么该级数在处的敛散性为( A )∑∞=0n n nz ci z 21+=2=z (A )绝对收敛 (B )条件收敛(C )发散 (D )不能确定5.设幂级数和的收敛半径分别为,则∑∑∞=-∞=01,n n n n nnznc z c∑∞=++011n n n z n c 321,,R R R 之间的关系是( D )321,,R R R (A ) (B ) 321R R R <<321R R R >>(C ) (D )321R R R <=321R R R ==6.设,则幂级数的收敛半径( D )10<<q ∑∞=02n n n z q =R (A ) (B )(C ) (D )q q10∞+7.幂级数的收敛半径( B )∑∞=1)2(2sinn n z n n π=R(A )(B ) (C ) (D )122∞+8.幂级数在内的和函数为( A )∑∞=++-011)1(n n n z n 1<z (A ) (B ))1ln(z +)1ln(z -(D ) (D) z +11lnz-11ln 9.设函数的泰勒展开式为,那么幂级数的收敛半径( C )z e z cos ∑∞=0n n n z c ∑∞=0n nn z c =R (A ) (B ) (C )(D )∞+12ππ10.级数的收敛域是( B )L +++++22111z z z z(A ) (B ) (C ) (D )不存在的1<z 10<<z +∞<<z 111.函数在处的泰勒展开式为( D)21z1-=z (A )(B ))11()1()1(11<++-∑∞=-z z n n n n)11()1()1(111<++-∑∞=--z z n n n n (C ) (D ))11()1(11<++-∑∞=-z z n n n )11()1(11<++∑∞=-z z n n n 12.函数,在处的泰勒展开式为( B )z sin 2π=z (A ))2()2()!12()1(012+∞<--+-∑∞=+ππz z n n n n(B ))2()2()!2()1(02+∞<---∑∞=ππz z n n nn (C ))2()2()!12()1(0121+∞<--+-∑∞=++ππz z n n n n (D ))2()2()!2()1(021+∞<---∑∞=+ππz z n n nn 13.设在圆环域内的洛朗展开式为,为内)(z f 201:R z z R H <-<∑∞-∞=-n n nz z c)(0c H 绕的任一条正向简单闭曲线,那么( B )0z =-⎰c dz z z z f 20)()((A) (B ) (C ) (D )12-ic π12ic π22ic π)(20z f i 'π14.若,则双边幂级数的收敛域为( A )⎩⎨⎧--==-+=L L ,2,1,4,2,1,0,)1(3n n c nn n n ∑∞-∞=n nn z c (A )(B ) 3141<<z 43<<z (C )(D )+∞<<z 41+∞<<z 3115.设函数在以原点为中心的圆环内的洛朗展开式有个,那么)4)(1(1)(++=z z z z f m ( C )=m (A )1 (B )2 (C )3 (D )4二、填空题1.若幂级数在处发散,那么该级数在处的收敛性为 发散∑∞=+0)(n n ni z ci z =2=z 2.设幂级数与的收敛半径分别为和,那么与之间的关∑∞=0n nnz c∑∞=0)][Re(n n n z c 1R 2R 1R 2R系是 .12R R ≥3.幂级数的收敛半径∑∞=+012)2(n n nz i =R 224.设在区域内解析,为内的一点,为到的边界上各点的最短距离,那么)(z f D 0z d 0z D 当时,成立,其中d z z <-0∑∞=-=0)()(n n nz z cz f 或=n c ),2,1,0()(!10)(L =n z f n n ().)0,2,1,0()()(21010d r n dz z z z f irz z n <<=-π⎰=-+L 5.函数在处的泰勒展开式为 .z arctan 0=z )1(12)1(012<+-∑∞=+z z n n n n 6.设幂级数的收敛半径为,那么幂级数的收敛半径为∑∞=0n nn z c R ∑∞=-0)12(n n n n z c 2R .7.双边幂级数的收敛域为 .∑∑∞=∞=--+--112)21()1()2(1)1(n n n nnz z 211<-<z 8.函数在内洛朗展开式为 .zze e 1++∞<<z 0nn nn z n z n ∑∑∞=∞=+00!11!19.设函数在原点的去心邻域内的洛朗展开式为,那么该洛朗级数z cot R z <<0∑∞-∞=n n nz c收敛域的外半径 .=R π10.函数在内的洛朗展开式为)(1i z z -+∞<-<i z 1∑∞=+--02)()1(n n n n i z i三、若函数在处的泰勒展开式为,则称为菲波那契(Fibonacci)211z z --0=z ∑∞=0n nn z a {}n a 数列,试确定满足的递推关系式,并明确给出的表达式.n a n a (,)2(,12110≥+===--n a a a a a n n n )),2,1,0(}251()251{(5111L =--+=++n a n n n 四、求幂级数的和函数,并计算之值.∑∞=12n nz n ∑∞=122n n n (,)3)1()1()(z z z z f -+=6五、将函数在内展开成洛朗级数.)1()2ln(--z z z 110<-<z ()n n nk k z k n z z z z z z )1(1)1(()2ln(111)1()2ln(001-+--=-⋅⋅-=--∑∑∞==+第五章 留 数(答案)一、选择题:1.函数在内的奇点个数为 ( D )32cot -πz z2=-i z (A )1 (B )2 (C )3 (D )42.设函数与分别以为本性奇点与级极点,则为函数)(z f )(z g a z =m a z =)()(z g z f 的( B )(A )可去奇点 (B )本性奇点(C )级极点 (D )小于级的极点m m 3.设为函数的级极点,那么( C )0=z zz e xsin 142-m =m(A )5 (B )4 (C)3 (D )24.是函数的( D )1=z 11sin)1(--z z (A)可去奇点 (B )一级极点(C ) 一级零点 (D )本性奇点5.是函数的( B )∞=z 2323z z z ++(A)可去奇点 (B )一级极点(C ) 二级极点 (D )本性奇点6.设在内解析,为正整数,那么( C )∑∞==)(n n n z a z f R z <k =]0,)([Re kz z f s (A ) (B ) (C ) (D )k a k a k !1-k a 1)!1(--k a k 7.设为解析函数的级零点,那么='],)()([Re a z f z f s ( A )a z =)(z f m (A) (B ) (C ) (D )m m -1-m )1(--m 8.