《椭圆的参数方程》优质课比赛课件

第二章 参数方程
x2 y2 + = 1有一内接矩形 有一内接矩形ABCD， 例3、已知椭圆 、 ， 100 64
求矩形ABCD的最大面积。 的最大面积。 求矩形 的最大面积
Y y D
解 : 设A (10 cos α ,8sin α )
AD = 20 cos α , AB = 16 sin α S = 20 × 16 sin α cos α = 160 sin 2α
），离心率是 3 , 0)），离心率是
3 2
）。
第二章 参数方程 上求一点P， 例2、如图，在椭圆 2+8y2=8上求一点 ，使P到直线 、如图，在椭圆x 上求一点 到直线 l：x-y+4=0的距离最小 ： 的距离最小. 的距离最小
y
分析1：设P ( ± 8 − 8y 2 , y ),
则d = | ± 8 − 8y 2 − y + 4 | 2
O
A
B N M
x
第二章 参数方程 例1、如下图，以原点为圆心，分别以 ，b（a＞b＞0） 、如下图，以原点为圆心，分别以a， （ ＞ ＞ ） 为半径作两个圆， 是大圆半径OA与小圆的交点，过 与小圆的交点， 为半径作两个圆，点B是大圆半径 是大圆半径 与小圆的交点 点A作AN⊥ox，垂足为 ，过点 作BM⊥AN，垂足为 ， 作 ⊥ ，垂足为N，过点B作 ⊥ ，垂足为M， 求当半径OA绕点 旋转时点 的轨迹参数方程 绕点O旋转时点 的轨迹参数方程. 求当半径 绕点 旋转时点M的轨迹参数方程 y 解： 设∠XOA=φ, M(x, y), 则 A A: (acosφ, a sinφ), B B: (bcosφ, bsinφ), M
所以, 矩形 ABCD 最大面积为160
A1
B2
A
F1
C
O B1
B
F2
X A2 X
第二章 参数方程
+ =1 练习3:已知 练习 已知A,B两点是椭圆 已知 两点是椭圆 与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭 与坐标轴正半轴的两个交点 在第一象限的椭 圆弧上求一点P,使四边形 使四边形OAPB的面积最大 的面积最大. 圆弧上求一点 使四边形 的面积最大
x = a cos ϕ, x = b cos ϕ, 焦点在X 轴 焦点在Y 轴 y = b sin ϕ. y = a sin ϕ.
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第二章 参数方程 知识归纳 x2 y2 椭圆的标准方程: 椭圆的标准方程: 2 + 2 =1
y A
B O M N
φ
x
a b x = acos φ 椭圆的参数方程: (φ为参数 ) 椭圆的参数方程: y = bsinφ
2 sin( π + α ) 4
所以当α =
π
4 这 时 点 P的 坐 标 为 ( 3 2 2 , 2 )
时, d 有最大 值,面积最大
第二章 参数方程
x2 y2 1、动点 、动点P(x,y)在曲线 在曲线 的最 + =1上变化 ，求2x+3y的最 9 4 大值和最小值
练习4 练习
6 最大值 2,最小值− 6 2.
O
A x
第二章 参数方程
【练习1】把下列普通方程化为参数方程 练习 】把下列普通方程化为参数方程.
