9.7小专题6 三角部分的最值问题√(1)

合集下载

三角形内最值问题

三角形内最值问题
三角形内最值问题是一个常见的问题，它涉及到在给定三角形中找到某些几何量的最大值或最小值。

下面是一些解决这类问题的一般方法：
1. 基础几何知识：解决这类问题需要掌握一些基本的几何知识，如三角形的性质、三角函数、勾股定理等。

2. 对称性：考虑三角形是否具有某种对称性，如轴对称或中心对称，这有助于找到最值的位置。

3. 极值定理：在某些情况下，可以使用极值定理（如AM-GM不等式、Cauchy-Schwarz不等式等）来找到最值。

4. 函数建模：将问题转化为函数的最值问题，然后使用导数或其他数学工具来找到最值。

5. 参数方程：有时可以通过引入参数来表示几何量，然后通过参数的变化找到最值。

6. 优化技术：可以使用一些优化技术，如梯度下降、牛顿法等，来找到最值。

解决三角形内最值问题的具体方法取决于问题的具体情况和给定的条件。

在处理这类问题时，需要仔细分析问题，选择合适的数学工具和方法来解决。

三角求最值问题的常见题型体系分析（一）

麻将售后维护方案前言麻将是一款非常受欢迎的桌上游戏，因其简单易学、互动性强、娱乐性高而广受喜爱。

随着社会科技的不断发展，电动麻将机也逐渐流行，得到了更多人的青睐。

但是，由于机器本身的复杂性和使用者的误操作等原因，机器在使用中难免会出现故障，给机器的正常使用带来困扰。

因此，麻将机售后维护至关重要。

维护方案日常维护日常维护是保障麻将机正常运转的基础，要求使用者定期检查、清理麻将机的重要部分，以确保其机能正常。

下面列举一些具体维护措施：•定期清洁玩家朝向的控制面板，擦拭面板、控制器硬件、玩家接口，并施加适量的润滑剂。

•定期清理麻将机的卡槽，以防机器出现卡顿等情况。

•定期检查机器操作部分和线路的连接情况。

如果发现线路不良或松动，应及时修复或更换。

•定期检查麻将机的显示屏幕和音频播放系统，保证其工作正常。

故障排除在运行过程中，麻将机可能会出现各种故障，例如：卡顿、显示屏幕不亮、骨牌机械故障等等。

为保障使用体验，消除故障情况，需要进行故障排查。

在进行排查的前提下，厂家会向后期维护者提供电子版说明书、部件列表、故障定位表等技术资料，以便进行检修修理。

下面我们总结几种常见故障排查方法：1. 售后维修如果麻将机发生了严重的机械故障，例如感应系统、卡槽、出牌系统等部件坏掉，需要更换部件，这时候需要进行售后维修。

由于维护者们可能没有实体店铺，厂家会联络合资格的维修人员，由其进行售后维修。

2. 网络排查如果出现卡顿等网络通讯故障，可以通过先连接至机器，并打开ipconfig窗口查看ip是否接通正常。

若可以正常显示IP和其他信息，证明网络通讯健康，不能诊断的故障需要通过后期资料修正来解决。

结语麻将机的售后维护是一项细致的工作，要求使用者们要按时进行保养和维修，多花些心思和时间，以保障游戏的正常运行。

在维修过程中，保持冷静和耐心，寻找并解决问题。

最后，希望各位维护者能够认真负责，共同促进麻将机为玩家提供优质、高效的游戏体验。

三角形中最值问题常用解题技巧

三角形中最值问题常用解题技巧三角形是几何中非常常见的一种平面图形，它由三条相交的直线组成。

由于三角形的性质非常特殊，因此它也被广泛应用于各种领域，比如工程学、地理学、天文学等。

在学习三角形的时候，我们经常会遇到最值问题，比如：在一个三角形中，如何求出它的最大面积？或者是最小角度？这些最值问题是几何中常见的一类题目，解决它们需要我们掌握一些特定的解题技巧。

下面，我们就来介绍一些常用的三角形中最值问题解题技巧。

第一个解题技巧是使用勾股定理。

勾股定理是三角形中最基本的定理之一，它告诉我们，在一个直角三角形中，斜边的平方等于它的两个直角边的平方和。

这个定理可以帮助我们求出直角三角形的斜边长度，也可以帮助我们求出非直角三角形的斜边长度。

第二个解题技巧是使用三角形面积公式。

三角形面积公式是求出三角形面积的常用方法之一，它告诉我们，三角形的面积等于底乘继续：三角形的高。

三角形的高是一条连接三角形的一个顶点和底边的直线，且这条直线与底边垂直。

因此，我们只要求出三角形的底和高，就可以使用这个公式来计算出它的面积。

第三个解题技巧是使用余弦定理。

余弦定理是三角形中另一个非常重要的定理，它告诉我们，在一个三角形中，两边的乘积除以它们的夹角余弦值，等于第三边的长度的平方。

这个定理可以帮助我们求出三角形的某一边的长度，也可以帮助我们求出三角形的某一个角的度数。

第四个解题技巧是使用正弦定理。

正弦定理与余弦定理非常相似，它也是一个三角形中常用的定理。

正弦定理告诉我们，在一个三角形中，两边的乘积除以它们的夹角正弦值，等于第三边的长度的平方。

这个定理同样可以帮助我们求出三角形的某一边的长度，也可以帮助我们求出三角形的某一个角的度数。

总结起来，解决三角形中最值问题的常用技巧有：使用勾股定理、使用三角形面继续：使用正弦定理。

这些定理和公式都是三角形中非常常用的，如果你能熟练运用它们，就可以轻松解决许多三角形中最值问题。

举个例子，如果你想求出一个三角形的最大面积，你可以使用三角形面积公式，求出不同的高和底的组合，最后取最大值即可。

高考100题解三角形：专题6 三角形中的最值问题

【答案】 3
【解析】由 a 2 ，且 2 b(sin A sin B) (c b) sin C ，故 (a b)(sinA sinB) (c b) sinC ，又根据正弦
定理，得 (a b)(a b) (c b)c ，化简得， b2 c2 a2 bc ，故 cosA b2 c2 a2 1 ，所以 A 600 ， 2 bc 2
∵ 0 A ，∴ 0 sin A
2
，
4
2
因此 2 2(sin A 1 )2 9 9 ，由此可知 sin A sin C 的取值范围是 ( 2 , 9] .
2
4 88
28
【例 3 】【 2014 重庆高考理第 10 题】已知 ABC 的内角 A, B, C 满足 sin 2 A sin( A B C)
【方法总结】对于三角形中边的代数式的最值问题，若是三角形中最大（小）边长问题，先根据角判定三边的
大小关系，再用正弦定理或余弦定理求解；若是关于两边以上的齐次代数式，若能求得两边的和或积为常数，
可以利用基本不等式求最值，也可以利用正弦定理化为对应角的三角函数式的最值，常用题中条件和三角形内
角和定理化为一个角的三角式函数最值问题，再利用三角公式化为一个角的三角函数在某个范围上的最值问题，
IV．题型攻略·深度挖掘
【考试方向】
这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题或解答题的形式出现，一般中档题，考查综合运用正余弦定理
及相关知识与方法解综合问题的能力.
【技能方法】
1.与平面向量结合的三角形问题，常利用平面向量的知识将向量条件或问题化为三角形的边角条件或问题，再
利用正余弦定理化为纯边或纯角条件或问题求解，如在 ABC 中，由

