二次根式混合运算(经典)70806
二次根式加减混合运算
二次根式加减混合运算二次根式加减混合运算，听起来是不是有点晦涩？别担心，咱们今天就轻松聊聊这个话题，保证让你在笑声中理解。
想象一下，数学就像个调皮的小孩，时不时给你抛出些难题。
不过，搞定这些问题，简直就是玩游戏，特别有成就感！二次根式就是那些看起来像“√2”或“√x”的东西。
说白了，就是一个数的平方根。
比如，√4就是2，√9就是3，简单明了吧？它们就像调皮的小猫，常常在数字的世界里来回跑，时而聚在一起，时而又分开。
咱们今天的目标，就是要学会怎么跟这些小猫玩得开心，特别是在加减运算的时候。
想象一下，二次根式就像一群朋友，都是有自己个性的。
比如，√2和√3这对好搭档，平时一起玩得很开心。
但如果咱们要把它们加起来，就会发现，他们之间其实并不能直接合并。
就像两只小猫，虽然都是可爱的小家伙，但在一起的时候却不太容易整合成一只更大的猫咪。
这就是加法的魔力，有时候合并的东西，得看能不能“门当户对”。
怎么加呢？简单，把它们放在一起，保持各自的个性，比如说√2 + √3，这样写就好了。
没什么特别的，等于是把两只猫分别放在你的手心里，彼此不打扰。
哎，这样看起来是不是轻松多了？我们再聊聊减法。
这可是一个有点小争议的话题。
减法就像两个好朋友，突然起了点小矛盾。
比如说，√5 √2，咋办？你可能觉得这还挺简单的，直接写出来就行。
可实际上，二次根式的减法就像一场争论，谁都不想退让。
还是保持各自的个性，写成√5 √2就好了。
你看，虽然有点小摩擦，但也没啥大不了。
再说说混合运算，这时候就像是把加法和减法的朋友都请来一起聚会。
比如，√8 + √2 √3，哇，听上去好复杂啊！别怕，咱们一步一步来。
√8可以拆分成2√2，这样就把复杂的部分变得简单了。
把它们聚在一起，哎呀，发现最后的结果其实是3√2 √3。
是不是突然觉得有点儿意思了？我们再来点实际应用，想象一下，你去超市买水果，老板问你买了多少。
你说：“我买了√4个苹果，再加上√9个香蕉，减去√1个梨。
(完整版)二次根式混合运算经典
( 4 )( 5 + 3 2 )2 .
答案： 3 答案：5 3 - 3 答案：1 答案：43+30 2
1、计算：
（1）、3 2 1 33
(2)、7 2 1 5
(3)、7 （ 7）2
(4)(7 2 2 6)(2 6 7 2)
(5)、( 7 7 3)2
(6)、( 2 3 6)2 ( 2 3 6)2
(3)已知 10 的整数部分为a，小数部分为b，求a2－b2的值．
6 解：(1) 2－
18－120＝3
2－3
2－1＝－1
(2)(－3)2－ 4＋12－1＝9－2＋2＝9
(3)∵3< 10<4 ∴ 10的整数部分 a＝3，小数部分 b＝ 10－3
∴a2－b2＝32－( 10－3)2＝9－(10－6 10＋9)＝－10＋6 10
例3 计算：
( 2 )( 2 + 3 2 )( 1 - 2 ).
从例3的第(2)小题看到，二次根式的和相乘， 与多项式的乘法相类似.
我们可以利用多项式的乘法公式，进行某些二 次根式的和相乘的运算.
例4 计算：
( 1 )( 2 + 1 )( 2 - 1 ) ； ( 2 )( 2 - 3 )2 .
