分数的巧算教师版
分数乘除法速算巧算.教师版
gillie 教学目标分数是小学阶段的关键知识点，在小学的学习有分水岭一样的阶段性标志，许多难题也是从分数的学习开始遇到的。
分数基本运算的常考题型有（1）分数的四则混合运算（2）分数与小数混合运算，分化小与小化分的选择（3）复杂分数的化简（4）繁分数的计算知识点拨分数与小数混合运算的技巧在分数、小数的四则混合运算中，到底是把分数化成小数，还是把小数化成分数，这不仅影响到运算过程的繁琐与简便，也影响到运算结果的精确度，因此，要具体情况具体分析，而不能只机械地记住一种化法：小数化成分数，或分数化成小数。
技巧1：一般情况下，在加、减法中，分数化成小数比较方便。
技巧2:在加、减法中，有时遇到分数只能化成循环小数时，就不能把分数化成小数。
此时要将包括循环小数在内的所有小数都化为分数。
技巧3:在乘、除法中，一般情况下，小数化成分数计算，则比较简便。
技巧4:在运算中，使用假分数还是带分数，需视情况而定。
技巧5:在计算中经常用到除法、比、分数、小数、百分数相互之间的变，把这些常用的数互化数表化对学习非常重要。
目归例题精讲【例1】5的分母扩大到32,要使分数大小不变，分子应该为_________________________________ 。
8【考点】分数乘除法【难度】2星【题型】填空【关键词】走美杯，五年级，初赛【解析】根据分数的基本性质：分母扩大倍数，要使分数大小不变，分子应该为扩大相同的倍数。
分母扩大：32-8=4 （倍），分子为：4X5=20。
【答案】20【巩固】小虎是个粗心大意的孩子，在做一道除法算式时,这道算式的正确答案是 ____________________ 。
【考点】分数乘除法【难度】2星【关键词】走美杯，初赛，六年级一 5 5【解析】根据题意可知，被除数为120 5=75，所以正确的答案为75一：一5=90。
8 6分数乘除法速算巧算把除数5看成了5来计算，算出的结果是6 8【题型】填空120，【答案】90【例2】将下列算式的计算结果写成带分数:【难度】2星0.5 236 59119【题型】计算原式= 0.5 236 59=118化口1119119 119)X 59=59-59=5860119 119【答案】5811933_疋0.2【例3】计算45.841.38【考点】分数乘除法【难度】2星【题型】计算【解析】【答330.241.38735.843584=4 -1383 146138146 _ 7346 ~23 23【巩固】计算42 2.5231 21.05【考点】分数乘除法【难度】2星【关键词】希望杯，2试【题型】计算【解析】14 252 14 252X：: —83 71053 147516 5 258 —X-—X59【例4】计算31102 1733 3 32512 236 93【考点】分数乘除法【难度】3星【题型】计算8^ —25 59【解析】【答31 102 1733一3 32512 236 9393詡16 5 6 1759 -512 3 9331 102 25 33 236 32264 5 17 59 512 3 93=--------------- x -------------31 102 25 33 236 32-3 74480十21934- 1185568333 25909 35255【难度】3星【题型】填空74480十21934- 1185568333 25909 3525562811 25909 352558333 21934 538113 7 3 997 13 199313 641 2 11 9975 641 11333 19937 52 3【解析】22.524「乂----------31 21.05【答案】8【例5】计算【解析】6【解析】 原式= --------23561 2356 2357亠 2356 23561 (23562357)纱612357_ 2357-2358【答案】【例9】2357 2358r8个90计算 1202 30303 90UI909卄 19 1919 191919 列口99个19【考点】分数乘除法【难度】2星【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，一试 原式=1OOx2x3x9x2£ =3806 5 15380【例7】计算19971997*19971998【考点】分数乘除法 【难度】2星【题型】填空【解析】 原式= (1997 J"7)十 1997=1997 ~M997 J"7*1997 =1 +1=1 119981998 19981998【答案】1丄1998本题考察学生对带分数的灵活转化及四则运算定律的准确理解 本题非常容易出现的一种错误解法是：19971997 19971997 "1997-199^-(1997)=1997 ^1997 1997亠—— -1 1998=1999 19981998 1998也就是学生会惯性的理解为除法具有除法分配率！正确的解法如下：19971997X1998+199719971999 1998 19981997 +1997 ------ 1997----------------- 1997----------- 1997 ------------ -----1998 1998199819981999 1997 19991999【答案】【巩固】2009 +20092009= ______ .2010【考点】分数乘除法【难度】2星【题型】填空【解析】 【答【解析】 2007 “ 2007 2007=2007 20082008X2008 2007 200820072009【答案】20082009【例8】1997 *19971997【解析】原式二——2009 120092010 亠 22009 ________ 1 ______= 2009 (2009 ------ ) :一20092010 20112010【答案】2010 2011【巩固】2356亠23562356= _______2357【考点】分数乘除法【难度】2星【关键词】2008年，清华附中考题【题型】填空【巩固】计算2007 -：- 200720072008【考点】分数乘除法 【难度】2星【题型】填空1998【考点】分数乘除法 【难度】2星 【题型】填空 【解析】20092009^ 2008（米），第2006次剪去后剩下的铁丝长为【答案】251250【答案】54【例6】计算：100 4_1.2;<34_5：<1 一=615【考点】分数乘除法【难度】3星【解析】本题用是重复数字的拆分和分数计算的综合,【题型】填空例如：abcabc=abc 1001 =abc 7 11 13 , ababab = ab 10101 =ab 3 7 13 37—8 个10 ,、一-9 10 101 1 十2 3 」9 45 19 型呼1 19 19 19 19 19—8 个 10原式1 2 101 3 10101__ + ________ + __________19 19 101 19 10101【答案】4519【例10】一根铁丝，第一次剪去了全长的1 ,第二次剪去所剩铁丝的 1,第三次剪去所剩铁丝的1,23 4第2008次剪去所剩铁丝的，这时量得所剩铁丝为1米，那么原来的铁丝长 2009【考点】分数乘除法【难度】2星【关键词】中环杯，六年级，初赛【题型】填空米。
