余数定理与因式定理
余式定理 因式定理
余式定理1公式整系数多项式f(x)除以(x-a)商为q(x)，余式为r，则f(x)=(x-a)q(x)+r。
如果多项式r=0，那么多项式f(x)必定含有因式(x-a)。
反过来，如果f(x)含有因式(x-a)，那么，r=0。
2概念当一个多项式f(x) 除以(x –a) 时，所得的余数等于f(a)。
例如：当f(x)=x^2+x+2 除以(x –1) 时，则余数=f(1)=1^2+1+2=4。
3推论当一个多项式f(x) 除以(mx –n) 时，所得的余数等于f(n/m)。
例如：求当9x^2+6x–7 除以(3x + 1) 时所得的余数。
设f(x) = 9x^2 + 6x –7，则余数f(-1/3)=1–2–7=-8。
4例题（全国港澳台华侨联合招生考试题型）设f(x)以(x-1)除之，余式为8，以(x2+x+1)除之的余式为(7x+16)，求(x^3-1)除之的余式为多少?解：根据题意，得f(1)=8，f(x)=(x^2+x+1)g(x)+7x+16。
因为x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)所以f(x)=(x-1)(x^2+x+1)g(x)+a(x^2+x+1)+7x+16 （其中a(x2+x+1)+7x+16为余式）又f(1)=8所以f(1)=3a+7+16=8所以a=-5，因此余式为-5x^2+2x+11因式定理1定义为余式定理的推论之一：如果多项式f(a)=0，那么多项式f(x)必定含有因式x-a。
反过来，如果f(x)含有因式x-a，那么，f(a)=0。
2例题如图，此题可以利用完全立方公式解答，但较为繁琐。
仔细观察不难发现，当x=y时，原式的值为0。
根据因式定理可知：原式必有因式x-y同样的，可以得到原式必有因式y-z和z-x（也可以由原式为对称多项式直接得到）然后再用待定系数法（结合赋值法）求出待定系数即可3意义熟练掌握因式定理后，可以运用试根法（结合因式定理）找到因式（大多试±1，±2，±3，±?），再用待定系数法（结合赋值法）求出待定系数，或综合除法直接求出剩下的因式，这样就可以较便利的分解因式了。
因式定理和余式定理
因式定理和余式定理数学作为一门学科，有着悠久的历史，历经时代的变迁，发展至今。
其中，因式定理和余式定理都是数学史上非常重要的定理，被誉为“二定理”。
本文就因式定理和余式定理进行具体介绍，以加深我们对它们的了解。
因式定理，又称费马小定理，它的发现者是德国数学家孔因斯费马，他于1824年发明了该定理。
它的正式名称叫做“一个整数的N 次方等于一个循环的形式的定理”。
该定理定义为：对于给定的质数p和正整数a满足ap a mod p（其中，a≠0 mod p），若x是正整数，设X x mod p，则满足下列关系：ax X mod p说明，如果知道了一个质数p和一个满足ap a mod p（其中，a ≠0 mod p）的整数a，那么我们就可以通过X（即x mod p）来计算ax mod p的值，当X为非常大的时候，计算成本也会非常高，因式定理能够解决这一问题。
余式定理也是一种数学定理，它发现者是著名的法国拉格朗日，他在1750年发明了该定理。
它的正式名称叫做“关于自由变量的多项式的系数的定理”。
它的意思是，在多项式中系数的值可以由以下公式来计算：a_n=p^n%c_1*p^(n-1)%c_2*...*p^1%c_n*1%c_(n+1) 其中，P表示多项式的本原，c_1，c_2，…，c_n+1表示多项系数的值，a_n表示系数的值，n表示多项式的次数。
由费马小定理和拉格朗日余式定理可知，如果满足它们相应的条件，那么就能够计算出多项式中系数的值。
这对我们学习数学和计算机科学有着重要的意义。
它们能够为我们解决很多复杂的数学问题，为我们的学习和研究提供了强大的支持。
从上文中可以看出，因式定理和余式定理都是数学史上非常重要的定理，它们能够为我们解决很多复杂的数学问题，给我们带来极大的帮助。
这就是因式定理和余式定理的重要性。
综上所述，因式定理和余式定理在数学史上占有重要地位，它们能够解决很多复杂的数学问题，为我们的学习和研究提供了强大的支持。
余式定理
余式定理与因式定理例1. (1)求242)(+--=x x x x f 除以1+x 之余式。
(2)设1537935699357)(2345+++--=x x x x x x f ，求)2(f 。
类1. 15)(24-++=bx ax x x f 以3-x ，1-x 除之，余式分别为45，-15求以1+x 除之，余式为 。
类2. 求=-⨯-⨯+⨯-⨯-2001246012161258127123345。
类3. 以1+x 除5102610019992000++-+x x x x的余式为 。
类4. 设)(),(x g x f 均为多项式，)(x f 除以12-x 之余式为23+x ，)(x g 除以322-+x x 之余式为25+x ，则)()15()()3(2x g x x f x +++除以1-x 的余式为 。
类5. 已之3221)(x x x x f -+-=，且)2()1(+=+x f x g ，)2()(+=x g x h ，求)()(x xg x h +除以1+x 的余式。
Ans: 1. –19，2. 40，3. –12，4. 62，5. -8。
例2. (1)多项式)(x f 除以1-x ，2-x 之余式分别为5,7，求)(x f 除以)2)(1(--x x 之余式。
(2)多项式)(x f 除以2-x ，322++x x 之余式分别为5，65+x ，求)(x f 除以)32)(2(2++-x x x 之余式。
类1. 设多项式)(x f 以2-x 除之余3，以4+x 除之余-9，则以)4)(2(+-x x 除之余式为 。
类2. 设)(x f 为一多项式，0)deg(≥x ，若1-x ，2-x ，3-x 分别除之，余式为3，7，13，则)(x f 以)3)(2)(1(---x x x 除之余式为 。
类3. 多项式)(x f 除以2-x ，12++x x 之余式分别为10，1+x ，求)(x f 除以)1)(2(2++-x x x 之余式。
余式定理因式定理
