二次根式的加减 (2)课件
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二次根式的加减PPT课件
1＋912＋1102
人教版 九年级上
第十九章 生活用电
第1节 家庭电路
课堂导练
3．下图是家庭电路的组成，请填出各组成部分的名称。
①__电__能__表__；②_总__开__关__；③_保__险__装__置__；④_三__孔__插__座__； ⑤__火__线____；⑥__零__线____；⑦___地__线___。
19 见习题
15 C
答案显示
1．同类二次根式：将几个二次根式化成_最__简__二__次__根__式___， 如果被开方数__相__同____，那么这样的二次根式称为同类 二次根式．
2．二次根式的加减，与整式的加减类似，关键是将 _同__类__二__次__根__式_ 合 并 ． 其 步 骤 为 先 将 二 次 根 式 化 为 最__简__二__次__根__式__，再将同类二次根式合并．
课后训练
13．(2020·常州)请以笔画线代替导线，将三孔插座、开关控 制的电灯接入电路。 解：如图所示。
课堂导练
【点拨】开关应安装在火线上，当断开开关时，用电器与 火线断开，不会发生触电事故； 空气开关“跳闸”后，电 流无法形成通路，故家庭电路整体上处于断路状态；零线、 地线和大地间的电压都是0 V，用试电笔分别接触零线与 地线时，氖管都不发光，所以试电笔不能辨别零线与地线， 但试电笔可以辨别火线和零线。 【答案】火；断路；不能
【答案】会；44
课后训练
1．下列各式中，与 2 是同类二次根式的是( C ) A. 3 B. 4 C. 8 D. 12
2.下列二次根式中，与 a 是同类二次根式的是( C ) A. a2 B. 2a C. 4a D. 4＋a
3.下列二次根式中，与 20是同类二次根式的是( B )
人教版八年级数学课件《二次根式的加减》
达标检测
人教版数学八年级下册
12.计算：
(1)2 20 + 45 − 8 + 32;
(2)2 12 − 27 − 6
1
；
3
(3) − 2 −
3− 2 −
3−2 ．
(1)解：原式= 4 5 + 3 5 − 2 2 + 4 2 = 7 5 + 2 2．
(2)解：原式= 2 × 2 3 − 3 3 − 6 ×
人教版数学八年级下册
复习回顾
人教版数学八年级下册
一、满足什么条件的根式是最简二次根式?
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.
简记为：一根号无分母，分母无根号；二不能再开方.
在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中
2
2
2 6
+ 6
2
4
10 2 3 3；
3 6
2
.
4
典例解析
人教版数学八年级下册
例4.如图，用四张一样大小的长方形纸片拼成一个面积是125的正方形ABCD，
= 3 5，图中空白部分是一个小正方形，求这个小正方形的周长．
解：∵正方形ABCD的面积是125，
∴ = 125 = 5 5，
mn
的值.
2n 1 2,
解：由题意得
3m 2n 3,
解得
4
m
,
3
n 1,
2
即 mn 4 1 6 .
3
2
3
二次根式的加减(二) 课件
做一做：
1. 计算： （1） (1 （ 2）
2)(2 2)
2
(3 5 5 2)
3
2
2.求当a= 2 时,代数式(a -1)2 - (a+ 2 )(a-1) 的值.
3. 已知a
2
2, b
2
3
2,
求a ab b 的值。
1已知x 4 2 3的值 3，求代数式 x 2 x 2 x 2 思考题 : 计算 3 2
2 2 2
2002
32
2003
.
2.已知a b 3 2 , b c 3 2 , 求a b c ab bc ac的值. a b 3.已知a b 4a 2b 5 0, 求 的值. 2 b a b
x 1 y
=
强调：分母有理化时还可以通过约分来进行。
你能用几种方法化简
x y (4)、 x y 2 xy x y
x y 2 xy x y
（x≠ y）
计算：
1 x 1 2 2 x 1 x 1 2 x x 1
（x＞1，且x≠2）
1 1 例4 已知a ,b , 3 2 2 3 2 2 a b 求代数式 的值. a 2 ab b
3
27 12 3
2 计算：
(1)、 ( a b 3ab ab ) ab
3 3
12 8 (2) 3 2
(3)、 (3 2 2 ) ( 2 1)
3 5 2 7 (4)、 (3 7 )( 7 5 )
例2 计算： （ 1） （ 2）
(2 2 3 3)(3 3 2 2)
《二次根式的加减法》优质课件
通过化简根式，将复杂的二次根式加 减法转化为简单的加减运算。
练习题与答案解析
题目1
计算$\sqrt{18} + \sqrt{72}$
答案
$3\sqrt{2} + 6\sqrt{2} = 9\sqrt{2}$
解析
首先化简根式，$\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}$，$\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2}$，然后进行加法运算，$3\sqrt{2} + 6\sqrt{2} = 9\sqrt{2}$。
二次根式具有非负性，其他根式则没有此性质。
易错点
在进行二次根式的加减运算时，容易忽略二次根式的非负性，导致结果错误。
03
典型例题解析与练习
简单例题解析
01
题目
计算$\sqrt{12} + \sqrt{27}$
02 03
解析
首先化简根式，$\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$， $\sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3}$，然后进行加法运算， $2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 5\sqrt{3}$。
拓展阅读材料推荐
《数学简史》
一本介绍数学发展史的书 籍，其中涵盖了二次根式 的重要性和应用。
《数学之美》
一本介绍数学在各个领域 中的应用的书籍，包括二 次根式在物理学和经济学 中的应用。
《数学杂志》
一本学术期刊，上面有许 多关于二次根式的论文和 研究文章，可以深入了解 该领域的最新进展。
05
总结回顾与展望未来
21.3 二次根式的加减 课件 2024-2025学年数学华东师大版九年级上册
（ A ）
A.
