勾股定理解题思路

一、方程思想

例1 如图1，折叠矩形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，已知8cm AB =，10cm BC =，求EC 的长．

分析 设EC x =，则8DE x =-，由于折叠矩形的边AD 且D 落在点F 处，故AFE △和ADE △完全重合，则8EF x =-，10AF AD ==，在Rt EFC △中运用勾股定理，即可得到关于x 的方程，即可求出x 的值．

解 因为D ，E 关于AE 对称，所以AFE △和ADE △完全重合，即10AF AD BC ===，DE EF =，设EC x =，则8DE x =-，

所以在Rt ABF △

中，由勾股定理，得6BF =

=， 所以4FC BC BF =-=，

在Rt EFC △中，由勾股定理，得2224(8)x x +=-，解得3x =，

所以EC 的长为3cm ．

说明 折叠问题和轴对称紧密相关，要注意分清对称轴，在求解这类问题时可以根据题意引进未知数，利用勾股定理来布列方程即能简易求解．

例2 如图2，ABC △中，22.5B ∠=，60C ∠=，AB 的垂直平分线交BC 于D

，BD =AE BC ⊥于E ，求EC 的长．

分析 由条件22.5B ∠=和AB 的垂直平分线交BC 于D 可想到连结AD ，这样就可以充分运用条件，构造方程求解．

解 连接AD ，则AD BD =，

因为22.5B ∠=，所以45ADE ∠=，所以AE DE =，

因为BD =

222AE =，即6AE =．

在Rt AEC △中，60C ∠=，则2AC EC =，

设EC x =，则2A C x =，

由勾股定理，得2226(2)x x +=，

得x =

即EC = 说明 遇到含30的直角三角形时一定要注意：“在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半”的使用．即含30的直角三角形中三边之比是

图1

F 图2

C

1

2．

二、分类讨论思想

例3 已知一个直角三角形的两边长是3cm 和4cm ，求第三边的长．

分析 已知一个直角三角形的两边长，并没有指明是直角边还是斜边，因此要分类讨论． 解 当3cm 和4cm 是两条直角边时，

＝5；当3c m 是直角边，4cm 是斜边时，

=． 说明 求解本题许多同学往往受勾3股4弦5的思维定势，而误认为3cm 和4cm 就是直角三角形的两条直角边，斜边当然是5cm 了，从而漏掉一解导致错误．

例4 一个等腰三角形的周长为14cm ，一边长4cm ，求底边上的高．

分析 一边长4cm ，并没有指明是底边还是腰，所以应分类讨论．

解 当4cm 的边为底边时，腰长就是5cm

，所以由勾股定理求得底边上的高是=当4c m 的边为腰时，底边长就是6cm ，所以由勾股定理求得底边上的高

=

说明 这里对等腰三角形的分类讨论，实际上就是对直角三角形的边的讨论．

三、数形结合思想

例5 在一棵树的10米高处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘，而另一只爬到树顶后直扑池塘，如果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？

分析 根据题意画出图形，再在直角三角形中运用勾股定理构建方程求解．

解 如图3，D 为树顶，10m AB =，C 为池塘，20m AC =，设BD 的长是m x ，则树高(10)x m +．因为AC AB BD DC

+=+，所以2010DC x =+-，在A C D △中，90A ∠=，所以

22A C A D D C +=．故222

20(10)(30)x x ++=-，解得5x =．所以1015x +=，即树高15米．

说明 勾股定理的本身就是数形结合的体现，求解时它又与方程紧密相联．

四、转化思想

例6 如图4，长方体的长为15cm ，宽为10cm ，高为20cm ，点B 距点C 5cm ，一只蚂蚁如果要沿着长方体表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短路程是多少？

分析 由于蚂蚁是沿着长方体的表面爬行的，故需把长方体转化展开成平面图形，根据两点之间线段最短，蚂蚁爬行的路线有两种可能（如图5、图6）利用勾股定理容易求出图

5、图6中AB 的长度，比较后即可求得蚂蚁爬行的最短路程．

图

3 B 图

4 图

5 B A 图6

A B

解 将长方体展开成平面图形．因为两点之间线段最短，所以所求的爬行路程是线段AB 的长度，根据点B 在图上的位置，展开后线段AB 有两种可能，即图5和图6．

在图5中，由勾股定理，得22220(105)625AB =++=，所以25AB =，

在图6中，由勾股定理，得22210(205)725AB =++=，

因为625725<，所以蚂蚁需要爬行的最短路程是25cm ．

说明 这里原本是求最短距离，却转化成研究长方体的展开图问题，但最终还是利用勾股定理求两点间的距离问题．