1.长除法：求多项式42(1)(1)x x x +++除以的余式.练习：(1)求多项式4322(352)(3)x x x x -+++除以的余式. (2)求多项式3(428)(21)x x x -+-除以的余式.2.综合除法：设多项式f (x )=1250x 6-2790x 5-3125x 4+707x 3+100x 2+45x -62，则f (3)=217练习：求115-4⋅114-72⋅113-56⋅112+15⋅11+7之值为 。
Ans ：51因式定理：设f(x)为一多项式，则x-α为f(x) 的因式⇔f(α)=0 .推广：ax-b为f(x)的因式⇔f( ba)=0一次因式检验定理：设f(x)=2x+3，g(x)=5x2-x+7，h(x)=f(x)⋅g(x)=10x3+13x2+11x+21，10x3是2x⋅5x2 来的，21是3⋅7来的，因此观察一次式2x+3|h(x)，而2|10，3|21，这个结果对于一般整系数的多项式也是成立，我们将它写成下面的定理：定理：设f(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0为一个整系数n次多项式，若整系数一次式ax-b是f(x)的因式，且a,b互质，则a|a n且b|a0。
注意：①一次因式检验定理的逆叙述不成立。
例如：f(x)=3x3+5x2+4x-2，f(-13)≠0。
②由此定理，可知若一次式cx-d中c不为a n的因子或d不为a0的因子的话，则cx-d必不为f(x)的因式。
故只有满足a|a n且b|a0的一次式ax-b才有可能成为f(x)的因式，因此我们只要从满足a|a n且b|a0这些ax-b去找一次因式就可以了。
例如：求整系数f(x)=3x3+5x2+4x-2的整系数一次因式。
根据一次因式检验定理，假设ax-b为f(x)的一次因式，则a|3且b|2。
我们将所有可能的ax-b组合x+1,x-1,x+2,x-2,3x+1,3x-1,3x+2,3x-2，再利用综合除法检验看看那一个是f(x)的因式⇒3x-1是f(x)的因式。
数学练习巧解多项式的问题
数学练习巧解多项式的问题多项式是数学中常见且重要的一种代数表达式，通过乘法和加法运算得到。
在解决多项式问题时，我们需要运用一些巧妙的方法，以便更高效地求解。
本文将介绍一些解决多项式问题的技巧和方法。
一、查找多项式的零点解多项式的零点是求解多项式问题的重要一步。
当我们令多项式等于零，即 P(x) = 0，其中 P(x) 为多项式，通过求解 x 的值，即可得到多项式的零点。
例如，假设有一个二次多项式 P(x) = x^2 + 3x + 2，我们需要求解它的零点。
可以使用两种常见的方法：因式分解法和配方法。
1. 因式分解法对于一些简单的多项式，我们可以通过因式分解法快速求解其零点。
对于二次多项式，我们可以尝试将其因式分解成两个一次因式，即P(x) = (x + a)(x + b)。
通过观察多项式的系数，我们可以得知 a 和 b 的值。
对于本例中的多项式 P(x) = x^2 + 3x + 2，由于 2 可以分解为 1 * 2或者 2 * 1，而系数 3 可以表示为 2 + 1。
因此，我们可以将多项式分解为 (x + 1)(x + 2) = 0。
通过令 x + 1 = 0 和 x + 2 = 0，我们可以得到 x = -1 和 x = -2。
因此，多项式的零点为 -1 和 -2。
2. 配方法对于比较复杂的多项式，我们可以通过配方法将其转化为一个平方差或者一个完全平方式，进而求解其零点。
例如，假设有一个三次多项式 P(x) = x^3 + 6x^2 + 11x + 6，我们需要求解它的零点。
可以按照以下步骤进行配方法求解：1) 将多项式按照一次项的系数从高到低依次排列，即 P(x) = x^3 + 6x^2 + 11x + 6。
2) 找到一个数 p，满足 p 的平方等于二次项系数的绝对值，即 p^2 = 6^2 = 36。
3) 对于常数项系数，找到两个数 q 和 r，使得 qr = 常数项系数的绝对值，并且 q + r = 一次项系数的相反数，即 qr = 6，q + r = -11。
§42余式定理,因式定理
§4−2 餘式定理、因式定理(甲)餘式定理除法原理：f(x)=g(x)⋅q(x)+r(x)，deg r(x)<deg g(x)或r(x)=0餘式定理：多項式f(x)除以x−a的餘式等於f(a)。
證明：由多項式的除法原理得知，恰有兩多項式q(x)及r(r為常數多項式)滿足f(x)=(x−a)⋅q(x)+r，而此等式為恆等式，因此將x=a代入上式，得f(a)=(a−a)⋅q(a)+r = r。
推廣：多項式f(x)除以ax+b的餘式等於f(−b a)。
f(a)的雙重意義：!多項函數f(x)在x=a的函數值。
"多項式f(x)除以x−a的餘式。
[例題1] 求下列二小題：(1)求(x3+2x2−x−4)3除以x+3的餘式。
(2)設f(x)=1250x6-2790x5−3125x4+707x3+100x2+45x−62，則f(3)=？Ans：(1)−1000 (2)217[例題2] 二次式ax2+bx−4以x+1除之，得餘式3，以x−1除之，得餘式1，若以x−2除之，所得的餘式為。
Ans：18(練習1) 試求115−4⋅114−72⋅113−56⋅112+15⋅11+7之值為。
Ans：51(練習2) 設二多項式f(x),g(x)以2x2−3x−2除之，餘式分別為3x+2,−4x+7，則f(x)+g(x)以2x+1除之，其餘式為何？ Ans：19 2(練習3) f(x)=2x4+3x3+5x2−6，求2x−1除f(x−3)的餘式。
Ans：113 2Hint：可令g(x)=f(x−3)，再利用餘式定理。
[例題3] 試求下列各小題：(1)求多項式f(x)=x7−50x5+8x4−5x3−19x2+41x+6除以(x−1)(x−7)之餘式。
(2)設多項式f(x)不低於2次，以x−1除之餘2，以x+2除之餘−1，則以(x−1)(x+2)除f(x)的餘式為何？(3)設多項式f(x)不低於3次，以x−1除之餘3，以x+1除之餘1，以x−2除之餘−2，則求以(x−1)(x+1)(x−2)除f(x)的餘式。
(完整word版)余式定理及因式定理的应用
初二数学竞赛培训专题:余式定理及因式定理的应用初二（ ）班 姓名： 学号： _一、知识要点：1、()x f 的意义：已知多项式()x f ,若把x 用c 带入所得到的值，即称为()x f 在x =c 的多项式值，用()c f 表示。