动脑筋
解：(1)∵x＝2－ 3，y＝2＋ 3 ∴x＋y＝(2－ 3)＋(2＋ 3)＝4，xy＝(2－ 3)×(2＋ 3)＝1 ∴x2＋xy＋y2＝(x＋y)2－xy＝42－1＝15
(7)、(7 54 3 21） 3
(8)、18 ( 3 2)
注意：
1、运算顺序 。 2、运用运算律和乘法公式，简化运算。 3、结果为最简二次根式。
二、巧用“分母有理化”进行二次根式混合运算
二次根式混合运算(经典)
例2： (1)已知 x＝2－ 3，y＝2＋ 3，求：x2＋xy＋y2 的值．
解：(1)∵x＝2－ 3，y＝2＋ 3 ∴x＋y＝(2－ 3)＋(2＋ 3)＝4，xy＝(2－ 3)×(2＋ 3)＝1 ∴x2＋xy＋y2＝(x＋y)2－xy＝42－1＝15
1.x2＋xy＋y2是一个对称式，可先求出基本对称式x＋y＝4， xy＝1，然后将x2＋xy＋y2转化为(x＋y)2－xy，整体代入即 可.
( 3 )( 2 + 3 )( 2 - 3 )；
( 4 )( 5 + 3 2 )2 .
答案： 3 答案：5 3 - 3 答案：1 答案：43+30 2
1、计算：
（1）、3 2 − 1 33
(2)、7 − 2 1 5
(3)、7 （ 7）2
(4)(7 2 + 2 6)(2 6 − 7 2)
(5)、( 7 − 7 3)2
课堂小结
在进行二次根式的运算时，类比整式的运算，灵活合理运用恰当的方法， 要注意过程和结果的正确
老师忠告
(1)题目中的隐含条件为a＝ 1 2＋
<1，所以 3
a2－2a＋1 ＝
(a－1)2 ＝|a－1|＝1－a，而不是a－1；
(2)注意挖掘题目中的隐含条件，是解决数学问题的关键之
一，上题中的隐含条件a＝ a2－2a＋1＝ (a－1)2＝|a－1| ＝1－a是进行二次根式化简的依据，同学们应注重分析能力 的培养，提高解题的正确性.
＝18－1－8＋4 2－1
[2分]
＝8＋4 2 (2)解：原式＝[( 10－3)( 10＋3)]2010
＝[( 10)2－32]2010
[4分] [4分]
＝(10－9)2010＝1
二次根式混合运算题含答案
二次根式混合运算题含答案本文是一份数学题目，需要进行排版和改写以更好地呈现。
二次根式混合运算125题（含答案）1、原式=2-3=-12、原式=√(4+9)=√133、原式=2-√(12+1)= -104、原式=(√5+√7)²=12+2√355、原式=(√6-√2)²=4+4√36、原式=(√5-1)²+(√5+1)²=10+2√57、原式=(√3+√2)(√3-√2)=18、原式=(√5-√3)²=8-2√159、原式=（3+√2）（3-√2）=710、原式=√(3+2√2)×√(3-2√2)=111、原式=(4+√7)（4-√7）=912、原式=2√3+√12+√27=5√3+√313、原式=（2√6-3√2）（√6+√2）=814、原式=(7+4√3)（7-4√3）=4115、原式=(√2+√3)²=5+2√616、原式=√12+√27-√48=2√3+317、原式=(√3+1)²-(√3-1)²=4√318、原式=（3-√2）²=11-6√219、原式=（3-2√2）（3+2√2）=720、原式=（√2-1）（2√2+1）=121、原式=（√3+√5）²=8+2√1522、原式=（√3-√2）（√3+√2）=123、原式=（√2+1）²-（√2-1）²=4√224、原式=（√3-1）（√3+1）=225、原式=（√5+2）（√5-2）=2126、原式=（√6+√2）²=8+4√327、原式=（√2+√3）（√2-√3）=-128、原式=（√3-√2）²=5-2√629、原式=（√3+2）（√3-2）=730、原式=（√2+√3）²-2√6=5+√631、原式=（√3+√2）²+（√3-√2）²=1632、原式=（√6+√2）（√6-√2）=433、原式=√(5+2√6)×√(5-2√6