在下列函数中,的是( D )0]0),([Re =z f s (A )(B )21)(ze zf z -=z z z z f 1sin )(-=(C ) (D) z z z z f cos sin )(+=ze zf z 111)(--=9.下列命题中,正确的是( C )(A )设,在点解析,为自然数,则为的)()()(0z z z z f mϕ--=)(z ϕ0z m 0z )(z f 级极点.m (B )如果无穷远点是函数的可去奇点,那么∞)(z f 0]),([Re =∞z f s (C )若为偶函数的一个孤立奇点,则0=z )(z f 0]0),([Re =z f s(D )若,则在内无奇点0)(=⎰c dz z f )(z f c 10. ( A )=∞],2cos[Re 3ziz s (A ) (B ) (C ) (D )32-32i 32i32-11. ( B)=-],[Re 12i e z s iz (A ) (B ) (C ) (D )i +-61i +-65i +61i +6512.下列命题中,不正确的是( D)(A )若是的可去奇点或解析点,则)(0∞≠z )(z f 0]),([Re 0=z z f s (B )若与在解析,为的一级零点,则)(z P )(z Q 0z 0z )(z Q )()(],)()([Re 000z Q z P z z Q z P s '=(C )若为的级极点,为自然数,则0z )(z f m m n ≥)]()[(lim !1]),([Re 1000z f z z dzd n z z f s n n nx x +→-=(D )如果无穷远点为的一级极点,则为的一级极点,并且∞)(z f 0=z )1(zf )1(lim ]),([Re 0zzf z f s z →=∞13.设为正整数,则( A )1>n =-⎰=211z ndz z (A) (B ) (C )(D )0i π2niπ2i n π214.积分( B )=-⎰=231091z dz z z (A ) (B ) (C ) (D )0i π2105iπ15.积分( C )=⎰=121sin z dz z z (A ) (B ) (C ) (D )061-3i π-iπ-二、填空题1.设为函数的级零点,那么 9 .0=z 33sin z z -m =m 2.函数在其孤立奇点处的留数zz f 1cos1)(=),2,1,0(21L L ±±=+=k k z k ππ.=]),([Re k z z f s 2)2()1(π+π-k k3.设函数,则 0 }1exp{)(22zz z f +==]0),([Re z f s 4.设为函数的级极点,那么 .a z =)(z f m ='],)()([Re a z f z f s m -5.设,则 -2 .212)(zzz f +==∞]),([Re z f s 6.设,则 .5cos 1)(z z z f -==]0),([Re z f s 241-7.积分.=⎰=113z zdz e z 12iπ8.积分.=⎰=1sin 1z dz z i π2三、计算积分.()⎰=--412)1(sin z z dz z e z z i π-316四、设为的孤立奇点,为正整数,试证为的级极点的充要条件是a )(z f m a )(z f m ,其中为有限数.b z f a z m az =-→)()(lim 0≠b 五、设为的孤立奇点,试证:若是奇函数,则;a )(z f )(z f ]),([Re ]),([Re a z f s a z f s -=若是偶函数,则.)(z f ]),([Re ]),([Re a z f s a z f s --=。
复变函数考试卷试题及答案
应用数理统计应用数理统计 试题试题第 1 页 共 4 页复变函数考试卷一、单项选择题(15分,每小题3分)分)1. 设()2,00,0z z f z zz ì¹ï=íï=î,则()f z 的连续点集合为(的连续点集合为()。
(A )单连通区域)单连通区域 (B )多连通区域)多连通区域 (C )开集非区域)开集非区域 (D )闭集非闭区域)闭集非闭区域 2. 设()(,)(,)f z u x y iv x y =+,那么(,)u x y 与(,)v x y 在点()00,x y 可微是()f z 在点000z x i y =+可微的(可微的()。
()()()()A B C D 充分但非必要条件必要但非充分条件充分必要条件既非充分也非必要条件3. 下列命题中,不正确的是(下列命题中,不正确的是()。
()()()()()()()()()0R e s ,0I m 1.zz A f z f z B f z D z f z D C e i Dz e iwp w ¥¥=-=<<<+如果无穷远点是的可去奇点,那么若在区域内任一点的邻域内展开成泰勒级数,则在内解析.幂级数的和函数在收敛圆内是解析函数.函数将带形域0()映射为单位圆4. 设c 是()1z i t =+,t 从1到2的线段,则arg d cz z ò( )。
()()()()()11444AB iC iD i ppp ++5. 设()f z 在01z <<内解析且()0lim 1z zf z ®=,那么()()Res ,0f z =( )。
()()()()2211A iB iCD p p --二、填空题(15分,每空3分)分) 1.()Ln 1i -的主值为的主值为。
2.函数()()Re Im f z z z z ()=+仅在点z = 处可导。
复变函数试卷及答案
复变函数试卷及答案【篇一:《复变函数》考试试题与答案各种总结】xt>一、判断题(20分):1.若f(z)在z0的某个邻域内可导,则函数f(z)在z0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )3.若{zn}收敛,则{re zn}{im zn}与都收敛. ( )4.若f(z)在区域d内解析,且f(z)?0,则f(z)?c(常数).( )5.若函数f(z)在z0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.( )6.若z0是f(z)的m阶零点,则z0是1/f(z)的m阶极点. ( )7.若z?z0limf(z)存在且有限,则z0是函数f(z)的可去奇点. ( )8.若函数f(z)在是区域d内的单叶函数,则f(z)?0(?z?d). ( )9. 若f(z)在区域d内解析, 则对d内任一简单闭曲线c?cf(z)dz?0.( )10.若函数f(z)在区域d内的某个圆内恒等于常数,则f(z)在区域d 内恒等于常数.()二.填空题(20分)dz?__________.(n为自然数)1、 ?|z?z0|?1(z?z)n22sinz?cosz? _________. 2.3.函数sinz的周期为___________.f(z)?4.