历年高考数学真题精选08 分段函数
高考数学函数专题训练《分段函数》含答案解析
高考数学函数专题训练 分段函数一、选择题1.已知函数21,1()11,1x x f x x x x -⎧<⎪=+⎨⎪-⎩…，若()f a 3=，则实数a 的值为( )A ．2B ．2-C ．2±D ．2或3-【答案】C【解析】Q 函数21,1()11,1x x f x x x x -⎧<⎪=+⎨⎪-⎩…，()3f a =，∴当1a <时，1()31a f a a -==+，解得2a =-； 当1a …时，2()13f a a =-=，解得2a =或2a =-（舍)．综上，实数a 的值为2±．故选C ． 2. 若()()234,1,1a x a x f x x x ⎧--<=⎨≥⎩是(),-∞+∞的增函数,则a 的取值范围是( )A ．2,35⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．2,35⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(),3-∞D ．2,5⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】A【解析】由于函数()()234,1,1a x a x f x x x ⎧--<=⎨≥⎩是(),-∞+∞的增函数，则函数()34y a x a =--在(),1-∞上是增函数，所以，30a ->，即3a <；且有()23141a a -⨯-≤，即351a -≤，得25a ≥， 因此，实数a 的取值范围是2,35⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故选A.3. 若函数()314,025,0xx f x x x x ⎧⎛⎫+≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--+>⎩，，当[],1x m m ∈+时，不等式()()2-<+f m x f x m 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．(),4-∞- B ．(),2-∞-C ．()2,2-D ．(),0-∞【答案】B【解析】依题意得：函数()314,025,0xx f x x x x ⎧⎛⎫+≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--+>⎩，在x ∈R 上单调递减，因为()()2-<+f m x f x m ，所以2m x x m ->+，即2x m <，在[],1x m m ∈+上恒成立， 所以2(1)m m +<，即2m <-，故选B ．4. 已知函数lg ,0()1lg ,0x x f x x x >⎧⎪=⎨⎛⎫-< ⎪⎪⎝⎭⎩，若()()f m f m >-，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(1,0)(1,)-⋃+∞B ．(,1)(1,)-∞-+∞UC ．(1,0)(0,1)-UD ．(,1)(0,1)-∞-U【答案】A【解析】由函数的解析式可得函数()f x 为奇函数，则不等式()()f m f m >-即()()f m f m >-，即()0f m >，由此可得可得实数m 的取值范围是()()1,01,-⋃+∞.故选A.5. 已知函数1,0,()ln(),0,kx x f x x x -≥⎧=⎨--<⎩若函数()f x 的图象上关于原点对称的点有2对，则实数k 的取值范围为（ ） A ．(,0)-∞ B ．1(0,)2C ．(0,)+∞D ．(0,1)【答案】D【解析】要使函数()f x 的图象上关于原点对称的点有2对，只需函数()()ln 0y x x =--<的图象关于原点对称的函数()ln 0y x x =>的图象与直线()10y kx x =->的交点个数为2即可.如图,可作出函数()()ln 0y x x =--<关于原点对称的函数()ln 0y x x =>的图象，当直线1y kx =-与ln y x =的图象相切时,设切点为(),ln m m ,又ln y x =的导数为1'y x =，则1ln 1km mk m -=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得11m k =⎧⎨=⎩，可得切线的斜率为1，结合图象可知()0,1k ∈时,函数ln y x =的图象与直线1y kx =-有2个交点,即函数()f x 的图象上关于原点对称的点有2对,故选D.6. 已知函数f(x)=2-(0),0(0),()(0)x ax b xxg x x⎧+>⎪=⎨⎪<⎩在区间24,-4a b ba⎛⎫++⎪⎝⎭上满足f(-x)+f(x)=0,则g(-2)的值为()A．-22B．22C．-2D．2【答案】B【解析】由题意知f(x)是区间24,-4a b ba⎛⎫++⎪⎝⎭上的奇函数,∴a+4a-b2+4b=0,由于()224244b b b-+=--+≤，由对勾函数的性质，当0a>时，44aa+≥，故a<0,∴(b-2)2+2---aa⎛⎪⎝⎭=0,解得b=2,a=-2.∴g(-2)=-f(2)=-2-2a+b=-2+22+2=22.故选B.7. 已知函数()22log042708433x xf xx x x⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，，，若a b c d,,,互不相同，且满足，()()()()f a f b f c f d===则abcd的取值范围是（）A．()3233，B．()3234，C．()3235，D．()3236，【答案】C【解析】由题意，可画出函数()f x图象如下：由题意，,,,a b c d Q 互不相同，∴可不妨设a b c d ＜＜＜．∵()()f a f b =，由图象，可知22log a log b -=．即：220log a log b +=．∴20log ab =，∴1ab =．又∵()()()()f a f b f c f d ===，∴依据图象，它们的函数值只能在0到2之间， ∴4578c d ＜＜，＜＜．根据二次函数的对称性，可知：2612c d +=⨯=．∴()()2·121245abcd cd c c c c c ，＜＜==-=-+则可以将abcd 看成一个关于c 的二次函数．由二次函数的知识，可知：212c c -+在45c ＜＜上的值域为()3235，． abcd ∴的取值范围即为()3235，，故选C ． 8. 已知函数（，且）在上单调递增，且关于的方程恰有两个不相等的实数解，则的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由函数()f x 的解析式可知函数在区间上单调递增，当时，函数单调递减，由复合函数的单调性法则可知：，且函数在处满足：，解得：，故，方程恰有两个不相等的实数解，则函数与函数的图像有且仅有两个不同的交点，绘制函数的图像如图中虚线所示，令可得：，由可知，，则直线与函数的图像在区间上存在唯一的交点，原问题转化为函数与二次函数在区间上存在唯一的交点，很明显当，即时满足题意，当直线与二次函数相切时，设切点坐标为，亦即，由函数的解析式可得：，故：，则，切点坐标为，从而：，即.据此可得：的取值范围是.故选D .9. 已知函数11ln ,01()1,12x x x f x x -+<≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，若方程2()(1)()0f x a f x a -++=恰有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围为 A ．)0,(-∞ B ．(0,)+∞ C ．(1,)+∞ D ．(0,1)【答案】D【解析】2()(1)()0f x a f x a -++=可变形为[()][()1]0f x a f x --=，即()a x f =或()1=x f ，由题可知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，当(]0,1x ∈时，函数()f x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，函数()f x 单调递减，画出函数()f x 的大致图象，如图所示，当且仅当1x =时，()1=x f ，因为方程2()(1)()0f x a f x a -++=恰有三个不同的实数根，所以()a x f =恰有两个不同的实数根，即(),y f x y a ==的图象有两个交点，由图可知10<<a 时，(),y f x y a ==的图象有两个交点，所以实数a 的取值范围为(0,1)，故选D ．10. 已知函数()2,02()211,0x x f x x f x x ⎧≤≠-⎪=+⎨⎪-+>⎩且若关于x 的方程()f x kx =都有4个不同的根，则k 的取值范围是( ) A ．52,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．52,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．75,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．75,42⎛⎤⎥⎝⎦【答案】C【解析】()f x kx =都有4个不同的根，等价于(),,y f x y kx ==的图象有四个交点，因为()2,02()211,0x xf x x f x x ⎧≤≠-⎪=+⎨⎪-+>⎩且，所以，若01x <≤，则110x -<-≤，则2()(1)111f x f x x =-+=++；若12x <≤，则2Bq mRυυ=，则2()(1)12f x f x x=-+=+； 若23x <≤，则112x <-≤，则2()(1)131f x f x x =-+=+-； 若34x <≤，则213x <-≤，则2()(1)142f x f x x =-+=+-； 若45x <≤，则314x <-≤，则2()(1)153f x f x x =-+=+-； ...，作出()f x 的图象如图，求得()()4,7,2,5A B ，则75,42OAOB kk ==， 由图可知，7542k ≤<时，(),,y f x y kx ==的图象有四个交点，此时，关于x 的方程()f x kx =有4个不同的根，所以，k 的取值范围是75,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故选C .11. 已知函数1,03 ()lg(6),36gx a xf xx a x⎧-<≤⎪=⎨--<<⎪⎩，（其中a R∈），若()f x的四个零点从小到大依次为1x，2x，3x，4x，则4121iix x x=+∑的值是（）A．16 B．13 C．12 D．10【答案】B【解析】由题意可知，()f x有四个零点等价于函数lg,03()lg(6),36x xg xx x⎧<≤⎪=⎨-<<⎪⎩图象与函数y a=有四个交点，如图所示，由图形可知，1lg x a-=，2lg x a=，3lg(6)x a-=，4lg(6)x a--=，∴110ax-=，210ax=，3610ax-=，4610ax--=，即110ax-=，210ax=，3610ax=-，4610ax-=-，所以121x x=，41101061061012a a a aiix--==++-+-=∑，故412113iix x x=+=∑，故选B．12. 已知函数ln,1()1(2)(),1x xf xx x a xe≥⎧⎪=⎨+-<⎪⎩（a为常数，e为自然对数的底数）的图象在点(),1A e处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点，求实数a 的取值范围是（ ） A．33a --<<-+B．233a -+<<C．3a <--233a -+<< D．3a -+<【答案】C【解析】由()ln f x x =，1x ≥，得()1f x x '=，()1'f e e= ()f x ∴在点(),1A e 处的切线方程为1y x e=，① 函数()()()12y f x x x a e==+-，1x <② ∴由①②联立方程组可得：11(2)()y x ey x x a e ⎧=⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，其中1x <,化简得：2(1)20x a x a +--=，③Q 切线与该函数的图象在(),1A e 点有一个交点，∴只需要满足③在当1x <时有两个不相同的交点，很明显2x =-不是函数的零点，整理方程可得：()222322x x a x x x +==++-++，问题转化为函数y a =与平移之后的对勾函数()2232y x x =++-+有两个不同的交点， 绘制函数()2232y x x =++-+的图像如图所示，结合均值不等式的结论可知，当2x >-时，()2232232y x x =++-≥+， 当2x <-时，()2232232y x x =++-≤-+， 且当1x =时，()222323y x x =++-=+， 结合函数图像可知，实数a 的取值范围是：322a <--或23223a -+<<. 故选C . 二、填空题13．函数22,1()log ,1x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩的值域为____________．【答案】(,2)-∞【解析】当1x <时，()2xf x =，其值域为()0,2，当1x ≥时，()2log f x x =-，其值域为(],0-∞所以函数()22,1log ,1x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩的值域为(]()(),00,2,2-∞⋃=-∞14. 函数223,0,(),0,x x f x x x --<⎧=⎨≥⎩若0a b >>，且()()f a f b =，则()f a b +的取值范围是________． 【答案】[)1-+∞，【解析】设()()f a f b t ==，作出函数()f x 的图象， 由图象可得0t ≥时，由()2f a a t ==，解得a t =，由()23f bb t =--=，解得32tb --=， 则23131(1)12222t a b t t t t --+=+=-+-=---， 因为0t ≥，则0t ≥，设m a b =+， 则21(1)112m a b t =+=---≤-， 此时()()23231f a b f m m +==--≥-=-， 所以()f a b +的取值范围是[1,)-+∞.15. 设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时，2()1(1)f x x =--，(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中0k >.若在区间(0]9，上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是_____.【答案】12,34⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭. 【解析】当(]0,2x ∈时，()2()11,f x x =--即()2211,0.x y y -+=≥又()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为4，如图，函数()f x 与()g x 的图象，要使()()f xg x =在(]0,9上有8个实根，只需二者图象有8个交点即可.当1g()2x =-时，函数()f x 与()g x 的图象有2个交点； 当g()(2)x k x =+时，()g x 的图象为恒过点()2,0-的直线，只需函数()f x 与()g x 的图象有6个交点.当()f x 与()g x 图象相切时，圆心()1,0到直线20kx y k -+=的距离为12211k k k +=+，得24k =，函数()f x 与()g x 的图象有3个交点；当g()(2)x k x =+过点1,1（）时，函数()f x 与()g x 的图象有6个交点，此时13k =，得13k =. 综上可知，满足()()f x g x =在(]0,9上有8个实根的k 的取值范围为1234⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭，. 16. 已知函数()()ln ,02,2x x e f x f e x e x e⎧<≤⎪=⎨-<<⎪⎩，函数()()F x f x ax =-有4个零点，则实数a 的取值范围是____________. 【答案】10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】设2e x e <<，则02e x e <-<，故()()ln 2f x e x =-，即()()ln ,0ln 2,2x x e f x e x e x e ⎧<≤⎪=⎨-<<⎪⎩， 绘制函数图像如图所示，函数()()F x f x ax =-有4个零点则函数()f x 与函数y ax =有4个交点，如图所示，考查临界情况，当直线与函数相切时，设切点坐标为()00,x ax ，由题意可得：0001ln a x x ax ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得：01x e a e =⎧⎪⎨=⎪⎩. 则直线与函数相切时斜率为1e， 数形结合可知实数a 的取值范围是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭.。
高中数学分段函数解析式及其图像作法练习题含答案
