图论讲义第3章-匹配问题

第三章 匹配理论§3.1 匹配与最大匹配定义3.1.1 设G 是一个图, )(G E M ⊆，满足:对i e ∀,M e j ∈，i e 与j e 在G 中不相邻，则称M 是G 的一个匹配。

对匹配M 中每条边uv e =，其两端点 u 和 v 称为被匹配M 所匹配，而 u 和 v 都称为是M 饱和的(saturated vertex )。

注:每个顶点要么未被M 饱和, 要么仅被M 中一条边饱和。

定义3.1.2 设M 是G 的一个匹配, 若G 中无匹配M ′, 使得||||M M >′, 则称M 是G 的一个最大匹配；如果G 中每个点都是M 饱和的, 则称M 是G 的完美匹配(Perfect matching ).显然, 完美匹配必是最大匹配。

例如，在下图G 1中，边集{e 1}、{e 1,e 2}、{e 1,e 2,e 3}都构成匹配，{e 1,e 2,e 3}是G 1的一个最大匹配。

在 G 2中，边集{e 1,e 2,e 3,e 4}是一个完美匹配，也是一个最大匹配。

定义3.1.3 设M 是G 的一个匹配, G 的M 交错路是指其边M 和M G E \)(中交替出现的路。

如果G 的一条M 交错路(alternating path)的起点和终点都是M 非饱和的，则称其为一条M 可扩展路或M 增广路(augmenting path)。

定理 3.1.1(Berge,1957) 图G 的匹配M 是最大匹配的充要条件是G 中不存在M 可扩展路。

证明:必要性:设M 是G 的一个最大匹配。

如果G 中存在一个M 可扩展路P ,则将P 上所有不属于M 的边构成集合M ′。

显然M ′也是G 的一个匹配且比M 多一条边。

这与M 是最大匹配相矛盾。

充分性:设G 中不存在M 可扩展路。

若匹配M 不是最大匹配，则存在另一匹配M ′,使||||M M >′. 令][M M G H ′⊕=，(M M M M M M ′−′=′⊕∩∪称为对称差)。

则H 中每个顶点的度非1即2(这是因为一个顶点最多只与M 的一条边及M ′的一条边相关联)。

故H 的每个连通分支要么是M 的边与M ′的边交替出现的一个偶长度圈，要么是M 的边与M ′的边交替出现的一条路。

由于||||M M >′，H 的边中M ′的边多于M 的边，故必有H 的某个连通分支是一条路，且始于M ′的边又终止于M ′的边。

这条路是一条M 可扩展路。

这与条件矛盾。

证毕。

§3.2 完美匹配定义3.2.1 图G 的奇分支：G 的含有奇数个顶点的连通分支。

用)(G O 表示G 的奇分支的个数。

定理3.2.1 (Tutte,1947) 图G 有完美匹配的充分必要条件是对)(G V S ⊂∀，||)\(S S G O ≤。

证明（Lovász,1973）必要性：设图G 有完美匹配M 。

对)(G V S ⊂∀，若S G \无奇分支，则0)\(=S G O ；否则，设k G G G ,,,21 是S G \的所有奇分支。

注意每个i G 中至少有一个顶点i u 在M 下与S 中的某个顶点i v 配对（k i ,,2,1 =），（因i G 是奇分支，M 是完美匹配）。

故S v v v k S G O k ≤==|},,,{|)\(21 。

充分性（反证法）：设G 满足：对)(G V S ⊂∀，S S G O ≤)\(，但G 没有完美匹配。

首先，取φ=S ，知0)(=G O ，故)(G V 是偶数。

现在，给G 添加边以获得一个没有完美匹配而有尽可能多的边的图*G 。

因G 是*G 的生成子图，故对)(G V S ⊂∀，S G \是S G \*的生成子图，从而S S G O S G O ≤≤)\()\(*. （*）令 }1)(),({**−=∈=νu d G V u u U G .若)(*G V U =，则*G 是偶数阶完全图，有完美匹配。

这与*G 的性质矛盾。

因此，)(*G V U ≠，可以证明，此时U G \*的每个连通分支都是完全图（记为命题Ａ，另证）。

由（*）式，U U G O ≤)\(*，即U G −*的奇分支个数最多是U 。

但这样一来，*G 就有一个完美匹配：U G \*的各奇分支中的一个顶点和U 的一个顶点配对；U 中余下的顶点以及U G \*的各分支中余下的顶点在本分支内配对（由于各分支及U 都是完全图）。

这与*G 无完美匹配矛盾。

证毕.命题Ａ的证明：在上述充分性证明的条件下，当)(*G V U ≠时，U G \*的每个连通分支都是完全图。

用反证法证明：若不然，设U G \*中某个连通分支i G 不是完全图，则3)(≥i G V 。

必存在)(,,i G V z y x ∈，使得)(,i G E yz xy ∈，且)(i G E xz ∉。

由于U y ∉，故必有与y 不相邻的顶点，即必存在),\(*U G V w ∈ 使得)(*G E yw ∉。

由于*G 是不含完美匹配的极大图，所以xz G +*和yw G +*都含有完美匹配，分别设为1M 和2M 。

用H 表示{}yw xz G ,*∪中由21M M ⊕导出的子图。

由于对)(H V u ∈∀，2)(=u d H 或0（由1M 和2M 都是完美匹配知），故H 的每个非平凡连通分支都是其边在1M 和2M 中交替出现的偶长度圈。

下分两种情形：(1)xz 和yw 分别在H 的不同分支中。

设yw 在H 的某个圈C 上，则1M 在C 上的边连同2M 不在C 上的边构成*G 的一个完美匹配。

这与*G 的选择矛盾。

情形（1）(2)xz 和yw 在H 的同一分支Ｃ中，由x 和z 的对称性，不妨设z w y x ,,,在C 中依次出现，并设1M 在C 的z yw 段中的边集为1M ′，2M 在C 的z yw 段中的边集为2M ′，于是 )\(}{221M M yz M ′′∪∪ 是*G 的完美匹配，又与*G 的选择矛盾。