三角函数的最值习题精选精讲

三角函数的值域或最值常见的三角函数最值的基本类型有：（1）y=asinx+b （或y=acosx+b ）型，利用()1cos 1sin ≤≤x x 或，即可求解，此时必须注意字母a 的符号对最值的影响。

（2）y=asinx+bcosx 型，引入辅助角ϕ ，化为y=22b a +sin （x+ϕ）,利用函数()1sin ≤+ϕx 即可求解。

Y=asin 2x+bsinxcosx+mcos 2x+n 型亦可以化为此类。

（3）y=asin 2x+bsinx+c （或y=acos 2x+bcosx+c ），型，可令t=sinx （t=cosx ）,-1≤t ≤1,化归为闭区间上二次函数的最值问题。

（4）Y=d x c b x a ++sin sin （或y=dx bx a ++cos cos ）型，解出sinx （或cosx ）,利用()1cos 1sin ≤≤x x 或去解；或用分离常数的方法去解决。

（5）y=d x c b x a ++cos sin （y=dx c bx a ++sin cos ）型，可化归为sin （x+ϕ）g （y ）去处理；或用万能公式换元后用判别式去处理；当a=c 时，还可利用数形结合的方法去处理上。

（6）对于含有sinx±cosx,sinxcosx 的函数的最值问题，常用的方法是令sinx±cosx=t,2≤t ,将sinxcosx 转化为t 的函数关系式，从而化为二次函数的最值问题。

一、利用三角函数的有界性．求解这类问题，首先利用有关三角函数公式化为sin()y A x k ωϕ=++的形式．在化简过程中常常用到公式：22sin cos sin(),tan ,ba xb x x aab ϕϕϕ+=++=其中由及点(a,b)的位置确定. 例1 、(2000年高考)已知：2123sin cos 12sin y x x x x R =+⋅+∈，，求y 的最大值及此时x 的集合．解：∵2123sin cos 12sin y x x x =+⋅+1cos 2315sin 21sin(2)44264x x x π+=++=++，∴当sin(2)16x π+=时，max 157244y=+= ．此时，2262x k πππ+=+，即6x k ππ=+．所以y 的最大值为74，此时x 的集合为{|}6x x k k Z ππ=+∈，．例2、求函数1cos 3cos xy x-=+的值域．解： 1cos 3cos x y x -=+⇒(1)cos 2y x +=-⇒2cos 1x y=-+，由|cos |1x ≤得2||11y -≤+， |1|2y +≥即，解得31y y ≤-≥或，所以函数1cos 3cos xy x-=+的值域是3][1-∞-∞ （，，+）二、利用二次函数最值性质求解这类问题，首先利用有关三角函数公式化为2sin sin y x b x c a =++的形式．例3、求函数278cos 2[,]63sin y x x x ππ=--∈-，的值域．解：278c o s 2s i n y x x =--＝278cos 2(1)cos x x ---＝223,(cos 2)x --∵[,]63x ππ∈-，∴1cos [1]2x ∈，，∴3[1]2y ∈-，．例4、（90年高考）求函数sin cos sin cos y x x x x =++的最小值．解：设sin cos x x t +=，[22]t ∈-，，则21sin cos 2x x t -=，所以()y f t =＝211,2(1)t ⋅-+([2,2])t ∈-，当1[22]t =-∈-，时，y 有最小值1-．三、利用均值不等式*利用均值不等式求三角函数时，一定要注意均值不等式中的使用条件：一正、二定、三相等．例6、当0x π<<时，求sin 2cos xy x=+的最大值．解：设2223tan 0,(0),,23233x t t t x y t t π=><<=≤=⋅+则（当且仅当tan 32xt ==时取等号）。