高中数学分段函数解析式及其图像作法练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 若函数f (x )={x +1, x ≥0,f (x +2), x <0则f (−3)的值为 （ ） A.5B.−1C.−7D.22. 已知函数f(x)的图象是两条线段（如图所示，不含端点），则f[f(13)]＝（ ）A.−13B.13C.−23D.233. 已知f(x)={x +2(x ≤−1)x 2(−1<x <2)2x(x ≥2)，若f(x)＝3，则x 的值是（ ）A.1B.1或32C.1，32或±√3D.√34. 已知函数{x 2+1,x ≤0−2x,x >0，f(x)=5，则x 的值为（ ） A.−2B.2或−2C.2或−52D.2或−2或−525. 已知函数f(x)={x 2+4x +3,x ≤03−x,x >0则f （f(5)）＝（ ） A.0B.−2C.−1D.16. 函数f(x)={|3x −4|(x ≤2)2x−1(x >2)，则当f(x)≥1时，自变量x 的取值范围为（ ） A.[1,53]B.[53，3] C.(−∞,1)∪[53，+∞)D.(−∞,1]∪[53，3]7. 函数f(x)=ln1的大致图象是( )(2−x)2A.B.C.D.的部分图象大致为() 8. 函数y=1+x+sin xx2A. B.C.D.9. 若函数f(x)={e x e ,x ≥0，x 2+5x +4，x <0，（其中e 为自然对数的底数），则函数ℎ(x)=f(f(x))−f(x) 的零点个数为( )A.2B.3C.4D.510. 已知f(x)={1,x ≥0,−1,x <0,则不等式x +(x +2)⋅f(x +2)≤5的解集是( ) A.[−2, 1]B.(−∞, −2]C.[−2,32]D.(−∞,32]11. 设函数f(x)={x 2+2x ，x <0，−x 2，x ≥0，f(f(a))≤3，则实数a 的取值范围是________．12. f(x)={(12)x −2,x ≤0，2x −2,x >0，则f(x)−x 的零点个数是________．13. 若函数f(x)={2x(x ≥10)f(x +1)(0<x <10)，则f(5)=________． 14. 已知函数满足，则函数的解析式为________．15. 定义a ⊗b ={a 2+b ，a >b a +b 2，a ≤b ，若a ⊗(−2)=4，则a =________．16. 已知函数f(x)={ax 2+2x +1,(−2<x ≤0)ax −3,(x >0)有3个零点，则实数a 的取值范围是________．17. 若函数f(x)＝，则f(2020)＝________．18. 已知函数f(x)={(12)x ,x ≥4f(x +1),x <4，则f(log 23)＝________．19. 函数f(x)={e x −a ，x ≤1x 2−3ax +2a 2+1，x >1，若函数y =f(x)图象与直线y =1有两个不同的交点，求a 的取值范围________．20. 已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时， f (x )=x 2+2x −3 .(1)求f (x )的解析式；(2)若f (m +1)<f (2m −1)，求实数m 的取值范围．21. 已知函数f(x)的解析式为f(x)={3x +5，(x ≤0)，x +5，(0<x ≤1)，−2x +8，(x >1).(1)画出这个函数的图象；(2)求函数f(x)的最大值；22. 已知函数f (x )=|2x −1|+|x +2|．（1）在给定的坐标系中画出函数f(x)的图象；（2）设函数g(x)=ax+a，若对任意x∈R，不等式g(x)≤f(x)恒成立，求实数a的取值范围．23. (1)用定义法证明函数f(x)=x2−1x在(0,+∞)上单调递增；(2)已知g(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，g(x)=x3+3x2+1，求g(x)的解析式．24. 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=13x3+12x2.(1)求f(x)的解析式，并补全f(x)的图象；(2)求使不等式f(m)−f(1−2m)>0成立的实数m的取值范围．参考答案与试题解析高中数学分段函数解析式及其图像作法练习题含答案一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ）1.【答案】D【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】此题暂无解析【解答】解：因为−3<0，所以f(−3)=f(−3+2)=f(−1).因为−1<0，所以f(−1)=f(−1+2)=f(1).因为1>0，所以f(1)=1+1=2.故选D .2.【答案】B【考点】函数的图象与图象的变换分段函数的解析式求法及其图象的作法函数单调性的性质与判断【解析】先根据函数的图象利用分段函数写出函数的解析式，再根据所求由内向外逐一去掉括号，从而求出函数值．【解答】由图象知f(x)={x +1(−1<x <0)x −1(0<x <1)∴ f(13)=13−1=−23，∴ f(f(13))=f(−23)=−23+1=13．3.【答案】D【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法函数的零点与方程根的关系【解析】利用分段函数的解析式，根据自变量所在的区间进行讨论表示出含字母x 的方程，通过求解相应的方程得出所求的字母x 的值．或者求出该分段函数在每一段的值域，根据所给的函数值可能属于哪一段确定出字母x 的值．【解答】该分段函数的三段各自的值域为(−∞, 1],[O, 4)．[4, +∞)，而3∈[0, 4)，故所求的字母x 只能位于第二段．∴ f(x)=x 2=3,x =±√3，而−1<x <2，∴ x =√3．4.【答案】【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】C【考点】求函数的值函数的求值分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】分段函数是指在定义域的不同阶段上对应法则不同，因此分段函数求函数值时，一定要看清楚自变量所处阶段，例如本题中，5∈{x|x >0}，而f(5)＝−2∈{x|x ≤0}，分别代入不同的对应法则求值即可得结果【解答】因为5>0，代入函数解析式f(x)={x 2+4x +3,x ≤03−x,x >0得f(5)＝3−5＝−2， 所以f （f(5)）＝f(−2)，因为−2<0，代入函数解析式f(x)={x 2+4x +3,x ≤03−x,x >0得f(−2)＝(−2)2+4×(−2)+3＝−16.【答案】D【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】根据题意分两种情况x >2和x ≤2，代入对应的解析式列出不等式求解，最后必须解集和x 的范围求交集．【解答】解：∵ f(x)={|3x −4|(x ≤2)2x−1(x >2)，∴ 分两种情况： ①当x >2时，由f(x)≥1得，{x >22x−1≥1，解得2<x ≤3，②当x≤2时，由f(x)≥1得，|3x−4|≥1，即3x−4≥1或3x−4≤−1，解得，x≤1或x≥53，则x≤1或53≤x≤2．综上，所求的范围是(−∞,1]∪[53，3]．故选D．7.【答案】D【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】此题暂无解析【解答】解：函数f(x)=ln1(2−x)2的定义域为：x≠2，函数图像关于x=2对称，当x=0时，f(0)=ln1(2−0)2=−ln4<0，因为ln4∈(1，2).故选D.8.【答案】B【考点】奇函数分段函数的解析式求法及其图象的作法函数的图象【解析】通过函数的解析式，利用函数的奇偶性的性质，函数的图象经过的特殊点判断函数的图象即可．【解答】解：函数y=1+x+sin xx2，可知：f(x)=x+sin xx2是奇函数，所以函数的图象关于原点对称，则函数y=1+x+sin xx2的图象关于(0, 1)对称，当x>0时，f(x)>0，当x=π时，y=1+π．故选B．9.【答案】D【考点】函数零点的判定定理分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】此题暂无解析【解答】解：根据分段函数解析式作出函数的图像，如图所示：, 0)和(0, +∞)上为增函数，由图可知，函数f(x)在(−52且f(f(x))=f(x)解的个数等价于f(x)=x解的个数.作出图像可知，函数y=f(x)与y=x有(−2, −2)和(e, e)两个公共点，作出f(x)=e的图像，由图可知，f(x)=e有三个解；作出f(x)=−2的图像，由图可知，f(x)=−2有两个解.综上可知，函数ℎ(x)=f(f(x))−f(x)的零点的个数为5. 故选D.【答案】D【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】由题意可得，①当x+2≥0时，f(x+2)=1，代入所求不等式可求x，②当x+2< 0即x<−2时，f(x+2)=−1，代入所求不等式可求x，从而可得原不等式的解集【解答】解：①当x+2≥0，即x≥−2时，f(x+2)=1，由x+(x+2)⋅f(x+2)≤5可得x+x+2≤5，∴x≤32，即−2≤x≤32；②当x+2<0即x<−2时，f(x+2)=−1，由x+(x+2)⋅f(x+2)≤5可得x−(x+2)≤5，即−2≤5，∴x<−2.综上，不等式的解集为{x|x≤32}.故选D.二、填空题（本题共计 9 小题，每题 3 分，共计27分）11.【答案】(−∞, √3]【考点】分段函数的应用分段函数的解析式求法及其图象的作法函数的求值【解析】先讨论f(a)的正负，代入求出f(a)≥−3，再讨论a的正负，求实数a的取值范围．【解答】解：①若f(a)<0，则f2(a)+2f(a)≤3，解得，−3≤f(a)≤1，即−3≤f(a)<0；②若f(a)≥0，则−f2(a)≤3，显然成立；则f(a)≥0；③若a<0，则a2+2a≥−3，解得，a∈R，即a<0；④若a≥0，则−a2≥−3，解得，0≤a≤√3；综上所述，实数a的取值范围是：(−∞, √3]．故答案为：(−∞, √3]．12.【答案】【考点】函数零点的判定定理分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】本题考查分段函数图象的作图及函数零点区间的判断问题．【解答】解：函数f(x)={(12)x−2,x ≤0,2x −2,x >0的图象如图所示， 由图示可得直线y =x 与该函数的图象有两个交点，由此可得f(x)−x 有2个零点．故答案为：2．13.【答案】20【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】根据自变量的值代入分段函数求值．【解答】解：由f(x)={2x(x ≥10)f(x +1)(0<x <10)得， f(5)=f(6)=f(7)=f(8)=f(9)=f(10)=2×10=20．故答案为：20．14.【答案】千(x )=三．________3′3x【考点】函数解析式的求解及常用方法函数的图象分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】令f (1x )+2f (x )=1x ．联立f (x )+2f (1x )=x 消去f (1x )即可I 加加加因为f (x )+2f (1x )=x ，所以f (1x )+2f (x )=1x由{f (x )+2f (1x )=x f (1x )+2f (x )=1x，消去f (1x )，得f (x )=−x 3+23x 故答案为：f (x )=−x 3+23【解答】此题暂无解答15.【答案】 √6【考点】函数新定义问题分段函数的解析式求法及其图象的作法函数的求值【解析】分类讨论，利用新定义即可得出．【解答】解：①当a >−2时，由已知可得4=a ⊗(−2)=a 2−2，解得a =√6．②当a ≤−2时，由已知可得4=a ⊗(−2)=a +(−2)2，解得a =0，应舍去． 综上可知：a =√6．故答案为：√6．16.【答案】(34, 1) 【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法函数零点的判定定理【解析】由题意可得，a >0 且 y ＝ax 2+2x +1在(−2, 0)上有2个零点，再利用二次函数的性质求得a 的范围．【解答】∵ 函数f(x)={ax 2+2x +1,(−2<x ≤0)ax −3,(x >0)有3个零点， ∴ a >0 且 y ＝ax 2+2x +1在(−2, 0)上有2个零点，∴ { a >0a(−2)2+2(−2)+1>0−2<−1a <0△=4−4a >0， 解得 34<a <1，17.【答案】1【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】先判断当x>0时，f(x+6)＝f(x)，可得x>0时，f(x)是周期为6的周期函数，再由周期性及分段函数解析式求解．【解答】当x>0时，由f(x)＝f(x−1)−f(x−2)，可得f(x+1)＝f(x)−f(x−1)，两式相加得f(x+1)＝−f(x−2)，则f(x+3)＝−f(x)，∴当x>0时，f(x+6)＝−f(x+3)＝−[−f(x)]＝f(x)，即x>0时，f(x)是周期为6的周期函数，又f(x)＝，∴f(2020)＝f(4)＝−f(1)＝f(−1)−f(0)＝2−1＝1，故答案为：1．18.【答案】124【考点】函数的求值求函数的值分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】先判断出log23的范围，代入对应的解析式求解，根据解析式需要代入同一个式子三次，再把所得的值代入另一个式子求值，需要对底数进行转化，利用a log a N=N进行求解．【解答】由已知得，f(x)={(12)x,x≥4f(x+1),x<4，且1<log23<2，∴f(log23)＝f(log23+1)＝f(log23+2)＝f(log23+3)＝f(log224)=(12)log224=2log2(24)−1=124．19.【答案】【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题（本题共计 5 小题，每题 10 分，共计50分）20.【答案】解：(1)当x <0时， f (x )=f (−x )=(−x )2+2⋅(−x )−3=x 2−2x −3，所以f (x )={x 2+2x −3,x ≥0,x 2−2x −3,x <0.(2)当x ≥0时， f (x )=x 2+2x −3=(x +1)2−4，因此当x ≥0时，该函数单调递增，因为f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，该函数单调递增，所以由f(m +1)<f(2m −1)⇒f(|m +1|)<f(|2m −1|)⇒|m +1|<|2m −1|因此(m +1)2<(2m −1)2⇒m 2−2m >0⇒m >2或m <0，所以实数m 的取值范围是{m|m <0或m >2}.【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法奇偶性与单调性的综合函数单调性的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)当x <0时， f (x )=f (−x )=(−x )2+2⋅(−x )−3=x 2−2x −3，所以f (x )={x 2+2x −3,x ≥0,x 2−2x −3,x <0.(2)当x ≥0时， f (x )=x 2+2x −3=(x +1)2−4，因此当x ≥0时，该函数单调递增，因为f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，该函数单调递增，所以由f(m +1)<f(2m −1)⇒f(|m +1|)<f(|2m −1|)⇒|m +1|<|2m −1|因此(m +1)2<(2m −1)2⇒m 2−2m >0⇒m >2或m <0，所以实数m 的取值范围是{m|m <0或m >2}.21.【答案】解：(1)函数f(x)的图象由三段构成，每段都为一次函数图象的一部分，其图象如图：(2)由函数图象，数形结合可知当x =1时，函数f(x)取得最大值6，∴ 函数f(x)的最大值为6；【考点】函数的最值及其几何意义分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】（1）分段函数的图象要分段画，本题中分三段，每段都为一次函数图象的一部分，利用一次函数图象的画法即可画出f(x)的图象；（2）由图象，数形结合即可求得函数f(x)的最大值【解答】解：(1)函数f(x)的图象由三段构成，每段都为一次函数图象的一部分，其图象如图：(2)由函数图象，数形结合可知当x=1时，函数f(x)取得最大值6，∴函数f(x)的最大值为6；22.【答案】【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法绝对值不等式的解法与证明不等式恒成立问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答23.【答案】(1)证明：任取x1，x2∈(0,+∞)，令x1<x2，则f(x1)−f(x2)=x12−1x1−x22+1x2=(x1+x2)(x1−x2)+x1−x2 x1x2=(x1+x2+1x1x2)(x1−x2)．因为0<x1<x2，所以x1−x2<0，x1+x2+1x1x2>0，即f(x1)<f(x2)，故函数f(x)=x2−1x在(0,+∞)上单调递增．(2)解：当x>0时，−x<0，g(−x)=(−x)3+3×(−x)2+1=−x3+3x2+1，因为g(x)是定义在R上的奇函数，所以g(x)=−g(−x)=x3−3x2−1，且g(0)=0，故g(x)={x3+3x2+1，x<0，0，x=0，x3−3x2−1，x>0．【考点】函数单调性的判断与证明分段函数的解析式求法及其图象的作法函数解析式的求解及常用方法【解析】此题暂无解析【解答】(1)证明：任取x1，x2∈(0,+∞)，令x1<x2，则f(x1)−f(x2)=x12−1x1−x22+1x2=(x1+x2)(x1−x2)+x1−x2 x1x2=(x1+x2+1x1x2)(x1−x2)．因为0<x1<x2，所以x1−x2<0，x1+x2+1x1x2>0，即f(x1)<f(x2)，故函数f(x)=x2−1x在(0,+∞)上单调递增．(2)解：当x>0时，−x<0，g(−x)=(−x)3+3×(−x)2+1=−x3+3x2+1，因为g(x)是定义在R上的奇函数，所以g(x)=−g(−x)=x3−3x2−1，且g(0)=0，故g(x)={x3+3x2+1，x<0，0，x=0，x3−3x2−1，x>0．24.【答案】解：(1)设x<0，则−x>0，于是f(−x)=−13x3+12x2，又因为f(x)是偶函数，所以f(x)=f(−x)=−13x3+12x2，所以 f (x )={−13x 3+12x 2,x <0,13x 3+12x 2,x ≥0, 补充图象如图，(2)因为f (x )是偶函数，所以原不等式等价于f (|m|)>f (|1−2m|)． 又由(1)的图象知，f (x )在[0,+∞)上单调递增， 所以|m|>|1−2m|，两边平方得m 2>1−4m +4m 2，即3m 2−4m +1<0， 解得13<m <1， 所以实数m 的取值范围是{m|13<m <1}．【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法 函数奇偶性的性质奇偶性与单调性的综合【解析】【解答】解：(1)设x <0，则−x >0，于是f (−x )=−13x 3+12x 2， 又因为f (x )是偶函数，所以f (x )=f (−x )=−13x 3+12x 2，所以 f (x )={−13x 3+12x 2,x <0,13x 3+12x 2,x ≥0, 补充图象如图，(2)因为f(x)是偶函数，所以原不等式等价于f(|m|)>f(|1−2m|)．又由(1)的图象知，f(x)在[0,+∞)上单调递增，所以|m|>|1−2m|，两边平方得m2>1−4m+4m2，即3m2−4m+1<0，解得13<m<1，所以实数m的取值范围是{m|13<m<1}．。