)=134、原式=(√6+√3)²-(√6-√3)²=12√235、原式=（√2+1）²+（√2-1）²=636、原式=3√2-2√3+√6=√2-2√3+337、原式=（√3+√2）²-（√3-√2）²=4√638、原式=（√3+√2）（√3-√2）=139、原式=（√2+1）²-（√2-1）²=4√240、原式=（√3+√2）²-2√6=5+√641、原式=√(7+4√3)×√(7-4√3)=142、原式=（√5+√6）²-11=2√30-443、原式=√(3+2√2)÷（√2-1）=√2+144、原式=（√2+√3）÷（√3-√2）=-145、原式=（√3+√2）÷（√3-√2）=5+2√646、原式=（√2+√3）÷（√2-√3）=-√6-247、原式=-2-（√2+√3）÷（√2-√3）=-2-5√648、原式=（√3+√2）²+（√3-√2）²=1649、原式=（√5+√3）²-（√5-√3）²=12√1550、原式=√(7+4√3)÷（√3-√2）=√6+√251、原式=（√5+√3）÷（√5-√3）=2+√352、原式=（√3+√2）÷（√3-√2）=5+2√653、原式=3-√5+（-2）（√5+1）=1-3√554、原式=（√2+√3）²-2√6=5+√655、原式=（√5+√3）²-2√15=8+2√1556、原式=（√3+√2）²-2√6=5+√657、原式=（√6+√2）²-2√12=8+2√358、原式=√(5+2√6)÷（√3-√2）=√259、原式=2√5-√80+√45=√5-4√2+360、原式= -2+（-1）²÷（2-1）²= -161、原式=（2-1）²-（-2）²=162、原式=（√5-√3）²-（√5+√3）²=-8√1563、原式=（√3+√2）²-（√3-√2）²=4√664、原式=（√5+√2）÷（√5-√2）=3+2√1065、原式=（√3+√2）÷（√3-√2）=5+2√666、原式=（√6+√2）÷（√6-√2）=2+√367、原式=（√5+√3）÷（√5-√3）=2+√668、原式=（√3+√2）÷（√2-√3）=-√6-269、原式=（√5+√3）÷（√2-√3）=（-√6-√2）÷570、原式=3-（√5+√2）²= -8-2√1071、原式=（√3+√2）²-（√3-√2）²=4√672、原式=（√2+√3）²-2√6=5+√673、原式=（√5+√2）²-2√10=7+2√1074、原式=（√3+√2）²-2√6=5+√675、原式=（√6+√2）²-2√12=8+2√376、原式=（-1）²÷（2-1）²-2= -177、原式=（√2+√3）²-2√6=5+√678、原式=（√5+√3）²-2√15=8+2√1579、原式=（√3+√2）²-2√6=5+√680、原式=（√6+√2）²-2√12=8+2√381、原式=（√5+√3）÷（√3-√2）=4+√682、原式=（√3+√2）÷（√5-√2）=（-√2+√3）÷283、原式=（√5+√3）÷（√6-√2）=（√6+√2）÷484、原式=（√2+√3）÷（√5-√2）=（-√2+√3）÷385、原式=（1+√2）²-2（1-√2）²=5+4√286、原式=（1-√2）²+2（1+√2）²=11+4√287、原式=（√2+1）²+（√2-1）²=688、原式=（√5+√3）²-2√15=8+2√1589、原式=（√3+√2）²-2√6=5+√690、原式=（√6+√2）²-2√12=8+2√391、原式=（√5+√3）÷（√2-√3）=（√6+√2）÷292、原式=（√5+√3）÷（√3-√2）=2+√693、原式=（√3+√2）÷（√5-√2）=（-√2+√3）÷394、原式=（√6+√2）÷（√5-√2）=（√6+√2）÷495、原式=（√2+√3）÷（√3-√2）=-√6-296、原式=（√5+√3）÷（√6-√2）=（√6+√2）÷497