分数的速算与巧算(教师)
分数的速算与巧算教学目标本讲知识点属于计算大板块内容，分为三个方面系统复习和学习小升初常考计算题型.1、 裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握裂项技巧及寻找通项进行解题的能力2、 换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。
3、 循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题． 4、通项归纳法通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式． 知识点拨一、裂项综合（一）、“裂差”型运算(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有：1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。
（二）、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
分数的巧算教师版(可编辑修改word版)
＋＋＋＋＋分数的速算与巧算（一）分数巧算（求和）分数求和的常用方法：1、公式法，直接运用一些公式来计算，如等差数列求和公式等。
2、图解法，将算式或算式中的某些部分的意思，用图表示出来，从而找出简便方法。
3、裂项法，在计算分数加、减法时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分数可以互相抵消，从而使计算简便。
4、分组法，运用运算定律，将原式重新分组组合，把能凑整或约分化简的部分结合在一起简算。
5、代入法，将算式中的某些部分用字母代替并化简，然后再计算出结果。
典型例题一、公式法：计算：1+2+3+4+ …+2006+2007 2008 2008 2008 2008 2008 2008分析：这道题中相邻两个加数之间相差项+末项）×项数÷2 来计算。
12008，成等差数列，我们可以运用等差数列求和公式：（首1+ 2+3+4+ …+2006+20072008 2008 2008 2008 2008 2008=（12008 ＋2007）×2007÷2 2008=100312二、图解法：计算：1 1 1 1 1 12 4 8 16 32 64 分析：解法一，先画出线段图：＋ ＋ ＋ ＋ ＋ =1－ = ＋ ＋ ＋ ＋ ＋（ ＋ ）－ ＋ ＋ ＋ ＋（ + ）－ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ①＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ②＋ ＋ ＋ ＋ －（ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ） ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ = 从图中可以看出： 1 1 1 1 1 1 1 63 2 4 8 16 32 64 64 64解法二:观察算式，可以发现后一个加数总是前一个加数的一半。
因此，只要添上一个加数 1 64 ，就能 凑成 1 32，依次向前类推，可以求出算式之和。
11 1 1 1 1 ＋ ＋ ＋ ＋ ＋2 4 8 16 32 64 = 1 1 1 1 1 1 1 1 2 4 8 16 32 64 64 64= 1 1 1 1 1 1 1 2 4 8 16 32 32 64……= 1 ×2－ 1 2 64 = 63 64解法三：由于题中后一个加数总是前一个加数的一半，根据这一特点，我们可以把原式扩大 2 倍，然后两式相减，消去一部分。
分数巧算知识点总结
分数巧算知识点总结一、分数的基本概念1.1 分数的定义分数是指两个整数之比，其中被除数为分子，除数为分母，可以用a/b表示，其中a为分子，b为分母，b不能等于0.1.2 分数的性质（1）分子和分母是整数，分母不能为0；（2）分数可以表示小数，也可以表示百分数；（3）分数的大小与所表示的数的大小有关。
1.3 分数的大小比较对于两个分数 a/b 和 c/d 来说，（1）如果 a/b = c/d，那么a*d = b*c；（2）如果 a/b > c/d，那么a*d > b*c；（3）如果 a/b < c/d，那么a*d < b*c。
1.4 一般分数的化简一般分数指分子和分母的除数不能被整除的分数，例如 4/6、2/5等。
化简分数是将分数的分子和分母同时除以它们的最大公约数（即分子和分母的所有公约数中最大的那个数）的过程。
二、分数的加减乘除2.1 分数的加减（1）当两个分数的分母相同时，直接将分子相加或相减，分母保持不变；（2）当两个分数的分母不同时，需要先将它们通分，然后再进行加减运算。
例如：1/3 + 2/3 = 3/3 = 12/5 - 1/5 = 1/52/3 + 3/4 = 8/12 + 9/12 = 17/122.2 分数的乘法两个分数相乘时，将它们的分子相乘得到新的分子，分母相乘得到新的分母，然后化简得到最简分数。
例如：2/3 * 3/4 = 6/12 = 1/22.3 分数的除法两个分数相除时，将第一个分数的分子乘以第二个分数的分母得到新的分子，分母乘以分母得到新的分母，然后化简得到最简分数。