2、被除式、除式、商式、余式之间的关系:设多项式()x f 除以()x g 所得的商式为()x q ,余式为()x r ，则:()x f =()x g ×()x q +()x r3、余式定理：多项式)(x f 除以b x -之余式为)(b f ;多项式)(x f 除以b ax -之余式)(a bf 。
4、因式定理：设R b a ∈,，0≠a ，)(x f 为关于x 的多项式，则b x -为)(x f 的因式⇔0)(=b f ；b ax -为)(x f 的因式⇔0)(=a bf 。
二、余式定理应用：1、（1)已知132)(3-+=x x x f ， 求f (x ）除以)1(-x 、()12+x 所得的余式；（2)设f （x )=2x 2+kx +10除以2x –1余5,求k 的值；（3）以x 2–3x –4除多项式f (x ）与g （x ），分别得余式3x +2与–4x +7， 求以x –4除f （x )+g (x ）所得的余式。
2、设6302546)(2345-+---=x x x x x x f ,求f （7)。
3、计算：(1）2001246012161258127122345-⋅-⋅+⋅-⋅-；（2）7111511561172114112345+⋅+⋅-⋅-⋅-。
4、（1）)(x f 、()x g 都是多项式，已知221-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f ，2521=⎪⎭⎫ ⎝⎛-g ，则以12+x 除()()x g x f ⋅之余式是什么? （2）)(x f 除以12-x 之余式为23+x ，且)(x g 除以322-+x x 之余式为 25+x ，则1-x 除)()15()()3(2x g x x f x ⋅++⋅+的余式是什么?三、因式定理应用：1、设x –2为f （x ）=3x 3+x 2–kx +5的因式，试求k 的值。
市北资优七年级分册 第11章 11.16 余数定理+何富华
11.16余数定理：若多项式f (x )除以x -c ，所得的余数为f(c ).因式定理：若多项式f (x )有一个因式x -c ，则f (c )=0；若f (c )=0，则x -c 必为多项式f (x )的一个因式. 整数系数多项式f (x )=a n x n +a n -1x n -1++a 1x +a 0的两个性质：性质1：设整数系数多项式f (x )的首项系数a n =1，且它有因式x -p （p 为整数），那么p 一定是常数项a 0的约数.性质2：设整数系数多项式f (x )的首项系数a n ≠1，且它有因式x-p q (p 、q 为整数)，那么q 一定是首项系数a n 的约数，p 一定是常数项a 0的约数.例1 分解因式：f (x )=x 3-9x 2+26x -24.解 能使f (x )=0的只可能为±1，±2，±3，±4，±6，±8，±12，±24.经试算，2符合，所以f (x )有因式x -2，那么x 3-9x 2+26x -24=(322x x -)-(2714x x -)+(12x -24)=(x -2)(2712x x -+)=(x -2)(x -3)(x -4).例2 分解因式：f (x )=2x 3-x 2-5x -2.解 a 0=-2的因数是±1，±2，a n =2的因数是±1，±2.因此，能使f (x )=0的只可能是±1，±2（分母为1），12±.因为f (1)=2-1-5-2=-6，f (-1)=-2-1+5-2=0. 于是-1符合，从而x +1是f (x )的因式，可得32252x x x ---=(3222x x +)-(233x x +)-(22x +)=22x （x +1）-3x （x +1）-2（x +1）=（2x 2-3x -2）（x +1）=（x -2）（2x +1）（x +1）例3 分解因式：32511133x x x ---. 解 原式不是整系数多项式，但可以先提取13，然后再按上面的办法分解，得 32511133x x x --- =13（3235113x x x ---） =13（x +1）（x -3）（3x +1）. 例4 分解因式：f (x )= 322392624x x y xy y -+-.解 因为f (2y )=0，f (3y )=0，f (4y )=0，所以f (x )=（x -2y ）（x -3y ）（x -4y ）.练习11.161.分解因式：321715x x x ---.2.分解因式：43257154x x x x --+-.3.分解因式：f (x )= 3232x x x ++-.4.分解因式：432262x x x x ---+.5.分解因式：32242691y y y -+-+.答案：练习11.161.原式=（x +1）（x -5）（x +3）2.原式=（x -1）（324114x x x --+）3.a 0=-2的因数为±1，±2，a n =3的正因数为+1，+3(我们可以认为p q的分母q 是正的，因此a 0的因数有正有负.a n 的因数可只取正的).所以，f (x )的有理根只可能是±1，±2，13±，23±. 由于f (23)=3⋅(23)3+(23)2+（23）-2=89+4923-2=0. 所以x -23是f (x )的因式，从而3x -2是f (x )的因式，可得f (x )= 3232x x x ++- = （ 3232x x -）+ （232x x -）+（ 32x -）=2x （32x -）+x （32x -）+（32x -）=（32x -）（21x x ++）4 原式=（21x -）（x -2）(1x +)25 原式=（12y -）（13y -）（14y -）11.16余数定理练习11.161.分解因式：43293732x x x x -+--.2.分解因式：51x -.3.分解因式：31930x x --.4.分解因式：42--+.x x x47765.分解因式：32x x x---.44936. 分解因式：432x x x x+--+.29287.已知多项式f(x)=543++++能被x+2整除，求k的值.3811x x x x k答案：练习11.161.（3x+1）（3x-2）（21x+）2.（x-1）（4321++++）x x x x3.（x+2）（x+3）（x-5）4.（2x-3）（32++-）232x x x5.（2x+1）（2--）x x2336.（x+1）（x-1）（x-2）（x+4）7.由题意得，f(-2)=0，则k=70。
余式定理