、原式=（√3+√2）÷（√2-√3）=-√6-298、原式=（√5+√3）÷（√5-√2）=3+2√599、原式=（√6+√2）÷（√6-√2）=1100、原式=（√5+√3）÷（√3-√2）=（√6+√2）÷3101、原式=(√2008-√2009)÷（√2008+√2009）=√\frac{2008}{2009}102、原式=（√3+√2）²-（√3-√2）²=4√6103、原式=（√5+√3）²-（√5-√3）²=12√15104、原式=（√6+√2）²-（√6-√2）²=8√3105、原式=（3+√5）÷（3-√5）= -2+√5106、原式=（√2-√3）²-（√2+√3）²=-8√6107、原式=（√5+√3）÷（√2-√3）=（-√6-√2）÷5108、原式=（√6+√2）÷（√5-√2）=（√6+√2）÷4109、原式=（√3+√2）÷（√5-√3 - 2 + 3 ÷ 3 - 2 = 27 + (-2) = 14 × 2 = 283) × (-2) = -62 - (3 - 22 + 1) = -181 + (-3) + 6 - 10 = -82 + (-2b) + 1 - (2 - 3) = 5 - 2b2 + 1 - (-2) = 317 - (19 - (-2)) = 02 -3 - 2 = -34 + 12 = 164 - 10 + 2 - (-2) = -2 6 -5 = 112 + 18 - 12 = 182 + 3) × (-2) = -10m = 2m + 3m - m = 0 6 ÷ (-2) = -312 ÷ 2 = 66 × (-2) = -123) × 2 = -62 - 2x = 23 - 2) ÷ (2 - 3) = -14 ÷ 2) - (-3) = 53 + (-7) = -41) × 1 = -12 +3 + 2 = 74 × 2 - 3 = 56 + (-2) - (2 - 3) = 5 5| + |-4| = 94 × 2 - 16 + 12 - 16 - 8 = -242 + 3) × 2 = 10a + 2 = 33 ÷ (-1) = 39 - (-3) = 122 × (-3) = -612 ÷ 3 = 427 ÷ 3 = 9XXX。
二次根式的混合运算
3 48 27 3
2
3 3 8
3
6
例4 计算： （ 5 3)
例2. 计算
(1) 2 3 2 5 2
解：原式= 2 5 2 3 2 15 2 2 2 15
13 2 2
(2) 5 3 5 3
5、二次根式的除法运算公式：
一、借用整式乘法的法则进行二次根式混合运算。 1.整式乘法中单项式乘以多项式的法则用字母 表示为：m(a＋b＋c)=ma＋mb＋mc
. 2.整式乘法中多项式与多项式相乘的法则用字母
表示为
(a＋b)(m＋n)=am＋an＋bm＋bn,
上次更新: 2020年12月1日星期二
解：原式= 80 5 40 5
80 5 40 5
42 2
（4） a b 3 a b
解：原式= 5 3 5 2 3 3 3 2
15 2 5 3 2 3
解：原式= a 3 a a b b 3 a b b 3a ab 3 ab b
3a b 2 ab
2．计算
（1） 4 7 4 7
解：原式= 42
2
7
16 7 9
第二轮
（2） 6 2 6 2
解：原式=
2
2
6 2
62
4
2
（3） 3 2
解：原式=
2
3 2
3 2 22
2
（4） 2 5 2
2
2
解：原式= 2 5 2 2 5 2 2
34 34
二次根式的混合运算
二次根式的混合运算
__加_1_、、二__减次__根、式_乘的__混_、合_运_除_算_的是混指合二运次算根．式的 2、二次根式的混合运算顺序与实数的运
二次根式的混合运算 课件
例2 计算Байду номын сангаас （1）( 2+3)( 2-5) ；（2）( 5+ 3)( 5- 3)．
