多因子实验设计

隨機因子之因子實驗
有時實驗希望能將結果擴充至整個母體， 此時因子水準的選擇必須從母體中隨機產 i 1,2,..., a 生，在這種情況下的因子就稱為隨機因子 y ( ) j 1,2,..., b
ijk i j ij ijk
k 1,2,..., n
因為非可加性之P值大於 0.05，交互作用不顯著
一般因子設計
由雙因子實驗設計推展至一般情況，即A因子 有a個水準、B因子有b個水準、C因子有c個水 NOTE!! 如果要分析交互作用項，至少要重複兩次試驗 準，依此類推可安排一個因子實驗
i 1,2,..., a j 1,2,..., b yijk i j k ( )ij ( )ik ( ) jk ( )ijk ijkl k 1,2,..., c l 1,2,..., n
5 line spe 0 10 12 14 200 250
line spe 200 250
因子效應之混合(1/2)
將較不重要的因子或交互作用pool到誤差項中，再分析其 餘變因之效應 使用多元配置具重複測試之實驗時，所有主效應及交互作 用均可分析，但各因素或交互作用之“重要性”可能不同 一般而言，高次(三次以上)的交互作用在實務上的意義不 顯著(在生產上較難控制) 可利用下列兩個方法決定因子效應的“重要性”
課程大綱
因子實驗設計 雙因子的因子實驗
無交互作用之假設 無重複之雙因子實驗設計 交互作用的檢定
一般因子設計
3因子實驗設計 因子效應之混合
隨機因子之因子實驗 混合模式
因子實驗設計
因子實驗設計(Factorial Design)
研究至少兩個主要感興趣的因子效應時，將各因子的 所有組合都加以考量的實驗，即稱為因子實驗設計 例如因子A有a個水準，而因子B有b個水準，則每次重 複會包含共ab種處理 主效應(main effect)：當實驗有興趣的因子水準改變 時，所產生的反應值改變 因子效應(factor effect)：因子水準由低到高時，所 產生的反應值改變 交互作用(interaction)：某一因子水準變化時，其造 成的反應值變化量會因其他因子水準的變化而改變時， 這些因子之間就具有交互作用
i 1,2,..., a yijk i j ijk j 1,2,..., b k 1,2,..., n
進行殘差分析：
由殘差分析可知，縱軸的值由正到負，負變正，再 變負，表示有交互作用存在，不應忽略
無重複之雙因子實驗設計
在實驗中有時會因為資料不夠導致每一種 i 1,2,..., a yij i j ( )ij ij 處理組合只能做一次試驗： j 1,2,..., b
先驗法(prior pooling)：以實務經驗判斷哪些因素或交互作用 要pool 後驗法(post hoc pooling)：先做完整的ANOVA分析，再決定哪 些因素或交互作用要pool，後驗法得到的MSE將使F值不再具F分 配
因子效應之混合(2/2)
Pooling後的SSE應重新計算 Pooling後，誤差項的自由度增加，但SSE的相 對增加量較小，使其他變因的偵測變的較敏感 實務原則：誤差項的自由度大於6時可不必 pool，小於6時，pool那些在α=0.25時仍不顯 著的項目
Step4 : 如果F0 F( ,1,( a -1)(b-1)-1) ，表示無交互作用
EXAMPLE

2 1 2 44 SS A 23 13 2 18 2 23.33 5 3 5 1 2 44 2 2 2 2 2 SS B 9 6 1 6 10 11 .60 3 3 5 SST 166 129 .07 36 .93
正 态 概率 图
（响应为 電池壽命）
99
与 拟 合值
（响应为 電池壽命） 50
95 90 80 70
25
0
百分比
60 50 40 30 20 10 5
残差
-25 -50 -75 -75 -50 -25 残差 0 25 50 50 75 100 拟 合值 125 150
1
残 差与 材料種類
（响应为 電池壽命） 50 50
3因子實驗設計
EXAMPLE(1/4)
填充汽水時，工程師認為碳酸比率(A)、填充 壓力(B)、瓶子流速(C)都會影響填充量，研究 希望每次填充量都達到目標值 取碳酸比率3個水準，壓力2個水準，流速2個 水準，每一組處理重複兩次，並以與目標值之 差量為反應值
EXAMPLE(2/4)
由變異數分析表可看出碳酸百分比、操作壓力及 流速均顯著影響填充量，而且碳酸百分比與壓力 有交互作用存在