例如：2/3 ÷ 3/4 = 8/9三、分数的巧算技巧3.1 练习整数乘分数在计算时，我们可以将整数转化为分数，然后再进行乘法运算，最后将得到的分数化简即可。
例如：2 * 2/3 = 2/1 * 2/3 = 4/33.2 乘除组合法则在进行复杂的分数运算时，我们可以先把分数转化为小数进行计算，然后再将得到的结果转化为分数。
六年级奥数教案1
六年级奥数教案第三单元巧算求和（二）教学目标：巧妙的运用分数的拆分来进行简便运算。
教学内容：教科书第10页例1、例2和自主检测。
教学重难点：能够灵活运用此方法进行这一类型的简便计算。
教学方法：讲授法、练习法教学过程：步骤教师行为学生行为新课教学出示例1计算1/2+1/6+1/12+1/20常规分析：按照常规方法，这是一题普通的异分母分数加法，我们一般采用通分的方法。
1/2+1/6+1/12+1/20＝60/120+20/120+10/120+6/120＝96/120＝4/5创新点拨：仔细观察每个分数有什么特殊的地方，不难看出，分子都是1，而分母可以写成1×2，2×3，3×4，4×5，即每个分母都可以写成两个连续自然数的积，于是每个分数都可以拆成两个分数的差：1/2＝1/1×2＝1-1/2，1/6＝1/2×3＝1/2－1/3，1/12＝1/3×4＝1/3-1/4，1/20＝1/4×5＝1/4-1/5。
所以可以引导学生作如下解答：1/2+1/6+1/12+1/20＝1－1/2＋1/2－1/3＋1/3－1/4＋1/4－1/5＝1－1/5＝4/5出示例2计算2/3×5＋2/5×7＋2/7×9＋2/9×11常规分析：异分母分数相加，先通分，再相加，比较麻烦。
创新点拨：仔细观察不难发现，每个分数的分子都是2，而分母都是两个自然数的积，而分子恰好等于分母的两个自然数的差。
5－3＝2，7－5＝2，9－7＝2，11－9＝2，于是有解答：2/3×5＋2/5×7＋2/7×9＋2/9×11＝1/3－1/5＋1/5－1/7＋1/7－1/9＋1/9－1/11＝1/3－1/11＝8/33小结：在做分数加法运算时，将其中一些分数适当拆开后的一些分数可以相互抵消，以达到简化运算的目的。
分数的巧算
分数的速算与巧算（一）分数巧算（求和）分数求和的常用方法：1、公式法，直接运用一些公式来计算，如等差数列求和公式等。
2、图解法，将算式或算式中的某些部分的意思，用图表示出来，从而找出简便方法。
3、裂项法，在计算分数加、减法时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分数可以互相抵消，从而使计算简便。
4、分组法，运用运算定律，将原式重新分组组合，把能凑整或约分化简的部分结合在一起简算。
5、代入法，将算式中的某些部分用字母代替并化简，然后再计算出结果。
典型例题一、公式法： 计算：20081+20082+20083+20084+…+20082006+20082007二、图解法： 计算：21 ＋41＋81＋161＋321＋641三、裂项法1、计算：21+61＋121＋201＋301＋……＋901＋1101 分析：由于每个分数的分子均为1，先分解分母去找规律：2=1×2，6=2×3，12=3×4，20=4×5，30=5×6，……110=10×11，这些分母均为两个连续自然数的乘积。
再变数型：因为21=211⨯=1－21，61=321⨯=21－31，121=431⨯=31－41，……，1101=11101⨯=101-111。
这样将连加运算变成加减混合运算，中间分数互相抵消，只留下头和尾两个分数，给计算带来方便。
21+61＋121＋201＋301＋……＋901＋1101 =1－21＋21－31＋31－41＋……＋91－101＋101-111 =1－111 =11102、计算：511⨯＋951⨯＋1391⨯＋……＋33291⨯＋37331⨯3、计算：21－34－154－354－634－994－1434－1954－25544、计算：21＋65＋1211＋2019＋3029＋……＋97029701＋990098995、计算：1＋432113211211+++++++++……+100......3211++++6、计算：+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯543143213211…＋10099981⨯⨯四、分组法：计算20041+20042－20043－20044＋20045＋20046－20047－20048＋20049＋200410－……－20041999－20042000＋20042001＋20042002五、代入法：计算（1+413121++）×（51413121+++）－（1＋51413121+++）×（413121++）热点习题计算：1、49134911499497495493491++++++【1】2、12816413211618141211-------【1281】3、4213012011216121+++++【76】4、200920081200820071......199119901199019891198919881⨯+⨯++⨯+⨯+⨯4、3937137351......191711715115131⨯+⨯++⨯+⨯+⨯6、2+421133011120171215613++++7、565542413029201912116521++++++8、3994003233242552561951961431449910063643536151634+++++++++9、1102190197217561542133011209127651-+-+-+-+-10、20021+20022+20023+20024－20025－20026－20027－20028＋20029＋200210＋…＋20021995＋20021996－20021997－20021998－20021999－20022000＋20022001＋2002200211、(1+51413121+++)×（6151413121++++）－(1+6151413121++++)×(51413121+++)12、)54535251()434241()3231(21++++++++++…+（20192018...203202201+++++）13、2001年是中国共产党建党80周年，20011921是个有特殊意义的分数。
竞赛讲义教师版
重点中学选拔考试的试卷，考察学生的计算能力是必不可少的，近几年来又以考察：1.速算巧算；2.分数的计算技巧为明显趋势。