思考：（1）、（2）中，每一步的依据是什么？
【归纳结论】 整式的运算顺序、运算率、运算法则和
乘法公式在二次根式的运算中，仍然适用。
【归纳结论】
思考：在二次根式的混合运算中需要注意什么？
3. (a b)2 a2 2ab b2与(a b)(a b) a2 b2 4.先将二次根式化成最简二次根式，再将被开
方数相同的二次根式进行合并。
二、独立思考
计算
（1）（2x+y）·xz （2）（2x2y+3xy2）÷xy （3）（2x+3y）（2x-3y） （4）（2x+1）2+（2x-1）2
二次根式的混合运算
一、自主学习
• 1.整式混合运算的顺序是什么？ • 2.写出二次根式的乘除法法则 • 3.写出平方差公式和完全平方公式 • 4.二次根式的加减法法则是什么？
1.先乘方，再乘除，最后算加减，有括号的先 算括号里的（或者先去括号）。
2. a b ab(a 0,b 0)
a a (a 0, b 0) bb
注意： （1）去括号时注意符号，合并时也要 注意“系数”前面的符号
（2）不是同类二次根式（如： 3， 5） 不能合并，保留到最后的结果中. （3）最后的结果一定要化成最简的形式
思考：这是我们以前所学过的哪种类型的计算？
三、合作探究
例1 请你类比刚才的计算方法来解决有关二次 根式的两道习题
（1）（ 8+ 3） 6 ； （2）（4 2-3 6） 2 2 ．
思考：（1）中，先计算什么？后计算什么，最后 的目标是什么？（2）呢？
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(4)(7 2 2 6)(2 6 7 2)
(5)、( 7 7 3)2
(6)、( 2 3 6)2 ( 2 3 6)2
二：二次根式运算中的技巧
例4、（1）当x= 1 , y 1时，求代数式
23
(2) 已知：a= 1 , b= 1
52
52
x y 的值； x y x y
, 求 a2 2ab b2 7的值
a2 6a
当 a 2 1 时，
2
原式= 2 1 6 2 1
22 2 16 2 6
4 2 3
课堂展示
1．计算
（1） 2 3 5
解：原式= 2 3 2 5 6 10
（3） 5 3 3 2
第一轮
（2） 80 40 5
解：原式= 80 5 40 5
80 5 40 5
aa－1
a
∴当a＝ 1 时， 2＋ 3
原式＝ 1 －1－(2＋ 3 )＝－1－2 3 . 2＋ 3
规范解答
解：∵a＝ 1 <1，∴a－1<0. 2＋ 3
∴ a2－2a＋1＝ a－12 ＝|a－1|＝1－a.
∴原式＝a＋1a－1 － a＋1
1－a aa－1
＝a－1＋
1 a
.
∴当a＝ 1 时， 2＋ 3
解：(1) x y x y x y
= x（ x y）- （ y x y） （ x y)( x y）
(2) a 1 5 2 , 52
b= 1 5 2. 52
= x xy- yx y x-y
= x+y
x-y
当x 1 , y 1 23
时，
原式=
1
2 1
1
3 1
3 3
2 2
5.
(3)已知 10 的整数部分为a，小数部分为b， 求a2－b2的值．
一：二次根式混合运算
例1：计算：(每小题4分)
(1)(3 2－1)(1＋3 2)－(2 2－1)2
(2)( 10－3)2010·( 10＋3)2010
例2：
(1)已知x＝2－ 3，y＝2＋ 3，求：x2＋xy＋y2的值．
解：(1)∵x＝2－ 3，y＝2＋ 3 ∴x＋y＝(2－ 3)＋(2＋ 3)＝4，xy＝(2－ 3)×(2＋ 3)＝1 ∴x2＋xy＋y2＝(x＋y)2－xy＝42－1＝15
2
7
16 7 9
第二轮
（2） 6 2 6 2
解：原式=
2
2
6 2
62
1.x2＋xy＋y2是一个对称式，可先求出基本对称式x＋y＝4， xy＝1，然后将x2＋xy＋y2转化为(x＋y)2－xy，整体代入即 可.