综合(1)、(2)两种情形，便证明了U G \*的每个连通分支都是完全图。

证毕。

推论3.2.1 (1−k )边连通偶数阶k 正则图有完美匹配 证明：设G 是命题中所述的k 正则图。

当1=k 时，结论显然。

以下假定2≥k 。

设S 是G 的任一个非空顶点集，n G G G ,,,21 是S G \的奇分支。

令),(i i G V =ν e e m i |{|=是i G 与S 之间的连边|}。

由于1−≥′k κ，故1−≥k m i ,),,2,1(m i =。

若存在i从而)(G V v i dm i =∑∈。

但因1−i ν是偶这个矛盾说明k m i ≥ （),,2,1n i =故有 由Tutte 定理，G 推论 证明：设G 是2由推论3.2.1，G 有完美匹配。

证毕注：有割边的3()3O G v −=，故无完美匹配。

推论3.2.3 偶数阶完全图n K 2有12−n 个边不重的完美匹配。

证明：用平面上正12−n 边形的点代表1221,,,−n v v v ，而用其中心点代表n v 2点。

用直线段连接每个顶点对，即得n K 2。

构作匹配i M 为边n i v v 2和所有与n i v v 2垂直的边之集。

易检验每个i M 都是G 的完美匹配，且不同的i M 无公共边。

例如，按这种方法构作出K 6的两个完美匹配如下图(b)、(c)所示。

显然，n v 2关联的每条边对应这样一个完美匹配，故共有12−n 个边不重的完§3.3 二部图的匹配定理3.3.1 (Hall, 1935) 设G 是具有二划分),(Y X 的二部图，则G 有饱和X 的匹配当且仅当对X S ⊆∀，S S N ≥)(，其中)(S N 表示S 的所有邻点之集。

证明：必要性。

设G 有饱和X 的匹配M ，则对XS ⊆∀，因S 的顶点在M 下和)(S N 中顶点配对，故S S N ≥)(。

充分性：设),(Y X G =是二部图，且对X S ⊆∀，S S N ≥)(。

下用反证法。

假如G 没有饱和X 的匹配，则G 的最大匹配*M 不能饱和X 的所有顶点。

设u 是X 的一个*M 不饱和点，并设|{v A =u 到v 有*M 交错路}。

由于*M 是最大匹配，故由Berge 定理，u 是A 中唯一的*M 非饱和点。

令X A S ∩=，Y A T ∩=。

注意}{u S −中的顶点在*M 下与T 中的顶点一一配对（因S u ∈，且对T t ∈∀，u 与t 有*M交错路t P 相连，而且t 是*M 饱和的，故交错路t P 上最后一条边必是*M 的边，它将S 中一个顶点与t 配对。

而且不同的t 会有S 中不同的顶点相配，否则会有两条*M 的边关联到S 中同一顶点）。

因此1−=S T 。

(1)u(a)此外，T S N ⊇)(（因T 中顶点通过S 中顶点与u 连*M 交错路），且T S N ⊆)(（对)(S N 中每个顶点t ,设它是S 中顶点s 的邻点,从u 到s 的*M 交错路必可延伸为u 到t 的*M 交错路）。

故T S N =)( (2)由(1)、(2)知：()||1N S T S S ==−<，这与定理条件矛盾。

证毕。

推论 3.3.1 设),(Y X G =是二部图，若X 中每个顶点至少关联k 条边（)1≥k 而Y 中每个顶点至多关联k 条边，则G 中存在饱和X 的匹配。

证明：由条件知，对X S ⊆∀，S 至少关联||S k 条边。

这||S k 条边至少关联Y 中||S 个顶点。

即S S N ≥)(，由Hall 定理，G 有饱和X 的匹配。

证毕。

推论 3.3.2.(Frobenius,1917) 具有二划分),(Y X 的二部图G 有完美匹配的充分必要条件是Y X =且对X S ⊆∀（或Y ），均有|||)(|S S N ≥。

证明：显然。

推论3.3.3 (König,1916) 设G 是k 正则二部图)0(>k ，则G 有k 个边不重的完美匹配。

证明：（1）先证G 有完美匹配。

证法１：设),(Y X G =是k 正则二部图，则Y k G E X k ==)(，因0>k ，故Y X =，任取X S ⊆，令=1E {G 中与S 关联的边}，=2E {G 中与N (S )关联的边}。

则21E E ⊆。

因而S k E E S N k =≥=12)(，即S S N ≥)(。

由推论3.3.2,G 有完美匹配。

证法２: 由推论3.3.1，G 中有饱和X 的匹配。

因Y X =（如前所证），故这个匹配就是完美匹配。

（2）再证G 中有k 个边不重的完美匹配（用归纳法）。

当1=k 时，显然。

设对所有k 正则二部图，结论成立。

下证对)1(+k 正则二部图G ，结论也成立。