北京新东方扬州外国语学校2021届高三数学第一次月考试卷

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2021-2022年高三上学期第一次月考数学试题含答案

2021年高三上学期第一次月考数学试题含答案一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求)1、曲线在点处的切线方程为（）A．y=2x+2 B．y=2x-2 C．y=x-1 C．y=x+12、函数y=ln（1－x）的定义域为（）A．（0,1） B.[0,1) C.(0,1] D.[0,1]3、如果是二次函数, 且的图象开口向上,顶点坐标为, 那么曲线上任一点的切线的倾斜角的取值范围是（）A． B． C． D．4、定义域为的四个函数,,,中,奇函数的个数是( )A .B．C．D．15、已知为常数,函数有两个极值点,则（）A．B．C．D．6、设，则函数的零点位于区间（）A．（-1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）7、已知函数在处取得极大值10，则的值为（）A. B. C.或 D. 不存在8、已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时, f(x) =x2+ ,则f(-1)= ( )（A）-2 （B）0 （C）1 （D）29、已知函数的图象如图1所示,则其导函数的图象可能是10、设函数是定义在上的奇函数，且对任意都有，当时，，则的值为（）A.B. C. 2D.11、设为实数，函数的导函数为，且是偶函数，则曲线在原点处的切线方程为（）A ．B ．C ．D ．12．已知定义在上的奇函数，满足，且在区间上是增函数，若方程，在区间上有四个不同的根，则＝（）A ．－12B ．－8C ．－4D ．4二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13、已知是定义在上的奇函数.当时，，则不等式的解集用区间表示为． 14、已知在R 上是奇函数，且.15、函数对于总有≥0 成立，则= ． 16、已知,.若同时满足条件:①或;② ,.则的取值范围是三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分) 设函数是定义域为的奇函数．（1）求的值；（2）若，且在上的最小值为，求的值．图1A ．B ．C ．D ．18．(本小题满分12分)设,其中,曲线在点处的切线与轴相交于点.(1)确定的值; (2)求函数的单调区间与极值.19．(本小题满分12分)设函数，其中，区间（Ⅰ）求I的长度（注：区间的长度定义为）；（Ⅱ）给定常数，当时，求I长度的最小值。