三角函数最值问题的十种常见解法.doc

三角函数最值问题的十种常见解法.doc三角函数最值问题的十种常见解法三角函数是重要的数学运算工具，三角函数最值问题是三角函数中的基本内容，对三角函数的恒等变形能力及综合应用要求较高.解决三角函数最值这类问题的基本途径，一方血应充分利用三角函数自身的特殊性（如有界性等），另一方血还要注意将求解三角函数最值问题转化为求一些我们所熟知的函数（二次函数等）最值问题?下面介绍几种常见的求三角函数最值的方法：一.转化一次函数在三角函数中，正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征一一有界性，利用正弦函数与余弦函数的有界性是求解三角函数最值的最基本方法.例1.求函数j = 2cosx-l的值域[分析]此为y = acosx + h型的三角函数求最值问题，设r = cosx,由三角函数的有界性得re [-1,1],则y = 2^-16 [-3,1]二.转化y = Asin（ex + 0） + b（辅助角法）观察三角函数名和角，先化简，使三角函数的名和角统一.例2. （2017年全国II卷）求函数/（x） = 2cosx + sinx的最大值为______________ .[分析]此为y二dsinx + bcos兀型的三角函数求最值问题，通过引入辅助角公式把三角函数化为y = 4sin（Qx + 0）+ B的形式，再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征.一般可利用\asinx + bcosx\< yja2+b2求最值./（X）< J2? + 1 = yf5 ?三.转化二次函数（配方法）若函数表达式中只含有正弦函数或余弦函数，且它们次数是2时，一般就需要通过配方或换元将给定的函数化归为二次函数的最值问题来处理.例3.求函数y = -sin2 x-3cosx + 3的最小值.[分析闲用 sin 2 x + cos 2 x = 1 将原函数转化为 y = cos 2 x-3cosx + 2 ,令t = cosx,（ 3 V i则—1 = 3（ + 2,配方，得）,=t ————，V -1<=""cosx=l 时,y min = 0四. 引入参数转化（换元法）对于表达式屮同时含有sinx+cosx ,与sinxcosx 的函数，运用关系式（sin x ± cos %）2 = 1 ± 2 sin x cos %,—般都可釆用换元法转化为t 的二次函数去求最值，但必须要注意换元后新变量的取值范围.例4.求函数y = sinx + cosx + sinx.cosx 的最大值.[分析]解：令(sinx + cosx)2 =l + 2sinxcosx ,设 / = sinx + cosx.则其屮 / w [— V2,V2]五. 利用基本不等式法利用基本不等式求函数的最值，要合理的拆添项，凑常数，同吋要注意等号成立的条件,否则会陷入误区.例5.已知兀丘（0,龙），求函数y = sinx + —!—的最小值. 2 sin % ［分析］此题为sin% +旦型三角函数求最值问题，当sinx>（）,a>l,不能用均值不等式求最sinx 值，适合用函数在区间内的单调性来求解.设sinx = （0< Z 51）,y = Z + — n 2^t.— = V2，当且仅当 t —时等号成立. 六. 利用函数在区间内的单调性2 例6.已知XG （0,^）,求函Sy = sinx + ———的最小值. sinx当 t = V2,sin x + —I 4丿sin A : cos x = [-Q 同,.??y =存［分析］此题为sinx + ——型三角函数求最值问题，当sinx>(),a>l,不能用均值不等式求最 sinx 值，适合用函数在区间内的单调性来求解.设 sin 兀二 f,(0 v f 5 l),y 二 f + -，在(0, 1)上为减函数，当匸1 时，y min = 3.七. 转化部分分式例7.求函数〉」心+ 1的值域 2cosx-ln CQQ r 4-［分析］此为型的三角函数求最值问题，分子、分母的三角函数同名、 ccosx-d同角，这类三角函数一般先化为部分分式，再利用三角函数的有界性去解.或者也可先用反八.数形结合由于sin 2 x + cos 2 x = 1 ,所以从图形考虑，点(cosx,sinx)在单位圆上，这样对一类既含有正弦函数，又含有余弦函数的三角函数的最值问题可考虑用几何方法求得. ■例& 求函数兀(0<兀<龙)的最小值.2 一 cos x0 — ein Y［分析］法一：将表达式改写成丿= ---------- ,y 可看成连接两点A(2,0)与点(cosx,sinx) 2-cosx的直线的斜率.由于点(cosx,sinx)的轨迹是单位圆的上半圆(如图)，所以求y 的最小值就是在这个半圆上求一点，使得相应的直线斜率最小.设过点A 的切线与半圆相切与点B,则k AB <y<0.< p="">￡7 所以y 的最小值为-+ (此时法二：该题也可利用关系式asinx+bcosx= -Ja 2 +/?2 sin(x + (即引入辅助角法)和有解法，再用三角函数的有界性去解.9解法一：原函数变形为歹=1+——=—, 2cosx-l/ |cosx| < 1 ,可直接得到：y>3^y<^.解法一：原函数变形为cosx-(2(y-1) V COSX < 1,/. / \ 2（y-1）< 1,/. y >3i^y < —. 可求得仏BRan 竺」 6 3界性来求解.九.判别式法亠弋皿 tan 2 x-tanx + l s _例9. 求函数y = ------- ----------- 白、J 取值. tan" x +tanx + 1 ［分析］同一变量分子、分母最高次数齐次，常用判别式法和常数分离法.tan 2 x-tanx+1 y =——； ------------ tan~x + tanx + l解：/.(y-l)tan 2 兀+ (y + l)tanx + (y-l) = Oy = l,tanx = O,x = k;r(kw 龙)J 工1吋此吋一元二次方程总有实数解 /. A = (y +1)2 - 4(y -1)2 > 0,/.(3y - l)(y -3)< 0 /. — < y < 3. 3由 y=3, tanx=-l, x = k/r+ e z), y max = 3. 1 . . 7t 1由 y = -,tanx = l,/.x = ^ + -,y 「nin = §? 十.分类讨论法含参数的三角函数的值域问题，需要对参数进行讨论.a j ( 兀、例10 ?设f(x) = — cos ?无+ dsin x ---------------------------------------------- 0W 42 2, (1) 当 ^>1,即 d?2,g(/)在［0, 1］上递增，M@)=g(l) =手—I 2丿解：f(x) = -sin 2 x + asinx- —+ 丄.令 sinx=t,则 0 < Z < 1, 八4 2g(J = / W = -z 2 +〃_# + * =a 2 a 1H---------- 1 - 4 4 2当05 — 51,即05d52时，g(f)在［0 ,1］上先增后减，(3) 当-<0,即 a50,g(J 在［0, 1］上递减，M (a)=g (0)=丄—2 22 4* 3d 1 ”------ ,ci n 2 4 2a 2 a 1八，八--------- 1— 4 4 2Id c2 4 以上几种方法中又以配方法和辅助角法及利用三角函数的有界性解题最为常见?解决这类问题最关键的在于对三角函数的灵活应用及抓住题日关键和本质所在.挑战自我：1. 求函数y=5sinx+cos2x 的最值2. 已知函数y 二二cos? x +=-sinrcosx + l(xw/?)当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合.3.已知函数/(x) = 2sin x(sinx + cos x),求函数f(x)的最小正周期和最大值.参考答案：1 ?［分析］:观察三角函数名和角，其中一个为正眩，一个为余眩，角分别是单角和倍角，所以先化简，使三角函数的名和角达到统一.2?［分析］此类问题为y = asin ，x + /?sinx-cosx + ccos 2 x 的三角函数求最值问题，它可通M@)=g ［彳a 2 a 1 T~4 + 2, 5) sinx-- 4丿 v -1 < sinx < 1,?°? sinx = -l,x = Zk7V~ — 9ke z, y m ［n = -2x 2 . ［ "冗 i 1 33 . sinx = 1 x - 2K 7T H ——e z, v m .1Y = -2x ------- 1 --- = 4 2 16 8>' =5 sin x + (1 - 2 sin 2 x) = -2 sin 2 x + 5 sin x +1 = -2 si 33H --- 833 乙 + ——=-6 16 8过降次化简整理为y = asinx + bcosx 型求解.1 + cos 2x V3 sin 2x t 1 o V3 . 5 ----------- + --------------- +1 = — coszxH ----- s in 2x + —2 2 2 4 4 4f(x)的最小正周期为龙，最大值为1 + V2.3?［分析］在本题的函数表达式中，既含有正弦函数，又有余弦函数，并且含有它们的二次式，故需设法通过降次化二次为一次式，再化为只含有正弦函数或余弦函数的表达式.x + 2sinxcosx = 1-cos2x + sin 2x = l + 42sm 2x ---------- I 4 ——cos 2x + — sin 2x 2 2 1 —sin 2 「2兀+耳+二2兀+三 4, ?二壬 + 2航, x 二? + k 兀(k w z), y max o 2 o 解: /(x) = 2sin 2 </y<0.<>。