分段函数练习题
分段函数练习题一、选择题1. 若分段函数f(x)定义如下：f(x) = { x^2, 当x > 1;x, 当x ≤ 1;则f(2)的值为：A) 2B) 4C) 1D) 02. 函数g(x) = { 2x+1, 当x < 0;x^2-1, 当x ≥ 0;若g(-1) = 1，则g(1)的值为：A) 0B) 1C) 2D) 33. 已知分段函数h(x) = { 3x+2, 当x < 2; x^2, 当x ≥ 2;求h(-1)+h(3)的值为：A) 6B) 7C) 8D) 94. 若分段函数p(x)定义为：p(x) = { x+1, 当x < 3;x^2, 当x ≥ 3;则p(4) - p(2)的值为______。
5. 函数q(x) = { √x, 当x ≥ 0;-x, 当x < 0;当q(x) = 4时，x的值为______。
三、解答题6. 已知分段函数r(x) = { x-1, 当x < 0;1-x, 当0 ≤ x < 1;x+1, 当x ≥ 1;求r(-2)、r(0)和r(2)的值，并计算r(-2)+r(0)+r(2)的和。
7. 函数s(x) = { 2x, 当x < 1;x+3, 当1 ≤ x < 2;3x-1, 当x ≥ 2;若s(x) = 5，求x的值，并计算在x的取值范围内s(x)的最大值和最小值。
四、证明题8. 证明：若分段函数t(x)定义为：t(x) = { x^2-1, 当x < 0;x^2+1, 当x ≥ 0;则对于任意实数x，t(x) ≥ 0。
9. 某公司根据员工的工龄x（以年为单位）发放奖金，规则如下：奖金函数f(x) = { 1000, 当x < 1;2000+500x, 当1 ≤ x < 5;3000+300x, 当x ≥ 5;若某员工工龄为3年，求其应得的奖金总额。
10. 某商店根据顾客购买的商品数量n（以件为单位）提供折扣，规则如下：折扣函数d(n) = { 0, 当n < 10;0.1n, 当10 ≤ n < 20;0.2n, 当n ≥ 20;若顾客购买了15件商品，求其应享受的折扣金额。
2023年高考数学一轮复习精讲精练(新高考专用)专题08：函数值域的常见求法(讲解版)
专题08：函数值域的常见求法精讲温故知新一 求函数值：特别是分段函数求值例1 已知函数11,1()2,1x f x xx a x ⎧->⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上满足：对任意12x x ≠，都有()()12f x f x ≠，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,2]-∞B ．(,2]-∞-C ．[2,)+∞D ．[2,)-+∞【答案】C 【分析】根据题意，得到11,1()2,1x f x x x a x ⎧->⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上单调递减，进而可求出结果.【详解】由题意，得到11,1()2,1x f x x x a x ⎧->⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上单调递减，因此只需112a -≤-+，解得2a ≥. 故选：C. 【点睛】本题主要考查由分段函数单调性求参数，属于基础题型.二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。
常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法 （4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元）（6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。
1.利用常见函数的值域来求（直接法）一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ，值域为R ；反比例函数)0(≠=k x ky 的定义域为{x|x ≠0}，值域为{y|y ≠0}；二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ，当a>0时，值域为{a b ac y y 4)4(|2-≥}；当a<0时，值域为{a b ac y y 4)4(|2-≤}.例2 求下列函数的值域① y=3x+2(-1≤x ≤1) ②）（3x 1x32)(≤≤-=x f ③ xx y 1+=（记住图像） 解：①∵-1≤x ≤1，∴-3≤3x ≤3，∴-1≤3x+2≤5，即-1≤y ≤5，∴值域是[-1，5] ②略③ 当x>0，∴x x y 1+==2)1(2+-x x 2≥， 当x<0时，)1(x x y -+--==－2)1(2----xx -≤ ∴值域是 ]2,(--∞[2，+∞).（此法也称为配方法） 函数xx y 1+=的图像为： 2.二次函数在区间上的值域(最值)：例3 求下列函数的最大值、最小值与值域：①142+-=x x y ； ②；]4,3[,142∈+-=x x x y ③]1,0[,142∈+-=x x x y ； ④]5,0[,142∈+-=x x x y ；解：∵3)2(1422--=+-=x x x y ，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2. ①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R ，∴x=2时，ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是{y|y ≥-3 }. ②∵顶点横坐标2∉[3,4]，当x=3时，y= -2；x=4时，y=1；∴在[3,4]上，min y =-2，m ax y =1；值域为[-2，1]. ③∵顶点横坐标2∉ [0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2, ∴在[0,1]上，min y =-2，m ax y =1；值域为[-2，1].④∵顶点横坐标2∈ [0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3, x=5时，y=6, ∴在[0,1]上，min y =-3，m ax y =6；值域为[-3，6].注：对于二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f , ⑴若定义域为R 时， ①当a>0时，则当a bx 2-=时，其最小值a b ac y 4)4(2min -=； ②当a<0时，则当a bx 2-=时，其最大值ab ac y 4)4(2max -=; ⑵若定义域为x ∈ [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b]. ①若0x ∈[a,b],则)(0x f 是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时， 再比较)(),(b f a f 的大小决定函数的最大（小）值.②若0x ∉[a,b],则[a,b]是在)(x f 的单调区间内，只需比较)(),(b f a f 的大小即可决定函数的最大（小）值.注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论. 3. 单调性法例4 求函数y=4x －x 31-(x ≤1/3)的值域。
点击2008年高考中的分段函数
２０ 年第 ｌ 期 ０８ ２
中学数学月刊
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解析
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这类题是高考中的一类新题型，主要考 查函数的图象 、迭代求值、导数的几何意义 等， 具有较强的综合性． ５ 分段 函数与 单调性 这类题主要考查学生分类讨论的能力． 例 ５ （ 东）设 ｋ Ｒ，函数 ｆ（ ） 广 ∈ ＝
３ 分段 函数 与反 函数
这类题主要考查分段函数与反函数的概 念．
图 １
解析
这是一道典型的绝对值分类解析
例 （）） ３辽 函 ， 宁 数＝ ｛
数 是 ．
的函 反
题， 首先要考虑去掉绝对值符号． Ｙ＝ｎ ｔ ＋ｉ ａ ｓ 一 ｔ ｓ ｌ＝ ｎ ｌ ｎ 一ｉ ａ ｎ ｆｔｎ 当 ｔ ＜ｉ 时 ， ２ａ ， ａ ｓ ｎｘ ｎ ｌｓ ， ｔ ≥ｓ 时． ２ｉ 当 ａ ｎ ｎ ｉ ｎ 由三角知识知 Ｄ正确． 本题考查了三角 函数的图象 ， 同时又考查了分类讨论 的思想． ２ 迭代 求值 这类题一般是给出函数的解析式，要求 学生在解题时要注意到每一段的自变量的范 围， 具有一定的运算技巧 ， 多数以小题形式出
ｌ ，，… ） ，３ ２ ． 一一代 入计算 得 ：数 列 ｛ Ｊ ‰ 为 ｌ ，，， １ ，，， ｌ ，， ５…； ， ３４５ ， ３４５ ， ３ ，， 数列｛ ｝ ２ ，２ ，２ ４ 为
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高考数学《分段函数的性质与应用》基础知识与专项练习题(含答案)
高考数学《分段函数的性质与应用》基础知识与专项练习题（含答案）分段函数是函数中比较复杂的一种函数，其要点在于自变量取不同范围的值时所使用的解析式不同，所以在解决分段函数的问题时要时刻盯着自变量的范围是否在发生变化。
即“分段函数——分段看” 一、基础知识：1、分段函数的定义域与值域——各段的并集2、分段函数单调性的判断：先判断每段的单调性，如果单调性相同，则需判断函数是连续的还是断开的，如果函数连续，则单调区间可以合在一起，如果函数不连续，则要根据函数在两段分界点出的函数值（和临界值）的大小确定能否将单调区间并在一起。
3、分段函数对称性的判断：如果能够将每段的图像作出，则优先采用图像法，通过观察图像判断分段函数奇偶性。
如果不便作出，则只能通过代数方法比较()(),f x f x −的关系，要注意,x x −的范围以代入到正确的解析式。
4、分段函数分析要注意的几个问题（1）分段函数在图像上分为两类，连续型与断开型，判断的方法为将边界值代入每一段函数（其中一段是函数值，另外一段是临界值），若两个值相等，那么分段函数是连续的。
否则是断开的。
例如：()221,34,3x x f x x x −≤⎧=⎨−>⎩，将3x =代入两段解析式，计算结果相同，那么此分段函数图像即为一条连续的曲线，其性质便于分析。
再比如 ()221,31,3x x f x x x −≤⎧=⎨−>⎩中，两段解析式结果不同，进而分段函数的图像是断开的两段。
（2）每一个含绝对值的函数，都可以通过绝对值内部的符号讨论，将其转化为分段函数。
例如：()13f x x =−+，可转化为：()13,113,1x x f x x x −+≥⎧=⎨−+<⎩5、遇到分段函数要时刻盯住变量的范围，并根据变量的范围选择合适的解析式代入，若变量的范围并不完全在某一段中，要注意进行分类讨论6、如果分段函数每一段的解析式便于作图，则在解题时建议将分段函数的图像作出，以便必要时进行数形结合。
分段函数习题大全
分段函数习题大全1. 问题描述分段函数是数学中常见的一种函数类型，它在不同的区间内有不同的定义。
本文将提供一些分段函数的题，帮助读者更好地理解和掌握分段函数的概念和应用。
2. 题示例2.1 问题一已知函数 f(x) 在区间 (-∞, 1] 上定义如下：$$ f(x) = \begin{cases}x^2 & x \leq 0 \\2x+1 & x > 0\end{cases}$$求函数 f(x) 的定义域、值域以及所有的奇点。
2.2 问题二已知函数 g(x) 在区间[0, +∞) 上定义如下：$$ g(x) = \begin{cases}\frac{1}{x} & x \geq 1 \\x^2 - 1 & 0 \leq x < 1\end{cases}$$求函数 g(x) 的最值以及所有的零点。
3. 解答和说明3.1 问题一的解答根据函数 f(x) 的定义，我们可以得知：- 函数 f(x) 的定义域为 (-∞, +∞)，因为 x 可以取任意实数。
- 函数 f(x) 的值域为$[0, +∞)$，因为当 x 小于等于 0 时，$f(x) = x^2$ 的值为非负实数，而当 x 大于 0 时，$f(x) = 2x+1$ 的值可大于等于 1。
- 函数 f(x) 的奇点即为在函数定义区间上不连续的点，对于本题中的分段函数 f(x)，奇点为 x = 0。
3.2 问题二的解答根据函数 g(x) 的定义，我们可以得知：- 函数 g(x) 的定义域为[0, +∞)，因为 x 可以取大于等于 0 的实数。
- 函数 g(x) 的最大值为 $+\infty$，当 x 趋近于 0 时，$g(x)$ 无上界，没有最小值。
- 函数 g(x) 的零点即为满足 $g(x) = 0$ 的 x 值，根据定义可求得 x = 1。
4. 小结本文提供了两个分段函数的题，旨在帮助读者更好地理解和掌握分段函数的概念和应用。
分段函数专题(含答案)
分段函数专题一．选择题（共7小题）1．下列关于分段函数的描述正确的是（）①分段函数在每段定义域内都是一个独立的函数，因此分几段就是几个函数；②f(x)=|x|是一个分段函数；③f(x)=|x﹣2|不是分段函数；④分段函数的定义域都是R；⑤分段函数的值域都为R；⑥f(x)={x,x≥0−x,x<0，则f(1)=−1．A．①②⑥B．①④C．②D．③④⑤2．设f(x)={2e x−1,x<2log3(x2−1),x≥2，则f(f(2))的值为（）A．0B．1C．2D．33．已知函数f(x)={|log x|,0<x≤10−12x+6,x>10，若a,b,c互不相等，且f(a)=f(b)=f(c)，则abc的取值范围是（）A．（1，10）B．（5，6）C．（10，12）D．（20，24）4．已知f(x)={x+2,x≤−1x2,−1<x<22x,x≥2，若f(x)=3，则x的值是（）A．1 B．1或32C．1，32或±√3D．√35．函数f(x)={x2+bx+c,x≤02,x>0，若f(−4)=f(0)，f(−2)=−2，则关于x的方程f(x)=x的解的个数为（）A．1B．2C．3D．46．已知函数f(x)={(a−2)x−1,x≤1log a x,x>1，若f(x)在(﹣∞,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围为（）A．（1，2）B．（2，3）C．（2，3]D．（2，+∞）7．已知函数f(x)={x2+1,x≤0−2x,x>0使函数值为5的x的值是（）A．﹣2B．2或﹣C．2或﹣2D．2或﹣2或﹣二．填空题（共2小题）8．已知函数f (x )={ax 2+2x +1,−2<x ≤0ax −3,x >0有3个零点，则实数a 的取值范围是 ．9．已知函数f (x )={x +4,x <0x −4,x >0，则f [f (−3)]的值为 ． 三．解答题（共6小题）10．已知函数f (x )=−x 2+|x|．（1）用分段函数的形式表示该函数并画出函数的图象；（2）求函数的单调区间；（3）求函数的最大值．11．如图，△OAB 是边长为2的正三角形，记△OAB 位于直线x =t （t >0）左侧的图形的面积为f (t )．试求函数f (t )的解析式，并画出函数y = f (t )的图象．12．已知函数f(x)={x+2,x≤−1x2,−1<x<22x,x≥2（1）在坐标系中作出函数的图象；（2）若f(a)=12，求a的取值集合．13．已知函数f(x)=2x−1，g(x)={x2,x≥0−1,x<0求f[g(x)]和g[f(x)]的解析式．14．设函数f(x)={x2+bx+c,−4≤x<0−x+3,0≤x≤4，且f(−4)=f(0)，f(−2)=−1．（1）求函数f(x)的解析式；（2）画出函数f(x)的图象，并写出函数f(x)的定义域、值域．15．已知函数f(x)=−x2+2ax+3,xϵ[−2,4]（1）求函数f(x)的最大值关于a的解析式y=g(a)（2）画出y=g(a)的草图，并求函数y=g(a)的最小值．分段函数专题答案一．选择题（共7小题）1．下列关于分段函数的描述正确的是（ ）①分段函数在每段定义域内都是一个独立的函数，因此分几段就是几个函数；②f (x )=|x |是一个分段函数；③f (x )=|x ﹣2|不是分段函数；④分段函数的定义域都是R ；⑤分段函数的值域都为R ；⑥f (x )={x,x ≥0−x,x <0，则f (1)=−1． A ．①②⑥ B ．①④ C ．② D ．③④⑤【答案】①分段函数在每段定义域内都是一个独立的函数，但这几段组合在一起是一个函数，故错误；②f (x )=|x |={x,x ≥0−x,x <0是一个分段函数，正确； ③f (x )=|x −2|={x −2,x ≥22−x,x <2是一个分段函数，错误； ④分段函数的定义域不都是R ，错误；⑤分段函数的值域不都为R ，错误；⑥f (x )={x,x ≥0−x,x <0，则f (1)=−1，错误． 故正确的命题为：②，故选：C2．设f (x )={2e x−1,x <2log 3(x 2−1),x ≥2，则f(f (2))的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】f(f (2))=f [log 3(22−1)]=f (1)=2e 1−1=2，故选C ．3．已知函数f (x )={|log x |,0<x ≤10−12x +6,x >10，若a,b,c 互不相等，且f (a )=f (b )=f (c )，则abc 的取值范围是（ ）A ．（1，10）B ．（5，6）C ．（10，12）D ．（20，24）【答案】作出函数f (x )的图象如图，不妨设a <b <c ，则−log a =log b =−12c +6∈(0,1)ab =1，0<−12c +6<1则abc =c ∈(10，12)．故选C ．4．已知f (x )={x +2,x ≤−1x 2,−1<x <22x,x ≥2，若f (x )=3，则x 的值是（ ）A ．1B ．1或 32C ．1， 32或±√3D ．√3【答案】该分段函数的三段各自的值域为(−∞,1],[0,4),[4,+∞)，而3∈[0,4)，故所求的字母x 只能位于第二段．