B. 12
C. 15
D. 30
典例导思
6. 计算：
（1）（ － ）×
解：原式＝（4 －5
＝－
＝－2.
×
；
）×
典例导思
（2） ×
− ＋ +
；
解：原式＝ －2 ＋1＋2 ＋5
＝ ＋6.
（3）（ － ）÷ －（ ＋1）（ －1）.
及乘法公式可以简化运算.
知识导航
注意：（1）判断同类二次根式前一定要先化简成最简
二次根式；
（2）计算的结果如果有二次根式一定要化简成最简二
次根式.
典例导思
题型一 同类二次根式
下列各组二次根式，是同类二次根式的是
（ D ）
A. 与
B. . 与
C. 与－2
D. 与
典例导思
题型三 二次根式的混合运算
计算：
（1） （ ＋ ）；
解：原式＝ × ＋ ×
＝3 ＋2 .
典例导思
（2）
＋
−
解：原式＝
＋
＝ ×2 ＋ × −
＝
＋1.
；
−
＋ ×2
＋
×
−
典例导思
（3）
＋ ÷ －6
A.
B. 12
C. 15
D. 30
典例导思
6. 计算：
（1）（ － ）×
解：原式＝（4 －5
＝－
＝－2.
×
；
）×
典例导思
（2） ×
− ＋ +
；
解：原式＝ －2 ＋1＋2 ＋5
＝ ＋6.
（3）（ － ）÷ －（ ＋1）（ －1）.
及乘法公式可以简化运算.
知识导航
注意：（1）判断同类二次根式前一定要先化简成最简
二次根式；
（2）计算的结果如果有二次根式一定要化简成最简二
次根式.
典例导思
题型一 同类二次根式
下列各组二次根式，是同类二次根式的是
（ D ）
A. 与
B. . 与
C. 与－2
D. 与
典例导思
题型三 二次根式的混合运算
计算：
（1） （ ＋ ）；
解：原式＝ × ＋ ×
＝3 ＋2 .
典例导思
（2）
＋
−
解：原式＝
＋
＝ ×2 ＋ × −
＝
＋1.
；
−
＋ ×2
＋
×
−
典例导思
（3）
＋ ÷ －6
冀教版八年级数学上册15.3《二次根式的加减运算》 课件 (共20张PPT)
达标测试
1、二次根式：(1) 12 ,(2) 8,(3) 2,(4) 27中， 3
与 3 是同类二次根式的是（C）
A、(1)和(2) C、 (1)和(4)
B、 (2)和(3) D、 (3)和(4)
2、下面的二次根式中能与 48 合并的 是（B）
A 18 ,B 4,C 8,D 0.3 3
3、下列不是二次根式的一组是（ C ）15.3 ຫໍສະໝຸດ 次根式的加减 运算娘中 王海鹏
学习目标：
• 了解同类二次根式的概念，会识别 同类二次根式。
• 经历二次根式的加减运算法则的形 成过程，感悟类比思想。
• 会进行二次根式的加减运算 。
学习重难点：
重点：同类二次根式的概念与识别。 难点：熟练进行二次根式的加减运算。
想一想：
满足哪些条件的二次根式， 叫做最简二次根式？
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/8/262021/8/262021/8/262021/8/268/26/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年8月26日星期四2021/8/262021/8/262021/8/26 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年8月2021/8/262021/8/262021/8/268/26/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/8/262021/8/26August 26, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/8/262021/8/262021/8/262021/8/26
人教版八年级下册16.3《二次根式的加减》课件(共33张PPT)
合作探究
问题2
形成知识
怎样计算
8 + 18
？
如果看不出 化，先看算式 3
3 2-
8 + 18 22
能否化简，我们不妨把问题简
能否化简．
2
2 =（ 3 - 1 ） 2 = 2
用分配 律合并
整式 加减
你能得到这样的两个二次根式加减的方法吗？ 将同类二次根式用分配律合并．
合作探究
算式
形成知识
8 + 1 8 与算式 3 22
合作探究 形成知识
例1
（ （ 1）
计算：
8+ 3）
8+ 48 +
6 ；
3） 18 = 4
（4 （ 2）
6 = 8
2 -3
6 +
6） 2
3 6
2 ．
解： （ 1） （
=
3+3
2；
思考：（1）中，每一步的依据是什么？ 第一步的依据是：分配律或多项式乘单项式； 第二步的依据是：二次根式乘法法则； 第三步的依据是：二次根式化简．
（ 48 +
2 0 ）（ 12 -
5 ）= 4
3+2
5-2
3+
5 =2
3 +3 5
化成最简 二次根式
合并被开方 数相同的二 次根式
自主学习 复习引入
思考：二次根式加减，分为几个步骤？
二次根式的加减主要归纳为两个步骤： 第一步，先将二次根式化成最简二次根式； 第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
的结果是
B．
20 3
330 2 3
30 3
3 C．
3.3二次根式的加减(2)
3.3 二次根式的加减(2) (教案)备课时间: 主备人:【学习目标】：1、掌握二次根式的运算方法，明确数的运算顺序、运算律及乘法公式在二次根式的运算中仍然适用2、正确运用二次根式的性质及运算法则进行二次根式的混合运算【重点难点】：重点：熟练进行二次根式的混合运算。