4-2 餘式定理與因式定理例1. (1)求242)(+--=x x x x f 除以1+x 之餘式。
(2)設1537935699357)(2345+++--=x x x x x x f ，求)2(f 。
類1. 15)(24-++=bx ax x x f 以3-x ，1-x 除之，餘式分別為45，-15求以1+x 除之，餘式為 。
類2. 求=-⨯-⨯+⨯-⨯-2001246012161258127123345 。
類3. 以1+x 除5102610019992000++-+x x x x 的餘式為 。
類4. 設)(),(x g x f 均為多項式，)(x f 除以12-x 之餘式為23+x ，)(x g 除以322-+x x 之餘式為25+x ，則)()15()()3(2x g x x f x +++除以1-x 的餘式為 。
類5. 已之3221)(x x x x f -+-=，且)2()1(+=+x f x g ，)2()(+=x g x h ，求)()(x xg x h +除以1+x 的餘式。
Ans: 1. –19，2. 40，3. –12，4. 62，5. -8。
例2. (1)多項式)(x f 除以1-x ，2-x 之餘式分別為5,7，求)(x f 除以)2)(1(--x x 之餘式。
(2)多項式)(x f 除以2-x ，322++x x 之餘式分別為5，65+x ，求)(x f 除以)32)(2(2++-x x x 之餘式。
類1. 設多項式)(x f 以2-x 除之餘3，以4+x 除之餘-9，則以)4)(2(+-x x 除之餘式為 。
類2. 設)(x f 為一多項式，0)deg(≥x ，若1-x ，2-x ，3-x 分別除之，餘式為3，7，13，則)(x f 以)3)(2)(1(---x x x 除之餘式為 。
類3. 多項式)(x f 除以2-x ，12++x x 之餘式分別為10，1+x ，求)(x f 除以)1)(2(2++-x x x 之餘式。
综合除法
第五节综合除法、余数定理内容讲解一般地，多项式f（x）除以一次多项式（x-a）•的商式系数和余数有如下规律：商式的最高次项系数就是f（x）（按降幂排列后）的第一项系数，把这个数乘以b后再加上f（x）的第二项系数就得商的次商为次项系数，如此类推最后得余数，这种方法叫做综合除法．余数定理：多项式f（x）除以（x-a）所得的余数等于f（a）．如果f（x）能被（x-a）•整除，也就是（x-a）是f（x）的因式．反之，如果（x-a）是f（x）的因式，那么f（x）•能被（x-a）整除．因此，由余数定理，容易得出：因式定理：如果f（a）=0，那么（x-a）是f（x）的因式，反之，如果（x-a）是f（x）•的因式，那么f（a）=0．例题剖析例1 用综合除法求（3x3+5x2-2）除以（x+3）的商式和余数．分析：整式的除法我们可以用竖式法和分离系数法，这里我们主要是熟悉综合除法．解：把除式变成（x-a）形为x-（-3）．如右式所示：所以商式＝3x2-4x+12．余数＝－38．评注：在用综合除法时，①被除式和除式均按降幂排列，其缺项要用"0•"补项．②除式一定要变成（x-a）的形式．③若f（x）的除式为px-q形（p≠0），•可先变除式为：p（x- ）。
再用综合除法求出除以（x- ）的商式Q′（x）和余数k′，则f（•x）•÷（px-q）的商式为Q（x）= Q′（x），余数R=R′．例2 分解因式x4+2x3-9x2-2x+8．分析：原式可能有x±1，x±2，x±4，x±8因式，由于f（1）=0，f（-1）=0，•所以由因式定理，原多项式含有（x-1）（x+1）这两个因式，然后用综合除法即可求解．解：∵f（1）=0，f（-1）=0，∴原式中含有（x-1）和（x+1）这两个因式．•由综合除法得：原式＝（x-1）（x+1）（x-2）（x+4）评注：（1）如果多项式f（x）中各项系数的和等于零，那么f（x）有一次因式（x-1）；若奇次项的系数的和等于偶次项系数的和，则f（x）有一次因式（x+1），记住这个结论很有用．（2）本题用分组分解也较简单，请同学们自己求解．例3 已知x+x-6是多项式2x4+x3-ax2+6x+a+b-1的因式，求a，b的值．分析：此题如果用以前的方法求解，就显得特别的繁琐，•但用因式定理就比较简单．解：∵x2+x-6=（x+3）（x-2），又x2+x-6是多项式2x4+x3-ax2+bx+a+b-1的因式．∴x+3，x-2是它的两个因式．由因式定理，得f（-3）=0，f（2）=0，即∴a=16，b=3．评注：因式定理在因式分解及其他地方得到广泛的应用，必须高度重视并熟悉掌握．例4 2x+1除6x4-5x3-3x2-x+4所得的余数．分析：我们可以用竖式除法，分离系数法和综合除法求此题的余数，这里我们主要尝试余数定理求解．解：∵2x+1=2[x-（- ）]由余数定理，得：r=f（- ）=6×（- ）4-5×（- ）3-3×（- ）2-（- ）+4=4 ．评注：余数定理可以直接求多项式f（x）除以（x-a）式除以（px-q）的余数．例5 证明：（1）对任意自然数n，an-bn能被（a-b）整除．（2）当n为偶数时,an-bn能被（a+b）整除；（3）当n为奇数时，an-bn被（a+b）除的余数为-2b．分析：如果我们把an-bn看成是字母a或b的多项式f（a）或f（b），问题就转化为f （a）•或f（b）被（a-b）或（b-a）整除的问题，于是可用余数定理求解．证明：把an-bn看成是字母a的多项式f（a）．（1）对任意自然数n，当a=b时，f（b）=bn-bn=0，所以f（a）=an-bn能被（a-b）整除．（2）当n为偶数时，f（-b）=（-b）n-bn=0，所以an-bn能被a-（-b）=a+b整除．（3）当n为奇数时，f（-b）=（-b）n-bn=-2bn，故an-bn被（a+b）除的余数为-2bn．评注：正确使用余数定理，可以快捷地解答一些复杂的问题，希望读者仔细体会．巩固练习1．用综合除法求（2x3+x-7）÷（2x+1）的商式、余数．2．已知x= ，求f（x）=3x3-2x2+5的值．3．求证2x+3是2x4-5x3-10x2+15x+18的因式．4．利用因式分定理分解因式x3+y3+z3-3xyz．5．已知f（x）=ax3+bx2-47x-15可被3x+1和2x-3整除，求a，b．答案:1．商式=x2- x+ 余数=- ．2．用综合除法求f（x）÷（x- ）的余数得f（）= ．3．令f（x）=2x4-5x3-10x2+15x+18．∵f（- ）=2（- ）4-5（- ）3-10（- ）2+15（- ）+18=0，∴2x+3是f（x）的因式．4．令f（x）=x3+y3+z3-3xyz，当x=-（y+z）时，f（x）=f（-（x+y））=-（y+z）3+y3+z3+3（y+z）yz=-（y+z）3+（y+z）3=0，由因式定理知原式有因式x+y+z，又因为原式是关于x，y，z•的三次齐次式，故令原式=（x+y+z）[a（x2+y2+z2）+b（xy+yz+zx）]，比较两边x3的系数，得a=1，取x=1，y=1，z=1，得0=3×（3+3b），∴b=-1，故原式=（x+y+z）（x2+y2+z2-xy-yz-zx）．5．由因式定理有f（- ）=0和f（）=0，即有解此方程，得：a=24，b=2．。
