华东理工大学高等数学答案第12章
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2
又 ∵ 当 r 0 时， , 0,0 ，且 f x, y 在 0,0 连续． ∴ lim
1 r 0 r 2
x 2 y 2 r 2
f x, y d f 0,0 ．
第 12 章 （之 2） （总第 68 次）
教学内容 : § 12．2．1 二重积分在直角坐标系下的计算方法 1．解下列各题： ** （1） 设 f ( x , y ) 是连续函数， 则
(C) 答：(C)
1
0
dy
y 1
1
f ( x, y)dx
1
dy
y 2 1
1
f ( x, y )dx ； (D)
2
0
dy
y 2 1
1
f ( x, y )dx ．
**（3）设 f x, y 是连续函数，交换二次积分
e 1
dx
ln x 0
f x, y dy 的积分次序的结果为
**（3）
D： x y 1 ， x y 1， x 0 ．
解：原式= dx
0
f ( x, y)dy = dy
x 1 1 0
1
1 x
0
y 1
f ( x, y)dx dy f ( x, y)dx ．
0 0
1
1 y
3．计算二次积分： **(1)
4 2
76
（
）
2．画出下列各题中给出的区域 D，并将二重积分化成两种不同顺序的二次积分（假定 在区域上连续） ． **（1）D 由曲线 xy 1, y x, x 2 围成； 解： I
2
1
dx 1 f x, y dy 1 dy 1 f x, y dx dy f x, y dx
D
1 6
2 2
(2) 设 f (t)为连续函数，则由平面 z=0，柱面 x y 1 和曲面 z
f 2 ( xy )
所围立体的体
积可用二重积分表示为___________________________________________． 答：
x 2 y 2 1
f
2
( xy )dxdy ．
x2 y2 D x, y 1 上的最小值和最大值， 16 9
由于区域 D 上的点到坐标原点 O 0,0 的距离为
x2 y2 ，
∴0
x 2 y 2 42 0 4 ，
∴ 1 f x, y 17 ， 又因为该区域的面积为 ∴
a 2 0
dy
a2 y2 a 2 2 ay
f x, y dx
a dy
2
a
a2 y2
0
f x, y dy a 0
可交换积分次序得___________________________． 答：原式= dx
0
a
a2 x2
a2 x2 2a
f ( x, y)dy ．
75
**（2）设 f ( x , y ) 是连续函数，则二次积分
0
1
dx
1 x 2 x 1
f ( x, y )dy
1
（
）
（A）
1
0
dy
y 1
1
f ( x, y)dx dy
1 2
2
y 2 1
1
f ( x, y )dx ； （B）
dy
0
y 1
1
f ( x, y)dx ；
(3) 设 I
dxdy 则 I 满足 2 2 x y 1 1 cos x sin y
(
)
(A) (C) 答：(A)．
2 I 2 3 1 DI 2
(B)
2I 3
(D) 1 I 0
(4) 设 I 1
ln( x y)d ， I
D
2
( x y ) 2 d 及 I 3 ( x y)d 其中 D 是由直线
x y 1
2 2
f x, y dy
成立的充分条件是 （A） f ( x, y) f ( x, y) ， f ( x, y) f ( x, y) ； （B） f ( x, y) f ( x, y) ， f ( x, y) f ( x, y) ； （C） f ( x, y) f ( x, y) ， f ( x, y) f ( x, y) ； （D） f ( x, y) f ( x, y) ， f ( x, y) f ( x, y) ． 答： （D） ．
解：原式= e dx dy = ( xe
0 x3 0
1
x2
x
1
**(3) 计算二重积分
x
D
2
1 y d ，其中 D {( x, y) 0 y 1 x 2} ．
解： D x, y 0 y 1 x 2 D : 0 y 1 ， 原式
dy y e x
2
2
2
2 x
dx ．
解： D : 2 y 4, 原式
y x 2 ， 变换积分次序得 D* : 1 x 2, 2 y 2 x ， 2
e
1
2 1
2
x 2 2 x
dx dy e x
2 1
2x
2
2
2 x
2 x 2dx
1 1 ． e
y 2 x 2 1
3
sin( y x)dydx I ，所以 I 0 ．
74
ae x be y (2) e x e y dxdy ． x 2 1, y 2 1
解： I
ae x be y 2 e x e y dxdy 2 x 1, y 1
D 3 4 12 ，
12 f x, y d 17 12 204 ．
D
***3．试利用积分值与积分变量名称无关，解下列问题：
(1)
2
x y 1
3
sin( x y)dxdy ；
2
解：因为 I
x 2 y 2 1
3
sin( x y)dxdy
1
0
dx
f ( x , y ) dy dx
1