难点：混合运算的顺序、乘法公式的综合运用。
【知识回顾】填空 ：（1）整式混合运算的顺序是：（2）二次根式的乘除法法则是：（3）二次根式的加减法法则是：（4）回顾整式的乘法公式：多项式乘法公式：平方差公式：完全平方公式：注：在进行二次根式的混合运算时，我们曾学过的整式运算的运算律和乘法公式仍然适用。
【典型例题】例1、计算：（1）（125+23）×15； （2）（3+10）（2-5）；例2、计算：（1）（3+2）（3-2）；（2）2523）（【课堂练习】1、计算：（1）（3+22）×6； （2）5×（10-5）；（3）（6-3+1）×232、计算：（1）（3-22）（23-2）；（2）（22-3）（3+2）；（3）（5-6）（3+2）；（4）（a+ab +b ）（a -b ）（a ≥0，b ≥0）；3、计算：（1）（5+1）（5-1）；（2）（a +b ）（a -b ）（a ≥0，b ≥0）；（3）223）（-； （4）2b a ）（+（a ≥0，b ≥0）；点拨、二次根式在进行运算时要注意：1、二次根式四则混合运算的顺序和整式的四则混合运算的顺序是一样的，含相同二次根式的项要合并2、运算律同样适用于二次根式的运算3、计算结果要最简【课外练习】1、计算：（1）（23-6）×12； （2）（18-12+2）×26；（3）（23-52）（3-22）；（4）（215+）（215-）；（5）（a2ac 4bb2-+-）+（a2ac 4bb2---）（2b-4ac≥0，a≠0）；（6）（a2ac 4bb2-+-）（a2ac 4bb2---）（2b-4ac≥0，a≠0）；。
二次根式的加法与减法课件
（3）3 3-2 2+ 3- 2 4 3-3 2
作业
❖ 习题9.2的1（3）（4）、2题
拓展提升
❖把二次根式 23-a与 8 分别化成最简二次根式后, 被开方式相同.
❖(1)如果a是正整数,那么符合条件的a有哪些? ❖(2)如果a是整数,那么符合条件的a有多少个?最大
值是什么?有没有最小值？
(3) 2 3
先化为最简二次根式， 把同类二次根式的系数相加减,做为结果的系数, 根号及根号内部都不变。
你有什么发现？
归纳总结
二次根式加减法法则：
目标2.通过具体题目的运算，得到二次根式 的加法与减法的运算步骤及注意问题.
m a n a =（m n) a
二次根式相加减，应先把各个二次根式化为最简二次根式， 然后把其中的同类二次根式分别合并（. 不是同类二次根式的不能合并）.
2、4 2- 2=43 2 3、2+ 3= 5
× （ ）为结果的系数； × 2、指数和被开方式都不变；
（ ）3、不是同类二次根式的不能合并；
× 4、3 2- 1 2=2 51 22 （ ）4、系数是带分数的要化为假分数，若
× 2
22
是一个二次根式与一个多项式的积,则
5、a 5+b 5=（aa++bb）5 5 （ ）多项式加括号.
2.字母和字母的指数有何变化？ 不改变
3.不是同类项的能否合并？
不能合并
温故知新
目标1. 类比“合并同类项”的知识， 推导二次根式的加法与减法运算法则。
2、化简下列二次根式
化成最简二次根式后，
8 __2__2__; 12 _2__3__; 被开方式相同的二次根
18 ___3 _2___; 27 _3_3___; 式
《二次根式的加减》课件
VS
详细描述
在进行二次根式的加减运算时，有时需要 对二次根式进行合并或简化。学生在合并 或简化过程中，容易出错，导致计算结果 错误。例如，将$sqrt{5} + sqrt{2}$错误 地合并为$sqrt{7}$，或将$sqrt{4} sqrt{9}$错误地简化为$3 - 2$。
PART 05
练习与巩固
2023 WORK SUMMARY
《二次根式的加减》 ppt课件
REPORTING
目录
• 二次根式的加减概述 • 二次根式的加减运算方法 • 二次根式的加减运算实例 • 二次根式的加减易错点解析 • 练习与巩固
PART 01
二次根式的加减概述
二次根式的加减定义
定义
二次根式的加减运算是指将具有 相同被开方数的二次根式进行合 并或分离的过程。
计算
$(sqrt{5} + 2sqrt{2})(sqrt{5} 2sqrt{2})$
计算
$(sqrt{3} + sqrt{2})^{2}$
计算
$(sqrt{5} - sqrt{3})^{2}$
综合练习题
解方程
$3sqrt{2}x = 4sqrt{3}x$
解方程
$(sqrt{3} + sqrt{2})x = 5$
THANKS
感谢观看
REPORTING
解方程
$(sqrt{5} - sqrt{3})x^{2} - (sqrt{5} + sqrt{3})x = 0$
解方程组
${begin{array}{l}sqrt{2}x - sqrt{6}y = 4 sqrt{3}x + sqrt{5}y = 7 end{array}$
15.3 二次根式的加减运算(课件)冀教版数学八年级上册
+
=5 ，则 a=________．
返回目录
15.3 二次根式的加减运算
返回目录
重
［解析］原式=3 + = 5 ，则 （3- +1）
难
题
型 =5 ，即 (4- ） =5 ，所以 4- =5，解得 a=突
破 2．
［答案］ -2
15.3 二次根式的加减运算
易
错
易 相同才可以进行合并.合并时，只合并根式外的因式，即系
混 数相加减，被开方数和根指数不变.