因式定理与余式定理
余式定理的证明
03
因式定理与余式定理的关系
01
02
因式定理与余式定理的联系
余式定理是因式定理的一种特殊情况，即当多项式在某点取值为零时，其导数在该点的值等于余式。
两者都是多项式理论中的重要定理，用于研究多项式的因式分解和余数性质。
因式定理主要关注多项式的因式分解，即通过多项式的根来寻找多项式的因式；而余式定理则关注多项式在某点的余数性质，即通过多项式在该点的值和导数来计算余数。
针对特定问题，开发基于因式定理与余式定理的算法和工具，以简化数学计算和证明过程。
因式定理与余式定理的推广和改进
因式定理与余式定理在其他学科中的应用
探讨因式定理与余式定理在其他学科领域中的应用，例如物理学、工程学、经济学等。
研究因式定理与余式定理在其他学科中应用的案例，分析其解决问题的有效性和实用性。
详细描述
总结词：因式定理的证明通常基于代数的基本性质和定理，如零因子定理和整除定理等。
因式定理的证明
02
余式定理
总结词
余式定理描述了多项式在某点的泰勒展开中的余项。
详细描述
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ余式定理指出，对于一个在点$x_0$处具有$n+1$阶导数的函数$f(x)$，其泰勒展开中的余项可以表示为$R_{n+1}(x) = f^{(n+1)}(x_0) cdot frac{(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!}$，其中$f^{(n+1)}(x_0)$是$f(x)$在$x_0$处的$(n+1)$阶导数。
余式定理的定义
总结词
余式定理在解决多项式方程、求函数的极值和判断函数的单调性等方面有应用。
详细描述
余式与因式定理知识点总结及练习
a
因式定理：设 f(x)为多项式﹐axb 为一次多项式 (1)若 f b =0﹐则 axb 是 f(x)的因式。
a
(2)若 axb 是 f(x)的因式﹐则 f b =0。 a
例 1：设 f(x)=x3+2x2+5x3﹐分别求 f(x)除以 x+2 与 2x1 的余式
若小明没有计算错误，求 a+b+c+d 的值﹒
一次因式？
【练习题】已知 a 为常数，且 x3 是 f(x)=x3+ax9 的因式，求 f(x)除以 x+1 的余式。
例 5：已知三次多项式 f(x)满足 f(1)=f(2)=0，f(3)=16 与 f(4)=66， 求 f(x)。
【练习题】已知 f(x)是三次多项式，满足 f(0)=f(1)=f(2)=0 且 f(3)=24， 求 f(x)=？
3. 已知 a、b 为常数，设多项式 f(x)=x3+3ax2+bx2 可被 x1
整除，且
以 x2 除 f(x)得余式为 2ห้องสมุดไป่ตู้求 a、b 的值﹒
4. 计算 1257．12458．123+16．122465．12+100 的值。
5. 设 f(x)为三次多项式
(1)已知 f(1)=f(2)=0，f(1)=6，f(2)=48，求 f(x)=？
11.设 a 为正整数，且多项式 f(x)=x3ax2+x2 有整系数一次因 式，求 a=？
12. 下式是小明利用综合除法计算三次多项式 f(x)除以 x1 的算式﹐因 不小心将饮料翻倒在计算纸上，所以只能辨 识部分数字：（无法辨识的数字以英文字母代替）
因式定理与余式定理-课件(PPT演示)PPT15页
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
33、如果惧怕前面跌宕的山岩，生命 就永远 只能是 死水一 潭。 34、当你眼泪忍不住要流出来的时候 ，睁大 眼睛， 千万别 眨眼!你会看到 世界由 清晰变 模糊的 全过程 ，心会 在你泪 水落下 的那一 刻变得 清澈明 晰。盐 。注定 要融化 的，也 许是用 眼泪的 方式。
35、不要以为自己成功一次就可以了 ，也不 要以为 过去的 光荣可 以被永 远肯定 。Байду номын сангаас
因式定理与余式定理-课件 （PPT演示）
31、别人笑我太疯癫，我笑他人看不 穿。(名 言网) 32、我不想听失意者的哭泣，抱怨者 的牢骚 ，这是 羊群中 的瘟疫 ，我不 能被它 传染。 我要尽 量避免 绝望， 辛勤耕 耘，忍 受苦楚 。我一 试再试 ，争取 每天的 成功， 避免以 失败收 常在别 人停滞 不前时 ，我继 续拼搏 。
余式定理
§4-2 餘式定理、因式定理除法原理：f(x)=g(x)⋅q(x)+r(x)，deg r(x)<deg g(x)或r(x)=0餘式定理：多項式f(x)除以x-a的餘式等於f(a)。
證明：由多項式的除法原理得知，恰有兩多項式q(x)及r(r為常數多項式)滿足f(x)=(x-a)⋅q(x)+r，而此等式為恆等式，因此將x=a代入上式，得f(a)=(a-a)⋅q(a)+r = r。
推廣：多項式f(x)除以ax+b的餘式等於f(-b a)。
f(a)的雙重意義：①多項函數f(x)在x=a的函數值。
②多項式f(x)除以x-a的餘式。
[例題1]求下列二小題：(1)求(x3+2x2-x-4)3除以x+3的餘式。
(2)設f(x)=1250x6-2790x5-3125x4+707x3+100x2+45x-62，則f(3)=？Ans：(1)-1000 (2)217[例題2]二次式ax2+bx-4以x+1除之，得餘式3，以x-1除之，得餘式1，若以x-2除之，所得的餘式為。
Ans：18(練習1)試求115-4⋅114-72⋅113-56⋅112+15⋅11+7之值為。
