概率统计习题5.3
高中数学第五章统计与概率5.3概率5.3.2事件之间的关系与运算教学1b高一必修第二册数学
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内容(nèiróng)总结
第五章 统计(tǒngjì)与概率。说出每一事件的实际意义，并尝试理解上述各事件之间的关系.。2理解，互斥事件和对立事件的概念 及关系。会用互斥事件与对立事件的概念公式求概率。3.会用自然语言、符号语言表示事件之间的关系与运算，加强数学抽象素养的培
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即时训练3 已知数学考试中，李明名成绩高于90分的概率为0.3，不低于60分且不高于90 分的概率为0.5，求： （1）李明成绩不低于60分的概率； （2）李明成绩低于60分的概率。5事件(shìjiàn)的混合运算。
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第五章 统计 与概率 (tǒngjì)
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5.3 概率(gàilǜ)
5.3.2 事件(shìjiàn)之间的关系与运算
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5.3.2 事件(shìjiàn)之间的关系与运 算
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【导入新课】 回顾1.集合间的运算(yùn suàn)及关系
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问题探究二：事件的和（并） （1）给定事件A,B。由所有A中的样本点与所有B中的样本点组成的事件， 称为A与B的和（或并），记作A+B（或A∪B）。 （2）事件A+B发生(fāshēng)，则当且仅当事件A与事件B中至少有一个发生。
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P（A）≤P(A+B) ， P（B）≤P(A+B) ， P(A+B)≤P（A）+P(B)
概率论与数理统计 5.3 协方差与相关系数
概率论
均值 EX是X一阶原点矩，方差DX是X的二阶
中心矩。
四、课堂练习
概率论
1、设随机变量（X，Y）具有概率密度
f (x, y) 81(x y) 0 x 2,0 y 2
0
其它
求E(X ), E(Y ),Cov(X ,Y ), D(X Y )。
2、设X ~ N(, 2),Y ~ N(, 2)，且设X，Y相互独立 试求Z1 X Y和Z2 X Y的相关系数(其中，
Cov(aX b,cY d ) acCov( X ,Y ); Cov(aX bY ,cX dY ) acDX bdDY (ad bc)Cov( X ,Y ).
(6) D(XY) = DX+ D Y 2 Cov(X, Y) .
一般地， D(aXbY) =a 2DX + b2DY 2 abCov(X, Y).
1
1
dx
1 x 8xydy 8
0
x
15
EY
yf ( x, y)dxdy
o
1x
1
dx
1 y 8xydy 4
0
x
5
EXY
xyf ( x, y)dxdy
1
dx
0
1 xy 8xydy 4
x
9
Cov( X ,Y ) EXYEXEY 4
225
类似地，EX 2
1
X与Y不独立.
EX EY EXY 0, Cov( X ,Y ) 0, XY 0,
X与Y不相关.
例6 设 X 的分布律为
X 1 0 1 P 13 13 13
Y X 2, 求 XY , 并讨论 X 与Y 的独立性. 解 EX 0, EY EX 2 2 3, E( XY ) EX 3 0,
概率与数理统计 5.3 中心极限定理.ppt
X ~ N (120, 48) (近似)
问题转化为求 a , 使
P(0 rX a) 99.9%
P(0 rX a) a / r 120 0 120 48 48
a / r 120 (17.32) 48 0
P(Xi k) p1 p k1 , p1/3 k 1,2,
(几何分布)
E( X i )
1 p
p1/ 3
3,
D(Xi )
1
p
p
2
p1/ 3
6
100
X1, X 2,, X100 相互独立, X X k
k 1
E( X ) 300, D( X ) 600
根据第二章知识若 X ~ N(, 2) 则X的标准化 随机变量
Y ( X EX ) / DX ( X ) / ~ N (0,1)
若X1, X2, …Xn为独立同分布的随机变量，
n
X i ~ N (, 2 ) ，则 X i ~ N (n, n 2 ) i 1
其标准化随机变量
X n X n1 Yn (n 1)
其中Xn是第n天该商品的价格.如果今天 的价格为100，求18天后该商品的价格 在 96 与 104 之间的概率.
解 设 X 0 表示今天该商品的价格, X 18为18
天后该商品的价格, 则
18
X18 X17 Y18 X16 Y17 Y18 X 0 Yi
0! 1!
3°用正态分布近似计算
PX 2 1 PX 2 1 PX 1
1 (1 np ) npq
新教材高中数学第五章统计与概率5.3.5随机事件的独立性学案新人教B版必修第二册
5．3.5 随机事件的独立性问题导学预习教材P114－P116的内容，思考以下问题： 1．事件A 与B 相互独立的概念是什么？2．如果事件A 与B 相互独立，则A 与B ，B 与A ，A 与B 也相互独立吗？ 3．两事件互斥与两事件相互独立是一个意思吗？随机事件的独立性1．一般地，当P (AB )＝P (A )P (B )时，就称事件A 与B 相互独立(简称独立)．如果事件A 与B 相互独立，那么A －与B ，A 与B －，A －与B －也相互独立．2．两个事件相互独立的概念也可以推广到有限个事件，即“A 1，A 2，…，A n 相互独立”的充要条件是“其中任意有限个事件同时发生的概率都等于它们各自发生的概率之积”．■名师点拨两个互斥事件不可能同时发生，但相互独立的两个事件是可以同时发生的，相互独立事件和互斥事件之间没有联系．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不可能事件与任何一个事件相互独立．( ) (2)必然事件与任何一个事件相互独立．( )(3)“P (AB )＝P (A )P (B )”是“事件A 与B 相互独立”的充要条件．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)√国庆节放假，甲去北京旅游的概率为13，乙、丙去北京旅游的概率分别为14，15.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1个人去北京旅游的概率为( )A.5960B.35C.12D.160解析：选B.因甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为13，14，15.因此，他们不去北京旅游的概率分别为23，34，45，所以，至少有1个人去北京旅游的概率为P ＝1－23×34×45＝35.两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为________．解析：记两个实习生把零件加工为一等品分别记为事件A 和B . 则P ＝P (AB )＋P (AB )＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×34＝512.答案：512相互独立事件的判断从一副扑克牌(去掉大、小王)中任取一张，设事件A ＝“抽到K ”，事件B ＝“抽到红牌”，事件C ＝“抽到J ”，那么下列每对事件是否相互独立？是否互斥？是否对立？为什么？(1)A 与B ； (2)C 与A .【解】 (1)由于事件A 为“抽到K ”，事件B 为“抽到红牌”，故抽到红牌中有可能抽到红桃K 或方块K ，即有可能抽到K ，故事件A ，B 有可能同时发生，显然它们不是互斥事件，更加不是对立事件．以下考虑它们是否为相互独立事件： 抽到K 的概率为P (A )＝452＝113，抽到红牌的概率为P (B )＝2652＝12，事件AB 为“既抽到K 又抽到红牌”，即“抽到红桃K 或方块K ”，故P (AB )＝252＝126，从而有P (A )P (B )＝P (AB )，因此A 与B 是相互独立事件．(2)从一副扑克牌(去掉大、小王)中任取一张，抽到K 就不可能抽到J ，抽到J 就不可能抽到K ，故事件C 与事件A 不可能同时发生，A 与C 互斥，由于P (A )＝113≠0.P (C )＝113≠0，P (AC )＝0，所以A 与C 不是相互独立事件，又抽不到K 不一定抽到J ，故A 与C 并非对立事件．判断两个事件是否相互独立的方法(1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．(2)定义法：如果事件A ，B 同时发生的概率等于事件A 发生的概率与事件B 发生的概率的积，则事件A ，B 为相互独立事件．下列事件A ，B 是相互独立事件的是( )A ．一枚硬币掷两次，A ＝“第一次为正面”，B ＝“第二次为反面”B ．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸球两次，每次摸一球，事件A 为“第一次摸到白球”，事件B 为“第二次摸到白球”C ．掷一枚骰子，A ＝“出现点数为奇数”，B ＝“出现点数为偶数”D ．A 为“甲灯泡能用1 000小时”，B 为“甲灯泡能用2 000小时”解析：选A.把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故A 是相互独立事件；B 中是不放回地摸球，显然A 事件与B 事件不相互独立；对于C ，其结果具有唯一性，A ，B 应为互斥事件；D 中事件B 受事件A 的影响．相互独立事件概率的求法小王某天乘火车从广州到上海去办事，若当天从广州到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率； (2)这三列火车至少有一列正点到达的概率．【解】 用A ，B ，C 分别表示这三列火车正点到达的事件，则P (A )＝0.8，P (B )＝0.7，P (C )＝0.9，所以P (A －)＝0.2，P (B －)＝0.3，P (C －)＝0.1.(1)由题意得A ，B ，C 之间相互独立，所以恰好有两列正点到达的概率为P 1＝P (A －BC )＋P (A B －C )＋P (AB C －)＝P (A －)P (B )P (C )＋P (A )P (B －)P (C )＋P (A )P (B )P (C －)＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率为P 2＝1－P (ABC －)＝1－P (A －)P (B －)P (C －)＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.[变问法]在本例条件下，求恰有一列火车正点到达的概率．解：恰有一列火车正点到达的概率为P 3＝P (ABC －)＋P (A －B C －)＋P (AB －C )＝P (A )P (B －)·P (C －)＋P (A －)P (B )P (C －)＋P (A －)P (B －)P (C )＝0.8×0.3×0.1＋0.2×0.7×0.1＋0.2×0.3×0.9＝0.092.(1)求相互独立事件发生的概率的步骤是 ①首先确定各事件之间是相互独立的； ②确定这些事件可以同时发生； ③求出每个事件的概率，再求乘积．(2)使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们同时发生．相互独立事件的应用甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为13和14.求：(1)两人都能破译的概率； (2)两人都不能破译的概率； (3)恰有一人能破译的概率．【解】 设“甲能破译”为事件A ，“乙能破译”为事件B ，则A ，B 相互独立，从而A 与B －、A －与B 、A －与B －均相互独立．(1)“两人都能破译”为事件AB ，则P (AB )＝P (A )·P (B )＝13×14＝112.(2)“两人都不能破译”为事件AB ，则P (AB －)＝P (A －)·P (B －)＝[1－P (A )]·[1－P (B )]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝12.(3)“恰有一人能破译”为事件((A B －)∪(A －B ))，则P ((A B －)∪(A －B ))＝P (A B －)＋P (A －B )＝P (A )·P (B －)＋P (A －)·P (B )＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×14＝512.解决此类问题的关键是弄清相互独立的事件，还要注意互斥事件的拆分，以及对立事件概率的求法的运用，即三个公式的联用：P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )(A ，B 互斥)，P (A )＝1－P (A －)，P (AB )＝P (A )P (B )(A ，B 相互独立)．某项竞赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段，每个阶段选手要回答一个问题．规定正确回答问题者进入下一阶段竞赛，否则被淘汰．已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是34，12，14，且各阶段通过与否相互独立．求该选手在复赛阶段被淘汰的概率．解：记“该选手通过初赛”为事件A ，“该选手通过复赛”为事件B ，则P (A )＝34，P (B )＝12， 那么该选手在复赛阶段被淘汰的概率P ＝P (AB )＝P (A )P (B )＝34×⎝⎛⎭⎪⎫1－12＝38.1．分别抛掷2枚质地均匀的硬币，设“第1枚为正面”为事件A ，“第2枚为正面”为事件B ，“2枚结果相同”为事件C ，有下列三个命题：①事件A 与事件B 相互独立； ②事件B 与事件C 相互独立； ③事件C 与事件A 相互独立． 以上命题中，正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选D.P (A )＝12，P (B )＝12，P (C )＝12，P (AB )＝P (AC )＝P (BC )＝14，因为P (AB )＝14＝P (A )P (B )，故A ，B 相互独立；因为P (AC )＝14＝P (A )P (C )，故A ，C 相互独立；因为P (BC )＝14＝P (B )P (C )，故B ，C 相互独立；综上，选D.2．