分
析
较二次根式的大小
法
作差法：两数相减，把结果与 0 相比较，间接得到两
技
巧 数大小.若 a-b＞0，则 a＞b；若 a-b=0，则 a=b；若 a-b
错
易
混
分
析
返回目录
［答案］ D
［易错］ B 或 C
［错因］ 忽略 和 不能合并，直接把根号下的
数按有理数相加减.
15.3 二次根式的加减运算
返回目录
易错警示 二次根式的加减运算容易误把根号下的数按
易
错
易 有理数运算法则直接相加减.
混
分
析
15.3 二次根式的加减运算
返回目录
领悟提能 二次根式化成最简二次根式，只有被开方数
法
行合并.
合并方法：系数相加减，根式（根指数和被开方数）
不变
15.3 二次根式的加减运算
返回目录
续表
考
点
清
单
解
读 步骤
合并依据：乘法分配律
注意
化成最简二次根式后被开方数不相同的二次根式
21.3二次根式的加减(第2课时)
21.3二次根式的加减（第2课时）
教
学
目
标
知识技能
利用二次根式加减法解决一些实际问题.
数学思考
培养学生将实际问题抽象为数学问题的能力.
解决问题
获得把实际问题转化为数学问题的体验.
情感态度
通过独立思考与小组讨论，培养良好的学习态度，以及自我意识.
重点
将实际问题抽象为数学问题是本节课的重点.
难点
被开方式中含有字母、被开方式中含有分母的二次根式的化简．
答:要焊接一个如图所示的钢架约需要13.7m的钢材.
学生复习二次根式加减法的一般步骤.
学生独自审清题意.
教师与学生一起分析题意,得出解题方法.
请学生自己审清题意,观察图中所给的已知条件,力争使学生能独自解决这一问题.
教师在讲解时尽可能将步骤写完整.
复习回顾二次根式加减法,引入本节课的内容.
训练学生的审题能力.
解:求圆环的宽度d实际上是求两圆的半径的差;因此
（cm）
答:圆环的宽度
d=( )（cm）.
活动四复习总结
1.数学来源于生活,应用于生活,因此我们应该热生活,热爱数学;
2.将实际问题转化为数学问题,只要审清题意弄明白,就一定可以做出来.
作业：
1.已知 ，求 的近似值.
2.如图21.3-3在平行四边形ABCD中，得DE⊥AB,E点在AB上，DE=AE=EB= ,求平行四边形ABCD的周长.
带领学生寻找将实际问题转化为数学问题的思路.
培养学生观察图形分析图形的能力.
让学生进一步体会数学来源于生活,应用于生活.
培养学生严谨的思维习惯.
问题与情境
师生行为
设计意图
活动三小试牛刀
教
学
目
标
知识技能
利用二次根式加减法解决一些实际问题.
数学思考
培养学生将实际问题抽象为数学问题的能力.
解决问题
获得把实际问题转化为数学问题的体验.
情感态度
通过独立思考与小组讨论，培养良好的学习态度，以及自我意识.
重点
将实际问题抽象为数学问题是本节课的重点.
难点
被开方式中含有字母、被开方式中含有分母的二次根式的化简．
答:要焊接一个如图所示的钢架约需要13.7m的钢材.
学生复习二次根式加减法的一般步骤.
学生独自审清题意.
教师与学生一起分析题意,得出解题方法.
请学生自己审清题意,观察图中所给的已知条件,力争使学生能独自解决这一问题.
教师在讲解时尽可能将步骤写完整.
复习回顾二次根式加减法,引入本节课的内容.
训练学生的审题能力.
解:求圆环的宽度d实际上是求两圆的半径的差;因此
（cm）
答:圆环的宽度
d=( )（cm）.
活动四复习总结
1.数学来源于生活,应用于生活,因此我们应该热生活,热爱数学;
2.将实际问题转化为数学问题,只要审清题意弄明白,就一定可以做出来.
作业：
1.已知 ，求 的近似值.