设?1z2?1,则f(z)的孤立奇点有__________.n?nzn?0的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析,则称它是__________.7.若n??limzn??z1?z2?...?zn?n??n,则______________.limezres(n,0)?z8.________,其中n为自然数.sinz9. 的孤立奇点为________ .zlimf(z)?___zf(z)的极点,则z?z010.若0是.三.计算题(40分):1. 设1f(z)?(z?1)(z?2),求f(z)在d?{z:0?|z|?1}内的罗朗展式.1dz.?|z|?1cosz2.3?2?7??1f(z)??d?c??z3. 设,其中c?{z:|z|?3},试求f(1?i).w?4. 求复数z?1z?1的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数为常数. 2. 试证: f(z)?f(z)在区域d内解析. 证明:如果|f(z)|在d内为常数,那么它在d内在割去线段0?rez?1的z平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0?rez?1上岸取正值的那支在z??1的值.《复变函数》考试试题(一)参考答案一.判断题?2?in?11. ? ;2. 1;3. 2k?,(k?z);4. z??i; 5. 1 0n?1?6. 整函数;7. ?;8. 三.计算题.1. 解因为0?z?1, 所以0?z?1?1?zn111n??z??(). f(z)???2n?02(z?1)(z?2)1?z2(1?)n?021; 9. 0; 10. ?.(n?1)!2. 解因为z?resf(z)?limz??2?2z??2?lim1??1, coszz???sinzz??2resf(z)?limz???2z???2?lim1?1. coszz????sinz所以1sf(z)?resf(z)?0. z?2cosz?2?i(re??z??z?2223. 解令?(?)?3??7??1, 则它在z平面解析, 由柯西公式有在z?3内, f(z)??(?)?c??z?2?i?(z).所以f?(1?i)?2?i??(z)z?1?i?2?i(13?6i)?2?(?6?13i). 4. 解令z?a?bi, 则 w?z?122a(?1?bi)2a(?1)b2. 2?1?1?122222z?1z?1(a?1)?b(a?1)?ba(?1)?bz?12(a?1)z?12b, . )?1?im()?z?1(a?1)2?b2z?1(a?1)2?b2故 re(四. 证明题.1. 证明设在d内f(z)?c.令f(z)?u?iv,则f(z)?u2?v2?c2.2?uux?vvx?0两边分别对x,y求偏导数, 得??uuy?vvy?0(1)(2)因为函数在d内解析, 所以ux?vy,uy??vx. 代入 (2) 则上述方程组变为?uux?vvx?022. 消去ux得, (u?v)vx?0. ??vux?uvx?01) 若u?v?0, 则 f(z)?0 为常数.2) 若vx?0, 由方程 (1) (2) 及 c.?r.方程有ux?0, uy?0, vy?0. 所以u?c1,v?c2. (c1,c2为常数).22所以f(z)?c1?ic2为常数. 2.证明f(z)?的支点为z?0,1. 于是割去线段0?rez?1的z平面内变点就不可能单绕0或1转一周, 故能分出两个单值解析分支.由于当z从支割线上岸一点出发,连续变动到z?0,1 时, 只有z的幅角增加?. 所以f(z)?的幅角共增加?. 由已知所取分支在支割线上岸取正值, 于是可认为该分2?i?2支在上岸之幅角为0, 因而此分支在z??1的幅角为,故f(?1)??.2《复变函数》考试试题(二)一. 判断题.(20分)1. 若函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在d内连续,则u(x,y)与v(x,y)都在d 内连续. ( )2. cos z与sin z在复平面内有界.( )3. 若函数f(z)在z0解析,则f(z)在z0连续. ( )4. 有界整函数必为常数. ( )5. 如z0是函数f(z)的本性奇点,则limf(z)一定不存在. ( )z?z06. 若函数f(z)在z0可导,则f(z)在z0解析. ( )7. 若f(z)在区域d内解析, 则对d内任一简单闭曲线c?f(z)dz?0.c( )8. 若数列{zn}收敛,则{rezn}与{imzn}都收敛. ( ) 9. 若f(z)在区域d内解析,则|f(z)|也在d内解析. ( )11110. 存在一个在零点解析的函数f(z)使f()?0且f()?,n?1,2,....n?12n2n( )二. 填空题. (20分)1. 设z??i,则|z|?__,argz?__,?__z?1?i2.设f(z)?(x2?2xy)?i(1?sin(x2?y2),?z?x?iy?c,则limf(z)?________.3.dz?|z?z0|?1(z?z0)n?_________.(n为自然数)4. 幂级数?nzn的收敛半径为__________ .n?0?5. 若z0是f(z)的m阶零点且m0,则z0是f(z)的_____零点.6. 函数ez的周期为__________.7. 方程2z5?z3?3z?8?0在单位圆内的零点个数为________. 8. 设f(z)?1,则f(z)的孤立奇点有_________. 21?z9. 函数f(z)?|z|的不解析点之集为________.z?110. res(,1)?____. 4z三. 计算题. (40分)3sin(2z)的幂级数展开式. 1. 求函数2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支,并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点z?i处的值.??|z|dz,积分路径为(1)单位圆(|z|?1)?ii3. 计算积分:i的右半圆.4. 求sinzz?2(z?)22dz.四. 证明题. (20分)1. 设函数f(z)在区域d内解析,试证:f(z)在d内为常数的充要条件是f(z)在d内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题(二)参考答案一. 判断题.【篇二:复变函数试题与答案】>一、选择题1.当z?1?i时,z100?z75?z50的值等于() 1?i(a)i (b)?i(c)1 (d)?12.设复数z满足arc(z?2)??3,arc(z?2)?5?,那么z?() 61331?i (d)??i 2222(a)?1?3i (b)?3.复数z?tan??i(3?i (c)??????)的三角表示式是() 2 ???)?i??)] (b)sec?(a)sec22??3?3???)?i??)] 22?