3第三章 对偶理论和灵敏度分析(第6节)

σ j = c j − C B B − 1 P j = c j − YP j = c j − ∑ y i a ij
i =1
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m
生产第 j 种产品所消耗各种资源的影子价格总 种产品隐含成本。 和，即第 j 种产品隐含成本。
σ j = c j − C B B − 1 P j = c j − YP j = c j − ∑ y i a ij
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（ 2） 单纯形表的检验数列中的数据在迭代过程中逐 ） 步满足全部非正： 步满足全部非正：从而确保对偶问题的解随着迭代过 程由不可行逐渐变为可行。 程由不可行逐渐变为可行。 当由单纯形表的检验数行所得出的对偶问题的基解也 是可行解时，原始问题和对偶问题同时达到最优。 是可行解时，原始问题和对偶问题同时达到最优。
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s .t .
原问题变量 cj CB 0 0 0 XB x3 x4 x5 c j– z j b 8 16 12 2 x1 1 4 0 2 3 x2 2 0 4 3
原问题松弛变量 0 x3 1 0 0 0 0 x4 0 1 0 0 0 x5 0 0 1 0 θi 4 3
1 现有生产计划中产品 I 的隐含成本 = ( y 1 , y 2 , y 3 ) P1 = (0 , 0 , 0 ) 4 0
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5. 单纯型表中检验数的经济解释： 单纯型表中检验数的经济解释： 根据原问题检验数和对偶问题解的关系（性质 ） 根据原问题检验数和对偶问题解的关系（性质6）： 原问题检验数和对偶问题解的关系 原问题松弛变量检验数的相反数 = 对偶变量的值 原问题松弛变量检验数为： 原问题松弛变量检验数为：− C B B −1 故 Y = C B B −1
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3. 资源 i 的市场价格是已知数，而它的影子价格则 的市场价格是已知数， 的利用情况，为未知数。 有赖于资源 i 的利用情况，为未知数。 因企业生产任务、产品结构发生变化， 因企业生产任务、产品结构发生变化，资源的影子 价格也随之改变。 价格也随之改变。 例如： 例如： 种产品， 种产品， 企业原来只生产 2 种产品，现在生产 3 种产品，其 它条件不变。 它条件不变。
cm +1 − zm +1
… … … … … … … …
ck xk a1k … alk … amk
ck − zk
… … … … … … … …
cn xn a1n … aln … amn
cn − zn
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1. 换出变量的确定 为了使原问题的解在迭代过程中由不可行变为可行 ， 首先被换出的变量应该是取值为负数的变量，因 首先被换出的变量应该是取值为负数的变量， 为它是造成原问题不可行的根本原因。 为它是造成原问题不可行的根本原因。 总存在 小于 0 的 b’i ， min{ bi′ bi′ < 0} = bl′ 为换出变量。 令其对应的变量 xl 为换出变量。
4x1=16 x1+2x2=8 4x2=12 (4,2) x1
* * x1 = 4, x 2 = 2, z * = 14
x2
4x1=16 x1+2x2=9 4x2=12 (4, 2.5) x1
* * x1 = 4, x2 = 2.5, z * = 15.5
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* 其它条件不变的情况下： y 2 = 0 .125 ⇒ 其它条件不变的情况下 ： 原材料 （2） ）
i =1
m
第 j 种产品的产值
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种产品隐含成本： 第 j 种产品产值 > 第 j 种产品隐含成本：生产第 j 种产品有利。 种产品有利。—— 检验数大于 0 。 种产品隐含成本： 第 j 种产品产值 < 第 j 种产品隐含成本：生产第 j 种产品无利。 种产品无利。—— 检验数小于 0。 。 为产品定价时， 为产品定价时 ， 产品的价格要大于该产品的隐含 成本。 成本。
原问题变量 cj CB 2 0 3 XB x1 x4 x2 c j– z j b 2 8 3 2 x1 1 0 0 0 3 x2 0 0 1 0