Ans：51(練習2)設二多項式f(x),g(x)以2x2-3x-2除之，餘式分別為3x+2,-4x+7，則f(x)+g(x)以2x+1除之，其餘式為何？Ans：19 2(練習3)f(x)=2x4+3x3+5x2-6，求2x-1除f(x-3)的餘式。
Ans：113 2Hint：可令g(x)=f(x-3)，再利用餘式定理。
[例題3]試求下列各小題：(1)求多項式f(x)=x7-50x5+8x4-5x3-19x2+41x+6除以(x-1)(x-7)之餘式。
(2)設多項式f(x)不低於2次，以x-1除之餘2，以x+2除之餘-1，則以(x-1)(x+2)除f(x)的餘式為何？(3)設多項式f(x)不低於3次，以x-1除之餘3，以x+1除之餘1，以x-2除之餘-2，則求以(x-1)(x+1)(x-2)除f(x)的餘式。
因式分解培优题型归纳总结完美
因式分解题型归纳总结知识梳理一、因式分解得定义：把一个多项式化成几个既约整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式．二、因式分解常见形式：三、因式分解基本方法：“一提二代三分解”是因式分解的三种常见基本解法，“提”指的是提取公因式法，“代”指的是公式法（完全平方公式，平方差公式，立方差和立方和公式，三项完全平方公式），“分解”指的是分组分解的方法．①提取公因式法几个整式都含有的因式称为它们的公因式．例如：()2+4+6=2+2+3ma mb mc m a b c把每项的公因式，包括数和字母全部提出，当然有的时候把一个式子看成一个整体．②公式法因为因式分解和整式的乘法是互逆的，所以说常见的乘法公式要特别熟悉．平方差公式：()()a b a b a b 22+-=-完全平方公式：()a b a ab b 222+=+2+；()a b a ab b 222-=-2+ 立方差公式：()()a b a ab b a b 2233-++=- 立方和公式：()()a b a ab b a b 2233+-+=+三项完全平方公式：()a b c a b c ab ac bc 2222++=+++2+2+2完全立方公式：()a b a a b ab b 33223+=+3+3+ ；()a b a a b ab b 33223-=-3+3- 大立方公式：()()a b c abc a b c a b c ab ac bc 333222++-3=++++--- n 次方差公式：1221()()nnn n n n a b a b aa b ab b -----=-++++（n 为正整数） n 次方差差公式：1221()()nnn n n n a b a b a a b ab b ----+=+-+-+（n 为正奇数）③分组分解法一般地，分组分解大致分为三步：i ．将原式的项适当分组；ii ．对每一组进行处理（“提”或“代”）； iii ．将经过处理的每一组当作一项，再采用“提”或“代”进行分解． 四、十字相乘法五、双十字相乘法双十字相乘法的本质与十字相乘法是一致的，它一般适用于二元二次六项式或可视为于二元二次六项式的多项式的因式分解，双十字相乘法的步骤：对于形如Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F 的多项式的因式分解，基本步骤是： （1）运用十字相乘法分解前三项组成的二次三项式；（2）在这个十字相乘图的右边再画一个十字，把常数项分解为两个因数，填在第二个十字的右端，使这两个因数与含y 的项的交叉之积的和等于原多项式中含y 的一次项Ey ，同时这两个因数与含x 的项的交叉之积的和等于原多项式中含x 的一次项Dx ． 六、换元法如果在多项式中某个数或式子多次出现，那么可将这个数或式子用一个字母代替，这样做常常使多项式变得更为简单，结构更加清晰，从而易于发现因式． （1）整体换元（2）和积换元 七、主元法在对含有多个未知数的代数式进行因式分解时，可以选其中的某一个未知数为主元，把其他未知数看成是字母系数进行因式分解． 八、拆项和添项法1、拆项：把代数式中的某项拆成两项或几项的代数和，叫做拆项．2、添项：在代数式中添加两个相反项，叫做添项． 九、待定系数法将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式．然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法，其实质就是对于含有待定系数的恒等式，利用恒等概念和恒等定理，采用系数比较法或数值代入法． 如果两个多项式恒等，则左右两边同类项的系数相等．即，如果n n n n n n n n n n n n a x a x a x a x a b x b x b x b x b -1-21-1-21-1-210-1-210+++++=+++++恒成立，那么n n a b =，n n a b -1-1=，…，a b 11=，a b 00=．待定系数法的使用前提是知道所需要求的代数式的形式，根据代数式的形式把不确定的部分设为未知数，然后通过比较系数得到方程，进而求解． 十、余数定理与因式定理法1、余数定理：多项式f （x ）除以x －c ，所得的余数为f （c ）．2、因式定理：若多项式f （x ）有一个因式x －c ，则f （c ）＝0；反之，若f （c ）＝0，则x－a 必为多项式f （x ）的一个因式．3、整数系数多项式f （x ）＝a n x n ＋a n －1x n －1＋…＋a 1x ＋a 0的两个性质：性质1：设整数系数多项式f （x ）的首项系数a n ＝1，且它有因式x －p （p 为整数），那么p 一定是常数项a 0的约数．例如x 2－2x －8的首项系数是1，它有因式x ＋2和x －1，－2和4都是常数项－8的约数． 性质2：设整数系数多项式f （x ）的首项系数a n ≠1，且它有因式p x q -（pq为整数），那么q 一定是首项系数a n 的约数，p 一定是常数项a 0的约数． 例如，6x 3＋x 2－1的首项系数a n ＝6不为1，它有因式12x -，不难看出分母2是a n ＝6的约数，分子1是常数项－1的约数．例如：分解因式：x x 3-3+2．观察可知，当x =1时，x x 3-3+2=0，则()x x x A 3-3+2=-1，其中A 为整式，即()x -1是多项式x x 3-3+2的一个因式．若要确定整式A ，则可用大除法．x x x x x x x x x x x x x x 2323222+-2-1+0⋅-3+2--3--2+2-2+2∴()()()()()()()x x x x x x x x x x 322-3+2=-1+-2=-1-1+2=-1+2．题型一 因式分解的定义例题1： 下列因式分解正确的是（ ） A ．()()()a b a b a b a b 2222-4+4=-4-4=-4+2-2 B ．()m m m m 323-12=3-4C ．()x y x y x y x y 422224-12+7=4-3+7D ．()()m m m 24-9=2+32-3解析：把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。
