二次根式混合运算(经典)70806
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a2 6a
当 a 2 1 时，
2
原式= 2 1 6 2 1
22 2 16 2 6
4 2 3
课堂展示
1．计算
（1） 2 3 5
解：原式= 2 3 2 5 6 10
（3） 5 3 3 2
第一轮
（2） 80 40 5
解：原式= 80 5 40 5
80 5 40 5
解：(1) x y x y x y
= x（ x y）- （ y x y） （ x y)( x y）
(2) a 1 5 2 , 52
b= 1 5 2. 52
= x xy- yx y x-y
= x+y
x-y
当x 1 , y 1 23
时，
原式=
1
2 1
1
3 1
3 3
2 2
5.
aa－1
a
∴当a＝ 1 时， 2＋ 3
原式＝ 1 －1－(2＋ 3 )＝－1－2 3 . 2＋ 3
规范解答
解：∵a＝ 1 <1，∴a－1<0. 2＋ 3
∴ a2－2a＋1＝ a－12 ＝|a－1|＝1－a.
∴原式＝a＋1a－1 － a＋1
1－a aa－1
＝a－1＋
1 a
.
∴当a＝ 1 时， 2＋ 3
解：原式= 2 5 2 3 2 15 2 2 2 15
13 2 2
(2) 5 3 5 3
2
2
解：原式= 5 3
53
2
例3.先化简，再求值
2 a 3 a 3 a a 6 6 ，其中 a 2 1
解：原式= 2 a2 3 a2 6a 6
2a2 6 a2 6a 6
原式＝ 1 －1＋(2＋ 3)＝3. 2＋ 3
计算 ：相信自己能行
(1) ａ(ａ＋ｂ)
（4）.2x 12
(2) (x2 y xy2 ) xy
（5） x 3y2
解：（1）原式= a2 ab
（2）原式= x2 y xy xy2 xy x y
2
(3) 原式= 3 12 31 =2 （4）原式= 4x2 4x 1
二次根式的混合运算
一、借用整式乘法的法则进行二次根式混合运算。 1.整式乘法中单项式乘以多项式的法则用字母 表示为： . 2.整式乘法中多项式与多项式相乘的法则用字母 表示为
上次更新: 2020年10月14日星期三
二、套用乘法公式进行二次根式混合运算 乘法公式中平方差公式、完全平方公式用字 母如何表示？ 1、平方差公式：
(4)(7 2 2 6)(2 6 7 2)
(5)、( 7 7 3)2
(6)、( 2 3 6)2 ( 2 3 6)2
二：二次根式运算中的技巧
例4、（1）当x= 1 , y ຫໍສະໝຸດ Baidu时，求代数式
23
(2) 已知：a= 1 , b= 1
52
52
x y 的值； x y x y
, 求 a2 2ab b2 7的值
23
a2 2ab b2 7 （a-b）2 7 42 7 9 3
(4)已知x＝ 2－ 1 ，y＝ 2＋ 1 ，求 x2－y2 的值；
2＋ 1
2－ 1
x2＋y2
解：∵x＝
2－ 1 ＝(
2＋ 1
2 －1)2＝3－2
2，
y＝
2＋ 1 ＝(
2－ 1
2 ＋1)2＝3＋2 2 ，
∴x＋y＝6，x－y＝－4 2 ，xy＝1.
。 2、完全平方和公式：
。 3、完全平方差公式：
。
上次更新: 2020年10月14日星期三
说一说
如果梯形的上、下底长分别为 2 2 cm，4 3 cm， 高为 6 cm，那么它的面积是多少？
(1)
6-
3
×
8
2；
( 2 ) ( 2 + 3 2 )( 1 - 2 ).
( 1 )( 2 + 1 )( 2 - 1 ) ；
2
7
16 7 9
第二轮
（2） 6 2 6 2
解：原式=
2
2
6 2
62
1.x2＋xy＋y2是一个对称式，可先求出基本对称式x＋y＝4， xy＝1，然后将x2＋xy＋y2转化为(x＋y)2－xy，整体代入即 可.
(3)已知a＝3 5 ＋2 ，b＝3 5－2 a2b－ab2的值；
.