(2019·四川省眉山市期末)三个元件T 1，T 2，T 3正常工作的概率分别为12，34，34，将元件T 2，T 3并联后再和元件T 1串联接入电路，如图所示，则此电路不发生故障的概率为________．解析：记“三个元件T 1，T 2，T 3正常工作”分别为事件A 1，A 2，A 3，则P (A 1)＝12，P (A 2)＝34，P (A 3)＝34.因为电路不发生故障的事件为(A 2＋A 3)A 1， 所以电路不发生故障的概率为P ＝P [(A 2＋A 3)A 1]＝P (A 2＋A 3)P (A 1)＝[1－P (A －1)·P (A －3)]·P (A 1)＝(1－14×14)×12＝1532.答案：15323．在某段时间内，甲地不下雨的概率为P 1(0<P 1<1)，乙地不下雨的概率为P 2(0<P 2<1)，若在这段时间内两地下雨相互独立，则这段时间内两地都下雨的概率为( )A ．P 1P 2B ．1－P 1P 2C ．P 1(1－P 2)D ．(1－P 1)(1－P 2)解析：选D.因为甲地不下雨的概率为P 1，乙地不下雨的概率为P 2，且在这段时间内两地下雨相互独立，所以这段时间内两地都下雨的概率为P ＝(1－P 1)(1－P 2)．故选D.4．甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，则“星队”至少猜对3个成语的概率为________．解析：记事件A ：“甲第一轮猜对”，事件B ：“乙第一轮猜对”，事件C ：“甲第二轮猜对”，事件D ：“乙第二轮猜对”，事件E ：“‘星队’至少猜对3个成语”．由题意知，E ＝ABCD ＋A －BCD ＋A B －CD ＋AB C －D ＋ABC D －. 由事件的独立性与互斥性，得P (E )＝P (ABCD )＋P (A －BCD )＋P (A B －CD )＋P (AB C －D )＋P (ABC D －)＝P (A )P (B )P (C )P (D )＋P (A －)P (B )P (C )P (D )＋P (A )P (B －)·P (C )P (D )＋P (A )P (B )P (C －)P (D )＋P (A )P (B )P (C )P (D －)＝34×23×34×23＋2×⎝ ⎛14×23×34×23＋34×13×⎭⎪⎫34×23＝23. 所以“星队”至少猜对3个成语的概率为23.答案：23[A 基础达标]1.如图，用K 、A1、A 2三类不同的元件连接成一个系统．当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为( )A ．0.960B ．0.864C ．0.720D ．0.576解析：选B.可知K 、A 1、A 2三类元件正常工作相互独立．所以当A 1，A 2至少有一个正常工作的概率为P ＝1－(1－0.8)2＝0.96，所以系统正常工作的概率为P K ·P ＝0.9×0.96＝0.864.2．一件产品要经过2道独立的加工程序，第一道工序的次品率为a ，第二道工序的次品率为b ，则产品的正品率为( )A ．1－a －bB ．1－abC ．(1－a )(1－b )D ．1－(1－a )(1－b )解析：选C.设A 表示“第一道工序的产品为正品”，B 表示“第二道工序的产品为正品”，则P (AB )＝P (A )P (B )＝(1－a )(1－b )．3．(2019·陕西省西安中学段考)从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为15，身体关节构造合格的概率为14.从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的的概率是(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)( )A.1320B.15C.14D.25解析：选D.法一：所求概率P ＝15×34＋45×14＋15×14＝3＋4＋120＝820＝25.法二：所求概率P ＝1－45×34＝1－35＝25.4．(2019·河南省郑州市中原区月考)一道竞赛题，A ，B ，C 三人可解出的概率分别为12，13，14，则三人独立解答，仅有一人解出的概率为( ) A.124B.1124C.1724D.1解析：选B.所求概率P ＝12×23×34＋12×13×34＋12×23×14＝14＋18＋112＝1124.5．某大街在甲、乙、丙三处设有红、绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为13，12，23，则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为( ) A.19 B.16 C.13D.718解析：选D.设汽车分别在甲、乙、丙三处通行为事件A ，B ，C ，则P (A )＝13，P (B )＝12，P (C )＝23，停车一次即为事件ABC ＋ABC ＋ABC 的发生，故概率P ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－13×12×23＋13×⎝⎛⎭⎪⎫1－12×23＋13×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝718. 6．在甲盒内的200个螺杆中有160个是A 型，在乙盒内的240个螺母中有180个是A 型．若从甲、乙两盒内各取一个，则能配成A 型螺栓的概率为________．解析：从甲盒内取一个A 型螺杆记为事件M ，从乙盒内取一个A 型螺母记为事件N ，因事件M ，N 相互独立，则能配成A 型螺栓(即一个A 型螺杆与一个A 型螺母)的概率为P (MN )＝P (M )·P (N )＝160200×180240＝35. 答案：357．已知A ，B ，C 相互独立，如果P (AB )＝16，P (B －C )＝18，P (AB C －)＝18，则P (A －B )＝________．解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧P （AB ）＝16，P （B －C ）＝18，P （AB C －）＝18，解得P (A )＝13，P (B )＝12，P (C )＝14.所以P (A －B )＝23×12＝13.答案：138．在某道路A ，B ，C 三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为________．解析：由题意可知，每个交通灯开放绿灯的概率分别为512，712，34.某辆车在这个道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为512×712`×34＝35192.答案：351929．已知电路中有4个开关，每个开关独立工作，且闭合的概率为12，求灯亮的概率．解：因为A ，B 断开且C ，D 至少有一个断开时，线路才断开，导致灯不亮，P ＝P (A －B －)[1－P (CD )]＝P (A －)P (B －)·[1－P (CD )]＝12×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×12＝316.所以灯亮的概率为1－316＝1316.10．有三种产品，合格率分别是0.90，0.95和0.95，各抽取一件进行检验． (1)求恰有一件不合格的概率；(2)求至少有两件不合格的概率(精确到0.001)．解：设从三种产品中各抽取一件，抽到合格品的事件为A 、B 、C . (1)因为P (A )＝0.90，P (B )＝P (C )＝0.95， 所以P (A －)＝0.10，P (B －)＝P (C －)＝0.05.因为事件A 、B 、C 相互独立，恰有一件不合格的概率为：P (A ·B ·C －)＋P (A ·B －·C )＋P (A －·B ·C )＝P (A )·P (B )·P (C －)＋P (A )·P (B －)·P (C )＋P (A －)·P (B )·P (C )＝2×0.90×0.95×0.05＋0.10×0.95×0.95≈0.176.(2)法一：至少有两件不合格的概率为P (A ·B －·C －)＋P (A －·B ·C －)＋P (A ·B －·C －)＋P (A －·B －·C －)＝0.90×0.052＋2×0.10×0.05×0.95＋0.10×0.052＝0.012.法二：三件产品都合格的概率为P (A ·B ·C ) ＝P (A )·P (B )·P (C )＝0.90×0.952≈0.812.由(1)知，恰有一件不合格的概率为0.176，所以至少有两件不合格的概率为1－[P (A ·B ·C )＋0.176]＝1－(0.812＋0.176)＝0.012.[B 能力提升]11．从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，从两袋各摸出一个球，则23等于( )A ．2个球不都是红球的概率B ．2个球都是红球的概率C ．2个球至少有1个红球的概率D ．2个球中恰有1个红球的概率解析：选C.分别记从甲、乙袋中摸出一个红球为事件A 、B ，则P (A )＝13，P (B )＝12，由于A 、B 相互独立，所以1－P (A －)P (B －)＝1－23×12＝23.根据互斥事件可知C 正确．12．加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为170、169、168，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为________．解析：设加工出来的零件为次品为事件A ，则A 为加工出来的零件为正品． P (A )＝1－P (A －)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－170⎝ ⎛⎭⎪⎫1－169⎝ ⎛⎭⎪⎫1－168＝370.答案：37013．在社会主义新农村建设中，某市决定在一个乡镇投资农产品加工，绿色蔬菜种植和水果种植三个项目，据预测，三个项目成功的概率分别为45，56，23，且三个项目是否成功互相独立．(1)求恰有两个项目成功的概率； (2)求至少有一个项目成功的概率．解：(1)只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目成功的概率为45×56×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝29，只有农产品加工和水果种植两个项目成功的概率为 45×⎝⎛⎭⎪⎫1－56×23＝445，只有绿色蔬菜种植和水果种植两个项目成功的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－45×56×23＝19，所以恰有两个项目成功的概率为29＋445＋19＝1945. (2)三个项目全部失败的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－56×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝190， 所以至少有一个项目成功的概率为1－190＝8990. [C 拓展探究]14．某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案．方案一：在三门课程中，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别为a 、b 、c ，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．(1)分别求应聘者用方案一和方案二时，考试通过的概率；(2)试比较应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小(说明理由)．解：记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A 、B 、C ，则P (A )＝a ，P (B )＝b ，P (C )＝c .(1)应聘者用方案一考试通过的概率P 1＝P (A ·B ·C －)＋P (A －·B ·C )＋P (A ·B －·C )＋P (A ·B ·C )＝ab (1－c )＋bc (1－a )＋ac (1－b )＋abc ＝ab ＋bc ＋ca －2abc ，应聘者用方案二考试通过的概率为P 2＝13P (A ·B )＋13P (B ·C )＋13P (A ·C )＝13(ab ＋bc ＋ca )；(2)因为a 、b 、c ∈[0，1]，所以P 1－P 2＝23(ab ＋bc ＋ca )－2abc ＝23[ab (1－c )＋bc (1－a )＋ac (1－b )]≥0，故P 1≥P 2.即采用第一种方案，该应聘者通过的概率大．。
高中数学第五章统计与概率5.3概率5.3.5随机事件的独立性教学1b高一必修第二册数学
2．坛中有黑、白两种颜色的球，从中进行有放回地摸球，用A1
表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，则A1与A2是( )
A．相互独立事件
B．不相互独立事件
C．互斥事件
D．对立事件
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3．甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球
(2)甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目
标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B(
)
A．相互独立但不互斥
B．互斥但不相互独立
C．相互独立且互斥
D．既不相互独立也不互斥
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相互独立事件同时发生的概率
【例2】 高二某同学语文、数学、英语三科的考试成绩在一次 考试中排名全班第一的概率：语文为0.9，数学为0.8，英语为0.85. 求：
所以 P(A)＝36＝12，P(B)＝26＝13，P(AB)＝16. 所以 P(AB)＝P(A)P(B)， 所以事件 A 与 B 相互独立．
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判断事件是否相互独立的方法 1定义法：事件A，B相互独立⇔PAB＝PA·PB. 2直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互 影响.