∴f (x )=x 2=3,x =±√3，而﹣1<x <2，∴x =√3故选D ．5．函数f (x )={x 2+bx +c,x ≤02,x >0，若f (−4)=f (0)，f (−2)=−2，则关于x 的方程f (x )=x 的解的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】由题知(−4)2+b (−4)+c =c,(−2)2+b (−2)+c =−2，解得b =4，c =2故f (x )={x 2+bx +c,x ≤02,x >0， 当x ≤0时，由f (x )=x 得x 2+4x +2=x ，解得x =−1，或x =−2，即x ≤0时，方程f (x )=x 有两个解．又当x >0时，有x =2适合，故方程f (x )=x 有三个解．故选C ．6．已知函数f (x )={(a −2)x −1,x ≤1log a x ,x >1，若f (x )在(﹣∞,+∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ）A ．（1，2）B ．（2，3）C ．（2，3]D ．（2，+∞）【答案】对数函数在x >1时是增函数，所以a >1，又f (x )=(a −2)x −1，x ≤1是增函数，∴a >2，并且x =1时(a −2)x −1≤0，即a −3≤0，所以2<a ≤3故选C7．已知函数f (x )={x 2+1,x ≤0−2x,x >0使函数值为5的x 的值是（ ） A ．﹣2 B ．2或﹣ C ．2或﹣2 D ．2或﹣2或﹣【答案】由题意，当x ≤0时，f (x )=x 2+1=5，得x =±2，又x ≤0，所以x =﹣2； 当x >0时，f (x )=−2x =5，得x =−52，舍去．故选A二．填空题（共2小题）8．已知函数f (x )={ax 2+2x +1,−2<x ≤0ax −3,x >0有3个零点，则实数a 的取值范围是 ．【答案】∵函数f (x )={ax 2+2x +1,−2<x ≤0ax −3,x >0有3个零点， ∴a >0 且y =x 2+2x +1在(﹣2，0)上有2个零点，∴{ a >0a (−2)2+2(−2)+1>02<1a <0∆=4−4a >0， 解得34<a <1，故答案为：(34,1)．9．已知函数f (x )={x +4,x <0x −4,x >0，则f [f (−3)]的值为 ．【答案】因为：f (x )={x +4,x <0x −4,x >0， ∴f (−3)=−3+4=1 f [f (−3)]=f (1)=1−4=−3．故答案为：−3．三．解答题（共6小题）10．已知函数f (x )=−x 2+|x|．（1）用分段函数的形式表示该函数并画出函数的图象；（2）求函数的单调区间；（3）求函数的最大值．【答案】【（1）∵f (x )=−x 2+|x |={−x 2−x,x <0−x 2+x,x ≥0 ∴函数f (x )的图象如下图所示：（2）由（1）中函数图象可得：函数f (x )的单调递增区间为：(−∞,−12]和[0,12]，函数f (x )的单调递减区间为：[−12,0]和[−12,+∞)．（3）（2）由（1）中函数图象可得：函数f (x )的最大值为14．11．如图，△OAB 是边长为2的正三角形，记△OAB 位于直线x =t （t >0）左侧的图形的面积为f (t )．试求函数f (t )的解析式，并画出函数y = f (t )的图象．【答案】（1）当0<t≤1时，如图，设直线x=t与△OAB分别交于C、D两点，则|OC|=t，又CDOC =BCOE=√3，∴|CD|=√3t，∴f(t)=12|0C|∙|CD|=12∙t∙√3t=√32t2（2）当1<t≤2时，如图，设直线x=t与△OAB分别交于M、N两点，则|AN|=2−t，又MNAN =BEAE=√3，∴MN=√3(2−t)∴f(t)=12∙2∙√3−12|AN|∙|MN|=√3−√32(2−t)2=−√32t2+2√3t−√3（3）当t>2时，f(t)=√3综上所述f(t)={√32t2,0<t≤1−√32t2+2√3t−√3,1<t≤2√3,t>212．已知函数f (x )={x +2,x ≤−1x 2,−1<x <22x,x ≥2（1）在坐标系中作出函数的图象；（2）若f (a )=12，求a 的取值集合．【答案】-（1）函数f (x )={x +2,x ≤−1x 2,−1<x <22x,x ≥2的图象如下图所示：（2）当a ≤−1时，f (a )=a +2=12，可得：a =−32；当−1<a <2时，f (a )=a 2=12，可得a =±√22； 当a ≥2时，f (a )=2a =12 ，可得：a =14（舍去）；综上所述，a 的取值构成集合为{−32,−√22} 13．已知函数f (x )=2x −1，g (x )={x 2,x ≥0−1,x <0求f[g (x )]和g[f (x )]的解析式． 【答案】当x ≥0时，g (x )=x 2，f [g (x )]=2x 2−1，当x ＜0时，g (x )=−1，f [g (x )]=−3，∴f [g (x )]={2x 2−1,x ≥0−3,x <0∵当2x−1≥0，即x≥12时，g[f(x)]=(2x−1)2，当2x−1＜0，即x<12时，g[f(x)]=−1，∴g[f(x)]={(2x−1)2,x≥12−1,x<1214．设函数f(x)={x2+bx+c,−4≤x<0−x+3,0≤x≤4，且f(−4)=f(0)，f(−2)=−1．（1）求函数f(x)的解析式；（2）画出函数f(x)的图象，并写出函数f(x)的定义域、值域．【答案】（1）∵f(−4)=f(0)，f(−2)=−1，∴16−4b+c=3，4−2b+c=−1，解得：b=4，c=3，∴f(x)={x2+4x+3,−4≤x<0−x+3,0≤x≤4，（2）函数的定义域为[−4，4]，当x<0时，y=x2+4x+3=（x+2）2﹣1由x<0可得，y≥﹣1当x≥0时，y=−x+3≤3∴﹣1≤y≤3∴函数的值域为[−1,3]．其图象如图所示15．已知函数f(x)=−x2+2ax+3,xϵ[−2,4]（1）求函数f(x)的最大值关于a的解析式y=g(a)（2）画出y=g(a)的草图，并求函数y=g(a)的最小值．【答案】（1）函数f(x)的对称轴为x=a，①当a<−2时，∵函数f(x)在[−2,4]上单调递减，∴y=g(a)=f(−2)=−4a−1，②当﹣2≤a≤4时，y=g(a)=f(a)=a2+3，③当a＞4时，∵函数f(x)在[−2,4]上单调递增，∴y=g(a)=f(4)=8a−13，综上有y=g(a)={−4a−1,a<−2a2+3,−2<a≤4 8a−13,a>4，（2）作出y=g(a)的草图如右，观察知当a=1时y=g(a)有最小值4．。
经典分段函数专题
经典分段函数专题高考真题类型一：与期有关类型二：与单调性有关 类型三：奇偶性有关类型四：与零点和交点问题有关 类型五;与求导和函数性质有关 类型六：数形结合高考真题201011、已知函数21,0()1,0x x f x x ⎧+≥=⎨<⎩,则满足不等式2(1)(2)f x f x ->的x 的围是_____。
【解析】考查分段函数的单调性。
2212(1)10x x x x ⎧->⎪⇒∈-⎨->⎪⎩201111、（分类程求解）已知实数0≠a ，函数⎩⎨⎧≥--<+=1,21,2)(x a x x a x x f ，若)1()1(a f a f +=-，则a 的值为________解析：30,2212,2a a a a a a >-+=---=-，30,1222,4a a a a a a <-+-=++=-2012 10．（程组求解）设()f x 是定义在R 上且期为2的函数，在区间[11]-，上，0111()201x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，其中a b ∈R ，．若1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3a b +的值为 ▲ ． 【解析】因为2T =，所以(1)(1)f f -=，求得20a b +=. 由13()()22f f =，2T =得11()()22f f =-，解得322a b +=-.联立20322a b a b +=⎧⎨+=-⎩，解得24a b =⎧⎨=-⎩所以310a b +=-. 201311．（分区间二次不等式求解）已知)(x f 是定义在R 上的奇函数。
当0>x 时，x x x f 4)(2-=，则不等式x x f >)( 的解集用区间表示为 ．【答案】(﹣5，0) ∪(5，﹢∞)【解析】做出x x x f 4)(2-= (0>x )的图像，如下图所示。
由于)(x f 是定义在R 上的奇函数，利用奇函数图像关于原点对称做出x ＜0的图像。
2025届高考数学二轮复习专项突破08分段函数
分段函数专项突破高考定位分段函数的求值、单调性和含参数的函数的单调性和最值等问题，是每年高考的重点。
既可以整体把握，也可以分类探讨.整体把握做好的方法是做图，而分类探讨思想事实上是一种化整为零、化繁为简、分别对待、各个击破的思维策略在数学解题中的运用. 分类探讨思想是一种重要的数学思想方法，它在人类的思维发展中起着重要的作用. 分类探讨思想，可培育逻辑思维实力和抽象思维实力和严密的思索问题的实力。
考点解析一、分段函数的分类（1）初等函数组合型（2）含肯定值型（3）周期性分段（4）对成型分段（5）新定义型 二、处理方法（1）探讨 （2）图像 题型分类类型一、初等函数组合分段函数例1-1（不含参数）函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x >0，x 2＋2x －1，x <0；为（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．即是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数【答案】A【解析】法一：定义法当x>0时，f(x)＝－x 2＋2x ＋1，－x<0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)－1＝x 2－2x －1＝－f(x)； 当x<0时，f(x)＝x 2＋2x －1，－x>0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＋1＝－x 2－2x ＋1＝－f(x)． 所以f(x)为奇函数．法二：图象法，作出函数f (x )的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数f (x )为奇函数．例1-2（含参数）（2024·福建龙岩市·上杭一中高三）已知函数22,(),x x af x x x a ⎧≤=⎨>⎩，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】（-∞，2）∪（4，+∞） 【分析】依据函数解析式作出函数图像，对参数a 分类探讨，数形结合求得函数有2个零点时满意的参数范围. 【详解】作出函数图像，易知2x y =与2yx 有3个交点，其中2x =，4x =是其两个交点的横坐标，①当4a >时，函数()f x 的图像为：由图知，存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点； ②当24a ≤≤时，函数()f x 的图像为：由图知，函数单调递增，不存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点；③当2a <时，函数()f x 的图像为：或由图知，存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点；综上所述，存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点的参数a 的范围为(,2)(4,)-∞⋃+∞练（2024·北京市第十二中学高三月考）已知R λ∈，函数()2216,43,x x f x x x x λλ⎧-≥=⎨-+<⎩，函数()f x 恰有2个零点，则λ的取值范围是（ ） A ．(](),14,-∞⋃+∞ B ．(]()1,34,+∞C ．()[)1,34,+∞ D ．()(),14,-∞+∞【答案】B 【详解】由于()f x 恰有2个零点，结合图象可知，(]()1,34,λ∈⋃+∞时，()f x 有两个零点. 故选：B例1-3（含参数）已知函数2,0(),0x x f x kx b x ⎧=⎨+<⎩，若对于随意一个正数a ，不等式1|()(0)3f x f ->∣在(,)a a -上都有解，则,k b 的取值范围是（ ） A ．24,,,33k b ⎛⎫⎛⎫∈∈-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭RB ．240,,33k b ⎛⎫<∈ ⎪⎝⎭C ．2,,3k b ⎛⎫∈∈+∞ ⎪⎝⎭RD ．40,,3k b ⎛⎫<∈-∞ ⎪⎝⎭【答案】A 【分析】由不等式可知，()43f x >或()23f x <，结合图象，分析可得,k b 的取值范围. 【详解】当0x ≥时，1213x-≥，得423x ≥，(),x a a ∀∈-，不能满意423x≥都有解； 当0x <时，()113f x ->，得()43f x >或()23f x <， 如图，当0k ≥或0k <时，只需满意43b >或23b <，满意条件.所以k ∈R ，24,,33b ⎛⎫⎛⎫∈-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，满意条件.例1-4（含参数）（多选题）（2024·辽宁试验中学高三）已知函数()22,,,x x a x a f x x x a x a ⎧-+≤=⎨+->⎩(即()2f x x x a =+-，x ∈R )则（ ）A ．当0a =时，()f x 是偶函数B ．()f x 在区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数C ．设()f x 最小值为N ，则14N ≤ D ．方程()1f x =可能有2个解【答案】ABD 【分析】结合奇偶函数的定义和二次函数的性质逐一推断选项即可. 【详解】A ：当0a =时，{22()x x x ax x x af x -≤+>=，，，即2()f x x x =+，所以22()()()f x x x x x f x -=-+-=+=，所以()f x 是偶函数，故正确；B ：当x a ≤时，2()f x x x a =-+，()f x 的对称轴为12x =，开口向上，此时()f x 在12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上是增函数，当x a >时，2()f x x x a =+-，()f x 的对称轴为12x =-，开口向上，此时()f x 在12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上是增函数，综上，()f x 在12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上是增函数，故B 正确； C ：当x a ≤时，min 11()()24f x f a ==-，当x a >时，min 11()()24f x f a =-=--，因为不能确定a 的大小，所以最小值N 无法推断，故C 错误； D ：令22()=111f x x x a x x a ⇒-+=+-=、，当0a =时，{22()x x x ax x x af x -≤+>=，，，()=1f x 有2个解，故D 正确.例1-5（含参数）（2024·重庆市永川北山中学校）设,01,()2(1),1,x x f x x x ⎧<<⎪=⎨-≥⎪⎩若()(1)f a f a =+，则()f a =________． 【答案】12 【分析】分01a <<和1a ≥两种状况探讨，结合函数()y f x =的解析式解方程()()1f a f a =+，可求得实数a 的值，进而求得结果. 【详解】若01a <<，则112a <+<，由()()1f a f a =+，得()211a a =+-，即24a a =，解得：0a =（舍去）或14a =； 若1a ≥，由()()1f a f a =+，得()()21211a a -=+-，该方程无解.综上可知，14a =，111()442f a f ⎛⎫∴=== ⎪⎝⎭。
分段函数练习题
分段函数练习题分段函数是数学中的一个重要概念，也是许多数学问题的解决途径之一。
在本篇文章中，我将为你介绍一些常见的分段函数练习题，并提供详细的解答步骤。
1. 题目一：给定分段函数f(x)如下，求f(2)的值：f(x) = 2x + 1, 当x < 1f(x) = x^2, 当x >= 1解答：根据给定的分段函数，我们可以得知当x小于1时，函数f(x)等于2x+1；当x大于等于1时，函数f(x)等于x的平方。
因此，要求f(2)的值，我们需要确定2属于哪个区间。
由于2大于等于1，因此2属于[x >= 1]这个区间。
所以，f(2) = 2^2 = 4。
因此，f(2)的值为4。
2. 题目二：给定分段函数g(x)如下，求g(0)的值：g(x) = -3, 当x < -2g(x) = 2x, 当-2 <= x < 0g(x) = x^2, 当x >= 0解答：根据给定的分段函数，我们可以得知当x小于-2时，函数g(x)等于-3；当x大于等于-2且小于0时，函数g(x)等于2x；当x大于等于0时，函数g(x)等于x的平方。
因此，要求g(0)的值，我们需要确定0属于哪个区间。
由于0既不小于-2，也不大于等于0，所以0属于[-2 <= x < 0]这个区间。
所以，g(0) = 2 * 0 = 0。
因此，g(0)的值为0。
3. 题目三：给定分段函数h(x)如下，求h(-3)的值：h(x) = x^2, 当x < -1h(x) = x + 1, 当-1 <= x < 2h(x) = 3x, 当x >= 2解答：根据给定的分段函数，我们可以得知当x小于-1时，函数h(x)等于x的平方；当x大于等于-1且小于2时，函数h(x)等于x+1；当x大于等于2时，函数h(x)等于3x。
因此，要求h(-3)的值，我们需要确定-3属于哪个区间。
由于-3小于-1，因此-3属于[x < -1]这个区间。
高考题之分段函数
高考题之“宠儿”近几年，高考中对分段函数的考查越来越多，分段函数已成为高考题之“宠儿”。
那么高考题都以哪些形式进行考查呢？本文就以高考题为例，从如下三个方面展开讨论。
一、求分段函数的函数值所谓分段函数，即在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式。
显然，求分段函数的函数值重在考查分段函数的概念，求分段函数的函数值主要从以下两种类型上展开。