本讲我们将系统地归纳和总结这一部分的技巧和方法。
1.回顾提取公因数（式）和凑整的应用；2.精讲公式应用、循环小数化分数、分数的拆分。
【例1】 1324264839724129612424836124816⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯【分析】 原式=3333331324(1234)9124(1234)⨯⨯⨯+++=⨯⨯⨯+++， （此题学生容易做成1324(1234)9124(1234)⨯⨯⨯+++=⨯⨯⨯+++，虽然答案对,但是老师要强调错误原因。
）【拓展】（首师大附中入学选拔试题）1202505051313131321212121212121212121+++【分析】原式=121015101011310101011251312121101211010121101010121212121⨯⨯⨯+++=+++=⨯⨯⨯。
【例2】 求3333333×6666666乘积的各位数字之和。
【分析】 原式=9999999×2222222=（10000000-1）×2222222 =11111110000000-2222222 =11111107777778计算之公式应用及技巧第一讲所以，各位数字之和为8×7=56。
下面这些公式是小学奥数中常见的计算公式，同学们一定要熟练掌握，这可是小升初考试中计算的好帮手。
同时也希望同学们在做题时能够对一些规律性比较强的数字的计算自己进行归纳。
常用公式： 1. (1)1232n n n ⨯+++++=； 2. 2222(1)(21)1236n n n n ⨯+⨯++++=； 3. ()2223333(1)1231234n n n n ⨯+++++=++++=； 4. ()()()213572112311321n n n n n +++++-=++++-++-++++=；5. ()222222(21)(21)(41)13572133n n n n n n ⨯+⨯-⨯-+++++-==； 6. 等比数列求和公式：0111111(1)1nn a q Sn a q a q a q q--=++⋅⋅⋅+=-。
六年级《分数的巧算》奥数教案
师：那么总共可以分成多少组呢？
生：因为总共有39个分数，两两一组，所以就有 组。
师：这跟我们以前学过的等差数列求和公式是不是一样的？
生：是的。
师：那同学们接下来会计算了吗？
生：会了。
板书：
=（ ）×
=
（一）星海历练1（5分钟）
求下列所有分母不超过20的真分数的和。
分析：
利用等差数列求和公式分别求出每个括号里分数的和，再求它们的和。
师：看来同学们都找到了自己的朋友了，我们一起来看一下这些数都有什么特点？
生：它们的和都是整数，并且它们的和都相等。
师：同学们太棒了！其实在分数的计算里，这也是我们常用的方法——凑整法，今天我们就一起来学习这方面的知识。
【板书课题：分数的巧算】
二、星海遨游（30分钟）
（一）星海遨游1（10分钟）
师：同学们仔细观察一下题目中的分数，它们都有什么样的特点？
师：同学们还记得我们以前经常碰到过的一种题型吗？（老师板书展示1+2+3+4+……+100），这种题目同学们应该能够10秒钟就把它给解答出来吧？
生：能，等于5050。
师：那同学们一起说说这种方法是怎样的呢？
生：（1+100)×100÷2，也就是高斯的等差数列求和。
师：那用文字怎样表达呢？
生：头加尾的和乘项数除以2。
生：肯定是整数了。
师：老师也是那么觉得的，那么我们把每个括号里面的分数都看作一个整体，同学们有什么发现没？
生：第一个括号里的分数和第四个括号里的分数一样，第二个括号里的分数和第四个括号里的分数一样。
师：是的，那我们字母a表示第一个括号里的分数，用字母b表示第二个括号里的分数。那么式子变成什么样的呢？
1-1-3-1_分数加减法速算与巧算.教师版
1-1-3-1_分数加减法速算与巧算.教师版 work Information Technology Company.2020YEAR分数加减法速算与巧算教学目标本讲知识点属于计算板块的部分，难度并不大。
要求学生熟记加减法运算规则和运算律，并在计算中运用凑整的技巧。
知识点拨一、基本运算律及公式一、加法加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，他们的和不变。
即：a＋b＝b＋a其中a，b各表示任意一数．例如，7＋8＝8＋7＝15.总结：多个数相加，任意交换相加的次序，其和不变．加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再与第一个数相加，他们的和不变。
即：a＋b＋c＝（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）其中a，b，c各表示任意一数．例如，5＋6＋8＝（5＋6）＋8＝5＋(6＋8).总结：多个数相加，也可以把其中的任意两个数或者多个数相加，其和不变。
二、减法在连减或者加减混合运算中，如果算式中没有括号，那么计算时要带数字前面的运算符号“搬家”．例如：a－b－c＝a－c－b，a－b＋c＝a＋c－b，其中a，b，c各表示一个数．在加减法混合运算中，去括号时：如果括号前面是“＋”号，那么去掉括号后，括号内的数的运算符号不变；如果括号前面是“－”号，那么去掉括号后，括号内的数的运算符号“＋”变为“－”，“－”变为“＋”．如：a＋（b－c）＝a＋b－ca－（b＋c）＝a－b－ca－（b－c）＝a－b＋c在加、减法混合运算中，添括号时：如果添加的括号前面是“＋”，那么括号内的数的原运算符号不变；如果添加的括号前面是“－”，那么括号内的数的原运算符号“＋”变为“－”，“－”变为“＋”。
