高中数学选修4-5课件：本讲小结4

第四讲数学归纳法证明不等式知识框图—原理数学归纳法|—匚应用方法总结利用数学归纳法证明的几类问题1.有关恒等式的证明问题用数学归纳法证明恒等式的关键是证明n=k+\时命题成立，从n = k+l的待证目标恒等式的一端“拼凑”出归纳假设的恒等式的一端，再运用归纳假设即可.同时应注意目标恒等式另一端的变化（即用k+1代替恒等式中的n）.2.有关整除与几何问题数学归纳法可以用来证明有关整除问题，几何方面的问题，证明的关键是寻求＞+1）与/伙）之间的递推关系，基本策略是"硬凑假设”即从金+1）中将张）分离出来，或者从特例入手，发现规律, 或用＞+!）-»看由n=k到”=k+l的变化情况.3.有关不等式的证明问题证明不等式往往比证明恒等式难度更大一些，方法更灵活，它往往结合综合法，分析法，比较法外，放缩法更显得重要，用数学归纳法证明的第二步，由假设_AQ>g伙）成立，推证金+l）>g 伙+ 1）.对这一条件不等式的证明，应灵活运用证明不等式的常用方法，其基本格式为_Ak+l+ A伙）〉g伙）+ A（Q>g伙+1）.具体证明过程中应注意以下几点：(1)瞄准当n=k^ 1时的目标，一切变换都向目标推进;(2)要把假设作为条件用上一次或几次；(3)活用起点的位置.4.有关归纳、猜想、证明问题数学归纳法源于对某些猜想的证明，而猜想是用不完全归纳法对一些具体的简单的情形进行观察，类比而提出的.他的可靠性就要用数学归纳法来证明，问题一般分为三步进行：验证：(l)P(l), P(2), P(3)…;(2)提出猜想；(3)用数学归纳法证明.简称为“归纳、猜想、证明”，是近几年高考的热点之一.专题探究开放性问题【例1】是否存在常数a, b, c,使得1-22+2-32+342+-fi（n -J-1）+〃（〃+1）2= Y2（初，+%+c）对一切〃WN+都成立？证明你的结论.【分析】此题可用归纳、猜想、证明来思考，先赋给〃值, 看a, b, c是否存在.【解】假设存在心4 C使题设等式成立，令斤=123时,4=6(a + b+c)，解得 a = 3, b=\\, c=10.22=q(4°+2b+c),70 = 9tz + 3b+c,•:当n = 1,2,3 时，等式1-22 + 2-32 + …+ n(n + l)2n(n + 1 )(3/ +11/1+10)12成猜想等式对H GN+都成立.立,12【证明】记5, = b22+2.32+-• +斤(斤+1)2.①当川=1,2,3时，上面已证.②假设兀=£时，猜想等式成立.心+1)(3泾+11£+10)12贝！J当n=k-\-l时,S R +I =S R +伙 +1)伙+2)2= —(3疋+1 \k~\~ 10) + 伙+1)伙+2)2警評伙+2)(3£+5) +伙 +1)伙+2)2当n = k-\r 1时，等式也成立.伙+1)伙+2) 12(3泾 + 5£+12£+24) 伙+1)伙+2) 12[3 伙+1尸+11 伙+1)+10].综上所述，当a = 3, b=ll, 均成立.=10时，题设的等式对nWM规律技巧对于开放性I可题’思路是先假设命题成立（或存在）进行推理，若推出矛盾，说明不存在.【例2】已知数列｛。

”｝満足— 1, ci n+i — ] | ° •⑴计算d g 他；(2)猜测给的表达式，并用数学归纳法证明.【解】⑴由给+1=匸葺及⑷Cl\ 1 6/2 1 a2=T+Z[=r a3=T+^=y么3 1地―耳_才=b得⑵由⑴可猜想给=£下面用数学归纳法证明:当兀=1时，6/1 = 1,而已知如=1猜想正确. 假设n = k时，猜想正确，即a k=\.则如尸击=占和+1・1十Z•••当n = k+ 1时，猜想也正确. 综上所述，对一切”GN+,=+是正确的.二整除与几何问题【例3】证明49"+16H—1SUN+）能被64整除.【证明】(1)当兀=1 时，49+16 —1=64, 能被64整除，命题成立.(2)假设n=k时，命题成立,即49*+16k— 1能被64整除. 则n=k+\时，49如 + 16 伙+1)—1=49(49*+ 16k—1)-48 X 16P+64 =49(49”+16£— 1)—64(12/:— 1).由假设49*+16£—1能被64整除,64(12—1)能被64整除. ・.49 +16伙+1)— 1能被64整除,即〃=£+1时,命题也成立.综合⑴⑵知，原命题成立.规律技巧用数学归纳法证明整除问题，关键是证明n=k+\时命题成立时，从n=k-\-1命题中“凑”"配”成n=k时的命题.【例4】平面内有H条直线，其中任意两条直线不平行，任意三条直线不过同一点，求证：这"条直线共有血）1）个交点.【证明】（1）当而/⑵=2(2—1)2斤=2时，两直线相交只有一个交点, =1，命题成立.⑵假设心絶三2)时，命题成立，即k条直线中任两条不平行, 任意三条直线不过同一点，共有卫个交点.那么，当n = k+1时，第k+1条直线与前k条直线有k个交点，依题意，这£个交点与假设中用0个交点不重合，所以增加了人亠-―tr£伙一1) £伙+1)£个父点，因止匕n£+l)=AQ+£=―+£=—2—・所以当n=k+1时，命题也成立. 由(1), (2)知,原命题成立.规律技巧对于几何问题，难点在于从n=k到〃=£+1时, 图形的变化情况的分析，文字表达.三证明不等式【例5】已知数列｛给｝的各项都是正数，且满足: —2。