例1：（2011年高考陕西卷文科）设f（x）=lgx,x>010x,x≤0，则f（f（-2））= .【答案】-2【解析】f（f（-2））=f（10-2）=f（■）=lg■=-2【说明】这类题型是求分段函数函数值的经典题型，求分段函数的函数值时，首先应确定自变量在定义域中所在的范围,然后按相应的对应法则求值。
f（x）是分段函数,要求f{f[f（a）]}需确定f[f（a）]的取值范围,为此又需f（a）确定取值范围,然后根据其所在定义域代入相应的解析式,逐步求解。
例2：（2009年高考山东卷理科）定义在r上的函数f（x）满足f（x）=log2（1-x）,x≤0f（x-1）-f（x-2）,x>0，则f（2009）的值为( )a.-1b.0c.1d.2【答案】c【解析】由已知得f（-1）=log2=1,f（0）=0,f（1）=f（0）-f （-1）=-1,f（2）=f（1）-f（0）=-1,f（3）=f（2）-f（1）=-1-（-1）=0,f（4）=f（3）-f（2）=0-(-1),f（5）=f（4）-f（3）=1,f（6）=f（5）-f（4）=0,由于函数f（x）的值以6为周期重复性出现,所以f（2009）=f（5）=1,故选c。
【说明】本题作为命题看似考查归纳推理以及函数的周期性和对数的运算，但本质是考查分段函数的周期性，利用的方法是枚举去寻找规律。
二、分段函数与不等式分段函数本身蕴含着分类讨论与数形结合的重要数学思想方法，而解不等式有时又伴随着参数的问题，这也会用到分类讨论与数形结合思想。
对高考真题中分段函数题型练习-含答案
对高考真题中分段函数考查的分类解析在高中数学考试大纲中，对分段函数的知识点有如下要求: (1)了解构成函数的要素会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．(2)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．(3)了解简单的分段函数，并能简单应用．(4)理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义; 结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．(5)会运用函数图象理解和研究函数的性质．对近年来的高考试卷分析后，重点有以下三个考点，一、求简单的分段函数的函数值分段函数的求解过程，常要结合分段讨论和数形结合的思想，解题完成后再进行代入检验．例 1 (2015全国卷)设函数211log (2),1()2,1x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩，则2(2)(log 12)f f -+=（ ）．A.3B.6C.9D.12 答案：C解析 由已知得2(2)1log 43f -=+=．又2log 121>， 所以22log 121log 62(log 12)226f -===．故2(2)(log 12)9f f -+=，故选C.例2 (2015山东卷)设函数31,1()2,1xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩，则满足()(())2f a f f a =的a 取值范围是（ ）．A.2[,1]3B.[0,1]C.2[,)3+∞ D.[1,)+∞ 答案：C解析 当1a ≥时，()21af a =>，所以，()(())2f a f f a =，即1a >符合题意．当1a <时，()31f a a =-，若()(())2f a f f a =，则()1f a ≥，即311a -≥，23a ≥，所以213a ≤<． 综上：a 取值范围是2[,)3+∞．例3 (2017全国卷)设函数1,0()2,0x x x f x x +≤⎧=⎨<⎩，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是 ．答案：1(,)4-+∞解析 令1()()()2g x f x f x =+-， 当0x ≤时，13()()()222g x f x f x x =+-=+，当102x <≤时，11()()()222xg x f x f x x =+-=++， 当12x >时，11()()()1)22x g x f x f x -=+-=．写成分段函数的形式：132,02111()()()2,022211)2,2x x x x g x f x f x x x x -⎧+≤⎪⎪⎪=+-=++<≤⎨⎪⎪>⎪⎩，函数()g x 在区间(,0]-∞，1(0,]2，1(,)2+∞三段区间内均单调递增，且1()14g -=，012012++>，011)21-⨯>，据此x 的取值范围是1(,)4-+∞．点评 例题1相对比较简单，是基本知识点考查，属于送分题，需要留意的是对数计算时要细心．例题2为分情况讨论，分别当1a ≥时和当1a <时进行计算，最后结合二种情况得出结论，考查了考生对函数基本概念的掌握程度．同时也对指数函数和不等式进行了考查，属于一个综合题．例题3也是对0x ≤时，102x <≤和12x >时的情况进行了讨论，并写成了分段函数形式，最终得出了x 的取值范围．从计算量和知识点多少上来说，该题有一定的难度．二、求分段函数的单调性函数函数的单调性是关于函数的一个重点考查角度，由于对分段函数的单调性的考查题目设置角度丰富，涵盖的知识点具有多样性和灵活性，因此相关的题目也丰富多彩．例1 (2016天津卷)已知函数2(43)3,0()log (1)1,0a x a x a x f x x x ⎧+-+<=⎨++≥⎩(0a >且1a ≠)在R上单调递减，且关于x 的方程()2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（ ）．A.2(0,]3B.23[,]34C.123[,]334⎧⎫⎨⎬⎩⎭U D.123[,)334⎧⎫⎨⎬⎩⎭U 答案：C解析 由()f x 在R 上单调递减，则20143020(43)03log(01)1a a a a a <<⎧⎪-⎪-≥⎨⎪⎪+-⨯+≥++⎩， 解得1334a ≤≤．由图象可知，在[0,)+∞上，()2f x x =-有且只有一个解，故在(,0)-∞上，()2f x x =-同样有且只有一个解．当32a >，即23a >时，联立2(43)32x a x a x +-+=-，则2(43)4(32)0a a ∆=---=，解得34a =或1a =(舍去).当132a ≤≤时，由图象可知，符合条件．综上选C ．例2 (2018全国卷)已知函数2,0()1,0x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，则满足(1)(2)f x f x +<的x 的取值范围是（ ）．A.(,1]-∞B.(0,)+∞C.(1,0)-D.(,0)-∞解析 题中给出两个函数值的大小，由此求出自变量的范围，根据此题目中分段函数的图象的变化情况，可直接得出符合题目要求的自变量需要满足条件：2021x x x <⎧⎨<+⎩，解得0x <.选D ．点评 例题一给出了分段函数的单调性，要求符合题意的参数范围，例题二给出了两个函数值的大小，要求得出自变量的范围，这类型题目都是在考查给定函数的变化情况，也就是函数的单调性，研究分段函数的单调性，首先需要确定在不同范围上各个初等函数的变化情况，然后再结合分段函数的单调性判断各段函数的临界点需要满足的约束条件，需要同学们对基本初等函数的研究到位并且具有从局部到整体的解决问题的角度．三、求分段函数的值域对分段函数的值域的考查可以看作是对分段函数单调性的考查的一个延伸，是在对分段函的变化情况的 研究后对函数值的范围的判断，常常也需要对分段函数的图象有基本的把握．例1 (2016北京卷)设函数33,()2,x x x af x x x a⎧-≤=⎨->⎩．①若0a =，则()f x 的最大值为 ；②若()f x 无最大值，则实数的取值范围是 ． 答案：2，(,1)-∞-．解析 求分段函数的最值时，应从局部到整体，根据自变量的范围选择相应的解析式，先确定每个解析式在相应范围上的最值，再整体比较得出分段函数的最值．含有参数的问题，还需要有对图象进行变化的能力．例1 (2015福建卷)若函数6,2()3log ,2a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩(0a >且1a ≠)的值域是[4,)+∞，则实数a 的取值范围是 ． 答案：(1,2]．解析 当2x ≤，故64x -+≥，要使得函数()f x 的值域为[4,)+∞，只需1()3log (2)a f x x x =+>的值域包含于[4,)+∞，故1a >，所以1()3log 2a f x >+，所以3log 24a +≥，解得12a <≤，所以实数的取值范围是(1,2]．点评 例题2考查分段函数的值域问题，是一个需要逆向思维的问题，分段函数的问题需要分段讨论，其中每个范围中得到的解集必须是相应范围的子集，最终答案应是各个范围下解的集合的并集，此类题目题型传统，解答方法单一，属于中档题目．。
2008年高考试题分类(2)(数学-函数)
02 函数一、选择题1．（安徽6）．函数2()(1)1(0)f x x x =-+≤的反函数为 （ C ）A ．1()11)fx x -=≥ B ． 1()11)fx x -=≥C ．1()12)f x x -=≥ D ． 1()12)f x x -=≥2．（安徽9）．设函数1()21(0),f x x x x=+-< 则()f x （ A ） A ．有最大值B ．有最小值C ．是增函数D ．是减函数3．（北京2）若372log πlog 6log 0.8a b c ===，，，则（ A ） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>4．（北京5）函数2()(1)1(1)f x x x =-+<的反函数为（ B ）A ．1()11)fx x -=+>B ．1()11)fx x -=>C ．1()11)f x x -=≥D ．1()11)f x x -=≥5．（福建4）函数f (x )=x 3+sin x +1(x ∈R)，若f (a )=2, 则f (-a )的值为（ B ） A.3 B.0 C.-1 D.-2 6．（湖南4）函数)0()(2≤=x x x f 的反函数是 ( B ))0()(.1≥=-x x x f A )0()(.1≥-=-x x x fB)0()(.1≤--=-x x x fC )0()(.21≤-=-x x x fD7．（湖南6）下面不等式成立的是 ( A )A ．322log 2log 3log 5<<B ．3log 5log 2log 223<<C ．5log 2log 3log 232<<D ．2log 5log 3log 322<< 8．（江西3）若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数(2)()1f xg x x =-的定义域是（ B ） A ．[0,1] B ．[0,1) C ． [0,1)(1,4] D ．(0,1)9．（江西4）若01x y <<<，则（ C ）A ．33y x <B ．log 3log 3x y <C ．44log log x y <D ．11()()44x y <10．（江西12）已知函数2()2(4)4f x x m x m =+-+-，()g x mx =，若对于任一实数x ，()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是（ C ）A ． [4,4]-B ．(4,4)-C ． (,4)-∞D ．(,4)-∞-11．（辽宁2）若函数(1)()y x x a =+-为偶函数，则a =（ C ） A ．2-B ．1-C ．1D ．212．（辽宁4）已知01a <<，log log a a x =1log 52a y =，log log a a z =，则（ C ） A ．x y z >> B ．z y x >> C ．y x z >>D ．z x y >>13．（全国Ⅰ1）函数y = D ）A ．{|1}x x ≤B ．{|0}x x ≥C ．{|10}x x x ≥或≤D ．{|01}x x ≤≤14．（全国Ⅰ2）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（ A ）15．（全国Ⅰ8）若函数()y f x =的图象与函数ln 1y =的图象关于直线y x =对称，则()f x =（ A ）A ．22ex -B ．2e xC ．21ex +D ．2+2ex16．（全国Ⅱ4）1()f x x x=-的图像关于（ C ） A ．y 轴对称 B ． 直线x y -=对称 C ． 坐标原点对称 D ． 直线x y =对称17．（全国Ⅱ）若13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===，，，，，则（ C ） A ．a <b <cB ．c <a <bC ． b <a <cD ． b <c <a18．(山东3) 函数ππln cos 22y x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图象是（ A ）19．(山东5) 设函数2211()21x x f x x x x ⎧-⎪=⎨+->⎪⎩，，，，≤则1(2)f f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ A ）xxA ． B． C ．D ．A ．B ．C ．D ．A ．1516B ．2716-C ．89D ．1820．(山东12) 已知函数()log (21)(01)xa f xb a a =+->≠，的图象如图所示，则a b ，满足的关系是（ A ） A ．101a b -<<<B ．101b a -<<<C ．101ba -<<<-D ．1101ab --<<<21．(天津3 )函数14)y x =≤≤的反函数是（ A ）A ．2(1)(13)y x x =-≤≤ B ．2(1)(04)y x x =-≤≤ C ．21(13)y x x =-≤≤D ．21(04)y x x =-≤≤22．(天津10) 设1a >，若对于任意的[]2x a a ∈，，都有2y a a ⎡⎤∈⎣⎦，满足方程log log 3a a x y +=，这时a 的取值的集合为（ B ）A ．{}12a a <≤B ．{}2a a ≥C ．{}23a a ≤≤D ．{}23，23．(重庆6)函数y =10x 2-1 (0＜x ≤1＝的反函数是 ( D )(A)1)10y x =＞(B)y =x ＞110)(C) y =110＜x ≤)1(D) y =110＜x ≤)1 24．(湖北6).已知()f x 在R 上是奇函数，且2(4)(),(0,2)()2,(7)f x f x x f x x f +=∈==当时，则 ( A ) A.-2 B.2 C.-98 D.98 25．(湖北8).函数1()1f x n x=( D ) A.(,4][2,)-∞-+∞ B. (4,0)(0,1)-⋃ C.[4,0)(0,1]- D.[4,0)(0,1]-⋃ 26．(陕西) 已知函数3()2x f x +=，1()fx -是()f x 的反函数，若16mn =（m n ∈+R ，），则11()()f m f n --+的值为（ D ）A ．10B ．4C ．1D ．2-27．(陕西) 定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y xy +=++（x y ∈R ，），(1)2f =，则(2)f -等于（ A ）A ．2B ．3C ．6D ．9二、填空题1．（安徽13）函数2()f x =的定义域为 ．[3,)+∞2．（北京13）如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中A B C ，，的坐标分别为(04)(20)(64)，，，，，，则((0))f f =_________；2函数()f x 在1x =处的导数(1)f '=_________．2-3．（北京14）．已知函数2()cos f x x x =-，对于ππ22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的任意12x x ，，有如下条件：①12x x >； ②2212x x >； ③12x x >．其中能使12()()f x f x >恒成立的条件序号是_________．②4．（湖南15）设[]x 表示不超x 的最大整数，（如[]145,22=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=）。
高考数学《分段函数》一题多解
【题源】【2017年高考数学全国三卷理15】【推荐】【理由】分段函数是最近几年高考选择填空的热点内容。
本题一题多解1从代数变形角度，利用解不等式基本方法。
2所给函数是基本初等函数，利用数形结合基本思想，从图像角度也可解出不等式，要求对图像变化应用非常熟练。
15．设函数10()20x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是_________. 【解析】解法一：直接法写成分段函数的形式：()())132,021112,0222122,2x x x x g x f x f x x x x -⎧+≤⎪⎪⎪⎛⎫=+-=++<≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪>⎪⎩， 函数()g x 在区间(]11,0,0,,,22⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭三段区间内均单调递增，且)001111,201,22142g -⎛⎫-=++>⨯> ⎪⎝⎭，可知x 的取值范围是1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 解法二:图象变换法： 函数)21(),(-==x f y x f y 在R 上都是增函数. )(x f y =向右平移21个单位得⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21x f y 的图象。
观察图象，0≥x 时，1)21()(>--x f x f0<x 时，11211)21()(>+--+=--x x x f x f 所以041-<<x 方法三：图象转换法10()20x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，则满足1()()12f x f x +->， 即)21(-x f 与)(1x f y -=的图象如图所示：由图可知，满足)(1)21(x f x f ->+的解集为),41+∞-（。
分段函数练习题
分段函数练习题分段函数练习题分段函数是数学中的一个重要概念，它在实际问题中的应用非常广泛。
