函数的极值与导数(教案

1.3.2 函数的极值与导数（教案）

一、教学目标

1 知识与技能

〈1〉结合函数图象，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件

〈2〉理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大值与极小值

2过程与方法

结合实例，借助函数图形直观感知，并探索函数的极值与导数的关系。

3情感与价值

感受导数在研究函数性质中一般性和有效性，通过学习让学生体会极值是函数的局部性质，增强学生数形结合的思维意识。

二、重点：利用导数求函数的极值

难点：函数在某点取得极值的必要条件与充分条件

三、教学基本流程

四、教学过程

〈一〉、创设情景，导入新课

1、通过上节课的学习，导数和函数单调性的关系是什么？

（提高学生回答）

2．观察图1.3.8 表示高台跳水运动员的高度h 随时间t 变化的函数

()h t =-4.9t 2

+6.5t+10的图象，回答

以下问题

（1）当t=a 时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数()h t 在t=a 处的导数是多少呢？

（2）在点t=a 附近的图象有什么特点？ （3）点t=a 附近的导数符号有什么变化规律？

共同归纳: 函数h(t)在a 点处h /(a)=0,在t=a 的附近,当t ＜a 时,函数()h t 单调递增, ()'h t ＞0;当t ＞a 时,函数()h t 单调递减, ()'h t ＜0,即当t 在a 的附近从小到大经过a 时, ()'h t 先正后负,且()'h t 连续变化,于是h /(a)=0.

3、对于这一事例是这样，对其他的连续函数是不是也有这种性质呢？ <二>、探索研讨

1、观察1.3.9图所表示的y=f(x)的图象，回答以下问题：

a

o

h

t

（1）函数y=f(x)在a.b点

的函数值与这些点附近的

函数值有什么关系?

（2）函数y=f(x)在a.b.

点的导数值是多少? （3）在a.b点附近, y=f(x)的导数的符号分别是什么，并且有什么关系呢?

2、极值的定义:

我们把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值；

点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极大值。极大值点与极小值点称为极值点, 极大值与极小值称为极值.

3、通过以上探索，你能归纳出可导函数在某点x0取得极值的充要条件吗？

充要条件：f(x0)=0且点x0的左右附近的导数值符号要相反

4、引导学生观察图1.3.11，回答以下问题：

（1）找出图中的极点，并说明哪些点为极大值点，哪些点为极小值点？

（2）极大值一定大于极小值吗？

5、随堂练习:

1 如图是函数y=f(x)的函数,试找出函数y=f(x)的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点.如果把函数图象改为导函数y=()'f x 的图象? <三>、讲解例题

例4 求函数()31

443

f x x x =-+的极值

教师分析:①求f /(x),解出f /(x)=0,找函数极点； ②由函数单调性确定在极点x 0附近f /(x)的符号,从而确定哪一点是极大值点,哪一点为极小值点,从而求出函数的极值. 学生动手做,教师引导

解:∵()31443

f x x x =-+∴()'f x =x 2-4=(x-2)(x+2) 令()'f x =0,解得x=2,或x=-2. 下面分两种情况讨论:

(1)当()'f x ＞0,即x ＞2,或x ＜-2时; (2) 当()'f x ＜0,即-2＜x ＜2时.

当x 变化时, ()'f x ,f(x)的变化情况如下表:

x

(-∞,-2)

-2

(-2,2)

2

(2,+

∞)

x

()'f x

+ 0

_ 0

+ f(x)

单调递

增

283

单调递减

43

- 单调递增

因此,当x=-2时,f(x)有极大值,且极大值为f(-2)= 3

;当x=2时,f(x)有极

小值,且极小值为f(2)= 43

- 函数()31443

f x x x =-+的图象如: 归纳：求函数y=f(x)极值的方法是:

1求()'f x ,解方程()'f x =0,当()'f x =0时:

(1) 如果在x 0附近的左边()'f x ＞0,右边()'f x ＜0,那么f(x 0)是极大值. (2) 如果在x 0附近的左边()'f x ＜0,右边()'f x ＞0,那么f(x 0)是极小值 <四>、课堂练习

1、求函数f(x)=3x-x 3的极值

2、思考：已知函数f （x ）=ax 3+bx 2-2x 在x=-2，x=1处取得极值, 求函数f （x ）的解析式及单调区间。 <五>、课后思考题：

1、 若函数f(x)=x 3-3bx+3b 在（0，1）内有极小值，求实数b 的范

围。

2、 已知f(x)=x 3+ax 2+(a+b)x+1有极大值和极小值，求实数a 的范

围。 <六>、课堂小结: 1、 函数极值的定义 2、 函数极值求解步骤

2

2

-()31

44

3

f x x x =-+

3、一个点为函数的极值点的充要条件。

<七>、作业 P32 5 ①④

教学反思:

本节的教学内容是导数的极值,有了上节课导数的单调性作铺垫,借助函数图形的直观性探索归纳出导数的极值定义,利用定义求函数的极值.教学反馈中主要是书写格式存在着问题.为了统一要求主张用列表的方式表示,刚开始学生都不愿接受这种格式,但随着几道例题与练习题的展示,学生体会到列表方式的简便,同时为能够快速判断导数的正负,我要求学生尽量把导数因式分解.本节课的难点是函数在某点取得极值的必要条件与充分条件,为了说明这一点多举几个例题是很有必要的.在解答过程中学生还暴露出对复杂函数的求导的准确率比较底,以及求函数的极值的过程板书仍不规范,看样子这些方面还要不断加强训练.

研讨评议:

教学内容整体设计合理,重点突出,难点突破,充分体现教师为主导,学生为主体的双主体课堂地位,充分调动学生的积极性,教师合理清晰的引导思路,使学生的数学思维得到培养和提高,教学内容容量与难度适中,符合学情,并关注学生的个体差异,使不同程度的学生都得到不同效果的收获.