2021年高三上学期第一次月考数学试卷含解析

2021年高三上学期第一次月考数学试卷含解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置1．已知集合A={1，cosθ}，B={，1}，若A=B，则锐角θ=．2．已知幂函数y=f（x）的图象过点（，），则f（4）的值为．3．若函数是偶函数，则实数a的值为．4．若函数f（x）=（e为自然对数的底数）是奇函数，则实数m的值为．5．函数y=的定义域为A，值域为B，则A∩B=．6．已知x，y满足且z=2x+y的最大值是最小值的4倍，则a的值是．7．已知点P在直线y=2x+1上，点Q在曲线y=x+lnx上，则P、Q两点间距离的最小值为．8．若函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象关于坐标原点中心对称，且在y轴右侧的第一个极值点为x=，则函数f（x）的最小正周期为．9．函数f（x）的定义域为R，f（0）=2，对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，则不等式e x•f（x）＞e x+1的解集为．10．已知tan（α+β）=1，tan（α﹣β）=2，则的值为．11．在锐角三角形ABC中，若tanA，tanB，tanC依次成等差数列，则tanAtanC 的值为．12．已知函数交于M、N两点，则|MN|的最大值是．13．已知函数f（x）=2x﹣1+a，g（x）=bf（1﹣x），其中a，b∈R，若关于x的不等式f（x）≥g（x）的解的最小值为2，则a的取值范围是．14．若实数x，y满足x2﹣4xy+4y2+4x2y2=4，则当x+2y取得最大值时，的值为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知α∈（0，），β∈（，π），cosβ=﹣，sin（α+β）=．（1）求tan的值；（2）求sinα的值．16．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知==．（1）求C；（2）如图，设半径为R的圆O过A，B，C三点，点P位于劣弧上，∠PAB=θ，求四边形APCB面积S（θ）的解析式及最大值．17．如图是某设计师设计的Y型饰品的平面图，其中支架OA，OB，OC两两成120°，OC=1，AB=OB+OC，且OA＞OB，现设计师在支架OB上装点普通珠宝，普通珠宝的价值为M，且M与OB长成正比，比例系数为k（k为正常数）：在△AOC区域（阴影区域）内镶嵌名贵珠宝，名贵珠宝的价值为N，且N与△AOC的面积成正比，比例系数为4k，设OA=x，OB=y．（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）求N﹣M的最大值及相应的x的值．18．对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]；那么把y=f（x）（x∈D）叫闭函数．（1）求闭函数y=﹣x3符合条件②的区间[a，b]；（2）判断函数是否为闭函数？并说明理由；（3）若是闭函数，求实数k的取值范围．19．已知函数f（x）=+．（1）求函数f（x）的定义域和值域；（2）设F（x）=•[f2（x）﹣2]+f（x）（a为实数），求F（x）在a＜0时的最大值g（a）；（3）对（2）中g（a），若﹣m2+2tm+≤g（a）对a＜0所有的实数a及t∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．20．过点P（﹣1，0）作曲线f（x）=e x的切线l．（1）求切线l的方程；（2）若直线l与曲线y=（a∈R）交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），求证：x1+x2＜﹣4．附加题：（共4小题，满分0分）21．已知矩阵A=，B=满足AX=B，求矩阵X．22．在平面直角坐标系xOy中，设点P（x，5）在矩阵M=对应的变换下得到点Q（y﹣2，y），求．23．已知常数a＞0，函数f（x）=ln（1+ax）﹣．讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性．24．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，且PA=AB=BC=AD=1，PA⊥平面ABCD．（1）求PB与平面PCD所成角的正弦值；（2）棱PD上是否存在一点E满足∠AEC=90°？若存在，求AE的长；若不存在，说明理由．xx学年江苏省南通市如皋中学高三（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置1．已知集合A={1，cosθ}，B={，1}，若A=B，则锐角θ=．【考点】集合的相等．【分析】根据集合相等的条件，建立方程关系即可得到结论．【解答】解：若A=B，则cosθ=，∵θ是锐角，∴θ=，故答案为：2．已知幂函数y=f（x）的图象过点（，），则f（4）的值为2．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】设幂函数y=f（x）=xα，根据f（x）的图象过点（，），求得α的值，可得函数f （x）的解析式，从而求得f（4）的值．【解答】解：设幂函数y=f（x）=xα，∵f（x）的图象过点（，），∴=，∴α=，∴f（x）=∴f（4）==2，故答案为：2．3．若函数是偶函数，则实数a的值为﹣．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】由题意可得，f（﹣）=f（），从而可求得实数a的值．【解答】解：∵f（x）=asin（x+）+sin（x﹣）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴f（﹣）=f（），即﹣=a，∴a=﹣．故答案为：﹣．4．若函数f（x）=（e为自然对数的底数）是奇函数，则实数m的值为1．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由函数的奇偶性易得f（﹣1）=﹣f（1），解m的方程可得．【解答】解：∵函数f（x）=（e为自然对数的底数）是奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1），∴=﹣，∴m=1．故答案为：1．5．函数y=的定义域为A，值域为B，则A∩B=[0，2] ．【考点】函数的值域；交集及其运算；函数的定义域及其求法．【分析】分别求出函数的定义域，和值域，然后利用集合的基本运算求解即可．【解答】解：要使函数有意义，则﹣x2﹣2x+8≥0，即x2+2x﹣8≤0，解得﹣4≤x≤2，即函数的定义域A=[﹣4，2]．y==，∵﹣4≤x≤2，∴0≤，即0≤x≤3，即函数的值域B=[0，3]，∴A∩B=[﹣4，2]∩[0，3]=[0，2]．故答案为：[0，2]．6．已知x，y满足且z=2x+y的最大值是最小值的4倍，则a的值是．【考点】简单线性规划．【分析】首先画出可行域，利用目标函数的几何意义得到最大值和最小值的最优解，得到关于a 方程解之．【解答】解：由已知得到可行域如图：当直线y=﹣2x+z经过C（a，a）时z最小，经过A时z最大，由得到A（1，1）所以4×3a=2×1+1，解得a=；故答案为：．7．已知点P在直线y=2x+1上，点Q在曲线y=x+lnx上，则P、Q两点间距离的最小值为．【考点】两点间距离公式的应用．【分析】设直线y=2x+t与曲线y=x+lnx相切于点Q（a，b）．利用=1+=2，解得切点为Q（1，1）．利用点到直线的距离公式可得Q到直线y=2x+1的距离d，即为所求．【解答】解：设直线y=2x+t与曲线y=x+lnx相切于点Q（a，b）．则=1+=2，解得a=1，∴b=1，∴切点为Q（1，1）．Q到直线y=2x+1的距离d==．∴P、Q两点间距离的最小值为．故答案为：．8．若函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象关于坐标原点中心对称，且在y轴右侧的第一个极值点为x=，则函数f（x）的最小正周期为．【考点】正弦函数的图象．【分析】由条件利用正弦函数的图象的特征，正弦函数的奇偶性、最值、周期性，求得函数f（x）的最小正周期．【解答】解：函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象关于坐标原点中心对称，可得φ=0，∵f（x）在y轴右侧的第一个极值点为x=，∴ω•=，∴ω=，∴函数f（x）=Asin（x），则函数f（x）的最小正周期为=，故答案为：．9．函数f（x）的定义域为R，f（0）=2，对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，则不等式e x•f （x）＞e x+1的解集为{x|x＞0} ．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】设h（x）=e x f（x）﹣e x﹣1，则不等式e x f（x）＞e x+1的解集就是h（x）＞0 的解集．由此利用导数性质能求出不等式e x•f（x）＞e x+1的解集．【解答】解：设h（x）=e x f（x）﹣e x﹣1，则不等式e x f（x）＞e x+1的解集就是h（x）＞0 的解集．h（0）=1×2﹣1﹣1=0，h′（x）=e x[f（x）+f′（x）]﹣e x，∵[f（x）+f′（x）]＞1，∴对于任意x∈R，e x[f（x）+f′（x）]＞e x，∴h'（x）=e x[f（x）+f'（x）]﹣e x＞0即h（x）在实数域内单调递增．∵h（0）=0，∴当x＜0 时，h（x）＜0；当x＞0 时，h（x）＞0．∴不等式e x•f（x）＞e x+1的解集为：{x|x＞0}．故答案为：{x|x＞0}．10．已知tan（α+β）=1，tan（α﹣β）=2，则的值为1．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】利用已知条件求出αβ的正切函数值，然后求解的值．【解答】解：tan（α+β）=1，tan（α﹣β）=2，==，分式同除以cos（α+β）cos（α﹣β）），==1．故答案为：1．11．在锐角三角形ABC中，若tanA，tanB，tanC依次成等差数列，则tanAtanC的值为3．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】利用等差数列列出关系式，利用三角形的内角和以及两角和的正切函数，化简求解即可．【解答】解：由题意知：A≠，B≠，C≠，且A+B+C=π，tanA，tanB，tanC依次成等差数列，∴2tanB=tanA+tanC，∴tan（A+B）=tan（π﹣C）=﹣tanC，又∵tan（A+B）=，∴tanA+tanB=tan（A+B）（1﹣tanAtanB）=﹣tanC（1﹣tanAtanB）=﹣tanC+tanAtanBtanC，即tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，∴tanAtanC=3．故答案为：3．12．已知函数交于M、N两点，则|MN|的最大值是．【考点】两角和与差的正弦函数；诱导公式的作用；正弦函数的定义域和值域．【分析】由已知中直线x=m分别交函数y=sinx、的图象于M、N两点，表示M、N的距离，根据辅助角公式化为一个正弦型函数的形式，根据正弦型函数的值域，即可得到结果．【解答】解：∵=cosx∵直线x=m分别交函数y=sinx、的图象于M、N两点，则|MN|=|sinx﹣cosx|∴|f（x）﹣g（x）|=|sinx﹣cosx|=|sin（x﹣）|∵x∈R∴|f（x）﹣g（x）|∈[0，]故M、N的距离的最大值为故答案为：13．已知函数f（x）=2x﹣1+a，g（x）=bf（1﹣x），其中a，b∈R，若关于x的不等式f（x）≥g（x）的解的最小值为2，则a的取值范围是a≤﹣2或a＞﹣．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】化简不等式可得2x﹣1+a≥b（2﹣x+a），从而令F（x）=2x﹣1+a﹣b（2﹣x+a）=﹣+a ﹣ab，分类讨论以确定F（x）≥0的解集为[2，+∞），结合函数的单调性及方程与不等式的关系求解即可．【解答】解：f（x）=2x﹣1+a，g（x）=bf（1﹣x）=b（21﹣x﹣1+a）=b（2﹣x+a），∵f（x）≥g（x），∴2x﹣1+a≥b（2﹣x+a），令F（x）=2x﹣1+a﹣b（2﹣x+a）=+a﹣﹣ab=﹣+a﹣ab，①若b＜0，则（﹣+a﹣ab）=+∞，与关于x的不等式f（x）≥g（x）的解的最小值为2相矛盾，故不成立；②若b=0，则F（x）=﹣+a﹣ab在R上是增函数；即F（x）=+a≥0的解集为[2，+∞），故a=﹣2；③若b＞0，则F（x）=﹣+a﹣ab在R上是增函数；即F（x）=﹣+a﹣ab≥0的解集为[2，+∞），故2+a=b（+a），故b=＞0，故a＜﹣2或a＞﹣；综上所述，a≤﹣2或a＞﹣．14．若实数x，y满足x2﹣4xy+4y2+4x2y2=4，则当x+2y取得最大值时，的值为2．【考点】不等式的基本性质．【分析】实数x，y满足x2﹣4xy+4y2+4x2y2=4，变形为：（x+2y）2+（2xy﹣2）2=8，令x+2y=sinθ，2xy﹣2=2cosθ，θ∈[0，2π）．则当x+2y取得最大值时，θ=，即可得出．【解答】解：∵实数x，y满足x2﹣4xy+4y2+4x2y2=4，变形为：（x+2y）2+（2xy﹣2）2=8，令x+2y=sinθ，2xy﹣2=2cosθ，θ∈[0，2π）．则当x+2y取得最大值时，θ=，则x+2y=2，2xy﹣2=0，解得x=，y=．=2．故答案为：2．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知α∈（0，），β∈（，π），cosβ=﹣，sin（α+β）=．（1）求tan的值；（2）求sinα的值．【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【分析】（1）使用二倍角公式用tan表示出cosβ，求出的范围，解方程得出；（2）根据α，β的范围求出sinβ，cos（α+β），利用差角的正弦函数公式计算．【解答】解：（1）∵，且，∴，解得，∵，∴，∴，∴．（2）∵，，∴，又，故，∴，∴sin α=sin [（α+β）﹣β]=sin （α+β）cos β﹣cos （α+β）sin β=．16．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知==．（1）求C ；（2）如图，设半径为R 的圆O 过A ，B ，C 三点，点P 位于劣弧上，∠PAB=θ，求四边形APCB 面积S （θ）的解析式及最大值．【考点】在实际问题中建立三角函数模型；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）由已知结合正弦定理可得sin2A=sin2B ，再由角的范围可得A +B=，从而求得C ；（2）把三角形ABC 的三边用R 表示，再由S （θ）=S △ABC +S △APC ，代入三角形面积公式化简，然后由θ∈（）求得四边形APCB 面积S （θ）的最大值．【解答】解：（1）由=，得=，∴sin2A=sin2B ，∵2A ，2B ∈（0，2π），∴2A=2B ，或2A +2B=π，即A=B 或A +B=，∵，∴A=B 舍去，从而C=；（2）由条件得：c=2R ，a=R ，b=R ，∠BAC=，∠CAP=θ﹣，θ∈（），S （θ）=S △ABC +S △APC =====，θ∈（）， ∵∈（），∴当时，．17．如图是某设计师设计的Y型饰品的平面图，其中支架OA，OB，OC两两成120°，OC=1，AB=OB+OC，且OA＞OB，现设计师在支架OB上装点普通珠宝，普通珠宝的价值为M，且M与OB长成正比，比例系数为k（k为正常数）：在△AOC区域（阴影区域）内镶嵌名贵珠宝，名贵珠宝的价值为N，且N与△AOC的面积成正比，比例系数为4k，设OA=x，OB=y．（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）求N﹣M的最大值及相应的x的值．【考点】函数的最值及其几何意义；函数解析式的求解及常用方法．【分析】（1）根据条件结合余弦定理建立函数关系即可求y关于x的函数关系式，并写出x 的取值范围；（2）求出N﹣M的表达式，利用换元法结合基本不等式的性质即可求出N﹣M的最大值及相应的x的值．【解答】解：（1）∵OA=x，OB=y，AB=y+1，由余弦定理得x2+y2﹣2xycos120°=（y+1）2，解得y=，由x＞0，y＞0，得1＜x＜2，∵x＞y，∴x＞，得1＜x＜，∴OA的取值范围是（1，）．=3kx，（2）M=kOB=ky，N=4k•S△AOC则N﹣M=k（3x﹣y）=k（3x﹣），设2﹣x=t，则t∈（，1），则N﹣M=k[3（2﹣t）﹣]=k[10﹣（4t+）]≤k（10﹣2）=（10﹣4）k，当且仅当4t=，即t=，x=2﹣时，N﹣M的最大值是）=（10﹣4）k．18．对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]；那么把y=f（x）（x∈D）叫闭函数．（1）求闭函数y=﹣x3符合条件②的区间[a，b]；（2）判断函数是否为闭函数？并说明理由；（3）若是闭函数，求实数k的取值范围．【考点】函数与方程的综合运用．【分析】（1）根据单调性依据闭区间的定义等价转化为方程，直接求解．（2）判断其在（0，+∞）是否有单调性，再据闭函数的定义判断；（3）根据闭函数的定义一定存在区间[a，b]，由定义直接转化求解即可．【解答】解：（1）由题意，y=﹣x3在[a，b]上递减，则解得所以，所求的区间为[﹣1，1]；（2）取x1=1，x2=10，则，即f（x）不是（0，+∞）上的减函数．取，，即f（x）不是（0，+∞）上的增函数所以，函数在定义域内不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数；（3）若是闭函数，则存在区间[a，b]，在区间[a，b]上，函数f（x）的值域为[a，b]，即，∴a，b为方程的两个实数根，即方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2=0（x≥﹣2，x≥k）有两个不等的实根当k≤﹣2时，有，解得，当k＞﹣2时，有，无解，综上所述，．19．已知函数f（x）=+．（1）求函数f（x）的定义域和值域；（2）设F（x）=•[f2（x）﹣2]+f（x）（a为实数），求F（x）在a＜0时的最大值g（a）；（3）对（2）中g（a），若﹣m2+2tm+≤g（a）对a＜0所有的实数a及t∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数的定义域及其求法；函数的值域．【分析】（1）由1+x≥0且1﹣x≥0可求得定义域，先求[f（x）]2的值域，再求f（x）的值域；（2）F（x）=a++，令t=f（x）=+，则=﹣1，由此可转化为关于t的二次函数，按照对称轴t=﹣与t的范围[，2]的位置关系分三种情况讨论，借助单调性即可求得其最大值；（3）先由（2）求出函数g（x）的最小值，﹣≤g（a）对a＜0恒成立，即要使﹣≤g min（a）恒成立，从而转化为关于t的一次不等式，再根据一次函数的单调性可得不等式组，解出即可．【解答】解：（1）由1+x≥0且1﹣x≥0，得﹣1≤x≤1，所以函数的定义域为[﹣1，1]，又[f（x）]2=2+2∈[2，4]，由f（x）≥0，得f（x）∈[，2]，所以函数值域为[，2]；（2）因为F（x）==a++，令t=f（x）=+，则=﹣1，∴F（x）=m（t）=a（﹣1）+t=，t∈[，2]，由题意知g（a）即为函数m（t）=，t∈[，2]的最大值．注意到直线t=﹣是抛物线m（t）=的对称轴．因为a＜0时，函数y=m（t），t∈[，2]的图象是开口向下的抛物线的一段，①若t=﹣∈（0，]，即a≤﹣，则g（a）=m（）=；②若t=﹣∈（，2]，即﹣＜a≤﹣，则g（a）=m（﹣）=﹣a﹣；③若t=﹣∈（2，+∞），即﹣＜a＜0，则g（a）=m（2）=a+2，综上有g（a）=，（3）易得，由﹣≤g（a）对a＜0恒成立，即要使﹣≤g min（a）=恒成立，⇒m2﹣2tm≥0，令h（t）=﹣2mt+m2，对所有的t∈[﹣1，1]，h（t）≥0成立，只需，解得m的取值范围是m≤﹣2或m=0，或m≥2．20．过点P（﹣1，0）作曲线f（x）=e x的切线l．（1）求切线l的方程；（2）若直线l与曲线y=（a∈R）交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），求证：x1+x2＜﹣4．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求导数，设切点，可得方程组，即可求切线l的方程；（2）设f（x）=（x+1）e x，则f（x1）=f（x2）．f'（x）=（x+2）e x，可得函数f（x）的单调性；设g（x）=f（x）﹣f（﹣4﹣x），切点其单调性，即可证明结论．【解答】（1）解：y'=e x，设切点（x0，y0），则，解得x0=0，因此y'|x=0=1，l的方程是y=x+1．…（2）证明：依题意有，所以…设f（x）=（x+1）e x，则f（x1）=f（x2）．f'（x）=（x+2）e x，当x＜﹣2时，f'（x）＜0，当x＞﹣2时，f'（x）＞0；所以f（x）在（﹣∞，﹣2）单调递减，在（﹣2，+∞）单调递增．因为x1≠x2，不妨设x1＜﹣2，x2＞﹣2．设g（x）=f（x）﹣f（﹣4﹣x），则g'（x）=f'（x）+f'（﹣4﹣x）=（x+2）e x（1﹣e﹣2（2+x）），当x＞﹣2时，g'（x）＞0，g（x）在在（﹣2，+∞）单调递增，所以g（x）＞g（﹣2）=0，所以当x＞﹣2时，f（x）＞f（﹣4﹣x）．…因为x2＞﹣2，所以f（x2）＞f（﹣4﹣x2），从而f（x1）＞f（﹣4﹣x2），因为﹣4﹣x2＜﹣2，f（x）在（﹣∞，﹣2）单调递减，所以x1＜﹣4﹣x2，即x1+x2＜﹣4．…附加题：（共4小题，满分0分）21．已知矩阵A=，B=满足AX=B，求矩阵X．【考点】矩阵与矩阵的乘法的意义．【分析】由AX=B，得=，求解即可．【解答】解：设x=，由=得解得此时x=22．在平面直角坐标系xOy中，设点P（x，5）在矩阵M=对应的变换下得到点Q（y﹣2，y），求．【考点】几种特殊的矩阵变换．【分析】由题意得到，从而求出x，y，再由逆矩阵公式求出矩阵M的逆矩阵，由此能求出．【解答】解：∵点P（x，5）在矩阵M=对应的变换下得到点Q（y﹣2，y），∴依题意，=，即解得由逆矩阵公式知，矩阵M=的逆矩阵，∴==．23．已知常数a＞0，函数f（x）=ln（1+ax）﹣．讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】利用导数判断函数的单调性，注意对a分类讨论．【解答】解：∵f（x）=ln（1+ax）﹣，∴f′（x）=﹣=，∵（1+ax）（x+2）2＞0，∴当1﹣a≤0时，即a≥1时，f′（x）≥0恒成立，则函数f（x）在（0，+∞）单调递增，当0＜a≤1时，由f′（x）=0得x=±，则函数f（x）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增．24．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，且PA=AB=BC=AD=1，PA⊥平面ABCD．（1）求PB与平面PCD所成角的正弦值；（2）棱PD上是否存在一点E满足∠AEC=90°？若存在，求AE的长；若不存在，说明理由．【考点】直线与平面所成的角．【分析】（1）以A为坐标原点建立空间直角坐标系，求出，平面PCD的法向量，即可求PB与平面PCD所成角的正弦值；（2）假设存在E符合条件，设，则由∠AEC=90°得，，列出方程，判定方程在[0，1]上是否有解即可得出结论．【解答】解：（1）依题意，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，则P（0，0，1），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），从而，，，设平面PCD的法向量为=（a，b，c），即，不妨取c=2，则b=1，a=1，所以平面PCD的一个法向量为=（1，1，2），此时cos＜，＞==﹣，所以PB与平面PCD所成角的正弦值为；（2）设，则E（0，2λ，1﹣λ），则，，由∠AEC=90°得，，化简得，5λ2﹣4λ+1=0，该方程无解，所以，棱PD上不存在一点E满足∠AEC=90°．xx年1月5日25453 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2021年高三上学期第一次月考数学试题