【高考数学大题精做】专题06 三角形中的最值问题(第一篇)(含答案详解)

1 / 26第一篇三角函数与解三角形专题06 三角形中的最值问题【典例1】【湖南省益阳市、湘潭市2020届高三9月调研考试】已知锐角三角形ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos cos a b Bc C-=（1）求角C 的大小．（2）求函数sin sin y A B =+的值域．【思路引导】（1）由2cos cos a b Bc C-=利用正弦定理得2sin cos sin cos sin cos A C B C C B -=，根据两角和的正弦公式及诱导公式可得1cos 2C =，可求出C 的值；（2）对函数的关系式进行恒等变换，利用两角和与差的正弦公式及辅助角公式把函数的关系式变形成同一个角正弦型函数，进一步利用定义域求出函数的值域.【典例2】【2020届海南省高三第二次联合考试】2 / 26在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且22cos a c b C -=. (1)求sin 2A C B +⎛⎫+⎪⎝⎭的值； (2)若b =c a -的取值范围.【思路引导】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式可整理求得cos B ，进而求得B 和A C +，代入求得结果；（2）利用正弦定理可将c a -表示为2sin 2sin C A -，利用两角和差正弦公式、辅助角公式将其整理为2sin 3C π⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据正弦型函数值域的求解方法，结合C 的范围可求得结果.【典例3】【山西省平遥中学2020届高三上学期11月质检】3 / 26已知△ABC 的内角A ，B ，C 满足sin sin sin sin sin sin sin sin A B C BC A B C-+=+-．（1）求角A ；（2）若△ABC 的外接圆半径为1，求△ABC 的面积S 的最大值．【思路引导】（1）利用正弦定理将角化为边可得222a b c bc =+-，再由余弦定理即可得A ；（2）由正弦定理2aR sinA=，可得a ，由基本不等式利用余弦定理可得222b c bc bc bc bc +-≥-=，从而由12S bscinA =可得解.【典例4】【2020届河北省保定市高三上学期期末】4 / 26已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，设(sin ,1cos )m B B =-u r ，(2,0)n =r. （1）若23B π=，求m u r 与n r 的夹角θ；（2）若||1,m b ==r，求ABC ∆周长的最大值.【思路引导】（1）将23B π=代入可求得m u r .根据平面向量数量积的坐标运算求得m n ⋅u r r ,由数量积的定义即可求得cos θ,进而得夹角θ.（2）根据||1m =r 及向量模的坐标表示,可求得B .再由余弦定理可得22()4a cb +=.结合基本不等式即可求得a c +的最大值,即可求得周长的最大值;或由正弦定理,用角表示出a c +,结合辅助角公式及角的取值范围,即可求得a c +的取值范围,进而求得周长的最大值.【典例5】【2020届吉林省长春市东北师大附中等六校高三联合模拟】5 / 26如图，在矩形ABCD 中，1AB =，BC =，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，3FAE π∠=，06EAB πθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭..（1）求AE ，AF （用θ表示）；（2）求EAF ∆的面积S 的最小值. 【思路引导】（1）根据1AB =，BC =，分别在Rt ABE ∆和Rt ADF ∆中，利用锐角三角函数的定义求出AE 和AF即可；（2）由条件知13sin 232sin 23S AE AF ππθ=⋅⋅=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，然后根据θ的范围，利用正弦函数的图象和性质求出S 的最小值.【典例6】【2020届重庆市康德卷高考模拟调研卷理科数学（一)】6 / 26已知ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()sin ()(sin sin )a c C a b A B -=+-. （1）求B ；（2）设b =ABC V 的面积为S ，求2sin 2S C -的最大值.【思路引导】（1）用正弦定理化角为边后，再用余弦定理可求得角B ；（2）用正弦定理把边用角表示，即2sin a A =，2sin c C =，这样2sin 2sin sin 2S C ac B C-=-2sin 2sin sin 22A C C =⋅⋅-，又sin sin()sin()3A B C C π=+=+，2sin 2S C -就表示为C 的三角函数，由三角函数恒等变换化为一个角的一个三角函数形式，结合正弦函数性质可得最大值．【典例7】【福建省宁德市2019-2020学年高三上学期第一次质量检查（期末)】7 / 26ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，ccos c C -=⋅，c =（1）求A ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，D 为BC 中点，求AD 的取值范围．【思路引导】（1cos c C -⋅中的边化成角得到cos A =A 的值；（2）由（1）知4A π=，可得C 的范围，再将b 表示成关于tan C 的函数，从而求得b 的取值范围.8 / 261. 【陕西省2019年高三第三次教学质量检测】在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且()()3a b c a b c ab +++-=. （1）求角C 的值；（2）若2c =，且ABC ∆为锐角三角形，求+a b 的取值范围.2. 【辽宁省葫芦岛市六校协作体2019-2020学年高三上学期11月月考】,,a b c 分别为ABC V 的内角,,A B C 的对边.已知()sin 4sin 8sin a A B A +=.（1）若1,6b A π==，求sin B ；（2）已知3C π=，当ABC V 的面积取得最大值时，求ABC V 的周长.3. 【2019年云南省师范大学附属中学高三上学期第一次月考】在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）求角B 的大小；（2）若D 为AC 的中点，且1BD =，求ABC S ∆的最大值. 4. 【2020届湖南省常德市高三上学期期末】ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos cos 2cos +=ac B b C A.（1）求A ；（2）若a =b c +的最大值.5. 【2020届江西省吉安市高三上学期期末】在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知向量(2cos ,)m C b =-r ，(1,cos cos )n a C c A =+r，且//m n r r.（1）求角C 的大小；（2）若c =ABC ∆的周长的取值范围.6. 【2020届重庆市康德卷高考模拟调研卷理科数学（二)】如图，在四边形ABCD 中，A为锐角，2cos sin()6A A C C π⎛⎫+=-⎪⎝⎭.9 / 26（1）求A C +；（2）设ABD △、CBD V 的外接圆半径分别为1,r 2r ，若1211mr r DB+≤恒成立，求实数m 的最小值. 7. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知2(tan A ＋tan B)＝tan tan cos cos A BB A+. (1)证明：a ＋b ＝2c ； (2)求cos C 的最小值．8. 【重庆市西南大学附属中学校2019届高三上学期第三次月考】在ABC △中，内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知1cos 2b a Cc =+． (1)求角A ；(2)若·3AB AC =u u u r u u u u r ，求a 的最小值．9. 【吉林省吉林市普通中学2019-2020学年度高三第二次调研测】已知ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2A π≠，且满足()sin 220cos 0bc A B C ++=.（1）求ABC ∆的面积S ；（2）若24a S =，求c bb c+的最大值. 10. 【湖南省长沙市浏阳市第一中学2019-2020学年高三上学期第六次月考】已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且tan (sin 2cos )cos 2222A C A C a b a +=．（1）求角B 的值；（2）若△ABC的面积为D 为边AC 的中点，求线段BD 长的最小值．11. ABC ∆中，60,2,B AB ABC ==∆o的面积为（1）求AC ；（2）若D 为BC 的中点，,E F 分别为边,AB AC 上的点（不包括端点），且120EDF ∠=o ，求DEF ∆面积的最小值.10 / 26第一篇三角函数与解三角形专题08 三角形与平面向量结合问题【典例1】【安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试】在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且有()2cos cos cos sin sin A A C B B C +-=（Ⅰ）求角A ；（Ⅰ）若ABC ∆的内切圆面积为π，当AB AC ⋅u u u v u u u v的值最小时，求ABC ∆的面积．【思路引导】（Ⅰ）利用两角和差余弦公式可将已知等式化简为2cos sin sin sin sin A B C C B =，从而求得1cos 2A =；结合()0,A π∈可求得结果；11 / 26（Ⅰ）根据内切圆面积可知内切圆半径为1，由内切圆特点及切线长相等的性质可得到b c a +-=入余弦定理中可得到b c +与bc 的关系，利用基本不等式可构造不等式求得12bc ≥，从而得到当b c =时，AB AC ⋅u u u v u u u v取得最小值，将12bc =代入三角形面积公式即可求得结果.解：（Ⅰ）()()()2cos cos cos cos cos cos A A C B A B C C B +-=-++-⎡⎤⎣⎦Q()cos cos cos sin sin cos cos sin sin 2cos sin sin A B C B C C B C B A B C =-+++= 2cos sin sin sin sin A B C C B ∴=(),0,B C π∈Q ，sin sin 0C B ∴≠ ，1cos 2A ∴=， ()0,A π∈Q ，3A π∴=。