，求
1、练习计算：
（1）、3 2 1 33
(2)、7 2 1 5
(3)、7 （ 7）2
（5）原式= x2 6xy 9 y2
(3) 3 1 3 1
例题讲析 （我是小老师）
例1.计算
（1） 8 3 6
解：原式= 8 6 3 6
86 36
4 33 2
(2) 4 2 3 6 2 2
解：原式= 4 2 2 2 3 6 2 2 23 3 2
例2. 计算
(1) 2 3 2 5 2
(3)已知 10 的整数部分为a，小数部分为b， 求a2－b2的值．
一：二次根式混合运算
例1：计算：(每小题4分)
(1)(3 2－1)(1＋3 2)－(2 2－1)2
(2)( 10－3)2010·( 10＋3)2010
例2：
(1)已知x＝2－ 3，y＝2＋ 3，求：x2＋xy＋y2的值．
解：(1)∵x＝2－ 3，y＝2＋ 3 ∴x＋y＝(2－ 3)＋(2＋ 3)＝4，xy＝(2－ 3)×(2＋ 3)＝1 ∴x2＋xy＋y2＝(x＋y)2－xy＝42－1＝15
42 2
（4） a b 3 a b
解：原式= 5 3 5 2 3 3 3 2
15 2 5 3 2 3
解：原式= a 3 a a b b 3 a b b 3a ab 3 ab b
3a b 2 ab
2．计算
（1） 4 7 4 7
解：原式= 42
( 2 )( 2 - 3 )2 .
实战练习
1. 计算：
(1)
5× (
15 - 4
3)； 5
( 2 )( 1 + 2 3 )( 3 - 3 )；
( 3 )( 2 + 3 )( 2 - 3 )；
( 4 )( 5 + 3 2 )2 .
知能迁移:
6 (1) 2－
18－120；
(2)(－3)2－ 4＋12－1.
原式＝ x＋yx－y ＝6×－4 2 x＋y2－2xy 62－2×1
＝－24 34
2 ＝－12 17
2.
三：注意二次根式运算中隐含条件
例3 已知：a＝
1 2＋
3，求aa2＋－11 －
a2－2a＋1 a2－a
的值．
学生作答
解：原式＝ a＋1a－1－ a－12
a＋1
aa－1
＝a－1－ a－1 ＝a－1－ 1 .
当 a 2 1 时，
2
原式= 2 1 6 2 1
22 2 16 2 6
4 2 3
课堂展示
1．计算
（1） 2 3 5
解：原式= 2 3 2 5 6 10
（3） 5 3 3 2
第一轮
（2） 80 40 5
解：原式= 80 5 40 5
80 5 40 5
解：(1) x y x y x y
= x（ x y）- （ y x y） （ x y)( x y）
(2) a 1 5 2 , 52
b= 1 5 2. 52
= x xy- yx y x-y
= x+y
x-y
当x 1 , y 1 23
时，
原式=
1
2 1
1
3 1
3 3
2 2
5.
aa－1
a
∴当a＝ 1 时， 2＋ 3
原式＝ 1 －1－(2＋ 3 )＝－1－2 3 . 2＋ 3
规范解答
解：∵a＝ 1 <1，∴a－1<0. 2＋ 3
∴ a2－2a＋1＝ a－12 ＝|a－1|＝1－a.
∴原式＝a＋1a－1 － a＋1
1－a aa－1
＝a－1＋
1 a
.