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1．(1)下列事件中，A，B是相互独立事件的是(
)
A．一枚硬币掷两次，A＝“第一次为正面”，B＝“第二次为
反面”
B．袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸两球，A＝“第一次摸
到白球”，B＝“第二次摸到白球”
C．掷一枚骰子，A＝“出现点数为奇数”，B＝“出现点数为 偶数”
D．A＝“人能活到20岁”，B＝“人能活到50岁”
人教B版(2019)高中数学必修第二册 第五章统计与概率5.3.4频率与概率同步习题(含答案)
5.3.4 频率与概率知识点一频率与概率1．在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为mn，当n很大时，P(A)与mn的关系是( )A．P(A)≈mnB．P(A)<mnC．P(A)>mnD．P(A)＝mn2．某企业生产的乒乓球被某乒乓球训练基地指定为训练专用球．日前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检测结果如下表所示：抽取球数n 5010020050010002000 优等品数m 45921944709541902优等品频率m n(2)从这批乒乓球产品中任取一个，估计其为优等品的概率是多少？(结果保留到小数点后三位)3．某市统计近几年新生儿出生数及其中男婴数(单位：人)如下：时间2016年2017年2018年2019年出生婴儿数21840230702009419982 出生男婴数11453120311029710242(2)该市男婴出生的概率约为多少？知识点二对概率的正确理解4．下列说法正确的是( )A．甲、乙二人比赛，甲胜的概率为35，则比赛5场，甲胜3场B．某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈C．随机试验的频率与概率相等D．天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是90%5．围棋盒里放有同样大小的9枚白棋子和1枚黑棋子，每次从中随机摸出1枚棋子后再放回，一共摸10次，你认为一定有一次会摸到黑棋子吗？说明你的理由．知识点三用频率估计概率6．从某校高二年级的所有学生中，随机抽取20人，测得他们的身高(单位：cm)分别为：162,153,148,154,165,168,172,171,173,150，151,152,160,165,164,179,149,158,159,175.根据样本频率分布估计总体分布的原理，在该校高二年级的所有学生中任抽一人，估计该生的身高在155.5～170.5 cm之间的概率约为( )A．25B．12C．23D．137．在检测一批相同规格共500 kg航空用耐热垫片的品质时，随机抽取了280片，检测到有5片非优质品，则这批垫片中非优质品约为( ) A．8.834 kg B．8.929 kgC．10 kg D．9.835 kg8．随着互联网的普及，网上购物已逐渐成为消费时尚，为了解消费者对网上购物的满意情况，某公司随机对4500名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答)，统计结果如下表：“满意”的概率是( )A．715B．25C．1115D．13159．某人捡到不规则形状的五面体石块，他在每个面上用数字1～5进行了标记，投掷100次，记录下落在桌面上的数字，得到如下频数表：10．某工厂为了节约用电，规定每天的用电量指标为1000度，按照上个月的用电记录，在30天中有12天的用电量超过指标，若这个月(按30天计)仍没有具体的节电措施，则该月的第一天用电量超过指标的概率约是________．11．对某批产品进行抽样检查，数据如下：抽查________件产品．12．某教授为了测试贫困地区和发达地区的同龄儿童的智力出了10个智力题，每个题10分，然后做了统计，统计结果如表：贫困地区到0.001)；(2)求两个地区参加测试的儿童得60分以上的概率．13．某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如表：赔付金额(元)01000200030004000 车辆数500130100150120(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．14．假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解它们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如图所示：(1)估计甲品牌产品寿命小于200 h的概率；(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200 h，试估计该产品是甲品牌的概率．15．近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，先随机抽取了该市三类垃圾箱总计1000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率；(2)试估计生活垃圾投放错误的概率；(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，其中a>0，a＋b＋c＝600.当数据a，b，c的方差s2最大时，写出a，b，c的值(结论不要求证明)，并求此时s2的值．：易错点一混淆概率与频率的概念把一枚质地均匀的硬币连续掷了1000次，其中有496次正面朝上，504次反面朝上，则可认为掷一次硬币正面朝上的概率为________．易错点二对用频率估计概率的方法理解不透致误已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________．一、单项选择题1．从一批电视机中随机抽出10台进行质检，其中有一台次品，下列说法正确的是( )A．次品率小于10% B．次品率大于10%C．次品率等于10% D．次品率接近10%2．某人将一枚硬币连抛10次，正面朝上的情形出现了6次，若用A表示正面朝上这一事件，则A的( )A．概率为35B．频率为35C．频率为6 D．概率接近0.63．从存放号码分别为1,2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如表：卡片号码12345678910 取到的次数101188610189119A．0.53 B．0.5C．0.47 D．0.374．若在同等条件下进行n次重复试验得到某个事件A发生的频率f(n)，则随着n的逐渐增大，有( )A．f(n)与某个常数相等B．f(n)与某个常数的差逐渐减小C．f(n)与某个常数的差的绝对值逐渐减小D．f(n)在某个常数的附近摆动并趋于稳定5．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上为一等品，在区间[15,20)和[25,30)上为二等品，在区间[10,15)和[30,35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是( )A．0.09 B．0.20C．0.25 D．0.456．某厂生产的电器是家电下乡政府补贴的指定品牌，其产品是优等品的概率为90%，现从该厂生产的产品中任意地抽取10件进行检验，结果前9件产品中有8件是优等品，1件是非优等品，那么第10件产品是优等品的概率为( ) A．90% B．小于90%C．大于90% D．无法确定7．有下列说法：①抛掷硬币出现正面向上的概率为0.5，那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上；②如果某种彩票的中奖概率为110，那么买10张这种彩票一定能中奖；③在乒乓球、排球等比赛中，裁判通过上抛均匀塑料圆板并让运动员猜着地时是正面还是反面来决定哪一方先发球，这样做不公平；④一个骰子掷一次得到点数2的概率是16，这说明一个骰子掷6次会出现一次点数2.其中不正确的说法是( )A．①②③④ B．①②④C．③④ D．③8．某市交警部门在调查一起车祸过程中，所有的目击证人都指证肇事车是一辆普通桑塔纳出租车，但由于天黑，均未看清该车的车牌号码及颜色，而该市有两家出租车公司，其中甲公司有100辆桑塔纳出租车，3000辆帕萨特出租车，乙公司有3000辆桑塔纳出租车，100辆帕萨特出租车．交警部门应先调查哪家公司的车辆较合理？( )A．甲公司B．乙公司C．甲与乙公司D．以上都对二、多项选择题9．下列说法中，正确的有( )A．频率是反映事件发生的频繁程度，概率是反映事件发生的可能性大小B．百分率是频率，但不是概率C．频率是不能脱离试验次数n的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值D．频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值10．下列说法正确的是( )A．事件A的概率为P(A)，必有0≤P(A)≤1B．事件A的概率P(A)＝0.999，则事件A是必然事件C．用某种药物对患有胃溃疡的500名病人进行治疗，结果有380人有明显的疗效．现有胃溃疡的病人服用此药，则估计有明显疗效的概率约为76% D．某奖券的中奖率为50%，则某人购买此奖券10张，一定有5张中奖11．李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学，下表是李老师这门课3年来学生的考试成绩(取整数)分布：法正确的是( )A．估计她得90分以上(含90分)的概率约为0.067B．估计她得60～69分的概率约为0.150C．估计她得60分以上(含60分)的概率约为0.982D．估计她得59分以下(含59分)的概率约为0.10812．某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买，则下列说法正确的是( )B．估计顾客同时购买乙和丙的概率为0.2C．估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率为0.4D．如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中的丙的可能性最大三、填空题13．一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率，公司收集了20000辆汽车的数据，时间是从某年的5月1日到下一年的4月30日，共发现有600辆汽车的挡风玻璃破碎，则一辆汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率的近似值是________．14．一个容量为20的样本，数据的分组及各组的频数如下：[10,20)2个；[20,30)3个；[30,40)x个；[40,50)5个；[50,60)4个；[60,70]2个．则x等于________；根据样本的频率估计概率，数据落在[10,50)的概率约为________．15．玲玲和倩倩是一对好朋友，她俩都想去观看某明星的演唱会，可手里只有一张票，怎么办呢？玲玲对倩倩说：“我向空中抛2枚同样的一元硬币，如果落地后一正一反，就我去；如果落地后两面一样，就你去！”你认为这个游戏公平吗？答：________.16．某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获收益12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是去年200例类似项目开发的实施结果．四、解答题17．电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；(2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化，假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论)18．某中学从参加高一年级上学期期末考试的学生中抽出60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后画出如图所示的频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：(1)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)；(2)从该校高一年级随机选取一名学生，估计这名学生该次期末考试成绩在70分以上(包括70分)的概率．19．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40) 天数21636257 4(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．20．甲、乙两台机床同时生产一种零件，其质量按测试指标划分：指标大于或等于100为优品，大于等于90且小于100为合格品，小于90为次品，现随机抽取这两台机床生产的零件各100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标[85,90)[90,95)[95,100)[100,105)[105,110)甲机床81240328 乙机床7184029 6(2)甲机床生产1件零件，若是优品可盈利160元，合格品可盈利100元，次品则亏损20，假设甲机床某天生产50零件，请估计甲机床该天的日利润(单位：元)；(3)从甲、乙机床生产的零件指标在[90,95)内的零件中，采用分层随机抽样的方法抽取5件，从这5件中任意抽取2件进行质量分析，求这2件都是乙机床生产的概率．5.3.4 频率与概率知识点一频率与概率1．在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为mn，当n很大时，P(A)与mn的关系是( )A．P(A)≈mnB．P(A)<mnC．P(A)>mnD．P(A)＝mn答案 A解析根据概率的定义，当n很大时，频率是概率的近似值．2．某企业生产的乒乓球被某乒乓球训练基地指定为训练专用球．日前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检测结果如下表所示：抽取球数n 5010020050010002000 优等品数m 45921944709541902优等品频率m n(2)从这批乒乓球产品中任取一个，估计其为优等品的概率是多少？(结果保留到小数点后三位)解(1)表中乒乓球为优等品的频率依次是0.900,0.920,0.970,0.940,0.954,0.951.(2)由(1)知，随着抽取的球数n的增加，计算得到的频率值虽然不同，但都在常数0.950的附近摆动，所以任意抽取一个乒乓球检测时，其为优等品的概率约为0.950.3．某市统计近几年新生儿出生数及其中男婴数(单位：人)如下：(2)该市男婴出生的概率约为多少？解(1)2016年男婴出生的频率为1145321840≈0.524.同理可求得2017年、2018年和2019年男婴出生的频率分别为0.521,0.512,0.513.(2)该市男婴出生的概率约为0.52.知识点二对概率的正确理解4．下列说法正确的是( )A．甲、乙二人比赛，甲胜的概率为35，则比赛5场，甲胜3场B．某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈C．随机试验的频率与概率相等D．天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是90%答案 D解析A中，此概率只说明发生的可能性大小，具有随机性，并非一定是比赛5场甲胜3场；B中，此治愈率只说明发生的可能性大小，具有随机性，并非10个病人一定有1人治愈；C中，随机试验的频率可以估计概率，并不等于概率；D中，概率为90%，即可能性是90%.故选D.5．围棋盒里放有同样大小的9枚白棋子和1枚黑棋子，每次从中随机摸出1枚棋子后再放回，一共摸10次，你认为一定有一次会摸到黑棋子吗？说明你的理由．