2015年山东省高考数学试卷(理科)

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2015山东高考数学理科试题及答案

14：已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[1,0]-，则a+b= 32-15：在直角坐标系xoy 中，双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线与抛物线22:2(0)C x py p =>交于点O,A,B ，三角形OAB 的垂心是2C 的焦点，则1C 的离心率32三、解答题：本答题共6小题，共75分。

16：（12分）已知函数2()sin cos cos ()4f x x x x π=-+（1）求函数()f x 的单调区间；（2）在锐角三角形ABC 中，角A,B,C 所对的边为a,b,c,已知()0,12Af a ==，求三角形ABC 面积的最大值。

17：(12分)在三棱台DEF-ABC 中AB=2DE,G,H 分别为AC,BC 的中点，（1）求证：//BD FGH 面(2)若CF B ⊥⊥∠︒面ABC,AB BC,CF=DE,AC=45,求平面FGH 与平面ACFD 所成的锐角的大小18：（12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S 且满足233n n S =+（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足3log na n n ab =，求数列{}n b 的前n 项和为n T19：（12分）若n 是一个三位正整数，且个位数大于十位数，十位数大于百位数，则称n 为“三位递增数”（例“137,359，567，”等）在某次趣味数学活动中，每位参赛者需从所有的“三位递增数中随机抽取一个数且只有一次，，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，则得零分；若能被5整除，且不能被10整除则得-1分；若能被10整除，则得1分；（1）写出所有个位数字为5的”三位递增数”；（2）若甲参加活动，求出甲得分X 的分布列及数学期望X E20：(13分) 在直角坐标系xoy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>12,F F 分别为左右焦点，以1F 为圆心，以3为半径的圆与以以2F 为圆心，以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上（ⅰ）求椭圆C 的标准方程：（ⅱ）设椭圆2222E :1,44x y P a b+=为椭圆C 上的任意一点，过P 的直线y kx m =+交椭圆E 于A,B 两点，射线PO 交椭圆E 于Q, 求OQ OP的值；（2）求三角形ABQ 面积的最大值。

2015年高考理科数学山东卷(含答案解析)

数学试卷第1页（共21页）数学试卷第2页（共21页）数学试卷第3页（共21页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分,考试时间120分钟. 参考公式：如果事件A ,B 互斥，那么P （A +B ）=P （A ）+P （B ）第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合2430{|}A x x x =-+<，24{|}B x x =<<，则AB = （）A ．1,3（）B ．1,4（）C ．2,3（）D ．2,4（）2．若复数z 满足z1i-=i ，其中i 为虚数单位，则z=（）A ．1i -B ．1i +C ．1i --D ．1i -+3．要得到函数πsin(4)3y x =-的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象（）A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位4．已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=︒，则BD CD =（）A ．232a -B ．234a -C ．234aD ．232a5．不等式|||52|1x x ---<的解集是（）A ．(,4)-∞B ．(,1)-∞C ．(1,4)D ．(1,5)6．已知x ，y 满足约束条件0,2,0.x y x y y -⎧⎪+⎨⎪⎩≥≤≥若z ax y =+的最大值为4，则a =（）A ．3B ．2C ．2-D ．3-7．在梯形ABCD 中，π2ABC ∠=，AD ∥BC ，BC =2AD =2AB =2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A ．2π3B ．4π3C ．5π3D ．2π8．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N (0，23)，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（）（附：若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则(P μσ-<ξ)68.26%μσ<+=，(2P μσ-<ξ2)95.44%μσ<+=）A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%9．一条光线从点（2-，3-）射出，经y 轴反射后与圆22(3)(2)1x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A ．53-或35-B ．32-或23-C ．54-或45-D ．43-或34-10．设函数31,1,()2, 1,x x x f x x -⎧=⎨⎩＜≥则满足()(())2f a f f a =的a 取值范围是（）A ．2[,1]3B ．[0,1]C ．2[,)3+∞D ．[1,)+∞第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中的横线上.11．观察下列各式：001011330122555012337777C =4C +C =4C +C +C =4C +C +C +C =4；；；；……照此规律，当n ∈*N 时，012n-12n-12n-12n-12n-1C + C + C ++ C ⋯=_______. 12．若“∀x ∈[0，4π]，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为_______. 13．执行如图所示的程序框图，输出的T 的值为_______.14．已知函数()(0,1)xf x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[1,0]-，则a b +=_______.15．平面直角坐标系xOy 中，双曲线222211 0,0x C a b y a b>->=：（）的渐近线与抛物线222C x py =：0p >（）交于点O ，A ，B .若OAB △的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为_______.-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________?数学试卷第4页（共21页）数学试卷第5页（共21页）数学试卷第6页（共21页）三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）设2π()sin cos cos ()4f x x x x =-+.（Ⅰ）求f x （）的单调区间；（Ⅱ）在锐角ABC △中，角A ，B ，C ，的对边分别为a ，b ，c .若2f A （）=0，a =1，求ABC △面积的最大值.17．（本小题满分12分）如图，在三棱台DEF ABC -中，AB =2DE ，G ，H 分别为AC ，BC 的中点. （Ⅰ）求证：BD ∥平面FGH ；（Ⅱ）若CF ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，CF =DE ，∠BAC =45︒，求平面FGH 与平面ACFD 所成的角（锐角）的大小.18．（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知233nn S =+.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足3log n n n a b a =，求{}n b 的前n 项和n T .19．（本小题满分12分）若n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”（如137，359，567等）.在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得1-分；若能被10整除，得1分.（Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望EX . 20．（本小题满分13分）平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，左、右焦点分别是1F ，2F ，以点1F 为圆心，以3为半径的圆与以点2F 为圆心，以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆2222144 x y E a b +=：，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y kx m =+交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .（i ）求||||OQ OP 的值；（ii ）求ABQ △面积的最大值.21．（本小题满分14分）设函数2()ln(1)()f x x a x x =++-，其中a ∈R .（Ⅰ）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由；（Ⅱ）若0x ∀>，()0f x ≥成立，求a 的取值范围.数学试卷第7页（共21页）数学试卷第8页（共21页）数学试卷第9页（共21页）2015年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】C【解析】2{|4+3<0}{|13}A x x x x x =-=<<，()2,3A B =I ，答案选C ．【提示】求出集合A ，然后求出两个集合的交集．【考点】解一元二次不等式，集合间的运算． 2.【答案】A【解析】2(1i)i i +i 1+i z =-=-=，1i z =-，答案选A ．【提示】直接利用复数的乘除运算法则化简求解即可．【考点】复数代数形式的四则运算． 3.【答案】B【解析】πsin 412y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，需将函数sin 4y x =的图象向右平移π12个单位，答案选B ．【提示】直接利用三角函数的平移原则推出结果即可．【考点】三角函数的图象及其变换． 4.【答案】D【解析】由菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=︒可知18060120BAD ∠=︒-︒=︒，2223()()+cos120+2BD CD AD AB AB AB AD AB a a a a =--=-=-︒=uu u r uu u r uuu r uu u r uu u r uu u r uuu r uu u r g g g g ，答案选D ．【提示】根据2()()+BD CD AD AB AB AB AD AB =--=-uu u r uu u r uuu r uu u r uu u r uu u r uuu r uu u r g g g 代入可求．【考点】向量的运算． 5.【答案】A【解析】1x <时，1(5)42x x ---=-<成立当15x ≤<时，1(5)262x x x ---=-<解得4x <；当5x ≥，1(5)42x x ---=<不成立，综上4x <，答案选A ．【提示】运用零点分区间，求出零点为1，5，讨论①当1x <，②当15x ≤<，③当5x ≥，分别去掉绝对值，解不等式，最后求并集即可．【考点】绝对值符号和分类讨论的思想． 6.【答案】B【解析】由+z ax y =得+y ax z =-，借助图形可知：当1a -≥，即1a ≤-时在0x y ==时有最大值0，不符合题意；当01a ≤-<，即10a -<≤时有最大值+14a =，3a =，不满足10a -<≤；当10a -≤-<，即01a <≤时在1x y ==时有最大值+14a =，3a =，不满足01a <≤；当1a -<-时，即1a >时在2x =，0y =时有最大值24a =，2a =，满足1a >，答案选B ．第6题图【提示】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值．【考点】线性规划的问题． 7.【答案】C【解析】2215ππ12π1133V =-=gg g g ，答案选C ．【提示】画出几何体的直观图，利用已知条件，求解几何体的体积即可．【考点】空间几何体体积的计算． 8.【答案】B【解析】0000001(36)(95.4468.26)13.592P ξ<<=-=，答案选B ．【提示】由题意(33)68.26%P ξ-<<=，(66)95.44%P ξ-<<=，可得0000001(36)(95.4468.26)13.592P ξ<<=-=，即可得出结论．【考点】正态分布．9.【答案】D【解析】(2,3)--关于y 轴的对称点的坐标(2,3)-，设反射光线所在的直线为+3(2)y k x =-，即230kx y k ---=，则1d ==，|5+5|k =解得43k =-或34-，答案选D ．【提示】点(2,3)--关于y 轴的对称点为(2,3)-，可设反射光线所在直线的方程为：+3(2)y k x =-，利用直线与圆相切的性质即可得出．【考点】直线与圆的位置关系． 10.【答案】C【解析】由()(())2f a f f a =可知()1f a ≥，则121aa ≥⎧⎨≥⎩或1311a a <⎧⎨-≥⎩，解得23a ≥，答案选C ．【提示】讨论()1f a ≥时，以及1a <，1a ≥，由分段函数的解析式，解不等式即可得到所求范围．【考点】函数的定义域．第Ⅱ卷二、填空题 11.【答案】14n - 【解析】具体证明过程可以是：012101212121212121211C +C+C ++C (2C +2C2n n n n n n n n n n ----------= 021122223121212121212121211=(C +C )+(C +C )+(C +C )++(C +C )2n n n n nn n n n n n n n ------------⎡⎤⎣⎦01212121121212121212111=(C +C +C ++C +C ++C )2422n n n n n n n n n n n ----------==【提示】仔细观察已知条件，找出规律，即可得到结果．【考点】排列组合的运算． 12.【答案】1【解析】“0,4x π⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，tan x m ≤”是真命题，则πtan 14m ≥=，于是m 的最小值是1.【提示】求出正切函数的最大值，即可得到m 的范围．【考点】三角函数的运算和命题真假．数学试卷第10页（共21页）数学试卷第11页（共21页）数学试卷第12页（共21页）13.【答案】116【解析】112011111++1++236T xdx x dx ===⎰⎰．【提示】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n ，T 的值，当3n =时不满足条件3n <，退出循环，输出T 的值为116．【考点】程序框图． 14.【答案】32-【解析】当1a >时，10+1+0a b a b -⎧=-⎪⎨=⎪⎩，无解；当01a <<时10+0+1a b a b -⎧=⎪⎨=-⎪⎩，解得2b =-，12a =，则13+222a b =-=-【提示】对a 进行分类讨论，分别题意和指数函数的单调性列出方程组【考点】指数函数的定义域和值域的应用． 15.【答案】32【解析】1C ：22221x y a b -=(0,0)a b >>的渐近线为b y x a =±则点2222,pb pb A a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2222,pb pb B a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，22:2(0)C x py p =>的焦点0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则22222pb p a pb aa kb -==，即2254b a =，22222+94c a b a a ==，32c e a ==．【提示】求出A 的坐标，可得22244AC b a k ab-=，利用OAB 的垂心为C 2的焦点，可得22414b a b ab a -⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，由此可求C 1的离心率．【考点】双曲线的离心率．三、解答题16.【答案】（Ⅰ）()f x 的增区间为πππ,π+44k k ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，k ∈Z()f x 的减区间为π3ππ+,π+44k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．【解析】（Ⅰ）由11π()sin 21+cos 2+222f x x x ⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦111sin 2+sin 2222x x =- 1sin 22x =-由ππ2π22π+22k x k -≤≤，k ∈Z ，得ππππ+44k x k -≤≤，k ∈Z ，则()f x 的增区间为πππ,π+44k k ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ；由π3π2π+22π+22k x k ≤≤，k ∈Z ，得π3ππ+π+44k x k ≤≤，k ∈Z ，则()f x 的减区间为π3ππ+,π+44k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．（Ⅱ）在锐角ABC △中，1sin 022A f A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，1sin 2A =，π,6A =而1a =，由余弦定理可得22π12cos 2(26b c bc bc bc =+-≥=，当且仅当b c =时等号成立．即bc =11π1sin sin2644ABC S bc A bc bc ===≤△，故ABC △ 【提示】（Ⅰ）由三角函数恒等变换化简解析式可得1()sin 22f x x =-，由ππ2π22π+22k x k -≤≤，k ∈Z 可解得()f x 的单调递增区间，由π3π2π+22π+22k x k ≤≤，k ∈Z 可解得单调递减区间．（Ⅱ）由1s i n 022A f A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，可得sinA ，cos A ，由余弦定理可得：bc ≤且当b c =时等号成立，从而可求1sin 2bc A ≤【考点】三角函数单调区间，三角形的面积公式． 17.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）60︒【解析】（Ⅰ）证明：如图1，连接DG ，DC ，设DC 与GF 交于点O ．在三棱台DEF ABC -中，2AB DE =，则2AC DF =，而G 是AC 的中点，DF AC ∥，则DF GC ∥，所以四边形DGCF 是平行四边形，O 是DC 的中点，DG FC ∥．又在BDC △中，H 是BC 的中点，则OH DB ∥，又BD FGH ⊄平面，OH FGH ⊂平面，故BD FGH ∥平面．第17题图1（Ⅱ）由,C F A B C ⊥平面可得DG ABC ⊥平面而AB BC ⊥，45BAC ∠=︒，则,GB AC ⊥ 于是GD ，GB ，GC 两两垂直，以点为G 坐标原点，GA，GB GD 所在的直线分别为,x ,y z 轴建立空间直角坐标系，如图2，2AB =，1DE CF ==，AC =，AG =B，(C ，(F ，22H ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭则平面ACFD 的一个法向量为1(0,1,0)n =u r ，设平面FGH 的法向量为2222(,,)n x y z =u u r则2200n GH n GF ⎧=⎪⎨=⎪⎩u ur uuu r g u u r uuu r g 即22220,22+0,yx z -=⎪⎨⎪=⎩取21x =，则21y =，2z =2n =u u r121cos ,2n n 〈〉==u r u u r ，故平面FGH 与平面ACFD 所成的角（锐角）的大小为60︒．数学试卷第13页（共21页）数学试卷第14页（共21页）数学试卷第15页（共21页）第17题图2【提示】（Ⅰ）根据2AB DE =便可得到2BC EF =，从而可以得出四边形EFHB 为平行四边形，从而得到BE HF ∥，便有BE FGH ∥平面，再证明DE FGH ∥平面，从而得到BDE FGH 平面∥平面，从而BD FGH ∥平面；（Ⅱ）连接HE ，根据条件能够说明HC ，HG ，HE 三直线两两垂直，从而分别以这三直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，然后求出一些点的坐标．连接BG ，可说明1n BG=u r uuu r为平面ACFD 的一条法向量，设平面FGH 的法向量为2222(,,)n x y z =u u r ，根据2200n GH n GF ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u r uuu r g u u r uuu r g 即可求出法向量2n u u r ，设平面FGH 与平面ACFD 所成的角为θ，根据12cos cos ,n n θ=〈〉u r u u r即可求出平面FGH 与平面ACFD 所成的角的大小．【考点】线面的位置关系，两平面所夹的角 18.【答案】（Ⅰ）13,1,3,1n n n a n -=⎧=⎨>⎩，n *∈N（Ⅱ）1132+11243n n n T -=-g ，n *∈N 【解析】（Ⅰ）由23+3nn S =得111(3+3)32a S === 11111(3+3)(3+3)3(2)22n n n n n n a S S n ---=-=-=≥，而11133a -=≠，则13,1,3, 1.n n n a n -=⎧=⎨>⎩n *∈N ．（Ⅱ）由3log n n n a b a =及13,1,3, 1.n n n a n -=⎧=⎨>⎩可得311,1,log 31, 1.3n n nn n a b n a n -⎧=⎪⎪==⎨-⎪>⎪⎩.n *∈N 23111231+++++33333n n n T --=L ①223411112321++++++3333333n n n n n T ---=L ② 由①－②得，223121111111+++++33333333n n n n T --=--L223111111113333333n n n --⎛⎫=-+++++- ⎪⎝⎭L 113313212131+91392233n n n n n n ---=+-=---g 132+11823nn =-g 1132+11243n n n T -=-g ，n *∈N ．【提示】（Ⅰ）利用23+3n n S =，可求得13a =；当1n >时，1123+3n n S --=，两式相减1222n n n a S S -=-，可求得13n n a -=，从而可得{}n a 的通项公式；（Ⅱ）依题意，3log n n n a b a =，可得113b =，当1n >时，31113log 313n n n n b n ---==-g ，于是可求得1113T b ==；当1n >时，121121++++13+23++(1)3)3n n n T b b b n ---=⋯⨯⨯⋯-⨯=（，利用错位相减法可求得{}n b 的前n 项和n T ．【考点】等比数列的通项公式，数列前n 项和的问题． 19.【答案】（Ⅰ）125，135，145，235，245，3450+(1)+1=3144221EX =⨯⨯-⨯【解析】（Ⅰ）125，135，145，235，245，345.（Ⅱ）由题意知，全部“三位递增数”的个数为3984C =，随机变量X 的取值为：0，1-，1，当0X =时，可以选择除去5以外的剩下8个数字中选择3个进行组合，即38C ；当1X =-时，首先选择5，由于不能被10整除，因此不能选择数字2，4，6，8，可以从1，3，5，7中选择两个数字和5进行组合，即24C ；当1X =时，有两种组合方式，第一种方案：首先选5，然后从2，4，6，8中选择2个数字和5进行组合，即24C ；第二种方案：首先选5，然后从2，4，6，8中选择1个数字，再从1，3，7，9中选择1个数字，最后把3个数字进行组合，即1144C C ．则3839C 2(0)C 3P X ===，2439C 1(1)C 14P X =-==，1124443C C +C 11(1)C 42P X ===g ，0+(1)+1=3144221EX =⨯⨯-⨯．【提示】（Ⅰ）根据“三位递增数”的定义，即可写出所有个位数字是5的“三位递增数”；（Ⅱ）随机变量X 的取值为：0，1-，1分别求出对应的概率，即可求出分布列和期望．【考点】排列与组合的有关问题．20.【答案】（Ⅰ）22+14x y =（Ⅱ）（ⅰ）2（ⅱ）【解析】（Ⅰ）由椭圆C ：2222+1(0)x y a b a b =>>的离心率为，可知c e a ==，而222+a b c =，则2a b =，c =，左，右焦点分别是1(,)F 0，2,0)F ，圆1:F 22()+9x y =，圆2:F 22()+1x y =，有两圆相交可得24<<，即12<<，交点⎛，在椭圆C 上，则224134b b =g ，整理得4245+10b b -=，解得21b =，214b =（舍去）．故21b =，24a =，椭圆C 的方程22+14x y =．数学试卷第16页（共21页）数学试卷第17页（共21页）数学试卷第18页（共21页）（Ⅱ）（ⅰ）椭圆E 的方程为22+1164x y =，设点P 00(,)x y 满足22+14x y =，射线PO ：000(0)y y x xx x =<代入22+1164x y =可得点00(2,2),Q x y --于是||2||OQ OP ==．（ⅱ）点00(2,2),Q x y --到直线AB 距离等于圆点O 到直线AB 距离的3倍d == 22+,+1164y kx m x y =⎧⎪⎨=⎪⎩得22+4(+)16x kx m =整理得222(1+4)+8+4160k x kmx m -= 2222226416(4+1)(4)16(16+4)0k m k m k m ∆=--=->||AB =2222211||+16+4=||3612221+42(4+1)ABQ m m k m S AB d k k -=≤=g g g g △当且仅当||m =228+2m k =等号成立．而直线+y kx m =与椭圆C ：222+14xy =有交点P ，则222++14y kx m x y =⎧⎪⎨=⎪⎩有解，即224|+|4x kx m +=，222(14)+8+440k x kmx m +-=有解，其判别式22222216416(4+1)(1)16(4+1)0k m k m k m ∆=--=-≥，即221+4k m ≥，则上述228+2m k =不成立，等号不成立，设(]0,1t ，则ABQ S =△(]0,1为增函数，于是当221+4k m =时max S ==△ 故ABQ △面积的最大值为【提示】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和a ，b ，c 的关系，计算即可得到b ，进而得到椭圆C 的方程；（Ⅱ）求得椭圆E 的方程，（ⅰ）设P 00(,)x y ，||||OQ OP λ=，求得Q 的坐标，分别代入椭圆C ，E 的方程，化简整理，即可得到所求值；（ⅱ）将直线+y kx m =代入椭圆E 的方程，运用韦达定理，三角形的面积公式，将直线+y kx m =代入椭圆C 的方程，由判别式大于0，可得t 的范围，结合二次函数的最值，又ABQ △的面积为3S ，即可得到所求的最大值．【考点】椭圆的标准方程，圆交点连线所形成三角形的有关问题 21.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）01a ≤≤【解析】（1）2()ln(+1)+()f x x a x x =-，定义域为(1,+)-∞21(21)(+1)+12++1()+(21)+1+1+1a x x ax ax af x a x x x x --'=-==设2()2++1g x ax ax a =-当0a =时，()1g x =，1'()01f x x =>+函数()f x 在(1,+)-∞为增函数，无极值点．当0a >时，228(1)98a a a a a ∆=--=-，若809a ≥>时，0∆≤，()0g x ≥，'()0f x ≥函数()f x 在(1,+)-∞为增函数，无极值点．若89a >时，0∆>，设()0g x =的两个不相等的实数根12,x x ，且12,x x <且121+2x x =-，而(1)10g -=>，则12114x x -<<-<，所以当1(1,)x x ∈-，()0g x >，()0f x '>()f x 单调递增；当12(,)x x x ∈，()0g x <，()0f x '<，()f x 单调递减；当2(,+)x x ∈∞，()0g x >，()0f x '>，()f x 单调递增；因此此时函数()f x 有两个极值点；若0a <时，0∆>，但(1)10g -=>，121x x <-<，所以当1(1,)x x ∈-，()0g x >，()0f x '>，()f x 单调递增；当2(,+)x x ∈∞，()0g x <，()0f x '<，()f x 单调递减；所以函数()f x 只有一个极值点．综上所述：当809a ≥≥时()f x 无极值点；当0a <时()f x 只有一个极值点；当89a >时()f x 有两个极值点．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当809a ≥≥时，()f x 在(0,+)∞单调递增，而(0)0f =，则当(0,+)x ∈∞时，()0f x >，符合题意；当819a ≥≥时，(0)0g ≥，20x ≤，()f x 在(0,+)∞单调递增，而(0)0f =，则当(0,+)x ∈∞时，()0f x >符合题意；当1a >时，(0)0g <，20x >所以函数()f x 在2(0,)x 单调递减，而(0)0f =，则当2(0,)x x ∈时，()0f x <，不符合题意；当0a <时，设()ln(1)h x x x =-+，当(0,+)x ∈∞时，1'()101+1+xh x x x=-=>，()h x 在(0,+)∞单调递增，因此当(0,+)x ∈∞时，()(0)h x h >=，ln(+1)0x <于是22()+()+(1)f x x a x x ax a x <-=-，当11x a>-时，2+(1)0ax a x -<此时()0f x <不符合题意．综上所述：a 的取值范围是01a ≤≤【提示】（Ⅰ）函数2()ln(+1)+()f x x a x x =-，其中a ∈R ，(1)x ∈-+∞，．212++1()+(21)+1+1ax ax a f x a x x x -'=-=．令2()2++1g x ax ax a =-.对a 与△分类讨论可得：（1）当0a =时，此时()0f x '>，即可得出函数的单调性与极值的情况．（2）当0a >时，(98)a a =-△．①当809a ≥>时，0≤△，②当89a >时，0>△，即可得出函数的单调性与极值的情况．（3）当0a <时，0>△.即可得出函数的单调性与极值的情况．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：（1）当809a ≥≥时，可得函数()f x 在(0,+)∞上单调性，即可判断出．（2）当819a ≥>1时，由(0)0g ≥，可得20x ≤，函数()f x 在(0,+)∞上单调性，即可判断出．（3）当1a <时，由(0)0g <，可得20x >，利用2(0,)x x ∈时函数()f x 单调性，即可判断出；（4）当0a <时，设()ln(+1)h x x x =-，(0,+)x ∈∞，研究其单调性，即可判断出【考点】函数的极值，函数恒成立求未知数的取值范围数学试卷第19页（共21页）数学试卷第20页（共21页）数学试卷第21页（共21页）。

