复合函数讲义

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复合函数（讲义）

➢ 知识点睛

1. 复合函数定义

若函数()y f u =，()u g x =，则称函数(())y f g x =为复合

函数，其中()f u 为外层函数，g (x )为层函数，u 是中间变量．

2. 复合函数定义域的求法

①若y =()f x 的定义域为[a ，b ]，则复合函数(())y f g x =的定义域即为不等式a ≤g (x )≤b 的解集；

②若(())y f g x =的定义域为[a ，b ]，则函数y =()f x 的定义域即为x ∈[a ，b ]时g (x )的取值围．

注：同一对应法则f 下的围相同，即f (u )、f (g (x ))、f (h (x ))三个函数中，u ，g (x )，

f (x )的围相同．

3. 复合函数的单调性

口诀：同增异减．

已知函数(())y f g x =，则求其单调区间的一般步骤如下： （1）确定定义域；

（2）将复合函数(())y f g x =分解成：()y f u =，()u g x =；

（3）分别确定这两个函数的单调区间．

4. 复合函数的奇偶性

口诀：有偶则偶，全奇为奇．即：

➢ 精讲精练

1. （1）设函数 f (x )=2x +3，g(x )=3x -5，则 f (g (x ))=____________，g (f

(x ))=____________；

（2）已知2211()f x x x x

-=+，则(1)f x +=_________．

2. （1）设函数f (x )的定义域为[01]，，则函数2()f x 的定义域为____________，函数2)f -的定义域为____________；

3. 求函数的值域：

4. 已知函数233x

x y a -+=，当[13]x ∈，时有最小值8，则a 的值为____________．

5. 如果函数2()21x x f x a a =+-（a >0，且a ≠1）在[-1，1]上有最大值14，则a 的值为____________．

6. 设0a >，1a ≠，函数2lg (23)x

x y a -+=有最大值，则不等式2log (57)0a x x -+>的

解集为____________．

7. 若函数()f x 在()-∞+∞，上是减函数，则2(2)y f x x =-的单调递增区间是

____________．

8. 直接写出下列函数的单调区间：

（2）函数2()ln(23)f x x x =--的单调递减区间是_________；

（3）函数()242x x f x =-⋅的单调递减区间是____________；

（4）函数2

0.50.5log log 2()x f x x =-+的单调减区间是______．

9. 求下列函数的单调区间：

（4）函数

()f x =的单调递增区间是_______．

10. 已知f (x )＝log a |x －1|在(0，1)上递减，那么f (x )在(1，+∞)上（

）

A ．递增无最大值

B ．递减无最小值

C ．递增有最大值

D ．递减有最小值

11. 已知函数log (()2)a f x x a =-在(11)-，上是x 的减函数，则a 的取值围是

____________．

【参考答案】

1. （1）6x -7；6x +4；（2）x 2+2x +3

2. （1）[-1，1]；[4，9]；（2）5[0]2，；11(][)32

-∞-+∞U ，，； （3）4]；（4）(-4，-1)∪(1，4)

3. （1）(-∞，-2)；（2）3[57]4，；（3）1[2]4

-， 4. 16

5. 13

或3 6. (2，3)

7. (1，+∞)

8. （1）(-∞，3)；（2）(-∞，-1)；

（3）(-∞，-2)；（4）(02

， 9. （1）(-∞，-2)，(-2，+∞)；（2）(-2，2)；

（3）(-1，1)；（4）7()2

-∞-， 10. A

11.(1，2]

12.(-8，-6]

13.a＞1