2.如图21.3-3在平行四边形ABCD中，得DE⊥AB,E点在AB上，DE=AE=EB= ,求平行四边形ABCD的周长.
带领学生寻找将实际问题转化为数学问题的思路.
培养学生观察图形分析图形的能力.
让学生进一步体会数学来源于生活,应用于生活.
培养学生严谨的思维习惯.
问题与情境
师生行为
设计意图
活动三小试牛刀
21.3 二次根式的加减(2)
3 2 3 2 2
3 2 3 2 2
2 2 1 81 9
已知x 2 3，y 2 3 试求(x 1 )(y 1 )的值。
yx
不用计算器, 不求平方根的值， 比较 2 与 1数部分为 b. 52
3 2 3 2 2
3 2 3 2 2
2 2 1 81 9
1.若x 1 ,则 x2 2x 1 ( D )
2 1
A. 2
B. 2 2
C.2 2
D.2
2. 已知：x2 y2 19, xy 3,
求
x y
2x, 75 , 1 , 1 , 3x, 2 8ab3 ,6b a , 3 2
50 27
3
2b
彗眼识真: 下列计算哪些正确，哪些不正确？
⑴ 3 2 5 （不正确）
⑵ a b a b （不正确） ⑶ a b a b （不正确）
⑷ a a b a (a b) a （正确）
(x 3)2 3 (x 3)2
x2 2 3x 3 3 x2 2 3x 3
4 3x 3 x 3 4
已知a 3 2, b 3 2，
求a2 ab b2的值.
解二：a2 ab b2
a2 2ab b2 ab (a b)2 ab
1、化简或计算下列各题.
①1 23
② 2 1
2 1 ③ 11
2 3 2 1
2、计算或化简:
① 8 2( 2 2)
②
( 1 )1 (2 )0
2
2
1 2 1
③ 18 2 1 4 1 2 1 8
3 2 3 2 2
2 2 1 81 9
已知x 2 3，y 2 3 试求(x 1 )(y 1 )的值。
yx
不用计算器, 不求平方根的值， 比较 2 与 1数部分为 b. 52
3 2 3 2 2
3 2 3 2 2
2 2 1 81 9
1.若x 1 ,则 x2 2x 1 ( D )
2 1
A. 2
B. 2 2
C.2 2
D.2
2. 已知：x2 y2 19, xy 3,
求
x y
2x, 75 , 1 , 1 , 3x, 2 8ab3 ,6b a , 3 2
50 27
3
2b
彗眼识真: 下列计算哪些正确，哪些不正确？
⑴ 3 2 5 （不正确）
⑵ a b a b （不正确） ⑶ a b a b （不正确）
⑷ a a b a (a b) a （正确）
(x 3)2 3 (x 3)2
x2 2 3x 3 3 x2 2 3x 3
4 3x 3 x 3 4
已知a 3 2, b 3 2，
求a2 ab b2的值.
解二：a2 ab b2
a2 2ab b2 ab (a b)2 ab
1、化简或计算下列各题.
①1 23
② 2 1
2 1 ③ 11
2 3 2 1
2、计算或化简:
① 8 2( 2 2)
②
( 1 )1 (2 )0
2
2
1 2 1
③ 18 2 1 4 1 2 1 8
《二次根式的加减》课件
汇报人：日期:CATALOGUE目录•课程导入•二次根式的加减法法则•经典例题解析•课堂练习与巩固•课后作业与拓展•课程总结与回顾01课程导入总结词：巩固基础详细描述：通过提问和回答的方式，引导学生复习二次根式的概念，明确二次根式的形式和性质，为后续学习做好铺垫。
复习二次根式的概念引入新课总结词：激发兴趣详细描述：通过展示一些二次根式加减的实例，引导学生发现二次根式加减的规律和意义，进而激发学生对新课的兴趣和好奇心。
02二次根式的加减法法则同一根式相加减合并同类项在进行二次根式的加减法运算时，我们可以将同一根式（即开方相同的项）进行相加减，这相当于合并同类项。
不同根式相加减化归为同一根式对于不同的根式，我们需要通过乘以或除以同一个数的方式，将它们化归为同一根式，再进行加减运算。
法则的推导法则的记忆技巧运用口诀记忆为了方便记忆，我们可以运用口诀“同化同，异化最”来记忆二次根式的加减法法则。
其中，“同化同”指同一根式相加减，“异化最”指不同根式相加减时，要化归为同一根式。
法则的运用实例例题解析通过具体的例题解析，我们可以更好地理解二次根式的加减法法则的运用。
例如，对于二次根式 $\sqrt{2}$ 和 $\sqrt{3}$，我们可以运用法则进行相加或相减，得到结果 $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ 或 $\sqrt{2} -\sqrt{3}$。
03经典例题解析循序渐进，掌握基础知识详细描述通过简单的例题，如二次根式加减法的合并同类二次根式，让学生掌握二次根式加减法的基本规则和步骤。
总结词深化理解，提升解题能力详细描述选取一些较为复杂的例题，如多个二次根式的加减法、需要分解因式的二次根式加减法等，让学生能够熟练运用二次根式加减法的规则和步骤解决稍有难度的题目。
理论与实践结合，增强应用能力总结词选取一些与实际问题相关的例题，如利用二次根式解决几何图形问题、与实际生活相关的最优化问题等，让学生能够将所学知识应用到实际问题中，增强解决实际问题的能力。