(3)已知a＝3 5 ＋2 ，b＝3 5－2 a2b－ab2的值；
.
，求
1、练习计算：
（1）、3 2 1 33
(2)、7 2 1 5
(3)、7 （ 7）2
原式＝ 1 －1＋(2＋ 3)＝3. 2＋ 3
计算 ：相信自己能行
(1) ａ(ａ＋ｂ)
（4）.2x 12
(2) (x2 y xy2 ) xy
（5） x 3y2
解：（1）原式= a2 ab
（2）原式= x2 y xy xy2 xy x y
2
(3) 原式= 3 12 31 =2 （4）原式= 4x2 4x 1
原式＝ x＋yx－y ＝6×－4 2 x＋y2－2xy 62－2×1
＝－24 34
2 ＝－12 17
2.
三：注意二次根式运算中隐含条件
例3 已知：a＝
1 2＋
3，求aa2＋－11 －
a2－2a＋1 a2－a
的值．
学生作答
解：原式＝ a＋1a－1－ a－12
a＋1
aa－1
＝a－1－ a－1 ＝a－1－ 1 .
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
23
a2 2ab b2 7 （a-b）2 7 42 7 9 3
(4)已知x＝ 2－ 1 ，y＝ 2＋ 1 ，求 x2－y2 的值；
2＋ 1
2－ 1
x2＋y2
解：∵x＝
2－ 1 ＝(
2＋ 1
2 －1)2＝3－2
2，
y＝
2＋ 1 ＝(
2－ 1
2 ＋1)2＝3＋2 2 ，
∴x＋y＝6，x－y＝－4 2 ，xy＝1.
二次根式的混合运算
一、借用整式乘法的法则进行二次根式混合运算。 1.整式乘法中单项式乘以多项式的法则用字母 表示为： . 2.整式乘法中多项式与多项式相乘的法则用字母 表示为
上次更新: 2020年10月14日星期三
二、套用乘法公式进行二次根式混合运算 乘法公式中平方差公式、完全平方公式用字 母如何表示？ 1、平方差公式：
解：原式= 2 5 2 3 2 15 2 2 2 15
13 2 2
(2) 5 3 5 3
2
2
解：原式= 5 3
53
2
例3.先化简，再求值
2 a 3 a 3 a a 6 6 ，其中 a 2 1
解：原式= 2 a2 3 a2 6a 6
2a2 6 a2 6a 6
。 2、完全平方和公式：
。 3、完全平方差公式：
。
上次更新: 2020年10月14日星期三
说一说
如果梯形的上、下底长分别为 2 2 cm，4 3 cm， 高为 6 cm，那么它的面积是多少？
(1)
6-
3
×
8
2；
( 2 ) ( 2 + 3 2 )( 1 - 2 ).
( 1 )( 2 + 1 )( 2 - 1 ) ；
42 2
（4） a b 3 a b
解：原式= 5 3 5 2 3 3 3 2
15 2 5 3 2 3
解：原式= a 3 a a b b 3 a b b 3a ab 3 ab b
3a b 2 ab
2．计算
（1） 4 7 4 7
解：原式= 42
（5）原式= x2 6xy 9 y2
(3) 3 1 3 1
例题讲析 （我是小老师）
例1.计算
（1） 8 3 6
解：原式= 8 6 3 6
86 36
4 33 2
(2) 4 2 3 6 2 2
解：原式= 4 2 2 2 3 6 2 2 23 3 2
例2. 计算
(1) 2 3 2 5 2
( 2 )( 2 - 3 )2 .
实战练习
1. 计算：
(1)
5× (
15 - 4
3)； 5
( 2 )( 1 + 2 3 )( 3 - 3 )；
( 3 )( 2 + 3 )( 2 - 3 )；
( 4 )( 5 + 3 2 )2 .
知能迁移:
6 (1) 2－
18－120；
(2)(－3)2－ 4＋12－1.