通过解决分段函数练习题，我们可以更好地理解和掌握这一概念。
下面我将给大家介绍几个有趣的分段函数练习题。
1. 问题一：设函数f(x)如下所示，请问在哪些区间上f(x)是增函数？f(x) =-2x + 3 (x < 1)2 (1 ≤ x < 3)x - 1 (x ≥ 3)解答：要判断f(x)在哪些区间上是增函数，我们需要分别求出f(x)在每个区间上的导数。
根据导数的定义，我们可以得到以下结果：f'(x) =-2 (x < 1)0 (1 ≤ x < 3)1 (x ≥ 3)由于f'(x)在x < 1的区间上为负数，所以f(x)在该区间上是减函数；而在1 ≤ x < 3的区间上，f'(x)为0，所以f(x)在该区间上是常数函数；最后，在x ≥ 3的区间上，f'(x)为正数，所以f(x)在该区间上是增函数。
综上所述，f(x)在区间[3, +∞)上是增函数。
2. 问题二：给定函数g(x)如下，请问在哪个区间上g(x)是奇函数？g(x) =-x + 1 (x < 0)x^2 (x ≥ 0)解答：要判断g(x)是否为奇函数，我们需要验证g(x)是否满足奇函数的性质：对任意x，有g(-x) = -g(x)。
首先，我们计算g(-x)：g(-x) =-(-x) + 1 (x < 0)(-x)^2 (x ≥ 0)化简得：g(-x) =x + 1 (x < 0)x^2 (x ≥ 0)然后，我们计算-g(x)：-g(x) =-(-x + 1) (x < 0)-(x^2) (x ≥ 0)化简得：-g(x) =x - 1 (x < 0)-x^2 (x ≥ 0)可以看出，g(-x)并不等于-g(x)，所以g(x)不是奇函数。
3. 问题三：给定函数h(x)如下，请画出h(x)的图像。
分段函数练习题
f(x)=242--x x ，g(x)=x+2 ③f(x)=2x ，g(x)=x+2 ④f(x)=1122-+-x x ，g(x)=0 ，x ∈{－1，1} A.①③①③B.① C.②④②④D.①④①④提示：考察是否是同一函数即考察函数的三要素：定义域、值域、对应关系，此题应注意分段函数分段解决。
段函数分段解决。
解析：此题中①③正确，故正确答案为A. 120 4、设()1232,2()log 1,2x e x f x x x -ì<ï=í-³ïî，则((2))f f 的值为（的值为（ ）） A.0 B.1 C.2 D.3 提示：此题是分段函数当中经常考查的求分段函数值的小题型，主要考查学生对“分段函数在定义域的不同区间上对应关系不同”这个本质含义的理解．考查对分段函数的理解程度。
这个本质含义的理解．考查对分段函数的理解程度。
解析：因为解析：因为 f （2）=log 3（22﹣1）=1，所以f （f （2））=f （1）=2e 1﹣1=2．因此f （f （2））=f （log 3（22﹣1））=f （1）=2e 1﹣1=2，故正确答案为C.90 5、定义在R 上的函数)(x f 满足)(x f =， 则)3(f 的值为（ ）） 267,0,100,,x x x x x ++<³ìïíïî71101110||x y x x=+îíì>---£-0),2()1(0),4(log 2x x f x f x x 1、分段函数1、已知函数)(x f ＝ ，则，则 )1()0(-+f f ＝（＝（ ）） A ． 9 B ． C ． 3 D 3 D．．提示：本题考查分段函数的求值，注意分段函数分段求。
提示：本题考查分段函数的求值，注意分段函数分段求。
历年高考数学真题精选08 分段函数
历年高考数学真题精选（按考点分类）专题八 分段函数（学生版）一．选择题（共19小题）1．（2010•天津）设函数2()2g x x =-，()4,()()(),()g x x x g x f x g x x x g x ++<⎧=⎨-⎩，则()f x 的值域是() A ．9[,0](1,)4-+∞ B ．[0，)+∞C ．9[,0]4-D ．9[,0](2,)4-+∞2．（2010•陕西）已知函数232,1(),1x x f x x ax x +<⎧=⎨+⎩若((0))4f f a =，则实数a 等于( )A ．12B ．45C ．2D ．93．（2008•天津）已知函数1,0()1,0x x f x x x -+<⎧=⎨-⎩，则不等式(1)(1)1x x f x +++的解集是()A ．{}|121x x -- B ．{|1}x xC ．{}|21x x -D ．{}|121x x-4．（2006•北京）已知(31)4,1()log ,1aa x a x f x x x -+⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是( ) A ．(0,1)B ．1(0,)3C ．11[,)73D ．1[,1)75．（2006•山东）设1232,2()log (1),2x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-⎪⎩则不等式()2f x >的解集为( ) A ．(1，2)(3⋃，)+∞B ．，)+∞ C．(1，2)⋃)+∞D ．(1,2)6．（2005•山东）函数21sin(),10(),0x x x f x e x π-⎧-<<=⎨⎩若f （1）f +（a ）2=，则a 的所有可能值为( )A．1B．C．1，D．17．（2018•新课标Ⅰ）设函数2,0()1,0x xf xx-⎧=⎨>⎩，则满足(1)(2)f x f x+<的x的取值范围是()A．(-∞，1]-B．(0,)+∞C．(1,0)-D．(,0)-∞8．（2018•新课标Ⅰ）已知函数,0(),0xe xf xlnx x⎧=⎨>⎩，()()g x f x x a=++．若()g x存在2个零点，则a的取值范围是()A．[1-，0)B．[0，)+∞C．[1-，)+∞D．[1，)+∞9．（2019•天津）已知函数1,()1,1xf xxx⎧⎪=⎨>⎪⎩若关于x的方程1()()4f x x a a R=-+∈恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为()A．5[4，9]4B．5(4，9]4C．5(4，9]{1}4D．5[4，9]{1}410．（2010•全国新课标）已知函数||,010()16,102lgx xf xx x<⎧⎪=⎨-+>⎪⎩，若a，b，c互不相等，且f（a）f=（b）f=（c），则abc的取值范围是()A．(1,10)B．(5,6)C．(10,12)D．(20,24)11．（2017•天津）已知函数23,1()2,1x x xf xx xx⎧-+⎪=⎨+>⎪⎩，设a R∈，若关于x的不等式()||2xf x a+在R上恒成立，则a的取值范围是()A．47[16-，2]B．47[16-，39]16C．[-2]D．[-39]1612．（2017•山东）设1()2(1),1xf xx x<<=-⎪⎩若f（a）(1)f a=+，则1()(fa=)A．2B．4C．6D．813．（2016•天津）已知函数2(43)3,0()(0,1)(1)1,0ax a x a xf x a alog x x⎧+-+<⎪=>≠⎨++⎪⎩在R上单调递减，且关于x的方程|()|2f x x=-恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是()A ．(0，2]3B ．2[3，3]4C ．1[3，23]{}34D ．1[3，23){}3414．（2014•上海）设2(),0()1,0x a x f x x a x x ⎧-⎪=⎨++>⎪⎩，若(0)f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为( )A ．[1-，2]B ．[1-，0]C ．[1，2]D ．[0，2]15．（2014•辽宁）已知()f x 为偶函数，当0x 时，1cos ,[0,]2()121,(,)2x x f x x x π⎧∈⎪⎪=⎨⎪-∈+∞⎪⎩，则不等式1(1)2f x -的解集为( ) A ．1[4，24][33，7]4B ．3[4-，11][34-，2]3C ．1[3，34][43，7]4D ．3[4-，11][33-，3]416．（2014•重庆）已知函数13,(1,0]()1,(0,1]x f x x x x ⎧-∈-⎪=+⎨⎪∈⎩，且()()g x f x mx m =--在(1-，1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( ) A ．9(4-，2](0-⋃，1]2B ．11(4-，2](0-⋃，1]2C ．9(4-，2](0-⋃，2]3D ．11(4-，2](0-⋃，2]317．（2009•山东）定义在R 上的函数()f x 满足2log (1),0()(1)(2),0x x f x f x f x x -⎧=⎨--->⎩，则(2017)f 的值为( ) A ．1-B ．0C ．1D ．218．（2009•海南）用{min a ，b ，}c 表示a ，b ，c 三个数中的最小值，设(){2x f x min =，2x +，10}(0)x x -，则()f x 的最大值为( )A ．7B ．6C ．5D ．419．（2003•全国）设函数12210()0x x f x xx -⎧-⎪=⎨⎪>⎩若0()1f x >，则0x 的取值范围是( )A ．(1,1)-B ．(1,)-+∞C ．(-∞，2)(0-⋃，)+∞D ．(-∞，1)(1-⋃，)+∞二．填空题（共5小题）20．（2018•天津）已知0a >，函数222,0()22,0x ax a x f x x ax a x ⎧++=⎨-+->⎩．若关于x 的方程()f x ax=恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是 ．21．（2016•江苏）设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[1-，1)上，,10()2||,015x a x f x x x +-<⎧⎪=⎨-<⎪⎩，其中a R ∈，若59()()22f f -=，则(5)f a 的值是 ． 22．（2014•新课标Ⅰ）设函数113,1(),1x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪⎩，则使得()2f x 成立的x 的取值范围是 ．23．（2014•安徽）若函数()()f x x R ∈是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为(1),01()sin ,12x x x f x x x π-⎧=⎨<⎩，则2941()()46f f += ．24．（2016•北京）设函数33,()2,x x x af x x x a ⎧-=⎨->⎩．①若0a =，则()f x 的最大值为 ；②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是 ．历年高考数学真题精选（按考点分类）专题八 分段函数（教师版）一．选择题（共19小题）1．（2010•天津）设函数2()2g x x =-，()4,()()(),()g x x x g x f x g x x x g x ++<⎧=⎨-⎩，则()f x 的值域是() A ．9[,0](1,)4-+∞ B ．[0，)+∞C ．9[,0]4-D ．9[,0](2,)4-+∞【答案】D【解析】()x g x <，即 22x x <-，即 1x <- 或 2x >． ()x g x ，即12x -． 由题意 22222()2(,1)(2,)()2()2,[1,2]x x x g x x x x f x x x x g x x x x ⎧⎧++<++∈-∞-+∞==⎨⎨----∈-⎩⎩2217(),(,1)(2,)2419(),[1,2]24x x x x ⎧++∈-∞-+∞⎪⎪=⎨⎪--∈-⎪⎩，所以当(x ∈-∞，1)(2-⋃，)+∞时，由二次函数的性质可得()(2f x ∈，)+∞； [1x ∈-，2]时，由二次函数的性质可得9()[4f x ∈-，0]，2．（2010•陕西）已知函数232,1(),1x x f x x ax x +<⎧=⎨+⎩若((0))4f f a =，则实数a 等于( )A ．12B ．45C ．2D ．9【答案】C【解析】由题知(0)2f =，f （2）42a =+，由424a a +=，解得2a =．3．（2008•天津）已知函数1,0()1,0x x f x x x -+<⎧=⎨-⎩，则不等式(1)(1)1x x f x +++的解集是()A ．{}|121x x -- B ．{|1}x xC ．{}|21x x -D ．{}|121x x-【解析】依题意得()()()10101111x x x x x x x x +<+⎧⎧⎨⎨++-++⎩⎩或所以111121212121x x x x x x R x -⎧<-⎧⎪⇒<---⇒-⎨⎨∈---⎩⎪⎩或或故选：C ．4．（2006•北京）已知(31)4,1()log ,1aa x a x f x x x -+⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．1(0,)3C ．11[,)73D ．1[,1)7【答案】C【解析】依题意，有01a <<且310a -<，解得103a <<， 又当1x <时，(31)471a x a a -+>-，当1x >时，log 0a x <， 因为()f x 在R 上单调递减，所以710a -解得17a 综上：1173a < 5．（2006•山东）设1232,2()log (1),2x ex f x x x -⎧<⎪=⎨-⎪⎩则不等式()2f x >的解集为( ) A ．(1，2)(3⋃，)+∞ B ．，)+∞ C ．(1，2)⋃)+∞ D ．(1,2)【答案】C【解析】令122(2)x e x -><，解得12x <<． 令23log (1)2(2)x x ->，解得x 为)+∞6．（2005•山东）函数21sin(),10(),0x x x fx e x π-⎧-<<=⎨⎩若f（1）f +（a ）2=，则a 的所有可能值为( ) A ．1B ．C ．1，D ．1【解析】由题意知，当10x -<<时，2()sin()f x x π=； 当0x 时，1()x f x e -=；f ∴（1）111e -==． 若f （1）f +（a ）2=，则f （a ）1=；当0a 时，11a e -=，1a ∴=；当10a -<<时，2sin()1x π=，∴212x =，x =（不满足条件，舍去），或x =．所以a 的所有可能值为：1，2． 7．（2018•新课标Ⅰ）设函数2,0()1,0x x f x x -⎧=⎨>⎩，则满足(1)(2)f x f x +<的x 的取值范围是()A ．(-∞，1]-B ．(0,)+∞C ．(1,0)-D ．(,0)-∞【答案】D【解析】函数2,0()1,0x x f x x -⎧=⎨>⎩，的图象如图：满足(1)(2)f x f x +<，可得：201x x <<+或210x x <+，解得(,0)x ∈-∞．故选：D ．8．（2018•新课标Ⅰ）已知函数,0(),0x e x f x lnx x ⎧=⎨>⎩，()()g x f x x a =++．若()g x 存在2个零点，则a 的取值范围是( ) A ．[1-，0) B ．[0，)+∞C ．[1-，)+∞D ．[1，)+∞【答案】C【解析】由()0g x =得()f x x a =--，作出函数()f x 和y x a =--的图象如图： 当直线y x a =--的截距1a -，即1a -时，两个函数的图象都有2个交点， 即函数()g x 存在2个零点，故实数a 的取值范围是[1-，)+∞，故选：C ．9．（2019•天津）已知函数1,()1,1x f x x x⎧⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程1()()4f x x a a R =-+∈恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围为( ) A ．5[4，9]4B ．5(4，9]4C ．5(4，9]{1}4D ．5[4，9]{1}4【答案】D【解析】作出函数1,()1,1x f x x x ⎧⎪=⎨>⎪⎩的图象，以及直线14y x =-的图象，关于x 的方程1()()4f x x a a R =-+∈恰有两个互异的实数解，即为()y f x =和14y x a =-+的图象有两个交点，平移直线14y x =-，考虑直线经过点(1,2)和(1,1)时，有两个交点，可得94a =或54a =， 考虑直线与1y x =在1x >相切，可得2114ax x -=， 由△210a =-=，解得1(1a =-舍去）， 综上可得a 的范围是5[4，9]{1}4．故选：D ．10．（2010•全国新课标）已知函数||,010()16,102lgx x f x x x <⎧⎪=⎨-+>⎪⎩，若a ，b ，c 互不相等，且f （a ）f =（b ）f =（c ），则abc 的取值范围是( ) A ．(1,10) B ．(5,6) C ．(10,12) D ．(20,24)【答案】C【解析】作出函数()f x 的图象如图，不妨设a b c <<，则16(0,1)2lga lgb c -==-+∈1ab =，10612c <-+<，则(10,12)abc c =∈．故选：C ．11．（2017•天津）已知函数23,1()2,1x x x f x x x x ⎧-+⎪=⎨+>⎪⎩，设a R ∈，若关于x 的不等式()||2x f x a +在R 上恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．47[16-，2] B ．47[16-，39]16C ．[-2] D ．[-39]16【答案】A【解析】当1x 时，关于x 的不等式()||2xf x a +在R 上恒成立， 即为22332x x x a x x -+-+-+，即有22133322x x a x x -+--+， 由2132y x x =-+-的对称轴为114x=<，可得14x =处取得最大值4716-；由2332y x x =-+的对称轴为314x =<，可得34x =处取得最小值3916，则47391616a-① 当1x >时，关于x 的不等式()||2xf x a +在R 上恒成立， 即为22()2x x a x x x -+++，即有322()22x x a x x-++，由3232()22322x y x x =-+-=-1)x =>取得最大值- 由12122222y x xx x=+=（当且仅当21)x =>取得最小值2． 则2a-② 由①②可得，47216a -． 12．（2017•山东）设1()2(1),1x f x x x <<=-⎪⎩若f （a ）(1)f a =+，则1()(f a = )A ．2B ．4 C ．6 D ．