解不一定．有放回地摸10次棋子相当于做10次重复试验，因为每次试验的结果都是随机的，所以摸10次棋子的结果也是随机的．可能有两次或两次以上摸到黑棋子，也可能没有一次摸到黑棋子．知识点三用频率估计概率6．从某校高二年级的所有学生中，随机抽取20人，测得他们的身高(单位：cm)分别为：162,153,148,154,165,168,172,171,173,150，151,152,160,165,164,179,149,158,159,175.根据样本频率分布估计总体分布的原理，在该校高二年级的所有学生中任抽一人，估计该生的身高在155.5～170.5 cm之间的概率约为( )A．25B．12C．23D．13答案 A解析从已知数据可以看出，在随机抽取的这20名学生中，身高在155.5～170.5 cm之间的学生有8人，频率为25，故可估计在该校高二年级的所有学生中任抽一人，其身高在155.5～170.5 cm之间的概率约为2 5 .7．在检测一批相同规格共500 kg航空用耐热垫片的品质时，随机抽取了280片，检测到有5片非优质品，则这批垫片中非优质品约为( ) A．8.834 kg B．8.929 kgC．10 kg D．9.835 kg答案 B解析由题意可得，该批垫片中非优质品约为5280×500≈8.929 kg.8．随着互联网的普及，网上购物已逐渐成为消费时尚，为了解消费者对网上购物的满意情况，某公司随机对4500名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答)，统计结果如下表：满意情况不满意比较满意满意非常满意人数200n 21001000 “满意”的概率是( )A．715B．25C．1115D．1315答案 C解析由题意，得n＝4500－200－2100－1000＝1200，所以随机调查的网上购物消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的总人数为1200＋2100＝3300，所以随机调查的网上购物消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的频率为33004500＝1115.由此估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为1115.故选C．9．某人捡到不规则形状的五面体石块，他在每个面上用数字1～5进行了标记，投掷100次，记录下落在桌面上的数字，得到如下频数表：落在桌面的数字1234 5 频数3218151322答案0.35解析落在桌面的数字不小于4，即4,5的频数共13＋22＝35，所以频率为35100＝0.35，所以估计落在桌面的数字不小于4的概率约为0.35.10．某工厂为了节约用电，规定每天的用电量指标为1000度，按照上个月的用电记录，在30天中有12天的用电量超过指标，若这个月(按30天计)仍没有具体的节电措施，则该月的第一天用电量超过指标的概率约是________．答案0.4解析由频率的定义可知用电量超过指标的频率为1230＝0.4，由频率估计概率，知第一天用电量超过指标的概率约是0.4.11．对某批产品进行抽样检查，数据如下：抽查________件产品．答案1000解析根据题表中数据可知合格品出现的频率依次为0.94,0.92,0.96,0.95,0.95，故合格品出现的概率约为0.95，因此要从该批产品中抽到950件合格品大约需要抽查1000件产品．12．某教授为了测试贫困地区和发达地区的同龄儿童的智力出了10个智力题，每个题10分，然后做了统计，统计结果如表：贫困地区到0.001)；(2)求两个地区参加测试的儿童得60分以上的概率．解(1)贫困地区的频率分别逐渐趋近于0.5和0.55.故所求概率分别为0.5和0.55.13．某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如表：(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．解(1)设A表示事件“赔付金额为3000元”，B表示事件“赔付金额为4000元”，样本车辆总数n＝500＋130＋100＋150＋120＝1000，以频率估计概率得P(A)＝1501000＝0.15，P(B)＝1201000＝0.12.由于投保金额为2800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3000元或4000元，所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000＝100辆，而赔付金额为4000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24辆．所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为24100＝0.24，由频率估计概率，得P(C)＝0.24.14．假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解它们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如图所示：(1)估计甲品牌产品寿命小于200 h的概率；(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200 h，试估计该产品是甲品牌的概率．解(1)甲品牌产品寿命小于200 h的频率为5＋20100＝14，用频率估计概率，所以甲品牌产品寿命小于200 h的概率为1 4 .(2)根据抽样结果，寿命大于200 h的产品共有75＋70＝145个，其中甲品牌产品有75个，所以在样本中，寿命大于200 h的产品是甲品牌的频率是75145＝1529，用频率估计概率，所以已使用了200 h的该产品是甲品牌的概率为15 29.15．近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，先随机抽取了该市三类垃圾箱总计1000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060(2)试估计生活垃圾投放错误的概率；(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，其中a>0，a＋b＋c＝600.当数据a，b，c的方差s2最大时，写出a，b，c的值(结论不要求证明)，并求此时s2的值．求：错误!解(1)由题意可知，厨余垃圾600吨，投放到“厨余垃圾”箱400吨，故厨余垃圾投放正确的概率为400600＝23.(2)由题意可知，生活垃圾投放错误有200＋60＋20＋20＝300，故生活垃圾投放错误的概率为3001000＝3 10.(3)由题意可知，∵a＋b＋c＝600，∴a，b，c的平均数为200，∴s2＝13[(a－200)2＋(b－200)2＋(c－200)2]＝13(a2＋b2＋c2－120000)，∵(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac≥a2＋b2＋c2，因此有当a＝600，b＝0，c ＝0时，有s2＝80000.易错点一混淆概率与频率的概念把一枚质地均匀的硬币连续掷了1000次，其中有496次正面朝上，504次反面朝上，则可认为掷一次硬币正面朝上的概率为________．易错分析由于混淆了概率与频率的概念而致误，事实上频率是随机的，而概率是一个确定的常数，与每次试验无关．答案0.5正解通过做大量的试验可以发现，正面朝上的频率都在0.5附近摆动，故掷一次硬币，正面朝上的概率是0.5，故填0.5.易错点二对用频率估计概率的方法理解不透致误已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________．易错分析(1)对随机数表认识不到位，不能准确找出恰有两次命中的组数；(2)对用频率估计概率的方法理解不到位，不能求出“运动员三次投篮恰有两次命中”的概率．答案1 4正解20组随机数中，恰有两次命中的有5组，用频率估计概率，因此，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为P＝520＝14.一、单项选择题1．从一批电视机中随机抽出10台进行质检，其中有一台次品，下列说法正确的是( )A．次品率小于10% B．次品率大于10%C．次品率等于10% D．次品率接近10%答案 D解析抽出的样本中次品率为110，即10%，所以总体中次品率大约为10%.2．某人将一枚硬币连抛10次，正面朝上的情形出现了6次，若用A表示正面朝上这一事件，则A的( )A．概率为35B．频率为35C．频率为6 D．概率接近0.6 答案 B解析因为抛了10次硬币，正面朝上的情形出现了6次，我们说频率为3 5，而不能说概率为35.3．从存放号码分别为1,2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如表：卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到的次数101188610189119A ．0.53B ．0.5C ．0.47D ．0.37答案 A解析 取到号码为奇数的次数为10＋8＋6＋18＋11＝53，所以f ＝53100＝0.53，所以估计取到号码为奇数的概率约为0.53.4．若在同等条件下进行n 次重复试验得到某个事件A 发生的频率f (n )，则随着n 的逐渐增大，有( )A ．f (n )与某个常数相等B ．f (n )与某个常数的差逐渐减小C ．f (n )与某个常数的差的绝对值逐渐减小D ．f (n )在某个常数的附近摆动并趋于稳定 答案 D解析 由频率和概率的关系知，在同等条件下进行n 次重复试验得到某个事件A 发生的频率f (n )，随着n 的逐渐增加，频率f (n )逐渐趋近于概率．5．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上为一等品，在区间[15,20)和[25,30)上为二等品，在区间[10,15)和[30,35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是( )A．0.09 B．0.20C．0.25 D．0.45答案 D解析由频率分布直方图的性质可知，样本数据在区间[25,30)上的频率为1－5×(0.02＋0.04＋0.06＋0.03)＝0.25，则二等品的频率为0.25＋0.04×5＝0.45，故任取1件产品为二等品的概率为0.45.6．某厂生产的电器是家电下乡政府补贴的指定品牌，其产品是优等品的概率为90%，现从该厂生产的产品中任意地抽取10件进行检验，结果前9件产品中有8件是优等品，1件是非优等品，那么第10件产品是优等品的概率为( ) A．90% B．小于90%C．大于90% D．无法确定答案 A解析概率是一个确定的常数，在试验前已经确定，与试验次数无关．故选A．7．有下列说法：①抛掷硬币出现正面向上的概率为0.5，那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上；②如果某种彩票的中奖概率为110，那么买10张这种彩票一定能中奖；③在乒乓球、排球等比赛中，裁判通过上抛均匀塑料圆板并让运动员猜着地时是正面还是反面来决定哪一方先发球，这样做不公平；④一个骰子掷一次得到点数2的概率是16，这说明一个骰子掷6次会出现一次点数2.其中不正确的说法是( )A．①②③④ B．①②④C．③④ D．③答案 A解析概率反映的是随机性的规律，但每次试验出现的结果具有不确定性，因此①②④错误；③中抛掷均匀塑料圆板出现正面与反面的概率相等，是公平的，因此③错误．8．某市交警部门在调查一起车祸过程中，所有的目击证人都指证肇事车是一辆普通桑塔纳出租车，但由于天黑，均未看清该车的车牌号码及颜色，而该市有。
2019_2020学年新教材高中数学第5章统计与概率5.3.3古典概型课时21古典概型练习含解析新人教b版必修第二册
课时21 古典概型知识点一样本点个数的计算错误！未指定书签。
1.一个家庭有两个小孩，对于性别，则所有的样本点是( )A．(男，女)，(男，男)，(女，女)B．(男，女)，(女，男)C．(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)D．(男，男)，(女，女)答案 C解析把第一个孩子的性别写在前边，第二个孩子的性别写在后边，则所有的样本点是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)．故选C.2．做试验“从0,1,2这3个数字中，不放回地取两次，每次取一个，构成有序数对(x，y)，x为第1次取到的数字，y为第2次取到的数字”．(1)写出这个试验的样本空间；(2)求出这个试验的样本点的总数；(3)写出“第1次取出的数字是2”这一事件包含的样本点．解(1)这个试验的样本空间Ω＝{(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,2)，(2,0)，(2,1)}．(2)样本点的总数为6.(3)“第1次取出的数字是2”包含以下2个样本点：(2,0)，(2,1)．知识点二古典概型的判断错误！未指定书签。
3.下列问题中是古典概型的是( )A．种下一粒杨树种子，求其能长成大树的概率B．掷一个质地不均匀的骰子，求出现1点的概率C．在区间[1,4]上任取一个数，求这个数大于1.5的概率D．同时掷两个质地均匀的骰子，求向上的点数之和是5的概率答案 D解析A，B两项中的样本点的发生不是等可能的；C项中样本点的总数是无限的；D项中每个样本点的发生是等可能的，且样本点总数有限．故选D.4．下列概率模型：①在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点；②某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环；③某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲；④一只使用中的灯泡的寿命长短；⑤中秋节前夕，某市工商部门调查辖区内某品牌的月饼质量，给该品牌月饼评“优”或“差”．其中属于古典概型的是________．答案③解析①不属于，原因是所有横坐标和纵坐标都是整数的点有无限多个，不满足有限性；②不属于，原因是命中0环，1环，…，10环的概率不一定相同，不满足等可能性；③属于，原因是满足有限性，且任选1人与学生的性别无关，是等可能的；④不属于，原因是灯泡的寿命是任何一个非负实数，有无限多种可能，不满足有限性；⑤不属于，原因是该品牌月饼被评为“优”或“差”的概率不一定相同，不满足等可能性．知识点三古典概型概率的计算错误！未指定书签。
概率统计习题5.3