在這種情況下，由於資料不夠以至於誤差 i 1,2,..., a yij i j ij 變異數無法估計，使交互作用之 SS無法與 j 1,2,..., b SSE分離，因此在分析時，假設交互作用不 存在
交互作用的檢定
Tuckey檢定 ( )ij i j 假設交互作用項滿足 H 0 : 0或( )ij 0 利用回歸觀念來檢定 a b
残 差与 溫度
（响应为 電池壽命）
25
25
0
0
残差
-25
残差
-25 -50 -50 -75 1.0 1.5 2.0 材料種類 2.5 3.0 -75 0 20 40 60 溫度 80 100 120 140
無交互作用之假設
有時實驗人員會假設交互作用不存在，但必須要謹慎， 因為顯著交互作用的出現對資料解釋有重大影響 以電池壽命之例，在不考慮交互作用的情況下，其 ANOVA table如下所示：
在固定模式下滿足
( ) ( )
i 1 i j 1 j i 1 ij j 1
a
b
a
b
ij
0
雙因子的因子實驗—ANOVA TABLE(1/2)
雙因子的因子實驗—ANOVA TABLE(2/2)
EXAMPLE(1/2)
三種不同材料在三種不同使用環境下量測 電池壽命。每一種處理各重複4次，共實 驗36次
雙因子的因子實驗
假設有A、B兩因子，A因子有a個水準，B因子 有b個水準，共ab個處理，重複n次實驗得abn 個實驗單位，並以隨機次序收集abn筆資料 Example：三種不同材料在三種不同使用環境 下量測電池壽命。每一種處理各重複4次，共 實驗36次(3×3×4)
雙因子的因子實驗—固定效應模式
i 1,2,..., a yijk i j ( ) ij ijk j 1,2,..., b k 1,2,..., n
為總平均 i為因子A第i個水準的效應 j為因子B第j個水準的效應
( ) ij 為交互作用的效應
ijk ~ NID (0, 2 ，為隨機誤差項 )
EXAMPLE(3/4)
正 态 概率 图
99 90
百分比
response 残 差 图
与 拟 合值
1.0 0.5
残差
50 10 1 -1 0 残差 1
0.0 -0.5 -1.0 0 3 拟 合值 6 9 12
直方 图
1.0 8
频率 残差
与顺序
6 4 2 0 -1.0 -0.5 0.0 残差 0.5 1.0
EXAMPLE(1/2)
從生產線隨機選取20個零件和3位作業員，以 欲研究的儀器來量測每個零件2次，量測順序 是隨機的 由於有兩個因子，且作業員與零件均為隨機因 子，故此實驗為二因子隨機因子實驗
Part Number 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Operator 1 21 20 24 23 20 21 27 27 19 18 23 21 22 21 19 17 24 23 25 23 21 20 18 19 23 25 24 24 29 30 26 26 20 20 19 21 25 26 19 19 Operator 2 20 20 24 24 19 21 28 26 19 18 24 21 22 24 18 20 25 23 26 25 20 20 17 19 25 25 23 25 30 28 25 26 19 20 19 19 25 24 18 17 Operator 3 19 21 23 24 20 22 27 28 18 21 23 22 22 20 19 18 24 24 24 25 21 20 18 19 25 25 24 25 31 30 25 27 20 20 21 23 25 25 19 17


SSresidual 36 .93 23 .33 11.60 2.00
y
i 1 j 1
a
b
ij
yi. y. j 7236
SS N
2 7236 44 (23 .33 11 .60 129 .07 ) 0.9985
SS Error
3 5 23.33 11 .60 2.00 0.0985 1.9015
0.5 0.0 -0.5 -1.0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
EXAMPLE(4/4)
8 6 4 2 percent
response 主效 应图
数据平均值
operation
由主效應圖可知三 個因子都是值愈大 時，填充量與目標 值差異平均值愈大
為總平均 、 、 ijk 均為隨機因子 i 、 j ( ) ij
2 i ~ NID (0, 2 ) j ~ NID (0, ) 2 ( )ij ~ NID (0, ) ijk ~ NID (0, 2 )為隨機誤差項 2 2 Var ( yijk ) 2 2 2 2 2、 、 、 2稱為變異成分 2 2 在因子效應的檢定中， H 0 : 2 0、 0或 0