2021年高三上学期第一次月考数学试题一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。

)1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －6≤0}，B ＝{x |x <－1或x >4}，那么集合A ∩(∁UB )等于( )A ．{x |－2≤x <4}B ．{x |x ≤3或x ≥4}C ．{x |－2≤x <－1}D ．{x |－1≤x ≤3} 2. 集合A ＝{y ∈R |y ＝lg x ，x >1}，B ＝{－2，－1,1,2}，则下列结论中正确的是( )A ．A ∩B ＝{－2，－1} B ．(∁R A )∪B ＝(－∞，0)C ．A ∪B ＝(0，＋∞)D ．(∁R A )∩B ＝{－2，－1}3．函数f (x )＝lg 1－x 2的定义域为( )A ．[0,1]B ．(－1,1)C ．[－1,1]D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)4．已知等差数列{a n }中，a 10＝5，S n 为其前n 项的和，则S 19等于( )A ．80B ．100C ．95D ．905．已知{a n }为等差数列，{b n }为正项等比数列，公比q ≠1，若a 1＝b 1，a 11＝b 11，则( )A ．a 6＝b 6B ．a 6>b 6C ．a 6<b 6D ．以上都有可能6．设S n 表示等差数列{a n }的前n 项和，已知S 5S 10＝13，那么S 10S 20等于 ( ) A.19 B.310 C.18 D.137．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－32t 2＋2t ，那么速度为零的时刻是( )A ．0秒B ．1秒末C ．2秒末D ．1秒末和2秒末 8．已知曲线C ：f (x )＝x 3－ax ＋a ，若过曲线C 外一点A (1,0)引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则a 的值为( )A.278 B ．－2 C ．2 D ．－278 9．设f (x )是一个三次函数，f ′(x )为其导函数，如图所示的是 y ＝x ·f ′(x )的图象的一部分，则f (x )的极大值与极小值分别是A ．f (1)与f (－1)B ．f (－1)与f (1)C ．f (－2)与f (2)D ．f (2)与f (－2)10．f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)＝1f (x )，若f (1)＝－5，则f (f (5))＝( )A ．－5B ．－15 C.15 D ．511．(文)定义运算a ＊b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≤b )b (a >b )，则函数f (x )＝1＊2x 的图象是( )(理)已知函数f (x )＝log a (x ＋b )的大致图象如图，其中a 、b 为常数，则函数g (x )＝a x ＋b 的大致图象是 ( )12．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3a ， x <0a x ， x ≥0(a >0且a ≠1)是R 上的减函数，则a 的取值范围是 ( )A ．(0,1)B ．[13，1)C ．(0，13]D ．(0，23]二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．已知函数y ＝f (x )＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，其图象在x ＝1处的切线平行于直线6x ＋2y ＋5＝0，则f (x )极大值与极小值之差为________．14.设g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0ln x ，x >0，则g (g (12))＝________.15.(文)有1200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为________．(理)某资料室使用计算机进行编码，如下表所示，编码以一定规则排列，且从左到右以及从上到下都是无限延伸的，则此表中主对角线上的数构成的数列1,2,5,10,17，…的通项公式为________.16.用一根为12m 的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架(不计损耗)，要使这个窗户通过的阳光最充足，则框架的长与宽应分别为________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17. (本小题满分10分)已知集合}4|{},086|{2m x m x B x x x A <<=<+-=,（Ⅰ）若，求实数m 的取值范围.（Ⅱ）是否存在m 使得A ∪B=A ？若有请求出m 的范围，若无则说明理由。