初中三角形最值问题归纳总结

初中三角形最值问题归纳总结哎呀，今天咱们聊聊三角形的最值问题，嘿，这可不是简单的几何题哦。

三角形在初中数学里可真是个大明星。

它的形状、大小、角度，简直是个万花筒，千变万化，让人眼花缭乱。

说到三角形，咱们就得先来个引子，想象一下，三角形就像一位热情的朋友，永远带着它的三条边，三角形可是个爱社交的角色。

你看，它跟直线、圆形这些静态的图形可完全不一样，三角形总是让人觉得充满了生机。

什么是最值问题呢？别急，简单来说，就是让你找到在某些条件下三角形能达到的最大或最小值。

比如说，给你三条边的长度，问你能组成的三角形的面积最大是多少。

听起来有点复杂？别担心，咱们一步步来，慢慢讲。

咱们得了解一下三角形的面积公式。

嘿嘿，没错，就是那个大家都很熟悉的公式：面积等于底乘以高除以二。

可问题来了，底和高咋选呢？这可得看你是哪个角度切入这个问题。

比如说，你可以选择把其中一条边当作底边，然后找出对应的高来计算。

可这个高就像抓小鱼一样，费劲。

于是，这里就有了一个小窍门：如果你把三角形变成等边三角形，嘿嘿，往往能得到最大的面积！这就像吃西瓜，切得越均匀，越容易吃得爽。

再说说三角形的周长问题，哎哟，周长就像是三角形的腰围。

想要三角形的周长最大，听起来简单，其实得看你怎么组合这三条边。

三条边之间的关系就像朋友之间的互动，得有个平衡，才能让三角形稳稳当当。

如果你把一条边选得过长，嘿，那另一条边就得跟着变短，结果可能就不成三角形了，这就尴尬了。

讲到这里，很多同学可能会问，嘿，如何才能快速找到这些最值呢？有些基本的几何特性可以帮到你，比如说三角不等式。

这可是个了不得的定理，任何三角形的两边之和必须大于第三边。

就像是你跟朋友出门，俩人得一起吃个饭，不能只一个人吃，另一个人在旁边看，那可太不公平了。

还得提一下三角形的内角和，总是等于180度，别问我为什么，反正就是这样。

利用这个特性，我们可以推导出各种最值，比如说，当三角形的角度是60度时，它的面积就会最大，这就像是黄金比例的存在，简直美妙。

专题06 帮你解决与三角函数有关的最值问题(原卷版)

帮你解决与三角函数有关的最值（值域）问题最值问题是三角中考查频率最高的重点内容之一，是对三角函数概念、图像、性质以及对诱导公式、同角三角函数关系、三角恒等变换公式等内容的综合考查，也是函数内容的交汇点，常见有下面几种解题方法。

一、转化为函数()sin y A x k ωϕ=++的最值问题这种题型一般分两步，第一步，先用和差角公式、二倍角公式到降幂公式、诱导公式等，将函数解析式化为()sin y A x k ωϕ=++的形式，第二步，再求()sin y A x k ωϕ=++的最值，一般作法是由自变量x 的范围，求出x ωϕ+的范围，再根据正弦（或余弦）曲线求出()sin x ωϕ+（或()cos x ωϕ+）的范围，再由一次函数单调性求出函数值y 的范围。

例1.求函数sin y x x =+在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值。

变式．设函数f(x)＝2cos 2x ＋3sin2x ＋a(a 为实常数)在区间[0，π2]上的最小值为－4，那么α的值等于( ) A ．4 B ．－6 C ．－4 D ．－3二、转化为关于sin x 或cos x 的二次函数的最值问题除了第一种类型，还有一部分需要转化为关于sin x 或cos x 的二次函数的最值问题。