(c)?sec3?3?????)?i??)](d)?sec???)?i??)] 2222224.若z为非零复数,则z?与2z的关系是()2222(a)z??2z (b)z??2z22(c)z??2z (d)不能比较大小5.设x,y为实数,则动点(x,y)z1?x??yi,z2?x??yi且有z1?z2?12,的轨迹是()(a)圆(b)椭圆(c)双曲线(d)抛物线6.一个向量顺时针旋转?3,向右平移3个单位,再向下平移1个单位后对应的复数为1?3i,则原向量对应的复数是()(a)2(b)1?i (c)3?i (d)3?i17.使得z2?z成立的复数z是() 2(a)不存在的(b)唯一的(c)纯虚数(d)实数8.设z为复数,则方程z??2?i的解是()(a)?3333?i (b)?i (c)?i (d)??i 44449.满足不等式z?i?2的所有点z构成的集合是() z?i(a)有界区域(b)无界区域(c)有界闭区域(d)无界闭区域10.方程z?2?3i?2所代表的曲线是()(a)中心为2?3i,半径为2的圆周(b)中心为?2?3i,半径为2的圆周(c)中心为?2?3i,半径为2的圆周(d)中心为2?3i,半径为2的圆周11.下列方程所表示的曲线中,不是圆周的为()(a)z?1?2 (b)z?3?z?3?4 z?2z?a?1(a?1) (d)z?a?z?a?c?0(c?0) 1?az(c)12.设f(z)?1?,z1?2?3i,z2?5?i,,则f(z1?z2 )(a)?4?4i(b)4?4i(c)4?4i(d)?4?4i13.limim(z)?im(z0)() x?x0z?z0(a)等于i(b)等于?i(c)等于0(d)不存在14.函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在点z0?x0?iy0处连续的充要条件是()(a)u(x,y)在(x0,y0)处连续(b)v(x,y)在(x0,y0)处连续(c)u(x,y)和v(x,y)在(x0,y0)处连续(d)u(x,y)?v(x,y)在(x0,y0)处连续 2z2?z?115.设z?c且z?1,则函数f(z)?的最小值为() z (a)?3 (b)?2(c)?1 (d)1二、填空题1.设z?(1?i)(2?i)(3?i),则z? (3?i)(2?i)2.设z?(2?3i)(?2?i),则argz?3.设z?,arg(z?i)?3?,则z? 4(cos5??isin5?)24.复数的指数表示式为 2(cos3??isin3?)5.以方程z?7?i的根的对应点为顶点的多边形的面积为6.不等式z?2?z?2?5所表示的区域是曲线的内部 67.方程2z?1?i?1所表示曲线的直角坐标方程为2?(1?i)z8.方程z?1?2i?z?2?i所表示的曲线是连续点和的线段的垂直平分线9.对于映射??2i22,圆周x?(y?1)?1的像曲线为 z410.lim(1?z?2z)? z?1?i三、若复数z满足z?(1?2i)z?(1?2i)?3?0,试求z?2的取值范围.四、设a?0,在复数集c中解方程z2?2z?a.五、设复数z??i,试证z是实数的充要条件为z?1或im(z)?0. 21?z3六、对于映射??11(z?),求出圆周z?4的像. 2z七、试证1.z1?0(z2?0)的充要条件为z1?z2?z1?z2; z2z1?0(zj?0,k?j,k,j?1,2,?,n))的充要条件为 z22.z1?z2???zn?z1?z2???zn.八、若limf(z)?a?0,则存在??0,使得当0?z?z0??时有f(z)?x?x01a. 2九、设z?x?iy,试证x?y2?z?x?y.十、设z?x?iy,试讨论下列函数的连续性: ?2xy,z?0?1.f(z)??x2?y2 ?0,z?0??x3y?,z?02.f(z)??x2?y2.?0,z?0?第二章解析函数一、选择题:1.函数f(z)?3z在点z?0处是( )(a)解析的(b)可导的(c)不可导的(d)既不解析也不可导2.函数f(z)在点z可导是f(z)在点z解析的( )4 2(a)充分不必要条件(b)必要不充分条件(c)充分必要条件(d)既非充分条件也非必要条件3.下列命题中,正确的是( )(a)设x,y为实数,则cos(x?iy)?1(b)若z0是函数f(z)的奇点,则f(z)在点z0不可导(c)若u,v在区域d内满足柯西-黎曼方程,则f(z)?u?iv在d内解析(d)若f(z)在区域d内解析,则在d内也解析4.下列函数中,为解析函数的是( )(a)x2?y2?2xyi(b)x2?xyi(c)2(x?1)y?i(y2?z?x20?2x)(d)x3?iy35.函数f(z)?z2im(z)在处的导数( )(a)等于0 (b)等于1 (c)等于?1(d)不存在6.若函数f(z)?x2?2xy?y2?i(y2?axy?x2)在复平面内处处解析,那么实常数a?( )(a)0(b)1(c)2(d)?27.如果f?(z)在单位圆z?1内处处为零,且f(0)??1,那么在z?1内f(z)?( )(a)0(b)1(c)?1(d)任意常数8.设函数f(z)在区域d内有定义,则下列命题中,正确的是(a)若f(z)在d内是一常数,则f(z)在d内是一常数(b)若re(f(z))在d内是一常数,则f(z)在d内是一常数(c)若f(z)与f(z)在d内解析,则f(z)在d内是一常数(d)若argf(z)在d内是一常数,则f(z)在d内是一常数9.设f(z)?x2?iy2,则f?(1?i)?( )5【篇三:大学复变函数考试卷试题及答案】ss=txt>?z2?,z?01.设f?z???z,则f?z?的连续点集合为()。
复变函数试题及答案
复变函数试题及答案一、选择题(每题4分,共40分)1. 下列哪个函数在全平面上是解析的?A. f(z) = |z|^2B. f(z) = e^zC. f(z) = ln(z)D. f(z) = 1/z答案:B2. 设f(z) = u(x, y) + iv(x, y)是解析函数,其中u(x, y)和v(x, y)是实函数。
下列哪个条件是解析函数的充分必要条件?A. u满足柯西-黎曼方程B. v满足柯西-黎曼方程C. u和v满足柯西-黎曼方程D. u和v的一阶偏导数满足柯西-黎曼方程答案:C3. 设f(z) = u(r, θ)是解析函数,其中r和θ是极坐标系下的变量。
下列哪个条件是解析函数的充分必要条件?A. u满足极坐标下的柯西-黎曼方程B. f(z)在全平面上是解析的C. f(z)在圆心附近是解析的D. f(z)在正实轴上是解析的答案:A4. 设f(z) = u(x, y) + iv(x, y)是解析函数,其中u(x, y)和v(x, y)是实函数。
若u和v满足柯西-黎曼方程,则A. f(z)在全平面上是解析的B. f(z)在实轴上是解析的C. f(z)在虚轴上是解析的D. f(z)在解析的那部分上满足柯西-黎曼方程答案:A5. 设f(z) = u(x, y) + iv(x, y)是解析函数,其中u(x, y)和v(x, y)是实函数。