2021年高三数学上学期第一次月考试卷

2021年高三数学上学期第一次月考试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷纸．．．相应位置．．．．上．1．已知集合BAxRxxBA则},5,|{},4,3,2,1{2<∈=--== ▲；2.命题“，使得”的否定是▲；3．的值为▲；4.已知，那么的▲ 条件(“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”“既不充分又不必要”)5.平面向量的夹角为，▲；6.设则▲；7.函数的单调减区间为▲；8.已知，，则▲；9.设，则不等式的解集为▲；10.设{}是公比为正数的等比数列，若＝4，＝16，则数列{}的前5项和为= ▲；11.定义在R上的奇函数对任意都有，当时，，则▲；12.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c.若a2－b2＝3bc，sinC＝23sinB，则A＝▲；13.已知函数321,,1,12()111,0,.362xxxf xx x⎧⎛⎤∈⎪⎥+⎪⎝⎦=⎨⎡⎤⎪-+∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩函数，若存在，使得成立，则实数a的取值范围是▲ ．14.对于实数a和b，定义运算“﹡”：，设，且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是▲二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答卷纸相应位置．．．．．．．上．15．（本题满分14分）已知．（1）若，求的值；（2）若，且，求的值．16.（本题满分14分）已知函数的定义域为集合M，函数的值域为N。

（1）求M，N；（2）求，。

17.（本题满分14分）已知函数．（1）求的单调递增区间；（2）求在上的最值及相应的x值．18.（本题满分16分）如图，某自来水公司要在公路两侧排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线排，在路南侧沿直线排，现要在矩形区域ABCD 内沿直线将与接通．已知AB = 60m ，BC = 60m ，公路两侧排管费用为每米1万元，穿过公路的EF 部分的排管费用为每米2万元，设EF 与AB 所成角为．矩形区域内的排管费用为W ．（1）求W 关于的函数关系式；（2）求W 的最小值及相应的角．19．(本题满分16分)已知数列中,且点在直线上. (1)求数列的通项公式; (2)若函数(),2,321)(321≥∈++++++++=n N n a n na n a n a n n f n且求函数的最小值; (3)设表示数列的前项和.试问:是否存在关于的整式,使得对于一切不小于2的自然数恒成立?若存在,写出的解析式,并加以证明;若不存在,试说明理由.l 2l 120.（本题满分16分）已知函数（为常数），其图象是曲线．（1）当时，求函数的单调减区间；（2）设函数的导函数为，若存在唯一的实数，使得与同时成立，求实数的取值范围；（3）已知点为曲线上的动点，在点处作曲线的切线与曲线交于另一点，在点处作曲线的切线，设切线的斜率分别为．问：是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．东台市安丰中学xx 届高三第一次学分认定考试数学试题参考答案 xx.10.4一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷纸相应位置．．．．．．．上． 1． 2. ，使得． 3．．4. 必要不充分 5. 1 6. 7. ． 8. 9. 10. 31 11. 12. 30° 13. 14.二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答卷纸相应位置．．．．．．．上． 15．（本题满分14分）解：（1）∵ ∴()7cos cos sin sin cos cos6a b παβαβαβ•=•+•=-==.………………………6分（2）， ∵，∴………………………10分………………………12分()()()()311tan 4tan tan 7341tan 14αβπαβαβαβ+--⎡⎤∴+=--===⎢⎥+-⎣⎦-.………………………14分16.（本题满分14分）解：（1）依题意，，所以 .………………………4分当时，;当时, ;当时，所以. ………………….…………………….…………………………7分（2）由（1）知 . ………………………10分，所以……………………………………14分17.（本题满分14分）【解析】＝＝＝ . …………………………6分（1）由得所以的单调递增区间是[,], . …………………………10分（2）由得，所以，因此，函数的最大值是2，此时；函数的最小值是，此时． ……………14分18.（本题满分16分）解：（1）如图，过E 作，垂足为M ，由题意得，故有，，，所以W=ααααcos 2sin 603602cos 601)tan 60360(--=⨯+⨯-………………………6分（2）设，则22cos cos (sin )(sin 2)12sin ()cos cos f αααααααα----'==．令得，即，得． ……………………8分列表所以当时有，此时有． ………………………14分答：排管的最小费用为万元，相应的角． . ………………………16分 19．(本题满分16分){},11111()101,1111(1)1(2),1.n n n n n n n P a a x y a a a a a n n n a a n ++--=-==∴∴=+-⋅=≥=∴=解:（）点在直线上，即且数列是以为首项，为公差的等差数列。

高三数学上册第一次月考试题(文含答案)

高三数学上册第一次月考试题(文含答案) 2021高三数学上册第一次月考试题(文含答案)一、选择题：本大题共 12小题，每题 5分，共 60 分援在每题给出的四个选项中，只要一项为哪一项契合标题要求的援1.假定选集，集合，，那么 ( )(A) (B) (C) (D)2.在复平面内，双数对应的点的坐标为 ( )(A)(-1，1) (B)(1，1) (C)(1，-1) (D)(-1，-1)3.设平面向量等于 ( )(A)4 (B)5 (C)3 (D)44.设是等差数列的前项和，假定，那么 ( )A. B. C. D.5. 、的取值如下表所示：假定与线性相关，且，那么 ( ) 01342.24.34.86.7(A) (B) (C) (D)6.假定a,bR，且ab，那么以下不等式中恒成立的是( )(A) (B) (C) (D)7.抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，假定点到该抛物线的焦点距离为3，那么 ( )(A) (B) 3 (C) (D) 48.以下有关命题的说法中错误的选项是( )(A)假定为假命题，那么、均为假命题(B) 是的充沛不用要条件(C) 的必要不充沛条件是(D)假定命题p：实数x使，那么命题为关于都有9.某顺序框图如下图，该顺序运转后，输入的值为31，那么等于( )(A) 4 (B) 1 (C)2 (D) 310. 函数的零点属于区间( )A. B. C. D.11.假设关于的方程有4个不同的实数解，那么实数的取值范围是( )A. B. C. D.12.假定函数，定义函数给出以下命题：① ; ②函数是奇函数;③当时，假定，，总有成立，其中一切正确命题的序号是( )(A)② (B)①② (C)③ (D)②③二、填空题：本大题 4 个小题，每题 5 分，共 20 分.13. 满足约束条件那么的最小值为。

14.函数的定义域为 .15.等比数列是递增数列，是的前项和.假定是方程的两个根，那么 _______ .16. 是定义在[-1，1]上的奇函数且，当，且时，有，假定对一切、恒成立，那么实数的取值范围是_________ .三、解答题：解容许写出文字说明、证明进程或演算步骤.17.在中,角 , , 所对的边长区分为 , , ,向量 ,,且 .(Ⅰ)求角 ;(Ⅱ)假定 , , 成等差数列,且 ,求的面积.18.等比数列前项和为 ,且满足 ,(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)求的值.19.如图，四边形是正方形，平面，PD∥EA，， , , 区分为 , , 的中点.(Ⅰ)求证：∥平面 ;(Ⅱ)求证：平面平面 ;(Ⅲ)在线段上能否存在一点 ,使平面 ? 假定存在，求出线段的长;假定不存在，请说明理由.20.P为圆A: 上的动点，点B(1,0).线段PB的垂直平分线与半径PA相交于点M，记点M的轨迹为 .(I)求曲线的方程;(II)当点P在第一象限，且cosBAP=223时，求点M的坐标.21.函数(I)假定函数满足f(1)=2，且在定义域内f(x)bx2+2x恒成立，务实数b 的取值范围;(II)假定函数 f(x)在定义域上是单调函数，务实数 a的取值范围;(III)当请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答，假设多做，那么按所做的第一题计分。

2021年高三第一次月考(理数)

2021年高三第一次月考（理数）高三理科数学试题一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合M=,集合N=，则（）2．若复数是纯虚数(是虚数单位，是实数)，则( )A．-2 B． C. D．23．若函数()，则是( )A．最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的奇函数C．最小正周期为的偶函数 D. 最小正周期为的偶函数4．已知两条不同直线和及平面，则直线的一个充分条件是( )A．且B．且C．且D．且5．已知等差数列{}的前n项和为，若，则= （）A．68 B．72 C．54 D．906．如图，三棱柱的侧棱长为2，底面是边长为1的正三角形，，Array正视图是长为2，宽为1的矩形,则该三棱柱的侧视图（或左视图）的面积为（）A．B．C．D．7．在区间[0，]上随机取一个数x，则事件“”发生的概率为（）A．B．C．D．8．平面内称横坐标为整数的点为“次整点”.过函数图象上任意两个次整点作直线，则倾斜角大于45°的直线条数为（）A．10 B．11 C．12D．13二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，满分30分．其中14～15是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分）9. 已知向量、的夹角为120°，且，则的值为．10. 函数与轴围成的面积是__________.11. 如右图所示的算法流程图中，输出S 的值为．12设481211011112(1)(2)x x a x a x a x a -+=++++，则＝ .13. 设实数的取值范围是 .14．（坐标系与参数方程选做题）.在极坐标系中，过点作圆的切线，则切线极坐标方程为 .．15.（几何证明选讲选做题）.如图，是⊙的直径，是延长线上的一点，过作⊙的切线，切点为，，若，则⊙的直径 . .AOB PC三、解答题：（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）16．（本小题满分12分）设函数的图象经过点．（Ⅰ）求的解析式，并求函数的最小正周期和最值．（Ⅱ）若，其中是面积为的锐角的内角，且，求和的长。

2021-2022年高三上学期第一次月考数学试题含答案(I)