余数定理与因式定理
余数定理与因式定理
如果多项式f (x )除以x -a 所得的商式是g (x )，余式是r ，那么它就是恒等式，即
f (x )＝(x -a )
g (x )+r 、
因为x -a 是一次式，所以r 是一个常数、
当x ＝a 时，有f (a )＝(a -a )g (a )+r ＝r 、
即r ＝f (a )、
余数定理多项式f (x )除以x -a 所得的余数等于当x ＝a 时f (x )的值f (a )、
推论多项式f (x )除以ux -v (u ≠0)所得的余数等于f (u
v
)、
证明：设f (x )除以ux -v 所得的商式是g (x )，余式是r ，于是
f (x )＝(ux -v )
g (x )+r 、
=(x -u
v )·u ·g (x )+r 〔1〕 即f (x )＝(x -u
v )·［ug (x )］+r 〔2〕 〔2〕式中的相当于余数定理中的x -a ，这里a =u
v ，所以 r ＝f (u
v )、 注意：由于〔1〕式变到〔2〕式时，被除式没有变，由于除式变了〔缩小了u 倍〕，因而商式也变了〔扩大了u 倍〕，但余数r 没有变、 因式定理多项式f (x )只有在f (a )＝0时，才有因式x -A 、
说明：用综合除法试商时，要由常数项和最高次项系数来决定、常数项的因数除以最高次项系数的因数的正负值都可能是除的整除商、。
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专题：因式定理与因式分解1、余数定理与因式定理通常：)(x f =0111a x a x a x a n n n n ++++-- ， )(a f 表示这个多项式在a x =时的值。
如果我们用一次多项式c x -作除式去除多项式)(x f ，那么余式是一个数。
设这时商式为多项式)(x g ，余式（余数）为r ，则有：r x g c x x f +-=)()()(即：被除式等于除式乘以商式再加余式 在上式中令c x =，便得到：r r c f =+=0)(因此：我们有：)(x f 除以c x -，所得余数为)(c f 。
这个结论我们称余数定理如果余数为0，那么)(x f 就被c x -整除，也就是c x -是)(x f 的因式。
反过来，如果c x -是)(x f 的因式，那么)(x f 就被c x -整除，余数为0。
因此，我们有： 如果)(c f =0，那么c x -是)(x f 的因式。
反之，如果c x -是)(x f 的因式，那么)(c f =0。
这个结论通常称为因式定理及其逆定理。
需要掌握的基本技能：长除法计算：3(27)(2)x x x +-÷- 解：32232322226202722224676125x x x x x x x x x x x x x x ++-++-----+所以，3227(2)(26)5x x x x x +-=-+++注：若被除式多项式缺少了某些项，可以用0补足。
例1 分解因式：6116)(23+++=x x x x f 因为0)1(=-f ，根据上面的结论 1)1(+=--x x 就是)(x f 的一次因式。
知道这个因式，运用多项式除法就可以将商式求出来，再进一步分解。
当然，我们也可以不用除法，直接去分组分解。
这里的分组是“有目标的”，因为每组都有因式1+x 。
即：6116)(23+++=x x x x f =)66()55()(223+++++x x x x x =)65)(1(2+++x x x =)3)(2)(1(+++x x x例2 分解因式：3552)(23-+-=x x x x f因为)23(f =0，可知23-x 是)(x f 的一次因式。
避免分数运算，把23-x 乘以2得32-x ，32-x 仍然是)(x f 的一次因式。
现在可以用长除法，也可以用分组分解法，使得每组都有因式32-x ：3552)(23-+-=x x x x f =)1)(32(2+--x x x这里有人会问，例1、例2中如何就首先发现0)1(=-f ，)23(f =0了呢？ 下面讨论这个问题。
2、有理根的求法如果c x -是)(x f 的因式，则0)(=c f ，那么就是说c x =是0)(=x f 的根；反之，在c 是0)(=x f 的根时，c x -就是)(x f 的因式。
问题是如何求出0)(=x f 的根？ 我们假定)(x f =0111a x a x a x a n n n n ++++-- 是整系数多项式，又设有理数q p c =是)(x f =0的根，这里qp 是既约分数（即q p ,为互质整数）。
由于0)(=c f ，则有 ++--11)()(n n n n qp a q p a +0)(01=+a q p a 两边同乘n q 得：001111=++++---n n n n n n q a pq a q p a p a 上式p 能整除左边前n 项，q 能整除左边后n 项，又因q p ,互质，因此： p 能整除0a ，即p 是0a 的约数；q 能整除n a ，即q 是n a 的约数。
因此，可得：整系数多项式)(x f =0111a x a x a x a n n n n ++++-- =0的有理根qp x =的分子p 是常数项0a 的约数；q 是首项系数n a 的约数。
找到了0)(=x f 的有理根q p x =，那么就找到了)(x f 的一次因式q p x -. 例3 分解因式 2323-++x x x 解：0a =-2的因数有2,1±±，n a 的正因数有+1，+3（我们可以如此取）。