&5.3 统计量及其分布习题与解答5.31.在一本书上我们随机地检查了 10页，发现每页上的错误数为 4560314214试计算其样本均值，样本方差和样本标准差 解样本均值又=；二—^亠3. 样本方差 sX j - x ■ 4 - 34 - 3 二3-78,n -1 y 19 _样本标准差s 二 s 2 =1.94. 2证明:对任意常数c,d 有nn'X j - c y j - d ]_ I * - x yn X- c Y- d .j 1j z!nn_n_送(X _c )(y j_d )=Z (X j_X+X-c )(y j _Y + y _ d )=送(X j -X )( y )+i 1 八j =1j =1八n_nn_迟(X -c jt yj _ y )+迟(Xj -X )( yj -d ) + 瓦(X -c )( y-d ),j 1 j j 二 jj mnn_由一 i X j —X i ； = 0〕 y — y ：U 0,得j=1imnn__'X —c y j —d ! _ iX j —X y j— y n X-c y — d ,j 1j *因而结论成立.3.设X 1,..., X n和％,..., y n 是两组样本观测值，且有如下关系: y=3X j -4, i=1,2.., n,试求样本均值X 和y 间的关系以及样本方差 S X 和Sy 的关系.1 n-1 n..八y Y i 3X j - 4 =n i 42 11E 3x i 4 3x+4n—lJXj-X 化因而得y二3x-4与 2 2S厂9S x4•记xn+1n -1X n d -X n,n =1,2.…,证明SnS n 1J X i(X i -x nx+xnILn +1X(X i -X n )n +^1 ■X n+1)n+1 n+1(X i -X n+1 n+1 n+1X i 「X -X n+1 )2n+1 n+1 (X n+1 -X n) -4 二3x-4,3/X in y21 nX n+1 -*n (n +1 丿n-11 n_ 21 _ 2(X i -X n ) X n+1 -X nn n -1 ijn 11 - 2I.X n +1 - X nn 15•从同一总体中抽取两个容量分别为 n,m 的样本,样本均值分别为X 1,X 2,样本方差分别为s 2,s ；,将两组样本合并，其均值力差分别为2x,s ,证明:-mx 2 x 二 2 222(n - 1)s (m-1)s 2 nm(X [-x 2)s 二证设取自同一总体的两个样本为X 11 , X 12，...，X in ； X 21，X22，…，X 2m .由x ；'1代…NnX^ %…B 得x 11 ... ■ x 1n x 21x 22 …x 2mmx 21 n— — - 2.-- ---- —[Z (X [i — X [ + X [— X ) +》(X 2i 一 X 2 * X 2 — x)]1 ° — — —2 ----------------------------------------------------------------------- ------------------- - 2[£ (冷一人)+n(x 〔—x) +瓦(X? —X 2)+m(x 2 -x)i An^ mx 2 221 2S n 1(X i -X n )-n i J i _ 2X n+1 -X n由s 2亠' (N i -为)22n -1 y,S 21佑“2m -1 id1(X 1i -x)2-n m -1 y(X 2i -X )]nx-i mx 2)m(X 22 1 n 二(n - 1)s2 (m -1)S22. n(X1n m 'n m -1_ (n - 1)s2 (m-g2 . nm(% -x2)6.设有容量为n 的样本A,它的样本均值为X A ,样本标准差为S A ,样本 极差为R A ,样本中位数为口人•现对样本中每一个观测值施行如下变换ax b ，如此得到样本B,试写出样本B 的均值，标准差极差和中位 数.解 不妨设样本A 为：x 1,x 2,...,x^：?,样本B 为:y 1,y 2,...,y 」,且 ax +b,i=1,2，…，n,— y 〔 y 2 …ynax 1 b ax 2 b …ax n by B ax A b,s B = —(y j _ yB )2= —(ax b _ ax _ b)2 = a 2s A ,n - 1 yn -1 i因而 S B = |a s A.R B 二 y (n )- y (1)= ax (n ) b- ax ⑴- b = a(x (n^ x (“)= aR a ,y 口 , n 为奇数, (_T )1 2(ax nb, n 为奇数（）1-(ax n b ax n b), n 为偶数S 2 =(% _x)2 (x 2 - x)2 =(%证：2 22二(X 1 -X 2) . (X 2 - X 1)_ (X 1 -X 2)=a m Ab7•证明溶量为2的样本X I ,212X 2的方差为T )2© —于 2 2X i X 2\28.设X i ,…,X n 是来自U (一1,1)的样本，试求E(X)和Var (x) 解 均匀分布的均值和方差分别为0和1/3,该样本容量为n,1 因而得 E x 二 0,Var x , 3n9.设总体二阶矩存在 X i ,..., X n 是样本，证明X-X 也X j- X (iH j)的相 关系数为-(n-1)'对次你能够给予解释吗？ 2,则 p —XrCov(“X j X)Jvar(X j -x)Jvar(X j -x)由 Cov(X j - x, X j - x) = Cov(x ,X j )-Cov(x ,x) - Cov(X j,x) + Cov(x, x)--a 2由于，Cov(X i,X j )二 0,Cov(x,x),n1 n.， Cov(x i ,x) = Cov(x j ,x) = Cov(x ix i )= 一 n im nVar(x - x) = Var(X j - x) = Var(X [ - x)“j—"22(n ® 2n n(n -1Xn所以订X i -x,X j -x) — (n -1)_1n__由于v (X i - x^ 0 ,故其中任意一个偏差X i - x 的增加,都会使另一i 三 个偏差X j -X 减少的机会增加，因而两者的相关系数为负.10.利用切比雪夫不等式求抛均匀硬币多少次才能使正面朝上的频率证不妨设总体的方差为因而 Cov(x - x,X j -x)落在（0.4,0.6）间的概率至少为0.9.如何才能更精确地计算这个次数？是 多少？ 解 均匀硬币正面朝上的概率p=0.5,设X n 为n 次抛硬币中正面朝上的 次数，则有X nD b n 据题意选取次数n 应满足X np （0.4 — 0.6） — 0.9n此式等价于p （X n - 0.5n a 0.1n ）£ 0.1 ,利用切比雪夫不等式估计上25 再由不等式 0.1可得粗糙的估计n- 250.即抛均匀硬币250次n后可满足要求.事实上，利用x 的渐近正态性可以得到更精确的结论.由中心极限定理 知样本均值 X = ',vn （x —0.5）/J0.5江 0.5[ N （0,1）,故nP （0.4 x 0.6）= P （d x — 0.5/0.5 匸/5） = 2 （冷/5） T - 0.9,即门（jn/5） 一0.95,故行/5一 1.645这就给出较精确的上界 n 启（5況1.645），这表明只需抛均匀硬币68次就可满足要求.两 个结果差异很大，说明切比雪夫不等式是一个较为粗糙的不等式，在能 够使用大样本结果的情况下应尽量使用中心极限定理 .11.从指数总体Exp （1厂）抽取了 40个样品试求X 的渐近分布. 解 由于指数总体Exp （1八）的均值为二，方差为二2,于是x 的渐近分（日2、布为N.12. 设X i ，...,x 25是从均匀分布U (o,5)抽取的样本，试求样本均值x 的式左端概率的上界 p( x^ -0.5n 色 0.1 n)兰 n 0.5(1-0.5) (0.1 n)225n渐近分布.解均匀分布U (0,5)的均值和方差分别为5/2和25/12,样本容量为25, 因而样本均值X的渐近分布为N12 12 丿13. 设X i,..., X20是从二点分布b(1,p)抽取的样本，试求样本均值x 的渐近分布.解二点分布b(1,p)的均值和方差分别为p和p(1-p),样本容量为20, 因而样本均值X的渐近分布为N '' P,卫生PI 20丿14•设X1,…，X8是从正态总体N 10,9中抽取的样本，试求样本均值x 的标准差.解来自正态分布的样本均值仍服从正态分布，均值保持不变，方差为原来方差的1/n,此处总体方差为9，样本容量为8，因而Va「X二9/8的标准差为3,2/4 = 1.06.15. 切尾均值也是一个常用的反映样本数据的特征量，其想法是将数据的两端的值舍去，而剩下的当中的值来计算样本均值，其计算公式X」1厂X(h：」2厂…心_*])(h：是X 書乔,其中0： 1 /2是切尾系数，M)岂人刀乞…乞X(n)是有序样本。
概率论与数理统计(经管类)第五章课后习题答案
E X |
7.5 .
E X |
7.5
D X .
.
0.44
2. 在每次实验中,事件 A 发生的概率为 0.5.利用切比雪夫不等式估计,在 1000 次独立实验中,事件 A 发 生的次数在 400~600 之间的概率. 解:用 X 表示事件 A 发生的次数,它服从 n=1000,p=0.5 的二项分布. 则 E(X)=np=1000*0.5=500, D(X)=npq=1000*0.5*0.5=250 P 400 600 P |X 10
2.387 P X 6 2.387 10 6 2.387 1 Φ 10 6 2.387 1 Φ 1.68 0.0465
np P
1000 0.005
5, npq
2.23
X X 5 7 5 0.007 PX 7 P Φ 0.90 0.8159 1000 2.23 2.23 4. 在抛硬币的实验中,至少抛多少次,才能是正面出现的频率落在(0.4,0.6)区间的概率不小于 0.9? 解:用 X 表示 n 次试验中出现正面的次数, 则 X~B(120, ), np P 0.4 0.5n, npq X n 0.6 0.6 0.5n X 0.5n √n 2 √n 5 0.9 0.9505 0.6n 0.5n √n , 2
A. N 2,4 B. N 2, 解: E Z
∑
E x
2n
2
D Z
1 n
1 n2
n
n
E xi
i 1
1 n2 4 n
4n
4
n
故Zn
二,填空题
2020年高中数学必修第二册“统计与概率”讲义精练：第五章 5.3 5.3.2(人教B版)
5.3.2事件之间的关系与运算(教师独具内容)课程标准：1.了解随机事件的并、交、互斥与对立的含义，能结合实例进行随机事件的并、交运算.2.通过实例，理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则.教学重点：事件的关系和运算，互斥事件、对立事件的概念，用概率的性质求事件的概率.教学难点：区别互斥事件和对立事件，事件的混合运算.知识点错误!未指定书签。
一事件的包含(1)一般地，如果事件A发生时，事件B一定发生，则称“□01A包含于□02 B”(或“□03B包含□04A”)，记作□05A⊆B(或□06B⊇A)，这一关系可用下图表示．(2)□07A⊆B也可用充分必要的语言表述为：A发生是B发生的□08充分条件，B发生是A发生的□09必要条件．(3)如果A⊆B，则P(A)□10≤P(B)．知识点错误!未指定书签。
二事件的相等(1)如果事件A发生时，事件B一定发生；而且事件B发生时，事件A也一定发生，则称“□01A与B相等”，记作□02A＝B.(2)A＝B⇔□03A⊆B且B⊆A.A＝B也可用充分必要的语言表述为：A发生是B发生的□04充要条件．(3)当A＝B时，有P(A□05＝P(B)．知识点错误!未指定书签。
三事件的和(并)(1)给定事件A，B，由所有A中的样本点与B中的样本点组成的事件称为□01 A与B的和(或并)，记作□02A＋B(或□03A∪B)．事件A与B的□04和可以用如图所示的阴影部分表示．(2)由定义可知：①事件A＋B发生时，当且仅当□05事件A与事件B中至少有一个发生；②A□06⊆(A＋B)且B□07⊆(A＋B)．因此，P(A)□08≤P(A＋B)且P(B)□09≤P(A＋B)，P(A＋B)□10≤P(A)＋P(B)．知识点错误!未指定书签。
四事件的积(交)(1)给定事件A，B，由A与B中的公共样本点组成的事件称为□01A与B的积(或□02交)，记作□03AB(或□04A∩B)．事件A与B的□05积可以用如图所示的阴影部分表示．(2)由定义可知：①事件AB发生时，当且仅当□06事件A与事件B都发生．②AB□07⊆A，AB□08⊆B.因此，P(AB)□09≤P(A)，P(AB)□10≤P(B)．知识点错误!未指定书签。
人教B版2019必修二 第五章 统计与概率 5.3概率专题训练
必修二 第五章 统计与概率 5.3概率专题训练学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1.同时投掷两枚大小完全相同的骰子，用(,)x y 表示出现的结果，其中,x y 分别为两枚骰子向上的点数，则该事件的所有结果种数为( )。
A.11B.22C.36D.662.在新一轮的高考改革中,一名高二学生在确定选修地理的情况下,想从历史、政治、化学、生物、物理中再选择两科学习,则所选的两科中一定有生物的概率是( ) A. 310 B. 710 C. 25 D. 353.从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数,则这两个数都是奇数的概率是( )A.0.1B.0.2C.0.3D.0.64.盒中有2个红色的变形金刚,2个白色的变形金刚,2个黑色的变形金刚,从里面任意取2个变形金刚,不是基本事件的为( )A.{恰好2个红色的变形金刚}B.{恰好2个黑色的变形金刚}C.{恰好2个白色的变形金刚}D.{至少1个红色的变形金刚}5.已知5件产品中有2件次品,其余为合格品,现从这5件产品中任取2件,恰有一件次品的概率为( )A.0.4B.0.6C.0.8D.16.某单位有老年人27人,中年人54人,青年人81人,为了调查他们的身体状况的某项指标,需从他们中间抽取一个容量为42的样本,则分别应抽取的老年人,中年人,青年人的人数为( )A.7.11.18B.6.12.18C.6.13.17D.7.14.217.己知一组样本数据12345,,,,x x x x x 恰好构成公差为5的等差数列，则这组数据的方差为（ ）A. 25B.50C.125D.2508.某单位有职工750人,其中青年职工350人,中年职工250人,老年职工150人,为了了解该单位职工的健康情况,用分层抽样的方法从中抽取样本.若样本中的中年职工为5人,则样本容量为( )A.7B.15C.25D.35 9.某人在打靶时，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的互斥事件是（ ）A. 2次都不中靶B. 2次都中靶C. 至多有1次中靶D. 只有1次中靶10.下列说法正确的是( ) A.对于事件一定是互斥事件,互斥事件不一定是对立事件B.,A B 同时发生的概率一定比,A B 中恰有一个发生的概率小C.若()()()1P A B P A P B ⋃=+=,则事件A 与B 是互斥非对立事件D.事件,A B 中至少有一个发生的概率一定比,A B 中恰有一个发生的概率大二、填空题11.某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类，某同学从中选修2门课程，则该同学恰好选中1文1理的概率为________.12.已知五条线段的长度分别为2,3,4,5,6,若从中任选三条,则能构成三角形的概率是__________.13.从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2名代表参加学校会议,则甲被选中的概率是__________.14.已知A,B,C三人分别在连续三天中值班,每人值班一天,那么A与B在相邻两天值班的概率为__________15.抛掷两颗均匀的骰子,已知在点数不同条件下,则两颗骰子的点数之积大于14的概率__________三、解答题16.甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为23.求：(1)甲恰好击中目标2次的概率；(2)乙至少击中目标2次的概率；(3)乙恰好比甲多击中目标2次的概率.17.从4名男生和3名女生中任选3人参加演讲比赛.1.求所选3人恰有一名女生的概率;2.求所选3人中至少有一名女生的概率.参考答案1.答案：C解析：在这个试验中，(1,2)和(2,1)应视为2种不同的结果，列表可知共有36种结果。
高中数学第五章统计与概率5.3概率5.3.3古典概型练习b高一必修第二册数学
概率为336＝112.故选 C.
12/13/2021
6．从分别写有 A、B、C、D、E 的 5 张卡片中任取 2 张，这 2
张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率为( B )
1
2
A.5
B.5
3
7
C.10
D.10
12/13/2021
解析：从 5 张卡片中任取 2 张，有下面 10 个样本点(A，B)，(A， C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)， (D，E)，其中字母顺序相邻的共有(A，B)(B，C)(C，D)(D，E)四个样 本点，故所求事件的概率为140＝25.
12/13/2021
8．某校有 A，B 两个学生食堂，若 a，b，c 三名学生各自随机选 3
择其中一个食堂用餐，则三人不在同一个食堂用餐的概率为 4 .