2
2 x
0
f ( x , y ) dy 可
（ ）
dy f x, y dx
1 y 0 0
2
1
dy
2 y
0 2 x
f x, y dx ； f x, y dx ；
1
0
dy f x, y dx
0
1 ( a b )e x ( a b ) e y ab dxdy dxdy 2(a b) ． x y 2 x 2 1, y 2 1 2 x 2 e e 1, y 2 1
***4． 设 f ( x, y) 是连续函数，试利用积分中值定理求极限
lim
解：积分区域 D : x y r
2 2 2
1 r 0 r 2
x y 2 r 2
2
f ( x, y)d ．
为有界区域，且 f x, y 连续，
∴ 由积分中值定理可知：存在点 , D ，使得 即：
f x, y d f , S
D
D
，
x 2 y 2 r 2
f x, y d r f , ，
x2
2
1
dy
0
1
0
dy
x
2 y y
f ( x, y ) dx ；
1
0
dy 2 f x, y dx ．
1 1 x 2
2 x
答： (C )
2 2 **（5）设函数 f x, y 在 x y 1 上连续，使 f x, y dxdy 4 dx 0 0
ae y be x 2 e y e x dydx ， 2 y 1, x 1
1 ae x be y ae y be x I d x d y d y d x x y e y e x 2 y 2 1, x 2 1 x 2 1, y 2 1 e e
u
1 x2 y2 ，
因此
e
D
x2 y2
d 1 x 2 y 2 d ．
D
(2) 利用二重积分性质，估计二重积分的值：
(1 x
D
2
y 2 )d ， D {( x, y) 9 x 2 16 y 2 144} ．
2 2
解 ： 先 求 出 目 标 函 数 f x, y x y 1 在 区 域
x 1 2 2 2
x 2 y
1
y
**（2） D x, y max 1 x, x 1 y 1 解： I
1 1 y 0 1 y
dx
0
1
1
1 x
f x, y dy dx
2 1
1
x 1
f x, y dy dy
f x, y dx
1
x
ex
2
2 x
d x 2 2x e x
2
2 x 2 1
**(2)
1
2 2 dx x 1 x y dy ． 1
1 1 解：原式= dy x 1 x y dx = (1 y )dy = ． 2 3 1 1 y
2 2
1
1
1
3
4．计算下列二重积分 **(1)
3
2
2
2
D
a 2 x 2 y 2 dxdy ．
3
（A） 1； 答： （B） ．
(B)
3 ； 2
3
(C)
3 ； 4
(D)
1 ． 2
73
**2．解下列问题： (1) 利用二重积分性质，比较二重积分的大小： 中，D 为任一有界闭区间． 解：令 u x 2 y 2 ，且 f u e 1 u ，则有 f ' u e u 1 ．
（ ）
（A） (C) 答：(D)
dy
1
e 1 0
e
ln x
0
f x, y dx ；
f x, y dx ；
(B) (D)
dy
1
e
ln x
0
f x, y dx ；
dy
ln x
dy f x, y dx ．
1 e 0 ey
x2 0
**（4）设 f ( x , y ) 是连续函数，则积分 交换积分次序为 （A） （B） （C） （D）
1 0
1
0
1 y dy
1 y
1 y
x 2 dx
1 1 y dy x 3 3
1 y 1 y
1 1 1 y 1 y 1 y 1 y 1 y dy 3 0 2 1 2 1 2 2 1 y dy 1 y d 1 y 0 0 3 3 2 2 3 1 y 1 0 9 9
第 12 章 （之 1） （总第 67 次）
教学内容: § 12．1 二重积分概念与性质 **1．解下列各题： (1) 若 D 是以 O (0,0), A (1,0), B (0,1) 为顶点的三角形区域，利用二重积分的几何意 义可得到 答：
(1 x y) dxdy =___________．
u
x e D
2
y2
d 与
(1 x
D
2
y 2 )d ，其
∵u 0，
0wk.baidu.com
∴ e 1 0, 即 f ' u 0 ， f u 是增函数．
u
∵ f 0 e 1 0 ， ∴e
x2 y 2
∴ f u f 0 0 即 e 1 u 0 ，
D
d 2 y
，其中 D x, y x y 2 y ；
2 2
解：原式= 2
2
0
dy
2 y y2
dx 2 y
0
8 2． 3
77
**(2) 计算二重积分
e
D
x2
dxdy ，其中 D 是第一象限中由 y=x 和 y=x3 所围成的区域．
x2
2 1 x 3 e x )dx = e 1 ． 2
**(4) 计算二重积分
x y d ,其中 D ( x, y) 0 x 1,0 y 2．
D D
x=0，y=0， x y
1 及 x y 1 所围成的区域，则 I1，I2，I3 的大小顺序为 ( 2
(C) I1＜I3＜I2； (D) I3＜I1＜I2．
)
(A) I3＜I2＜I1； 答： （B） ．
(B) I1＜I2＜I3；