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）(A∪B)等于1已知U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,3,5,7}，B＝{2,5}，则CUA．{6,8} B．{5,7} C．{4,6,8} D．{1,3,5,6,8}2下列命题错误的是（）A. 命题“若则”的逆否命题为“若则”B. 若为假命题，则均为假命题C. 命题存在使得，则任意都有D. “x>2”是“”的充分不必要条件3．函数的定义域是( )A. (-，2)B.C.D. （3,+)4．（文）下列函数（x>1）的值域是（）A. B. R C. D.（理）下列函数中，在其定义域是减函数的是( )A. B. C. D.5. 函数的零点所在的大致区间是（）A．（3，4）B．（2，e）C．（0，1）D．（1，2）6.设是第三象限角，=cos，则是（）A.第一象限B.第二象限C. .第三象限D. .第四象限7. 函数, 则( )A. 1B. －1C.D.8. 函数的图像大致是（）9. 设a为实数，函数f(x)=x3+ax2+(a-2)x的导数是，且是偶函数，则曲线y=f(x)在x=0处的切线方程为( )A．y=-3x B．y=3x C．y=-2x D．y=4x10．已知函数是偶函数，在上单调递增，则下列不等式成立的是（）.A. B.C. D.11．已知，,则的值为（）A. B C D12．对于任意的实数a、b，记max{a,b}=.若F(x)=max{f(x),g(x)}(x∈R),其中函数y=f(x) (x∈R)是奇函数，且在x=1处取得极小值-2，函数y=g(x) (x∈R)是正比例函数，其图象与x≥0时的函数y=f(x)的图象如图所示，则下列关于函数y=F(x)的说法中，正确的是( )A ．y=F(x)为奇函数B ．y=F(x)有极大值F(-1)C ．y=F(x)的最小值为-2，最大值为2D ．y=F(x)在(-3,0)上为增函数二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．设31log ,21log ,323121===c b a ，则大小关系是_______________. 14．14、已知，则的值等于 .15．函数f(x)在上是奇函数，当x ＞0时，则f(-1)= ______.16．定义运算，若函数在上单调递减，则实数的取值范围是三．解答题：(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本题满分10分）计算：（1）已知扇形的周长为10，面积是4，求扇形的圆心角.（2）已知扇形的周长为40，当他的半径和圆心角取何值时，才使扇形的面积最大？18. (本题满分12分）文科（1）化简)3sin()3cos()23sin()2cos()tan(απαππααπαπ-+--++ （2）已知f(x)= ,求理科（1）已知f(x)= ,求（2）计算19．(本题满分12分）已知.＜0，＞0.(1)求角的集合；（2）求终边所在象限；（3）试判断的符号.20. (本题满分12分）文科函数f （x ）为R 上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）=-2x 2+3x+1 ,求f(x)解析式. 理科已知f(x)= (a ﹥0且a ≠1)(1) 判断f(x)的奇偶性（2）讨论f(x)单调性21．(本题满分12分）设函数（，为常数），且方程有两个实根为.（1）求的解析式；（2）求在（2，f(2)）处的切线方程.22．(本题满分12分）f(x)=lnx-ax2,x∈(0,1](1)若f(x)在区间(0,1]上是增函数，求a范围；(2) 求f(x)在区间(0,1]上的最大值.高三级第一次月考选择题1-5CBCDD 6-10 DBBCB CB24054 5DF6 巶36833 8FE1 迡i32899 8083 肃>35578 8AFA 諺Yf&34323 8613 蘓30305 7661 癡!n38619 96DB 雛P。

2021年高三上学期第一次月考数学试题word版含答案

2021年高三上学期第一次月考数学试题word版含答案一、选择题（每小题5分，共50分）1、集合，，若，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．2、命题“存在为假命题”是命题“”的（）A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件3、设则（）A．B．C．D．4、函数，则的值为（）A．2B．8C．D．5、若函数的值域是[1,3]，则函数的值域是（）[-5,-1] [-2,0] [-6,-2] [1,3]6．已知，且,则函数与函数的图象可能是( )7、函数的导函数为，且满足，则的值为（）A．5 B．1 C．6 D．-28．已知函数是上的奇函数,对于都有且时,则的值为（）A．B．C．D．9．已知函数在单调递减，则的取值范围( )A. B. C. D.10．设函数，分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当时，，且，则不等式的解集是( ）A．(－3，0)∪(0，3) B． (－3，0)∪(3，+∞)C．(－∞，－3)∪(3，+∞) D．(－∞，－3)∪(0，3)二、填空题（每题5分，共25分）11、=12．设,则对任意实数,“”是“”的________条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”).13、设函数（）的定义域为D ，若所有点( ) 构成一个正方形区域，则 . . 14．问题“求方程的解”有如下的思路：方程可变为，考察函数可知，，且函数在上单调递减，∴原方程有唯一解.仿照此解法可得到不等式：的解集是（用区间表示）．15．下列命题:①若函数为奇函数,则=1;②设函数定义域为R ，则函数与的图像关于y 轴对称；③若函数与都是奇函数，则实数4为函数的一个周期；④对于函数,若,则.以上命题为真命题的是 ______________.(写出所有真命题的序号)郓城一中高三第一次月考数学考试试题二、填空题（满分25分,每小题5分）11、 12、13、 14、15、三、解析题（共75分）16．(12分)已知集合{}20,1215.5x S x P x a x a x ⎧+⎫=≤=+<<+⎨⎬-⎩⎭（1）求集合（2）若，求实数的取值范围．17．(12分)已知函数对于一切，都有，且在R 上为减函数，当时，，。