如：a＋b－c＝a＋（b－c）a－b＋c＝a－（b－c）a－b－c＝a－（b＋c）二、加减法中的速算与巧算速算巧算的核心思想和本质：凑整常用的思想方法：1、分组凑整法．把几个互为“补数”的减数先加起来，再从被减数中减去，或先减去那些与被减数有相同尾数的减数．“补数”就是两个数相加，如果恰好凑成整十、整百、整千……，就把其中的一个数叫做另一个数的“补数”．2、加补凑整法．有些算式中直接凑整不明显，这时可“借数”或“拆数”凑整．3、数值原理法．先把加在一起为整十、整百、整千……的数相加，然后再与其它的数相加．4、“基准数”法，基准当几个数比较接近于某一整数的数相加时，选这个整数为“基准数”（要注意把多加的数减去，把少加的数加上）【例 1】 11410410042282082008+++=_____ 【考点】分数约分 【难度】1星 【题型】计算【关键词】2008年，希望杯，第六届，五年级，一试【解析】 原式=1111=22222+++ 【答案】2【例 2】 如果111207265009A+=，则A =________（4级） 【考点】分数约分 【难度】2星 【题型】计算【关键词】2008年，希望杯，第六届，六年级，一试【解析】 111112591207265009873773725125920082008+=+=⨯=⨯⨯⨯⨯，所以A =2008. 【答案】2008模块一：分组凑整思想【例 3】 11211232112199511222333331995199519951995+++++++++++++++ 【考点】分组凑整 【难度】3星 【题型】计算【解析】 观察可知分母是1的和为1；分母是2的和为2；分母是3的和为3；……依次类推；分母是1995的和为1995.这样，此题简化成求1231995++++的和. 11211232112199511222333331995199519951995+++++++++++++++ 12341995119951995299819951991010=+++++=+⨯÷=⨯=() 【答案】1991010【例 4】 1111222233318181923420345204520192020⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【考点】分组凑整 【难度】3星 【题型】计算【解析】 观察可知分母是2分子和为1分母是3分子和为12+；分母是4分子和为123++；……依次类推；分母是20子和为12319++++.原式()1111(12)(123)1231923420=+⨯++⨯++++⨯++++例题精讲()1111(12)22(13)3211919223420=+⨯+⨯÷+⨯+⨯÷++⨯+⨯÷ 12319952222=++++=【例 5】 分母为1996的所有最简分数之和是_________ 【考点】分组凑整 【难度】2星 【题型】计算【解析】 因为1996=2×2×499。
小学数学《分数的巧算》教案
分数的巧算教案第1课时教案一、情境导入（5分钟）1、师：我们已经学过有关分数加、减、乘、除的知识，例如： 5130161-+学生解答：先通分后计算：原式=0306301305=-+ 师：“请同学们思考有没有另外的方法？” 生：原式=051615161=--+ 师：象这样在计算分数加、减法的时候，先将其中的一些分数适当拆分，使得有一部分分数可以相互抵消，从而使计算简化，我们把这种方法叫做裂项法（也叫拆项法）。
裂项法是一种简便的计算方法，今天我们来进一步学习分数的巧算。
二、新授（15分钟）师：分数的巧算涉及到拆数加减、同分子分数加减、先借后还、个数折半、带分数减法、分数乘法、两分数相除等。
下面让我们到实战场上挑战吧。
【例1】计算出示例1：你首先想到了什么？学生：拆成两个分数相减。
为什么拆成两个分数相减呢？ 学生：在分数加减法运算中，把一个分数拆成两个分数相减，使隐含的数量关系明朗化，并抵消其中的一些分数，往往可大大地简化运算。
学生解答：【例2】计算出示例2：你首先想到了什么？学生：拆成两个分数相加。
为什么拆成两个分数相加呢？学生：在分数加减法运算中，把一个分数拆成两个分数相加，使隐含的数量关系明朗化，并抵消其中的一些分数，也可以大大地简化运算。
学生解答：三、趣味数学游戏（5分钟）游戏接龙:每个同学心里想两个真分数,编一道拆数加减算式,第一位同学把想到的题传给第二个同学,第二个同学利用法则,口述算式,然后把自己出的题传给第三个同学……如果当中有同学没有接上来,或是接错了,那么就要诵一首古诗或学一口技)(为了让更多的同学都参与进来,提高学生参与度,活跃课堂气氛,让学生用这种形式体会感受拆数加减运算中"把一个分数拆成两个分数相减或相加，并抵消其中的一些分数"这一过程,同学自己出题,也增强题量.游戏时间5至8分钟)“同学们真棒，下节课老师一定给大家讲一故事。
”（注意：1、给学生说的数要容易看出除以2，即一半的结果，才能提起学生的兴趣，并且要视学生的情况，从易向难过渡。
第1讲.分数的速算与巧算
一、裂项综合（一）、“裂差”型运算(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++本讲知识点属于计算大板块内容，分为三个方面系统复习和学习小升初常考计算题型. 1、 裂项是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握裂项技巧及寻找通项进行解题的能力 2、 换元让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。
3、 循环小数与分数拆分掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题． 4、通项归纳法通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式．第一讲分数的速算与巧算教学目标知识点拨裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。
（二）、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
分数的巧算和速算
分数的巧算和速算 Prepared on 22 November 2020分数的速算与巧算【专题解析】在分数的简便计算中，掌握一些常用的简算方法，可以提高我们的计算能力，达到速算、巧算的目的。
（1）约分法：在分数乘除法运算中，如果先约分再计算，可以使计算过程更简便。
两个整数相除（后一个不为0）可以直接写成分数的形式。
两个分数相除，可以根据分数的运算性质，将其写成一个分数乘另一个分数的倒数的形式。
（2）错位相减法：根据算式的特点，将原算式扩大一个整数倍（0除外），用扩大后的算式同原算式相减，可以使复杂的计算变得简便。
【典型例题】例1. 计算：（1）5698÷8 （2）166201÷41分析与解：（1）直接把5698拆写成（56+98），除以一个数变成乘以这个数的倒数，再利用乘法分配率计算。