2015年高考山东理科数学试题及答案解析

2015 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）、选择题：本大题共 2015 年山东，理 A ） 1,3 1）数学（理科）第Ⅰ 卷（共 50 分）10小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1】已知集合 {x|x 24x 3 0}， B {x|2 x 4}，则 A B （B ） 1,4 （ C ） 2,3 D ） ) 2,4 2）2015 年山东，理 A ) 1 i 2】若复数 z 满足 z i ，其中 i 是虚数单位，则 1i （B ） 1 i （C ） 1 i D ） 1i 3） 2015 年山东，理 3】要得到函数 y sin （4x ）的图象，只需将函数 3 y sin4x 的图像 4） 5） 6） 7）A ）向左平移个单位（B ）向右平移个单位（C ）向左平移个单位（D ）向右平移个单位12 3 3 已知菱形 ABCD 的边长为 a ， ABC 60 ，则 =（ 32 （ B ） a 2 （4不等式 |x 1| |x 5| 2的解集是（（C ） xy0 x y 2 若 z ax y 的最大值为 4，则 y0 （C ）-2 在梯形 ABCD 中， ABC ，AD/ /BC ，BC 2AD 2AB 2．将梯形 ABCD2 绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ 12 2015 年山东，理 32 A ） a 2 2015 年山东，理 A ）（ ,4） 2015 年山东，理 A )3 2015 年山东，理 4】 5】 6】 7】 C ） B ) ( ,1) 32 a4 ) (1,4) ) 32D ) a 22 D ） (1,5) 已知 x,y 满足约束条件 B )2 D ） -3 （ A ）（B ）（C ） 3 3 38）【 2015 年山东，理 8】已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布其长度误差落在区间 3,6 内的概率为（）（附：若随机变量 P （）（ A ） 4.56% 9）【 2015 年山东，理 9】所在的直线的斜率为（ 53（ A ） 5或 3 35 D )2N （0,32），从中随机取一件，服从正态分布 N （ , 2 ），则10）【 2015 年山东，间 3, 6 内的概率为（68. 26，%P （ 2 2 ） 95.44%）（B ）13.59% （C ） 27.18% 一条光线从点（ 2, 3）射出，经 y 轴反射与圆（x 3）2 （y 2）2 1相切，则反射光线） 32 （ B ）或 23 3x 1,x 1, 23x x , 1,x x 11,.则满足 f （ f （a ）） 2f （a ）的取值范围是（） 2 , x 1. 10】设函数 f （x ） D ) 31.74% A ) [23 ,1] B ) [0,1] 、填空题：本大题共 11）【 2015 年山东，C ) 5 或 445 D ) 4 或 3 34 C ) [23, ) D ) [1, )第 II 卷（共 100 分）5 小题，每小题 5 分理 11】观察下列各式：14）【2015年山东，理14】已知函数 f （x ） a xb （a 0,a 1）的定义域和值域都是 [ 1,0] ，则a b 22 15 ）【 2015 年山东，理 15】平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 C 1: x2 y2 1（a 0,b 0）的渐近线与抛物线 a 2 b 22 C 2: x 22py （p 0）交于点 O, A,B ，若 OAB 的垂心为 C 2的焦点，则 C 1的离心率为．三、解答题：本大题共 6 题，共 75分．16）【 2015 年山东，理 16】（本小题满分 12分）设 f （x ） sinxcosx cos 2（x ）． 4（Ⅰ）求 f （x ）的单调区间；A（Ⅱ）在锐角 ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，若 f （） 0,a 1，求 ABC 面积．217）【2015 年山东，理 17】（本小题满分 12 分）如图，在三棱台 DEF ABC 中， AB2DE,G,H 分别为 AC, BC 的中点．（Ⅰ）求证： BD/ / 平面 FGH ；（Ⅱ）若 CF 平面 ABC ， AB BC,CF DE, BAC 45 ，求平面 FGH 与平面 ACFD 所成角（锐角）的大小．12) 13)041C 31C 51C 71030507C C CC14C4C照此规律，当 n N * 时， C 20n 1 C 21n 1 C 22n 1C 2n n 112015 年山东，2015 年山东，理 12】若 “ x [0, ],tan x m ”是真命题，则实数4理 13】执行右边的程序框图，输出的 T 的值为m 的最小值为18）【2015 年山东，理18】（本小题满分12分）设数列 {a n} 的前n项和为 S n，已知2S n 3n 3．（Ⅰ）求数列 {a n} 的通项公式；（Ⅱ）若数列 {b n}满足 a n b n log3 a n ，求数列 {b n}的前n项和T n ．19）【2015 年山东，理19】（本小题满分12 分）若 n是一个三位正整数，且 n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称 n为“三位递增数”（如137，359，567 等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取一个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数” 的三个数字之积不能被5 整除，参加者得0 分；若能被5 整除，但不能被10 整除，得-1 分；若能被10 整除，得1 分．（Ⅰ）写出所有个位数字是5 的“三位递增数”；（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望EX ．2220）【2015 年山东，理 20】（本小题满分 13分）平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C: x 2 y 2 a 2 b 2离心率为 3 ，左、右焦点分别是 F 1, F 2 ,以 F 1为圆心，以 3为半径的圆与以 F 2为圆心，以 2 1 2 1 2 交，交点在椭圆 C 上．（Ⅰ）求椭圆 C 的方程； 22 （Ⅱ）设椭圆 E: x 2 y2 1，P 为椭圆 C 上的任意一点，过点 P 的直线 y kx m 交椭圆 4a 2 4b 2射线 PO 交椭圆 E 于点 Q ．（i ）求 |OQ |的值；（ii ）求 ABQ 面积最大值．|OP|21）【2015 年山东，理 21】（本题满分 14 分）设函数 f （x ） ln （x 1） a （x 2x ），其中 a R ．（Ⅰ）讨论函数 f （x ）极值点的个数，并说明理由；1（a b 0）的 1 为半径的圆相E 于 A,B 两点，Ⅱ)若 x 0 ，f(x) 0 成立，求a 的取值范围．2015 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学（理科）第Ⅰ 卷（共50 分）、选择题：本大题共10小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1）【2015年山东，理1】已知集合{x|x2 4x 3 0} ， B {x|2 x 4}，则A B （）（A）1,3 （B）1,4 （C）2,3 （D ）2,4 答案】C解析】A {x|x2 4x 3 0} {x|1 x 3} ， A B （2,3），故选C．2）【2015年山东，理2】若复数 z满足z i ，其中i 是虚数单位，则 z （）1i（A）1 i （B）1 i （C）1 i （D）1 i答案】A解析】z （1 i）i i 2 i 1 i ，z 1 i ，故选A ．3）【2015年山东，理3】要得到函数 y sin（4x ）的图象，只需将函数 3y sin4x 的图像（A）向左平移个单位（B）向右平移个单位（C）向左平移个单位（D）向右平移个单位12 12 3 3 答案】B解析】 y sin4（x ），只需将函数 y sin4x 的图像向右平移个单位，故选B．12 12333A ） 32a 2B )3a 2 4 C ) 34a 2 4D ） 32a2 答案】 DABC 60 可知 BAD 180 60 120 ，22 3 2AB AD AB a a cos120 a 2a 2 ，故选 D ．25）【 2015年山东，理 5】不等式 |x 1| |x 5| 2的解集是（）（A ）（ ,4）（B ）（ ,1）（C ）（1,4）（ D ）（1,5）答案】 A 解析】当 x 1时， 1 x （5 x ） 4 2 成立；当 1 x 5时， x 1 （5 x ） 2x 6 2，解得 x 4 ，则1 x 4 ；当 x 5时， x 1 （x 5） 4 2不成立．综上 x 4 ，故选 A ．xy06）【 2015年山东，理 6】已知 x, y 满足约束条件 x y 2若 z ax y 的最大值为 4，则 a （） y0（ A ） 3 （B ）2 （C ）-2 （D ） -3答案】 B 解析】由 z ax y 得 y ax z ，借助图形可知：当 a 1，即 a 1时在 x y 0时有最大值 0，不符合题意；当 0 a 1，即 1 a 0时在 x y 1时有最大值 a 1 4,a 3 ，不满足 1 a 0；当 1 a 0，即 0 a 1时在 x y 1时有最大值 a 1 4,a 3，不满足 0 a 1；当 a 1，即 a 1时在 x 2,y 0时有最大值 2a 4,a 2 ，满足 a 1，故选 B ．7）【 2015年山东，理 7】在梯形 ABCD 中， ABC， AD/ /BC ， 2绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（A ）B ）BC 2AD 2AB 2 ．将梯形 ABCD ) (D )24）【 2015年山东，理 4】已知菱形 ABCD 的边长为 a ， ABC 60 ，则 =（）答案】 C15解析】 V12 2 112 1 5，故选 C ．338)【 2015年山东，理 8】已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0,32) ，从中随机取一件，其长度误差落在区间 3,6 内的概率为( )(附：若随机变量服从正态分布 N( , 2)，则 P( ) 68. 26，%P( 2 2 ) 95.44%) (A ) 4.56% (B )13.59% (C ) 27.18% (D ) 31.74% 答案】 D1解析】 P(3 6) (95.44% 68.26%) 13.59% ，故选 D ．29) 【 2015 年山东，理 9】一条光线从点 ( 2, 3)射出，经 y 轴反射与圆 (x 3)2(y 2)21相切，则反射光线所在的直线的斜率为( )533 25 44 3 ( A )或( B )或 (C )或 (D ) 或3523 4534答案】 D解析】 ( 2, 3)关于 y 轴对称点的坐标为 (2, 3) ，设反射光线所在直线为 y 3 k(x 2), 即kx y 2k 3 0，则 d | 3k 22 2k 3| 1,|5k 5| k 21，解得 k 4或 3，故选 D ．k 21 3 43x 1,x 1,解析】由菱形 ABCD 的边长为 a ，BD CD (AD AB) ( AB)53 3 310)【2015 年山东，理 10】设函数 f(x) x 则满足 f (f(a)) 2 f (a)的取值范围是( )2x, x 1. 22(A ) [ ,1](B ) [0,1](C )[ , )(D )[1, )33答案】 Ca 1a 1 2解析】由 f( f(a)) 2f(a)可知 f(a) 1，则 a 或，解得 a 2，故选 C ．2 1 3a 1 1 3第 II 卷(共 100 分)、填空题：本大题共 5小题，每小题 5 分 11) 【 2015 年山东，理 11】观察下列各式：照此规律，当 n N *时， C 20n 1 C 12n1 C 22n 1 C 2n n 11解析】 C 20n 1 C 21n 1 C 22n1 C 2n n 11 1(2C 20n 1 2C 21n 1 2C 22n 1 2C 2n n 11) 21[(C 20n 1 C 22n n 11) (C 21n 1 C 22n n 12 ) (C 22n 1 C 22n n 13) (C 2n n 11 C 2n n 1)] 1(C 20n 1 C 21n1C 22n 1 C 2n n 11 C 2n n1 C 22n n 11) 1 22n 1 4n12212) 【2015年山东，理12】若“ x [0, ],tan x m”是真命题，则实数 m 的最小值为答案】 1解析】 “ x [0, ],tan x m ”是真命题，则 m tan 1，于是实数 m 的最小值为 1． 44 13) 【2015 年山东，理 13】执行右边的程序框图，输出的 T 的值为．答案】111514CC131517 10103050112 1 1 11解析】T 1 0 xdx 0 x dx 1 2131 161 ．14) 【2015 年山东，理 14】已知函数 f (x) a xb (a 0,a 1)的定义域和值域都是 [ 1,0] ，则 a b答案】 221 1 1 1 1 1解：(Ⅰ)由f(x) sin2x [1 cos(2x )] sin2x sin2x sin2x ，2 2 2 2 2 2 2由2k 2x 2k ,k Z 得 k x k ,k Z ， 2 2 4 4则f(x)的递增区间为[k ,k ],k Z ；4433由 2k 2x 2k ,k Z 得 k x k ,k Z ，2 2 4 4则 f(x) 的递增区间为 [k ,k 3],k Z ．44Ⅱ)在锐角 ABC 中， f (A) sinA 10,sin A 1， A ，而 a 1，2 2 2 6由余弦定理可得 1 b 3 c 2 2bccos 2bc 3bc (2 3)bc ，当且仅当 b c 时等号成立，611 1 123 2 3 即 bc 1 2 3 ， S ABC1bcsin A 1bc sin 1bc 2 3故ABC 面积的最大值为 23（Ⅱ）若 CF 平面 ABC ， AB BC,CF DE, BAC 45 ，求平面 FGH 与平面 ACFD 所成角（锐角）的大小．解：（Ⅰ）证明：连接 DG ， DC ，设 DC 与GF 交于点 T ，在三棱台 DEF ABC 中， AB 2DE ，则 AC 2DF ，而 G 是AC 的中点， DF AC ，则 DF / /GC ，所以四边形 DGCF 是平行四边形， T 是 DC 的中点， DG FC ．3 3 2 2 64 4 4（17）【2015 年山东，理 17】（本小题满分 12分）如图，在三棱台 DEF ABC 中， AB 2DE,G,H 分别为 AC,BC 的中点．解析】当 a11a 1b 1，无解；当 0 a 1时a 1b 0 a 0 b 0a 0b 11 1 3，解得b 2,a 2，则 a b 2 2 215)【 2015年山东，理 15】平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 C 1 : 2 a 2 2y2 1（a 0,b 0）的渐近线与抛物线C 2 : x 2答案】 322py （p 0）交于点 O,A,B ，若 OAB 的垂心为C 2 的焦点，则 C 1的离心率为x2 y 2b解析】 C 1: x 2 y 2 1(a 0,b 0)的渐近线为 y bx ，则 a b aA(2pb222pb 22),B( 2pb 2pb 222pb2pC 2 : x 22py(p 0) 的焦点 F(0,2)，则 k AF2 a 2pb2 b 2 2a2c 2a2b 2c3 e a2三、解答题：本大题共 6题，共 75 分．16）【2015 年山东，理 16】（本小题满分 12 分）设2f(x) sin xcosx cos (x ) ．4Ⅰ）求 f （x ）的单调区间；Ⅱ）在锐角 ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若 f (A) 0,a 1，求 ABC 面积．又在 BDC ，是 BC 的中点，则 TH DB ，又 BD 平面 FGH ， TH 平面 FGH ，故 BD // 平面 FGH ．Ⅱ）由 CF 平面 ABC ，可得 DG 平面 ABC 而， AB BC ， BAC 45 ，则 GB AC ，于是 GB,GA,GC 两两垂直，以点 G 为坐标原点， GA,GB,GC 所在的直线，分别为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系，设 AB 2,则 DE CF 1,AC 2 2,AG 2 , B （0,2,0）, C （ 2,0,0）, F （ 2,0,1）, H （ 2, 2,0），22则平面 ACFD 的一个法向量为 n 1 （0,1,0），设平面 FGH 的法向量为2x 2y 0，即 2 x 2 2 y 2 0 ， 2x 2 z 2 0n 2 GH 0n 2 (x 2,y 2,z 2 ) ，则n 2 GF 0取 x21，则 y 2 1,z 22 ， n 2 （1,1, 2），11 cos n 1,n 21 1，故平面 FGH 与平面 ACFD 所成角（锐角）的大小为 60 ．1 12 2 18）【2015 年山东，理 18】（本小题满分 12分）设数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，已知 2S n 3n 3．（Ⅰ）求数列 {a n } 的通项公式；（Ⅱ）若数列 {b n } 满足 a n b n log3 a n ，求数列 {b n } 的前 n 项和 T n ． n 1 1 n 2S n 3n 3可得 a 1 S 1 （3 3） 3 ， a n S n S n 1 （3n22 3, n 1 ． 3n 1,n 1 ．解：（Ⅰ）由 11a 1 3 31 1，则 a n Ⅱ）由 a n b n log 3 a n 及 a n 3, n 1 33n , 1,n n 11，可得 bn log 3 a na n13 n1 3n 1 3) 1(3n 1 3) 3n 1(n 2) ， 2 n1 n1T n 1 1 22 33n n 11，3 3 32 333n 121 1111Tn2 2 33n3332 32 33 112 3 3n9 1 13T13 2n 1Tnn 1n12 4 3n 119)【 2015 年山东，理 19】 n 1 2 1 3n9 21T n 31 3n 1n12 1223 34n 2 n 132 323 4n 1 1 n23n3 323 2 3n2 234 n 1 n3 3 3 31 1 1 1 1 n 1 (2 3n1 ) n32 33 3n 13nn 1 13 2n 1 3n 18 2 3n若 n 是一个三位正整数，且 n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称 n 为“三位递增数 ”（如 137， 359， 567 等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的 “三位递增数 ”中随机抽取一个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的的三个数字之积不能被 5 整除，整除，得 1 分．（Ⅰ）写出所有个位数字是 5 的（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分解：（Ⅰ） 125， 135， 145， 235， 245，本小题满分 12 分）三位递增数 ” 参加者得 0 分；若能被 5 整除，但不能被 10 整除，得 -1 分；若能被 10 “三位递增数 ”；X 的分布列和数学期望 EX ．345；Ⅱ） X 的所有取值为 -1， 0，1．P(X 0) C C83 32,P(X1) CC43C93C91 ,P(X 1) C 41 C 413 C 421114 C 93 42C 93X0 -1 1甲得分 X 的分布列为：22 111 P3 14422 1 11 4EX 0 32114 ( 1) 4112 1 241由两圆相交可得 2 2 3b 4，即 1 3b 2，交点4 1 (3b则 2 4 23b2 3b 2 4b2b 2故 b 2 1， a 2 4，椭圆 C 的方程为 x y 2 1．64k 2m 216(4 k 2 1)(m 24) 16(16k 24 m 2)0，| AB |1 k216(16k 2 4 m 2)1 4k 22m 1 4k 2y kx m y 2 kx 2 m 有解， x 4y 4即 x 2 4(kx m)2 4,(1 4k 2)x 2 8kmx 4m 2 4 0 有解，其判别式 1 64k 2m 2 16(1 4k 2)(m 2 1) 16(1 4k 2 m 2) 0 ，即1 4k 2 m 2，则上述 m 2 8k 2 2 不成立，等号不成立，设t |m| 2 (0,1] ，则 S 6|m| 16k 24 m 6 (4 t)t 在 (0,1]为增函数， 1 4k 2 1 4k 22Ⅱ）（i ）椭圆 E 的方程为 x y1，设点 P （x 0, y 0），满足16 4代入16 41可得点Q( 2x0, 2 y 0)，于是 |OP|2x0y 02 1，射线 PO: y y0x(xx 0 0) ， 4 x 0( 2x 0)2( 2y 0)22．x 02y 02ii )点Q( 2x 0, 2 y 0 )到直线 AB 距离等于原点 O 到直线 AB 距离的 3倍： y kx mx 2 y 2 ，得 x 2 4(kx m)2 16 ， 116 4 整理得 (1 4k 2 )x 2 8kmx 4m 2 16 0 ． | 2kx 0 2y 0 m| |m| ，d 31 k2 ，1 k220）【2015 年山东，理 20】（本小题满分 13 分）平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆2xy C: 22 ab1(a b 0) 的离心率为 3 ，左、右焦点分别是 F 1, F 2 ,以 F 1为圆心，以21 2 1 交，交点在椭圆 C 上．（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；22（Ⅱ）设椭圆 E: x 2 y 2 1，P 为椭圆 C 上的任意一点，4a2 4b2射线 PO 交椭圆 E 于点 Q ．（i ）求 |OQ |的值；（ii ）求 ABQ 面积最大值．|OP| 解：（Ⅰ）由椭圆 C : x2 y2 1（a b 0）的离心率为 3可知a 2b 22 3 为半径的圆与以 F 2 为圆心，以过点 P 的直线 y kx m 交椭圆 c e a 右焦点分别是 F 1( 3b,0), F 2 ( 3b,0) ,圆 F 1：(x 3b)2 y 21 为半径的圆相E 于 A,B 两点，3 2 2 23 ，而 a 2 b 2 c 2则 a 2b,c 3b ，左、 29,圆 F 2： (x 3b)2y 21,3b ）211，整理得 4b 45b 21 0，解得 b 21， b 2 1（舍去）， 42 2 2 m 16k 4 m 62 2(4k21)1 1 |m|2 2 |m| 16k 24S| AB |d 3 2 4 16k 2 4 m 262 2 1 4k 2当且仅当 |m| 16k 2 4 m 2,m 2 8k 2 2 等号成立．x 2而直线 y kx m 与椭圆 C: x y 2 1有交点 P ，则 12 ，,122）在椭圆 C 上，于是当 1 4k 2 m 2时 S max 6 (4 1) 1 6 3 ，故 ABQ 面积最大值为 12． 21)【2015 年山东，理 21】(本题满分14 分)设函数 f (x) ln(x 1) a(x 2x)，其中 a R ．(Ⅰ)讨论函数 f(x) 极值点的个数，并说明理由； (Ⅱ)若 x 0， f(x) 0成立，求 a 的取值范围．11且x 1 x22，而 g( 1) 1 0，则 1 x 1 x 2 ，所以当 x ( 1,x 1),g(x) 0, f (x) 0,f(x)单调递增；当 x (x 1,x 2),g(x) 0,f (x) 0, f (x)单调递减；当 x (x 2, ),g(x) 0, f (x) 0, f (x)单调递增．因此此时函数 f (x) 有两个极值点；当 a 0时 0，但 g( 1) 1 0， x 1 1 x 2 ，所以当 x ( 1,x 2 ), g (x) 0, f (x) 0,f (x)单调递増；当 x (x 2, ),g(x) 0,f (x) 0,f (x) 单调递减，所以函数只有一个极值点．88综上可知当 0 a 时 f ( x)的无极值点；当 a 0时 f (x)有一个极值点；当 a 时， f (x)的有两个99 极值点． Ⅱ)由(Ⅰ)可知当 0 a 8时 f(x) 在(0, ) 单调递增，而 f(0) 0，9则当 x (0, )时， f (x) 0 ，符合题意； 8当 8a 1时， g(0) 0,x 2 0， f (x) 在(0, )单调递增，而 f(0) 0， 9则当 x (0, ) 时， f (x) 0 ，符合题意；当 a 1时， g(0) 0,x 2 0 ，所以函数 f(x)在 (0,x 2)单调递减，而 f(0) 0，则当 x (0,x 2) 时， f(x) 0，不符合题意；当 a 0 时，设 h(x) x ln(x 1)，当 x (0, ) 时 h(x) 1 1 x0 ，x11xh(x)在(0, )单调递增，因此当 x (0, ) 时 h(x) h(0) 0,ln(x 1) 0，1于是 f (x) x a(x 2 x) ax 2 (1 a)x ，当 x 1 时 ax 2 (1 a)x 0，a 此时 f (x) 0 ，不符合题意．综上所述， a 的取值范围是 0 a 1 ．另解：(Ⅰ) f(x) ln(x 1) a(x 2 x) ，定义域为 ( 1, )f (x)1 a(2x 1) a(2x 1)(x 1) 1 2ax2 ax 1 a ，x 1 x 1 x 11当 a 0时， f (x)0，函数 f (x)在 ( 1, )为增函数，无极值点．x1设 g(x) 2ax 2 ax 1 a,g( 1) 1, a 2 8a(1 a) 9a 2 8a ，当 a 0时，根据二次函数的图像和性质可知 g(x) 0的根的个数就是函数 f(x) 极值点的个数．8若 a(9a 8) 0，即 0 a 时， g(x) 0， f (x) 0函数在 ( 1, )为增函数，无极值点．解：(Ⅰ) f(x) ln(x 1) a(x 2x) ，定义域为 ( 1, ) ，21 a(2x 1)(x 1) 1 2ax ax 1 a2 a(2x 1)，设 g(x) 2ax 2 ax 1 a ，f (x)x 1x1当 a 0 时， x11g(x) 1,f (x) 10，函数 f(x) 在( 1, )为增函数，无极值点． x122a 8a(1 a) 9a 8a ，当 a 0 时， 8若0 a 时 0， g(x) 0,f (x) 0，函数 f(x)在 ( 1, )为增函数，无极值点． 98若 a 时 0，设 g(x) 0的两个不相等的实数根 x 1,x 2 ，且 x 1 x 2 ，998若 a(9a 8) 0，即 a或a 0，而当 a 0时 g( 1) 0 9此时方程 g(x) 0在 ( 1, )只有一个实数根，此时函数 f ( x)只有一个极值点； 8当 a 时方程 g(x) 0在 ( 1, )都有两个不相等的实数根，此时函数 f (x)有两个极值点；988综上可知当 0 a 9时 f (x)的极值点个数为 0；当 a 0时 f (x)的极值点个数为 1；当 a 9 时，99f (x) 的极值点个数为 2．22 (Ⅱ)设函数 f (x) ln(x 1) a(x 4 x)， x 0，都有 f(x) 0成立，即 ln( x 1) a(x 2x) 0 当 x 1时， ln2 0 恒成立；当 x1时， x 2 x 0， ln(2x 1)a 0；x 2 x当 0 x 1时， x 2 x 0 ， ln(2x 1) a 0；由 x 0均有 ln(x 1) x 成立．x 2 x故当 x 1时，， ln(2x 1) 1(0, ) ，则只需 a 0 ；x x x 1当 0 x 1时， ln(2x 1) 1( , 1)，则需 1 a 0 ，即 a 1．综上可知对于 x 0，都有x 2 x x 1f(x) 0 成立，只需 0 a 1即可，故所求 a 的取值范围是 0 a 1．另解：(Ⅱ)设函数 f (x) ln(x 1) a(x x)， f(0) 0，要使 x 0，都有 f (x) 0成立，只需函数函数 f (x) 在1(0, )上单调递增即可，于是只需 x 0， f (x) a(2x 1) 0 成立，x11 1 2当 x 1 时 a ，令 2x 1 t 0， g(t)( ,0) ，2 (x 1)(2x 1) t(t 3)1 2 1f ( ) 0 ；当 0 x 1 ， a 2 3 2 (x 1)(2x 1) g(t) 2关于 t ( 1,0)单调递增， t(t 3)1，则 a 1，于是 0 a 1 ．1( 1 3)又当 a 1时， g(0) 0,x 2 0 ，所以函数 f(x) 在(0, x 2 )单调递减，而 f (0) 0，则当 x (0, x 2 )时， f (x) 0，不符合题意；1x 当 a 0时，设 h(x) x ln(x 1)，当 x (0, )时 h(x) 1 0，x 1 1 x h(x) 在(0, )单调递增，因此当 x (0, ) 时h(x) h(0) 0,ln( x 1) 0，2 21 2于是 f (x) x a(x 2 x) ax 2 (1 a)x ，当 x 1 时 ax 2 (1 a)x 0，此时 f (x) 0 ，不符合题意．a综上所述， a 的取值范围是 0 a 1 ．评析】求解此类问题往往从三个角度求解：一是直接求解，通过对参数a 的讨论来研究函数的单调性，进一步确定参数的取值范围；二是分离参数法，求相应函数的最值或取值范围以达到解决问题的目的；三是凭借函数单调性确定参数的取值范围，然后对参数取值范围以外的部分进行分析验证其不符合题意，即可确定所求．1则 a 0；当 x 1 时 2令 2x 1 t ( 1,0) ，则 g(t) g( 1)。

