高中数学选修4-5课件：本讲小结4

第四讲数学归纳法证明不等式

知识框图

—原理数学归纳法|—

匚应用

方法总结

利用数学归纳法证明的几类问题

1.有关恒等式的证明问题

用数学归纳法证明恒等式的关键是证明n=k+\时命题成立，从n = k+l的待证目标恒等式的一端“拼凑”出归纳假设的恒等式的一端，再运用归纳假设即可.同时应注意目标恒等式另一端的变化（即用k+1代替恒等式中的n）.

2.有关整除与几何问题

数学归纳法可以用来证明有关整除问题，几何方面的问题，证明的关键是寻求＞+1）与/伙）之间的递推关系，基本策略是"硬凑假设”即从金+1）中将张）分离出来，或者从特例入手，发现规律, 或用＞+!）-»看由n=k到”=k+l的变化情况.

3.有关不等式的证明问题

证明不等式往往比证明恒等式难度更大一些，方法更灵活，它往往结合综合法，分析法，比较法外，放缩法更显得重要，用数学归纳法证明的第二步，由假设_AQ>g伙）成立，推证金+l）>g 伙+ 1）.对这一条件不等式的证明，应灵活运用证明不等式的常用方法，其基本格式为_Ak+l+ A伙）〉g伙）+ A（Q>g伙+1）.

具体证明过程中应注意以下几点：

(1)瞄准当n=k^ 1时的目标，一切变换都向目标推进;

(2)要把假设作为条件用上一次或几次；

(3)活用起点的位置.

4.有关归纳、猜想、证明问题

数学归纳法源于对某些猜想的证明，而猜想是用不完全归纳法对一些具体的简单的情形进行观察，类比而提出的.他的可靠性就要用数学归纳法来证明，问题一般分为三步进行：

验证：(l)P(l), P(2), P(3)…;

(2)提出猜想；

(3)用数学归纳法证明.简称为“归纳、猜想、证明”，是近几年高考的热点之一.

专题探究

开放性问题

【例1】是否存在常数a, b, c,使得1-22+2-32+342+-

fi（n -J-1）

+〃（〃+1）2= Y2（初，+%+c）对一切〃WN+都成立？

证明你的结论.

【分析】此题可用归纳、猜想、证明来思考，先赋给〃值, 看a, b, c是否存在.

【解】假设存在心4 C使题设等式成立，令斤=123时,

4=6(a + b+c)，

解得 a = 3, b=\\, c=10.

22=q(4°+2b+c),

70 = 9tz + 3b+c,

•:当n = 1,2,3 时，等式1-22 + 2-32 + …+ n(n + l)2

n(n + 1 )(3/ +11/1+10)

12

成

猜想等式对H GN+都成立.

立,

12

【证明】记5, = b22+2.32+-

• +斤(斤+1)2.

①当川=1,2,3时，上面已证.

②假设兀=£时，猜想等式成立.

心+1)(3泾+11£+10)

12

贝！J当n=k-\-l时,

S R +I =S R +伙 +1)伙+2)2

= —(3疋+1 \k~\~ 10) + 伙+1)伙+2)2

警評伙+2)(3£+5) +伙 +1)伙+2)2

当n = k-\r 1时，等式也成立.伙+1)伙+2) 12

(3泾 + 5£+12£+24) 伙+1)伙+2) 12

[3 伙+1尸+11 伙+1)+10].

综上所述，当a = 3, b=ll, 均成立.

=10时，题设的等式对nWM

规律技巧对于开放性I可题’思路是先假设命题成立（或存在）进行推理，若推出矛盾，说明不存在.

【例2】

已知数列｛。”｝満足— 1, ci n+i — ] | ° •

⑴计算d g 他；

(2)猜测给的表达式，并用数学归纳法证明.

【解】⑴由给+1=匸葺及⑷

Cl\ 1 6/2 1 a2=T+Z[=r a3=T+^=y

么3 1

地―耳_才

=b得

⑵由⑴可猜想给=£下面用数学归纳法证明:

当兀=1时，6/1 = 1,而已知如=1猜想正确. 假设n = k时，猜想正确，即a k=\.

则如尸击=占和+1・

1十Z

•••当n = k+ 1时，猜想也正确. 综上所述，对一切”GN+,=+是正确的.

二整除与几何问题

【例3】证明49"+16H—1SUN+）能被64整除.

【证明】(1)当兀=1 时，49+16 —1=64, 能被64整除，命题成立.

(2)假设n=k时，命题成立,即49*+16k— 1能被64整除. 则

n=k+\时，

49如 + 16 伙+1)—1

=49(49*+ 16k—1)-48 X 16P+64 =49(49”+16£— 1)—64(12/:— 1).

由假设49*+16£—1能被64整除,64(12—1)能被64整除. ・.49 +16伙+1)— 1能被64整除,即〃=£+1时,命题也成

立.

综合⑴⑵知，原命题成立.

规律技巧用数学归纳法证明整除问题，关键是证明n=k+\时命题成立时，从n=k-\-1命题中“凑”"配”成n=k时的命题.

【例4】平面内有H条直线，其中任意两条直线不平行，任意三条直线不过同一点，求证：这"条直线共有血）1）个交点.

【证明】（1）当

而/⑵=2(2—1)

2

斤=2时，两直线相交只有一个交点, =1，命题成立.