12/13/2021
解析：a，b，c 三名学生选择食堂的样本空间为 Ω＝{(A，A，A)， (A，A，B)，(A，B，A)，(B，A，A)，(A，B，B)，(B，A，B)，(B，B， A)，(B，B，B)}，样本点总数为 8，三人在同一食堂用餐的样本点有 (A，A，A)，(B，B，B)，共 2 个，所以“三人在同一食堂用餐”的概 率为28＝14，而“三人不在同一食堂用餐”与“三人在同一食堂用餐” 是对立事件，所以“三人不在同一食堂用餐”的概率为 1－14＝34.
(1)将黑球编号为黑 1，黑 2，黑 3，从装有 4 个球的口袋内摸出 2 个球，样本空间为 Ω＝{(黑 1，黑 2)，(黑 1，黑 3)，(黑 1，白)，(黑 2， 黑 3)，(黑 2，白)，(黑 3，白)}，其中共有 6 个样本点．
(2)事件“摸出 2 个黑球”＝{(黑 1，黑 2)，(黑 2，黑 3)，(黑 1，黑 3)}，共 3 个样本点．
概率论与数理统计5.3
α/ 2
2 χ1−α / 2 (2n)
α/ 2
2 χα / 2 (2n)
2n 2 2 P χ1−α / 2 (2n) < X < χ α / 2 ( 2n) = 1 − α θ
经不等式变形得
2 nX 2 nX P 2 <θ< 2 = 1− α χ1−α / 2 (2n) χ α / 2 ( 2 n)
均值μ 1. 均值μ的置信区间
(1) 方差 σ 2 已知的情形
由 例 5.12 可知，在 σ 2 己知时，µ 的 1 − α 置信区间为
σ σ X − u α / 2 ，X + uα / 2 n n
这样的置信区间可简写为
σ X ± uα / 2 n
P{ λ 1 < U < λ 2 } = 1 − α
(4) 利用不等式变形导出套住 θ 的置信区间( θ ，θ ) ,
那么(θ，θ )就是 θ 的一个置信水平为1 − α 的置信区间。
例 5.13
设 总体 X 服从指数分布，其概率 密度为
1 −x / θ e , x>0 f ( x; θ) = θ 0, 其它
例5.12 设总体 X ~ N(µ，σ ) ，σ 为已知，µ为未知。
2 2
( X 1 , L, X n )是来自总体 X 的样本，试求 µ 的1 − α 置
信区间。
解： 因为 X 为 µ 的最大似然估计，考虑 基于 X 的枢轴量
U=
X-µ σ/ n
~ N (0, 1)
对于事先给定的水平 (1 - α ) ，确定λ 1 和λ 2 ，使
2 χ1−α / 2 (n −1)
5.3.4_频率与概率练习(原卷版)
5.3.4频率与概率【基础练习】一、单选题1．某人将一枚质地均匀的硬币连续抛掷了10次，正面朝上的情形出现了7次，则下列说法正确的是（ ） A ．正面朝上的概率为0.7 B ．正面朝上的频率为0.7 C ．正面朝上的概率为7D ．正面朝上的概率接近于0.72．根据某教育研究机构的统计资料，在校学生近视的概率为40%，某眼镜商要到一中学给学生配眼镜，若已知该校学生总人数为1200，则该眼镜商应准备眼镜的数目为（ ） A ．460B ．480C ．不少于480D ．不多于4803．下列叙述错误的是（ ）A ．若事件A 发生的概率为()P A ，则0()1P A ≤≤B ．互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件C ．5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，则乙与甲中奖的可能性相同D ．某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的4．近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000t 生活垃圾．经分拣以后数据统计如下表（单位：t ）：根据样本估计本市生活垃圾投放情况，下列说法错误的是（ ）A ．厨余垃圾投放正确的概率为3B ．居民生活垃圾投放错误的概率为310C ．该市三类垃圾箱中投放正确的概率最高的是“可回收物”箱D ．厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量的方差为200005．“31N +猜想”是指对于每一个正整数n ,若n 为偶数,则让它变成2n;若n 为奇数,则让它变成31n +.如此循环,最终都会变成1,若数字45678、、、、按照以上的规则进行变换,则变换次数为偶数的频率是( ) A ．45B ．35C ．25D ．15二、填空题6．某单位招聘员工，有２００名应聘者参加笔试，随机抽查了其中２０名应聘者笔试试卷，统计他们的成绩如下表：若按笔试成绩择优录取４０名参加面试，由此可预测参加面试的分数线为 分7．对一批产品的长度（单位：mm ）进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图.根据标准，产品长度在区间[)20,25内的为一等品，在区间[)15,20或[)25,30内的为二等品，在区间[)10,15或[]30,35内的为三等品.用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则该件产品为二等品的概率为____________.8．在学校运动会开幕式上，100名学生组成一个方阵进行表演，他们按照性别（M （男）、F （女））及年级（1G （高一）、2G （高二）、3G （高三））分类统计的人数如下表：若从这100名学生中随机选一名学生，求下列概率：()P M =____________，()P F =____________，()P M F =____________，()P MF =____________，()1P G =____________，()2P MG =____________，()3P FG =____________三、解答题9．国家规定每年的7月1日以后的60天为当年的暑假.某钢琴培训机构对20位钢琴老师暑假一天的授课量进行了统计，如下表所示：培训机构专业人员统计近20年该校每年暑假60天的课时量情况如下表：（同组数据以这组数据的中间值作代表） （1）估计20位钢琴老师一日的授课量的平均数；（2）若以（1）中确定的平均数作为上述一天的授课量.已知当地授课价为200元/小时，每天的各类生活成本为80元/天；若不授课，不计成本，请依据往年的统计数据，估计一位钢琴老师60天暑假授课利润不少于2万元的概率.10．某工厂为生产一种标准长度为40cm 的精密器件，研发了一台生产该精密器件的车床，该精密器件的实际长度为acm ，“长度误差”为40a cm ，只要“长度误差”不超过0.03cm 就认为合格．已知这台车床分昼、夜两个独立批次生产，每天每批次各生产1000件．已知每件产品的成本为5元，每件合格品的利润为10元．在昼、夜两个批次生产的产品中分别随机抽取20件，检测其长度并绘制了如下茎叶图：（1）分别估计在昼、夜两个批次的产品中随机抽取一件产品为合格品的概率； （2）以上述样本的频率作为概率，求这台车床一天的总利润的平均值.【提升练习】1．下列说法正确的是（）A．甲、乙两人做游戏：甲、乙两人各写一个数字，若都是奇数或都是偶数则甲胜，否则乙胜，这个游戏公平B．做n次随机试验，事件A发生的频率就是事件A发生的概率C．某地发行福利彩票，回报率为47%，某人花了100元买该福利彩票，一定会有47元的回报D．有甲、乙两种报纸可供某人订阅，事件B“某人订阅甲报纸”是必然事件2．某位同学进行投球练习,连投了10次,恰好投进了8次.若用A表示“投进球”这一事件,则事件A发生的( )A．概率为45B．频率为45C．频率为8D．概率接近0.83．容量为100的样本数据，按从小到大的顺序分为8组，如下表：第三组的频数和频率分别是()A．14和0.14B．0.14和14C．和0.14D．和4．今年由于猪肉涨价太多，更多市民选择购买鸡肉、鸭肉、鱼肉等其它肉类.某天在市场中随机抽出100名市民调查，其中不买猪肉的人有30位，买了肉的人有90位，买猪肉且买其它肉的人共30位，则这一天该市只买猪肉的人数与全市人数的比值的估计值为____.5．为了解高中生上学使用手机情况，调查者进行了如下的随机调查：调查者向被调查者提出两个问题：（1）你的学号是奇数吗？（2）你上学时是否经常带手机？要求被调查者背对着调查人员抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一问题，否则就回答第二个问题.被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需回答“是”或“不是”，因为只有被调查者本人知道回答了哪一个问题，所以都如实地做了回答.结果被调查的800人（学号从1至800）中有260人回答了“是”.由此可以估计这800人中经常带手机上学的人数是_________．6．某公司制造两种电子设备：影片播放器和音乐播放器.在每天生产结束后，要对产品进行检测，故障的播放器会被移除进行修复. 下表显示各播放器每天制造的平均数量以及平均故障率.下面是关于公司每天生产量的叙述:①每天生产的播放器有三分之一是影片播放器；②在任何一批数量为100的影片播放器中，恰好有4个会是故障的；③如果从每天生产的音乐播放器中随机选取一个进行检测，此产品需要进行修复的概率是0.03.上面叙述正确的是___________.A B C D四所高中学校按各校人数分层抽样，7．在某区“创文明城区”（简称“创城”）活动中，教委对本区,,,随机抽查了100人，将调查情况进行整理后制成下表：（注：参与率是指：一所学校“创城”活动中参与的人数与被抽查人数的比值）假设每名高中学生是否参与”创城”活动是相互独立的.（1）若该区共2000名高中学生，估计A学校参与“创城”活动的人数；（2）在随机抽查的100名高中学生中，随机抽取1名学生，求恰好该生没有参与“创城”活动的概率；（3）在上表中从,B C两校没有参与“创城”活动的同学中随机抽取2人，求恰好,B C两校各有1人没有参与“创城”活动的概率是多少？8．一个游戏包含两个随机事件A 和B ，规定事件A 发生则甲获胜，事件B 发生则乙获胜.判断游戏是否公平的标准是事件A 和B 发生的概率是否相等.在游戏过程中甲发现：玩了10次时，双方各胜5次；但玩到1000次时，自己才胜300次，而乙却胜了700次.据此，甲认为游戏不公平，但乙认为游戏是公平的.你更支持谁的结论？为什么？9．在一个袋子中放6个白球，4个红球，揺匀后随机摸球3次，采用放回和不放回两种方式摸球.设事件i A =“第i 次摸到红球”，i =1，2，3.（1）在两种摸球方式下分别猜想事件123,,A A A 发生的概率的大小关系； （2）重复做10次试验，求事件123,,A A A 发生的频率，并填入下表.（3）在两种摸球方式下，第3次摸到红球的频率()103f A 差别大吗？在不放回摸球方式下，事件123,,A A A 的频率差别大吗？请说明原因.10．某市从高二年级随机选取1000名学生，统计他们选修物理、化学、生物、政治、历史和地理六门课程（前3门为理科课程，后3门为文科课程）的情况，得到如下统计表，其中“√”表示选课，“空白”表示未选．科目（Ⅰ）在这1000名学生中，从选修物理的学生中随机选取1人，求该学生选修政治的概率；（Ⅰ）在这1000名学生中，从选择方案一、二、三的学生中各选取2名学生，如果在这6名学生中随机选取2名，求这2名学生除选修物理以外另外两门选课中有相同科目的概率；（Ⅰ）利用表中数据估计该市选课偏文（即选修至少两门文科课程）的学生人数多还是偏理（即选修至少两门理科课程）的学生人数多，并说明理由.。
概率论与数理统计02-PPT5.3 依分布收敛的概念_49
进一步分析：
若X~B(n, p)进行标
准化处理后，其分布 函数有何趋势？
定义：设Xi，X2,…,Xn,…是随机变量序列，X为随机变量，和 F(x)分 别是％和X的分布函数，如果在F(x)的连续点x处均有
lim Fn (x )= F (x)
ns
则称随机变量序列Xi，X2,…,Xn,…依分布收敛于X。记为：
1500
[-----------------1------------------'------------------1-----------1--6-0--0-1 15UU [------------------------------------1------
----------------
A
故 Xn —X不成立
知识点名称：依分布收敛的概念 主讲人：杜鸿飞
§5.4依分布收敛的概念
引例1：
分别以各种分布为例, 模拟其和的分布
分析： 随着n的增大，和的分
布有何变化特点？
设X•独立同分
布
n
t Xi 〜？
i=1
n X，_-_ E
n
応
X
i=1
n
Xi
\ i=1
F〃 (X )= P 化 < 2〜
二項分 #B(10,0.5)
亠 Xn X
Xn —X n Xn —X 反之不然
例： "，我夜但不像榄卑权佻的反例 ]
设 Q = ｛仞,切2* P(d) = P(。2)=—
2
定义随机变量： X （仞）=一1, X （血）=1 X
P 令Xn（^） = - X伽），则彳与乂的分布律相同 Xn
从而今，备微相同
高中数学 第5章 统计与概率 5.3 概率 5.3.4 频率与概率课件 b高一必修第二册数学课件
概率与频率的关系及求法
情
课
境 导
堂
【例 2】 下面的表中列出了 10 次抛掷硬币的试验结果，n 为 小
学
结
·
探 每次试验抛掷硬币的次数，m 为硬币正面向上的次数．计算每次试 提
新
素
知 验中正面向上的频率，并考察它的概率．
养
·
·
合
试验序号 抛掷次数(n) 正面向上次数(m) 正面向上的频率
素 养
·
·
合
则取到号码为奇数的频率是( )
课
作
探
A．0.53
究
B．0.5
时 分
层
释
C．0.47
D．0.37
作
疑
难
A [取到号码为奇数的频率是10＋8＋160＋0 18＋11＝0.53.]