2015年山东卷理科数学高考试卷(原卷答案)

绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学本试卷共21题，共150分。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题本部分共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项。

1.已知集合{}243|0A x xx =−+<，{}24|B x x =<<，则A B =（）A ．（1，3）B ．（1，4）C ．（2，3）D ．（2，4）2.若复数Z 满足1Zi i=−，其中i 为虚数为单位，则Z=（） A ．1-iB ．1+iC ．-1-iD ．-1+i3.要得到函数sin(4)3y x π=−的图像，只需要将函数y=sin4x 的图像（）A ．向左平移12π个单位 B ．向右平移12π个单位 C ．向左平移3π个单位D ．向右平移3π个单位4.已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=︒，则BD CD ⋅=（） A ．232a −B ．234a −C ．234a D ．232a 5.不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是（） A ．(,4)−∞B ．(,1)−∞C ．（1，4）D ．（1，5）6.已知x,y 满足约束条件020x y x y y −≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若z=ax+y 的最大值为4，则a=（） A ．3B ．2C ．-2D ．-37.在梯形ABCD 中，2ABC π∠=，AD//BC ，BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（） A ．23π B ．43π C ．53π D ．2π8.已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N （0，3），从中随机取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（）（附：若随机变量服从正态分布2(,)N μσ，则(P μσ−<)68.26%μσ<+=，(2P μσ−<2)95.44%μσ<+=。

2015山东高考数学(理)试题及答案

2015年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)（1）已知集合A={X|X ²-4X+3<0}，B={X|2<X<4},则A B=C（A ）（1，3）（B ）（1，4）（C ）（2，3）（D ）（2，4）（2）若复数Z 满足1Zi i=-，其中i 为虚数单位，则Z=A （A ）1-i （B ）1+i （C ）-1-i （D ）-1+i（3）要得到函数y=sin （4x-3π）的图像，只需要将函数y=sin4x 的图像（C ）（A ）向左平移12π个单位（B ）向右平移12π个单位（C ）向左平移3π个单位（D ）向右平移3π个单位（4）已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC=60o,则BD CD＝D（A ）- （B ）- （C ）（D ）（5）不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是A（A ）（-，4）（B ）（-，1）（C ）（1，4）（D ）（1，5）（6）已知x,y 满足约束条件，若z=ax+y 的最大值为4，则a=B（A ）3 （B ）2 （C ）-2 （D ）-3（7）在梯形ABCD 中，∠ABC=，AD//BC ，BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为C（A ）（B ）（C ）（D ）2（8）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0，32），从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（附：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ²），则P（μ-σ<ξ<μ+σ）=68.26%，P（μ-2σ<ξ<μ+2σ）=95.44%.）B（A）4.56% （B）13.59% （C）27.18% （D）31.74% （9）一条光线从点（-2，-3）射出，经y轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（D）（A）或（B或（C）或（D）或（10）设函数f(x)=,则满足f(f(a))=的a的取值范围是（C （A）[,1]（B）[0,1]（C）[（D）[1, +第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

2015年普通高等学校招生全国统一考试山东卷理科数学(2015年山东省高考理科数学)

2015年普通高等学校招生全国统一考试山东理科数学参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ).第Ⅰ卷(共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ＝{x|x 2﹣4x ＋3<0}，B ＝{x|2<x<4}，则A ∩B ＝( ) A ．(1，3) B ．(1，4) C ．(2，3) D ．(2，4) 答案：C 解析：A ＝{x|x 2﹣4x ＋3<0}＝{x|1<x<3}，B ＝{x|2<x<4}，结合数轴，知A ∩B ＝{x|2<x<3}. 2.若复数z 满足z 1−i＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( )A ．1﹣iB ．1＋iC ．﹣1﹣iD ．﹣1＋i答案：A解析：∵z1−i ＝i ，∴z ＝i(1﹣i)＝i ﹣i 2＝1＋i .∴z ＝1﹣i .3.要得到函数y ＝sin (4x −π3)的图象，只需将函数y ＝sin4x 的图象( ) A ．向左平移π12个单位 B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位答案：B解析：∵y ＝sin (4x −π3)＝sin [4(x −π12)]，∴只需将函数y ＝sin4x 的图象向右平移π12个单位即可.4.已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝( ) A ．﹣32a 2 B ．﹣34a 2 C ．34a 2 D ．32a 2答案：D解析：如图设BA⃗⃗⃗⃗⃗ ＝a ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝B ．则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(a ＋b)·a ＝a 2＋a·b ＝a 2＋a ·a ·cos60°＝a 2＋12a 2＝32a 2.5.不等式|x ﹣1|﹣|x ﹣5|<2的解集是( )A ．(﹣∞，4)B ．(﹣∞，1)C ．(1，4)D ．(1，5) 答案：A解析：当x ≤1时，不等式可化为(1﹣x )﹣(5﹣x )<2，即﹣4<2，满足题意；当1<x<5时，不等式可化为(x ﹣1)﹣(5﹣x )<2，即2x ﹣6<2，解得1<x<4；当x ≥5时，不等式可化为(x ﹣1)﹣(x ﹣5)<2，即4<2，不成立. 故原不等式的解集为(﹣∞，4). 6.已知x ，y 满足约束条件{x −y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0.若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝( )A ．3B ．2C ．﹣2D ．﹣3答案：B解析：由约束条件画出可行域，如图阴影部分所示.线性目标函数z ＝ax ＋y ，即y ＝﹣ax ＋z. 设直线l 0：ax ＋y ＝0.当﹣a ≥1，即a ≤﹣1时，l 0过O (0，0)时，z 取得最大值，z max ＝0＋0＝0，不合题意；当0≤﹣a<1，即﹣1<a ≤0时，l 0过B (1，1)时，z 取得最大值，z max ＝a ＋1＝4，∴a ＝3(舍去)；当﹣1<﹣a<0时，即0<a<1时，l 0过B (1，1)时，z 取得最大值，z max ＝2a ＋1＝4，∴a ＝32(舍去)；当﹣a ≤﹣1，即a ≥1时，l 0过A (2，0)时，z 取得最大值，z max ＝2a ＋0＝4，∴a ＝2. 综上，a ＝2符合题意.7.在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) A ．2π3B ．4π3C ．5π3D ．2π答案：C解析：由题意可得旋转体为一个圆柱挖掉一个圆锥.V 圆柱＝π×12×2＝2π，V 圆锥＝13×π×12×1＝π3.∴V 几何体＝V 圆柱﹣V 圆锥＝2π﹣π3＝5π3.8.已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为( )(附：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ﹣σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%，P (μ﹣2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.44%.)A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%答案：B解析：由正态分布N (0，32)可知，ξ落在(3，6)内的概率为P(μ−2σ<ξ<μ＋2σ)−P(μ−σ<ξ<μ＋σ)2＝95.44%−68.26%2＝13.59%.9.一条光线从点(﹣2，﹣3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y ﹣2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( ) A ．﹣53或﹣35 B ．﹣32或﹣23 C ．﹣54或﹣45D ．﹣43或﹣34答案：D解析：如图，作出点P (﹣2，﹣3)关于y 轴的对称点P 0(2，﹣3).由题意知反射光线与圆相切，其反向延长线过点P 0.故设反射光线为y ＝k (x ﹣2)﹣3，即kx ﹣y ﹣2k ﹣3＝0.∴圆心到直线的距离d ＝√1＋k 2＝1，解得k ＝﹣43或k ＝﹣34.10.设函数f (x )＝{3x −1，x <1，2x ，x ≥1.则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A ．[23，1] B ．[0，1] C ．[23，＋∞)D ．[1，＋∞)答案：C解析：当a ＝2时，f (2)＝4，f (f (2))＝f (4)＝24，显然f (f (2))＝2f (2)，故排除A ，B ．当a ＝23时，f (23)＝3×23﹣1＝1，f (f (23))＝f (1)＝21＝2. 显然f (f (23))＝2f(23).故排除D ．综上，选C ．第Ⅱ卷(共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.观察下列各式：C 10＝40；C 30＋C 31＝41； C 50＋C 51＋C 52＝42； C 70＋C 71＋C 72＋C 73＝43； ……照此规律，当n ∈N *时，C 2n−10＋C 2n−11＋C 2n−12＋…＋C 2n−1n−1＝__________.答案：4n ﹣1解析：观察各式有如下规律：等号左侧第n 个式子有n 项，且上标分别为0，1，2，…，n ﹣1，第n 行每项的下标均为2n ﹣1.等号右侧指数规律为0，1，2，…，n ﹣1.所以第n 个式子为C 2n−10＋C 2n−11＋C 2n−12＋…＋C 2n−1n−1＝4n ﹣1.12.若“∀x ∈[0，π4]，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为__________. 答案：1解析：由题意知m ≥(tan x )max .∵x ∈[0，π4]，∴tan x ∈[0，1]， ∴m ≥1.故m 的最小值为1.13.执行下边的程序框图，输出的T 的值为__________.答案：116解析：初始n ＝1，T ＝1.又∫1x n d x ＝1n ＋1x n ＋1|01＝1n ＋1，∵n ＝1<3，∴T ＝1＋11＋1＝32，n ＝1＋1＝2； ∵n ＝2<3，∴T ＝32＋12＋1＝116，n ＝2＋1＝3；∵n ＝3，不满足“n<3”，执行“否”，∴输出T ＝116.14.已知函数f (x )＝a x ＋b (a>0，a ≠1)的定义域和值域都是[﹣1，0]，则a ＋b ＝__________. 答案：﹣32解析：f (x )＝a x ＋b 是单调函数，当a>1时，f (x )是增函数，∴{a −1＋b ＝−1，a 0＋b ＝0，无解.当0<a<1时，f (x )是减函数，∴{a −1＋b ＝0，a 0＋b ＝−1，∴{a ＝12，b ＝−2. 综上，a ＋b ＝12＋(﹣2)＝﹣32.15.平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：x 2a −y 2b ＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线C 2：x 2＝2py (p>0)交于点O ，A ，B ．若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为__________. 答案：32解析：双曲线的渐近线为y ＝±ba x.由{y ＝ba x ，x 2＝2py ，得A (2bp a ，2b 2p a ).由{y ＝−ba x ，x 2＝2py ，得B (−2bp a ，2b 2p a 2). ∵F (0，p2)为△OAB 的垂心，∴k AF ·k OB ＝﹣1.即2b 2p a 2−p22bpa−0·(−ba )＝﹣1，解得b 2a 2＝54，∴c 2a 2＝94，即可得e ＝32.三、解答题：本大题共6小题，共75分.16.(本小题满分12分)设f (x )＝sin x cos x ﹣cos 2(x ＋π4). (1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，C ．若f (A2)＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值. 解：(1)由题意知f (x )＝sin2x 2−1＋cos(2x ＋π2)2＝sin2x 2−1−sin2x2＝sin2x ﹣12.由﹣π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z ，可得﹣π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z ；由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z ，可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间是[−π4＋kπ，π4＋kπ](k ∈Z)；单调递减区间是[π4＋kπ，3π4＋kπ](k ∈Z).(2)由f (A2)＝sin A ﹣12＝0，得sin A ＝12，由题意知A 为锐角，所以cos A ＝√32. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2﹣2bc cos A ，可得1＋√3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，即bc ≤2＋√3，且当b ＝c 时等号成立. 因此12bc sin A ≤2＋√34.所以△ABC 面积的最大值为2＋√34.17.(本小题满分12分)如图，在三棱台DEF ﹣ABC 中，AB ＝2DE ，G ，H 分别为AC ，BC 的中点. (1)求证：BD ∥平面FGH ；(2)若CF ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，CF ＝DE ，∠BAC ＝45°，求平面FGH 与平面ACFD 所成的角(锐角)的大小.(1)证法一：连接DG ，CD ，设CD ∩GF ＝O ，连接OH.在三棱台DEF ﹣ABC 中，AB ＝2DE ，G 为AC 的中点，可得DF ∥GC ，DF ＝GC ，所以四边形DFCG 为平行四边形.则O 为CD 的中点，又H 为BC 的中点，所以OH ∥BD ，又OH ⊂平面FGH ，BD ⊄平面FGH ，所以BD ∥平面FGH.证法二：在三棱台DEF ﹣ABC 中，由BC ＝2EF ，H 为BC 的中点，可得BH ∥EF ，BH ＝EF ，所以四边形BHFE 为平行四边形.可得BE ∥HF .在△ABC 中，G 为AC 的中点，H 为BC 的中点，所以GH ∥AB ．又GH ∩HF ＝H ，所以平面FGH ∥平面ABED ．因为BD ⊂平面ABED ，所以BD ∥平面FGH.(2)解法一：设AB ＝2，则CF ＝1.在三棱台DEF ﹣ABC 中，G 为AC 的中点，由DF ＝12AC ＝GC ，可得四边形DGCF 为平行四边形，因此DG ∥FC ．又FC ⊥平面ABC ，所以DG ⊥平面ABC ．在△ABC 中，由AB ⊥BC ，∠BAC ＝45°，G 是AC 中点，所以AB ＝BC ，GB ⊥GC ，因此GB ，GC ，GD 两两垂直.以G 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系G ﹣xyz. 所以G (0，0，0)，B (√2，0，0)，C (0，√2，0)，D (0，0，1). 可得H (√22，√22，0)，F (0，√2，1)，故GH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(√22，√22，0)，GF ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0，√2，1). 设n ＝(x ，y ，z )是平面FGH 的一个法向量，则由{n ·GH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，n ·GF ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，可得{x ＋y ＝0，√2y ＋z ＝0.可得平面FGH 的一个法向量n ＝(1，﹣1，√2). 因为GB ⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面ACFD 的一个法向量，GB⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(√2，0，0)，所以cos <GB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n >＝GB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n |GB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|n|√22√212. 所以平面FGH 与平面ACFD 所成角(锐角)的大小为60°.解法二：作HM ⊥AC 于点M ，作MN ⊥GF 于点N ，连接NH. 由FC ⊥平面ABC ，得HM ⊥FC ，又FC ∩AC ＝C ，所以HM ⊥平面ACFD ．因此GF ⊥NH ，所以∠MNH 即为所求的角.在△BGC 中，MH ∥BG ，MH ＝12BG ＝√22，由△GNM ∽△GCF ，可得MNFC ＝GMGF ，从而MN ＝√66.由HM ⊥平面ACFD ，MN ⊂平面ACFD ，得HM ⊥MN ，因此tan ∠MNH ＝HM MN＝√3，所以∠MNH ＝60°.所以平面FGH 与平面ACFD 所成角(锐角)的大小为60°.18.(本小题满分12分)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知2S n ＝3n ＋3. (1)求{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n b n ＝log 3a n ，求{b n }的前n 项和T n . 解：(1)因为2S n ＝3n ＋3，所以2a 1＝3＋3，故a 1＝3，当n>1时，2S n ﹣1＝3n ﹣1＋3，此时2a n ＝2S n ﹣2S n ﹣1＝3n ﹣3n ﹣1＝2×3n ﹣1，即a n ＝3n ﹣1，所以a n ＝{3，n ＝1，3n−1，n >1.(2)因为a n b n ＝log 3a n ，所以b 1＝13，当n>1时，b n ＝31﹣n log 33n ﹣1＝(n ﹣1)·31﹣n . 所以T 1＝b 1＝13；当n>1时，T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝13＋(1×3﹣1＋2×3﹣2＋…＋(n ﹣1)×31﹣n )，所以3T n ＝1＋(1×30＋2×3﹣1＋…＋(n ﹣1)×32﹣n )，两式相减，得2T n ＝23＋(30＋3﹣1＋3﹣2＋ (32)n )﹣(n ﹣1)×31﹣n ＝23＋1−31−n 1−3−1﹣(n ﹣1)×31﹣n ＝136−6n ＋32×3n，所以T n ＝1312−6n ＋34×3n.经检验，n ＝1时也适合. 综上可得T n ＝1312−6n ＋34×3n.19.(本小题满分12分)若n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”(如137，359，567等).在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得﹣1分；若能被10整除，得1分. (1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；(2)若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望EX.解：(1)个位数是5的“三位递增数”有125，135，145，235，245，345；(2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为C 93＝84，随机变量X 的取值为：0，﹣1，1，因此P (X ＝0)＝C 83C 93＝23，P (X ＝﹣1)＝C 42C 93＝114，P (X ＝1)＝1﹣114−23＝1142.所以X 的分布列为则EX ＝0×23＋(﹣1)×114＋1×1142＝421.20.(本小题满分13分)平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为√32，左、右焦点分别是F 1，F 2.以F 1为圆心以3为半径的圆与以F 2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上. (1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b 2＝1，P 为椭圆C 上任意一点.过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q.①求|OQ||OP|的值；②求△ABQ 面积的最大值.解：(1)由题意知2a ＝4，则a ＝2.又ca ＝√32，a 2﹣c 2＝b 2，可得b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由(1)知椭圆E 的方程为x 216＋y 24＝1.①设P (x 0，y 0)，|OQ||OP|＝λ，由题意知Q (﹣λx 0，﹣λy 0).因为x 024＋y 02＝1，又(−λx 0)216＋(−λy 0)24＝1，即λ24(x 024＋y 02)＝1，所以λ＝2，即|OQ||OP|＝2. ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2﹣16＝0，由Δ>0，可得m 2<4＋16k 2.①则有x 1＋x 2＝﹣8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2−161＋4k 2.所以|x 1﹣x 2|＝4√16k 2＋4−m 21＋4k 2.因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m )，所以△OAB 的面积S ＝12|m||x 1﹣x 2|＝2√16k 2＋4−m 2|m|1＋4k 2＝2√(16k 2＋4−m 2)m 21＋4k 2＝2√(4−m 21＋4k2)m 21＋4k 2.设m 21＋4k 2＝t.将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2﹣4＝0，由Δ≥0，可得m 2≤1＋4k 2. ②由①②可知0<t ≤1，因此S ＝2√(4−t)t ＝2√−t 2＋4t .故S ≤2√3，当且仅当t ＝1，即m 2＝1＋4k 2时取得最大值2√3. 由①知，△ABQ 面积为3S ，所以△ABQ 面积的最大值为6√3.21.(本小题满分14分)设函数f (x )＝ln(x ＋1)＋a (x 2﹣x )，其中a ∈R . (1)讨论函数f (x )极值点的个数，并说明理由； (2)若∀x>0，f (x )≥0成立，求a 的取值范围.解：(1)由题意知函数f (x )的定义域为(﹣1，＋∞)，f'(x )＝1x ＋1＋a (2x ﹣1)＝2ax 2＋ax−a ＋1x ＋1.令g (x )＝2ax 2＋ax ﹣a ＋1，x ∈(﹣1，＋∞).当a ＝0时，g (x )＝1，此时f'(x )>0，函数f (x )在(﹣1，＋∞)单调递增，无极值点；当a>0时，Δ＝a 2﹣8a (1﹣a )＝a (9a ﹣8).①当0<a ≤89时，Δ≤0，g (x )≥0，f'(x )≥0，函数f (x )在(﹣1，＋∞)单调递增，无极值点；②当a>89时，Δ>0，设方程2ax 2＋ax ﹣a ＋1＝0的两根为x 1，x 2(x 1<x 2)，因为x 1＋x 2＝﹣12，所以x 1<﹣14，x 2>﹣14.由g (﹣1)＝1>0，可得﹣1<x 1<﹣14.所以当x ∈(﹣1，x 1)时，g (x )>0，f'(x )>0，函数f (x )单调递增，当x ∈(x 1，x 2)时，g (x )<0，f'(x )<0，函数f (x )单调递减，当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )>0，f'(x )>0，函数f (x )单调递增. 因此函数有两个极值点. 当a<0时，Δ>0，由g (﹣1)＝1>0，可得x 1<﹣1.当x ∈(﹣1，x 2)时，g (x )>0，f'(x )>0，函数f (x )单调递增；当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )<0，f'(x )<0，函数f (x )单调递减；所以函数有一个极值点.综上所述，当a<0时，函数f (x )有一个极值点；当0≤a ≤89时，函数f (x )无极值点；当a>89时，函数f (x )有两个极值点.(2)由(1)知，①当0≤a ≤89时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，因为f (0)＝0，所以x ∈(0，＋∞)时，f (x )>0，符合题意；②当89<a ≤1时，由g (0)≥0，得x 2≤0，所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增.又f (0)＝0，所以x ∈(0，＋∞)时，f (x )>0，符合题意； ③当a>1时，由g (0)<0，可得x 2>0. 所以x ∈(0，x 2)时，函数f (x )单调递减；因为f (0)＝0，所以x ∈(0，x 2)时，f (x )<0，不合题意； ④当a<0时，设h (x )＝x ﹣ln(x ＋1). 因为x ∈(0，＋∞)时，h'(x )＝1﹣1x ＋1＝xx ＋1>0，所以h (x )在(0，＋∞)上单调递增.因此当x ∈(0，＋∞)时，h (x )>h (0)＝0，即ln(x ＋1)<x.可得f (x )<x ＋a (x 2﹣x )＝ax 2＋(1﹣a )x ，当x>1﹣1a 时，ax 2＋(1﹣a )x<0，此时f (x )<0，不合题意.综上所述，a 的取值范围是[0，1].。

