初等数学解题研究(1)解析

第二章数学思想方法第一节猜证结合思想（1）授课内容：1、数学思想、数学方法及数学思想方法；2、五种基本的数学思想系统及形成；3、数学思想与数学问题解决4、猜证结合思想：1.1基本观点及解题策略；1.2证明推理与基本方法；(1)综合法与分析法。

重难点：1、猜证结合思想：1.1基本观点及解题策略；1.2证明推理与基本方法；（1）综合法与分析法。

讲授方法和手段、讲授、讨论，边讲边练相结合。

一、基本概念：1、数学思想：是数学的基本观点，是对数学概念，原理、方法、发现法则的本质的认识。

对于解题而言，数学思想就是解题策略，它能沟通问题与知识及方法间的联系，调节解题，是解题的指导思想，属于策略性知识。

2、数学方法：是为了解决问题而采用的手段，步骤和程序，属于过程性知识。

由于数学思想常常表现为数学方法的形成（即以数学方法的形式表现出来），所以通常把二者称为：数学思想方法。

3、五种基本的数学思想（中学数学思想）：在数学的发展史上，形成了许多重要的数学思想，如：公理化思想；符号化思想，极限思想，固本思想等，但在中学主要学习下面五种数学思想：中学五中主要数学思想：1、猜证结合思想；2、分类与分步思想；3、化归思想；4、数形结合思想；5、函数与议程思想。

我们学习五种数学思想的目标是：在头脑中主动的建构“五种数学思想系统，使自己的数学思想方法达到“系统化”和“明确化”。

二、第一节猜证结合思想1、推理的两种形式：（1）似真推理：归纳人推理与类比推理叫似真推理。

归纳推理：由个别的、特殊的结论，通过观察、实验分析，比较等手段，概括出一般性的结论。

这种推理叫∽。

类比推理：由特殊到特殊或由一般到一般的推理叫类比推理。

由归纳推理或类比推理得到的结论不一定正确。

∴叫似真推理。

但，似真推理是创造性的逻辑推理。

（2）证明推理：演绎推理叫证明推理，即：由一般原理推出个别的，特殊的结论的推理方法。

证明推理所得出的结论都是正确的。

总结上面内容我们得出：注两种推理：（1）似真推理（数学猜想）：⎧⎨⎩归纳:特殊到一般类比:特殊到特殊或者一般到一般（2）证明推理：演绎：一般到特殊2、猜证结合思想2.1 基本观点与解题策略（1）数学猜想：似真推理就叫数学猜想。

我们的推理应该结合猜想与证明两种策略同时进行。

靠猜想去发现，靠证明去反驳或证实发现。

这就是所谓的猜证结合思想。

（2）猜证结合思想：在问题解决时，要把猜想与证明两种策略综合运用，靠猜想去发现，靠证明去反驳或证实发现，使之互补优缺，这种思想叫猜证结合思想。

下面用几个例子来说明猜证结合思想的应用。

例：椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率12e =，A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个端点，则∠ABF= 。

（A ）30°（B ）60°（C ）90°（D ）120°解：应用猜证结合的思想：考察极端，在四个选中，90°是一个极端情形，先猜想∠ABF=90°（于是只须证明：1AB BF k k ⋅=-即可）。

∵221()1AB BF b b c a c a k k e a c ac a c e -⋅=⋅-=-=-=-=-.（注：椭圆c e a=） ∴∠ABF=90°，选C本题目如果用“证明方法”计算结果，是很麻烦的：解：在△ABF 中，由余弦定理得：222222222222222)()(·2cos b a a c ac a b a a c a a b a BF AB AF BF AB ABF +--=++-++=-+=∠22= ∵2222[1()]c c a ac c a a a --=--222211(1)[1()]022a e e a -=--=--= ∴0cos =∠ABF .∴︒=∠90ABF .∴选C显然用“证明”的方法做，计算量大，且思路容易受阻。