原问题松弛变量 0 x3 1 -4 0 -2 0 x4 0 1 0 0 0 θi x5 -1/2 2 1/4 1/4 4 12
1 1 现有生产计划中产品 I 的隐含成本 = ( y 1 , y 2 , y 3 ) P1 = 2 , 0 , − 4 4 0
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y i* 是一种边际价格 1. 影子价格
例：原问题
max z = 2 x 1 + 3 x 2 x1 + 4 x + 1 x1 , x 2 2 x2 4 x2 ≥ 0 ≤ ≤ ≤ 8 16 12
对偶问题
min ω = 8 y1 + 16 y2 + 12 y3 ≥ 2 y1 + 4 y2 4 y3 ≥ 3 2 y1 + y , y2 , y3 ≥ 0 1
的对偶问题： 问题 1 的对偶问题： 的对偶问题： 问题 2 的对偶问题： 二者不相等。 二者不相等。
(y
* 1
* y2
* y3
) )
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(y
* 1
* y2
* y3
4. 在最优生产计划下： 在最优生产计划下： 如果第 i 种资源未被用完，则表明该资源的影子价 种资源未被用完， 格为 0 ； 如果第 i 种资源的影子价格不为 0 ，则表明该资源 在生产中被完全用完。 在生产中被完全用完。 由互补松弛性质可知
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当由单纯形表的右端常数列所得wk.baidu.com的原问题的基
解也是可行解时， 原始问题和对偶问题同时达到 解也是可行解时 ，
最优。 最优。
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单纯形法： 迭代过程中， 一直保持原问题可行， 单纯形法 ： 迭代过程中 ， 一直保持原问题可行 ， 对偶问题逐步由不可行变为可行。 对偶问题逐步由不可行变为可行。
* * * y 1 = 1 .5 , y 2 = 0 .125 , y 3 = 0 由原问题最优单纯形表可知： 由原问题最优单纯形表可知：
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* 其它条件不变的情况下： y 1 = 1 .5 ⇒ 其它条件不变的情况下 ： 设备增 ） （1）
加一台时， 加一台时 ， 该厂按最优计划生产 可多获利 1.5 元。 x2
第六节 对偶问题的经济解释
原问题
max z = CX s.t . AX ≤ b X ≥0
对偶问题
min ω = Yb s.t . YA ≥ C Y ≥0
z* = ω * =
∑
j =1
m
c j x* = j
∑
i =1
m
bi y i*
y
* i
∂z* = ∂bi
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的最优解的经济意义是： 对偶问题 yi* 的最优解的经济意义是 ： 在其它条件 不变的情况下， 不变的情况下，单位资源 i 变化所引起的目标函数 的变化。 最优值 z* 的变化。 即，在资源最优利用的条件下，对第 i 种资源的估 在资源最优利用的条件下， 因为这种估价不是资源的市场价格， 价。因为这种估价不是资源的市场价格，而是根据 资源在生产中作出的贡献而作出的估价， 资源在生产中作出的贡献而作出的估价，为区别起 见，称为影子价格（shadow price）。 称为影子价格（ ）
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问题 1
max z = 2 x 1 + 3 x 2 x1 + 4 x1 + x1 , x 2 2 x2 4 x2 ≥ 0 ≤ ≤ ≤ 8 16 12
问题 2
max z′ = 2 x1 + 3 x2 + 4 x3 2 x2 + x3 x1 + 4x + x3 1 4 x2 + x3 x1 , x2 , x3 ≥ 0 ≤ 8 ≤ 16 ≤ 12
* * x1 = 4, x 2 = 2, z * = 14
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=
* 4, x 2
= 2, z = 14
*
y i* 是一种机会成本 2. 影子价格
种资源的市场价格低于影子价格时： 当第 i 种资源的市场价格低于影子价格时： 企业自己进行生产。 企业自己进行生产。
种资源的市场价格高于影子价格时： 当第 i 种资源的市场价格高于影子价格时： 企业将已有资源卖出。 企业将已有资源卖出。