（2）把题中的166201分成41的倍数与另一个较小的数相加的形式，再利用除法的运算性质使计算简便。
（1）5698÷8＝（56+98）÷8＝（56+98）×81＝56×81+98×81＝7+91＝791 （2）166201÷41 = (164 +2041)×411= 164×411+2041×411= 4201【举一反三】计算：（1）64178÷8 （2）14575÷12 （3）5452÷17 （4）170121÷13例2. 计算：200412004200420052006÷+分析与解：数太大了，不妨用常规方法计算一下，先把带分数化成假分数。
分母200420052004⨯÷，这算式可以运用乘法分配律等于20042006⨯，又可以约分。
聪明的同学们，如果你的数感很强的话，不难看出÷2004200420052005的被除数与除数都含有2004，把他们同时除于2004得到11÷12005也是很好算的，这一方法就留给你们吧！12006⨯÷+20042006原式=20042005 1200620051200620061⨯+⨯=+=2005=200420042006 【举一反三】计算：（5）2000÷200020012000+20021（6）238÷238239238+2401例3. 计算：199419921993119941993⨯+-⨯分析与解：仔细观察分子和分母中各数的特点，可以考虑将分子变形。
第一讲 巧算 教师版
第一讲 巧算下面这些公式是小学奥数中常见的计算公式，同学们一定要熟练掌握，这可是小升初考试中计算的好帮手。
同时也希望同学们在做题时能够对一些规律性比较强的数字的计算自己进行归纳。
【题型一】分数，小数的混合计算【例1】计算：（7518－61115）÷［21415＋（4－21425）÷1.35］北京市第十届“迎春杯”决赛第一题第2题解：原式＝491411721190152520⎡⎤÷+÷⎢⎥⎣⎦=4914121901515⎡⎤÷+⎢⎥⎣⎦=49490÷=493601、等差数列求和公式： (1)1232n n n ⨯+++++=； 2、重复数字多位数： 1001abcabc abc =⨯；10101ababab ab ab =⨯=；n 个数字重复m 次=这n 个数字110101010010011001m n n n ---⨯ 个个个个； 3、裂项公式：()()()()1111111112[](1)(2)(1)(1)(2)211113[](1)(2)(3)(1)(2)(1)(2)(3)3n n m m n n m n n n n n n n n n n n n n n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭=-⨯+++++=-⨯++++++++〖变式1〗计算：223615323340(5.64)5÷+⨯⨯- 北京市第八届“迎春杯”决赛第一题第2题解：原式＝1101112315340 1.2⨯+⨯⨯＝88948⨯＝1154【例2】计算：59193 5.2219930.4 1.6910()52719950.51995196 5.22950+-⨯÷+⨯-+第五届“华杯赛”复赛第1题解：原式＝519 1.329519 1.329--÷19930.40.819950.5⨯+⨯=1÷0.4(19932)19950.5⨯+⨯=1÷45=54〖变式2〗计算：221411713313151)199511286651176(++÷+北京市第十一届“迎春杯”刊赛第24题解：原式＝1332211463199514221199519951463142216911995146314=+⨯=⨯=÷ 【题型二】庞大数字的运算【例3】计算：（1998+19981998+199819981998+ (19981998)个199819981998）÷（1999+19991999+199919991999 (19981999)个199919991999）×1999解：原式＝1998（1+10001+100010001+ (19981001)个100110011001）÷［1999×（1+10001+100010001+ (19981001)个100110011001）］×1999＝1998÷1999×1999＝1998. 〖变式3〗1202505051313131321212121212121212121+++解：原式＝121015101011310101011251312121101211010121101010121212121⨯⨯⨯+++=+++=⨯⨯⨯ 【例4】9999 9个9×99999个9有结果有多少个奇数，多少个偶数？〖变式4〗求3333333×6666666乘积的各位数字之和。
分数除法的巧算
分数除法的巧算例1 用简便方法计算：203321÷41分析：通过仔细观察发现：203321可以化成41的倍数与另一个较小的数相加，而这个较小的数可以化成分子是41的倍数的假分数，即203321=164+2041，这时就可以利用乘法分配律使计算简便。
注：乘法分配律同样适用于和（差）除以一个数。
解答：203321÷41=（164+2041）÷41=164÷41+2041÷41=2081当堂练习1．计算：1998÷199819991998+20001例2 计算：1÷23÷34÷45÷……÷1920分析：仔细观察这道题，我们可以发现一个非常有趣的规律：从第二个除数开始，后一个除数的分母与前一个分数的分子相同，可以先把23、34、45、……、1920相除的形式改写成乘以它们的倒数的形式，这时，分子和分母进行约分就简单得多了。
解答：1÷23÷34÷45÷……÷1920=1×32×43×54×……×2019=101结论：做分数除法题时，要仔细观察题目的特点，选择合适的方法灵活计算。
当堂练习： 2．计算99100÷101100÷102101÷103102÷……÷199198例3 一辆卡车4次运货27吨，正好运了一批货物的31，这批货物一共有多少吨？分析：本题看起来有3个条件，但与解决问题相关的只有两个条件，要求货物共有多少吨，与次数武官，因为4次运的总量27吨正好是货物的31，就直接用27吨除以31求得货物有多少吨。
解答：27÷31=27×3=221（吨）答：这批货物一共有221吨。
结论：在解决一些实际问题时，一定要看清题意，从问题入手找准需要的条件，再进行解答。
小学数学《分数的巧算》教案