而“猜证结合”则思路清晰，计算量小。

例：定义在（－∞,+∞）上的偶函数f(x)满足：(1)()f x f x +=-，且[1,0]-且在是增数,()f x 下面关于的判断正确的是 .（1）f(x)是周期数函数；（2）f(x)的图象关于直线x=1对称；（3）f(x)在[0,1]上是增函数；（4）f(x)在[1,2]上是减函数；（5）f(x)=f(0).解：（考虑类比推理：在我们学过的偶函数中，有那些函数满足题目的条件：cos y x =）把f(x)类比成cosx ，把“1”类比成“π” ，显然函数cos y x =满足题目的全部已知：在[－π,0]增，且)()(x f x f -=+π而余弦函数cos y x =具有下列性质：是以T =2π的周期函数，——①满足 关于直线x=π对称，——②满足 在[－a ，π]是增函数——③不满足 在[π，2π]是减函数——④不满足 在0cos 2cos =π ——⑤满足∴通过类比①②⑤对.例：已知1121,4n n n a q a a a +-==-（n=1,2…），求数列{a n }的通项公式。

分析：用“猜证结合”证明.解：当1n =时，12131a ==-； 当2n =时，272333a ==-； 当3n =时，132355n a ==- …… 猜想：23()21n a n N n =-∈-.（第一步完成，下面用数学归纳法证明）证明：当1n =时23()21n a n N n =-∈-成立；假设当n k =时成立，当1n k =+时1291122244(3)421k k k k a a a a k +-==-=------21221k k -=++232(1)1k =-+-.3证明推理与基本方法证明推理就是演绎推理，即由一般推出特殊，所以证明推理的方法统称为演绎法。

本节我们要弄清证明推理的三个问题：（1）证明的意义和要素；（2）证明的规则；（3）有几种基本的证明方法。

3.1证明的意义和要素：数学证明就是用一些真命题来确定某个命题的真假性的思维形式（或推理过程）。

（这就是证明的意义）从结构上看：数学证明有三个要素：（1）论题（要确定真假性的那个命题）；（2）论据（被用来作为证明的充足理由，它包括题目的已知，公式、定理及其他真命题）；（3）论证，论证不但要符合逻辑（注：论证过程要符合逻辑的推理过程，而逻辑规律有四条：逻辑规律有四条：（1o）同一律：A是A（即：每一个概念在同一时间和同一关系下，应该是确定不变的，即：在同一讨论过程中，每个概念都应当按照同一的意义来使用，而不能忽而这样，忽而那样）。

（2o）矛盾律：A不是非A（在推理或讨论的过程中，在同一时间，同一关系下，不能对同一对象作出两个相反的论断）。

（3o）排中律：或A，或者非A（在同一讨论过程中，A和非A有且仅有一个成立，不能有第三种情形出现）B ）（B表示用来确定A（4o）充足理由律：因为有B，所以有A，（即由A真的一个或几个判断）；3.2 数学证明的规则：数学证明还要符合下面三条规则。

（1）论题要明确；（2）论据要真实；（3）论据不能靠论题来证明。

（注：论题的真实性是靠论据来证明的，如果论据的真实性又要靠论题来证明，那么实际上什么也没有证明，违反这条规则的逻辑错误，叫做循环论证。

）讨论：下面证明错误在哪里：例5：在Rt △ABC 中，C=90°，求证222c b a =+证明：∵1cos sin 22=+A A 又∵sin ,a c A =cos b c A = ∴A A c b a 22222cos sin +=+2222)cos (sin c A A c =+= 注：这个证明是错误的，∵证明过程中的证据是1cos sin 22=+A A ，论题是：222c b a =+，而证据1cos sin 22=+A A 是由论题222c b a =+推出的。