3.3二次根式的加减(2)
二次根式的加减（2）教学目标 ：1．理解分母有理化与除法的关系． 2．掌握二次根式的分母有理化．3．通过二次根式的分母有理化，培养学生的运算能力．4．通过学习分母有理化与除法的关系，向学生渗透转化的数学思想 教学重点、难点解决办法： 1．教学重点：分母有理化． 2．教学难点：分母有理化的技巧一、新课：例1：计算：（1）6)35278(⋅-（2）)3225)(65(-+例2：计算：（1）)2332()2332(-⋅+ （2）2)534(+（3）2)336(-二、随堂练习：（1）)63)(63(-+（2）)52)(52(by ax by ax +-（5）50511221832++- （6）．12)323242731(⋅--（7）．)32)(532(+- （8）．)()3(33ab ab ab b a ÷+- （a>0,b>0）三、提高题1 ）A ．①和③B ．②和③C ．①和④D ．③和④2已知y=x 3－3，且y 的算术平方根为4，则x= ．3 如果最简根式b-a3b 和2b-a+2 是同类二次根式，那么a 、b 的值为 （ ） A ．a ＝0，b ＝2 B ．a ＝2，b ＝0 C ．a ＝－1．b ＝1 D . a ＝1，b ＝－24 05计算:2233121--+6计算:62)21218(⨯+- 7计算:)0,0)()((≥≥++-b a b ab a b a二次根式的加减（2）一、弹性练习：1、)13)(12)(21)(31(-+-+2、)62332)(62332(---+3、2)2332()3527)(3223(+++-二、前面我们在讲完二次根式的除法后就引入了分母有理化，我们知道，将分母中的根号化去，就叫做分母有理化。
1练习：将下列各式分母有理化：（1）403 （2）63 （3）xxy 242、有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式。
二次根式的加减(2)
练习2计算：
5
（1） 80 20 5
（2） 18 98 27） 10 2 3 3 （
1 3 6 2 4
1 （3）( 24 0. ( 5) 6) 8
1 1 (4) 32 3 10 0.08 48 4 2 3 3 2
计算
1、注意运算顺序 2、运用运算律
初中数学九年级上册 （苏科版）
3.3.2 二次根式的加减（2）
复习：
要进行二次根式加减运算,它们 具备什么特征才能进行合并？同类二次根式
(1)说出 2 5 的三个同类二次根式;
(2)试举出一组同类二次根式. (3)下列各式中哪些是同类二次根式?
1 1 2 a 3 3 2 , 75 , , , 3, 8ab ,6b , 2 50 27 3 2b
判断：下列计算哪些正确，哪些不正确？
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
3 2 5
（不正确）
（不正确） （不正确） （正确）
a 0（不正确）
a b a b
a b a b
a a b a (a b) a
1 3a 2 2a a
1 ⑸ 3
练习4下列计算正确的是（B） A. 2x 3 x 5 x B.2a x 3b x (2a 3b) x C.4 5 5 5 20 5 14a 22b D. 7 a 11b 2
(1). 27 3 6 2 3 (2). 3 3 6 8 (3).( 48 27) 3
5 （ ）（ 1 2 3） 15 12
（2）（ 10 ( 2 5) 3 ）
（）（ 3 2） 3 2 ) 1 (
（2）（ 2 5） 3
2
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比较二次根式的加 减与整式的加减，
1、把二次根式化成最简二次根式。 你能得出什么结论？ 2.二次根式相同的各项进行合并。 这与整式合并同类项是一致的，所以整式运算法则 在二次根式中都是适用的。
例1计算：
（1）12 75 2 3 5 3 7 3
（2） 80 45 解：1原式=4 5-3 5= 5
(2 3) 2 （分配律） 5dm 5 2
由 2 1.5可知5 2 7.5
8dm 18dm
8 18 5 2 7.5
8 18 dm
∴在这块木板上可以截出两个分别是8dm2和18dm2的正方形木板．
（1）
1、观察下列二次根式有什 么共同特征：
2 ， 3 2， 2
3
2b
2.在下列各组根式中，是同类二次根式的
是（ B ）
A . 2 , 12
B. 2, 1
2
C. 4ab , ab2 D. a 1, a 1
3. 与 12 是同类二次根式的是( D )
A. 32 B. 24 C. 125 D. 6 1
27
4.如果最简二次根式 m1 5 与 m n
是同类二次根式,求m、n 的值.
(1)化成最简二次根式;
(2)被开方数相同,根指数相同(都等于2).
判断同类二次根式的关键是什么？ (1)化成最简二次根式， (2)被开方数相同,根指数相同(都等于2)
1.下列各式中，哪些是同类二次根式？
(1) 2; (2) 75; (3) 1 ;(4) 1 ;(5) 3; 50 27
(6) 2 8ab3 ; (7)6b a ; (8) 12a 12b.