8【答案】C【解析】当(0,1)a ∈时，1()2(1),1x f x x x <<=-⎪⎩，若f （a ）(1)f a =+2a =，解得14a =，则：1()f f a=（4）2(41)6=-=． 当[1a ∈，)+∞时．1()2(1),1x f x x x <<=-⎪⎩，若f （a ）(1)f a =+，可得2(1)2a a -=，显然无解．13．（2016•天津）已知函数2(43)3,0()(0,1)(1)1,0ax a x a x f x a a log x x ⎧+-+<⎪=>≠⎨++⎪⎩在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是( ) A ．(0，2]3B ．2[3，3]4C ．1[3，23]{}34D ．1[3，23){}34【答案】C【解析】log (1)1y a x =++在[0，)+∞递减，则01a <<， 函数()f x 在R 上单调递减，则：23402010(43)03(01)1aaa a a log -⎧⎪⎪<<⎨⎪+-+++⎪⎩；解得，1334a ； 由图象可知，在[0，)+∞上，|()|2f x x =-有且仅有一个解， 故在(,0)-∞上，|()|2f x x =-同样有且仅有一个解， 当32a >即23a >时，联立2|(43)3|2x a x a x +-+=-， 则△2(42)4(32)0a a =---=，解得34a =或1（舍去）， 当132a 时，由图象可知，符合条件，综上：a 的取值范围为1[3，23]{}34，故选：C ．14．（2014•上海）设2(),0()1,0x a x f x x a x x ⎧-⎪=⎨++>⎪⎩，若(0)f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为( )A ．[1-，2]B ．[1-，0]C ．[1，2]D ．[0，2]【答案】D【解析】当0a <时，显然(0)f 不是()f x 的最小值， 当0a 时，2(0)f a =，由题意得：21a x a x++， 解不等式：220a a --，得12a -，02a ∴，15．（2014•辽宁）已知()f x 为偶函数，当0x 时，1cos ,[0,]2()121,(,)2x x f x x x π⎧∈⎪⎪=⎨⎪-∈+∞⎪⎩，则不等式1(1)2f x -的解集为( ) A ．1[4，24][33，7]4B ．3[4-，11][34-，2]3C ．1[3，34][43，7]4D ．3[4-，11][33-，3]4【答案】A【解析】当[0x ∈，1]2，由1()2f x =，即1cos 2x π=，则3x ππ=，即13x =，当12x >时，由1()2f x =，得1212x -=，解得34x =， 则当0x 时，不等式1()2f x 的解为1334x ，（如图）则由()f x 为偶函数， ∴当0x <时，不等式1()2f x 的解为3143x --， 即不等式1()2f x 的解为1334x 或3143x --， 则由13134x -或31143x ---，解得4734x 或1243x， 即不等式1(1)2f x -的解集为12{|43x x 或47}34x ，故选：A ．16．（2014•重庆）已知函数13,(1,0]()1,(0,1]x f x x x x ⎧-∈-⎪=+⎨⎪∈⎩，且()()g x f x mx m =--在(1-，1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( ) A ．9(4-，2](0-⋃，1]2B ．11(4-，2](0-⋃，1]2C ．9(4-，2](0-⋃，2]3D ．11(4-，2](0-⋃，2]3【答案】A【解析】由()()0g x f x mx m =--=，即()(1)f x m x =+， 分别作出函数()f x 和()(1)yh x m x ==+的图象如图：由图象可知f （1）1=，()h x 表示过定点(1,0)A -的直线， 当()h x 过(1,1)时，12m =此时两个函数有两个交点，此时满足条件的m 的取值范围是102m<， 当()h x 过(0,2)-时，(0)2h =-，解得2m =-，此时两个函数有两个交点， 当()h x 与()f x 相切时，两个函数只有一个交点，此时13(1)1m x x -=++， 即2(1)3(1)10m x x +++-=， 当0m =时，23x =-，只有1解，当0m ≠，由△940m =+=得94m =-，此时直线和()f x 相切，∴要使函数有两个零点，则924m -<-或102m <，故选：A ．17．（2009•山东）定义在R 上的函数()f x 满足2log (1),0()(1)(2),0x x f x f x f x x -⎧=⎨--->⎩，则(2017)f 的值为( ) A ．1- B ．0 C ．1 D ．2【答案】A【解析】定义在R 上的函数()f x 满足2log (1),0()(1)(2),0x x f x f x f x x -⎧=⎨--->⎩，(1)1f ∴-=，(0)0f =，f （1）(0)(1)1f f =--=-，f （2）f =（1）(0)1f -=-， f （3）f =（2）f -（1）0=，f （4）f =（3）f -（2）1=， f （5）f =（4）f -（3）1=，f （6）f =（5）f -（4）0=，f （7）f =（6）f -（5）1=-，故当x N ∈时，函数值以6为周期，呈现周期性变化，故(2017)f f =（1）1=-，18．（2009•海南）用{min a ，b ，}c 表示a ，b ，c 三个数中的最小值，设(){2x f x min =，2x +，10}(0)x x -，则()f x 的最大值为( )A ．7B ．6C ．5D ．4【答案】B【解析】画出2x y =，2y x =+，10y x =-的图象，观察图象可知，当02x 时，()2x f x =， 当24x 时，()2f x x =+，当4x >时，()10f x x =-，()f x 的最大值在4x =时取得为6， 故选：B ．19．（2003•全国）设函数12210()0x x f x xx -⎧-⎪=⎨⎪>⎩若0()1f x >，则0x 的取值范围是( )A ．(1,1)-B ．(1,)-+∞C ．(-∞，2)(0-⋃，)+∞D ．(-∞，1)(1-⋃，)+∞【答案】D【解析】当00x 时，0211x -->，则01x <-，当00x >时，1201x >则01x >，故0x 的取值范围是(-∞，1)(1-⋃，)+∞，故选：D ． 二．填空题（共5小题）20．（2018•天津）已知0a >，函数222,0()22,0x ax a x f x x ax a x ⎧++=⎨-+->⎩．若关于x 的方程()f x ax=恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是 ． 【答案】(4,8)【解析】当0x 时，由()f x ax =得22x ax a ax ++=，得20x ax a ++=，得2(1)a x x +=-，得21x a x =-+，设2()1x g x x =-+，则22222(1)2()(1)(1)x x x x xg x x x +-+'=-=-++， 由()0g x '>得21x -<<-或10x -<<，此时递增，由()0g x '<得2x <-，此时递减，即当2x =-时，()g x 取得极小值为(2)4g -=， 当0x >时，由()f x ax =得222x ax a ax -+-=，得220x ax a -+=，得2(2)a x x -=，当2x =时，方程不成立，当2x ≠时，22x a x =-设2()2x h x x =-，则22222(2)4()(2)(2)x x x x xh x x x ---'==--，由()0h x '>得4x >，此时递增， 由()0h x '<得02x <<或24x <<，此时递减，即当4x =时，()h x 取得极小值为h （4）8=， 要使()f x ax =恰有2个互异的实数解，则由图象知48a <<， 故答案为：(4,8)21．（2016•江苏）设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[1-，1)上，,10()2||,015x a x f x x x +-<⎧⎪=⎨-<⎪⎩，其中a R ∈，若59()()22f f -=，则(5)f a 的值是 ．【答案】25-【解析】()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[1-，1)上，,10()2||,015x a x f x x x +-<⎧⎪=⎨-<⎪⎩， 511()()222f f a ∴-=-=-+，91211()()||225210f f ==-=，35a ∴=，(5)f a f ∴=（3）32(1)155f =-=-+=-，故答案为：25- 22．（2014•新课标Ⅰ）设函数113,1(),1x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪⎩，则使得()2f x 成立的x 的取值范围是 ．【答案】8x 【解析】1x <时，12x e-，21x ln ∴+，1x ∴<；1x 时，132x，8x ∴，18x ∴，综上，使得()2f x 成立的x 的取值范围是8x ．故答案为：8x ．23．（2014•安徽）若函数()()f x x R ∈是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为(1),01()sin ,12x x x f x x x π-⎧=⎨<⎩，则2941()()46f f += ．【答案】516【解析】函数()()f x x R ∈是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为(1),01()sin ,12x x x f x x x π-⎧=⎨<⎩，则2941()()46f f +37(8)(8)46f f =-+-37()()46f f =-+-37()()46f f =-- 337(1)sin 446π=---31516216=-+=．故答案为：516．24．（2016•北京）设函数33,()2,x x x a f x x x a⎧-=⎨->⎩．①若0a =，则()f x 的最大值为 ；②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】2，(,1)-∞-【解析】①若0a =，则33,0()2,0x x x f x x x ⎧-=⎨->⎩，则233,0()2,0x x f x x ⎧-'=⎨->⎩，当1x <-时，()0f x '>，此时函数为增函数，当1x >-时，()0f x '<，此时函数为减函数， 故当1x =-时，()f x 的最大值为2；②233,()2,x x a f x x a ⎧-'=⎨->⎩，令()0f x '=，则1x =±，若()f x 无最大值，则3123a a a a -⎧⎨->-⎩，或312322a a a a a >-⎧⎪->-⎨⎪->⎩，解得：(,1)a ∈-∞-．。
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历年高考数学真题精选（按考点分类）专题八 分段函数（学生版）一．选择题（共19小题）1．（2010•天津）设函数2()2g x x =-，()4,()()(),()g x x x g x f x g x x x g x ++<⎧=⎨-⎩，则()f x 的值域是() A ．9[,0](1,)4-+∞ B ．[0，)+∞C ．9[,0]4-D ．9[,0](2,)4-+∞2．（2010•陕西）已知函数232,1(),1x x f x x ax x +<⎧=⎨+⎩若((0))4f f a =，则实数a 等于( )A ．12B ．45C ．2D ．93．（2008•天津）已知函数1,0()1,0x x f x x x -+<⎧=⎨-⎩，则不等式(1)(1)1x x f x +++的解集是()A ．{}|121x x -- B ．{|1}x xC ．{}|21x x -D ．{}|121x x-4．（2006•北京）已知(31)4,1()log ,1aa x a x f x x x -+⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是( ) A ．(0,1)B ．1(0,)3C ．11[,)73D ．1[,1)75．（2006•山东）设1232,2()log (1),2x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-⎪⎩则不等式()2f x >的解集为( ) A ．(1，2)(3⋃，)+∞B ．，)+∞ C．(1，2)⋃)+∞D ．(1,2)6．（2005•山东）函数21sin(),10(),0x x x f x e x π-⎧-<<=⎨⎩若f （1）f +（a ）2=，则a 的所有可能值为()A．1B．C．1，D．17．（2018•新课标Ⅰ）设函数2,0()1,0x xf xx-⎧=⎨>⎩，则满足(1)(2)f x f x+<的x的取值范围是()A．(-∞，1]-B．(0,)+∞C．(1,0)-D．(,0)-∞8．（2018•新课标Ⅰ）已知函数,0(),0xe xf xlnx x⎧=⎨>⎩，()()g x f x x a=++．若()g x存在2个零点，则a的取值范围是()A．[1-，0)B．[0，)+∞C．[1-，)+∞D．[1，)+∞9．（2019•天津）已知函数1,()1,1xf xxx⎧⎪=⎨>⎪⎩若关于x的方程1()()4f x x a a R=-+∈恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为()A．5[4，9]4B．5(4，9]4C．5(4，9]{1}4D．5[4，9]{1}410．（2010•全国新课标）已知函数||,010()16,102lgx xf xx x<⎧⎪=⎨-+>⎪⎩，若a，b，c互不相等，且f（a）f=（b）f=（c），则abc的取值范围是()A．(1,10)B．(5,6)C．(10,12)D．(20,24)11．（2017•天津）已知函数23,1()2,1x x xf xx xx⎧-+⎪=⎨+>⎪⎩，设a R∈，若关于x的不等式()||2xf x a+在R上恒成立，则a的取值范围是()A．47[16-，2]B．47[16-，39]16C．[-2]D．[-39]1612．（2017•山东）设1()2(1),1xf xx x<<=-⎪⎩若f（a）(1)f a=+，则1()(fa=)A．2B．4C．6D．813．（2016•天津）已知函数2(43)3,0()(0,1)(1)1,0ax a x a xf x a alog x x⎧+-+<⎪=>≠⎨++⎪⎩在R上单调递减，且关于x 的方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是( ) A ．(0，2]3B ．2[3，3]4C ．1[3，23]{}34D ．1[3，23){}3414．（2014•上海）设2(),0()1,0x a x f x x a x x ⎧-⎪=⎨++>⎪⎩，若(0)f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为( )A ．[1-，2]B ．[1-，0]C ．[1，2]D ．[0，2]15．（2014•辽宁）已知()f x 为偶函数，当0x 时，1cos ,[0,]2()121,(,)2x x f x x x π⎧∈⎪⎪=⎨⎪-∈+∞⎪⎩，则不等式1(1)2f x -的解集为( ) A ．1[4，24][33，7]4B ．3[4-，11][34-，2]3C ．1[3，34][43，7]4D ．3[4-，11][33-，3]416．（2014•重庆）已知函数13,(1,0]()1,(0,1]x f x x x x ⎧-∈-⎪=+⎨⎪∈⎩，且()()g x f x mx m =--在(1-，1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( ) A ．9(4-，2](0-⋃，1]2B ．11(4-，2](0-⋃，1]2C ．9(4-，2](0-⋃，2]3D ．11(4-，2](0-⋃，2]317．（2009•山东）定义在R 上的函数()f x 满足2log (1),0()(1)(2),0x x f x f x f x x -⎧=⎨--->⎩，则(2017)f 的值为( ) A ．1-B ．0C ．1D ．218．（2009•海南）用{min a ，b ，}c 表示a ，b ，c 三个数中的最小值，设(){2x f x min =，2x +，10}(0)x x -，则()f x 的最大值为( )A ．7B ．6C ．5D ．419．（2003•全国）设函数12210()0x x f x xx -⎧-⎪=⎨⎪>⎩若0()1f x >，则0x 的取值范围是( )A ．(1,1)-B ．(1,)-+∞C ．(-∞，2)(0-⋃，)+∞D ．(-∞，1)(1-⋃，)+∞二．填空题（共5小题）20．（2018•天津）已知0a >，函数222,0()22,0x ax a x f x x ax a x ⎧++=⎨-+->⎩．若关于x 的方程()f x ax=恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是 ．21．（2016•江苏）设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[1-，1)上，,10()2||,015x a x f x x x +-<⎧⎪=⎨-<⎪⎩，其中a R ∈，若59()()22f f -=，则(5)f a 的值是 ． 22．（2014•新课标Ⅰ）设函数113,1(),1x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪⎩，则使得()2f x 成立的x 的取值范围是 ．23．（2014•安徽）若函数()()f x x R ∈是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为(1),01()sin ,12x x x f x x x π-⎧=⎨<⎩，则2941()()46f f += ．24．（2016•北京）设函数33,()2,x x x af x x x a⎧-=⎨->⎩．①若0a =，则()f x 的最大值为 ；②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是 ．历年高考数学真题精选（按考点分类）专题八 分段函数（教师版）一．选择题（共19小题）1．