∴当a＝ 1 时， 2＋ 3
解：原式= 2 5 2 3 2 15 2 2 2 15
13 2 2
(2) 5 3 5 3
2
2
解：原式= 5 3
53
2
例3.先化简，再求值
2 a 3 a 3 a a 6 6 ，其中 a 2 1
解：原式= 2 a2 3 a2 6a 6
2a2 6 a2 6a 6
原式＝ 1 －1＋(2＋ 3)＝3. 2＋ 3
计算 ：相信自己能行
(1) ａ(ａ＋ｂ)
（4）.2x 12
(2) (x2 y xy2 ) xy
（5） x 3y2
解：（1）原式= a2 ab
（2）原式= x2 y xy xy2 xy x y
2
(3) 原式= 3 12 31 =2 （4）原式= 4x2 4x 1
二次根式的混合运算
一、借用整式乘法的法则进行二次根式混合运算。 1.整式乘法中单项式乘以多项式的法则用字母 表示为： . 2.整式乘法中多项式与多项式相乘的法则用字母 表示为
上次更新: 2020年10月14日星期三
二、套用乘法公式进行二次根式混合运算 乘法公式中平方差公式、完全平方公式用字 母如何表示？ 1、平方差公式：
(4)(7 2 2 6)(2 6 7 2)
(5)、( 7 7 3)2
(6)、( 2 3 6)2 ( 2 3 6)2
二：二次根式运算中的技巧
例4、（1）当x= 1 , y ຫໍສະໝຸດ Baidu时，求代数式
23
(2) 已知：a= 1 , b= 1
52
52
x y 的值； x y x y
, 求 a2 2ab b2 7的值
23
a2 2ab b2 7 （a-b）2 7 42 7 9 3
(4)已知x＝ 2－ 1 ，y＝ 2＋ 1 ，求 x2－y2 的值；
2＋ 1
2－ 1
x2＋y2
解：∵x＝
2－ 1 ＝(
2＋ 1
2 －1)2＝3－2
2，
y＝
2＋ 1 ＝(
2－ 1
2 ＋1)2＝3＋2 2 ，
∴x＋y＝6，x－y＝－4 2 ，xy＝1.
。 2、完全平方和公式：
。 3、完全平方差公式：
。
上次更新: 2020年10月14日星期三
说一说
如果梯形的上、下底长分别为 2 2 cm，4 3 cm， 高为 6 cm，那么它的面积是多少？
(1)
6-
3
×
8
2；
( 2 ) ( 2 + 3 2 )( 1 - 2 ).
( 1 )( 2 + 1 )( 2 - 1 ) ；
2
7
16 7 9
第二轮
（2） 6 2 6 2
解：原式=
2
2
6 2
62
1.x2＋xy＋y2是一个对称式，可先求出基本对称式x＋y＝4， xy＝1，然后将x2＋xy＋y2转化为(x＋y)2－xy，整体代入即 可.
(3)已知a＝3 5 ＋2 ，b＝3 5－2 a2b－ab2的值；
.
，求
1、练习计算：
（1）、3 2 1 33
(2)、7 2 1 5
(3)、7 （ 7）2
（5）原式= x2 6xy 9 y2
(3) 3 1 3 1
例题讲析 （我是小老师）
例1.计算
（1） 8 3 6
解：原式= 8 6 3 6
86 36
4 33 2
(2) 4 2 3 6 2 2
解：原式= 4 2 2 2 3 6 2 2 23 3 2
例2. 计算
(1) 2 3 2 5 2
(3)已知 10 的整数部分为a，小数部分为b， 求a2－b2的值．
一：二次根式混合运算
例1：计算：(每小题4分)
(1)(3 2－1)(1＋3 2)－(2 2－1)2
(2)( 10－3)2010·( 10＋3)2010
例2：
(1)已知x＝2－ 3，y＝2＋ 3，求：x2＋xy＋y2的值．
解：(1)∵x＝2－ 3，y＝2＋ 3 ∴x＋y＝(2－ 3)＋(2＋ 3)＝4，xy＝(2－ 3)×(2＋ 3)＝1 ∴x2＋xy＋y2＝(x＋y)2－xy＝42－1＝15
42 2
（4） a b 3 a b
解：原式= 5 3 5 2 3 3 3 2
15 2 5 3 2 3
解：原式= a 3 a a b b 3 a b b 3a ab 3 ab b
3a b 2 ab
2．计算
（1） 4 7 4 7
解：原式= 42
( 2 )( 2 - 3 )2 .
实战练习
1. 计算：
(1)
5× (
15 - 4
3)； 5
( 2 )( 1 + 2 3 )( 3 - 3 )；
( 3 )( 2 + 3 )( 2 - 3 )；
( 4 )( 5 + 3 2 )2 .
知能迁移:
6 (1) 2－
18－120；
(2)(－3)2－ 4＋12－1.
原式＝ x＋yx－y ＝6×－4 2 x＋y2－2xy 62－2×1
＝－24 34
2 ＝－12 17
2.
三：注意二次根式运算中隐含条件
例3 已知：a＝
1 2＋
3，求aa2＋－11 －
a2－2a＋1 a2－a
的值．
学生作答
解：原式＝ a＋1a－1－ a－12
a＋1
aa－1
＝a－1－ a－1 ＝a－1－ 1 .