2021届高三数学第一次月考试卷及参考答案

2021届高三数学第一次月考试题（9.11）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合{2A =-，1-，0，1，2}，2{|1}B x x =>，则(A B = )A ．{|1x x <-或1}x >B ．{2-，2}C ．{2}D ．{0}2．已知复数z 满足31(z i i -=-为虚数单位），则复数z 的模为( ) A ．2B ．2C ．5D ．53．如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：有一根竹子，原高一丈(1丈10=尺），现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为( )尺． A ．5.45B ．4.55C ．4.2D ．5.84．函数31()()2x f x x =-的零点所在区间为( )A ．(1,0)-B ．1(0,)2C ．1(,1)2D ．(1,2)5．三个数0.87，70.8，0.8log 7的大小顺序是( ) A ．70.80.8log 70.87<< B ．0.870.8log 770.8<<C ．70.80.80.87log 7<<D ．0.870.870.8log 7<<6．两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为56和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( ) A ．12B ．13C ．512D ．167．设,a b 是非零向量，则2a b =是||||a b a b =成立的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件8．已知四棱锥P ABCD -的体积是363，底面ABCD 是正方形，PAB ∆是等边三角形，平面PAB ⊥平面ABCD ，则四棱锥P ABCD -外接球体积为( )A ．2821πB ．99112π C ．6372π D ．1083π二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边经过点(1P ，)(0)m m <，则下列各式一定为正的是( )A ．sin cos αα+B ．cos sin αα-C ．sin cos ααD ．sin tan αα10．某大学进行自主招生测试，需要对逻辑思维和阅读表达进行能力测试．学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名．其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如图所示，下列叙述正确的是( )A ．甲同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前B ．乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前C ．甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前D ．甲同学的总成绩排名比丙同学的总成绩排名更靠前11．已知定义在R 上的函数()y f x =满足条件(2)()f x f x +=-，且函数(1)y f x =-为奇函数，则( ) A ．函数()y f x =是周期函数B ．函数()y f x =的图象关于点(1,0)-对称C ．函数()y f x =为R 上的偶函数D ．函数()y f x =为R 上的单调函数12．过抛物线24y x =的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，则( ) A ．以线段AB 为直径的圆与直线32x =-相离B ．以线段BM 为直径的圆与y 轴相切C ．当2AF FB =时，9||2AB =D ．||AB 的最小值为4三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知tan 3α=，则sin cos sin cos αααα-+的值为．14．二项式261(2)x x-的展开式中的常数项是．（用数字作答）15．已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>，双曲线2222:1x y N m n-=．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为；双曲线N 的离心率为．16．已知函数()9sin(2)6f x x π=-，当[0x ∈，10]π时，把函数()()6F x f x =-的所有零点依次记为1x ，2x ，3x ，⋯，n x ，且123n x x x x <<<⋯<，记数列{}n x 的前n 项和为n S ，则12()n n S x x -+= ．四、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）在①ABC ∆面积2ABC S ∆=，②6ADC π∠=这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求AC ．如图，在平面四边形ABCD 中，34ABC π∠=，BAC DAC ∠=∠，，24CD AB ==，求AC ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（12分）已知数列{}n a 满足1*3212122()222n n n a a a a n N +-+++⋯+=-∈，4log n n b a =．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．19．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，22AD BC ==，90BAD ABC ∠=∠=︒．（1）证明：PC BC ⊥；（2）若直线PC 与平面PAD 所成角为30︒，求二面角B PC D --的余弦值．20．（12分）某学校共有1000名学生，其中男生400人，为了解该校学生在学校的月消费情况，采取分层抽样随机抽取了100名学生进行调查，月消费金额分布在450~950之间．根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图如图所示：将月消费金额不低于750元的学生称为“高消费群”．（Ⅰ）求a 的值，并估计该校学生月消费金额的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）现采用分层抽样的方式从月消费金额落在[550，650)，[750，850)内的两组学生中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高消费群”的学生人数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望；（Ⅲ）若样本中属于“高消费群”的女生有10人，完成下列22⨯列联表，并判断是否有97.5%的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关？属于“高消费群” 不属于“高消费群”合计男女合计（参考公式：2K =，其中)n a b c d =+++2()P K k0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82821．（12分）已知椭圆221(0)x y a b a b+=>>的右焦点F 与抛物线28y x =焦点重合，且椭圆的离心率为6，过x 轴正半轴一点(,0)m 且斜率为3-的直线l 交椭圆于A ，B 两点．（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在实数m 使以线段AB 为直径的圆经过点F ，若存在，求出实数m 的值；若不存在说明理由．22．（12分）已知函数1()1()2m f x lnx m R x =+-∈的两个零点为1x ，212()x x x <．（1）求实数m 的取值范围；（2）求证：12112x x e+>．高三数学第一次月考试题（9.11）参考答案一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合{2A =-，1-，0，1，2}，2{|1}B x x =>，则(A B = )A ．{|1x x <-或1}x >B ．{2-，2}C ．{2}D ．{0}【解析】由B 中不等式解得：1x >或1x <-，即{|1B x x =>或1}x <-，{2A =-，1-，0，1，2}，{2AB ∴=-，2}，故选：B ．2．已知复数z 满足31(z i i -=-为虚数单位），则复数z 的模为( ) A ．2B ．2C ．5D ．5【解析】31z i -=-，312z i i ∴=-+=+，∴||5z =．故选：D ．3．如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：有一根竹子，原高一丈(1丈10=尺），现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为( )尺． A ．5.45B ．4.55C ．4.2D ．5.8【解析】如图，已知10AC AB +=（尺)，3BC =（尺)，2229AB AC BC -==，所以()()9AB AC AB AC +-=，解得0.9AB AC -=，因此100.9AB AC AB AC +=⎧⎨-=⎩，解得 5.454.55AB AC =⎧⎨=⎩，故折断后的竹干高为4.55尺，故选：B ．4．函数31()()2x f x x =-的零点所在区间为( )A ．(1,0)-B ．1(0,)2C ．1(,1)2D ．(1,2)【解析】函数31()()2x f x x =-是增函数并且是连续函数，可得111()0282f =-<，f （1）1102=->．1()2f f ∴（1）0<，所以函数的零点在1(2，1)．故选：C ．5．三个数0.87，70.8，0.8log 7的大小顺序是( )A ．70.80.8log 70.87<<B ．0.870.8log 770.8<<C ．70.80.80.87log 7<<D ．0.870.870.8log 7<<【解析】0.80771>=，700.81<<，0.80.8log 7log 10<=，∴70.80.87087log <<．故选：A ． 6．两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为56和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( ) A ．12B ．13C ．512D ．16【解析】由于两个零件是否加工为一等品相互独立，所以两个零件中恰有一个一等品为：两人一个为一个为一个一等品，另一个不为一等品．53531(1)(1)64643P ∴=-+-=，故选：B ．7．设,a b 是非零向量，则2a b =是||||a b a b =成立的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件【解析】对于非零向量,a b ，由2a b =，得,a b 共线同向，则||||a b a b =；反之，由||||a b a b =，可得,a b 共线同向，但不一定是2a b =．∴2a b =是||||a ba b =成立的充分不必要条件．故选：B ． 8．已知四棱锥P ABCD -的体积是363，底面ABCD 是正方形，PAB ∆是等边三角形，平面PAB ⊥平面ABCD ，则四棱锥P ABCD -外接球体积为( )A ．2821πB ．99112π C ．6372π D ．1083π【解析】四棱锥P ABCD -的体积是363，底面ABCD 是正方形，如图所示：则：设正方形ABCD 的边长为2x ，在等边三角形PAB 中，过P 点作PE AB ⊥，由于平面PAB ⊥平面ABCD ，所以PE ⊥平面ABCD ．由于PAB ∆是等边三角形，解得3PE x = 所以12233633V x x x ==，解得3x =．设外接球的半径为R ，所以22(32)(3)21R =+= 所以348421(21)28213V πππ===．故选：A ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边经过点(1P ，)(0)m m <，则下列各式一定为正的是 A ．sin cos αα+B ．cos sin αα-C ．sin cos ααD ．sin tan αα【解析】角α以Ox 为始边，终边经过点(1P ，)(0)m m <，α∴是第四象限角，sin 0α∴<，cos 0α>， cos sin αα∴+不一定是正数，故排除A ；cos sin 0αα∴->，故B 正确；cos sin 0αα∴<，故C 一定错误；∴sin cos 0tan ααα=>，故D 正确，故选：BD ．10．某大学进行自主招生测试，需要对逻辑思维和阅读表达进行能力测试．学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名．其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如图所示，下列叙述正确的是( )A ．甲同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前B ．乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前C ．甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前 D ．甲同学的总成绩排名比丙同学的总成绩排名更靠前【解析】根据图示，对于A ，可得甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前，故A 正确；对于B ，乙同学的总排名比较靠前，但是他的逻辑思维排名比较靠后，说明他的阅读表达排名比逻辑排名成绩更靠前，故B 错误．对于C ，甲乙丙三位同学的逻辑思维排名顺序是甲，丙乙并列，故甲同学最靠前．故C 正确．对于D ，甲同学的逻辑思维成绩排名更靠前，总成绩排名靠后，即有阅读表达成绩排名比他的逻辑思维成绩排名更靠后，故D 错误．故选：AC ．11．已知定义在R 上的函数()y f x =满足条件(2)()f x f x +=-，且函数(1)y f x =-为奇函数，则( ) A ．函数()y f x =是周期函数 B ．函数()y f x =的图象关于点(1,0)-对称C ．函数()y f x =为R 上的偶函数D ．函数()y f x =为R 上的单调函数【解析】根据题意，依次分析选项：对于A ，函数()y f x =满足(2)()f x f x +=-，则(4)(2)()f x f x f x +=-+=，即函数()f x 是周期为4的周期函数，A 正确；对于B ，(1)y f x =-是奇函数，则(1)f x -的图象关于原点对称，又由函数()f x 的图象是由(1)y f x =-向左平移1个单位长度得到，故函数()f x 的图象关于点(1,0)-对称，B 正确；对于C ，由B 可得：对于任意的x R ∈，都有(1)(1)f x f x --=--+，即(1)(1)0f x f x --+-+=，变形可得(2)()0f x f x --+=，则有(2)()(2)f x f x f x --=-=+对于任意的x R ∈都成立，令2t x =+，则()()f t f t -=，即函数()f x 是偶函数，C 正确；对于D ，()f x 为偶函数，则其图象关于y 轴对称，()f x 在R 上不是单调函数，D 错误；故选：ABC ． 12．过抛物线24y x =的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，则( ) A ．以线段AB 为直径的圆与直线32x =-相离 B ．以线段BM 为直径的圆与y 轴相切C ．当2AF FB =时，9||2AB =D ．||AB 的最小值为4【解析】24y x =的焦点(1,0)F ，准线方程为1x =-，设A ，B ，M 在准线上的射影为A '，B '，M '，由||||AF AA '=，||||BF BB '=，111||(||||)(||||)||222MM AA BB AF FB AB '''=+=+=，可得线段AB 为直径的圆与准线相切，与直线y 轴相交，故A 对；当直线AB 的斜率不存在时，显然以线段BM 为直径的圆与y 轴相切；当直线AB 的斜率存在且不为0，可设直线AB 的方程为y kx k =-，联立24y x =，可得2222(24)0k x k x k -++=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，可得12242x x k +=+，121x x =，设1322x =+，2322x =-，可得M 的横坐标为221k +，MB 的中点的横坐标为2212(1)2x k ++，2222||1|1|BM k x k=+--，当1k =时，MB 的中点的横坐标为522-，1||22MB =，显然以线段BM 为直径的圆与y 轴相交，故B 错；以F 为极点，x 轴的正半轴为极轴的抛物线的极坐标方程为21cos ρθ=-，设1(A ρ，)θ，2(B ρ，)πθ+，可得121cos ρθ=-，2221cos()1cos ρπθθ==-++，可得111cos 1cos 1||||22AF BF θθ-++=+=，又||2||AF FB =，可得||3AF =，3||2FB =，则9||||||2AB AF FB =+=，故C 正确；显然当直线AB 垂直于x 轴，可得||AB 取得最小值4，故D 正确．故选：ACD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知tan 3α=，则sin cos sin cos αααα-+的值为 12．【解析】tan 3α=，∴sin cos tan 1311sin cos tan 1312αααααα---===+++．故答案为：12．14．二项式261(2)x x-的展开式中的常数项是 60 ．（用数字作答）【解析】261(2)x x-的展开式的通项公式为612316(1)2r r r r r T C x --+=-，令1230r -=，求得4r =，∴展开式中的常数项是426260C =，故答案为：60． 15．已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>，双曲线2222:1x y N m n-=．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为 31- ；双曲线N 的离心率为．【解析】椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>，双曲线2222:1x y N m n-=．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，可得椭圆的焦点坐标(,0)c ，正六边形的一个顶点(2c，3)c ，可得：22223144c c a b +=，可得22131144(1)e e+=-，可得42840e e -+=，(0,1)e ∈，解得31e =-．同时，双曲线的渐近线的斜率为3，即3nm=，可得：223n m =，即2224m n m+=，可得双曲线的离心率为2222m n e m +==．故答案为：31-；2． 16．已知函数()9sin(2)6f x x π=-，当[0x ∈，10]π时，把函数()()6F x f x =-的所有零点依次记为1x ，2x ，3x ，⋯，n x ，且123n x x x x <<<⋯<，记数列{}n x 的前n 项和为n S ，则12()n n S x x -+=5513π．【解析】()()6F x f x =-的零点即()6f x =，即2sin(2)63x π-=，由2262x k πππ-=+，k Z ∈，解得12(2)23x k ππ=+，0k =，1，⋯，9，即为sin(2)6y x π=-的图象的对称轴方程，则1223x x π+=，3483x x π+=，⋯，1920563x x π+=，可得1256290()102333n S πππ=+⨯=，112229(arcsin 18arcsin )263363n x x πππππ+=+++-+=，则1580295512()333n n S x x πππ-+=-=，故答案为：5513π．四、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）在①ABC ∆面积2ABC S ∆=，②6ADC π∠=这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求AC ．如图，在平面四边形ABCD 中，34ABC π∠=，BAC DAC ∠=∠， ①ABC ∆面积2ABC S ∆= ，24CD AB ==，求AC ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【解析】选择①ABC ∆面积2ABC S ∆=，24CD AB ==，34ABC π∠=，所以2AB =．故13sin 224AB BC π⨯⨯⨯=，解得22BC =则：22232cos 4AC BC AB BC AB π=+-，解得：25AC =．故答案为：①ABC∆面积2ABC S ∆=．25AC =选择②设BAC CAD θ∠=∠=，则04πθ<<，4BCA πθ∠=-，在ABC ∆中sin sin AC ABABC BCA =∠∠，即23sin sin()44AC ππθ=-，所以2sin()4AC πθ=- 在ACD ∆中，sin sin AC CD ADC CAD =∠∠，即4sin sin 6AC πθ=，所以2sin AC θ=．所以22sin sin()4πθθ=-，解得2sin cos θθ=，又04πθ<<，所以5sin θ=，所以225sin AC θ==．18．（12分）已知数列{}n a 满足1*3212122()222n n n a a a a n N +-+++⋯+=-∈，4log n n b a =．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．【解析】（Ⅰ）当1n =时，12a =当2n 时由13212122222n n n a a a a +-+++⋯+=-，31212222222n n n a a a a --+++⋯+=-，两式相减得122n n n a -=，即212n n a -=，且上式对于1n =时也成立，所以数列{}n a 的通项公式212n n a -=．（Ⅱ）因为21421log 22n n n b --==，114112()(21)(21)2121n n b b n n n n +==--+-+．所以12231111n n n T b b b b b b +=++⋯+，111112[(1)()()]3352121n n =-+-+⋯+--+，12(1)21n =-+，421n n =+． 19．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，22AD BC ==，90BAD ABC ∠=∠=︒．（1）证明：PC BC ⊥；（2）若直线PC 与平面PAD 所成角为30︒，求二面角B PC D --的余弦值．【解析】（1）取AD 的中点为O ，连接PO ，CO ，PAD ∆为等边三角形，PO AD ∴⊥．底面ABCD 中，可得四边形ABCO 为矩形，CO AD ∴⊥， POCO O =，AD ∴⊥平面POC ，PC ⊂平面POC ，AD PC ⊥．又//AD BC ，所以PC BC ⊥⋯（6分）（2）由面PAD ⊥面ABCD ，PO AD ⊥知，PO ∴⊥平面ABCD ，OP ，OD ，OC 两两垂直，直线PC 与平面PAD 所成角为30︒，即30CPO ∠=︒，由2AD =，知3PO =，得1CO =．分别以,,OC OD OP 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz -，则(0,0,3)P ，(0D ，1，0)，(1C ，0，0)，(1B ，1-，0)，(0,1,0)BC =，(1,0,3),(1,1,0)PC CD =-=-，设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，∴030y x z =⎧⎪⎨-=⎪⎩，则(3,0,1)n =⋯（8分）设平面PDC 的法向量为(,,)m x y z =，∴030x y x z -=⎧⎪⎨-=⎪⎩，则(3,3,1)m =⋯（10分）．27|cos ,|||||27m n m n m n 〈〉===，∴二面角B PC D --的余弦值为27-⋯（12分）20．（12分）某学校共有1000名学生，其中男生400人，为了解该校学生在学校的月消费情况，采取分层抽样随机抽取了100名学生进行调查，月消费金额分布在450~950之间．根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图如图所示：将月消费金额不低于750元的学生称为“高消费群”．（Ⅰ）求a 的值，并估计该校学生月消费金额的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）现采用分层抽样的方式从月消费金额落在[550，650)，[750，850)内的两组学生中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高消费群”的学生人数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望；（Ⅲ）若样本中属于“高消费群”的女生有10人，完成下列22⨯列联表，并判断是否有97.5%的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关？属于“高消费群” 不属于“高消费群”合计男女合计（参考公式：2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中)n a b c d =+++2()P K k0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【解析】（Ⅰ）由题意知100(0.00150.00250.00150.001)1a ⨯++++=，解得0.0035a =，样本平均数为5000.156000.357000.258000.159000.10670x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=元．（Ⅱ）由题意，从[550，650)中抽取7人，从[750，850)中抽取3人，随机变量X 的所有可能取值有0，1，2，3．337310()(0k kC C P X k k C -===，1，2，3)所以随机变量X 的分布列为： P 0 1 2 3X3512063120211201120随机变量X 的数学期望632119()2312012012010E X =+⨯+⨯=．（Ⅲ）由题可知，样本中男生40人，女生60人属于“高消费群”的25人，其中女生10人；得出以下22⨯列联表：属于“高消费群” 不属于“高消费群”合计男生 15 25 40 女生 10 50 60 合计257510025.024()()()()257540609K a b c d a c b d ===≈++++⨯⨯⨯，所以有97.5%的把握认为概型学生属于“高消费群”与性别有关．21．（12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点F 与抛物线28y x =焦点重合，且椭圆的离心率为6，过x 轴正半轴一点(,0)m 且斜率为3-的直线l 交椭圆于A ，B 两点．（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在实数m 使以线段AB 为直径的圆经过点F ，若存在，求出实数m 的值；若不存在说明理由．【解析】（1）抛物线28y x =的焦点是(2,0)，(2,0)F ∴，2c ∴=，又椭圆的离心率为6，即6c a = ∴26,6a a =，则2222b a c =-=故椭圆的方程为22162x y +=；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（4分）（2）由题意得直线l 的方程为3)(0)y x m m =->，由221623)x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，消去y 得222260x mx m -+-=，由△2248(6)0m m =-->，解得2323m -<<0m >，∴023m <<设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则12x x m +=，21262m x x -=．∴212121212331[()][()]()333m m y y x m x m x x x x =----=-++．⋯⋯⋯（6分） 11(2,)FA x y =-，22(2,)FB x y =-，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（7分）∴212121212462(3)(2)(2)()43333m m m m FA FB x x y y x x x x +-=--+=-+++=．⋯⋯⋯⋯⋯⋯（10分）若存在m 使以线段AB 为直径的圆经过点F ，则必有0FA FB=，即2(3)03m m -=，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（11分）解得0m =或3m =．又0m <<3m ∴=．即存在3m =使以线段AB 为直径的圆经过点F ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（12分） 22．（12分）已知函数1()1()2m f x lnx m R x =+-∈的两个零点为1x ，212()x x x <．（1）求实数m 的取值范围；（2）求证：12112x x e+>．【解答】（1）解：22()2x mf x x -'=． ①0m ，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增，不可能有两个零点； ②0m >，()0f x '>可解得2x m >，()0f x '<可解得02x m <<， ()f x ∴在(0,2)m 上单调递减，在(2,)m +∞上单调递增，11()(2)222min f x f m ln m ∴==-，由题意，112022ln m -<，02e m ∴<<；（2）证明：令1t x=，11()102f mt lnt x =--=，由题意方程22lnt m t+=有两个根为1t ，2t ，不妨设111t x =，221t x =．令2()2lnt h t t +=，则21()2lnt h t t +'=-，令()0h t '>，可得10t e<<，函数单调递增；()0h t '<，可得1t e >，函数单调递减．由题意，1210t t e >>>，要证明12112x x e +>，即证明122t t e +>，即证明122()()h t h t e<-．令2()()()x h x h x e ϕ=--，下面证明()0x ϕ<对任意1(0,)x e ∈恒成立，222()11()222()ln x lnx e x x x e ϕ-----'=+-， 1(0,)x e ∈，10lnx ∴-->，222()x x e <-，22()2()022()lnx x e x x eϕ--+-∴'>>-，()x ϕ∴在1(0,)e 上是增函数，1()()0x eϕϕ∴<=，∴原不等式成立．。

