芝诺悖论之飞箭不动

芝诺悖论之“飞箭不动”

摘要：自从芝诺提出他的悖论以来, 对哲学、逻辑学、数学和物理学等学科的发展, 产生了深远的影响, 以至今日它仍然是学界讨论的热门话题之一。在历史上, 亚里士多德、黑格尔和罗素等人对芝诺悖论都有极高的评价。但每一代人都需要以彻底改造的方式进行某种重建，这是因为论据、困惑、悖论必须在当代的语境之中被重复发现和重新建构。当然，时间哲学自芝诺时代以来一直在发展着，但这并不是说芝诺之“箭”不能以当代问题的方式提出。自从芝诺提出他的悖论以来, 对哲学、逻辑学、数学和物理学等学科的发展, 产生了深远的影响, 以至今日它仍然是学界讨论的热门话题之一。在历史上, 亚里士多德、黑格尔和罗素等人对芝诺悖论都有极高的评价。但每一代人都需要以彻底改造的方式进行某种重建，这是因为论据、困惑、悖论必须在当代的语境之中被重复发现和重新建构。当然，时间哲学自芝诺时代以来一直在发展着，但这并不是说芝诺之“箭”不能以当代问题的方式提出。

关键词：飞箭不动；历史评价；重建

一、飞箭不动悖论

芝诺悖论(Zeno's paradoxes)是古希腊数学家芝诺（Zeno of Elea）提出的一系列关于运动的不可分性的哲学悖论。芝诺以一种看来是严格的逻辑论证的方法，提出了一与多、动与静、连续与间断等存在的悖论，其目的是要否定现象的多、动和可分的间断性，以归谬法来反证“一”即不动、连续的存在才是世界全体的合理本性。

芝诺从形式上看使用的都是归谬法，而从内容上看则主要集中在两个方面：

一是论证存在单一反对存在众多，二是论证存在不动反对存在运动。他提出了关于“运动”的四个悖论，本文主要就“飞箭不动”的悖论提出一些看法。

所谓的“飞箭不动”悖论是指，如果任何事物，当它是在一个和自己大小相同的空间里时（没有越出它），它是静止的。如果位移的事物总是在“现在”里占有这样一个空间，那么飞着的箭是不动的。

简单来说，即，一支箭从A点飞到B点，要经过A点与B点之间的所在点。在每一瞬间，它都处在某一点上，在这一瞬间它在这个点上是不动的（否则我们就不能说它在这一点上）。从A到B的距离是由其间的每一点集合而成，飞箭在每一瞬间在每一点上都是不动的，不动加不动仍然等于不动，所以飞箭不动。

飞箭既然在每一点上都是静止的，那么所有静止的点集合起来仍然是静止，故曰飞箭不动。“飞箭”实际上是“不动”的；如果说它在动，那就等于说它同时在这一点上又不在这一点上，但这是矛盾的。

亚里士多德批评道：“这个说法是错的，因为时间不是由不可分割的‘瞬间’组成的，正如别的量度也都不是由不可分割的部分组成一样。”这个悖论的实质是将运动经历的时间无限微分为不连续、不可超越的静态‘瞬间’，以此论证，就世界本性的存在而言，运动是表面的假象，运动不过是由无数静止的画面拼接而成的，就像如今动态的电影放映时连接的是静态胶片一样。

二、对飞箭不动悖论的历史评价

19世纪下半叶以来，学者们开始重新研究芝诺．他们推测芝诺的理论在古代就没有得到完整的、正确的报道，而是被诡辩家们用作倡导怀疑主义和否定知识的工具，从而背离了芝诺的真正宗旨。而亚里士多德正是按照被诡辩家们歪曲过的形象来引述芝诺悖论的。然而，迄今为止，学者们还找不出可靠的证

据足以推翻亚里士多德和辛普里西奥斯关于芝诺悖论的记述。由于目前对希腊哲学史了解得还不够，对于芝诺提出这些悖论的目的何在尚不清楚。比较一致的意见是：芝诺关于运动的悖论并不是简单地否认运动，在这些悖论后面有着更深层的内涵。亚里士多德的著作保存了芝诺悖论的大意，功不可没，但是他对于芝诺悖论的分析和批评并非十分成功，是值得重新研究的。

关于芝诺悖论对于古代希腊数学发展的重要性，在科学史学者中的意见是很不一致的。P．汤纳利首先提出，芝诺和巴门尼德哲学的关系并不如古代传说中所肯定的那样密切。相比之下，因毕达哥拉斯学派发现不可公度量而出现的一些问题，对于芝诺具有更加深刻的影响。基于同样的假设，H．赫斯(Hasse)和H．斯科尔斯(Scholz)想把芝诺说成是对古代数学的发展方向起决定影响的人物。他们试图证明，毕达哥拉斯学派曾假定存在无限小的基本线段(初等线段)，想以此来克服因发现不可公度量而引起的困难。芝诺所反对的正是这种处理无穷小的不准确的做法，从而迫使下一代的毕达哥拉斯学派的数学家去探求更好、更准确的基础。另有一些学者持有完全不同的意见。B．L．范德瓦尔登(van der Waerden)指出，我们已知的关于公元前五世纪下半叶的数学理论——不可公度量的发现无疑是那个时代作出的——并不支持芝诺曾经对那个时代的数学发展作过任何重大贡献的说法。

虽然芝诺时代已经过去二千四百多年了，但是围绕芝诺的争论还没有休止。不论怎样，人们无须担心芝诺的名字会从数学史上一笔勾销。正如美国数学史家E．T．贝尔(Bell)所说，芝诺毕竟曾“以非数学的语言，记录下了最早同连续性和无限性格斗的人们所遭遇到的困难。”芝诺的功绩在于把动和静的关系、无限和有限的关系、连续和离散的关系惹人注意地摆了出来，并进行了辩证的

考察。虽然不能肯定他对古典希腊数学的发展有无直接的重要影响，但是有一点决不是偶然的巧合：柏拉图写作对话《巴门尼德》篇的时候，因为其中讨论的主要话题之一是芝诺的观点，芝诺也是书中的主角之一，因此在柏拉图学园中很自然地热烈讨论起芝诺悖论来。当时欧多克索斯(Eudoxus)正在柏拉图学园中攻读和研究数学与哲学。欧多克索斯在稍后的时间里创立了新的比例论(《几何原本》第五卷中的主要内容)，从而克服了因发现不可公度量而出现的数学危机；并完善了穷竭法，巧妙地处理了无穷小问题。因此，在希腊数学发展的这个关键时刻，很难说芝诺没有对它的发展作出过有意义的贡献。

芝诺在哲学上被亚里士多德誉为辩证法的发明人。黑格尔在他的《哲学史讲演录》中指出：“芝诺主要是客观地辩证地考察了运动”，并称芝诺是“辩证法的创始人”。

三、重建飞箭不动悖论

(一) 第一重建：即时时刻不动

在对芝诺悖论进行明确解释方面引起了最为激烈争辩的是辛普里丘对芝诺的解读。

飞行中的箭在每一即时时刻都占据着与它自身相等的空间，那它就在整个飞行的时间内都占据着与它自身相等的空间。由于任何事物在某一即时时刻都不运动，因而在某一时刻占据着等同于自身的空间的物体不运动。但不运动就是静止，因为一切事物要么运动要么静止。因此，飞行中的箭虽然在飞行，但它在整个飞行过程中是静止的。

这便提出了如下重构内容：

(1)如果x在T时间内运动，那么x在T时间内的每一即时时刻都运动。