2015年高考理科数学山东卷(含详细答案)

数学试卷第1页（共42页）数学试卷第2页（共42页）数学试卷第3页（共42页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分,考试时间120分钟. 参考公式：如果事件A ,B 互斥，那么P （A +B ）=P （A ）+P （B ）第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合2430{|}A x x x =-+<，24{|}B x x =<<，则AB = （）A ．1,3（）B ．1,4（）C ．2,3（）D ．2,4（）2．若复数z 满足z1i-=i ，其中i 为虚数单位，则z=（）A ．1i -B ．1i +C ．1i --D ．1i -+3．要得到函数πsin(4)3y x =-的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象（）A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位4．已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=︒，则BD CD =（）A ．232a -B ．234a -C ．234aD ．232a5．不等式|||52|1x x ---<的解集是（）A ．(,4)-∞B ．(,1)-∞C ．(1,4)D ．(1,5)6．已知x ，y 满足约束条件0,2,0.x y x y y -⎧⎪+⎨⎪⎩≥≤≥若z ax y =+的最大值为4，则a =（）A ．3B ．2C ．2-D ．3-7．在梯形ABCD 中，π2ABC ∠=，AD ∥BC ，BC =2AD =2AB =2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A ．2π3B ．4π3C ．5π3D ．2π8．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N (0，23)，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（）（附：若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则(P μσ-<ξ)68.26%μσ<+=，(2P μσ-<ξ2)95.44%μσ<+=）A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%9．一条光线从点（2-，3-）射出，经y 轴反射后与圆22(3)(2)1x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A ．53-或35-B ．32-或23-C ．54-或45-D ．43-或34-10．设函数31,1,()2, 1,x x x f x x -⎧=⎨⎩＜≥则满足()(())2f a f f a =的a 取值范围是（）A ．2[,1]3B ．[0,1]C ．2[,)3+∞D ．[1,)+∞第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中的横线上.11．观察下列各式：001011330122555012337777C =4C +C =4C +C +C =4C +C +C +C =4；；；；……照此规律，当n ∈*N 时，012n-12n-12n-12n-12n-1C + C + C ++ C ⋯=_______. 12．若“∀x ∈[0，4π]，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为_______. 13．执行如图所示的程序框图，输出的T 的值为_______.14．已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[1,0]-，则a b +=_______.15．平面直角坐标系xOy 中，双曲线222211 0,0x C a b y a b>->=：（）的渐近线与抛物线222C x py =：0p >（）交于点O ，A ，B .若OAB △的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为_______.-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________?数学试卷第4页（共42页）数学试卷第5页（共42页）数学试卷第6页（共42页）三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）设2π()sin cos cos ()4f x x x x =-+.（Ⅰ）求f x （）的单调区间；（Ⅱ）在锐角ABC △中，角A ，B ，C ，的对边分别为a ，b ，c .若2f A（）=0，a =1，求ABC △面积的最大值.17．（本小题满分12分）如图，在三棱台DEF ABC -中，AB =2DE ，G ，H 分别为AC ，BC 的中点. （Ⅰ）求证：BD ∥平面FGH ；（Ⅱ）若CF ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，CF =DE ，∠BAC =45︒，求平面FGH 与平面ACFD 所成的角（锐角）的大小.18．（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知233n n S =+. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足3log n n n a b a =，求{}n b 的前n 项和n T .19．（本小题满分12分）若n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”（如137，359，567等）.在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得1-分；若能被10整除，得1分.（Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望EX .20．（本小题满分13分）平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，左、右焦点分别是1F ，2F ，以点1F 为圆心，以3为半径的圆与以点2F 为圆心，以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆2222144 x y E a b +=：，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y kx m =+交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .（i ）求||||OQ OP 的值；（ii ）求ABQ △面积的最大值.21．（本小题满分14分）设函数2()ln(1)()f x x a x x =++-，其中a ∈R . （Ⅰ）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由；（Ⅱ）若0x ∀>，()0f x ≥成立，求a 的取值范围.3 / 14数学试卷第10页（共42页）数学试卷第11页（共42页）数学试卷第12页（共42页）最大值24a =，2a =，满足1a >，答案选B ．5 / 141012121212121211++C (2C +2C +2C ++2C )2n n n n n n n -------=121)++(C +C n n --1212112121211++C +C ++C )242n n n n n n n n -------== 【提示】仔细观察已知条件，找出规律，即可得到结果．利用OAB的垂心为数学试卷第16页（共42页）数学试卷第17页（共42页）数学试卷第18页（共42页）∥平面．故BD FGH7 / 14数学试卷第22页（共42页）数学试卷第23页（共42页）数学试卷第24页（共42页）21+1+29 / 14数学试卷第28页（共42页）数学试卷第29页（共42页）数学试卷第30页（共42页）11 / 14数学试卷第34页（共42页）数学试卷第35页（共42页）数学试卷第36页（共42页）13 / 14数学试卷第40页（共42页）数学试卷第41页（共42页）数学试卷第42页（共42页）。

2015高考数学真题山东理科

2015年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学参考公式：如果事件A 与B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}2|430A x x x =-+<，{}|24B x x =<<，则AB =( ).A ．()13，B ．()14，C ．()23，D ．()24，2. 若复数z 满足i 1iz=-，其中i 为虚数单位，则z =( ). A ．1i -B ．1i +C ．1i --D ．1i -+3. 要得到函数sin 43y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 4y x =的图像( ). A ．向左平移12π个单位 B ．向右平移12π个单位C ．向左平移3π个单位D ．向右平移3π个单位4. 已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=，则BD CD =( ).A ．232a -B ．234a - C ．234a D ．232a5. 不等式152x x ---<的解集是( ).A ．()4-∞，B ．()1-∞，C ．()14，D ．()15，6. 已知x ，y 满足约束条件020x y x y y -⎧⎪+⎨⎪⎩≥≤≥,若z ax y =+的最大值为4，则a =( ).A ．3B ．2C ．2-D ．3-7. 在梯形ABCD 中，2ABC π∠=，//AD BC ，222BC AD AB ===. 将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ). A ．23π B ．43πC ．53πD ．2π8. 已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布()203N ，，从中随机取一件，其长度误差落在区间()36，内的概率为( ).（附：若随机变量ξ服从正态分布()2N μσ，，则()68.26%P μσξμσ-<<+=，()2295.44%P μσξμσ-<<+=）A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%9. 一条光线从点()23--，射出，经y 轴反射后与圆()()22321x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为( ). A ．53-或35- B ．32-或23- C ．54-或45- D ．43-或34-10. 设函数311()21xx x f x x -<⎧=⎨⎩≥，，,则满足()()()2f a f f a =的a 的取值范围是( ). A ．213⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．[]01，C ．23⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，D ．[)1+∞，第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 观察下列各式：001C 4=；01133C C 4+=；0122555C C C 4++=；012337777C C C C 4+++=；……照此规律，当*n ∈N 时，012121212121C C C C n n n n n -----++++= . 12. 若“04x π⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，，tan x m ≤”是真命题，则实数m 的最小值为 .13. 执行右图的程序框图，输出的T 的值为 .14. 已知函数()()01xf x a b a a =+>≠，的定义域和值域都是[]10-，，则a b += .15. 平面直角坐标系xOy 中，双曲线()22122:100x y C a b a b-=>>，的渐近线与抛物线 ()22:20C x py p =>交于点O A B ，，. 若△OAB 的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为 .三、填空题：本大题共6小题，共75分.16.(本小题满分12分)设()2sin cos cos 4f x x x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭. + x n d（1）求()f x 的单调区间；（2）在锐角△ABC 中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，. 若02A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1a =，求△ABC 面积的最大值.17.(本小题满分12分)如图所示，三棱台DEF ABC -中，2AB DE =，G H ，分别为AC BC ，的中点. （1）求证：BD ∥平面FGH ；（2）若CF ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，CF DE =，45BAC ∠=，求平面FGH 与平面ACFD 所成的角（锐角）的大小.18.(本小题满分12分)设数列{}n a 的前n 项和为n S . 已知233n n S =+. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足3log n n n a b a =，求{}n b 的前n 项和n T .19.(本小题满分12分)若n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”（如137359567，，等）.在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次. 得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得1-分；若能被10整除，得1分.（1）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；（2）若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望()E X .20.(本小题满分13分)平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，左、右焦点分别是12F F ，. 以1F 为圆心，以3为半径的圆与以2F 为圆心，以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆2222:144x y E a b+=，P 为椭圆C 上任意一点. 过点P 的直线y kx m =+交椭圆E 于A B ，两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .①求OQOP的值；②求△ABQ 面积的最大值.21．(本小题满分14分)设函数()()()2ln 1f x x a x x =++-，其中a ∈R .(1)讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由； (2)若对0x ∀>，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.。