2021高三数学第一次月考试卷1

2021高三数学第一次月考试卷1数学试卷一、选择题：1、已知22{|1},{|1}M x y x N y y x ==-==-，那么MN = （）A 、∅B 、MC 、ND 、R2、已知：:|23|1,:(3)0p x q x x -< -<，则p 是q 的（） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件3、关于直线m 、n 与平面α、β，有下列四个命题：①//,//m n αβ且//αβ，则//m n ； ②,m n αβ⊥⊥且αβ⊥，则m n ⊥； ③,//m n αβ⊥且//αβ，则m n ⊥； ④//,m n αβ⊥且αβ⊥，则//m n .其中真命题的序号是：（） A 、①② B 、③④ C 、①④ D 、②③ 4、设θ是第二象限角,且cos ,sin cos22t θθθ=<,则sin2θ的值是（）A B C 、 D 、5、若222sin sin 2sin 0αβα+-=，则22cos cos αβ+的取值范畴是（）A 、[1,5]B 、[1,2]C 、9[1,]4D 、[1,2]-6、若函数f (x)满足1(1)()f x f x +=，且(1,1]时,(),x f x x ∈-=则函数y=f(x)的图象与函数3log y x =的图象的交点的个数为（） A 、 3 B 、 4 C 、 6 D 、 87、若四面体的六条棱中有五条长为a ，则该四面体体积的最大值为（）A 、318aB 3C 、3112a D 3 8、已知偶函数y =f (x )在[－1，0]上为单调递减函数，又α、β为锐角三角形的两内角，则（） A.(sin )(cos )f f αβ> B.(sin )(cos )f f αβ< C.(sin )(sin )f f αβ> D.(cos )(cos )f f αβ> 9、菱形ABCD 的边长为0,60,,,a A E F G ∠=，H 分别在AB 、BC 、CD 、DA 上，且3aBE BF DG DH ====，沿EH 与FG 把菱形的两个锐角对折起来，使A 、C 两点重合，这时A 点到平面EFGH 的距离为A 、2a B C D 、)1a （）10、已知定义在R 上的奇函数()满足()2y f x y f x π==+为偶函数，关于函数()y f x =有下列几种描述，（1）()y f x =是周期函数（2）x π=是它的一条对称轴（3）(,0)π-是它图象的一个对称中心（4）当2x π=时，它一定取最大值其中描述正确的是（）A 、（1）（2）B 、（1）（3）C 、（2）（4）D 、（2）（3）二、填空题：11、若函数2(1)f x +的定义域为[2,1)-，则函数()f x 的定义域为 ] ；12、249y x x =+-的值域为；13、y =f(x)是关于x=3对称的奇函数，f （1）=1,32cos sin x x -，则15sin 2[]cos()4xf x π+= ；14、已知方程2(1)40x a x a ++++=的两根为12,x x ，且1201x x <<<，则a 的取值范畴是； 15、在△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，若a 、b 、c 成等差数列，sin B =45且△ABC 的面积为32，则b = .16、若对终边不在坐标轴上的任意角x ，不等式sin cos x x +22tan cot m x x ≤≤+恒成立，则实数m 的取值范畴是；三、解答题：17、已知函数2π()2sin 324f x x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．（1）求()f x 的最大值和最小值；（2）若不等式()2f x m -<在ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，求实数m 的取值范畴．18、已知函数231()2sin 1[,]2f x x x x θ=+- ∈。

