初中数学竞赛专题选讲-三点共线

初中数学竞赛专题选讲

三点共线

一、内容提要

1. 要证明A ，B ，C 三点在同一直线上， A 。 B 。 C 。 常用方法有：①连结AB ，BC 证明∠ABC 是平角

②连结AB ，AC 证明AB ，AC 重合

③连结AB ，BC ，AC 证明 AB ＋BC ＝AC

④连结并延长AB 证明延长线经过点C

2. 证明三点共线常用的定理有：

① 过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行

② 经过一点有且只有一条直线和已知直线垂直

③ 三角形中位线平行于第三边并且等于第三边的一半

④ 梯形中位线平行于两底并且等于两底和的一半

⑤ 两圆相切，切点在连心线上

⑥ 轴对称图形中，若对应线段（或延长线）相交，则交点在对称轴上

二、例题

例1.已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，点P 是形内的任一点，PM ⊥AB ，

PN ⊥CD

求证：M ，N ，P 三点在同一直线上 证明：过点P 作EF ∥AB ， ∵AB ∥CD ，∴EF ∥CD ∠1＋∠2＝180 ，∠3＋∠4＝180

∵PM ⊥AB ，PN ⊥CD

∴∠1＝90 ，∠3＝90 ∴∠1＋∠3＝180

∴ M ，N ，P 三点在同一直线上

例2.求证：平行四边形一组对边的中点和两条对角线的交点，三点在同一直

线上

已知：平行四边形ABCD 中，M ，N 分别是AD 和BC 的中点，O 是AC 和

BD 的交点

求证：M ，O ，N 三点在同一直线上

证明一：连结MO ，NO ∵MO ，NO 分别是△DAB 和△CAB 的中位线

∴MO ∥AB ，NO ∥AB

根据过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行

∴ M ，O ，N 三点在同一直线上

证明二：连结MO 并延长交BC 于N

， ∵MO 是△DAB 的中位线 ∴MO ∥AB

在△CAB 中

∵AO ＝OC ，ON ，∥AB ∴BN ，＝N ，C ，即N ，是BC 的中点 ∵N 也是BC 的中点，

∴点N ，和点N 重合

∴ M ，O ，N 三点在同一直线上

例3.已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A ＋∠B ＝90 ，M ，N 分别是AB

和CD 的中点，BC ，AD 的延长线相交于P

求证：M ，N ，P 三点在同一直线上 证明：∵∠A ＋∠B ＝90 ，

∠APB ＝Rt ∠

连结PM ，PN 根据直角三角形斜边中线性质 PM ＝MA ＝MB ，PN ＝DN ＝DC ∴∠MPB ＝∠B ，∠NPC ＝∠B

∴PM 和PN 重合 ∴M ，N ，P 三点在同一直线上 例4.在平面直角坐标系中，点A 关于横轴的对称点为B ，关于纵轴的对称

点是C ，求证B 和C 是关于原点O 解：连结OA ，OB ，OC ∵A ，B 关于X 轴对称， ∴OA ＝OB ，∠AOX ＝∠BOX 同理OC ＝OA ，∠AOY ＝∠COY ∴∠COY ＋∠BOX ＝90

X ∴B ，O ，C 三点在同一直线上 ∵OB ＝OC

∴ B 和C 是关于原点O 的对称点 例5.已知：⊙O 1和⊙O 2相交于A ，B 两点，过点B 的直线EF 分别交⊙O 1

和⊙O 2于E ，F 。

求证：AE ，AF 和⊙O 1和⊙O 2的直径成比例

,

证明：作⊙O 1和⊙O 2的直径AM ，AN ，连结AB ，BM ，BN

∵AM ，AN 分别是⊙O 1和⊙O 2的直径 ∴∠ABM ＝Rt ∠，∠ABN ＝Rt ∠ ∴M ，B ，N 在同一直线上

∴∠M ＝∠E ，∠N ＝∠F ∴△AMN ∽△AEF ∴AF AN AE AM

三、练习

1. 已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M ，N ，P 分别是AD ，BC ，AC 的中

点 求证：M ，N ，P 三点在同一直线上

2. 已知：△ABC 中，BE ，CF 是中线，延长BE 到G ，使EG ＝BE ，延长

CF 到H ，使FH ＝CF ，

求证：G ，A ，H 三点共线

3. 已知：正方形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，CD 的中点，DE ⊥AN 于E ，

求证：点M 在DE 的延长线上（同33第5）

4. 求证：梯形两腰中点和两条对角线的中点，四点在同一直线上

5. 已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A 和∠D 的平分线相交于O ，

求证：点O 在梯形的中位线上

6. 已知：△ABC 中，∠ABM ，∠ACN 分别是∠B ，∠C 的邻补角，从点

A 作∠

B ，∠

C ，∠ABM ，∠CAN 四个角平分线的垂线段A

D ，A

E ，A

F ，

AG ，垂足是D ，E ，F ，G

求证：D ，E ，F ，G 四点在同一直线上

7. 已知：点P 在等边△ABC 外，PA=PB+PC ，以PA 为一边作等边△APQ

使点Q 和点C 在PA 的同一侧

求证：PQ 必过点C

8. 已知：△ABC 中，AB=AC ，直线AP ∥BC ，点D 和点C 是关于直线

AP 的对称点

求证：点D 和点B 是关于点A 的对称点

练习题参考答案

1. 连结MP ，NP 证明都与AB 平行

2. 连结AG ，AH 证明都与BC 平行

3. 连结DM 证明DM ⊥AN