因此在证明：222c b a =+时不能以1cos sin 22=+A A 为证据来证明222c b a =+。

3.3 有几种最常用的证明方法：（1）综合法与分析法综合法：由问题的已知或已知的真命题出发，一步一步推出问题的结果的证明方法叫∽。

（执因导果）例1：已知a 、b ∈R +，且a ≠b ，求证a 3+b 3＞a 2b +ab 2证明（综合法）：a 、b ∈R +，且a ≠b ，∴0a b +>，∴2()0a b ->， ∴（a +b ）（a －b ）2＞0，∴（a 2－b 2）（a －b ）＞0，∴a 3+b 3－a 2b －ab 2＞0，∴a 3+b 3＞a 2b +ab 2.分析法：由问题的论证结论出发，步步寻求结果成立的充分条件，直至这个充分条件已经具备，至此问题获解，（执果索因）（或称倒溯法） 例：证明：213≤-+-x x （13≤≤x ）证明（分析法）：31≤≤x .∴03≥-x 、01≥-x 要使213≤-+-x x ，只要4)13(2≤-+-x x 只要：4)1)(3(213≤--+-+-x x x x 只要：1)1)(3(≤--x x只要：2440x x -+≥，即：2(2)0x -≥显然2(2)0x -≥成立. 所以原不等式成立.A BC注：应用分析法时，必须“下一步是上一步的充分条件”，即由“下一步”能推出“上一步”。

分析法是“执果索因”，这有利于寻找证题思路；而综合法是“执因索果”，其优点是：书写证明过程清晰简洁.因此常把分析法与综合法结合起来应用：用分析法寻找证题思路；用综合法书写证明过程.例：若,,a b c R +∈，证明：222a b c ++≥分析（用分析法寻找证题思路）要证结论成立→22a b ≥≥2c ≥，但事实上这三个不等式不可能成立，看第一个不等式：把a 固定，而b 没有限制可以无限增大，因此不成立.此思路错误.考虑证明：222a b +≥，（用分析法寻找此不等式的证题思路）：要证222a b +≥→222233()()()()0a b a b ab a a b b b a +≥+→-+-≥ 33222()()0()()0a b a b a ab b a b →--≥→++-≥最后一个不等式显然成立，到此证题思路就完全清楚了. （用综合法书写证题过程）：证明：因为,,a b c R +∈，所以：222()0,()0,a ab b a b ++≥-≥222()()0a ab b a b ∴++-≥，所以33()()0a b a b --≥，所以33()()0a a b b b a -+-≥，所以33()()0a a b b b a -+-≥，所以2222()()a b a b ab +≥+，所以222a b +≥. 同理2222,22b c a c ++≥≥，三式相加可得原不等式成立.分析综合法：把分析法和综合法同时使用的证题方法叫分析综合法.例. 在ABC ∆中，,,a b c 分别是三个内角,,A B C 的三条对边.证明：若,,a b c 成等差数列，则cot ,cot ,cot 222A B C 也成成等差数列.分析：应用分析综合法：解. 由,,a b c 成等差数列得a b b a -=-，（把“边换成角”：）sin sin sin sin A B B C ∴-=-（结合所证结论中是半角，应用和差化积，化为半角） 2cos sin 2cos sin 2222A B A B B C B C +-+-=，∴2sin sin 2sin sin 2222C A B A B C --= (上面推出的最后一个等式，而无法再进行下去了，下面再用分析法寻找证题思路)， 要证：cot,cot ,cot 222A B C 也成成等差数列， 只须证明：cos cos cos cos 2222sin sin sin sin 2222A B B C A B B C -=- , 只须证: cos sin cos sin cos sin cos sin 22222222sin sin sin sin 2222A B B A B C C B A B B C --=⋅⋅, 即: sin sin 22sin sin 22B AC B A C --= 只须: sin sin sin sin 2222C B A A B C --⋅=⋅, 此等式成立.作业：P 157：1、2第一节 猜证结合思想（2）授课内容：1、（1、4）比较法；（1）叠合比较法；（2）割法，补法和比法；（3）作差法，作比较，取函数法。