图论讲义第3章-匹配问题

第三章 匹配理论

§3.1 匹配与最大匹配

定义3.1.1 设G 是一个图, )(G E M ⊆，满足:对i e ∀,M e j ∈，i e 与j e 在G 中不相邻，则称M 是G 的一个匹配。对匹配M 中每条边uv e =，其两端点 u 和 v 称为被匹配M 所匹配，而 u 和 v 都称为是M 饱和的(saturated vertex )。

注:每个顶点要么未被M 饱和, 要么仅被M 中一条边饱和。

定义3.1.2 设M 是G 的一个匹配, 若G 中无匹配M ′, 使得||||M M >′, 则称M 是G 的一个最大匹配；如果G 中每个点都是M 饱和的, 则称M 是G 的完美匹配(Perfect matching ).

显然, 完美匹配必是最大匹配。

例如，在下图G 1中，边集{e 1}、{e 1,e 2}、{e 1,e 2,e 3}都构成匹配，{e 1,e 2,e 3}是G 1的一个最大匹配。在 G 2中，边集{e 1,e 2,e 3,e 4}是一个完美匹配，也是一个最大匹配。

定义3.1.3 设M 是G 的一个匹配, G 的M 交错路是指其边M 和M G E \)(中交替出现的路。如果G 的一条M 交错路(alternating path)的起点和终点都是M 非饱和的，则称其为一条M 可扩展路或M 增广路(augmenting path)。

定理 3.1.1(Berge,1957) 图G 的匹配M 是最大匹配的充要条件是G 中不存在M 可扩展路。 证明:必要性:设M 是G 的一个最大匹配。如果G 中存在一个M 可扩展路P ,则将P 上所有不属于M 的边构成集合M ′。显然M ′也是G 的一个匹配且比M 多一条边。这与M 是最大匹配相矛盾。

充分性:设G 中不存在M 可扩展路。若匹配M 不是最大匹配，则存在另一匹配M ′,使

||||M M >′. 令

][M M G H ′⊕=，(M M M M M M ′−′=′⊕∩∪称为对称差)。

则H 中每个顶点的度非1即2(这是因为一个顶点最多只与M 的一条边及M ′的一条边相关联)。故H 的每个连通分支要么是M 的边与M ′的边交替出现的一个偶长度圈，要么是M 的边与M ′的边交替出现的一条路。

由于||||M M >′，H 的边中M ′的边多于M 的边，故必有H 的某个连通分支是一条路，且始于M ′的边又终止于M ′的边。这条路是一条M 可扩展路。这与条件矛盾。 证毕。

§3.2 完美匹配

定义3.2.1 图G 的奇分支：G 的含有奇数个顶点的连通分支。用)(G O 表示G 的奇分支的个数。 定理3.2.1 (Tutte,1947) 图G 有完美匹配的充分必要条件是对)(G V S ⊂∀，||)\(S S G O ≤。 证明（Lovász,1973）必要性：设图G 有完美匹配M 。对)(G V S ⊂∀，若S G \无奇分支，则

0)\(=S G O ；否则，设k G G G ,,,21 是S G \的所有奇分支。注意每个i G 中至少有一个顶

点i u 在M 下与S 中的某个顶点i v 配对（k i ,,2,1 =），（因i G 是奇分支，M 是完美匹配）。故S v v v k S G O k ≤==|},,,{|)\(21 。

充分性（反证法）：设G 满足：对)(G V S ⊂∀，S S G O ≤)\(，但G 没有完美匹配。首先，取φ=S ，知0)(=G O ，故)(G V 是偶数。现在，给G 添加边以获得一个没有完美匹配而有尽可能多的边的图*

G 。因G 是*

G 的生成子图，故对)(G V S ⊂∀，S G \是S G \*

的生成子图，从而

S S G O S G O ≤≤)\()\(*. （*）

令 }1)(),({**

−=∈=νu d G V u u U G .

若)(*

G V U =，则*G 是偶数阶完全图，有完美匹配。这与*

G 的性质矛盾。因此，

)(*G V U ≠，可以证明，此时U G \*的每个连通分支都是完全图（记为命题Ａ，另证）。

由（*）式，U U G O ≤)\(*

，即U G −*

的奇分支个数最多是U 。但这样一来，*

G 就有一个完美匹配：

U G \*的各奇分支中的一个顶点和U 的一个顶点配对；U 中余下的顶点以及U G \*的各

分支中余下的顶点在本分支内配对（由于各分支及U 都是完全图）。

这与*

G 无完美匹配矛盾。证毕.

命题Ａ的证明：在上述充分性证明的条件下，当)(*

G V U ≠时，U G \*

的每个连通分支都是完全图。

用反证法证明：若不然，设U G \*

中某个连通分支i G 不是完全图，则3)(≥i G V 。必存在

)(,,i G V z y x ∈，使得)(,i G E yz xy ∈，且)(i G E xz ∉。由于U y ∉，故必有与y 不相邻的顶

点，即必存在),\(*

U G V w ∈ 使得)(*

G E yw ∉。

由于*

G 是不含完美匹配的极大图，所以xz G +*

和yw G +*

都含有完美匹配，分别设为1M 和

2M 。用H 表示{}yw xz G ,*∪中由21M M ⊕导出的子图。由于对)(H V u ∈∀，2)(=u d H 或

0（由1M 和2M 都是完美匹配知），故H 的每个非平凡连通分支都是其边在1M 和2M 中交替出现的偶长度圈。下分两种情形：

(1)xz 和yw 分别在H 的不同分支中。设yw 在H 的某个圈C 上，则1M 在C 上的边连同

2M 不在C 上的边构成*G 的一个完美匹配。这与*G 的选择矛盾。

情形（1）

(2)xz 和yw 在H 的同一分支Ｃ中，由x 和z 的对称性，不妨设z w y x ,,,在C 中依次出现，

并设1M 在C 的z yw 段中的边集为1

M ′，2M 在C 的z yw 段中的边集为2M ′，于是 )\(}{2

21M M yz M ′′∪∪ 是*

G 的完美匹配，又与*

G 的选择矛盾。

综合(1)、(2)两种情形，便证明了U G \*

的每个连通分支都是完全图。证毕。 推论3.2.1 (1−k )边连通偶数阶k 正则图有完美匹配 证明：设G 是命题中所述的k 正则图。

当1=k 时，结论显然。

以下假定2≥k 。设S 是G 的任一个非空顶点集，n G G G ,,,21 是S G \的奇分支。令

),(i i G V =ν e e m i |{|=是i G 与S 之间的连边|}。