业 返
首
页
12/8/2021
第十二页，共四十三页。
·
情
课
境
堂
导
4．(一题两空)在一次掷硬币试验中，掷 30 000 次，其中有 14 984 小
情
课
境
[跟进训练]
导
堂 小
学
结
探
1．某商场设立了一个可以自由转动的转盘(如图
·
提
新
素
知 所示)，并规定：顾客购物 10 元以上就能获得一次转
养
·
合 动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就
课
作
探 可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计
究
时 分
层
释 数据．
作
疑
业
难
·
返 首 页
高中数学第五章统计与概率5.3.1样本空间与事件学案新人教B版必修第二册
5．3.1 样本空间与事件考点学习目标核心素养问题导学预习教材P93－P97的内容，思考以下问题：1．必然现象和随机现象是如何定义的？2．事件分为哪三类？3．样本点和样本空间是如何定义的？1．样本点与样本空间(1)必然现象与随机现象样本点：随机试验中每一种可能出现的结果．(3)样本空间①定义：由所有样本点组成的集合称为样本空间．②表示：样本空间常用大写希腊字母Ω表示．2．随机事件(1)如果随机试验的样本空间为Ω，则随机事件A是Ω的一个非空真子集．而且：若试验的结果是A中的元素，则称A发生；否则，称A不发生．(2)每次试验中Ω一定发生，从而称Ω为必然事件；又因为空集∅不包含任何样本点，因此可以认为每次试验中∅一定不发生，从而称∅为不可能事件．(3)一般地，不可能事件、随机事件、必然事件都可简称为事件，通常用大写英文字母A，B，C，…来表示事件．因为事件一定是样本空间的子集，从而可以用表示集合的维恩图来直观地表示事件，特别地，只含有一个样本点的事件称为基本事件．3．随机事件的概率事件发生的可能性大小可以用该事件的概率来衡量，概率越大代表越有可能发生．事件A的概率通常用P(A)表示．不可能事件∅的概率规定为0，必然事件Ω的概率规定为1，即P(∅)＝0，P(Ω)＝1.对任意事件A，P(A)应该满足不等式0≤P(A)≤1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)三角形的内角和为180°是必然事件．( )(2)“抛掷硬币三次，三次正面向上”是不可能事件．( )(3)“下次李欢的数学成绩在130分以上”是随机事件．( )答案：(1)√(2)×(3)√下列现象是必然现象的是( )A．一天中进入某超市的顾客人数B．一顾客在超市中购买的商品数C．一颗麦穗上长着的麦粒数D．早晨太阳从东方升起解析：选D.只有D是在一定条件下必然发生的现象，其他三个每次发生的结果不一定相同．下列事件：①长度为3，4，5的三条线段可以构成一个直角三角形；②经过有信号灯的路口，遇上红灯；③下周六是晴天．其中，是随机事件的是 ( )A．①②B．②③C．①③D．②解析：选B.①是必然事件，②③是随机事件．从a，b，c，d中任取两个字母，则该试验的样本空间为Ω＝________．答案：{ab，ac，ad，bc，bd，cd}样本点与样本空间连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面．(1)写出这个试验的样本空间；(2)求这个试验的样本点的总数；(3)“恰有两枚正面向上”这一事件包含哪几个样本点？【解】(1)试验的样本空间Ω＝{(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)}．(2) 样本点的总数是8.(3)“恰有两枚正面向上”包含以下3个样本点：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)．[变问法]在例题条件下，写出这个试验中“恰有一枚正面向上”这一事件包含的样本点．解：“恰有一枚正面向上”包含3个样本点，分别是：(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)．确定样本空间的方法(1)必须明确事件发生的条件；(2)根据题意，按一定的次序列出问题的答案．特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏．一个盒子中装有5个完全相同的球，分别标有号码1，2，3，4，5，从中一次任取两球．(1)写出这个试验的样本空间；(2)求这个试验的样本点总数；(3)写出“取出的两球上的数字之和是6”的这一事件中所包含的样本点．解：(1)Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)}．(2)样本点总数为10.(3)“取出的两球上的数字之和是6”这一事件所包含的样本点为(1，5)，(2，4)．事件类型的判断判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件．(1)“抛一石块，下落”；(2)“在标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化”；(3)“某人射击一次，中靶”；(4)“如果a＞b，那么a－b＞0”；(5)“掷一枚硬币，出现正面”；(6)“导体通电后，发热”；(7)“从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签”；(8)“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”；(9)“没有水分，种子能发芽”；(10)“在常温下，焊锡熔化”．【解】事件(1)(4)(6)是必然事件；事件(2)(9)(10)是不可能事件；事件(3)(5)(7)(8)是随机事件．要判定某事件是何种事件，首先要看清条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的．其次再看它是一定发生，还是不一定发生，还是一定不发生．一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件．下列事件中的随机事件为( )A．若a，b，c都是实数，则a(bc)＝(ab)cB．没有水和空气，人也可以生存下去C．抛掷一枚硬币，反面向上D．在标准大气压下，温度达到60℃时水沸腾解析：选C.A中的等式是实数乘法的结合律，对任意实数a，b，c是恒成立的，故A 是必然事件．在没有空气和水的条件下，人是绝对不能生存下去的，故B是不可能事件．抛掷一枚硬币时，在没得到结果之前，并不知道会是正面向上还是反面向上，故C是随机事件．在标准大气压的条件下，只有温度达到100℃，水才会沸腾，当温度是60℃时，水是绝对不会沸腾的，故D是不可能事件．随机事件的概率做掷红、蓝两颗骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中x表示红色骰子出现的点数，y表示蓝色骰子出现的点数．(1)写出这个试验的所有可能的结果；(2)求这个试验共有多少种不同的结果；(3)写出事件“出现的点数之和大于8”包含的结果；(4)写出事件“出现的点数相同”包含的结果；(5)记“出现的点数之和大于8”为A，记“出现的点数相同”为B，从直观上判断P(A)与P(B)的大小．【解】(1)这个试验所有可能的结果为(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)．(2)由(1)知这个试验不同的结果共有36种．(3)事件“出现的点数之和大于8”包含的结果为(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)．(4)事件“出现的点数相同”包含的结果为(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)．(5)事件A出现了10次，事件B出现了6次，故P(A)＞P(B)．概率的性质(1)范围：任何事件A的概率P(A)∈[0，1]．(2)必然事件的概率P(Ω)＝1.(3)不可能事件的概率P(∅)＝0.(2019·河南郑州一中期末)下列结论正确的是( ) A．事件A发生的概率P(A)的值满足0＜P(A)＜1B．若P(A)＝0.999，则A为必然事件C．灯泡的合格率是99%，从一批灯泡中任取一个，是合格品的可能性是99%D．若P(A)＝0.001，则A为不可能事件解析：选C.由事件发生的概率的基本性质，可知事件A的概率P(A)的值满足0≤P(A)≤1，故A错误；必然事件的概率为1，故B错误；不可能事件的概率为0，故D错误．故选C.1．下列现象：①当x是实数时，x－|x|＝2；②某班一次数学测试，及格率低于75%；③从分别标有0，1，2，3，…，9这十个数字的纸团中任取一个，取出的纸团是偶数；④体育彩票某期的特等奖号码．其中是随机现象的是( )A．①②③B．①③④C．②③④D．①②④解析：选C.由随机现象的定义知②③④正确．2．下列事件中，是不可能事件的是( )A．三角形的内角和为180°B．三角形中大角对大边，小角对小边C．锐角三角形中两内角和小于90°D．三角形中任意两边之和大于第三边解析：选C.锐角三角形中两内角和大于90°.3．同时投掷两枚大小相同的骰子，用(x，y)表示结果，记A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的样本点的个数是( )A．3 B．4C．5 D．6解析：选D.有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)共6个样本点．4．甲、乙两人做出拳游戏(锤、剪、布)．(1)写出样本空间；(2)写出事件“甲赢”；(3)写出事件“平局”．解：(1)用(锤、剪)表示甲出锤，乙出剪，其他的样本点用类似方法表示，则Ω＝{(锤，剪)，(锤，布)，(锤，锤)，(剪，锤)，(剪，剪)，(剪，布)，(布，锤)，(布，剪)，(布，布)}．(2)记“甲赢”为事件A，则A＝{(锤，剪)，(剪，布)，(布，锤)}．(3)记“平局”为事件B，则B＝{(锤，锤)，(剪，剪)，(布，布)}．[A 基础达标]1．下列现象中，是随机现象的有( )①在一条公路上，交警记录某一小时通过的汽车超过300辆；②若a为整数，则a＋1为整数；③发射一颗炮弹，命中目标；④检查流水线上一件产品是合格品还是次品．A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选C.当a为整数时，a＋1一定为整数，是必然现象，其余3个均为随机现象．2．有下列事件：①连续掷一枚硬币两次，两次都出现正面朝上；②异性电荷相互吸引；③在标准大气压下，水在1℃结冰；④买了一注彩票就得了特等奖．其中是随机事件的有( )A．①②B．①④C．①③④D．②④解析：选B.①④是随机事件，②为必然事件，③为不可能事件．3．下列事件是必然事件的是( )A．明天太阳从西边升起B．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中C．实心铁球会沉入水底D．抛一枚硬币，正面朝上解析：选C.A是不可能事件，B是随机事件，C是必然事件，D是随机事件．4．某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只选报其中的2个，则样本点共有( )A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选C.该生选报的所有可能情况是：(数学和计算机)，(数学和航空模型)，(计算机和航空模型)，所以样本点有3个．5．“连续抛掷两枚质地均匀的骰子，记录朝上的点数”，该试验的结果共有 ( ) A．6种B．12种C．24种D．36种解析：选D.试验的全部结果为(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共36种．6．写出下列试验的样本空间：(1)甲、乙两队进行一场足球赛，观察甲队比赛结果(包括平局)________；(2)从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数________.解析：(1)甲、乙两队进行一场足球赛，观察甲队比赛结果(包括平局)可能有三种：胜，平，负，所以Ω＝{胜，平，负}．(2)从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数可能为0，1，2，3，4，所以Ω＝{0，1，2，3，4}．答案：(1)Ω＝{胜，平，负} (2)Ω＝{0，1，2，3，4}7．投掷两枚骰子，点数之和为8所含的样本点有______种．解析：样本点为(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)，共5种．答案：58．从1，2，3，…，10中任意选一个数，这个试验的样本空间为________，“它是偶数”这一事件包含的样本点个数为________．解析：从1，2，3，…，10中任意选一个数，所得到的数可能是从1到10中的任意一个数，所以这个试验的样本空间为Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，“它是偶数”这一事件包含的样本点有5个，分别为2，4，6，8，10.答案：Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10} 59．一个盒子中放有5个完全相同的小球，其上分别标有号码1，2，3，4，5.从中任取一个，记下号数后放回，再取出1个，记下号数后放回，按顺序记录为(x，y)，试写出“所得两球的和为6”所包含的样本点．解：由图可直观地看出，“所得两球的和为6”包含以下5个样本点：(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)．10．指出下列试验的结果：(1)从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取2个小球；(2)从1，3，6，10四个数中任取两个数(不重复)作差．解：(1)结果：红球，白球；红球，黑球；白球，黑球．(2)结果：1－3＝－2，3－1＝2，1－6＝－5，3－6＝－3，1－10＝－9，3－10＝－7，6－1＝5，10－1＝9，6－3＝3，10－3＝7，6－10＝－4，10－6＝4.即试验的结果为：－2，2，－5，－3，－9，－7，5，9，3，7，－4，4.[B 能力提升]11．抛掷一颗骰子，观察骰子出现的点数，若“出现2点”这个事件发生，则下列事件发生的是( )A．“出现奇数点”B．“出现偶数点”C．“点数大于3”D．“点数是3的倍数”解析：选B.“出现2点”这个事件发生，因为2为偶数，故“出现偶数点”这一事件发生．12．下列现象是必然现象的是( )A．某路口单位时间内通过的车辆数B．n边形的内角和为(n－2)·180°C．某同学竞选学生会主席成功D．一名篮球运动员每场比赛所得的分数解析：选B.A，C，D选项为随机现象，B选项为必然现象．13．一袋中装有10个红球，8个白球，7个黑球，现在把球随机地一个一个摸出来，为了保证在第k次或第k次之前能首次摸出红球，则k的最小值为________．解析：至少需摸完黑球和白球共15个．答案：1614．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x，转盘②得到的数为y，结果为(x，y)．(1)写出这个试验的样本空间；(2)求这个试验的样本点的总数；(3)“x＋y＝5”这一事件包含哪几个样本点？“x<3且y>1”呢？(4)“xy＝4”这一事件包含哪几个样本点？“x＝y”呢？解：(1)Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}．(2) 样本点的总数为16.(3)“x＋y＝5”包含以下4个样本点：(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)；“x<3且y>1”包含以下6个样本点：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，2)，(2，3)，(2，4)．(4)“xy＝4”包含以下3个样本点：(1，4)，(2，2)，(4，1)；“x＝y”包含以下4个样本点：(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)．[C 拓展探究]15．设有一列北上的火车，已知停靠的站由南至北分别为S1，S2，…，S10站．若甲在S3站买票，乙在S6站买票，设样本空间Ω表示火车所有可能停靠的站，令A表示甲可能到达的站的集合，B表示乙可能到达的站的集合．(1)写出该事件的样本空间Ω；(2)写出事件A、事件B包含的样本点；(3)铁路局需为该列车准备多少种北上的车票？解：(1)Ω＝{S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10}．(2)A＝S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10；B＝S7，S8，S9，S10.(3)铁路局需要准备从S1站发车的车票共计9种，从S2站发车的车票共计8种，……，从S9站发车的车票1种，合计共9＋8＋…＋2＋1＝45(种)．。
概率统计概率统计习题
距离超过标准差的可能性不大于0.01.这意味着，只要样本容量较大，
两样本均值的距离不超过的可能性是很大的，可达0.99.