(5) 设 D : x y a (a 0), 当 a ________ 时，
又 ∵ 当 r 0 时， , 0,0 ，且 f x, y 在 0,0 连续． ∴ lim
1 r 0 r 2
x 2 y 2 r 2
f x, y d f 0,0 ．
第 12 章 （之 2） （总第 68 次）
教学内容 : § 12．2．1 二重积分在直角坐标系下的计算方法 1．解下列各题： ** （1） 设 f ( x , y ) 是连续函数， 则
(C) 答：(C)
1
0
dy
y 1
1
f ( x, y)dx
1
dy
y 2 1
1
f ( x, y )dx ； (D)
2
0
dy
y 2 1
1
f ( x, y )dx ．
**（3）设 f x, y 是连续函数，交换二次积分
e 1
dx
ln x 0
f x, y dy 的积分次序的结果为
**（3）
D： x y 1 ， x y 1， x 0 ．
解：原式= dx
0
f ( x, y)dy = dy
x 1 1 0
1
1 x
0
y 1
f ( x, y)dx dy f ( x, y)dx ．
0 0
1
1 y
3．计算二次积分： **(1)
4 2
76
（
）
2．画出下列各题中给出的区域 D，并将二重积分化成两种不同顺序的二次积分（假定 在区域上连续） ． **（1）D 由曲线 xy 1, y x, x 2 围成； 解： I
2
1
dx 1 f x, y dy 1 dy 1 f x, y dx dy f x, y dx
D
1 6
2 2
(2) 设 f (t)为连续函数，则由平面 z=0，柱面 x y 1 和曲面 z
f 2 ( xy )
所围立体的体
积可用二重积分表示为___________________________________________． 答：
x 2 y 2 1
f
2
( xy )dxdy ．
x2 y2 D x, y 1 上的最小值和最大值， 16 9
由于区域 D 上的点到坐标原点 O 0,0 的距离为
x2 y2 ，
∴0
x 2 y 2 42 0 4 ，
∴ 1 f x, y 17 ， 又因为该区域的面积为 ∴
a 2 0
dy
a2 y2 a 2 2 ay
f x, y dx
a dy
2
a
a2 y2
0
f x, y dy a 0
可交换积分次序得___________________________． 答：原式= dx
0
a
a2 x2
a2 x2 2a
f ( x, y)dy ．
75
**（2）设 f ( x , y ) 是连续函数，则二次积分
0
1
dx
1 x 2 x 1
f ( x, y )dy
1
（
）
（A）
1
0
dy
y 1
1
f ( x, y)dx dy
1 2
2
y 2 1
1
f ( x, y )dx ； （B）
dy
0
y 1
1
f ( x, y)dx ；
(3) 设 I
dxdy 则 I 满足 2 2 x y 1 1 cos x sin y
(
)
(A) (C) 答：(A)．
2 I 2 3 1 DI 2
(B)
2I 3
(D) 1 I 0
(4) 设 I 1
ln( x y)d ， I
D
2
( x y ) 2 d 及 I 3 ( x y)d 其中 D 是由直线
x y 1
2 2
f x, y dy
成立的充分条件是 （A） f ( x, y) f ( x, y) ， f ( x, y) f ( x, y) ； （B） f ( x, y) f ( x, y) ， f ( x, y) f ( x, y) ； （C） f ( x, y) f ( x, y) ， f ( x, y) f ( x, y) ； （D） f ( x, y) f ( x, y) ， f ( x, y) f ( x, y) ． 答： （D） ．
解：原式= e dx dy = ( xe
0 x3 0
1
x2
x
1
**(3) 计算二重积分
x
D
2
1 y d ，其中 D {( x, y) 0 y 1 x 2} ．
解： D x, y 0 y 1 x 2 D : 0 y 1 ， 原式
dy y e x
2
2
2
2 x
dx ．
解： D : 2 y 4, 原式
y x 2 ， 变换积分次序得 D* : 1 x 2, 2 y 2 x ， 2
e
1
2 1
2
x 2 2 x
dx dy e x
2 1
2x
2
2
2 x
2 x 2dx
1 1 ． e
y 2 x 2 1
3
sin( y x)dydx I ，所以 I 0 ．
74
ae x be y (2) e x e y dxdy ． x 2 1, y 2 1
解： I
ae x be y 2 e x e y dxdy 2 x 1, y 1
D 3 4 12 ，
12 f x, y d 17 12 204 ．
D
***3．试利用积分值与积分变量名称无关，解下列问题：
(1)
2
x y 1
3
sin( x y)dxdy ；
2
解：因为 I
x 2 y 2 1
3
sin( x y)dxdy
1
0
dx
f ( x , y ) dy dx
1
2
2 x
0
f ( x , y ) dy 可
（ ）
dy f x, y dx