常用到同角函数关系式中的平方关系、二倍角公式等。

例2.已知4x π≤，求函数()2cos sin f x x x =+的最小值。

变式.函数)(2cos 21cos )(R x x x x f ∈-=的最大值等于三、换元法解与三角函数有关的最值问题当解析式中既有sin cos x x ±，又有sin cos x x 时，可考虑用换元法处理，把三角问题转化为一般的代数问题来解决。

例3.求函数()()sin cos y x a x a =++的最值(0a <≤。

变式求函数sin cos sin cos y x x x x =+-；3[,]44x ∈ππ的值域小试牛刀1．函数y ＝－cos 2x ＋3cosx ＋54，则( ) A ．最大值是1，最小值是54 B ．最大值是1，最小值是14－ 3C ．最大值是2，最小值是14－ 3D ．最大值是2，最小值是542．函数y ＝12sin2x ＋sin 2x 的值域是( ) A ．⎣⎡⎦⎤－12，32 B ．⎣⎡⎦⎤－32，12 C ．⎣⎡⎦⎤－22＋12，22＋12 D ．⎣⎡⎦⎤－22－12，22－12 3．已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图象的一条对称轴是x ＝5π3，则函数g (x )＝a sin x ＋cos x 的最大值是( ) A ．223 B ．233C ．43D ．2634．函数y ＝cos 2x ＋2sin x 的最大值为________．5．当函数y ＝sin x －3cos x (0≤x <2π)取得最大值时，x ＝______________.6.函数()2sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是，最小值是．7.已知函数2()(cos sin cos )f x a x x x b =++（1）当0a >时，求()f x 的单调递增区间；（2）当0a <且[0,]2x π∈时，()f x 的值域是[3,4],求,a b 的值。