31.设x1,x2 , , xn是来自分布函数为F(x)，密度函数为p(x)的一个样本.
x(1),x(2), ,x(n)是 其 次 序 统 计 量 ， 试 求 在 x(r+1), ,x(n)给 定 时 ,
,x(n)
)=
n! r!
F ( xr1 )
r
n
p(x(i) ),
ir 1
故所p ( x( 1 ) ,
1) x n2 dz
n(n
1) x n2
(1
x)即 Rn
Be(n 1, 2).
30.设x1与x2是从同一正态总体N(, 2 )独立抽取的容量相同的两个样本均值
.试确定样本容量n,使得两样本均值的距离超过的概率不超过0.01.
解 由于xi
N ( , 2 ), i 1, 2, 且 相 互 独 立 ,所 以 n
(n-i-1) 2
(x(i)
-x(i-1))服从自由度为2的
2
分布(i=2,3,...n).
证；令yi
=
xi -
Exp(1),
则y(1)
,...,y(
的联合密度为
n)
n
p(y1,...yn ) n!exp{ yi },作变换 i 1
h
11
t1 n y (1) ,
t
2
(n
1)( y(2)
k
解 容易看出P(x k)= pql1 =1-qk ,k=1,2,...,所以 i 1
P(x(n) k)=P(x1 k,...xn k)=(P(x1 k))n (1 qk )n , k 1, 2,.... 同样可以得到P(x(n) k-1)=(1-qk-1 )n ,k=1,2,...
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& 统计量及其分布习题与解答1. 在一本书上我们随机地检查了10页,发现每页上的错误数为4 5 6 0 3 1 4 2 1 4 试计算其样本均值,样本方差和样本标准差. 解 样本均值1...45 (4)x= 3.10n x x n +++++== 样本方差()()()2222111... 3.78,19x 4343ni i n x s=⎡⎤==++=⎢⎥-⎣⎦---∑样本标准差 1.94.s ==2.证明:对任意常数c,d,有 证 ()()()()()()11x .nni iiii i x c d x Y n X c Y d y y ==--=--+--∑∑()()()()()()()()()()()()111111x+x-c x x x nn niiiiiii i i nnniiiii i i xc d x y Y y d x y xc y xd c y d y y y y ======--=--+-=--+--+--+--∑∑∑∑∑∑，由 ()()11x 00nn i i i x y y ==-=-=∑∑，，得 ()()()()()()11x x-c nnii i i i i xc yd x y y n y d ==--=--+-∑∑，因而结论成立.3.设1,...,n x x 和1,...,n y y 是两组样本观测值,且有如下关系:3412...i i y x i n =-=，，，，试求样本均值x 和y 间的关系以及样本方差2x s 和 2y s 的关系.解 ()()()()111221222111133443x-411119911343x+4x n n ni i i i i i ny i nnxi i y y x x n n n in i i n n y y s x x s ========-=-==-==--∑∑∑-∑---∑∑，因而得3-4y x =与229y x s s =.4.记 ()2n 21111x 12....1x n i nn i i x n n n i s x =====-∑-∑，，，，，，证明()()n+1n 1n 22211x x x ,111.1n 1x n n n x n n n n n x s s ++=+-+-=+++-证()()()()()()()()1n n+1n 1n+1n+1n n+1n 2222n+11n+1n+111122n n+1n+1n+112n n n n+1n+1n 111x x x x+x x 1111x x x 111x ()x x 11(x x )x x 121(x )x x x x x n i i n n i i n n i i n i n i n n i i i i xn n n n n n x X X n n X X n nX x n n n s +=++=====++-===+++=+-+⎡⎤=-=-+-⎢⎥⎣⎦=-+-+-=-+--+-∑∑∑∑∑∑，()22n+1n+11x x .n+- 由()()22n n n+1n n+1n+1n n+1n 11111x 0(x x )x x x x (x x )nn n i i i i x n n ===-=-=-=+-∑∑∑，，得()()()()2222221n n+1n n+1n 122n n+1n 122n+1n 111(x )x x x x 11111(x )x x 1111x x .1n n i i n i i n n s X n n n n n X n n n n s n n +==⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭-=⨯-+--+-=+-+∑∑5.从同一总体中抽取两个容量分别为n,m 的样本,样本均值分别为1x ,2x ,样本方差分别为2212,s s ,将两组样本合并,其均值,方差分别为2,,x s 证明:1222221212,(1)(1)().1()(1)nx mx x n mn s m s nm x x s n m n m n m +=+-+--=++-++- 证 设取自同一总体的两个样本为1112121222,,...,;,,...,.n m x x x x x x 由111212122212......,,n mx x x x x x x x n m++++++==得1112122212.......n m x x x x x nx mx x n m n m+++++++==++由2211111()1n i i s x x n ==--∑2222211,()1m i i s x x m ==--∑ 221211211122211222211122211212122212121[()()]11[()()]11[()()()()1()()(1)(1)1n mi i i i n m i i i i n m i i i i s x x x x n m x x x x x x x x n m x x n x x x x m x x n m nx mx nx mx n x m x n s m s n m n m n m n m =======-+-+-=-+-+-+-+-=-+-+-+-+-++-+--+-++=++-+∑∑∑∑∑∑1-2221212(1)(1)()1()(1)n s m s nm x x n m n m n m -+--=++-++- 6.设有容量为n 的样本A,它的样本均值为A x ,样本标准差为A s ,样本极差为A R ,样本中位数为A m .现对样本中每一个观测值施行如下变换y ax b =+，如此得到样本B,试写出样本B 的均值,标准差,极差和中位数.解 不妨设样本A 为{}12,,...,,n x x x 样本B 为{}12,,...,,n y y y 且,1,2,...,,i i y ax b i n =+=12122222211()(1)()(1)()(1)......,11()(),11.(),n n B A n n i B i B A i i B A B n n n A y y y ax b ax b ax b y ax b n n s y y ax b ax b a s n n s a s R y y ax b ax b a x x aR ==+++++++++===+=-=+--=--==-=+--=-=∑∑因而 1()2()(1)22,(),n n n y n y y n +++为奇数,1为偶数21()2122,1(),2n n n ax b n ax b ax b n +⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭++++为奇数为偶数.A am b +=7.证明:容量为2的样本1,2x x 的方差为22121()2s x x =-证:2222212121212222122112()()()()22()()()442x x x xs x x x x x x x x x x x x ++=-+-=-+----=+=8.设1,...,n x x 是来自(1,1)U -的样本,试求()E x 和()Var x解 均匀分布(1,1)U -的均值和方差分别为0和1/3,该样本容量为n,因而得()()10,,3E x Var x n==9.设总体二阶矩存在1,...,n x x 是样本,证明i x x -也()j x x i j -≠的相关系数为1(1)n ---对次你能够给予解释吗证 不妨设总体的方差为2σ,则(,)(,)i j Cov x x x x x x x x ρ----=由,,,(,)()()()(,)i j i j i j Cov x x x x Cov x x Cov x x Cov X x Cov x x --=--+由于, 2,()0,(,),i j Cov x x Cov x x nσ==2,11(,)(,)()n i j i i i Cov x x Cov x x Cov x x n n σ====∑因而2(,),i j Cov x x x x nσ--=-1222122()()()(1)...(1)(1)()i j n Var x x Var x x Var x x n x x x n n Var n n σσ-=-=------+-==2(1),n nσ-=所以1(,)(1)i j x x x x n ρ---=--由于1()0ni i x x =-=∑ ,故其中任意一个偏差i x x -的增加,都会使另一个偏差j x x -减少的机会增加,因而两者的相关系数为负.10.利用切比雪夫不等式求抛均匀硬币多少次才能使正面朝上的频率落在,间的概率至少为.如何才能更精确地计算这个次数是多少解 均匀硬币正面朝上的概率p=,设n x 为n 次抛硬币中正面朝上的次数,则有(,).nx b n p 据题意选取次数n 应满足(0.40.6)0.9nx p n<<≥此式等价于(0.50.1)0.1n p x n n -≥< ,利用切比雪夫不等式估计上式左端概率的上界20.5(10.5)25(0.50.1),(0.1)n n p x n n n n⨯--≥≤= 再由不等式250.1n≤可得粗糙的估计250n ≥.即抛均匀硬币250次后可满足要求.事实上,利用x 的渐近正态性可以得到更精确的结论.由中心极限定理知样本均值(0.5)/(0,1),nx x x N n=-故(0.40.6)0.5/0.5210.9,P x P <<=-<=Φ-≥即5)0.95,Φ≥故5 1.645≥这就给出较精确的上界2(5 1.645)67.65n ≥⨯=,这表明只需抛均匀硬币68次就可满足要求.两个结果差异很大,说明切比雪夫不等式是一个较为粗糙的不等式,在能够使用大样本结果的情况下应尽量使用中心极限定理.11.从指数总体(1/)Exp θ抽取了40个样品,试求x 的渐近分布. 解 由于指数总体(1/)Exp θ的均值为θ,方差为2θ,于是x 的渐近分布为2,40N θθ⎛⎫ ⎪⎝⎭.12.设125,...,x x 是从均匀分布(0,5)U 抽取的样本,试求样本均值x 的渐近分布.解 均匀分布(0,5)U 的均值和方差分别为5/2和25/12,样本容量为25,因而样本均值x 的渐近分布为51,.212N ⎛⎫⎪⎝⎭13.设120,...,x x 是从二点分布(1,)b p 抽取的样本,试求样本均值x 的渐近分布.解 二点分布(1,)b p 的均值和方差分别为p 和p(1-p),样本容量为20,因而样本均值x 的渐近分布为(1),20p p N p -⎛⎫ ⎪⎝⎭14.设18,...,x x 是从正态总体()10,9N 中抽取的样本,试求样本均值x 的标准差.解 来自正态分布的样本均值仍服从正态分布,均值保持不变,方差为原来方差的1/n,此处总体方差为9，样本容量为8，因而()9/8,Var x x =的标准差为4 1.06.=15．切尾均值也是一个常用的反映样本数据的特征量，其想法是将数据的两端的值舍去，而剩下的当中的值来计算样本均值，其计算公式是[][][][](1)(2)()...,2n n n n x x x x n n ααααα++-+++=-其中01/2α<<是切尾系数, (1)(2)()...n x x x ≤≤≤是有序样本。