（2010•天津）设函数2()2g x x =-，()4,()()(),()g x x x g x f x g x x x g x ++<⎧=⎨-⎩，则()f x 的值域是() A ．9[,0](1,)4-+∞ B ．[0，)+∞C ．9[,0]4-D ．9[,0](2,)4-+∞【答案】D【解析】()x g x <，即 22x x <-，即 1x <- 或 2x >． ()x g x ，即12x -． 由题意 22222()2(,1)(2,)()2()2,[1,2]x x x g x x x x f x x x x g x x x x ⎧⎧++<++∈-∞-+∞==⎨⎨----∈-⎩⎩2217(),(,1)(2,)2419(),[1,2]24x x x x ⎧++∈-∞-+∞⎪⎪=⎨⎪--∈-⎪⎩，所以当(x ∈-∞，1)(2-⋃，)+∞时，由二次函数的性质可得()(2f x ∈，)+∞； [1x ∈-，2]时，由二次函数的性质可得9()[4f x ∈-，0]，2．（2010•陕西）已知函数232,1(),1x x f x x ax x +<⎧=⎨+⎩若((0))4f f a =，则实数a 等于( )A ．12B ．45C ．2D ．9【答案】C【解析】由题知(0)2f =，f （2）42a =+，由424a a +=，解得2a =．3．（2008•天津）已知函数1,0()1,0x x f x x x -+<⎧=⎨-⎩，则不等式(1)(1)1x x f x +++的解集是()A ．{}|121x x -- B ．{|1}x xC ．{}|21x x -D ．{}|121x x-【解析】依题意得()()()10101111x x x x x x x x +<+⎧⎧⎨⎨++-++⎩⎩或所以111121212121x x x x x x R x -⎧<-⎧⎪⇒<---⇒-⎨⎨∈---⎩⎪⎩或或故选：C ．4．（2006•北京）已知(31)4,1()log ,1aa x a x f x x x -+⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．1(0,)3C ．11[,)73D ．1[,1)7【答案】C【解析】依题意，有01a <<且310a -<，解得103a <<， 又当1x <时，(31)471a x a a -+>-，当1x >时，log 0a x <， 因为()f x 在R 上单调递减，所以710a -解得17a 综上：1173a < 5．（2006•山东）设1232,2()log (1),2x ex f x x x -⎧<⎪=⎨-⎪⎩则不等式()2f x >的解集为( ) A ．(1，2)(3⋃，)+∞ B ．，)+∞ C ．(1，2)⋃)+∞ D ．(1,2)【答案】C【解析】令122(2)x e x -><，解得12x <<． 令23log (1)2(2)x x ->，解得x 为)+∞6．（2005•山东）函数21sin(),10(),0x x x fx e x π-⎧-<<=⎨⎩若f（1）f +（a ）2=，则a 的所有可能值为( ) A ．1B ．C ．1，D ．1【解析】由题意知，当10x -<<时，2()sin()f x x π=； 当0x 时，1()x f x e -=；f ∴（1）111e -==． 若f （1）f +（a ）2=，则f （a ）1=；当0a 时，11a e -=，1a ∴=；当10a -<<时，2sin()1x π=，∴212x =，x =（不满足条件，舍去），或x =．所以a 的所有可能值为：1，2． 7．（2018•新课标Ⅰ）设函数2,0()1,0x x f x x -⎧=⎨>⎩，则满足(1)(2)f x f x +<的x 的取值范围是()A ．(-∞，1]-B ．(0,)+∞C ．(1,0)-D ．(,0)-∞【答案】D【解析】函数2,0()1,0x x f x x -⎧=⎨>⎩，的图象如图：满足(1)(2)f x f x +<，可得：201x x <<+或210x x <+，解得(,0)x ∈-∞．故选：D ．8．（2018•新课标Ⅰ）已知函数,0(),0x e x f x lnx x ⎧=⎨>⎩，()()g x f x x a =++．若()g x 存在2个零点，则a 的取值范围是( ) A ．[1-，0) B ．[0，)+∞ C ．[1-，)+∞ D ．[1，)+∞【答案】C【解析】由()0g x =得()f x x a =--，作出函数()f x 和y x a =--的图象如图： 当直线y x a =--的截距1a -，即1a -时，两个函数的图象都有2个交点， 即函数()g x 存在2个零点，故实数a 的取值范围是[1-，)+∞，故选：C ．9．（2019•天津）已知函数1,()1,1x f x x x⎧⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程1()()4f x x a a R =-+∈恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围为( ) A ．5[4，9]4B ．5(4，9]4C ．5(4，9]{1}4D ．5[4，9]{1}4【答案】D【解析】作出函数1,()1,1x f x x x ⎧⎪=⎨>⎪⎩的图象，以及直线14y x =-的图象，关于x 的方程1()()4f x x a a R =-+∈恰有两个互异的实数解，即为()y f x =和14y x a =-+的图象有两个交点，平移直线14y x =-，考虑直线经过点(1,2)和(1,1)时，有两个交点，可得94a =或54a =， 考虑直线与1y x =在1x >相切，可得2114ax x -=， 由△210a =-=，解得1(1a =-舍去）， 综上可得a 的范围是5[4，9]{1}4．故选：D ．10．（2010•全国新课标）已知函数||,010()16,102lgx x f x x x <⎧⎪=⎨-+>⎪⎩，若a ，b ，c 互不相等，且f （a ）f =（b ）f =（c ），则abc 的取值范围是( ) A ．(1,10) B ．(5,6) C ．(10,12) D ．(20,24)【答案】C【解析】作出函数()f x 的图象如图，不妨设a b c <<，则16(0,1)2lga lgb c -==-+∈1ab =，10612c <-+<，则(10,12)abc c =∈．故选：C ．11．（2017•天津）已知函数23,1()2,1x x x f x x x x ⎧-+⎪=⎨+>⎪⎩，设a R ∈，若关于x 的不等式()||2x f x a +在R 上恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．47[16-，2] B ．47[16-，39]16C ．[-2] D ．[-39]16【答案】A【解析】当1x 时，关于x 的不等式()||2xf x a +在R 上恒成立， 即为22332x x x a x x -+-+-+，即有22133322x x a x x -+--+， 由2132y x x =-+-的对称轴为114x=<，可得14x =处取得最大值4716-；由2332y x x =-+的对称轴为314x =<，可得34x =处取得最小值3916，则47391616a-① 当1x >时，关于x 的不等式()||2xf x a +在R 上恒成立， 即为22()2x x a x x x -+++，即有322()22x x a x x-++，由3232()22322x y x x x =-+-=-1)x =>取得最大值- 由12122222y x x x x=+=（当且仅当21)x =>取得最小值2． 则32a-② 由①②可得，47216a -． 12．（2017•山东）设1()2(1),1x f x x x <<=-⎪⎩若f （a ）(1)f a =+，则1()(f a = )A ．2 B．4 C ．6 D ．8【答案】C【解析】当(0,1)a ∈时，1()2(1),1x f x x x <<=-⎪⎩，若f （a ）(1)f a =+2a =，解得14a =，则：1()f f a=（4）2(41)6=-=． 当[1a ∈，)+∞时．1()2(1),1x f x x x <<=-⎪⎩，若f （a ）(1)f a =+，可得2(1)2a a -=，显然无解．13．（2016•天津）已知函数2(43)3,0()(0,1)(1)1,0ax a x a x f x a a log x x ⎧+-+<⎪=>≠⎨++⎪⎩在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是( ) A ．(0，2]3B ．2[3，3]4C ．1[3，23]{}34D ．1[3，23){}34【答案】C【解析】log (1)1y a x =++在[0，)+∞递减，则01a <<， 函数()f x 在R 上单调递减，则：23402010(43)03(01)1aaa a a log -⎧⎪⎪<<⎨⎪+-+++⎪⎩；解得，1334a ； 由图象可知，在[0，)+∞上，|()|2f x x =-有且仅有一个解， 故在(,0)-∞上，|()|2f x x =-同样有且仅有一个解， 当32a >即23a >时，联立2|(43)3|2x a x a x +-+=-， 则△2(42)4(32)0a a =---=，解得34a =或1（舍去）， 当132a 时，由图象可知，符合条件，综上：a 的取值范围为1[3，23]{}34，故选：C ．14．（2014•上海）设2(),0()1,0x a x f x x a x x ⎧-⎪=⎨++>⎪⎩，若(0)f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为( )A ．[1-，2]B ．[1-，0]C ．[1，2]D ．[0，2]【答案】D【解析】当0a <时，显然(0)f 不是()f x 的最小值， 当0a 时，2(0)f a =，由题意得：21a x a x++， 解不等式：220a a --，得12a -，02a ∴，15．（2014•辽宁）已知()f x 为偶函数，当0x 时，1cos ,[0,]2()121,(,)2x x f x x x π⎧∈⎪⎪=⎨⎪-∈+∞⎪⎩，则不等式1(1)2f x -的解集为( ) A ．1[4，24][33，7]4B ．3[4-，11][34-，2]3C ．1[3，34][43，7]4D ．3[4-，11][33-，3]4【答案】A【解析】当[0x ∈，1]2，由1()2f x =，即1cos 2x π=，则3x ππ=，即13x =，当12x >时，由1()2f x =，得1212x -=，解得34x =， 则当0x 时，不等式1()2f x 的解为1334x ，（如图）则由()f x 为偶函数， ∴当0x <时，不等式1()2f x 的解为3143x --， 即不等式1()2f x 的解为1334x 或3143x --， 则由13134x -或31143x ---，解得4734x 或1243x， 即不等式1(1)2f x -的解集为12{|43x x 或47}34x ，故选：A ．16．（2014•重庆）已知函数13,(1,0]()1,(0,1]x f x x x x ⎧-∈-⎪=+⎨⎪∈⎩，且()()g x f x mx m =--在(1-，1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( ) A ．9(4-，2](0-⋃，1]2B ．11(4-，2](0-⋃，1]2C ．9(4-，2](0-⋃，2]3D ．11(4-，2](0-⋃，2]3【答案】A【解析】由()()0g x f x mx m =--=，即()(1)f x m x =+， 分别作出函数()f x 和()(1)y hx m x ==+的图象如图：由图象可知f （1）1=，()h x 表示过定点(1,0)A -的直线， 当()h x 过(1,1)时，12m =此时两个函数有两个交点，此时满足条件的m 的取值范围是102m<， 当()h x 过(0,2)-时，(0)2h =-，解得2m =-，此时两个函数有两个交点， 当()h x 与()f x 相切时，两个函数只有一个交点，此时13(1)1m x x -=++， 即2(1)3(1)10m x x +++-=， 当0m =时，23x =-，只有1解，当0m ≠，由△940m =+=得94m =-，此时直线和()f x 相切，∴要使函数有两个零点，则924m -<-或102m <，故选：A ．17．（2009•山东）定义在R 上的函数()f x 满足2log (1),0()(1)(2),0x x f x f x f x x -⎧=⎨--->⎩，则(2017)f 的值为( ) A ．1- B ．0 C ．1 D ．2【答案】A【解析】定义在R 上的函数()f x 满足2log (1),0()(1)(2),0x x f x f x f x x -⎧=⎨--->⎩，(1)1f ∴-=，(0)0f =，f （1）(0)(1)1f f =--=-，f （2）f =（1）(0)1f -=-， f （3）f =（2）f -（1）0=，f （4）f =（3）f -（2）1=， f （5）f =（4）f -（3）1=，f （6）f =（5）f -（4）0=，f （7）f =（6）f -（5）1=-，故当x N ∈时，函数值以6为周期，呈现周期性变化，故(2017)f f =（1）1=-，18．（2009•海南）用{min a ，b ，}c 表示a ，b ，c 三个数中的最小值，设(){2x f x min =，2x +，10}(0)x x -，则()f x 的最大值为( )A ．7B ．6C ．5D ．4【答案】B【解析】画出2x y =，2y x =+，10y x =-的图象，观察图象可知，当02x 时，()2x f x =， 当24x 时，()2f x x =+，当4x >时，()10f x x =-，()f x 的最大值在4x =时取得为6， 故选：B ．19．（2003•全国）设函数12210()0x x f x xx -⎧-⎪=⎨⎪>⎩若0()1f x >，则0x 的取值范围是( )A ．(1,1)-B ．(1,)-+∞C ．(-∞，2)(0-⋃，)+∞D ．(-∞，1)(1-⋃，)+∞【答案】D【解析】当00x 时，0211x -->，则01x <-，当00x >时，1201x >则01x >，故0x 的取值范围是(-∞，1)(1-⋃，)+∞，故选：D ． 二．填空题（共5小题）20．（2018•天津）已知0a >，函数222,0()22,0x ax a x f x x ax a x ⎧++=⎨-+->⎩．若关于x 的方程()f x ax=恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是 ． 【答案】(4,8)【解析】当0x 时，由()f x ax =得22x ax a ax ++=，得20x ax a ++=，得2(1)a x x +=-，得21x a x =-+，设2()1x g x x =-+，则22222(1)2()(1)(1)x x x x xg x x x +-+'=-=-++， 由()0g x '>得21x -<<-或10x -<<，此时递增，由()0g x '<得2x <-，此时递减，即当2x =-时，()g x 取得极小值为(2)4g -=， 当0x >时，由()f x ax =得222x ax a ax -+-=，得220x ax a -+=，得2(2)a x x -=，当2x =时，方程不成立，当2x ≠时，22x a x =-设2()2x h x x =-，则22222(2)4()(2)(2)x x x x xh x x x ---'==--，由()0h x '>得4x >，此时递增， 由()0h x '<得02x <<或24x <<，此时递减，即当4x =时，()h x 取得极小值为h （4）8=， 要使()f x ax =恰有2个互异的实数解，则由图象知48a <<， 故答案为：(4,8)21．（2016•江苏）设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[1-，1)上，,10()2||,015x a x f x x x +-<⎧⎪=⎨-<⎪⎩，其中a R ∈，若59()()22f f -=，则(5)f a 的值是 ．【答案】25-【解析】()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[1-，1)上，,10()2||,015x a x f x x x +-<⎧⎪=⎨-<⎪⎩， 511()()222f f a ∴-=-=-+，91211()()||225210f f ==-=，35a ∴=，(5)f a f ∴=（3）32(1)155f =-=-+=-，故答案为：25- 22．（2014•新课标Ⅰ）设函数113,1(),1x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪⎩，则使得()2f x 成立的x 的取值范围是 ．【答案】8x 【解析】1x <时，12x e-，21x ln ∴+，1x ∴<；1x 时，132x，8x ∴，18x ∴，综上，使得()2f x 成立的x 的取值范围是8x ．故答案为：8x ．23．（2014•安徽）若函数()()f x x R ∈是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为(1),01()sin ,12x x x f x x x π-⎧=⎨<⎩，则2941()()46f f += ．【答案】516【解析】函数()()f x x R ∈是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为(1),01()sin ,12x x x f x x x π-⎧=⎨<⎩，则2941()()46f f +37(8)(8)46f f =-+-37()()46f f =-+-37()()46f f =-- 337(1)sin 446π=---31516216=-+=．故答案为：516．24．（2016•北京）设函数33,()2,x x x a f x x x a⎧-=⎨->⎩．①若0a =，则()f x 的最大值为 ；②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】2，(,1)-∞-【解析】①若0a =，则33,0()2,0x x x f x x x ⎧-=⎨->⎩，则233,0()2,0x x f x x ⎧-'=⎨->⎩，当1x <-时，()0f x '>，此时函数为增函数，当1x >-时，()0f x '<，此时函数为减函数， 故当1x =-时，()f x 的最大值为2；②233,()2,x x a f x x a ⎧-'=⎨->⎩，令()0f x '=，则1x =±，若()f x 无最大值，则3123a a a a -⎧⎨->-⎩，或312322a a a a a >-⎧⎪->-⎨⎪->⎩，解得：(,1)a ∈-∞-．。