所以)(x f =0的有理根只可能是32,312,1±±±±. 经检验可得：0)32(==f 所以32-x 是)(x f 的因式，从而23-x 也是)(x f 的因式，可得： 2323-++x x x =)23()23()23(222-+-+-x x x x x =)1)(23(2++-x x x3、字母系数上述多项式都是常数系数。
若遇字母系数多项式呢？例4 分解因式abc x ca bc ab x c b a x -+++++-)()(23 解：常数项abc -的因数为.,,,,,,abc ca bc ab c b a ±±±±±±±把a x =代入，可得abc x ca bc ab x c b a x -+++++-)()(23=0所以a x -是原式的因式，同理c x b x --,也是原式的因式，所以：abc x ca bc ab x c b a x -+++++-)()(23=))()((c x b x a x ---小结：因式定理只是提供了一个寻找多项式的一次因式的方法。
达到了降次的目的。
如果一个整系数多项式没有有理根，那么它也就没有整系数的一次因式，这时我们可以用待定系数法来考察它有无其他因式。
4、二次因式（待定系数法）例5 分解因式：32234+-++x x x x解：原式的有理根只可能是3,1±±，但这4个数都不能使原式的值为0，所以原式没有有理根，因而没有有理系数一次因式。
我们设想：原式可以分为两个整系数的二次因式的乘积，于是设： 32234+-++x x x x =))((22d cx x b ax x ++++ （其中d c b a ,,,是整数）比较两边x x x ,,23的系数及常数项，得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+=++=+3121bd ad bc ac d b c a （一般来说，这样的方程不容易解！但别忘了d c b a ,,,是整数！）从3=bd 入手，可得⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==3131d b d b 或，或⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==1313d b d b 或； 将3,1==d b 代入可解得：2,1=-=c a因此：32234+-++x x x x =)32)(1(22+++-x x x x根据因式分解的唯一性，其他几组不必再试了。
思考：136--x x 能否分解为两个整系数的三次因式的积？（可用待定系数法）下面看两个综合题例6 若3235x hx x k +-+恰好能被3x +整除，被1x +除余数为4，求,h k ，并将多项式3235x hx x k +-+进行因式分解。
解：记32()35f x x hx x k =+-+，则 (3)0(1)4f f -=⎧⎨-=⎩代入得9662h k h k +=⎧⎨+=⎩解得8,6h k ==-所以32()3856f x x x x =+--由于()f x 必有因式3x +，设其商式为2ax bx c ++则 23232()(3)()(3)(3)33856f x x ax bx c ax b a x c b x c x x x =+++=+++++=+--比较系数可以得到3383536a b a c b c =⎧⎪+=⎪⎨+=-⎪⎪=-⎩解得312a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩即2()(3)(32)(3)(1)(32)f x x x x x x x =+--=+-+例7 设c b a ,,是三个不同的实数，)(x P 是实系数多项式。
已知（1）)(x P 除以（a x -）得余数a ；（2）)(x P 除以（b x -）得余数b ；（3）)(x P 除以（c x -）得余数c ；求多项式)(x P 除以))()((c x b x a x ---所得的余式。
（意大利数奥题）解：根据余数定理，)(x P 被（a x -）除，余数为)(a P ，所以)(a P =a . 从而x x P -)(，在a x =时，值为0。
同理，在b x =、c 时，值也为0。
所以x x P c x b x a x ----)())()((，即)(x P 除以))()((c x b x a x ---，余式为x .5、因式定理在轮换式分解中的运用对称式 如果把多项式中任何两个字母互换，所得的式子与原多项式恒等，这样的多项式叫做关于这些字母的对称式。
如z y x ++，222z y x ++，zx yz xy ++，333z y x ++，y z x z x y z y z x y x 222222+++++，xyz ，┅┅轮换式 一个含有多个字母的多项式中，如果将所有字母顺次轮换后，所得到的多项式恒等，则称原多项式是关于这些字母的轮换式。
如：z y x ++，222z y x ++，zx yz xy ++，333z y x ++，x z z y y x 222++，222zx yz xy ++，xyz ，┅┅显然，关于z y x ,,的对称式一定是轮换式。
但是，关于z y x ,,的轮换式不一定是对称式。
如：x z z y y x 222++。
对于次数低于3的轮换式都是对称式。
两个轮换式（或对称式）的和、差、积、商（假定整除）仍然是轮换式（或对称式）。
关于x ，y 的齐次对称式的一般形式是：一次对称式：()y x l +； 二次对称式：()mxy y x l ++22； 三次对称式：()().33y x mxy y x l +++； 关于x ，y ，z 的齐次轮换式的一般形式是： 一次齐次轮换标准式：()z y x l ++； 二次齐次轮换标准式：()()zx yz xy m z y x l +++++222； 三次齐次轮换标准式：()()()()[]nxyz y x z x z y z y x m z y xl +++++++++222333；……（其中，l ，m ，n 均为常数）.例8 分解因式：()()()y x z x z y z y x -+-+-333.解：()()()y x z x z y z y x -+-+-333是关于z y x ,,的轮换式如果把它看成x 为主元的多项式，当y x =时，原式()()()0333=-+-+-=y y z y z y z y y .则原式有因式y x -。
同样原式还有因式z y -，x z -.所以()()()x z z y y x ---是原式的因式。