”（4—。

”），求证：a n<a n+\<2, n^N.【证明】方法一: (1)当n=0时，a0=l,a()<ai<2f命题正确.1⑷=2^o(4_3 ^o)=5,・(誉——I —扌——寸)(誉——I I W)心H (誉十 I —W)(誉——I —43I <N ——(誉—— T(誉——寸)誉心——(-1誉——寸)-—a l^H 二*3——誉由假设知cik-1— ^<0,4—a k-1 —a k>0, :—以+i<0, 即cik<ci屮.T7 1乂似+1=空以（4—以）1 2=空[4_（以一2） ]v2,•\n = k~\~ 1时，命题正确.由⑴和⑵知，对一切斤UN,有a n<a n+\<2.方法二⑴当心0时，6/0= b1 3• •V2.命题成立.（2）假设n=k（k^N+）时，有a k-}<a k<2成立. 令沧）=尹（4—兀）=—㊁（兀一2）?+2, 几对在［0,2］上是增函数，所以由彳段设有fgxfgg.即£收-1 （4—以-1） v如《（4—以）v£ X2（4—2）.即6Z R VG R+I V2・也即当n=k+1时，命题成立.所以对一切有a n<a n+}<2.规律技巧与自然数有关的命题可以用数学归纳法证明.由n=k到n=k-\-l时的推证过程中，方法一用作差比较法, 而方法二构造函数，利用函数的单调性证明，更显简捷.【例求证:洽詰5+“・+命評心+). 6】【证明】⑴当斤=1时，寸*5=卡＜1，不等式成立.⑵假设n = k(n^N+)时，不等式成立，即寸寻+土5 ------------- 讥伙+1)＜讥・当"I时'企+蒼…+显莉+如11+2)＜讥―1〈伙+1)伙+2)・即证明辰火+；)伙+2).可以转化为证明册砰＞火+；)叶2)・也就是证明寸伙+1)伙+2) ＞讹+1 + \[k.而k/ 伙 + 1)伙+2))2—(讹+ 1 + 农)2= k2-\-3k-\~2— [2£+1 +2寸£伙 +1)] =k2-]-k-\-1 —2寸£伙+1)=[讹伙+1)—讦＞0,于是有\l（k+1）伙+2）＞寸£+1 +讥成立. 所以当n = k+1时，原不等式也成立.由⑴,⑵可知,当朋N+时,原不等式都成立.规律技巧本例在证合法.n=k+\原不等式成立时，用到了分析综【例7】等比数列｛给｝的前〃项和为S”已知对任意的H GN+，点S，S”)均在函数y=M+r(/?>0且bHl, b,厂均为常数)的图象上.⑴求厂的值；⑵当b=2时'记b n=2(log2fl… +1 )(nN*),证明：对任意的斤厂N〒咎十如+ 1/?2+1 “+1 r——UN+,不諄式一仞・_ b?■•••・—” >5+］成乂・【分析】本题考查数列的基本问题、等比数列的基础知识, 考查数学归纳法证明不等式，考查分析问题、解决问题的能力.【解】(1)由题意，S n =b n-\~r. 当心2 时，S n -｛=b n ~x + r, 所以 a n =S n —S n -[ = b" \b —].), 由于b>0且bHl,所以nN2时，｛“”｝是以b 为公比的等比数列. 乂 么]=/? + 门 ci2 = b(b —1),解得r=-l.⑵由⑴知给= 2”T , b(b —1)Z? + r =b,因此血=2〃（斤WN+）, 所证不等式为弓•乎3①当比=1时，左式=□右式=边・左式〉右式，所以结论成立.②假设n = k时结论成立,2+14+1 2£+12k 贝!J当n=k-\-\时,2+14+1 2k~\~ 1 2E+32k，2伙+1)2£+32伙+1)2E+32\jk+1要证当n=k-\~X时结论成立, 只需证2£+32^/TH三\Jk+2・。