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现有生产计划中产品 I 的隐含成本 = ( y 1 , y 2 , y 3 ) P1 =
第七节 对偶单纯形法
一、对偶单纯形法的求解思路
1. 单纯形法的求解过程 （1）单纯形表的右端常数列中的数据在迭代过程 ） 中一直为非负： 中一直为非负 ： 从而确保原问题每次迭代得到的 新基解都是可行解。 新基解都是可行解。
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原问题变量 cj CB 0 0 3 XB x3 x4 x2 c j– z j b 2 16 3 2 x1 1 4 0 2 3 x2 0 0 1 0
原问题松弛变量 0 x3 1 0 0 0 0 x4 0 1 0 0 0 θi x5 -1/2 0 1/4 -3/4 2 4 -
1 3 现有生产计划中产品 I 的隐含成本 = ( y 1 , y 2 , y 3 ) P1 = 0 , 0 , 4 4 0 页 第16页
对偶单纯形法：迭代过程中， 对偶单纯形法 ： 迭代过程中 ， 一直保持对偶问题 可行，原问题逐步由不可行变为可行。 可行，原问题逐步由不可行变为可行。
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二 、 对偶单纯形法中换入变量和换出变量 的确定
cj CB c1 … cl … cm XB x1 … xl … xm c j– z j b b’1 … b’l … b’m c1 x1 1 … 0 … 0 0 … … … … … … … … cl xl 0 … 1 … 0 0 … … … … … … … … cm xm 0 … 0 … 1 0 cm+1 xm+1 a1,m+1 … al,m+1 … am,m+1
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原问题变量 cj CB 2 0 3 XB x1 x5 x2 c j– z j b 4 4 2 2 x1 1 0 0 0 3 x2 0 0 1 0
原问题松弛变量 0 x3 0 -2 1/2 -3/2 0 x4 1/4 1/2 -1/8 -1/8 0 θi x5 0 1 0 0
1 3 1 , ,0 4 2 8 0
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2. 对偶单纯形法的求解过程 （1）单纯形表的检验数列中的数据在迭代过程中 ） 一直为非正： 一直为非正 ： 从而确保每次迭代得到的对偶问题 的新基解都是可行解。 的新基解都是可行解。 （2）单纯形表的右端常数列中的数据在迭代过程 ） 中逐步满足全部非负： 中逐步满足全部非负 ： 从而确保原问题的解随着 迭代过程由不可行变为可行。 迭代过程由不可行变为可行。
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例：
max z = 2x1 + 3x2
x1 + 2 x2 ≤ 8 ≤ 16 4 x1 4 x 2 ≤ 12 x1, x2 ≥ 0
s .t .
max z = 2x1 + 3x2
= 8 x1 + 2 x2 + x3 + x4 = 16 4 x1 4 x2 + x 5 = 12 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥ 0
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2. 换入变量的确定 （1）确保换入的变量取值不再为负数 ） 为换入变量， 设 xk 为换入变量，则需要以 al k 为枢轴元素进行旋 转运算，从而得到新的基解。 转运算，从而得到新的基解。
A 增加 1kg 时，该厂按最优计划 生产可多获利0.125元。 元 生产可多获利 x2
4x1=16 x1+2x2=8 4x2=12 (4,2) x1
* * x1 = 4, x 2 = 2, z * = 14
x2
4x1=17 x1+2x2=8 4x2=12 (4.25,1.875) x1
* * x1 = 4.25, x2 = 1.875, z * = 14.125
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* 其它条件不变的情况下： y 3 = 0 ⇒ 其它条件不变的情况下 ： 原材料 （3） ）
B 增加 1kg 时，该厂按最优计划 生产可多获利 0 元。 x2
4x1=16 x1+2x2=8 4x2=12 (4,2) x1
* x1
x2
4x1=16 x1+2x2=8 4x2=13 (4,2) x1