高三数学第一次月考试题试题 3

卜人入州八九几市潮王学校2021届高三数学第一次月考试题一、选择题:本大题一一共12小题,每一小题5分,一共60分.在每一小题给出的四个选项里面,只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.1．假设集合A ＝{x ∈N |x ≤}，a ＝2，那么以下结论正确的选项是A ．{a }⊆AB ．a ⊆AC ．{a }∈AD ．a ∈A2．假设函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，那么函数y ＝f (x )的图象可能是A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，那么满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为A ．1B ．2C ．3D ．44．“(x －1)(x ＋2)＝0”是“x ＝1”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5.函数f (x )＝a x －2＋2的图象恒过定点A ，那么A 的坐标为A ．(0,1)B ．(2,3)C ．(3,2)D ．(2,2) 6.324log 0.3log 3.4log 3.6155()5a b c ＝，＝，＝，那么 A ．a >b >c B ．b >a >c C ．a >c >b D ．c >a >bp ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x q ：“∃x 0∈R ，x ＋4x 0＋a ＝0”“p ∧qa 的取值范围是A ．(4，＋∞)B ．[1,4]C ．[e,4]D ．(－∞，－1)8.f (x )是定义在R 上的偶函数，g (x )是定义在R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，那么f (2017)＋f (2019)的值是A ．－1B ．1C ．0D ．无法计算9.f (x )＝lg(＋a )为奇函数，那么使f (x )<0的x 的取值范围是A ．(－∞，0)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为[－，－4]，那么m 的取值范围是A ．[0,4]B ．[，4]C ．[，＋∞)D ．[，3]f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .假设方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，那么实数k 的取值范围是A ．(0，)B ．(，1)C ．(1,2)D ．(2，＋∞)f (x )的定义域为D ，假设对于任意x 1，x 2∈D ，当x 1<x 2时，都有f (x 1)≤f (x 2)，那么称函数f (x )在D 上为非减函数，设函数f (x )在[0,1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①f (0)＝0；②f ()＝f (x )；③f (1－x )＝1－f (x )．那么f ()＋f ()等于()A.B.C ．1D.二、填空题:本大题一一共4小题,每一小题5分,一共20分.请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，假设B ⊆A ，那么实数m 的取值范围是____________．14.假设函数y ＝的定义域为R ，那么实数a 的取值范围是________．15.f (x )＝满足对任意x 1≠x 2，都有>0成立，那么a 的取值范围是________．16.函数f (x )＝ln x －(a >0)，假设∃x 0∈R ，使得∀x 1∈[1,2]都有f (x 1)<f (x 0)，那么实数a 的取值范围是________．三、解答题:本大题一一共6小题,一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤。

2021年高三第一次月考数学试题

2021年高三第一次月考数学试题一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分）1．已知集合A={y | y=x2-4x+3,x∈R},B={y | y= -x2-2x+2,x∈R}则A∩B等于（）A．Φ B．R C．{-1,3} D．[-1,3]2．不等式的解集为（）A.(-∞,-)∪(,+∞)B.(-,)C.(-,)D.(-∞,-)∪(,+∞)3．函数的递增区间是（）A． B． C． D．4．函数的定义域是[-1，1]，则函数的定义域是（）A． B． C． D．[1，2]5．已知不等式在x=时成立,则不等式的解集为（）A.{x|1<x<2}B.{x|2<x<}C.{x|1<x<}D.{x|2<x<5}6．函数的值域是（）A． B． C． D．7．若方程有正数解，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．8．在区间上，函数与在同一点取得相同的最小值，那么在上的最大值是( ) A． B．4 C．8 D．二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）9．不等式的解集是________________________.10．函数的反函数是________________________11．集合A={x|x 2-px+15=0},B={x|x 2-5x+q=0},若A∩B={3},则p+q=_________________.12．已知f x x x x x f f ()()()()()().=->=-<⎧⎨⎪⎩⎪=-=320010712π，则，13．若函数的定义域，则的取值范围是。

14．定义在R 上的函数满足，若当时，，则当____________________________)(,)3,6(=--∈x f x 时三、解答题（本大题共6个小题，共80分）15．(本题12分) 解不等式：16．(本题13分)已知集合A=｛a 2，a+1，－3｝，B=｛a －3，2a －1，a 2+1｝且AB=｛－3｝，求实数a 的值。

高三上册数学第一次月考试题

高三上册数学第一次月考试题2021届高三上册数学第一次月考试题第一卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题,每题5分,共50分,在每题给出的四个选项中，只要一项为哪一项契合标题要求的，请将答案填在答题卡的相应位置。

1、集合 ,那么集合等于( );A、 B、 C、 D、2、在中, 是的 (A、充沛而不用要条件B、必要而不充沛条件C、充要条件D、既不充沛又不用要条件3、函数是偶函数,且当时, ,那么的值是(A、 B、2 C、1 D、04、函数满足 ,那么的值是(A、 B、 C、 D、5、在中,角所对的边区分是 ,假定 ,那么是();A、有一个内角为的直角三角形B、等腰直角三角形C、有一个内角为的等腰三角形D、等边三角形6、假定函数的取值范围是(A、 B、C.、 D、7、函数的图像如下图(其中是函数的导函数),那么以下说法错误的选项是( );A、 ;B、当时, 函数取得极大值;C、方程与均有三个实数根 ;D、当时,函数取得极小值8、函数的图像是( ); (第7题图)A B C D9、定义在上的奇函数在区间上单调递增，假定，的内角满足，那么角的取值范围是();A. B. C. D.10、定义函数，给出以下四个命题：(1)该函数的值域为 ;(2)当且仅当时，该函数取得最大值;(3)该函数是以为最小正周期的周期函数;(4)当且仅当时，。

上述命题中正确的个数是 ( )。

A 、 1个 B、2个 C、3个 D、4个第二卷(非选择题共100分)二、填空题:本大题共5小题，每题5分,共25分，请将答案填在答题卡的相应位置。

11.函数的定义域是12.曲线在点处的切线方程是13.函数的图像向左平移个单位后,所对应函数在区间上单调递减,那么实数的值是14、设曲线在点(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为 ,令，那么的值为 .15.给出以下五个结论: ①函数有3个零点;②函数的图像可由函数的图像向左平移3个单位失掉③假定奇函数对定义域内的恣意都有 ,那么函数是周期函数;④函数与函数所对应的图像关于直线对称;⑤关于恣意实数 ,有 ,且时, (其中区分是的导函数,那么函数在上单调递增.其中正确结论的序号是 (填上你以为正确的一切结论的序号)。

2021-2022年高三年级第一次月考(数学)

2021年高三年级第一次月考（数学）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1．请把第Ⅰ卷的答案连同自己的姓名、考号、考试科目用2B铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,不能答在试题卷上.一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合，，且，若，则（）A．B．C．D．2．函数的定义域为，则的取值范围是（）A．或B．C．D．3．若，则函数与的图象（）A．关于轴对称B．关于轴对称C．关于直线对称D．关于原点对称4．对于，给出下列四个不等式①②③④其中成立的是（）A．①与③B．①与④C．②与③D．②与④5．f(sin x)＝3－cos2x，则f(cos x)＝（）A．3－cos2x B．3＋cos2x C．3－sin2x D．3＋sin2x6．设f(x)= 则不等式f(x)>2的解集为（）A．（1，2）（3，+∞）B．（，+∞）C．（1，2）（，+∞）D．（1，2）7．设函数,集合M=,P=,若MP,则实数a的取值范围是（）A．(1,+∞) B．(0,1) C．(-∞,1) D．[1,+∞]8．函数的图象大致是（）9．函数，对于定义域内任意的，满足，则的值为（）A ．B ．C ．D ．10．若函数在区间内单调递增，则a 的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．11．已知是以2为周期的偶函数，当时，，那么在区间内，关于的方程有4个根，则的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．12．已知，且对任意都有① ②。

则的值为（）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：1．第Ⅱ卷用钢笔或圆珠笔直接答在试卷中.2．答卷前将密封线内的项目填写清楚.二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上）13．已知函数是奇函数，当时，，设的反函数是，则 .14．设不等式对满足的一切的值都成立，则实数的取值范围是____________________.15．已知)()(,),()(),()(,cos sin )('1'12'1x f x f x f x f x f x f x x x f n n -===+= ，其中则=__________.16．已知定义在区间[0，1]上的函数y=f (x )，图象如图所示.对满足0＜x ＜x ＜1的任意x ，x ，给出下列结论：① f(x)-f(x)＞x-x;② xf(x)＞xf(x);③ ＜f(.其中正确．．结论的序号是____________（把所有正确．．结论的序号都．填上）.三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）二次函数满足，且，（1）求的解析式；（2）在区间上的图象恒在的图象上方，试确定实数的范围.18．（本小题满分12分）设是定义在R上的函数，对、恒有，且当时，。