高考_2015山东高考理科数学真题及答案

2015山东高考理科数学真题及答案第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2015年山东，理1】已知集合2{|430}x x x -+<，{|24}B x x =<<，则AB =（）（A ）()1,3 （B ）()1,4 （C ）()2,3 （D ）()2,4 （2）【2015年山东，理2】若复数z 满足i 1iz=-，其中i 是虚数单位，则z =（）（A ）1i - （B ）1i + （C ）1i -- （D ）1i -+ （3）【2015年山东，理3】要得到函数sin(4)3y x π=-的图象，只需将函数sin 4y x =的图像（）（A ）向左平移12π个单位（B ）向右平移12π个单位（C ）向左平移3π个单位（D ）向右平移3π个单位（4）【2015年山东，理4】已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=，则=（）（A ）232a - （B ）234a - （C ）234a （D ）232a（5）【2015年山东，理5】不等式|1||5|2x x ---<的解集是（）（A ）(,4)-∞ （B ）(,1)-∞ （C ）(1,4) （D ）(1,5) （6）【2015年山东，理6】已知,x y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩若z ax y =+的最大值为4，则a =（）（A ）3 （B ）2 （C ）-2 （D ）-3 （7）【2015年山东，理7】在梯形ABCD 中，2ABC π∠=，//AD BC ，222BC AD AB ===．将梯形ABCD绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）（A ）23π （B ）43π （C ）53π（D ）2π （8）【2015年山东，理8】已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布2(0,3)N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间()3,6内的概率为（）（附：若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则()68.26%P μσξμσ-<<+=，(22)95.44%P μσξμσ-<<+=）（A ）4.56% （B ）13.59% （C ）27.18% （D ）31.74%（9）【2015年山东，理9】一条光线从点(2,3)--射出，经y 轴反射与圆22(3)(2)1x y ++-=相切，则反射光线所在的直线的斜率为（）（A ）53-或35- （B ）32-或23- （C ）54-或45- （D ）43-或34-（10）【2015年山东，理10】设函数31,1,()2,1.x x x f x x -<⎧=⎨≥⎩则满足()(())2f a f f a =的取值范围是（）（A ）2[,1]3 （B ）[0,1] （C ）2[,)3+∞ （D ）[1,)+∞第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分（11）【2015年山东，理11】观察下列各式：010113301225550123377774;4;4;4;C C C C C C C C C C =+=++=+++=照此规律，当*n ∈N 时，012121212121n n n n n C C C C -----++++= ．（12）【2015年山东，理12】若“[0,],tan 4x x m π∀∈≤”是真命题，则实数m 的最小值为．（13）【2015年山东，理13】执行右边的程序框图，输出的T 的值为．（14）【2015年山东，理14】已知函数()x f x a b =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[1,0]-，则a b += ．（15）【2015年山东，理15】平面直角坐标系xOy 中，双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线与抛物线22:2(0)C x py p =>交于点,,O A B ，若OAB ∆的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为．三、解答题：本大题共6题，共75分．（16）【2015年山东，理16】（本小题满分12分）设2()sin cos cos ()4f x x x x π=-+．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()0,12Af a ==，求ABC ∆面积．（17）【2015年山东，理17】（本小题满分12分）如图，在三棱台DEF ABC -中，2,,AB DE G H =分别为,AC BC 的中点．（Ⅰ）求证：//BD 平面FGH ；（Ⅱ）若CF ⊥平面ABC ，,,45AB BC CF DE BAC ⊥=∠=，求平面FGH 与平面ACFD 所成角（锐角）的大小．（18）【2015年山东，理18】（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知233nn S =+．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足3log n n n a b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．（19）【2015年山东，理19】（本小题满分12分）若n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”（如137，359，567等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取一个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得-1分；若能被10整除，得1分．（Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望EX ．（20）【2015年山东，理20】（本小题满分13分）平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为32，左、右焦点分别是12,F F ,以1F 为圆心，以3为半径的圆与以2F 为圆心，以1为半径的圆相交，交点在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆2222:144x y E a b+=，P 为椭圆C 上的任意一点，过点P 的直线y kx m =+交椭圆E 于,A B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q ．（i ）求||||OQ OP 的值；（ii ）求ABQ ∆面积最大值．（21）【2015年山东，理21】（本题满分14分）设函数2()ln(1)()f x x a x x =++-，其中a R ∈．（Ⅰ）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由；（Ⅱ）若0x ∀>，()0f x ≥成立，求a 的取值范围．2015年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学（理科）第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2015年山东，理1】已知集合2{|430}x x x -+<，{|24}B x x =<<，则AB =（）（A ）()1,3 （B ）()1,4 （C ）()2,3 （D ）()2,4 【答案】C【解析】2{|430}{|13}A x x x x x =-+<=<<，(2,3)A B =，故选C ．（2）【2015年山东，理2】若复数z 满足i 1iz=-，其中i 是虚数单位，则z =（）（A ）1i - （B ）1i + （C ）1i -- （D ）1i -+ 【答案】A【解析】2(1i)i i i 1i z =-=-+=+，1i z =-，故选A ．（3）【2015年山东，理3】要得到函数sin(4)3y x π=-的图象，只需将函数sin 4y x =的图像（）（A ）向左平移12π个单位（B ）向右平移12π个单位（C ）向左平移3π个单位（D ）向右平移3π个单位【答案】B【解析】sin 4()12y x π=-，只需将函数sin 4y x =的图像向右平移12π个单位，故选B ．（4）【2015年山东，理4】已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=，则=（）（A ）232a - （B ）234a - （C ）234a （D ）232a【答案】D【解析】由菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=可知18060120BAD ∠=-=，2223()()cos1202BD CD AD AB AB AB AD AB a a a a ⋅=-⋅-=-⋅+=-⋅+=，故选D ．（5）【2015年山东，理5】不等式|1||5|2x x ---<的解集是（）（A ）(,4)-∞ （B ）(,1)-∞ （C ）(1,4) （D ）(1,5) 【答案】A【解析】当1x <时，1(5)42x x ---=-<成立；当15x ≤<时，1(5)262x x x ---=-<，解得4x <，则14x ≤<；当5x ≥时，1(5)42x x ---=<不成立．综上4x <，故选A ．（6）【2015年山东，理6】已知,x y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩若z ax y =+的最大值为4，则a =（）（A ）3 （B ）2 （C ）-2 （D ）-3【答案】B【解析】由z ax y =+得y ax z =-+，借助图形可知：当1a -≥，即1a ≤-时在0x y ==时有最大值0，不符合题意；当01a ≤-<，即10a -<≤时在1x y ==时有最大值14,3a a +==，不满足10a -<≤；当10a -<-≤，即01a <≤时在1x y ==时有最大值14,3a a +==，不满足01a <≤；当1a -<-，即1a >时在2,0x y ==时有最大值24,2a a ==，满足1a >，故选B ．（7）【2015年山东，理7】在梯形ABCD 中，2ABC π∠=，//AD BC ，222BC AD AB ===．将梯形ABCD绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）（A ）23π （B ）43π （C ）53π（D ）2π 【答案】C【解析】2215121133V πππ=⋅⋅-⋅⋅=，故选C ．（8）【2015年山东，理8】已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布2(0,3)N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间()3,6内的概率为（）（附：若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则()68.26%P μσξμσ-<<+=，(22)95.44%P μσξμσ-<<+=）（A ）4.56% （B ）13.59% （C ）27.18% （D ）31.74% 【答案】D【解析】1(36)(95.44%68.26%)13.59%2P ξ<<=-=，故选D ．（9）【2015年山东，理9】一条光线从点(2,3)--射出，经y 轴反射与圆22(3)(2)1x y ++-=相切，则反射光线所在的直线的斜率为（）（A ）53-或35- （B ）32-或23- （C ）54-或45- （D ）43-或34-【答案】D【解析】(2,3)--关于y 轴对称点的坐标为(2,3)-，设反射光线所在直线为3(2),y k x +=-即230kx y k ---=，则22|3223|1,|55|11k k d k k k ----==+=++，解得43k =-或34-，故选D ．（10）【2015年山东，理10】设函数31,1,()2,1.x x x f x x -<⎧=⎨≥⎩则满足()(())2f a f f a =的取值范围是（）（A ）2[,1]3 （B ）[0,1] （C ）2[,)3+∞ （D ）[1,)+∞【答案】C【解析】由()(())2f a f f a =可知()1f a ≥，则121a a ≥⎧⎨≥⎩或1311a a <⎧⎨-≥⎩，解得23a ≥，故选C ．第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分（11）【2015年山东，理11】观察下列各式：010113301225550123377774;4;4;4;C C C C C C C C C C =+=++=+++=照此规律，当*n ∈N 时，012121212121n n n n n C C C C -----++++= ．【答案】14n -【解析】0121012121212121212121211(2222)2n n n n n n n n n n C C C C C C C C ----------++++=++++021122223121212121212121210121212112121212121211[()()()()]211()2422n n n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C C C C ----------------------=++++++++=+++++++=⋅= （12）【2015年山东，理12】若“[0,],tan 4x x m π∀∈≤”是真命题，则实数m 的最小值为．【答案】1【解析】“[0,],tan 4x x m π∀∈≤”是真命题，则tan 14m π≥=，于是实数m 的最小值为1．（13）【2015年山东，理13】执行右边的程序框图，输出的T 的值为．【答案】116【解析】1120111111236T xdx x dx =++=++=⎰⎰．（14）【2015年山东，理14】已知函数()x f x a b =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[1,0]-，则a b += ．【答案】32-【解析】当1a >时1010a b a b -⎧+=-⎨+=⎩，无解；当01a <<时1001a b a b -⎧+=⎨+=-⎩，解得12,2b a =-=，则13222a b +=-=-．（15）【2015年山东，理15】平面直角坐标系xOy 中，双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线与抛物线22:2(0)C x py p =>交于点,,O A B ，若OAB ∆的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为．【答案】32【解析】22122:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线为by x a=±，则22222222(,),(,)pb pb pb pb A B a a a a -22:2(0)C x py p =>的焦点(0,)2pF ，则22222AFpb pa a k pb b a-==，即2254b a =，2222294c a b a a +==，32c e a ==．三、解答题：本大题共6题，共75分．（16）【2015年山东，理16】（本小题满分12分）设2()sin cos cos ()4f x x x x π=-+．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()0,12Af a ==，求ABC ∆面积．解：（Ⅰ）由111111()sin 2[1cos(2)]sin 2sin 2sin 22222222f x x x x x x π=-++=-+=-，由222,22k x k k Z ππππ-≤≤+∈得,44k x k k Z ππππ-≤≤+∈，则()f x 的递增区间为[,],44k k k Z ππππ-+∈；由3222,22k x k k Z ππππ+≤≤+∈得3,44k x k k Z ππππ+≤≤+∈，则()f x 的递增区间为3[,],44k k k Z ππππ++∈．（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，11()sin 0,sin 222A f A A =-==，6A π=，而1a =，由余弦定理可得2212cos 23(23)6b c bc bc bc bc π=+-≥-=-，当且仅当b c =时等号成立，即12323bc ≤=+-，11123sin sin 22644ABC S bc A bc bc π∆+===≤故ABC ∆面积的最大值为234+．（17）【2015年山东，理17】（本小题满分12分）如图，在三棱台DEF ABC -中，2,,AB DE G H =分别为,AC BC 的中点．（Ⅰ）求证：//BD 平面FGH ；（Ⅱ）若CF ⊥平面ABC ，,,45AB BC CF DE BAC ⊥=∠=，求平面FGH 与平面ACFD 所成角（锐角）的大小．解：（Ⅰ）证明：连接DG ，DC ，设DC 与GF 交于点T ，在三棱台DEF ABC -中，2AB DE =，则2AC DF =，而G 是AC 的中点，DF AC ，则//DF GC ，所以四边形DGCF 是平行四边形，T 是DC 的中点，DG FC ．又在BDC ∆，是BC 的中点，则TH DB ，又BD ⊄平面FGH ，TH ⊂平面FGH ，故//BD 平面FGH ．（Ⅱ）由CF ⊥平面ABC ，可得DG ⊥平面ABC 而，AB BC ⊥，45BAC ∠=，则GB AC ⊥，于是,,GB GA GC 两两垂直，以点G 为坐标原点，,,GA GB GC 所在的直线，分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设2AB =,则1,22,2DE CF AC AG ====,(((22B C F H，则平面ACFD的一个法向量为1(0,1,0)n =，设平面FGH的法向量为2222(,,)n x y z=，则22n GHn GF⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2222yz-=⎨⎪+=⎩，取21x=，则221,y z==2n =，121cos,2n n<>==，故平面FGH与平面ACFD所成角（锐角）的大小为60．（18）【2015年山东，理18】（本小题满分12分）设数列{}na的前n项和为nS，已知233nnS=+．（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；（Ⅱ）若数列{}nb满足3logn n na b a=，求数列{}nb的前n项和nT．解：（Ⅰ）由233nnS=+可得111(33)32a S==+=，11111(33)(33)3(2)22n n nn n na S S n---=-=+-+=≥，而11133a-=≠，则13,13,1n nnan-=⎧=⎨>⎩．（Ⅱ）由3logn n na b a=及13,13,1n nnan-=⎧=⎨>⎩，可得3111log3113nnnnnabnan-⎧=⎪⎪==⎨-⎪>⎪⎩2311123133333n nnT--=+++++，2234111123213333333n n nn nT---=++++++，22312231211111*********()3333333333333331121213113213319392233182313n n n n nnn n n nn nTn n n----=+-++++-=-+++++----+=+-=+--=-⋅⋅-113211243n nnT-+=-⋅（19）【2015年山东，理19】（本小题满分12分）若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137，359，567等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取一个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得-1分；若能被10整除，得1分．（Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX．解：（Ⅰ）125，135，145，235，245，345；（Ⅱ）X 的所有取值为-1，0，1．32112844443339992111(0),(1),(1)31442C C C C C P X P X P X C C C ⋅+====-===== 甲得分X 的分布列为：0(1)13144221EX =⨯+⨯-+⨯=．（20）【2015年山东，理20】（本小题满分13分）平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的，左、右焦点分别是12,F F ,以1F 为圆心，以3为半径的圆与以2F 为圆心，以1为半径的圆相交，交点在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆2222:144x y E a b+=，P 为椭圆C 上的任意一点，过点P 的直线y kx m =+交椭圆E 于,A B 两点，射线PO 交椭圆E于点Q ．（i ）求||||OQ OP 的值；（ii ）求ABQ ∆面积最大值．解：（Ⅰ）由椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>可知c e a ==，而222a b c =+则2,a b c==，左、右焦点分别是12(,0),,0)F F ,圆1F ：22()9,x y ++=圆2F：22()1,x y += 由两圆相交可得24<<，即12<，交点在椭圆C 上，则224134b b+=⋅，整理得424510b b -+=，解得21b =，214b =（舍去），故21b =，24a =，椭圆C 的方程为2214x y +=．（Ⅱ）（i ）椭圆E 的方程为221164x y +=，设点00(,)P x y ，满足220014x y +=，射线000:(0)y PO y x xx x =<，代入221164x y +=可得点00(2,2)Q x y --，于是||2||OQ OP ==．（ii ）点00(2,2)Q x y --到直线AB 距离等于原点O 到直线AB 距离的3倍：d ==221164y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得224()16x kx m ++=，整理得222(14)84160k x kmx m +++-=．2222226416(41)(4)16(164)0k m k m k m ∆=-+-=+->，||AB =211||||32214m S AB d k ∆==⋅⋅⋅+ 22221646122(41)m k m k ++-≤⋅=+，当且仅当22||82m m k ==+等号成立．而直线y kx m =+与椭圆22:14x C y +=有交点P ，则2244y kx m x y =+⎧⎨+=⎩有解，即222224()4,(14)8440x kx m k x kmx m ++=+++-=有解，其判别式22222216416(14)(1)16(14)0k m k m k m ∆=-+-=+-≥，即2214k m +≥，则上述2282m k =+不成立，等号不成立，设(0,1]t =，则S ∆==(0,1]为增函数，于是当2214k m +=时max S ∆==ABQ ∆面积最大值为12．（21）【2015年山东，理21】（本题满分14分）设函数2()ln(1)()f x x a x x =++-，其中a R ∈．（Ⅰ）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由；（Ⅱ）若0x ∀>，()0f x ≥成立，求a 的取值范围．解：（Ⅰ）2()ln(1)()f x x a x x =++-，定义域为(1,)-+∞，21(21)(1)121()(21)111a x x ax ax af x a x x x x -++++-'=+-==+++，设2()21g x ax ax a =++-，当0a =时，1()1,()01g x f x x '==>+，函数()f x 在(1,)-+∞为增函数，无极值点．当0a >时，228(1)98a a a a a ∆=--=-，若809a <≤时0∆≤，()0,()0g x f x '≥≥，函数()f x 在(1,)-+∞为增函数，无极值点．若89a >时0∆>，设()0g x =的两个不相等的实数根12,x x ，且12x x <，且1212x x +=-，而(1)10g -=>，则12114x x -<<-<，所以当1(1,),()0,()0,()x x g x f x f x '∈->>单调递增；当12(,),()0,()0,()x x x g x f x f x '∈<<单调递减；当2(,),()0,()0,()x x g x f x f x '∈+∞>>单调递增．因此此时函数()f x 有两个极值点；当0a <时0∆>，但(1)10g -=>，121x x <-<，所以当2(1,),()0,()0,()x x g x f x f x '∈->>单调递増；当2(,),()0,()0,()x x g x f x f x '∈+∞<<单调递减，所以函数只有一个极值点．综上可知当809a ≤≤时()f x 的无极值点；当0a <时()f x 有一个极值点；当89a >时，()f x 的有两个极值点．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当809a ≤≤时()f x 在(0,)+∞单调递增，而(0)0f =，则当(0,)x ∈+∞时，()0f x >，符合题意；当819a <≤时，2(0)0,0g x ≥≤，()f x 在(0,)+∞单调递增，而(0)0f =，则当(0,)x ∈+∞时，()0f x >，符合题意；当1a >时，2(0)0,0g x <>，所以函数()f x 在2(0,)x 单调递减，而(0)0f =，则当2(0,)x x ∈时，()0f x <，不符合题意；当0a <时，设()ln(1)h x x x =-+，当(0,)x ∈+∞时1()1011x h x x x'=-=>++， ()h x 在(0,)+∞单调递增，因此当(0,)x ∈+∞时()(0)0,ln(1)0h x h x >=+<，于是22()()(1)f x x a x x ax a x <+-=+-，当11x a>-时2(1)0ax a x +-<，此时()0f x <，不符合题意．综上所述，a 的取值范围是01a ≤≤．另解：（Ⅰ）2()ln(1)()f x x a x x =++-，定义域为(1,)-+∞ 21(21)(1)121()(21)111a x x ax ax a f x a x x x x -++++-'=+-==+++，当0a =时，1()01f x x '=>+，函数()f x 在(1,)-+∞为增函数，无极值点．设222()21,(1)1,8(1)98g x ax ax a g a a a a a =++--=∆=--=-，当0a ≠时，根据二次函数的图像和性质可知()0g x =的根的个数就是函数()f x 极值点的个数．若(98)0a a ∆=-≤，即809a <≤时，()0g x ≥，()0f x '≥函数在(1,)-+∞为增函数，无极值点．若(98)0a a ∆=->，即89a >或0a <，而当0a <时(1)0g -≥ 此时方程()0g x =在(1,)-+∞只有一个实数根，此时函数()f x 只有一个极值点；当89a >时方程()0g x =在(1,)-+∞都有两个不相等的实数根，此时函数()f x 有两个极值点；综上可知当809a ≤≤时()f x 的极值点个数为0；当0a <时()f x 的极值点个数为1；当89a >时， ()f x 的极值点个数为2．（Ⅱ）设函数2()ln(1)()f x x a x x =++-，0x ∀>，都有()0f x ≥成立，即2ln(1)()0x a x x ++-≥当1x =时，ln20≥恒成立；当1x >时，20x x ->，2ln(1)0x a x x++≥-；当01x <<时，20x x -<，2ln(1)0x a x x ++≤-；由0x ∀>均有ln(1)x x +<成立．故当1x >时，，2ln(1)11x x x x +<--(0,)∈+∞，则只需0a ≥；当01x <<时，2ln(1)1(,1)1x x x x +>∈-∞---，则需10a -+≤，即1a ≤．综上可知对于0x ∀>，都有 ()0f x ≥成立，只需01a ≤≤即可，故所求a 的取值范围是01a ≤≤．另解：（Ⅱ）设函数2()ln(1)()f x x a x x =++-，(0)0f =，要使0x ∀>，都有()0f x ≥成立，只需函数函数()f x 在(0,)+∞上单调递增即可，于是只需0x ∀>，1()(21)01f x a x x '=+-≥+成立，当12x >时1(1)(21)a x x ≥-+-，令210x t -=>，2()(,0)(3)g t t t =-∈-∞+，则0a ≥；当12x =时12()023f '=>；当102x <<，1(1)(21)a x x ≤-+-，令21(1,0)x t -=∈-，2()(3)g t t t =-+关于(1,0)t ∈-单调递增，则2()(1)11(13)g t g >-=-=--+，则1a ≤，于是01a ≤≤．又当1a >时，2(0)0,0g x <>，所以函数()f x 在2(0,)x 单调递减，而(0)0f =，则当2(0,)x x ∈时，()0f x <，不符合题意；当0a <时，设()ln(1)h x x x =-+，当(0,)x ∈+∞时1()1011x h x x x'=-=>++， ()h x 在(0,)+∞单调递增，因此当(0,)x ∈+∞时()(0)0,ln(1)0h x h x >=+<，于是22()()(1)f x x a x x ax a x <+-=+-，当11x a>-时2(1)0ax a x +-<，此时()0f x <，不符合题意．综上所述，a 的取值范围是01a ≤≤．【评析】求解此类问题往往从三个角度求解：一是直接求解，通过对参数a 的讨论来研究函数的单调性，进一步确定参数的取值范围；二是分离参数法，求相应函数的最值或取值范围以达到解决问题的目的；三是凭借函数单调性确定参数的取值范围，然后对参数取值范围以外的部分进行分析验证其不符合题意，即可确定所求．。

2015年山东省高考数学试卷(理科)附详细解析

2015年山东省高考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）22．（5分）（2015•山东）若复数z满足=i，其中i为虚数单位，则z=（）3．（5分）（2015•山东）要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象向左平移向右平移单位向左平移向右平移单位4．（5分）（2015•山东）已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，则=（）﹣a a2a26．（5分）（2015•山东）已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则7．（5分）（2015•山东）在梯形ABCD中，∠ABC=，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2，将B8．（5分）（2015•山东）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0，32），从中随机抽取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（）（附：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）=68.26%，P（μ﹣2σ9．（5分）（2015•山东）一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y 2﹣或﹣或﹣或﹣或﹣10．（5分）（2015•山东）设函数f（x）=，则满足f（f（a））=2f（a）的a [，[二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）（2015•山东）观察下列各式：C=40；C+C=41；C+C+C=42；C+C+C+C=43；…照此规律，当n∈N*时，C+C+C+…+C=．12．（5分）（2015•山东）若“∀x∈[0，]，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为．13．（5分）（2015•山东）执行如图程序框图，输出的T的值为．14．（5分）（2015•山东）已知函数f（x）=a x+b（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[﹣1，0]，则a+b=．15．（5分）（2015•山东）平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线C2：x2=2py（p＞0）交于点O，A，B，若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为．三、解答题16．（12分）（2015•山东）设f（x）=sinxcosx﹣cos2（x+）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=0，a=1，求△ABC 面积的最大值．17．（12分）（2015•山东）如图，在三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点．（Ⅰ）求证：BD∥平面FGH；（Ⅱ）若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF=DE，∠BAC=45°，求平面FGH与平面ACFD所成的角（锐角）的大小．18．（12分）（2015•山东）设数列{a n}的前n项和为S n，已知2S n=3n+3．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}，满足a n b n=log3a n，求{b n}的前n项和T n．19．（12分）（2015•山东）若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137，359，567等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分，若能被5整除，但不能被10整除，得﹣1分，若能被10整除，得1分．（Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX．20．（13分）（2015•山东）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2，以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆E：+=1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y=kx+m交椭圆E 于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q．（i）求||的值；（ii）求△ABQ面积的最大值．21．（14分）（2015•山东）设函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R，（Ⅰ）讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由；（Ⅱ）若∀x＞0，f（x）≥0成立，求a的取值范围．2015年山东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）22．（5分）（2015•山东）若复数z满足=i，其中i为虚数单位，则z=（）=i=i3．（5分）（2015•山东）要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象向左平移向右平移单位向左平移向右平移单位﹣﹣的图象向右平移4．（5分）（2015•山东）已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，则=（）﹣a a2a2由已知可求，，根据==（==6．（5分）（2015•山东）已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则7．（5分）（2015•山东）在梯形ABCD中，∠ABC=，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2，将B几何体的体积为：．8．（5分）（2015•山东）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0，32），从中随机抽取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（）（附：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）=68.26%，P（μ﹣2σ=（（9．（5分）（2015•山东）一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y 2﹣或﹣或﹣或﹣或﹣=1或﹣．10．（5分）（2015•山东）设函数f（x）=，则满足f（f（a））=2f（a）的a [，[．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）（2015•山东）观察下列各式：C=40；C+C=41；C+C+C=42；C+C+C+C=43；…照此规律，当n∈N*时，C+C+C+…+C=4n﹣1．=4+C=4+C+C+C+C+CC+C+C+C=412．（5分）（2015•山东）若“∀x∈[0，]，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为1．]13．（5分）（2015•山东）执行如图程序框图，输出的T的值为．的值为T=1+xdxT=1+xdx+x dx=1+，的值为故答案为：14．（5分）（2015•山东）已知函数f（x）=a x+b（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[﹣1，0]，则a+b=﹣．，解得=0解得a+b=15．（5分）（2015•山东）平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线C2：x2=2py（p＞0）交于点O，A，B，若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为．的坐标，可得，利用×）：﹣±x±，，则=×（﹣=．故答案为：．三、解答题16．（12分）（2015•山东）设f（x）=sinxcosx﹣cos2（x+）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=0，a=1，求△ABC 面积的最大值．，由，，（=0时等号成立，从而可求bcsinA﹣sin2x﹣≤2k≤，≤2k≤，[k，[k（=0，cosA=1+bcbcsinA面积的最大值为17．（12分）（2015•山东）如图，在三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点．（Ⅰ）求证：BD∥平面FGH；（Ⅱ）若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF=DE，∠BAC=45°，求平面FGH与平面ACFD所成的角（锐角）的大小．为平面即可求出法向量，设平面即可求出平面为平面，则：，则：|=18．（12分）（2015•山东）设数列{a n}的前n项和为S n，已知2S n=3n+3．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}，满足a n b n=log3a n，求{b n}的前n项和T n．，当===，；=+﹣﹣﹣19．（12分）（2015•山东）若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137，359，567等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分，若能被5整除，但不能被10整除，得﹣1分，若能被10整除，得1分．（Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX．的个数为，个进行组合，即；；；第二种方案：首先选==，=，×+××=20．（13分）（2015•山东）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2，以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆E：+=1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y=kx+m交椭圆E 于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q．（i）求||的值；（ii）求△ABQ面积的最大值．|=的方程为+y的方程为+||=，由于，即（||m||m|，设S=2S=2在（，即，21．（14分）（2015•山东）设函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R，（Ⅰ）讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由；（Ⅱ）若∀x＞0，f（x）≥0成立，求a的取值范围．．当aa时，可得函数）当时，a时，=1a时，函数a0a）当＞时，参与本试卷答题和审题的老师有：qiss；吕静；双曲线；maths；刘长柏；w3239003；sdpyqzh；wkl197822；wfy814；孙佑中（排名不分先后）菁优网2015年7月21日。

2015年山东省高考数学试题及答案(理科)【解析版】

专题：不等式的解法及应用．
B2
．
C ． ﹣2
分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定 z 的最大值．
解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．则 A（2，0），B（1，1），若 z=ax+y 过 A 时取得最大值为 4，则 2a=4，解得 a=2，此时，目标函数为 z=2x+y，
考点：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有
专题：不等式的解法及应用．
B ．（﹣∞，1）
C a2 ．
=（
C （1，4）．
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力通根保1据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资0配不料置仅试技可卷术以要是解求指决，机吊对组顶电在层气进配设行置备继不进电规行保范空护高载高中与中资带资料负料试荷试卷下卷问高总题中体2资2配，料置而试时且卷，可调需保控要障试在各验最类；大管对限路设度习备内题进来到行确位调保。整机在使组管其高路在中敷正资设常料过工试程况卷中下安，与全要过，加度并强工且看作尽护下可关都能于可地管以缩路正小高常故中工障资作高料；中试对资卷于料连继试接电卷管保破口护坏处进范理行围高整，中核或资对者料定对试值某卷，些弯审异扁核常度与高固校中定对资盒图料位纸试置，卷.编保工写护况复层进杂防行设腐自备跨动与接处装地理置线，高弯尤中曲其资半要料径避试标免卷高错调等误试，高方要中案求资，技料编术试写5交、卷重底电保要。气护设管设装备线备置4高敷、调动中设电试作资技气高，料术课中并3试、中件资且卷管包中料拒试路含调试绝验敷线试卷动方设槽技作案技、术，以术管来及架避系等免统多不启项必动方要方式高案，中；为资对解料整决试套高卷启中突动语然过文停程电机中气。高课因中件此资中，料管电试壁力卷薄高电、中气接资设口料备不试进严卷行等保调问护试题装工，置作合调并理试且利技进用术行管，过线要关敷求运设电行技力高术保中。护资线装料缆置试敷做卷设到技原准术则确指：灵导在活。分。对线对于盒于调处差试，动过当保程不护中同装高电置中压高资回中料路资试交料卷叉试技时卷术，调问应试题采技，用术作金是为属指调隔发试板电人进机员行一，隔变需开压要处器在理组事；在前同发掌一生握线内图槽部纸内故资，障料强时、电，设回需备路要制须进造同行厂时外家切部出断电具习源高题高中电中资源资料，料试线试卷缆卷试敷切验设除报完从告毕而与，采相要用关进高技行中术检资资查料料和试，检卷并测主且处要了理保解。护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(山东卷)(含答案全解析)