（3） 9a 25a 2原式=3 a +5 a =8 a
二次根式加减法的步骤：
（1）将每个二次根式化为最简二次根式； （2）找出其中的同类二次根式； （3）合并同类二次根式。
一化 二找 三合并
1、下列计算是否正确，为什么？
1 8- 3= 8-3 2 4+ 9= 4+9 33 2- 2=2 2
解：（1）不正确，∵ 8- 3=2 2- 3
（2）不正确 ∵ 4+ 9=2+3=5
（3）正确∵3 2- 2=3-1 2=2 2
下列计算哪些正确，哪些不正确？
⑴ 3 2 5 （不正确）
⑵ a b a b （不正确） ⑶ a b a b （不正确）
⑷ a a b a (a b) a （正确）
一化 二找 三合并
我们学会了简单的二次根式加减运算，加 减混合运算该怎么计算呢？
例2
12 12-6 1 +3 48 2 12+ 20 + 3- 5 3
6+
32
32
（4） 1 32a +6a a -3a2 2
4
18
a
课堂小结
1、判断同类二次根式的关键是什么？
(1)化成最简二次根式，
(2)被开方数相同,根指数相同(都等于2) 2、二次根式加减运算的步骤:
（1）将每个二次根式化为最简二次根式； （2）找出其中的同类二次根式； （3）合并同类二次根式。
解12 7-6 7=2-6 7 =-4 7
22 12+ 27= 4 3+3 3 =4+3 3 =7 3
3
18 -
9 2=3
2- 3 2
2
=
3-
3 2
2=3 2
2
4
2 3
9x +6
x 4
=
23 3
x +6 1 2
x
=2 x +3 x =2+3 x =5 x 5a2 8a +3a 50a3 = 2a2 25a2 2a =17a2 2a
1．在 12 ， 34 ， 48 ， 6 中能与 3 进行加减合并的根式有_________．
2．下列根式中与其他三个不同类的是（ ）
A． 2
B． 98
C． 48
D． 50
3．下列各组二次根式中，可以进行加减合并的一组是（ ）
A． 12 与 72
动手做一做
5 8+ 18=2 2+3 （2 先化为最简二次根式） = 2+3 （2 合并同类项）
=5 2
二次根式加减法的法则：二次根式加减时，先 把二次根式化成最简二次根式，再将被开方数 相同的二次根式进行合并。
动手做一做
6 3 3 3 (6 3) 3 9 3
6a2b+3a2b=(6+3)a2b=9a2b
⑸ 1 3a 1 2a a a 0（不正确）
3
2
练习1： (1) 18 8 2
(2) 75 27 8 3
(3)
48 6
1 3 6
3
2、计算
12 7-6 7
22 12+ 27
3
18 -
9 2
4
2 3
9x +6
x 4
5a2 8a +3a 50a3
5
2
，1 3
2
……
（2）
2
3 ，17 3 ， 5 3， 13
3
……
下列根式又有什么共同特征？
（3）
2 ， 8 ， 18 ， 32 ， 0.5 ，
9 2
……
2
82 2
18 3 2
32 4 2
0.5 1 2 2
9 3 2 22
经过化简 后，各根 式被开方 数相同。
几个二次根式化成最简二次根式以 后，如果被开方数相同，这几个二 次根式就叫做同类二次根式. 判断同类二次根式的关键是什么？
二次根式计算、化简的 结果符合什么要求？
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数 或因式.
问题： 现有一块长7.5dm、宽5dm的木板，
能否采用如图的方式，在这块木板上截出两 个分别是8dm2和18dm2的正方形木板？
8 18
2 2 3 2 （化成最简二次根式）
7.5dm
B． 63 与 78
C． 8x3 与 2 2x
4．下列根式合并过程正确的是（ ）
A．2 3 - 3 -=2
B．a c +b c =a+b c
C．5 a + 1 a =a+ 1 a
2
2
D． 1 3a - 1 3a = 1 3a
3
4
12
5．若 5 3 + y =6 3 ，则 y 值为（ ）
D．18 与 6
A． 3
B．1
C．2 3
D．3
6．一个等腰三角形的两边分别为 2 3 ，3 2 ，则这个三角形的周长为（ ）
A．3 2 +4 3
B．6 2 +2 3
C．6 2 +4 3
7．计算：
（1）2 12 +3 48
D．3 2 +4 3 或 6 2 +2 3 （2）5 2 + 8 -7 18
（3）
8
+
1
+
0.125 -
1、把二次根式化成最简二次根式。 你能得出什么结论？ 2.二次根式相同的各项进行合并。 这与整式合并同类项是一致的，所以整式运算法则 在二次根式中都是适用的。
例1计算：
（1）12 75 2 3 5 3 7 3
（2） 80 45 解：1原式=4 5-3 5= 5
(2 3) 2 （分配律） 5dm 5 2
由 2 1.5可知5 2 7.5
8dm 18dm
8 18 5 2 7.5
8 18 dm
∴在这块木板上可以截出两个分别是8dm2和18dm2的正方形木板．
（1）
1、观察下列二次根式有什 么共同特征：
2 ， 3 2， 2
3
2b
2.在下列各组根式中，是同类二次根式的
是（ B ）
A . 2 , 12
B. 2, 1
2
C. 4ab , ab2 D. a 1, a 1
3. 与 12 是同类二次根式的是( D )
A. 32 B. 24 C. 125 D. 6 1
27
4.如果最简二次根式 m1 5 与 m n
是同类二次根式,求m、n 的值.