小学数学《分数的巧算》教案教学目的：1． 掌握比较分数大小的方法，并且能熟练地运用合适的方法比较三种不同情况下分数的大小：分母相同，分子相同，分子和分母都不相同。
2． 灵活运用加法交换律，结合律，减法的性质，乘法交换律，结合律，分配律，商不变性质，积不变性质等运算法则。
3． 熟练进行分数的混合运算。
4． 熟练地掌握通分和约分技巧。
教学内容：1． 分数大小的比较。
2． 分数的混合运算。
教学重点：1． 分子分母都不相同的分数的大小比较。
2． 分数混合运算的巧算方法。
第一次课课前导入：（找座位小趣闻） 有一天52、75、54来到21的家里做客，吃饭的时候，按照习俗，主人坐在了桌子的南方，其他三个人坐在哪个座位上呢？按照我国的传统习俗，只有长辈或者尊贵的客人才坐在桌子的北角，以表示对他们的尊重，因此，桌子北面的座位被称为上座。
52、75和54意见不统一，这时21出了一个主意：“你们谁最大，谁就坐在上座吧。
” 我们知道54比52大，可是75呢？那到底是54坐上座还是75坐上座呢？带着这个问题我们开始今天的内容，在学完新内容之后再回来揭晓我们的答案。
1. 比较下面两个同等的长方形内有颜色部分的大小。
A B很明显A 图有颜色部分小于B 图有颜色的部分, A 图有颜色部分所示大小为51,B图有颜色部分所示大小为53,所以就有51＜53. 这是分母相同分子不同的两个分数,我们可以看到,分母相同,分子越大的,值越大,分子越小的,值越小。
2. 比较下面两个同等的圆内有颜色部分的大小。
很明显A2,B 图有颜色部分大小为41,所以就有21＞41. 这是分子相同分母不同的两个分数,我们可以看到,分子相同,分母越大的,值反而越小,分母越小的,值反而越大。
于是我们得到分母相同和分子相同两种情况下的分数大小比较方法:1. 分母相同时,比较分子,分子越大值越大.2. 分子相同时,比较分母,分母越大值越小.通常情况下，我们会遇到分母和分子都不相同的分数，如果要对这样的分数进行大小比较，我们该怎么办？下面就这个问题，开始我们今天的新内容。
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分数的速算与巧算（一）分数巧算（求和）分数求和的常用方法：1、公式法，直接运用一些公式来计算，如等差数列求和公式等。
2、图解法，将算式或算式中的某些部分的意思，用图表示出来，从而找出简便方法。
3、裂项法，在计算分数加、减法时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分数可以互相抵消，从而使计算简便。
4、分组法，运用运算定律，将原式重新分组组合，把能凑整或约分化简的部分结合在一起简算。
5、代入法，将算式中的某些部分用字母代替并化简，然后再计算出结果。
典型例题一、公式法： 计算：20081+20082+20083+20084+…+20082006+20082007 分析：这道题中相邻两个加数之间相差20081，成等差数列，我们可以运用等差数列求和公式：（首项+末项）×项数÷2来计算。
20081+20082+20083+20084+…+20082006+20082007 =（20081＋20082007）×2007÷2 =211003二、图解法： 计算：21 ＋41＋81＋161＋321＋641 分析：解法一，先画出线段图：从图中可以看出：21 ＋41＋81＋161＋321＋641=1－641=6463 解法二:观察算式，可以发现后一个加数总是前一个加数的一半。
因此，只要添上一个加数641，就能凑成321，依次向前类推，可以求出算式之和。
21 ＋41＋81＋161＋321＋641 =21 ＋41＋81＋161＋321＋（641＋641）－641 =21 ＋41＋81＋161＋（321+321）－641 ……解法三：由于题中后一个加数总是前一个加数的一半，根据这一特点，我们可以把原式扩大2倍，然后两式相减，消去一部分。
设x=21 ＋41＋81＋161＋321＋641 ① 那么，2x=（21 ＋41＋81＋161＋321＋641）×2 =1+21 ＋41＋81＋161＋321 ②用②－①得2x －x=1+21 ＋41＋81＋161＋321－（21 ＋41＋81＋161＋321＋641） x=6463 所以，21 ＋41＋81＋161＋321＋641=6463三、裂项法1、计算：21+61＋121＋201＋301＋……＋901＋1101 分析：由于每个分数的分子均为1，先分解分母去找规律：2=1×2，6=2×3，12=3×4，20=4×5，30=5×6，……110=10×11，这些分母均为两个连续自然数的乘积。
再变数型：因为21=211⨯=1－21，61=321⨯=21－31，121=431⨯=31－41，……，1101=11101⨯=101-111。
这样将连加运算变成加减混合运算，中间分数互相抵消，只留下头和尾两个分数，给计算带来方便。
21+61＋121＋201＋301＋……＋901＋1101 =1－21＋21－31＋31－41＋……＋91－101＋101-111 =1－111 =11102、计算：511⨯＋951⨯＋1391⨯＋……＋33291⨯＋37331⨯ 分析：因为514⨯=1－51，954⨯=51－91，1394⨯=91－131……33294⨯=291－331，37334⨯=331－371。
所以，我们可以将题中的每一个加数都扩大4倍后，再分裂成两个数的差进行简便计算。
511⨯＋951⨯＋1391⨯＋……＋33291⨯＋37331⨯ =（514⨯＋954⨯＋1394⨯＋……＋33294⨯＋37334⨯）÷4 111111111=（1－371）÷4=379 3、计算：21－34－154－354－634－994－1434－1954－2554 分析：因为34=4×31=4×311⨯=4×（1－31）×21, 154=4×151=4×531⨯=4×(31－51)×21, 354=4×351=4×751⨯=4×(51－71)×21, ……2554=4×2551=4×17151⨯=4×(151－171)×21. 所以，先用裂项法求出分数串的和，使计算简便。