若f(z)在实轴上是解析的,则A. u(x, y)在全平面上是解析的B. v(x, y)在全平面上是解析的C. u(x, y)和v(x, y)满足柯西-黎曼方程D. u(x, y)和v(x, y)处处可微分答案:C二、填空题(每空5分,共30分)1. 若f(z) = x^2 - y^2 + 2xyi是解析函数,则它的共轭函数为________。
答案:f*(z) = x^2 - y^2 - 2xyi2. 设f(z) = u(x, y)是解析函数,且满足柯西-黎曼方程的实部形式,则函数f(z)可表示为f(z) = ________。
《复变函数》考试试题与答案各种总结
《复变函数》考试试题(一)一、 判断题(20分):1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导,则函数f(z)在z 0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )3.若}{n z 收敛,则} {Re n z 与} {Im n z 都收敛. ( )4.若f(z)在区域D 内解析,且0)('≡z f ,则C z f ≡)((常数). ( )5.若函数f(z)在z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )6.若z 0是)(z f 的m 阶零点,则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )7.若)(lim 0z f z z →存在且有限,则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( )8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数,则)(0)('D z z f ∈∀≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C0)(=⎰Cdz z f .( )10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数,则f(z)在区域D 内恒等于常数.( ) 二.填空题(20分)1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________.(n 为自然数)2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ,则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析,则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ,则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz e s ________,其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点,则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题(40分):1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ,求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2,其中}3|:|{==z z C ,试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明:如果|)(|z f 在D 内为常数,那么它在D 内为常数. 2. 试证: ()(1)f z z z =-在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题(一)参考答案一. 判断题1.×2.√ 3.√ 4.√ 5.√ 6.√ 7.×8.×9.×10.× 二.填空题 1. 2101i n n π=⎧⎨≠⎩; 2. 1; 3. 2k π,()k z ∈; 4. z i =±; 5. 16. 整函数;7. ξ;8. 1(1)!n -; 9. 0; 10. ∞.三.计算题.1. 解 因为01,z << 所以01z <<111()(1)(2)12(1)2f z z z z z ==-----001()22nn n n z z ∞∞===-∑∑.2. 解 因为22212Re ()limlim 1cos sin z z z z s f z z z ππππ→→=+===--, 22212Re ()limlim 1cos sin z z z z s f z z zππππ→-→-=--===-. 所以22212(Re ()Re ()0cos z z z dz i s f z s f z z πππ==-==+=⎰. 3. 解 令2()371ϕλλλ=++, 则它在z 平面解析, 由柯西公式有在3z <内, ()()2()c f z dz i z z ϕλπϕλ==-⎰.所以1(1)2()2(136)2(613)z i f i i z i i i πϕππ=+''+==+=-+. 4. 解 令z a bi =+, 则 222222122(1)2(1)211111(1)(1)(1)z a b i a b w z z a b a b a b -+-+==-=-=-+++++++++. 故 2212(1)Re()11(1)z a z a b -+=-+++, 2212Im()1(1)z bz a b -=+++. 四. 证明题.1. 证明 设在D 内()f z C =. 令2222(),()f z u iv f z u v c =+=+=则.两边分别对,x y 求偏导数, 得 0(1)0(2)x x y y uu vv uu vv +=⎧⎨+=⎩因为函数在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-. 代入 (2) 则上述方程组变为x x x x uu vv vu uv +=⎧⎨-=⎩. 消去x u 得, 22()0x u v v +=. 1) 若220u v +=, 则 ()0f z = 为常数.2) 若0x v =, 由方程 (1) (2) 及 ..C R -方程有0,x u = 0y u =, 0y v =. 所以12,u c v c ==. (12,c c 为常数).所以12()f z c ic =+为常数. 2. 证明()(1)f z z z =-的支点为0,1z =. 于是割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内变点就不可能单绕0或1转一周, 故能分出两个单值解析分支.由于当z 从支割线上岸一点出发,连续变动到0,1z = 时, 只有z 的幅角增加π. 