(1)化成最简二次根式;
(2)被开方数相同,根指数相同(都等于2).
判断同类二次根式的关键是什么？ (1)化成最简二次根式， (2)被开方数相同,根指数相同(都等于2)
1.下列各式中，哪些是同类二次根式？
(1) 2; (2) 75; (3) 1 ;(4) 1 ;(5) 3; 50 27
(6) 2 8ab3 ; (7)6b a ; (8) 12a 12b.
（3） 9a 25a 2原式=3 a +5 a =8 a
二次根式加减法的步骤：
（1）将每个二次根式化为最简二次根式； （2）找出其中的同类二次根式； （3）合并同类二次根式。
一化 二找 三合并
1、下列计算是否正确，为什么？
1 8- 3= 8-3 2 4+ 9= 4+9 33 2- 2=2 2
解：（1）不正确，∵ 8- 3=2 2- 3
（2）不正确 ∵ 4+ 9=2+3=5
（3）正确∵3 2- 2=3-1 2=2 2
下列计算哪些正确，哪些不正确？
⑴ 3 2 5 （不正确）
⑵ a b a b （不正确） ⑶ a b a b （不正确）
⑷ a a b a (a b) a （正确）
一化 二找 三合并
我们学会了简单的二次根式加减运算，加 减混合运算该怎么计算呢？
例2
12 12-6 1 +3 48 2 12+ 20 + 3- 5 3
6+
32
32
（4） 1 32a +6a a -3a2 2
4
18
a
课堂小结
1、判断同类二次根式的关键是什么？
(1)化成最简二次根式，
(2)被开方数相同,根指数相同(都等于2) 2、二次根式加减运算的步骤:
（1）将每个二次根式化为最简二次根式； （2）找出其中的同类二次根式； （3）合并同类二次根式。
解12 7-6 7=2-6 7 =-4 7
22 12+ 27= 4 3+3 3 =4+3 3 =7 3
3
18 -
9 2=3
2- 3 2
2
=
3-
3 2
2=3 2
2
4
2 3
9x +6
x 4
=
23 3
x +6 1 2
x
=2 x +3 x =2+3 x =5 x 5a2 8a +3a 50a3 = 2a2 25a2 2a =17a2 2a
1．在 12 ， 34 ， 48 ， 6 中能与 3 进行加减合并的根式有_________．
2．下列根式中与其他三个不同类的是（ ）
A． 2
B． 98
C． 48
D． 50
3．下列各组二次根式中，可以进行加减合并的一组是（ ）
A． 12 与 72
动手做一做
5 8+ 18=2 2+3 （2 先化为最简二次根式） = 2+3 （2 合并同类项）
=5 2
二次根式加减法的法则：二次根式加减时，先 把二次根式化成最简二次根式，再将被开方数 相同的二次根式进行合并。
动手做一做
6 3 3 3 (6 3) 3 9 3
6a2b+3a2b=(6+3)a2b=9a2b
⑸ 1 3a 1 2a a a 0（不正确）
3
2
练习1： (1) 18 8 2
(2) 75 27 8 3
(3)
48 6
1 3 6
3
2、计算
12 7-6 7
22 12+ 27
3
18 -
9 2
4
2 3
9x +6
x 4
5a2 8a +3a 50a3
5
2
，1 3
2
……
（2）
2
3 ，17 3 ， 5 3， 13
3
……
下列根式又有什么共同特征？
（3）
2 ， 8 ， 18 ， 32 ， 0.5 ，
9 2
……
2
82 2
18 3 2
32 4 2
0.5 1 2 2
9 3 2 22
经过化简 后，各根 式被开方 数相同。
几个二次根式化成最简二次根式以 后，如果被开方数相同，这几个二 次根式就叫做同类二次根式. 判断同类二次根式的关键是什么？
二次根式计算、化简的 结果符合什么要求？
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数 或因式.
问题： 现有一块长7.5dm、宽5dm的木板，
能否采用如图的方式，在这块木板上截出两 个分别是8dm2和18dm2的正方形木板？
8 18
2 2 3 2 （化成最简二次根式）
7.5dm
B． 63 与 78
C． 8x3 与 2 2x
4．下列根式合并过程正确的是（ ）
A．2 3 - 3 -=2
B．a c +b c =a+b c
C．5 a + 1 a =a+ 1 a
2
2
D． 1 3a - 1 3a = 1 3a
3
4
12
5．若 5 3 + y =6 3 ，则 y 值为（ ）
D．18 与 6
A． 3
B．1
C．2 3
D．3
6．一个等腰三角形的两边分别为 2 3 ，3 2 ，则这个三角形的周长为（ ）
A．3 2 +4 3
B．6 2 +2 3
C．6 2 +4 3
7．计算：
（1）2 12 +3 48
D．3 2 +4 3 或 6 2 +2 3 （2）5 2 + 8 -7 18
（3）
8
+
1
+
0.125 -