21－34－154－354－634－994－1434－1954－2554 =21－4×（1－31+31－51+51－71＋……＋151－171）×21 =21－2×(1－171) =19172 4、计算：21＋65＋1211＋2019＋3029＋……＋97029701＋99009899 分析：仔细观察后发现，每个加数的分子均比分母少1.这样可变形为：21=1－21=1－211⨯，65=1－61=1－321⨯，1211=1－121=1－431⨯，2019 =1－201=1－541⨯，……，99009899=1－99001=1－100991⨯.然后再裂项相消。
21＋65＋1211＋2019＋3029＋……＋97029701＋99009899 =（1－21）＋（1－61）＋（1－121）＋(1－201)＋……＋(1－99001) =1×99－(21＋61＋121＋201＋……＋99001) =99－(211⨯＋321⨯＋431⨯＋541⨯＋……＋100991⨯) =99－(1－1001) =991001 5、计算：1＋432113211211+++++++++……+100......3211++++ 分析：可以看出，第一项的分母为1，第二项的分母为两个数相加，依此类推，最后一个分母是100个数相加且都是等差数列。
这样，利用等差数列求和公式，或利用分数基本性质，变分母为两个数相乘。
再裂项求和。
1111=2121⨯⨯+2100)1001(1......24)41(123)31(122)21(1⨯+++⨯++⨯++⨯+ =1011002......542432322212⨯++⨯+⨯+⨯+⨯ =2×（1－1011） =101991 解法二：原式= )10099......21(221......)4321(221)321(221)21(221212++++⨯⨯+++++⨯⨯+++⨯⨯++⨯⨯+⨯=1011002......432322212⨯++⨯+⨯+⨯ =2×（1011001......431321211⨯++⨯+⨯+⨯） =2×（1－1011） =101991 6、计算：+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯543143213211…＋10099981⨯⨯ 分析：可以把题中的每两个加数分解成两个分数之差：)321211(213211⨯-⨯⨯=⨯⨯，)431321(214321⨯-⨯⨯=⨯⨯，…… )10099199981(2110099981⨯-⨯⨯=⨯⨯，此时，可消中间，留两头进行巧算。
原式=21×（321211⨯-⨯）＋21×（431321⨯-⨯）+……＋21×（10099199981⨯-⨯） =21×（321211⨯-⨯＋431321⨯-⨯＋……＋10099199981⨯-⨯） =21×（100991211⨯-⨯） =198004949四、分组法：计算，20041+20042－20043－20044＋20045＋20046－20047－20048＋20049＋200410－……－20041999－20042000＋20042001＋20042002 分析：算式中共有2002个分数，从第二个分数20042开始依次往后数，每四个分数为一组，到20042001为止，共有500组，每组计算结果都是0.原式=20041+（20042－20043－20044＋20045）＋（20046－20047－20048＋20049）＋200410－……+19981999200020012002=20041+20042002 =20042003 五、代入法：计算（1+413121++）×（51413121+++）－（1＋51413121+++）×（413121++） 分析：可以把算式中相同的一部分式子，设字母代替，可化繁为简，化难为易。
设413121++=A ，51413121+++=B ，则 原式=（1+A ）×B －(1+B)×A=B ＋AB －A －AB=B －A =(51413121+++)－(413121++) =51热点习题计算：1、49134911499497495493491++++++【1】2、12816413211618141211-------【1281】3、4213012011216121+++++【76】4、200920081200820071......199119901199019891198919881⨯+⨯++⨯+⨯+⨯ 【57055632009119881=-】4、3937137351......191711715115131⨯+⨯++⨯+⨯+⨯【391】6、2+421133011120171215613++++【41145】7、565542413029201912116521++++++【816】8、3994003233242552561951961431449910063643536151634+++++++++【211010】9、1102190197217561542133011209127651-+-+-+-+-【原式=1－3232⨯+＋4343⨯+－5454⨯++6565⨯+-7676⨯++8787⨯+－9898⨯++109109⨯+－11101110⨯+ =1－（323322⨯+⨯）+（434433⨯+⨯）－(545544⨯+⨯)+…－（111011111010⨯+⨯） =1－(2131+)+(3141+)－(4151+)+…－(101111+) =1－11121-=229】10、20021+20022+20023+20024－20025－20026－20027－20028＋20029＋200210＋…＋20021995＋20021996－20021997－20021998－20021999－20022000＋20022001＋20022002 【从第三个分数20023开始依次往后数，每8个分数为一组，到最后一个分数20022002为止，共有250组，每组计算结果都是0.所以，原式=20021+20022=20023】11、(1+51413121+++)×（6151413121++++）－(1+6151413121++++)×(51413121+++) 【设1+51413121+++=A ，51413121+++=B ，原式=A ×（B+61）－（A+61）×B=61】12、)54535251()434241()3231(21++++++++++…+（20192018...203202201+++++） 【原式=21+1+211+2+221+…+921=（21+921）×19÷2=95】13、2001年是中国共产党建党80周年，20011921是个有特殊意义的分数。