2015年普通高等学校招生全国统一考试山东理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共4页.满分150分.考试用时120分钟.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.注意事项:1.答题前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效.3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式:如果事件A,B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B).第Ⅰ卷(共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2015山东,理1)已知集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|2<x<4},则A∩B=()A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)答案:C解析:A={x|x2-4x+3<0}={x|1<x<3},B={x|2<x<4},结合数轴,知A∩B={x|2<x<3}.2.(2015山东,理2)若复数z满足z=i,其中i为虚数单位,则z=()A.1-iB.1+iC.-1-iD.-1+i答案:A解析:∵z1−i=i,∴z=i(1-i)=i-i2=1+i.∴z=1-i.3.(2015山东,理3)要得到函数y=sin4x−π的图象,只需将函数y=sin 4x的图象()A.向左平移π个单位B.向右平移π个单位C.向左平移π个单位D.向右平移π3个单位答案:B解析:∵y=sin4x−π3=sin4 x−π12,∴只需将函数y=sin 4x的图象向右平移π12个单位即可.4.(2015山东,理4)已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则BD·CD=()A.-32a2 B.-34a2 C.34a2 D.32a2答案:D解析:如图设BA=a,BC=b.则BD·CD=(BA+BC)·BA=(a+b)·a=a2+a·b=a2+a·a·cos 60°=a2+1a2=3a2.5.(2015山东,理5)不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是()A.(-∞,4)B.(-∞,1)C.(1,4)D.(1,5)答案:A解析:当x≤1时,不等式可化为(1-x)-(5-x)<2,即-4<2,满足题意;当1<x<5时,不等式可化为(x-1)-(5-x)<2,即2x-6<2,解得1<x<4; 当x≥5时,不等式可化为(x-1)-(x-5)<2,即4<2,不成立.故原不等式的解集为(-∞,4).6.(2015山东,理6)已知x,y满足约束条件x−y≥0,x+y≤2,y≥0.若z=ax+y的最大值为4,则a=()A.3B.2C.-2D.-3答案:B解析:由约束条件画出可行域,如图阴影部分所示.线性目标函数z=ax+y,即y=-ax+z.设直线l0:ax+y=0.当-a≥1,即a≤-1时,l0过O(0,0)时,z取得最大值,z max=0+0=0,不合题意;当0≤-a<1,即-1<a≤0时,l0过B(1,1)时,z取得最大值,z max=a+1=4,∴a=3(舍去);当-1<-a<0时,即0<a<1时,l0过B(1,1)时,z取得最大值,z max=2a+1=4,∴a=3(舍去);当-a≤-1,即a≥1时,l0过A(2,0)时,z取得最大值,z max=2a+0=4,∴a=2.综上,a=2符合题意.7.(2015山东,理7)在梯形ABCD中,∠ABC=π2,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A.2π3B.4π3C.5π3D.2π答案:C解析:由题意可得旋转体为一个圆柱挖掉一个圆锥.V圆柱=π×12×2=2π,V圆锥=13×π×12×1=π3.∴V几何体=V圆柱-V圆锥=2π-π=5π.8.(2015山东,理8)已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为()(附:若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ<μ+σ)=68.26%,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=95.44%.)A.4.56%B.13.59%C.27.18%D.31.74%答案:B解析:由正态分布N(0,32)可知,ξ落在(3,6)内的概率为P(μ−2σ<ξ<μ+2σ)−P(μ−σ<ξ<μ+σ)=95.44%−68.26%2=13.59%.9.(2015山东,理9)一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为()A.-53或-35B.-32或-23C.-5或-4D.-4或-3答案:D解析:如图,作出点P(-2,-3)关于y轴的对称点P0(2,-3).由题意知反射光线与圆相切,其反向延长线过点P0.故设反射光线为y=k(x-2)-3,即kx-y-2k-3=0.∴圆心到直线的距离d=1+k=1,解得k=-4或k=-3.10.(2015山东,理10)设函数f (x )= 3x −1,x <1,2x ,x ≥1.则满足f (f (a ))=2f (a )的a 的取值范围是( )A. 23,1 B.[0,1]C. 2,+∞ D.[1,+∞)答案:C解析:当a=2时,f (2)=4,f (f (2))=f (4)=24,显然f (f (2))=2f (2),故排除A,B .当a=2时,f 2 =3×2-1=1,f f 2 =f (1)=21=2. 显然f f 2 =2f 23 .故排除D . 综上,选C .第Ⅱ卷(共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分. 11.(2015山东,理11)观察下列各式: C 10=40; C 30+C 31=41; C 50+C 51+C 52=42; C 70+C 71+C 72+C 73=43; ……照此规律,当n ∈N *时,C 2n−10+C 2n−11+C 2n−12+…+C 2n−1n−1= . 答案:4n-1解析:观察各式有如下规律:等号左侧第n 个式子有n 项,且上标分别为0,1,2,…,n-1,第n 行每项的下标均为2n-1.等号右侧指数规律为0,1,2,…,n-1.所以第n 个式子为C 2n−10+C 2n−11+C 2n−12+…+C 2n−1n−1=4n-1. 12.(2015山东,理12)若“∀x ∈ 0,π4,tan x ≤m ”是真命题,则实数m 的最小值为 . 答案:1解析:由题意知m ≥(tan x )max .∵x ∈ 0,π,∴tan x ∈[0,1], ∴m ≥1.故m 的最小值为1.13.(2015山东,理13)执行下边的程序框图,输出的T 的值为 .答案:11解析:初始n=1,T=1.又 10x n d x=1n +1x n+1|01=1n +1, ∵n=1<3,∴T=1+1=3,n=1+1=2; ∵n=2<3,∴T=32+12+1=116,n=2+1=3; ∵n=3,不满足“n<3”,执行“否”,∴输出T=11.14.(2015山东,理14)已知函数f (x )=a x +b (a>0,a ≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a+b= . 答案:-3解析:f (x )=a x +b 是单调函数,当a>1时,f (x )是增函数,∴ a −1+b =−1,a 0+b =0,无解.当0<a<1时,f (x )是减函数,∴ a −1+b =0,a 0+b =−1,∴ a =12,b =−2. 综上,a+b=1+(-2)=-3.15.(2015山东,理15)平面直角坐标系xOy 中,双曲线C 1:x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线C 2:x 2=2py (p>0)交于点O ,A ,B.若△OAB 的垂心为C 2的焦点,则C 1的离心率为 .答案:3解析:双曲线的渐近线为y=±ba x.由y =ba x ,x 2=2py ,得A 2bp a ,2b 2p a 2.由 y =−b a x ,x 2=2py ,得B −2bp a ,2b 2p a2 .∵F 0,p为△OAB 的垂心,∴k AF ·k OB =-1.即2b 2p a 2−p 22bpa−0· −b a =-1,解得b 2a2=54,∴c 2a 2=94,即可得e=32.三、解答题:本大题共6小题,共75分.16.(本小题满分12分)(2015山东,理16)设f (x )=sin x cos x-cos 2 x +π4. (1)求f (x )的单调区间;(2)在锐角△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.若f A 2=0,a=1,求△ABC 面积的最大值.解:(1)由题意知f (x )=sin2x −1+cos 2x +π2 =sin2x −1−sin2x =sin 2x-1.由-π2+2k π≤2x ≤π2+2k π,k ∈Z ,可得-π4+k π≤x ≤π4+k π,k ∈Z ; 由π+2k π≤2x ≤3π+2k π,k ∈Z ,可得π+k π≤x ≤3π+k π,k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间是 −π+kπ,π+kπ (k ∈Z );单调递减区间是 π+kπ,3π+kπ (k ∈Z ).(2)由f A 2 =sin A-12=0,得sin A=12,由题意知A 为锐角,所以cos A= 32.由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc cos A , 可得1+ 3bc=b 2+c 2≥2bc ,即bc ≤2+ 3,且当b=c 时等号成立. 因此12bc sin A ≤2+ 34. 所以△ABC 面积的最大值为2+ 3. 17.(本小题满分12分)(2015山东,理17)如图,在三棱台DEF-ABC 中,AB=2DE ,G ,H 分别为AC ,BC 的中点.(1)求证:BD ∥平面FGH ;(2)若CF ⊥平面ABC ,AB ⊥BC ,CF=DE ,∠BAC=45°,求平面FGH 与平面ACFD 所成的角(锐角)的大小.(1)证法一:连接DG,CD,设CD∩GF=O,连接OH.在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G为AC的中点,可得DF∥GC,DF=GC,所以四边形DFCG为平行四边形.则O为CD的中点,又H为BC的中点,所以OH∥BD,又OH⊂平面FGH,BD⊄平面FGH,所以BD∥平面FGH.证法二:在三棱台DEF-ABC中,由BC=2EF,H为BC的中点,可得BH∥EF,BH=EF,所以四边形BHFE为平行四边形.可得BE∥HF.在△ABC中,G为AC的中点,H为BC的中点,所以GH∥AB.又GH∩HF=H,所以平面FGH∥平面ABED.因为BD⊂平面ABED,所以BD∥平面FGH.(2)解法一:设AB=2,则CF=1.在三棱台DEF-ABC中,G为AC的中点,由DF=1AC=GC,可得四边形DGCF为平行四边形,因此DG∥FC.又FC⊥平面ABC,所以DG⊥平面ABC.在△ABC中,由AB⊥BC,∠BAC=45°,G是AC中点,所以AB=BC,GB⊥GC,因此GB,GC,GD两两垂直.以G为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz.所以G(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),D(0,0,1).可得H2,2,0,F(0,2,1),故GH=2,2,0,GF=(0,.设n=(x,y,z)是平面FGH的一个法向量,则由n·GH=0,n·GF=0,可得x+y=0,2y+z=0.可得平面FGH的一个法向量n=(1,-1,2).因为GB是平面ACFD的一个法向量,GB=(2,0,0),所以cos<GB,n>=GB·n|GB|·|n|=222=12.所以平面FGH与平面ACFD所成角(锐角)的大小为60°.解法二:作HM⊥AC于点M,作MN⊥GF于点N,连接NH.由FC⊥平面ABC,得HM⊥FC,又FC∩AC=C,所以HM⊥平面ACFD.因此GF⊥NH,所以∠MNH即为所求的角.在△BGC中,MH∥BG,MH=1BG=2,由△GNM ∽△GCF ,可得MN FC=GMGF,从而MN= 66.由HM ⊥平面ACFD ,MN ⊂平面ACFD ,得HM ⊥MN ,因此tan ∠MNH=HM = 3,所以∠MNH=60°.所以平面FGH 与平面ACFD 所成角(锐角)的大小为60°.18.(本小题满分12分)(2015山东,理18)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知2S n =3n +3. (1)求{a n }的通项公式;(2)若数列{b n }满足a n b n =log 3a n ,求{b n }的前n 项和T n . 解:(1)因为2S n =3n +3,所以2a 1=3+3,故a 1=3, 当n>1时,2S n-1=3n-1+3,此时2a n =2S n -2S n-1=3n -3n-1=2×3n-1,即a n =3n-1,所以a n = 3,n =1,3n−1,n >1.(2)因为a n b n =log 3a n ,所以b 1=13,当n>1时,b n =31-n log 33n-1=(n-1)·31-n . 所以T 1=b 1=1;当n>1时,T n =b 1+b 2+b 3+…+b n =13+(1×3-1+2×3-2+…+(n-1)×31-n ), 所以3T n =1+(1×30+2×3-1+…+(n-1)×32-n ),两式相减,得2T n =2+(30+3-1+3-2+…+32-n )-(n-1)×31-n =2+1−31−n 1−3−1-(n-1)×31-n =13−6n +3n, 所以T n =13−6n +3n.经检验,n=1时也适合. 综上可得T n =1312−6n +34×3n. 19.(本小题满分12分)(2015山东,理19)若n 是一个三位正整数,且n 的个位数字大于十位数字,十位数字大于百位数字,则称n 为“三位递增数”(如137,359,567等).在某次数学趣味活动中,每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数,且只能抽取一次.得分规则如下:若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除,参加者得0分;若能被5整除,但不能被10整除,得-1分;若能被10整除,得1分.(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”;(2)若甲参加活动,求甲得分X 的分布列和数学期望EX.解:(1)个位数是5的“三位递增数”有125,135,145,235,245,345;(2)由题意知,全部“三位递增数”的个数为C 93=84,随机变量X 的取值为:0,-1,1,因此P (X=0)=C 83C 93=23,P (X=-1)=C 42C 93=114,P (X=1)=1-114−23=1142. 所以X 的分布列为则EX=0×23+(-1)×114+1×1142=421. 20.(本小题满分13分)(2015山东,理20)平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :x 22+y 2b2=1(a>b>0)的离心率为3,左、右焦点分别是F 1,F 2.以F 1为圆心以3为半径的圆与以F 2为圆心以1为半径的圆相交,且交点在椭圆C 上. (1)求椭圆C 的方程; (2)设椭圆E :x 24a 2+y 24b2=1,P为椭圆C 上任意一点.过点P 的直线y=kx+m 交椭圆E 于A ,B 两点,射线PO 交椭圆E于点Q.①求|OQ ||OP |的值;②求△ABQ 面积的最大值. 解:(1)由题意知2a=4,则a=2.又c =3,a 2-c 2=b 2,可得b=1,所以椭圆C 的方程为x 2+y 2=1.(2)由(1)知椭圆E 的方程为x 2+y 2=1. ①设P (x 0,y 0),|OQ |=λ,由题意知Q (-λx 0,-λy 0).因为x 02+y 02=1,又(−λx 0)2+(−λy 0)2=1, 即λ24 x 024+y 02 =1,所以λ=2,即|OQ ||OP |=2. ②设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),将y=kx+m 代入椭圆E 的方程, 可得(1+4k 2)x 2+8kmx+4m 2-16=0, 由Δ>0,可得m 2<4+16k 2. ①则有x 1+x 2=-8km 1+4k2,x 1x 2=4m 2−161+4k2.所以|x 1-x 2|=4 16k 2+4−m 21+4k2.因为直线y=kx+m 与y 轴交点的坐标为(0,m ), 所以△OAB 的面积S=12|m||x 1-x 2|=2 16k 2+4−m 2|m |1+4k2=2 (16k 2+4−m 2)m 21+4k2=2 4−m 1+4k2m 1+4k2.设m 21+4k2=t.将y=kx+m 代入椭圆C 的方程,可得(1+4k 2)x 2+8kmx+4m 2-4=0, 由Δ≥0,可得m 2≤1+4k 2. ②由①②可知0<t ≤1,因此S=2 (4−t )t =22+4t . 故S ≤2 ,当且仅当t=1,即m 2=1+4k 2时取得最大值2 3. 由①知,△ABQ 面积为3S ,所以△ABQ 面积的最大值为6 3.21.(本小题满分14分)(2015山东,理21)设函数f (x )=ln(x+1)+a (x 2-x ),其中a ∈R . (1)讨论函数f (x )极值点的个数,并说明理由; (2)若∀x>0,f (x )≥0成立,求a 的取值范围. 解:(1)由题意知函数f (x )的定义域为(-1,+∞),f'(x )=1+a (2x-1)=2ax 2+ax−a +1. 令g (x )=2ax 2+ax-a+1,x ∈(-1,+∞).当a=0时,g (x )=1,此时f'(x )>0,函数f (x )在(-1,+∞)单调递增,无极值点; 当a>0时,Δ=a 2-8a (1-a )=a (9a-8).①当0<a ≤8时,Δ≤0,g (x )≥0,f'(x )≥0,函数f (x )在(-1,+∞)单调递增,无极值点;②当a>89时,Δ>0,设方程2ax 2+ax-a+1=0的两根为x 1,x 2(x 1<x 2), 因为x 1+x 2=-1,所以x 1<-1,x 2>-1. 由g (-1)=1>0,可得-1<x 1<-1.所以当x ∈(-1,x 1)时,g (x )>0,f'(x )>0,函数f (x )单调递增, 当x ∈(x 1,x 2)时,g (x )<0,f'(x )<0,函数f (x )单调递减, 当x ∈(x 2,+∞)时,g (x )>0,f'(x )>0,函数f (x )单调递增. 因此函数有两个极值点. 当a<0时,Δ>0,由g (-1)=1>0,可得x 1<-1.当x ∈(-1,x 2)时,g (x )>0,f'(x )>0,函数f (x )单调递增; 当x ∈(x 2,+∞)时,g (x )<0,f'(x )<0,函数f (x )单调递减; 所以函数有一个极值点.综上所述,当a<0时,函数f (x )有一个极值点; 当0≤a ≤8时,函数f (x )无极值点; 当a>89时,函数f (x )有两个极值点. (2)由(1)知,①当0≤a ≤8时,函数f (x )在(0,+∞)上单调递增, 因为f (0)=0,所以x ∈(0,+∞)时,f (x )>0,符合题意;②当8<a ≤1时,由g (0)≥0,得x 2≤0,所以函数f (x )在(0,+∞)上单调递增.又f (0)=0,所以x ∈(0,+∞)时,f (x )>0,符合题意; ③当a>1时,由g (0)<0,可得x 2>0. 所以x ∈(0,x 2)时,函数f (x )单调递减;因为f (0)=0,所以x ∈(0,x 2)时,f (x )<0,不合题意; ④当a<0时,设h (x )=x-ln(x+1). 因为x ∈(0,+∞)时,h'(x )=1-1=x>0, 所以h (x )在(0,+∞)上单调递增. 因此当x ∈(0,+∞)时,h (x )>h (0)=0, 即ln(x+1)<x.可得f (x )<x+a (x 2-x )=ax 2+(1-a )x , 当x>1-1a时,ax 2+(1-a )x<0, 此时f (x )<0,不合题意.综上所述,a 的取值范围是[0,1].。

2015年高考理科数学(山东卷)

绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。

满分150分。

考试用时120分钟。

考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项： 1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。

答案卸载试卷上无效。

3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式：如果事件A,B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).第Ⅰ卷选择题（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的1．已知集合A={x |x 2-4x +3<0}，B={x |2<x <4},则AB=A ．（1，3）B ．（1，4）C ．（2，3）D ．（2，4）2．若复数z 满足1zi i=-，其中i 为虚数为单位，则z= A ．i -1 B ．i +1 C ．i --1 D ．i +-1 3．要得到函数)34sin(π-=x y 的图像，只需要将函数y =sin4x 的图像（）A ．向左平移12π个单位 B ．向右平移12π个单位 C ．向左平移3π个单位 D ．向右平移3π个单位4．已知ABCD 的边长为a ，∠ABC=60o ,则BD CD ⋅=A ．223a -B ．243a -C ．243aD ．223a 5．不等式251<---x x 的解集是A ．)4,(-∞B ．)1,(-∞C ．)4,1(D ．)5,1(6．已知x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-030y y x y x ，若y ax z +=的最大值为4，则a =A ．3B ．2C ．-2D ．-3 7．在梯形ABCD 中，ABC=2π，AD//BC ，BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为 A ．32π B ．34πC ．35πD ．2π8．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N （0，32），从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（附：若随机变量ξ服从正态分布N （μ，σ²）），则%26.68)(=+<<-σμξσμP (22)95.44%P μσξμσ-<<+=）A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%9．一条光纤从点（-2，-3）射出，经y 轴反射后与圆1)2()3(22=-++y x 相切，则反射光线所在直线的斜率为（） A ．5335--或 B ．3223--或 C ．5445--或 D ．4334--或 10．设函数⎩⎨⎧≥<-=1,21,13)(x x x x f x,则满足)(2))((a f a f f =的a 取值范围是（） A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,32 B ．[]1,0 C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∞,32D ．[]+∞,1第Ⅱ卷非选择题（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

2015年山东省高考数学试卷(理科)word版试卷及解析

2015年高考山东省理科数学真题一、选择题1.已知集合{}243|0A x x x =-+<，{}24|B x x =<<，则A B =I （）A ．（1，3）B ．（1，4）C ．（2，3）D ．（2，4） 2.若复数Z 满足1Z i i =-，其中i 为虚数为单位，则Z=（） A ．1-i B ．1+iC ．-1-iD ．-1+i 3.要得到函数sin(4)3y x π=-的图像，只需要将函数y=sin4x 的图像（）A ．向左平移12π个单位 B ．向右平移12π个单位C ．向左平移3π个单位D ．向右平移3π个单位 4.已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=︒，则BD CD ⋅=u u u r u u u r （）A ．232a -B ．234a -C ．234aD ．232a 5.不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是（） A ．(,4)-∞ B ．(,1)-∞ C ．（1，4）D ．（1，5） 6.已知x,y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若z=ax+y 的最大值为4，则a=（）A ．3B ．2C ．-2D ．-37.在梯形ABCD 中，2ABC π∠=，AD//BC ，BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A ．23πB ．43πC ．53πD ．2π8.已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N （0，3），从中随机取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（）（附：若随机变量服从正态分布2(,)N μσ，则(P μσ-<)68.26%μσ<+=，(2P μσ-<2)95.44%μσ<+=。