2 x y y 2 + = 1 (2) x + =1 (1) 4 9 16 x = 2 co s θ x = cos θ (1) (2) y = 3 sin θ y = 4 sin θ
2
2
{
{
把下列参数方程化为普通方程 x = 3 cos ϕ x = 8 cos ϕ (3) (4) y = 1 0 s i n ϕ y = 5 s in ϕ
x = acos φ O N x 由已知: 由已知 (θ为参数 ) y = bsinφ 即为点 的轨迹参数方程 参数方程. 即为点M的轨迹参数方程. x2 y2 消去参数得: 即为点 的轨迹普通方程. 普通方程 消去参数得: 2 + 2 = 1, 即为点M的轨迹普通方程. a b
第二章 参数方程
x 9
2
y2 4
解 : 椭圆参数方程 设点P(3cos α ,2sin α ) S> ABC 面积一定 , 需求 S> ABP 最大即可 即 求 点 P 到 线 AB的 距 离 最 大 值
x 线 AB的 方 程 为 3 + y 2
= 1 ⇒ 2x + 3y − 6 = 0 =
6 13
d =
| 6 cos α + 6 sin α − 6 | 2 2 + 32
椭圆的参数方程中参数φ的几何意义: 椭圆的参数方程中参数φ的几何意义: 不是∠ 是∠AOX=φ,不是∠MOX=φ. 不是 圆的标准方程: 圆的标准方程: x2+y2=r2
y
P θ
x = r cos θ 圆的参数方程: (θ为参数 ) 圆的参数方程: y = r sinθ θ的几何意义是 ∠AOP=θ 的几何意义是
数方程. 数方程 2 .在椭圆的参数方程中，常数a、b分 在椭圆的参数方程中，常数 分 在椭圆的参数方程中 别是椭圆的长半轴长和短半轴长. a>b 别是椭圆的长半轴长和短半轴长.
x = a cos ϕ 1 .参数方程 y = b sin ϕ 是椭圆的参 参数方程
另外, ϕ 称为离心角 规定参数 另外 称为离心角 离心角,规定参数 ϕ 的取值范围是 ϕ ∈ [0, 2π )
O x
分析2：设P( 2 2 cos φ, sin φ),
则d = | 2 2 cos φ − sin φ + 4 |
P
2 至首次与椭圆相切，切点即为所求. 分析3：平移直线 l 至首次与椭圆相切，切点即为所求 小结：借助椭圆的参数方程， 小结：借助椭圆的参数方程，可以将椭圆上的任意一 点的坐标用三角函数表示，利用三角知识加以解决。 点的坐标用三角函数表示，利用三角知识加以解决。
2、θ取一切实数时，连接 、 取一切实数时 连接A(4sinθ,6cosθ)和B(-4cosθ, 取一切实数时， 和 6sinθ)两点的线段的中点轨迹是 6sinθ)两点的线段的中点轨迹是 A. 圆 B. 椭圆 C. 直线 x=2sinθ-2cosθ y=3cosθ+3sinθ B . D. 线段
设中点M 设中点 (x, y)
x (3) 9
2
+ =1 (4)
y 25
2
x 64
2
+
y2 100
=1
第二章 参数方程
x =2cosθ 练习2： ( θ 是 练习 ：已知椭圆的参数方程为 y =sinθ
参数) 则此椭圆的长轴长为（ 参数 ，则此椭圆的长轴长为（ 4 ），焦点坐标是 焦点坐标是（ （ 2 ），焦点坐标是（(± （ ），短轴长为 ），短轴长为
x y + = L= 2 4 9
2
2
第二章 参数方程
第二章 参数方程
椭圆的参数方程
第二章 参数方程 例1、如下图，以原点为圆心，分别以 ，b（a＞b＞0） 、如下图，以原点为圆心，分别以a， （ ＞ ＞ ） 为半径作两个圆， 是大圆半径OA与小圆的交点，过 与小圆的交点， 为半径作两个圆，点B是大圆半径 是大圆半径 与小圆的交点 点A作AN⊥ox，垂足为 ，过点 作BM⊥AN，垂足为 ， 作 ⊥ ，垂足为N，过点B作 ⊥ ，垂足为M， 求当半径OA绕点 旋转时点 的轨迹参数方程 绕点O旋转时点 的轨迹参数方程. 求当半径 绕点 旋转时点M的轨迹参数方程 的横坐标与点A的横坐标相同 分析： 的横坐标与点 的横坐标相同, 分析：点M的横坐标与点 的横坐标相同 的纵坐标与点B的纵坐标相同 点M的纵坐标与点 的纵坐标相同 y 的纵坐标与点 的纵坐标相同. 而A、B的坐标可以通过 、 的坐标可以通过 引进参数建立联系. 引进参数建立联系 设∠XOA=φ