(完整版)培优专题：二次根式

二次根式培优

一、 知识的拓广延伸 1、挖掘二次根式中的隐含条件

一般地，我们把形如 ,a(a 0)的式子叫做二次根式，其中

a 0-

a 0

。

根据二次根式的定义，我们知道：被开方数 a 的取值范围是a 0

，由此我们判断下列式子有 意义的条件：

____ ____ ____ 1

/ x 1

(1 八 x 1 \1 x ; (2)

、 -- 2

；

2

V x

(3) <1—T J

—2； (4) —-; (5) V3—r

(x

竺

x 1

Vx 2

(1) 、根据二次根式的这个性质进行化简： ① 数轴上表示数a 的点在原点的左边，化简2a

⑤ 若为a,b,c 三角形的三边，贝U ■(a b c)2 "a b c ^ ------------

⑥ 计算：J (

4研&妬5

)2 _____________________ (2) 、根据二次根式的定义和性质求字母的值或取值范围

教科书中给出：

一般地，根据算术平方根的意义可知：'

a a(a 0)

，在此我们可将其拓展为:

2、也2的化简 a(a 0) a(a 0)

②化简求值

:

1

其中a= 5

③已知,

3

,化简

2m

4m 2 m 1 .m 2 6m 9

1

2

a

m J 2m m2 1,求m的取值范围

①若

②若J(2 x)2J(6 2x)2 4 x，则x的取值范围是 ______________________________

③若 a J2b 14 J7 b ,求J a2 2ab b2的值；

④已知:y= ,2x 5 .5 2x 3,求2xy的值。

.二次根式,a的双重非负性质：①被开方数a是非负数，即a 0

②二次根式,a是非负数，即...a 0 例1.要伸x 1有意义，则x

应满足( ).

J2x 1

1 11 1

A. 1< x< 3 B . x< 3 且X M丄C .丄v x v 3 D . - vx< 3

2 2 2 2

例2 (1)化简打—1 J—x = ____________ .

(2)若.E .C=(x+ y)2,贝U x —y 的值为()

(A) —1 . (B)1 . (C)2 . (D)3 .

例3(1)若a、b为实数，且满足丨a — 2 | +一b2=0,则b —a的值为()

A. 2

B. 0

C. —2

D.以上都不是

⑵已知x, y是实数，且(x y 1)2与2x y 4互为相反数，求实数y x的倒数

三，如何把根号外的式子移入根号内

我们在化简某些二次根式时，有时会用到将根号外的式子移入根号内的知识，这样式子的化简更为简单。在此我们要特别注意先根据二次根式的意义来判断根号外的式子的符号。如果根号外的式子为非负值，可将其平方后移入根号内，与原被开方数相乘作为新的被开方数，根号前的符号不会发生改变；如果根号外的式子为负值，那么要先将根号前的符号变号，再将其其平方后移入根号内，与原被开方数相乘作为新的被开方数。

(1)、根据上述法则，我们试着将下列各式根号外的式子移入根号内：

①訂，②(a "Ja

(2)、利用此方法可比较两个无理数的大小。

3、用归纳法化简求值

(1)3、. 5与 4、3

⑵2 — 3与 3-2「3

四，拓展性问题

1、整数部分与小数部分

要判断一个实数的整数部分与小数部分， 应先判断已知实数的取值范围, 再由“小数部分=原数一整数部分”来确定其小数部分。

从而确定其整数部分,

例：(1)、已知76 1的整数部分为a ,小数部分为b ,试求ab — b 2的值

(2)若x 、y 分别为8 J1的整数部分与小数部分，求2xy —y 2的值

(3) 已知的整数部分为a ，小数部分为b ，求a 2+b 2的值

V 5 1

(4)

若a .17, b 是a

的小数部分，贝V -

_______ 。

b

(5) 、若.3+2的整数部分为a ，小数部分为b ，求一「的值。

2、巧变已知，求多项式的值。

(1)、若x ——芬=，求x 3 3x 2 5x 1的值。

2 V5

(2)、若 x y ——苓=，y-z= —苓=，求 x 2+y 2 z 2 xy xz yz 的值。

2 V

3 2 V3

(3)、若m

=丨 ，则2011用的值为 2012 1

+ ----------------- + + ...+ 2 ,1+、、2 3、2+2 J3 4、3+3、4

五.其他

例11.观察分析下列数据，寻找规律：0, •. 3，、: 6,3,2、.3,

……那么第10个数据应是 ________ 。

例12. （1）已知n 是一个正整数，135n 是整数，则n 的最小值是（

）

A. 3

B. 5

C. 15 D . 25

（2）.已知.12 n 是正整数，则实数n 的最大值为（ ）

A. 12

B . 11

C . 8

D . 3

26 .有这样一类题目：将.TTb 化简， 如果你能找到两个数 m n,使m 2 n 2 a 并且mn b ,

则将

a 2、

b 变成 m 2 n 2 2mn m n 2开方，从而使得一 a 2 b 化简。例如：化简.3 2三

Q3 22 1 2 2、2

12 迈2 2迈

1 .

2 2

3 2 ；2 、1 .厂

1 .2

仿照上例化简下列各式： (6 分)

(1)

4 2/3

(2)... 5 2“ 6

（二）勾股定理提高题

一、选择题

1、 直角三角形的斜边比一直角边长 2cm 另一直角边长为6cm 则它的斜边长（

）

A 、4 cm

B 、8 cm

C 、10 cm

D 12 cm

2、 如图①小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD 勺面积是（）

A 、25

B 、12.5

C 、9

D 、8.5

3、 A ABC 是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地 .已知/ C=90°，AC=30米, AB=50米，如

化简

10 .9 9 *10