）A ．4.56%B ．12.59%C ．27.18%D ．31.74%ξξξ9.一条光线从点（-2，-3）射出，经y 轴反射后与圆22(3)(2)1x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A ．53-或35- B ．32-或23- C ．54-或45- D ．43-或34- 10.设函数31,1()2,1x x x f x x -<⎧=⎨≥⎩，则满足()(())2f a f f a =的a 取值范围是（） A ．2[,1]3 B ．[0，1] C ．2[,)3+∞ D ．[1,)+∞二、填空题11.观察下列各式：001011330122555012337777=4444C C C C C C C C C C +=++=+++=……照此规律，当当n ∈N 时，C 02n-1 + C 12n-1 + C 22n-1 +…+ C n-12n-1 = . 12.若“∀x ∈[0，4π]，tanx ≤m”是真命题，则实数m 的最小值为 . 13.执行下面的程序框图，输出的T 的值为 .14.已知函数()(0,1)xf x a b a a =+>≠ 的定义域和值域都是[]1,0- ，则a b +=________15.平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：22221x y a b-=（a>0,b>0）的渐近线与抛物线C 2：x 2=2py(p>0)交于O ，若ABC ∆的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为___________．16.设2()sin cos cos ()4f x x x x x π=-+。

2015年山东省高考数学试卷(理科)及答案

2015年山东省高考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B=（）A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）2．（5分）若复数z满足=i，其中i为虚数单位，则z=（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i3．（5分）要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象（）A．向左平移单位B．向右平移单位C．向左平移单位D．向右平移单位4．（5分）已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，则=（）A．﹣a2B．﹣a2C．a2 D．a25．（5分）不等式|x﹣1|﹣|x﹣5|＜2的解集是（）A．（﹣∞，4）B．（﹣∞，1）C．（1，4） D．（1，5）6．（5分）已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=（）A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣37．（5分）在梯形ABCD中，∠ABC=，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2，将梯形ABCD 绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A． B． C． D．2π8．（5分）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0，32），从中随机抽取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（）（附：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）=68.26%，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）=95.44%）A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%9．（5分）一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A．﹣或﹣B．﹣或﹣C．﹣或﹣D．﹣或﹣10．（5分）设函数f（x）=，则满足f（f（a））=2f（a）的a的取值范围是（）A．[，1]B．[0，1]C．[，+∞）D．[1，+∞）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）观察下列各式：C=40；C+C=41；C+C+C=42；C+C+C+C=43；…照此规律，当n∈N*时，C+C+C+…+C=．12．（5分）若“∀x∈[0，]，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为．13．（5分）执行如图程序框图，输出的T的值为．14．（5分）已知函数f（x）=a x+b（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[﹣1，0]，则a+b=．15．（5分）平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线C2：x2=2py（p＞0）交于点O，A，B，若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为．三、解答题16．（12分）设f（x）=sinxcosx﹣cos2（x+）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=0，a=1，求△ABC面积的最大值．17．（12分）如图，在三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点．（Ⅰ）求证：BD∥平面FGH；（Ⅱ）若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF=DE，∠BAC=45°，求平面FGH与平面ACFD 所成的角（锐角）的大小．18．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知2S n=3n+3．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}，满足a n b n=log3a n，求{b n}的前n项和T n．19．（12分）若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137，359，567等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分，若能被5整除，但不能被10整除，得﹣1分，若能被10整除，得1分．（Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX．20．（13分）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2，以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆E：+=1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y=kx+m 交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q．（i）求||的值；（ii）求△ABQ面积的最大值．21．（14分）设函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R，（Ⅰ）讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由；（Ⅱ）若∀x＞0，f（x）≥0成立，求a的取值范围．2015年山东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）（2015•山东）已知集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B=（）A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）【分析】求出集合A，然后求出两个集合的交集．【解答】解：集合A={x|x2﹣4x+3＜0}={x|1＜x＜3}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B={x|2＜x＜3}=（2，3）．故选：C．2．（5分）（2015•山东）若复数z满足=i，其中i为虚数单位，则z=（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i【分析】直接利用复数的乘除运算法则化简求解即可．【解答】解：=i，则=i（1﹣i）=1+i，可得z=1﹣i．故选：A．3．（5分）（2015•山东）要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x 的图象（）A．向左平移单位B．向右平移单位C．向左平移单位D．向右平移单位【分析】直接利用三角函数的平移原则推出结果即可．【解答】解：因为函数y=sin（4x﹣）=sin[4（x﹣）]，要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象向右平移单位．故选：B．4．（5分）（2015•山东）已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，则=（）A．﹣a2B．﹣a2C．a2 D．a2【分析】由已知可求，，根据=（）•=代入可求【解答】解：∵菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，∴=a2，=a×a×cos60°=，则=（）•==故选：D5．（5分）（2015•山东）不等式|x﹣1|﹣|x﹣5|＜2的解集是（）A．（﹣∞，4）B．（﹣∞，1）C．（1，4） D．（1，5）【分析】运用零点分区间，求出零点为1，5，讨论①当x＜1，②当1≤x≤5，③当x＞5，分别去掉绝对值，解不等式，最后求并集即可．【解答】解：①当x＜1，不等式即为﹣x+1+x﹣5＜2，即﹣4＜2成立，故x＜1；②当1≤x≤5，不等式即为x﹣1+x﹣5＜2，得x＜4，故1≤x＜4；③当x＞5，x﹣1﹣x+5＜2，即4＜2不成立，故x∈∅．综上知解集为（﹣∞，4）．故选A．6．（5分）（2015•山东）已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=（）A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣3【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．则A（2，0），B（1，1），若z=ax+y过A时取得最大值为4，则2a=4，解得a=2，此时，目标函数为z=2x+y，即y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为4，满足条件，若z=ax+y过B时取得最大值为4，则a+1=4，解得a=3，此时，目标函数为z=3x+y，即y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为6，不满足条件，故a=2，故选：B7．（5分）（2015•山东）在梯形ABCD中，∠ABC=，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A． B． C． D．2π【分析】画出几何体的直观图，利用已知条件，求解几何体的体积即可．【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：旋转体是底面半径为1，高为2的圆柱，挖去一个相同底面高为1的倒圆锥，几何体的体积为：=．故选：C．8．（5分）（2015•山东）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0，32），从中随机抽取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（）（附：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）=68.26%，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）=95.44%）A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%【分析】由题意P（﹣3＜ξ＜3）=68.26%，P（﹣6＜ξ＜6）=95.44%，可得P（3＜ξ＜6）=（95.44%﹣68.26%），即可得出结论．【解答】解：由题意P（﹣3＜ξ＜3）=68.26%，P（﹣6＜ξ＜6）=95.44%，所以P（3＜ξ＜6）=（95.44%﹣68.26%）=13.59%．故选：B．9．（5分）（2015•山东）一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A．﹣或﹣B．﹣或﹣C．﹣或﹣D．﹣或﹣【分析】点A（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点为A′（2，﹣3），可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x﹣2），利用直线与圆相切的性质即可得出．【解答】解：点A（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点为A′（2，﹣3），故可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x﹣2），化为kx﹣y﹣2k﹣3=0．∵反射光线与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，∴圆心（﹣3，2）到直线的距离d==1，化为24k2+50k+24=0，∴k=或﹣．故选：D．10．（5分）（2015•山东）设函数f（x）=，则满足f（f（a））=2f （a）的a的取值范围是（）A．[，1]B．[0，1]C．[，+∞）D．[1，+∞）【分析】令f（a）=t，则f（t）=2t，讨论t＜1，运用导数判断单调性，进而得到方程无解，讨论t≥1时，以及a＜1，a≥1，由分段函数的解析式，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：令f（a）=t，则f（t）=2t，当t＜1时，3t﹣1=2t，由g（t）=3t﹣1﹣2t的导数为g′（t）=3﹣2t ln2，在t＜1时，g′（t）＞0，g（t）在（﹣∞，1）递增，即有g（t）＜g（1）=0，则方程3t﹣1=2t无解；当t≥1时，2t=2t成立，由f（a）≥1，即3a﹣1≥1，解得a≥，且a＜1；或a≥1，2a≥1解得a≥0，即为a≥1．综上可得a的范围是a≥．故选C．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）（2015•山东）观察下列各式：C=40；C+C=41；C+C+C=42；C+C+C+C=43；…照此规律，当n∈N*时，C+C+C+…+C=4n﹣1．【分析】仔细观察已知条件，找出规律，即可得到结果．【解答】解：因为C=40；C+C=41；C+C+C=42；C+C+C+C=43；…照此规律，可以看出等式左侧最后一项，组合数的上标与等式右侧的幂指数相同，可得：当n∈N*时，C+C+C+…+C=4n﹣1；故答案为：4n﹣1．12．（5分）（2015•山东）若“∀x∈[0，]，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为1．【分析】求出正切函数的最大值，即可得到m的范围．【解答】解：“∀x∈[0，]，tanx≤m”是真命题，可得tanx≤1，所以，m≥1，实数m的最小值为：1．故答案为：1．13．（5分）（2015•山东）执行如图程序框图，输出的T的值为．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，T的值，当n=3时不满足条件n＜3，退出循环，输出T的值为．【解答】解：模拟执行程序框图，可得n=1，T=1满足条件n＜3，T=1+xdx，n=2满足条件n＜3，T=1+xdx+x2dx=1+=，n=3不满足条件n＜3，退出循环，输出T的值为．故答案为：14．（5分）（2015•山东）已知函数f（x）=a x+b（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[﹣1，0]，则a+b=．【分析】对a进行分类讨论，分别题意和指数函数的单调性列出方程组，解得答案．【解答】解：当a＞1时，函数f（x）=a x+b在定义域上是增函数，所以，解得b=﹣1，=0不符合题意舍去；当0＜a＜1时，函数f（x）=a x+b在定义域上是减函数，所以，解得b=﹣2，a=，综上a+b=，故答案为：15．（5分）（2015•山东）平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线C2：x2=2py（p＞0）交于点O，A，B，若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为．【分析】求出A的坐标，可得=，利用△OAB的垂心为C 2的焦点，可得×（﹣）=﹣1，由此可求C1的离心率．【解答】解：双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，与抛物线C2：x2=2py联立，可得x=0或x=±，取A（，），设垂心H（0，），则k AH==，∵△OAB的垂心为C2的焦点，∴×（﹣）=﹣1，∴5a2=4b2，∴5a2=4（c2﹣a2）∴e==．故答案为：．三、解答题16．（12分）（2015•山东）设f（x）=sinxcosx﹣cos2（x+）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=0，a=1，求△ABC面积的最大值．【分析】（Ⅰ）由三角函数恒等变换化简解析式可得f（x）=sin2x﹣，由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得f（x）的单调递增区间，由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得单调递减区间．（Ⅱ）由f（）=sinA﹣=0，可得sinA，cosA，由余弦定理可得：bc，且当b=c时等号成立，从而可求bcsinA≤，从而得解．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，f（x）=sin2x﹣=sin2x﹣=sin2x﹣由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得：k≤x≤k，k∈Z；由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得：k≤x≤k，k∈Z；所以f（x）的单调递增区间是[k，k]，（k∈Z）；单调递减区间是：[k，k]，（k∈Z）；（Ⅱ）由f（）=sinA﹣=0，可得sinA=，由题意知A为锐角，所以cosA=，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：1+bc=b2+c2≥2bc，即bc，且当b=c时等号成立．因此S=bcsinA≤，所以△ABC面积的最大值为．17．（12分）（2015•山东）如图，在三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点．（Ⅰ）求证：BD∥平面FGH；（Ⅱ）若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF=DE，∠BAC=45°，求平面FGH与平面ACFD 所成的角（锐角）的大小．【分析】（Ⅰ）根据AB=2DE便可得到BC=2EF，从而可以得出四边形EFHB为平行四边形，从而得到BE∥HF，便有BE∥平面FGH，再证明DE∥平面FGH，从而得到平面BDE∥平面FGH，从而BD∥平面FGH；（Ⅱ）连接HE，根据条件能够说明HC，HG，HE三直线两两垂直，从而分别以这三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，然后求出一些点的坐标．连接BG，可说明为平面ACFD的一条法向量，设平面FGH的法向量为，根据即可求出法向量，设平面FGH与平面ACFD所成的角为θ，根据cosθ=即可求出平面FGH与平面ACFD所成的角的大小．【解答】解：（Ⅰ）证明：根据已知条件，DF∥AC，EF∥BC，DE∥AB；△DEF∽△ABC，又AB=2DE，∴BC=2EF=2BH，∴四边形EFHB为平行四边形；∴BE∥HF，HF⊂平面FGH，BE⊄平面FGH；∴BE∥平面FGH；同样，因为GH为△ABC中位线，∴GH∥AB；又DE∥AB；∴DE∥GH；∴DE∥平面FGH，DE∩BE=E；∴平面BDE∥平面FGH，BD⊂平面BDE；∴BD∥平面FGH；（Ⅱ）连接HE，则HE∥CF；∵CF⊥平面ABC；∴HE⊥平面ABC，并且HG⊥HC；∴HC，HG，HE三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设HC=1，则：H（0，0，0），G（0，1，0），F（1，0，1），B（﹣1，0，0）；连接BG，根据已知条件BA=BC，G为AC中点；∴BG⊥AC；又CF⊥平面ABC，BG⊂平面ABC；∴BG⊥CF，AC∩CF=C；∴BG⊥平面ACFD；∴向量为平面ACFD的法向量；设平面FGH的法向量为，则：，取z=1，则：；设平面FGH和平面ACFD所成的锐二面角为θ，则：cosθ=|cos|=；∴平面FGH与平面ACFD所成的角为60°．18．（12分）（2015•山东）设数列{a n}的前n项和为S n，已知2S n=3n+3．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}，满足a n b n=log3a n，求{b n}的前n项和T n．【分析】（Ⅰ）利用2S n=3n+3，可求得a1=3；当n＞1时，2S n﹣1=3n﹣1+3，两式相减2a n=2S n﹣2S n﹣1，可求得a n=3n﹣1，从而可得{a n}的通项公式；（Ⅱ）依题意，a n b n=log3a n，可得b1=，当n＞1时，b n=31﹣n•log33n﹣1=（n﹣1）×31﹣n，于是可求得T1=b1=；当n＞1时，T n=b1+b2+…+b n=+（1×3﹣1+2×3﹣2+…+（n﹣1）×31﹣n），利用错位相减法可求得{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）因为2S n=3n+3，所以2a1=31+3=6，故a1=3，=3n﹣1+3，当n＞1时，2S n﹣1此时，2a n=2S n﹣2S n﹣1=3n﹣3n﹣1=2×3n﹣1，即a n=3n﹣1，所以a n=．（Ⅱ）因为a n b n=log3a n，所以b1=，当n＞1时，b n=31﹣n•log33n﹣1=（n﹣1）×31﹣n，所以T1=b1=；当n＞1时，T n=b1+b2+…+b n=+（1×3﹣1+2×3﹣2+…+（n﹣1）×31﹣n），所以3T n=1+（1×30+2×3﹣1+3×3﹣2+…+（n﹣1）×32﹣n），两式相减得：2T n=+（30+3﹣1+3﹣2+…+32﹣n﹣（n﹣1）×31﹣n）=+﹣（n ﹣1）×31﹣n=﹣，所以T n=﹣，经检验，n=1时也适合，综上可得T n=﹣．19．（12分）（2015•山东）若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137，359，567等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分，若能被5整除，但不能被10整除，得﹣1分，若能被10整除，得1分．（Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX．【分析】（Ⅰ）根据“三位递增数”的定义，即可写出所有个位数字是5的“三位递增数”；（Ⅱ）随机变量X的取值为：0，﹣1，1分别求出对应的概率，即可求出分布列和期望．【解答】解：（Ⅰ）根据定义个位数字是5的“三位递增数”有：125，135，145，235，245，345；（Ⅱ）由题意知，全部“三位递增数”的个数为，随机变量X的取值为：0，﹣1，1，当X=0时，可以选择除去5以外的剩下8个数字中选择3个进行组合，即；当X=﹣1时，首先选择5，由于不能被10整除，因此不能选择数字2，4，6，8，可以从1，3，7，9中选择两个数字和5进行组合，即；当X=1时，有两种组合方式，第一种方案：首先选5，然后从2，4，6，8中选择2个数字和5进行组合，即；第二种方案：首先选5，然后从2，4，6，8中选择1个数字，再从1，3，7，9中选择1个数字，最后把3个数字进行组合，即．则P（X=0）==，P（X=﹣1）==，P（X=1）==，X0﹣11PEX=0×+（﹣1）×+1×=．20．（13分）（2015•山东）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a ＞b＞0）的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2，以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆E：+=1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y=kx+m 交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q．（i）求||的值；（ii）求△ABQ面积的最大值．【分析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，计算即可得到b，进而得到椭圆C的方程；（Ⅱ）求得椭圆E的方程，（i）设P（x0，y0），||=λ，求得Q的坐标，分别代入椭圆C，E的方程，化简整理，即可得到所求值；（ii）设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线y=kx+m代入椭圆E的方程，运用韦达定理，三角形的面积公式，将直线y=kx+m代入椭圆C的方程，由判别式大于0，可得t的范围，结合二次函数的最值，又△ABQ的面积为3S，即可得到所求的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，PF1+PF2=2a=4，可得a=2，又=，a2﹣c2=b2，可得b=1，即有椭圆C的方程为+y2=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆E的方程为+=1，（i）设P（x0，y0），||=λ，由题意可知，Q（﹣λx0，﹣λy0），由于+y02=1，又+=1，即（+y02）=1，所以λ=2，即||=2；（ii）设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线y=kx+m代入椭圆E的方程，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣16=0，由△＞0，可得m2＜4+16k2，①则有x1+x2=﹣，x1x2=，所以|x1﹣x2|=，由直线y=kx+m与y轴交于（0，m），则△AOB的面积为S=|m|•|x1﹣x2|=|m|•=2，设=t，则S=2，将直线y=kx+m代入椭圆C的方程，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由△＞0可得m2＜1+4k2，②由①②可得0＜t＜1，则S=2在（0，1）递增，即有t=1取得最大值，即有S，即m2=1+4k2，取得最大值2，由（i）知，△ABQ的面积为3S，即△ABQ面积的最大值为6．21．（14分）（2015•山东）设函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R，（Ⅰ）讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由；（Ⅱ）若∀x＞0，f（x）≥0成立，求a的取值范围．【分析】（I）函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R，x∈（﹣1，+∞）．=．令g（x）=2ax2+ax﹣a+1．对a与△分类讨论可得：（1）当a=0时，此时f′（x）＞0，即可得出函数的单调性与极值的情况．（2）当a＞0时，△=a（9a﹣8）．①当时，△≤0，②当a时，△＞0，即可得出函数的单调性与极值的情况．（3）当a＜0时，△＞0．即可得出函数的单调性与极值的情况．（II）由（I）可知：（1）当0≤a时，可得函数f（x）在（0，+∞）上单调性，即可判断出．（2）当＜a≤1时，由g（0）≥0，可得x2≤0，函数f（x）在（0，+∞）上单调性，即可判断出．（3）当1＜a时，由g（0）＜0，可得x2＞0，利用x∈（0，x2）时函数f（x）单调性，即可判断出；（4）当a＜0时，设h（x）=x﹣ln（x+1），x∈（0，+∞），研究其单调性，即可判断出【解答】解：（I）函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R，x∈（﹣1，+∞）．=．令g（x）=2ax2+ax﹣a+1．（1）当a=0时，g（x）=1，此时f′（x）＞0，函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，无极值点．（2）当a＞0时，△=a2﹣8a（1﹣a）=a（9a﹣8）．①当时，△≤0，g（x）≥0，f′（x）≥0，函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，无极值点．②当a时，△＞0，设方程2ax2+ax﹣a+1=0的两个实数根分别为x1，x2，x1＜x2．∵x1+x2=，∴，．由g（﹣1）＞0，可得﹣1＜x1．∴当x∈（﹣1，x1）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当x∈（x1，x2）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x∈（x2，+∞）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．因此函数f（x）有两个极值点．（3）当a＜0时，△＞0．由g（﹣1）=1＞0，可得x1＜﹣1＜x2．∴当x∈（﹣1，x2）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当x∈（x2，+∞）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．因此函数f（x）有一个极值点．综上所述：当a＜0时，函数f（x）有一个极值点；当0≤a时，函数f（x）无极值点；当a时，函数f（x）有两个极值点．（II）由（I）可知：（1）当0≤a时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．∵f（0）=0，∴x∈（0，+∞）时，f（x）＞0，符合题意．（2）当＜a≤1时，由g（0）≥0，可得x2≤0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．又f（0）=0，∴x∈（0，+∞）时，f（x）＞0，符合题意．（3）当1＜a时，由g（0）＜0，可得x2＞0，∴x∈（0，x2）时，函数f（x）单调递减．又f（0）=0，∴x∈（0，x2）时，f（x）＜0，不符合题意，舍去；（4）当a＜0时，设h（x）=x﹣ln（x+1），x∈（0，+∞），h′（x）=＞0．∴h（x）在（0，+∞）上单调递增．因此x∈（0，+∞）时，h（x）＞h（0）=0，即ln（x+1）＜x，可得：f（x）＜x+a（x2﹣x）=ax2+（1﹣a）x，当x＞时，ax2+（1﹣a）x＜0，此时f（x）＜0，不合题意，舍去．综上所述，a的取值范围为[0，1]．。

2015年高考理科数学山东卷

数学试卷第 6 页（共 6 页）
（Ⅰ）求证：BD∥平面 FGH；（Ⅱ）若 CF⊥平面 ABC，AB⊥BC，CF=DE，∠BAC= 45 ，求平面 FGH 与平面 ACFD
所成的角（锐角）的大小.
18．（本小题满分 12 分）设数列{an} 的前 n 项和为 Sn .已知 2Sn 3n 3 . （Ⅰ）求{an} 的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn} 满足 anbn log3 an ，求{bn} 的前 n 项和 Tn .
x2 y2
15 ．平面直角坐标系
xOy
中，双曲线
C1： a
2
b2
（1 a 0,b 0）的渐近线与抛物线
C2：x2 2 py（p 0）交于点 O，A，B.若 △OAB 的垂心为 C2 的焦点，则 C1 的离心率
为_______.
数学试卷第 3 页（共 6 页）
三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
C． 1 i
D． 1 i
π 3．要得到函数 y sin(4x ) 的图象，只需要将函数 y sin 4x 的图象
3
（）
π A．向左平移个单位
12
π B．向右平移个单位
12
无
π C．向左平移个单位
3
π D．向右平移个单位
3
4．已知菱形 ABCD 的边长为 a ， ABC 60 ，则 BDCD
绝密★启用前在
2015 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)
数学（理科）
此本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分 150 分,考试时间 120
分钟.
卷