所以()(1)f z z z =-的幅角共增加2π. 由已知所取分支在支割线上岸取正值, 于是可认为该分支在上岸之幅角为0, 因而此分支在1z =-的幅角为2π, 故2(1)22i f e i π-==.《复变函数》考试试题(二)一. 判断题.(20分)1. 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续,则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续. ( )2. cos z 与sin z 在复平面内有界. ( )3. 若函数f (z )在z 0解析,则f (z )在z 0连续. ( )4. 有界整函数必为常数. ( )5. 如z 0是函数f (z )的本性奇点,则)(lim 0z f z z →一定不存在. ( )6. 若函数f (z )在z 0可导,则f (z )在z 0解析. ( )7. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .( )8. 若数列}{n z 收敛,则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析,则|f (z )|也在D 内解析. ( )10. 存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f . ( )二. 填空题. (20分)1. 设i z -=,则____,arg __,||===z z z2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222,则=+→)(lim 1z f i z ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.(n 为自然数)4. 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0,则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设211)(zz f +=,则)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz .三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支,并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z=处的值.3. 计算积分:⎰-=iiz z Id ||,积分路径为(1)单位圆(1||=z )的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析,试证:f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题(二)参考答案一. 判断题.1.√ 2.×3.√ 4.√ 5.×6.×7.×8.√ 9.×10.×. 二. 填空题1.1,2π-, i ; 2. 3(1sin 2)i +-; 3. 2101i n n π=⎧⎨≠⎩; 4. 1; 5. 1m -.6. 2k i π,()k z ∈.7. 0;8. i ±;9. R ; 10. 0. 三. 计算题1. 解 3212163300(1)(2)(1)2sin(2)(21)!(21)!n n n n n n n z z z n n +++∞∞==--==++∑∑. 2. 解 令i z re θ=. 则22(),(0,1)k if z z rek θπ+===.又因为在正实轴去正实值,所以0k =.所以4()if i eπ=.3. 单位圆的右半圆周为i z e θ=, 22ππθ-≤≤.所以22222ii i iz dz de ei ππθθππ---===⎰⎰.4. 解dz z zz ⎰=-22)2(sin π2)(sin 2ππ='=z z i 2cos 2ππ==z zi =0.四. 证明题.1. 证明 (必要性) 令12()f z c ic =+,则12()f z c ic =-. (12,c c 为实常数). 令12(,),(,)u x y c v x y c ==-. 则0x y y x u v u v ====. 即,u v 满足..C R -, 且,,,x y y x u v u v 连续, 故()f z 在D 内解析. (充分性) 令()f z u iv =+, 则 ()f z u iv =-, 因为()f z 与()f z 在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-, 且(),()x y y y x x u v v u v v =-=-=--=-.比较等式两边得 0x y y x u v u v ====. 从而在D 内,u v 均为常数,故()f z 在D 内为常数. 2. 即要证“任一 n 次方程 101100(0)nn n n a z a z a z a a --++⋅⋅⋅++=≠ 有且只有 n 个根”.证明 令1011()0nn n n f z a z a z a z a --=++⋅⋅⋅++=, 取10max ,1n a a R a ⎧⎫+⋅⋅⋅+⎪⎪>⎨⎬⎪⎪⎩⎭, 当z 在:C z R =上时, 有 111110()()n n nn n n z a R a R a a a R a R ϕ---≤+⋅⋅⋅++<+⋅⋅⋅+<.()f z =.由儒歇定理知在圆 z R < 内, 方程10110n n n n a z a z a z a --++⋅⋅⋅++= 与 00n a z = 有相同个数的根. 而 00n a z = 在 z R < 内有一个 n 重根 0z =. 因此n 次方程在z R < 内有n 个根.《复变函数》考试试题(三)一. 判断题. (20分).1. cos z 与sin z 的周期均为πk2. ( ) 2. 若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析. ( )3. 若函数f (z )在z 0处解析,则f (z )在z 0连续. ( )4. 若数列}{n z 收敛,则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )5. 若函数f (z )是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数,则数f (z )在区域D 内为常数. ( )6. 若函数f (z )在z 0解析,则f (z )在z 0的某个邻域内可导. ( )7. 如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f . ( )8. 若函数f (z )在z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.