1 y 0 0
2
1
dy
2 y
0 2 x
f x, y dx ； f x, y dx ；
1
0
dy f x, y dx
0
1 ( a b )e x ( a b ) e y ab dxdy dxdy 2(a b) ． x y 2 x 2 1, y 2 1 2 x 2 e e 1, y 2 1
***4． 设 f ( x, y) 是连续函数，试利用积分中值定理求极限
lim
解：积分区域 D : x y r
2 2 2
1 r 0 r 2
x y 2 r 2
2
f ( x, y)d ．
为有界区域，且 f x, y 连续，
∴ 由积分中值定理可知：存在点 , D ，使得 即：
f x, y d f , S
D
D
，
x 2 y 2 r 2
f x, y d r f , ，
x2
2
1
dy
0
1
0
dy
x
2 y y
f ( x, y ) dx ；
1
0
dy 2 f x, y dx ．
1 1 x 2
2 x
答： (C )
2 2 **（5）设函数 f x, y 在 x y 1 上连续，使 f x, y dxdy 4 dx 0 0
ae y be x 2 e y e x dydx ， 2 y 1, x 1
1 ae x be y ae y be x I d x d y d y d x x y e y e x 2 y 2 1, x 2 1 x 2 1, y 2 1 e e
u
1 x2 y2 ，
因此
e
D
x2 y2
d 1 x 2 y 2 d ．
D
(2) 利用二重积分性质，估计二重积分的值：
(1 x
D
2
y 2 )d ， D {( x, y) 9 x 2 16 y 2 144} ．
2 2
解 ： 先 求 出 目 标 函 数 f x, y x y 1 在 区 域
x 1 2 2 2
x 2 y
1
y
**（2） D x, y max 1 x, x 1 y 1 解： I
1 1 y 0 1 y
dx
0
1
1
1 x
f x, y dy dx
2 1
1
x 1
f x, y dy dy
f x, y dx
1
x
ex
2
2 x
d x 2 2x e x
2
2 x 2 1
**(2)
1
2 2 dx x 1 x y dy ． 1
1 1 解：原式= dy x 1 x y dx = (1 y )dy = ． 2 3 1 1 y
2 2
1
1
1
3
4．计算下列二重积分 **(1)
3
2
2
2
D
a 2 x 2 y 2 dxdy ．
3
（A） 1； 答： （B） ．
(B)
3 ； 2
3
(C)
3 ； 4
(D)
1 ． 2
73
**2．解下列问题： (1) 利用二重积分性质，比较二重积分的大小： 中，D 为任一有界闭区间． 解：令 u x 2 y 2 ，且 f u e 1 u ，则有 f ' u e u 1 ．
（ ）
（A） (C) 答：(D)
dy
1
e 1 0
e
ln x
0
f x, y dx ；
f x, y dx ；
(B) (D)
dy
1
e
ln x
0
f x, y dx ；
dy
ln x
dy f x, y dx ．
1 e 0 ey
x2 0
**（4）设 f ( x , y ) 是连续函数，则积分 交换积分次序为 （A） （B） （C） （D）
1 0
1
0
1 y dy
1 y
1 y
x 2 dx
1 1 y dy x 3 3
1 y 1 y
1 1 1 y 1 y 1 y 1 y 1 y dy 3 0 2 1 2 1 2 2 1 y dy 1 y d 1 y 0 0 3 3 2 2 3 1 y 1 0 9 9
第 12 章 （之 1） （总第 67 次）
教学内容: § 12．1 二重积分概念与性质 **1．解下列各题： (1) 若 D 是以 O (0,0), A (1,0), B (0,1) 为顶点的三角形区域，利用二重积分的几何意 义可得到 答：
(1 x y) dxdy =___________．
u
x e D
2
y2
d 与
(1 x
D
2
y 2 )d ，其
∵u 0，
0wk.baidu.com
∴ e 1 0, 即 f ' u 0 ， f u 是增函数．
u
∵ f 0 e 1 0 ， ∴e
x2 y 2
∴ f u f 0 0 即 e 1 u 0 ，
D
d 2 y
，其中 D x, y x y 2 y ；
2 2
解：原式= 2
2
0
dy
2 y y2
dx 2 y
0
8 2． 3
77
**(2) 计算二重积分
e
D
x2
dxdy ，其中 D 是第一象限中由 y=x 和 y=x3 所围成的区域．
x2
2 1 x 3 e x )dx = e 1 ． 2
**(4) 计算二重积分
x y d ,其中 D ( x, y) 0 x 1,0 y 2．
D D
x=0，y=0， x y
1 及 x y 1 所围成的区域，则 I1，I2，I3 的大小顺序为 ( 2
(C) I1＜I3＜I2； (D) I3＜I1＜I2．
)
(A) I3＜I2＜I1； 答： （B） ．
(B) I1＜I2＜I3；
(5) 设 D : x y a (a 0), 当 a ________ 时，