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2015年山东省高考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）已知集合A={x |x 2﹣4x +3＜0}，B={x |2＜x ＜4}，则A ∩B=（）A ．（1，3）B ．（1，4）C ．（2，3）D ．（2，4）2．（5分）若复数z 满足z 1−i =i ，其中i 为虚数单位，则z=（）A ．1﹣iB ．1+iC ．﹣1﹣iD ．﹣1+i3．（5分）要得到函数y=sin （4x ﹣π3）的图象，只需要将函数y=sin4x 的图象（）个单位．A ．向左平移π12B ．向右平移π12C ．向左平移π3D ．向右平移π34．（5分）已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC=60°，则BD →⋅CD →=（）A ．﹣32a 2B ．﹣34a 2C ．34a 2D ．32a 2 5．（5分）不等式|x ﹣1|﹣|x ﹣5|＜2的解集是（）A ．（﹣∞，4）B ．（﹣∞，1）C ．（1，4）D ．（1，5）6．（5分）已知x ，y 满足约束条件{x −y ≥0x +y ≤2y ≥0，若z=ax +y 的最大值为4，则a=（）A ．3B ．2C ．﹣2D ．﹣37．（5分）在梯形ABCD 中，∠ABC=π2，AD ∥BC ，BC=2AD=2AB=2，将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A ．2π3B ．4π3C ．5π3D ．2π 8．（5分）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N （0，32），从中随机抽取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（）（附：若随机变量ξ服从正态分布N （μ，σ2），则P （μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）=68.26%，P （μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）=95.44%）A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%9．（5分）一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y 轴反射后与圆（x +3）2+（y ﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A ．﹣53或﹣35B ．﹣32或﹣23C ．﹣54或﹣45D ．﹣43或﹣34 10．（5分）设函数f （x ）={3x −1，x ＜12x ，x ≥1，则满足f （f （a ））=2f （a ）的a 的取值范围是（） A ．[23，1] B ．[0，1] C ．[23，+∞） D ．[1，+∞）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）观察下列各式：C10=40； C30+C 31=41； C50+C 51+C 52=42； C70+C 71+C 72+C 73=43； …照此规律，当n ∈N *时，C 2n−10+C 2n−11+C 2n−12+…+C 2n−1n−1= ．12．（5分）若“∀x ∈[0，π4]，tanx ≤m”是真命题，则实数m 的最小值为． 13．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为．14．（5分）已知函数f （x ）=a x +b （a ＞0，a ≠1）的定义域和值域都是[﹣1，0]，则a +b= ．15．（5分）平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：x 2a ﹣y 2b =1（a ＞0，b ＞0）的渐近线与抛物线C 2：x 2=2py （p ＞0）交于点O ，A ，B ，若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为．三、解答题16．（12分）设f （x ）=sinxcosx ﹣cos 2（x +π4）．（Ⅰ）求f （x ）的单调区间；（Ⅱ）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f （A 2）=0，a=1，求△ABC 面积的最大值．17．（12分）如图，在三棱台DEF ﹣ABC 中，AB=2DE ，G ，H 分别为AC ，BC 的中点．（Ⅰ）求证：BD ∥平面FGH ；（Ⅱ）若CF ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，CF=DE ，∠BAC=45°，求平面FGH 与平面ACFD 所成的角（锐角）的大小．18．（12分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知2S n =3n +3．（Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n }，满足a n b n =log 3a n ，求{b n }的前n 项和T n ．19．（12分）若n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”（如137，359，567等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分，若能被5整除，但不能被10整除，得﹣1分，若能被10整除，得1分．（Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望EX ．20．（13分）平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√32，左、右焦点分别是F 1，F 2，以F 1为圆心以3为半径的圆与以F 2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆E ：x 24a 2+y 24b 2=1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y=kx +m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q ．（i ）求|OQ OP |的值；（ii ）求△ABQ 面积的最大值．21．（14分）设函数f （x ）=ln （x +1）+a （x 2﹣x ），其中a ∈R ，（Ⅰ）讨论函数f （x ）极值点的个数，并说明理由；（Ⅱ）若∀x ＞0，f （x ）≥0成立，求a 的取值范围．2015年山东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）已知集合A={x |x 2﹣4x +3＜0}，B={x |2＜x ＜4}，则A ∩B=（）A ．（1，3）B ．（1，4）C ．（2，3）D ．（2，4）【解答】解：集合A={x |x 2﹣4x +3＜0}={x |1＜x ＜3}，B={x |2＜x ＜4}，则A ∩B={x |2＜x ＜3}=（2，3）．故选：C ．2．（5分）若复数z 满足z 1−i =i ，其中i 为虚数单位，则z=（）A ．1﹣iB ．1+iC ．﹣1﹣iD ．﹣1+i【解答】解：z 1−i =i ，则z =i （1﹣i ）=1+i ，可得z=1﹣i ．故选：A ．3．（5分）要得到函数y=sin （4x ﹣π3）的图象，只需要将函数y=sin4x 的图象（）个单位．A ．向左平移π12B ．向右平移π12C ．向左平移π3D ．向右平移π3【解答】解：因为函数y=sin （4x ﹣π3）=sin [4（x ﹣π12）]，要得到函数y=sin （4x ﹣π3）的图象，只需将函数y=sin4x 的图象向右平移π12单位．故选：B ．4．（5分）已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC=60°，则BD →⋅CD →=（）A ．﹣32a 2B ．﹣34a 2C ．34a 2D ．32a 2 【解答】解：∵菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC=60°，∴BA→2=a 2，BA →⋅BC →=a ×a ×cos60°=12a 2，则BD →⋅CD →=（BA →+BC →）•BA →=BA →2+BA →⋅BC →=3a 22故选：D5．（5分）不等式|x ﹣1|﹣|x ﹣5|＜2的解集是（）A ．（﹣∞，4）B ．（﹣∞，1）C ．（1，4）D ．（1，5）【解答】解：①当x ＜1，不等式即为﹣x +1+x ﹣5＜2，即﹣4＜2成立，故x ＜1； ②当1≤x ≤5，不等式即为x ﹣1+x ﹣5＜2，得x ＜4，故1≤x ＜4；③当x ＞5，x ﹣1﹣x +5＜2，即4＜2不成立，故x ∈∅．综上知解集为（﹣∞，4）．故选A ．6．（5分）已知x ，y 满足约束条件{x −y ≥0x +y ≤2y ≥0，若z=ax +y 的最大值为4，则a=（）A ．3B ．2C ．﹣2D ．﹣3【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．则A （2，0），B （1，1），若z=ax +y 过A 时取得最大值为4，则2a=4，解得a=2，此时，目标函数为z=2x +y ，即y=﹣2x +z ，平移直线y=﹣2x +z ，当直线经过A （2，0）时，截距最大，此时z 最大为4，满足条件，若z=ax +y 过B 时取得最大值为4，则a +1=4，解得a=3，此时，目标函数为z=3x +y ，即y=﹣3x +z ，平移直线y=﹣3x +z ，当直线经过A （2，0）时，截距最大，此时z 最大为6，不满足条件，故a=2，故选：B7．（5分）在梯形ABCD 中，∠ABC=π2，AD ∥BC ，BC=2AD=2AB=2，将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A ．2π3B ．4π3C ．5π3D ．2π 【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：旋转体是底面半径为1，高为2的圆柱，挖去一个相同底面高为1的倒圆锥，几何体的体积为：12π⋅2−13×12π×1=5π3．故选：C ．8．（5分）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N （0，32），从中随机抽取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（）（附：若随机变量ξ服从正态分布N （μ，σ2），则P （μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）=68.26%，P （μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）=95.44%）A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%【解答】解：由题意P （﹣3＜ξ＜3）=68.26%，P （﹣6＜ξ＜6）=95.44%，所以P （3＜ξ＜6）=12（95.44%﹣68.26%）=13.59%．故选：B ．9．（5分）一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y 轴反射后与圆（x +3）2+（y ﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A ．﹣53或﹣35B ．﹣32或﹣23C ．﹣54或﹣45D ．﹣43或﹣34 【解答】解：点A （﹣2，﹣3）关于y 轴的对称点为A′（2，﹣3），故可设反射光线所在直线的方程为：y +3=k （x ﹣2），化为kx ﹣y ﹣2k ﹣3=0． ∵反射光线与圆（x +3）2+（y ﹣2）2=1相切，∴圆心（﹣3，2）到直线的距离d=√k 2+1=1，化为24k 2+50k +24=0，∴k=−43或﹣34．故选：D ．10．（5分）设函数f （x ）={3x −1，x ＜12x ，x ≥1，则满足f （f （a ））=2f （a ）的a 的取值范围是（）A ．[23，1]B ．[0，1]C ．[23，+∞）D ．[1，+∞）【解答】解：令f （a ）=t ，则f （t ）=2t ，当t ＜1时，3t ﹣1=2t ，由g （t ）=3t ﹣1﹣2t 的导数为g′（t ）=3﹣2t ln2，在t ＜1时，g′（t ）＞0，g （t ）在（﹣∞，1）递增，即有g （t ）＜g （1）=0，则方程3t ﹣1=2t 无解；当t ≥1时，2t =2t 成立，由f （a ）≥1，即3a ﹣1≥1，解得a ≥23，且a ＜1；或a ≥1，2a ≥1解得a ≥0，即为a ≥1．综上可得a 的范围是a ≥23．故选C ．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）观察下列各式：C10=40； C30+C 31=41； C50+C 51+C 52=42； C70+C 71+C 72+C 73=43； …照此规律，当n ∈N *时，C 2n−10+C 2n−11+C 2n−12+…+C2n−1n−1= 4n ﹣1 ．【解答】解：因为C10=40； C30+C 31=41； C50+C 51+C 52=42； C70+C 71+C 72+C 73=43；… 照此规律，可以看出等式左侧最后一项，组合数的上标与等式右侧的幂指数相同，可得：当n ∈N *时，C2n−10+C 2n−11+C 2n−12+…+C 2n−1n−1=4n ﹣1；故答案为：4n ﹣1．12．（5分）若“∀x ∈[0，π4]，tanx ≤m”是真命题，则实数m 的最小值为 1 ．【解答】解：“∀x ∈[0，π4]，tanx ≤m”是真命题，可得tanx ≤1，所以，m ≥1，实数m 的最小值为：1．故答案为：1．13．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 10 ．【解答】解：由已知可得该程序的功能是计算并输出S=﹣12+22﹣32+42的值∵S=﹣12+22﹣32+42=10故答案为：1014．（5分）已知函数f （x ）=a x +b （a ＞0，a ≠1）的定义域和值域都是[﹣1，0]，则a +b= −32 ．【解答】解：当a ＞1时，函数f （x ）=a x +b 在定义域上是增函数，所以{1+b =0a −1+b =−1，解得b=﹣1，1a=0不符合题意舍去；当0＜a ＜1时，函数f （x ）=a x +b 在定义域上是减函数，所以 {1+b =−1a −1+b =0，解得b=﹣2，a=12，综上a +b=−32，故答案为：−3215．（5分）平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：x 2a 2﹣y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线与抛物线C 2：x 2=2py （p ＞0）交于点O ，A ，B ，若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为32．【解答】解：双曲线C 1：x 2a 2﹣y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线方程为y=±b a x ，与抛物线C 2：x 2=2py 联立，可得x=0或x=±2pb a，取A （2pb a ，2pb 2a ），设垂心H （0，p 2），则k AH =2pb 2a 2−p 22pb a=4b 2−a 24ab ， ∵△OAB 的垂心为C 2的焦点，∴4b 2−a 24ab ×（﹣b a）=﹣1， ∴5a 2=4b 2，∴5a 2=4（c 2﹣a 2）∴e=c a =32．故答案为：32．三、解答题16．（12分）设f （x ）=sinxcosx ﹣cos 2（x +π4）．（Ⅰ）求f （x ）的单调区间；（Ⅱ）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f （A 2）=0，a=1，求△ABC 面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，f （x ）=12sin2x ﹣1+cos(2x+π2)2=12sin2x ﹣1−sin2x 2=sin2x ﹣12由2k π−π2≤2x ≤2k π+π2，k ∈Z 可解得：k π−π4≤x ≤k π+π4，k ∈Z ；由2k π+π2≤2x ≤2k π+3π2，k ∈Z 可解得：k π+π4≤x ≤k π+3π4，k ∈Z ；所以f （x ）的单调递增区间是[k π−π4，k π+π4]，（k ∈Z ）；单调递减区间是：[k π+π4，k π+3π4]，（k ∈Z ）；（Ⅱ）由f （A 2）=sinA ﹣12=0，可得sinA=12，由题意知A 为锐角，所以cosA=√32，由余弦定理a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ，可得：1+√3bc=b 2+c 2≥2bc ，即bc ≤2+√3，且当b=c 时等号成立．因此S=12bcsinA ≤2+√34，所以△ABC 面积的最大值为2+√34． 17．（12分）如图，在三棱台DEF ﹣ABC 中，AB=2DE ，G ，H 分别为AC ，BC 的中点．（Ⅰ）求证：BD ∥平面FGH ；（Ⅱ）若CF ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，CF=DE ，∠BAC=45°，求平面FGH 与平面ACFD 所成的角（锐角）的大小．【解答】解：（Ⅰ）证明：根据已知条件，DF ∥AC ，EF ∥BC ，DE ∥AB ；△DEF ∽△ABC ，又AB=2DE ，∴BC=2EF=2BH ，∴四边形EFHB 为平行四边形；∴BE ∥HF ，HF ⊂平面FGH ，BE ⊄平面FGH ；∴BE ∥平面FGH ；同样，因为GH 为△ABC 中位线，∴GH ∥AB ；又DE ∥AB ；∴DE ∥GH ；∴DE ∥平面FGH ，DE ∩BE=E ；∴平面BDE ∥平面FGH ，BD ⊂平面BDE ；∴BD ∥平面FGH ；（Ⅱ）连接HE ，则HE ∥CF ；∵CF ⊥平面ABC ；∴HE ⊥平面ABC ，并且HG ⊥HC ；∴HC ，HG ，HE 三直线两两垂直，分别以这三直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，设HC=1，则：H （0，0，0），G （0，1，0），F （1，0，1），B （﹣1，0，0）；连接BG ，根据已知条件BA=BC ，G 为AC 中点；∴BG ⊥AC ；又CF ⊥平面ABC ，BG ⊂平面ABC ；∴BG ⊥CF ，AC ∩CF=C ；∴BG ⊥平面ACFD ；∴向量BG →=(1，1，0)为平面ACFD 的法向量；设平面FGH 的法向量为n →=(x ，y ，z)，则：{n →⋅HF →=x +z =0n →⋅HG →=y =0，取z=1，则：n →=(−1，0，1)；设平面FGH 和平面ACFD 所成的锐二面角为θ，则：cosθ=|cos ＜BG →，n →＞|=√2⋅√2=12； ∴平面FGH 与平面ACFD 所成的角为60°．18．（12分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知2S n =3n +3．（Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n }，满足a n b n =log 3a n ，求{b n }的前n 项和T n ．【解答】解：（Ⅰ）因为2S n =3n +3，所以2a 1=31+3=6，故a 1=3，当n ＞1时，2S n ﹣1=3n ﹣1+3，此时，2a n =2S n ﹣2S n ﹣1=3n ﹣3n ﹣1=2×3n ﹣1，即a n =3n ﹣1，所以a n ={3，n =13n−1，n ＞1.．（Ⅱ）因为a n b n =log 3a n ，所以b 1=13，当n ＞1时，b n =31﹣n •log 33n ﹣1=（n ﹣1）×31﹣n ，所以T 1=b 1=13；当n ＞1时，T n =b 1+b 2+…+b n =13+（1×3﹣1+2×3﹣2+…+（n ﹣1）×31﹣n ），所以3T n =1+（1×30+2×3﹣1+3×3﹣2+…+（n ﹣1）×32﹣n ），两式相减得：2T n =23+（30+3﹣1+3﹣2+…+32﹣n ﹣（n ﹣1）×31﹣n ）=23+1−31−n 1−3﹣（n ﹣1）×31﹣n =136﹣6n+32×3n ，所以T n =1312﹣6n+34×3n，经检验，n=1时也适合，综上可得T n =1312﹣6n+34×3n ．19．（12分）若n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”（如137，359，567等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分，若能被5整除，但不能被10整除，得﹣1分，若能被10整除，得1分．（Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望EX ．【解答】解：（Ⅰ）根据定义个位数字是5的“三位递增数”有：125，135，145，235，245，345；（Ⅱ）由题意知，全部“三位递增数”的个数为C 93=84，随机变量X 的取值为：0，﹣1，1，当X=0时，可以选择除去5以外的剩下8个数字中选择3个进行组合，即C 83；当X=﹣1时，首先选择5，由于不能被10整除，因此不能选择数字2，4，6，8，可以从1，3，7，9中选择两个数字和5进行组合，即C 42；当X=1时，有两种组合方式，第一种方案：首先选5，然后从2，4，6，8中选择2个数字和5进行组合，即C 42；第二种方案：首先选5，然后从2，4，6，8中选择1个数字，再从1，3，7，9中选择1个数字，最后把3个数字进行组合，即C 41C 41．则P （X=0）=C 83C 93=23，P （X=﹣1）=C 42C 93=114，P （X=1）=C 41C 41+C 42C 93=1142， X0 ﹣1 1 P 23 114 1142EX=0×23+（﹣1）×114+1×1142=421．20．（13分）平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√32，左、右焦点分别是F 1，F 2，以F 1为圆心以3为半径的圆与以F 2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆E ：x 24a +y 24b =1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y=kx +m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q ．（i ）求|OQ OP |的值；（ii ）求△ABQ 面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，PF 1+PF 2=2a=4，可得a=2，又c a =√32，a 2﹣c 2=b 2，可得b=1，即有椭圆C 的方程为x 24+y 2=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆E 的方程为x 216+y 24=1，（i ）设P （x 0，y 0），|OQ OP|=λ，由题意可知， Q （﹣λx 0，﹣λy 0），由于x 024+y 02=1，又(−λx 0)216+(−λy 0)24=1，即λ24（x 024+y 02）=1，所以λ=2，即|OQ OP|=2；（ii ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），将直线y=kx +m 代入椭圆E 的方程，可得（1+4k 2）x 2+8kmx +4m 2﹣16=0，由△＞0，可得m 2＜4+16k 2，①则有x 1+x 2=﹣8km1+4k 2，x 1x 2=4m 2−161+4k 2，所以|x 1﹣x 2|=4√16k 2+4−m 21+4k 2，由直线y=kx +m 与y 轴交于（0，m ），则△AOB 的面积为S=12|m |•|x 1﹣x 2|=12|m |•4√16k 2+4−m 21+4k =2√(4−m 21+4k 2)⋅m 21+4k 2，设m 21+4k 2=t ，则S=2√t(4−t)，将直线y=kx +m 代入椭圆C 的方程，可得（1+4k 2）x 2+8kmx +4m 2﹣4=0，由△≥0可得m 2≤1+4k 2，②由①②可得0＜t ≤1，则S=2√−(t −2)2+4在（0，1]递增，即有t=1取得最大值，即有S ≤2√3，即m 2=1+4k 2，取得最大值2√3，由（i ）知，△ABQ 的面积为3S ，即△ABQ面积的最大值为6√3．21．（14分）设函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R，（Ⅰ）讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由；（Ⅱ）若∀x＞0，f（x）≥0成立，求a的取值范围．【解答】解：（I）函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R，x∈（﹣1，+∞）．f′(x)=1x+1+2ax−a=2ax2+ax−a+1x+1．令g（x）=2ax2+ax﹣a+1．（1）当a=0时，g（x）=1，此时f′（x）＞0，函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，无极值点．（2）当a＞0时，△=a2﹣8a（1﹣a）=a（9a﹣8）．①当0＜a≤89时，△≤0，g（x）≥0，f′（x）≥0，函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，无极值点．②当a＞89时，△＞0，设方程2ax2+ax﹣a+1=0的两个实数根分别为x1，x2，x1＜x2．∵x1+x2=−1 2，∴x1＜−14，x2＞−14．由g（﹣1）＞0，可得﹣1＜x1＜−1 4．∴当x∈（﹣1，x1）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当x∈（x1，x2）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x∈（x2，+∞）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．因此函数f（x）有两个极值点．（3）当a＜0时，△＞0．由g（﹣1）=1＞0，可得x1＜﹣1＜x2．∴当x ∈（﹣1，x 2）时，g （x ）＞0，f′（x ）＞0，函数f （x ）单调递增；当x ∈（x 2，+∞）时，g （x ）＜0，f′（x ）＜0，函数f （x ）单调递减．因此函数f （x ）有一个极值点．综上所述：当a ＜0时，函数f （x ）有一个极值点；当0≤a ≤89时，函数f （x ）无极值点；当a ＞89时，函数f （x ）有两个极值点．（II ）由（I ）可知：（1）当0≤a ≤89时，函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增．∵f （0）=0，∴x ∈（0，+∞）时，f （x ）＞0，符合题意．（2）当89＜a ≤1时，由g （0）≥0，可得x 2≤0，函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增．又f （0）=0，∴x ∈（0，+∞）时，f （x ）＞0，符合题意．（3）当1＜a 时，由g （0）＜0，可得x 2＞0，∴x ∈（0，x 2）时，函数f （x ）单调递减．又f （0）=0，∴x ∈（0，x 2）时，f （x ）＜0，不符合题意，舍去；（4）当a ＜0时，设h （x ）=x ﹣ln （x +1），x ∈（0，+∞），h′（x ）=x x+1＞0． ∴h （x ）在（0，+∞）上单调递增．因此x ∈（0，+∞）时，h （x ）＞h （0）=0，即ln （x +1）＜x ，可得：f （x ）＜x +a （x 2﹣x ）=ax 2+（1﹣a ）x ，当x ＞1−1a 时， ax 2+（1﹣a ）x ＜0，此时f （x ）＜0，不合题意，舍去．综上所述，a 的取值范围为[0，1]．。