( ) 9. 若z 0是)(z f 的m 阶零点, 则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 10. 若0z 是)(z f 的可去奇点,则0)),((Res 0=z z f . ( )二. 填空题. (20分)1. 设11)(2+=z z f ,则f (z )的定义域为___________.2. 函数e z 的周期为_________.3. 若n n n i n n z )11(12++-+=,则=∞→n z n lim __________. 4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.(n 为自然数) 6. 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ,则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=ze,则___=z .9. 若0z 是)(z f 的极点,则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =nzze . 三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn n z nn ∑+∞=!的收敛半径.3. 算下列积分:⎰-C z z z ze )9(d 22,其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明:如果|)(|z f 在D 内为常数,那么它在D 内为常数. 2. 设)(z f 是一整函数,并且假定存在着一个正整数n ,以及两个正数R 及M ,使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤,证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。
(完整版)复变函数试题及答案
2、计算积分
5z 2 z 2 z( z 1)2 dz
3、将函数 f z z 1 在 z 1的邻域内展成泰勒级数 , 并指出收敛范围 z1
x2
4、计算实积分 I= 0
(x2
1)( x 2
dx 4)
5、求 f ( z)
1 1 z2 在指定圆环 2
zi
内的洛朗展式
6、求将上半平面 Im z 0 共形映射成单位圆 w 1的分式线性变换
I=
1 2
(x2
x2 1)( x 2
dx 4)
= 1 2 i Re s f ( z) Resf (z)
2
zi
z 2i
z2
=i (z
i )( z2
4) z i
z2 ( z2 1)( z 2i ) z 2i
= 6
5 解: f ( z)
1
( z i)( z i )
1
1
=
2
(z i) 1
2i
zi
= 6 解:
1
(z
i)2
n
(
0
1) n
(2i )n (z i )n
w =L(i)=k z i zi
2i
w
k (z
i)2
2 zi
-3 -
6分
…4 分 …6分 …1 分 …2 分 …3 分 …5 分 …6 分 …1 分 …3 分
…6 分 2分
…3 分
____________________________________________________________________________________________________________
w L z ,使符合条件 L i 0 , L i 0
大学数学复变函数练习题及答案
大学数学复变函数练习题及答案1. 解析函数(1)求函数 $f(z)=|z|^2+z^3$ 的实部和虚部。
解:设 $z=x+yi$,其中 $x,y \in \mathbb{R}$,则有$f(z)=|z|^2+z^3=(x^2+y^2)+(x+yi)^3=(x^2+y^2)+(x^3-3xy^2+i(3x^2y-y^3))$则实部为$u(x,y)=x^3-3xy^2+x^2+y^2$,虚部为$v(x,y)=3x^2y-y^3$。
(2)求函数 $f(z)=xe^z$ 的实部和虚部。
解:设 $z=x+yi$,其中 $x,y \in \mathbb{R}$,则有$f(z)=xe^z=x(e^x \cos y + i e^x \sin y)$则实部为 $u(x,y)=x e^x \cos y$,虚部为 $v(x,y)=x e^x \sin y$。
2. 应用题(1)一个圆盘的温度分布表示为 $u(r,\theta)=r^2(1-\cos \theta)$其中 $r$ 表示距离圆心的半径,$\theta$ 表示与 $x$ 轴的夹角。
求圆盘表面的温度分布。
解:由题意可知,圆盘的温度分布是一个解析函数,且满足实部和虚部均为调和函数的条件。
而根据复变函数理论,解析函数的等温线一定是亚纯函数的对数螺旋线。
由此,圆盘表面的温度分布可以表示为$f(z)=|z|^2(1-\cos(\arg(z)))$,其中 $z=re^{i\theta}$。
(2)已知 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 为解析函数,其中 $u(x,y)$ 和$v(x,y)$ 均为连续可微函数。
试证明:当且仅当 $u_x=v_y$ 和 $u_y=-v_x$ 时,$f(z)$ 为调和函数。
证明:设函数 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 为解析函数,则满足柯西-黎曼方程 $\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$ 和$\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$。
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单项选择题:
以下各题只有一个正确答案,请将它选择出来(4分/题)。
1. ( 1 + i )10 = ( C )。
A. 1024
B. 1024i
C. 32i
D. 32
2. 若函数13)(+=z z
z f ,则其导数等于 ( D )。
A.
()
2
133+z z
B.
()
2
13+z z
C.
()
2
131
2++z z D.
()
2
131
+z
3. 以下函数中,只有( D) 不是全复平面上解析的函数。
A. e z B. cos z C. z 3 D. Ln z
4. 对于复积分⎰c
dz z f )(,若曲线C 的参数方程为z (t ) = x (t ) + i y (t ) (a ≤ t ≤ b ) ,
则此复积分可化为如下( B)中的普通定积分。
A. ⎰
b
a
dt t z t z f )())(( B.
⎰
'b
a
dt t z t z f )())((
C.