三角形中的最值或范围问题

三角形中的最值或范围问题在解三角形时，往往会遇到求边、角、周长、面积等问题的最值或范围，我们只需综合运用正余弦定理、三角恒等变换、面积公式，结合基本不等式与三角函数等知识求解即可.一、角的范围或最值[解析]：因为2b ac =，又由余弦定理知2222221cos 2222a cb ac ac ac ac B ac ac ac +-+--==≥=，所以03B π<≤，又7sin cos )44412B B B B ππππ+=+<+<且,)4B π+∈,即sin cos B B +的取值范围是.[解析]:由BA BC ⋅=,得1cos sin 2ca B ac B =,即cos B B =, 又22cos sin 1B B +=,所以3cos 4B =． 221cos 21cos 2sin sin 22A C A C --+=+＝1cos[()()]2A C A C -++-＋1cos[()()]2A C A C -+--＝cos()cos()1A C A C +-+＝cos cos()1B A C -+＝3cos()14A C -+．因为0A B π<<-,0C B π<<-,所以B A C B ππ-<-<-, 所以当A C =时,max cos()1A C -=,当A C B π-=-或A C B π-=-时,min 3cos()cos 4A CB -=-=-,所以737cos()11644A C <-+≤, 即22sin sin A C +的取值范围是77(,]164．点评：求角的范围问题一般是转化为利用三角函数的范围来求.二、边的范围或最值【例2】:在锐角△ABC 中，A=2B ，则cb的取值范围是 .[解析]：由0222A B C A B πππ<=<<=--<且0,得64B ππ<<，所以2sin sin 3sin 2cos cos 2sin 4cos 1sin sin sin c C B B B B B B b B B B+====-，又23cos (,)22B ∈所以24cos 1(1,2)cB b=-∈. 【变式】:在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c,且BC 边上的高为a 63,则cb bc + 的最大值是( )A.8B. 6C.23D.4[解析]:由已知得，在△ABC 中,A bc a a sin 216321=⋅, 即A bc a sin 322=,又由余弦定理得A bc c b a cos 2222-+=，即222cos 2c b A bc a +=+，所以4)6sin(4cos 2sin 32cos 2sin 3222≤+=+=+=+=+πA A A bc A bc A bc bc c b c b b c . 故选D.点评：把边的问题转化为角的问题，化多元为一元，体现了解题的通性通法.下面这道高考题只需运用正弦定理即可，能想到方法就很简单，想不到就太难了，不愧是高考题！【好题欣赏】：（2015·新课标I ）在平面四边形ABCD 中，75A B C ∠=∠=∠=，2BC =，则AB 的取值范围是 .[解析]: 如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合于E 点时，AB 最长，在BCE ∆中，75B C ∠=∠=，30E ∠=，2BC =，由正弦定理可得o osin 30sin 75BC BE=，解得BE =6+2；平移AD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时在BCF ∆中，75B BFC ∠=∠=，30FCB ∠=，由正弦定理知o osin 30sin 75BF BC=，解得62BF =-，所以AB 的取值范围为(62,6+2)-.三、周长的范围或最值【例3】: 已知a,b,c 分别为△ABC 三个内角A,B,C 的对边,cos 3sin 0a C a C b c +--=. (1)求A 的大小；(2)若a ＝7,求△ABC 的周长的取值范围．[解析]:(1)由已知及正弦定理得：C B C A C A sin sin sin sin 3cos sin +=+, 即C C A C A C A sin )sin(sin sin 3cos sin ++=-,化简得，1cos sin 3=-A A ，所以21)6sin(=-πA ，所以66ππ=-A ，解得3π=A ；(2)由已知：0b >,0c >,7b c a +>=,由余弦定理22222231492cos()3()()()344b c bc b c bc b c b c b c π=+-=+-≥+-+=+ 当且仅当b ＝c ＝7时等号成立,∴2()449b c +≤⨯,又∵b ＋c ＞7,∴7＜b ＋c ≤14, 从而△ABC 的周长的取值范围是(14,21]．【变式】: 在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，且cos cos 2cos a C c A b B +=. （1）求B 的大小.（2）若b=5，求△ABC 周长的取值范围.[解析]：（1）因为cos cos 2cos a C c A b B +=，由正弦定理得sin cos sin cos 2sin cos A C C A B B +=,所以sin()2sin cos A C B B +=，于是1cos ,23B B π==.（2）由正弦定理10sin sin sin 3a b c A B C ===，所以101010210sin 5sin 5sin()sin 510sin()363333a b c A C A A A ππ++=++=+-+=++又由02A π<<得2663A πππ<+<，所以510sin()(10,15]6a b c A π++=++∈.点评：例4是运用余弦定理结合基本不等式求周长的范围，而变式是运用正弦定理结合三角函数求周长的范围，各有千秋，好好体会.四、面积的范围与最值【例4】:在△ABC 中，22223a b c ab +=+，若△ABC 的外接圆半径为322，则△ABC 的面积的最大值为 .[解析]：由22223a b c ab +=+及余弦定理得2221cos 23a b c C ab +-==，所以22sin 3C =，又由于2sin 4c R C ==，所以2222cos c a b ab C =+-，即2221623ab a b ab +=+≥，所以12ab ≤，又由于12sin 4223S ab C ab ==≤，故当且仅当23a b ==时，ABC 的面积取最大值42.【变式】: 如图,在等腰直角三角形OPQ 中,∠POQ ＝90°,22=OP ,点M 在线段PQ 上． (1)若5OM =,求PM 的长；(2)若点N 在线段MQ 上,且∠MON ＝30°,问：当∠POM 取何值时, △OMN 的面积最小？并求出面积的最小值．[分析]:第(2)题求△OMN 的面积最小值,前面的要求也很明确：以∠POM 为自变量,因此,本题主要是如何将△OMN 的面积表示为∠POM 的函数关系式,进而利用函数最值求解.其中,利用正弦定理将OM 和ON 的长表示为∠POM 的函数是关键.[解析]:(1)在OMP ∆中,45OPM ∠=︒,OM =OP =, 由余弦定理得,2222cos 45OM OP MP OP MP =+-⨯⨯⨯︒, 得2430MP MP -+=, 解得1MP =或3MP =． (2)设POM α∠=,060α︒≤≤︒, 在OMP ∆中,由正弦定理,得sin sin OM OPOPM OMP=∠∠,所以()sin 45sin 45OP OM α︒=︒+, 同理()sin 45sin 75OP ON α︒=︒+故1sin 2OMNS OM ON MON ∆=⨯⨯⨯∠()()221sin 454sin 45sin 75OP αα︒=⨯︒+︒+ ()()1sin 45sin 4530αα=︒+︒++︒=⎣⎦====因为060α︒≤≤︒,30230150α︒≤+︒≤︒,所以当30α=︒时,()sin 230α+︒的最大值为1,此时OMN ∆的面积取到最小值．即30POM ∠=︒时,△OMN 的面积的最小值为8-点评：面积问题是边长与角问题的综合,在例5中，知道角的具体值，就考虑边的变化，利用余弦定理结合基本不等式来求,而在变式中，不知道角的具体值，就考虑角的变化,利用三角函数范围求解.巩固训练：[解析]:设,,AB c AC b BC a ===,由余弦定理的推论222cos 2a c b B ac+-=,所以2223a c ac b +-==, 因为由正弦定理得2233sin sin sin ====BbC c A a ,所以C c sin 2=，A a sin 2=, 所以)sin 2(sin 2sin 22sin 22A C A R C R a c +=⨯+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=)32sin(2sin 2C C π ()α+=+=C C C sin 72)cos 3sin 2(272≤,（其中23tan =α），另解：本题也可以用换元法设2c a m +=,代入上式得227530a am m -+-=,因为28430m =-≥,故m ≤当m =,此时a c ==符合题意,因此最大值为．[解析]:（1）由余弦定理知：2221cos 22b c a A bc +-==,∴3A π∠=； (2)由正弦定理得：2sin sin sin b c aB C A====,∴2sin b B =,2sin c C =, ∴22224(sin sin )b c B C +=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-+-=B B C B 322cos 22cos 24)2cos 12cos 1(2π⎪⎭⎫⎝⎛---=B B 234cos 22cos 24π)62sin(242sin 32cos 4π-+=+-=B B B ,又∵203B π<<0,∴72666B πππ-<-<,∴12sin(2)26B π-<-≤, ∴2236b c <+≤．3.己知在锐角三角形中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且222tan abC a b c =+-,(1)求角C 大小；(2)当c=1时,求ab 的取值范围.[解析]：(1)由已知及余弦定理,得sin 1,sin ,cos 2cos 2C ab C C ab C ==因为C 为锐角,所以 30=C , (2)由正弦定理,得121sin sin sin 2a b c A B C ====, 2sin ,2sin 2sin(30).a A b B A ∴===+︒4sin sin 4sin sin()6ab A B A A π==+2314sin (sin cos )23sin 2sin cos 22A A A A A A =+=+3sin 23cos2A A =+-32sin(2)3A π=+- 由090,015090A A ︒<<︒⎧⎨︒<︒-<︒⎩得6090.A ︒<<︒60260120,A ∴︒<-︒<︒3sin(2)123A π<-≤ 2332ab ∴<≤+.4.在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c,且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++．（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若a=2,求△ABC 周长的取值范围．[解析]:（1）由正弦定理sin sin sin a b cA B C==可将2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++变形为22(2)(2)a b c b c b c =+++, 整理可得222a b c bc =++,222b c a bc ∴+-=-,2221cos 222b c a bc A bc bc +--∴===-,0180A <<,∴120A =;(2) 由正弦定理得334sin sin ==C c B b ， ∴[])60sin(sin 334)sin (sin 334B B C B c b -+=+=+ )sin 60cos cos 60sin (sin 334B B B -+= )60sin(334cos 23sin 21334+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=B B B ，∵ 120=A ，∴() 60,0∈B ，∴() 120,6060∈+B ,∴⎥⎦⎤ ⎝⎛∈+1,23)60sin( B ,∴⎥⎦⎤ ⎝⎛∈+334,2)60sin(334B ，即⎥⎦⎤ ⎝⎛∈+334,2c b ， ∴周长⎥⎦⎤⎝⎛+∈++3342,4c b a[解析]：由2a =且 (2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，即()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，由及正弦定理得：()()()a b a b c b c +-=-，∴222b c a bc +-=，故2221cos 22b c a A bc +-==，∴060A ∠=， ∴224b c bc +-=，224b c bc bc =+-≥，∴1sin 2ABC S bc A ∆=≤故答案为3.6. 在一个六角形体育馆的一角MAN 内,用长为a 的围栏设置一个运动器材存储区域（如图所示）,已知0120A ∠=,B 是墙角线AM 上的一点,C 是墙角线AN 上的一点．（1）若BC=a=20,求存储区域面积的最大值；（2）若AB+AC=10,在折线MBCN 内选一点D,使BD+DC=20,求四边形存储区域DBAC 的最大面积．[解析]:（1）设AB x =,AC y =,0,0x y >>．由22200202cos12022cos120x y xy xy xy =+-≥-,得22020202022cos1204sin 60xy ≤=-, ∴22020002000112020cos 60201003sin1202sin 60cos 60224sin 604sin 604tan 60S xy =≤⨯⨯===即四边形DBAC 面积的最大值为10033,当且仅当x y =时取到．（2）由20=+DC DB ,知点D 在以B,C 为焦点的椭圆上，∵32523101021=⨯⨯⨯=∆ABC S , ∴要使四边形DBAC 面积最大，只需△DBC 的面积最大，此时点D 到BC 的距离最大，即D 为椭圆短轴顶点，由310=BC ,得短半轴长5=b ，()325531021max =⨯⨯=∆BCD S ，因此，四边形ACDB 的面积的最大值为350.7.已知3()3f x x x m =-+,在区间[0,2]上任取三个数a,b,c,均存在以()()(),,f a f b f c 为边长的三角形,则m 的取值范围是（）出函数在区间[0,2]上的最小值与最大值，从而可得不等式，即可求解.[解析]：由0)1)(1(333)('2=-+=-=x x x x f 得到1,121-==x x （舍去）， ∵函数的定义域为[0,2]，∴函数在（0，1）上0)('<x f ，在（1，2）上0)('>x f ， ∴函数)(x f 在区间（0，1）单调递减，在区间（1，2）单调递增，则,)0(,2)2()(,2)1()(max min m f m f x f m f x f =+==-== 由题意知，02)1(>-=m f ①；)2()1()1(f f f >+，即m m +>+-224②；由①②得6>m 为所求，故选B.。

