最优化技术

1
2
3
4
图1-1
x1
x2 4 3 2 1 0 1 2 3 4
图1-2
Q2（4，2）
5
6
x1
Fra Baidu bibliotek
上例中求解得到问题的最优解是唯一 的，但对一般线性规划问题，求解结果还 可能出现以下几种情况： 1)无穷多最优解（多重解）。若将例1中的 目标函数变为求max z＝2x1＋4x2。则表示目 标函数中以参数z的这族平行直线与约束条 件x1＋2x2≤8的边界线平行。当z值由小变大 时，将与线段Q2Q3重合（见图1-3）。线段 Q2Q3上任意一点都使z取得相同的最大值， 这个线性规划问题有无穷多最优解（多重 解）。
n Px b '' j i ( M 1 ) j 1 xj 0 其中：C (c1 ,c2 , cn ) a1 j x1 b1 x a2 j b 2 2 X ; Pj ; b b a m xn mj 向量Pj 对应的决策变量是x j .
满足以上三个条件的数学模型称为线性规 划的数学模型，其一般形式为：
目标函数 max(min) z c1 x1 c2 x2 cn xn (1.3) 满足约束条件： a11 x1 a12 x2 a1n xn (, )b1 a x a x a x (, )b 21 1 22 2 2n n 2 a x a x a x (, )b (1.4) mn n m m1 1 m 2 2 (1.5) x1 , x2 , , xn 0 在线性规划的数学模型中，方程(1.3)称为目标函数； (1.4)、 (1.5)称为约束条件； (1.5)也称为变量的非 负约束条件。
x2 4
0
2
图1-4
x1
3)无可行解。如果例1的数学模型中增加一
个约束条件-2x1＋x2≥4，该问题的可行域为 空集，既无可行解，也不存在最优解。
当求解结果为2)、3)两种情况时，一般说明 线性规划问题的数学模型有错误：
– 前者缺乏必要的约束条件 – 后者是有矛盾的约束条件
建模时应注意。
从图解法中直观的见到，当线性规划问题 的可行域非空时，它是有界或无界凸多边 形
例1
某工厂在计划期内要安排生产I、II两种产品，已知生产单 位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗，如表11所示。该工厂每生产一件产品I可获利2元，每生产一件 产品II可获利3元，问如何安排生产使工厂获利最多？ I II 1 2 8台时 设备
原材料A 原材料B
设x1、x2分别表示产 品I、II的产量，该计 划问题可用数学模型 表示为：
4 0
0 4
16kg 12kg
目标函数 满足约束条件
max z 2 x1 3x2 x1＋2x2 8 4 x1 16 4 x2 12 x1、x2 0
一 概述
如上例所示问题,在一些等式或不等式约束 下,求一个目标函数的极大(或极小)的优化模 型成为数学规划. 视有无约束条件而分别称约束数学规划和 无约束数学规划. 如果目标函数和约束条件均为线性函数,则 称为线性规划.否则称为非线性规划. 如果目标函数和约束条件涉及多阶段决策 问题,则称为动态规划
简写为
max z c j x j
j 1
n
n a x b ij j i ' ( M 1 ) j 1 x 0 j
i 1, 2, j 1, 2,
,m ,n
在标准型式中规定各约束条件的右端顶bi≥0， 否则等式两端乘以“-1”。
用向量和矩阵符号表述时为： max z CX
– 若线性规划问题存在最优解，它一定在可行域 的某个顶点得到 – 若在两个顶点同时得到最优解，则它们连线上 的任意一点都是最优解，即有无穷多最优解
1.1.3 线性规划问题的标准模式
max z c1 x1 c2 x2 cn xn a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 (M1 ) a x a x a x b mn n m m1 1 m 2 2 x1 , x2 , , xn 0
x2
Q4
Q3 Q2
0
Q1
图1-3
x1
2)无界解。对下述线性规划问题
max z x1 x2 2 x1 x2 4 x1 x2 2 x1 , x2 0
用图解法求解结果见图1-4。从图中可以看 到，该问题可行域无界，目标函数值可以增 大到无穷大。称这种情况为无界解或无最优 解。
最优化技术
一 概述
在现实生活中,对某一问题的解决方案 可能有许多,人们往往需要选择最合理, 能达到事先规定的最优目标的方案,这 个方案称为最优方案,寻找最优方案的 方法成为最优化技术.
一 概述
在生产管理和经营活动中经常提出一类问 题
– 即如何合理地利用有限的人力、物力、财力等 资源，以便得到更好的经济效益。
1.1.2 图解法
图解法简单直观，有助于了解线性规划问 题的基本原理。 对上述例1进行图解，如图1-1和图1-2。
– 这说明该厂的最优生产计划方案是：生产产品I 4件，生产产品II 2件，可得最大利润为14元。
x2
x1＋2x2=8 Q4 Q3 Q2 Q1 4x1=16 4x2=12
3 2 1 0
一 概述
数学规划问题一般可描述为: 目标函数: max f(x) 或 min f(x) 约束条件: hi(x)=0 gi (x) ≥0 把所有满足约束条件的点x,称为可行点,所 有可行点的集合称为可行域.
二 线性规划
线性规划的特征是： 1. 每一个问题都用一组决策变量 (x1，x2，…，xn) 表示某一方案；这组决策变量的值就代表一个 具体方案，一般这些变量的取值是非负的。 2. 存在一定的约束条件，这些约束条件可以用一 组线性等式或线性不等式来表示。 3. 都有一个要求达到的目标，它可用决策变量的 线性函数（称为目标函数）来表示。按问题的 不同，要求目标函数实现最大化或最小化。