⎰
b
a
dt t z t f )()(
D.
⎰
'b
a
dt t z t f )()(
5. 复积分⎰==-2z dz i
z z
( C )。
A. –2πi
B. 2πi
C. –2π
D. 2π
6. 复积分⎰==-12
1
2z dz z z (D )。
A. 4πi
B. 2πi
C. πi
D. 0
7. 下列序列中,存在极限的是( A )。
A. n n n i n n z !=
B. n i z n n 1+=
C. n
n z z z ⎪⎭
⎫ ⎝⎛= D. i z n n 2=
8. 下列级数中,绝对收敛的是( B)。
A. ()
∑∞
=+0
1n n
i B.
∑
∞
=1
!n n
n i C. ∑
∞
=⎪⎭⎫ ⎝⎛+0
2
1
n n n i D.
∑
∞
=1
n n
n
i
9. 下列幂级数中,收敛半径不等于1的是(D )。
A.
∑∞
=-1
1
n n z
n B.
∑
∞
=1
n n
n z C.
∑
∞
=-1
)1(n n
n
z D. n
n n z n ∑
∞
=-1
!
)1(
10. 以下说法中,正确的是(A )。
A. 函数在一点解析的充分必要条件是它在这点的邻域内可以展开为幂级数
B. 求幂级数收敛半径的方法有比值法、根值法和代换法
C. 收敛幂级数的和函数不一定是解析函数
D. 洛朗级数不包含负次幂项,而泰勒级数包含负次幂项
11. 若|z | < 1,则=++++ 321z z z ( C)。
A. z
z -1 B.
z
z +1 C.
z
-11 D.
z
+11
12. 函数cos(2z ) 在z = 0处的泰勒展开式为( B )。
A.
()+∞<+-+-=-∑
∞
=z z z z n z n n n
,
!
62!42!221!)2(216
40
22
B.
()
+∞<+-+-=-∑∞
=z z z z n z n n n
,!
664!416!241!)2()2(16
4022
C.
()+∞<+-+-=+-∑
∞
=+z z z z z n z n n n
,
!
72!52!322!)12(217
50312
D. ()+∞<+-+-=+-∑
∞=+z z z z z n z n n n
,
!
7128!532!382!)12()2(17
50
312
13. 函数z
e z 12在圆环域0 < |z | < ∞ 内的洛朗展开式为( D )。
A.
,!
4!3!21!)2(2
+++=+∑
∞
=z z n z n n B.
,!
4!3!21!)2(2
10
+++=+--∞
=-∑
z z n z n n C.
,!
4!3!21!)2(22
1
2 +++++=+∑
∞
-=--z z z z n z n n D.
,!
4!3!21!)2(212
2
+++++=+--∞
-=-∑
z z z z n z n n
14. 以下关于函数)2)(1(1
)(--=z z z f 的说法中,正确的是( C )。
A. 它在圆环域0 < |z | < 1内的展开式是
∑
∞
=+0
1
2n n n
z B. 它在圆环域0 < |z | < 1内的展开式是∑
∑
∞
=∞
=+--
1
1
12
n n n n n
z z
C. 它在圆环域0 < |z – 1| < 1内的展开式是∑
∞
=---
1)1(n n z
D. 它在圆环域0 < |z – 1| < 1内的展开式是∑
∞
=+⎪⎭
⎫ ⎝⎛-0
2
11n n z
15. 将函数)0,(1
)(≠+=
b a b
z a z f 在z = 0处进行泰勒展开,则收敛区域为 ( B)。
A. |z | < |a /b | B. |z | < |b /a | C. |z | > |a /b | D. |z | > |b /a |
16. 以下说法中不正确的是( B )。
A. 一个不恒为零的解析函数的奇点是孤立的
B. 一个不恒为零的解析函数的零点是孤立的
C. 函数在其可去奇点的留数等于零
D. f (z )在其孤立奇点z 0处的洛朗展开式中负一次幂项的系数就是f (z )在z 0的留数
17. 关于函数21
11sin )(z
z z f +-=的孤立奇点,以下说法正确的是 ( D )。
A. z = 0是可去奇点
B. z = 0是单阶极点
C. z = 1是单阶极点
D. z = 1是本性奇点
18. 以下函数中,z = 0不是其二阶极点的是 ( C )。
A. 4cos 1z z -
B. 2
-z C. )
2(12
2++z z z D. 2)(sin z z
19. 留数=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-0,1Re z e s z (B )。
A. 1 B. 0 C. e D. –1
20. 留数=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2,)2)(2(Re 2
3
z z z s ( C)。
A. –1 B. –0.5 C. 0.5 D. 1
21. 留数=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-2,)2)(2(Re 2
3
z z z s ( D )。
A. –3.5 B. 3.5 C. 2.5 D. –2.5
22. 留数=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
0,1sin Re 2z z s ( A )。
A. –1/6
B. 1/3
C. –1/2
D. 1/120
23. 函数w = i z 2在z = i 处的伸缩率为 (C )。
A. –2 B. 0 C. 2 D. 1
24. 下列映射中,能将z =1映射为w = ∞ 的分式线性映射是 ( B )。
A. z
w 1
= B. 1-=z z w C. z i w )1(+= D. i z i z w +-=22
25. 下列映射中,能将一、三象限的角平分线y = x 映射为虚轴的分式线性映射是 ( C )。
A. z
w 1
= B. 1-=z z w C. z i w )1(+= D. i z i z w +-=22。