三角函数最值问题(典型题型)

三角函数最值问题求解三角函数最值问题不仅需要用到三角函数的定义域、值域、单调性、图象以及三角函数的恒等变形，还经常涉及到函数、不等式、方程以及几何计算等众多知识．这类问题往往概念性较强，具有一定的综合性和灵活性，下面结合例子给出几种求最值的方法，供大家学习时参考。

1、利用三角函数的单调性求最值例1：求函数x x x x x f 44sin cos sin 2cos )(-⋅-= ⎢⎣⎡⎥⎦⎤∈2,0πx 的最值解:x x x x x x x x f 2sin 2cos 2sin )sin )(cos sin (cos )(2222-=--+=)42cos(2π+=x 45424,20ππππ≤+≤∴≤≤x x ,由余弦函数的单调性及图像知：当442ππ=+x ，即0=x 时，)42cos(π+x 取最大值22；当ππ=+42x ，即83π=x 时，)42cos(π+x 取最小值-1；故2)(,1)(min max -==x f x f方法评析：本题虽然含有的三角函数的项的次数不尽相同，但最终能通过变形变为形如θθcos sin b a +的形式，再用辅助角公式)sin(cos sin 22ϕθθθ++=+b a b a 化为标准形式结合三角函数的单调性加以解决，这是一种最常见的求最值的方法。

2、利用三角函数的有界性或数形结合求最值例2：求1cos 2sin --=x x y 的最小值解：(方法一)由1cos 2sin --=x x y 得：y x y x -=-2cos sin ，y x y -=-+∴2)sin(12ϕ 即212)sin(y yx +-=-ϕ，故11212≤+-≤-y y ，解之得43≥y ，故y 的最小值为43 方法评析：通过变形，借助三角函数的有界性求函数最值是一种很常见的方法，一般在分式型且对自变量无特殊限制条件下使用。

(方法二)设),(),sin ,(cos 21M x x P ,则1cos 2sin --=x x y 表示单位圆上的动点P 与平面内定点M 连线的斜率，当斜率存在时，设过P 、M 两点的直线方程为)1(2-=-x k y ，由距离公式得1122=+-k k ，解之得43=k ，结合图形可知函数的最小值为43。

三角函数的最值(专题)

三角函数的最值（专题）一、知识要点1、配方法求最值主要是利用三角函数理论及三角函数的有界性，转化为二次函数在闭区间上的最值问题，如求函数2s i n s i n 1y x x =++的最值，可转化为求函数[]21,1,1y t t t =++∈-上的最值问题。

2、化为一个角的三角函数（利用辅助角公式），再利用有界性求最值：sin )a x bcox x ϕ+=+，其中tan ϕ=a b .3、sin sin a x b y c x d +=+（或cos cos a x b y c x d+=+）型，解出sin x （或cos x ）利用|sin |1x ≤（或|cos |1x ≤）去解；或用分离常数的方法去解决.4、数形结合形如：sin cos a x b y c x d +=+（或cos sin a x b y c x d+=+）型，可化归为sin()()x g y ϕ+=去处理；或用万能公式换元后用判别式法去处理；当a c =时，还可以利用数形结合的方法去处理.常用到直线斜率的几何意义，例如求函数sin 2x y cox =+的最大值和最小值。

函数sin 2x y cox =+的几何意义为两点(2,0),(cos ,sin )P Q x x -连线的斜率k ，5、换元法求最值对于表达式中同时含有sinx+cosx ，与sinxcosx 的函数，运用关系式(),cos sin 21cos sin 2x x x x ±=± 一般都可采用换元法转化为t 的二次函数去求最值，但必须要注意换元后新变量的取值范围。

*特别说明注意变换前后函数的等价性，正弦、余弦的有界性及函数定义域对最值确定的影响，含参数函数的最值，解题要注意参数的作用和影响。

二、题型剖析1、化为一个角的三角函数，再利用有界性求最值。

例1：求函数2sin cos 1y x x x =+-的最值，并求取得最值时的x 值。

三角函数中几何的最值问题

三角函数中几何的最值问题引言三角函数是数学中的重要概念，广泛应用于几何学中。

在解决几何问题时，我们常常会遇到三角函数的最值问题，即要找到某个三角函数的最大或最小值。

本文将介绍三角函数中几何的最值问题的一些基本概念和解题策略。

基本概念在三角函数中，最常见的三角函数包括正弦函数（sin）和余弦函数（cos）。

这些函数可以表示角度和三角形的关系。

对于给定的角度，正弦函数返回对应的三角形的对边与斜边的比值，余弦函数返回对应的三角形的邻边与斜边的比值。

最大值和最小值在解决三角函数的最值问题时，我们通常需要找到某个角度范围内的最大值或最小值。

这可以通过观察函数的图像或分析函数的性质来确定。

例如，正弦函数和余弦函数的取值范围都在-1到1之间，因此它们的最大值和最小值都在这个范围内。

解题策略要解决三角函数中几何的最值问题，可以采用以下简单的策略：1. 观察函数的图像：通过绘制函数的图像，可以直观地观察到函数的最值点，并确定最大值或最小值的位置。

2. 使用性质和公式：三角函数有许多重要的性质和公式，可以用来简化问题。

例如，利用正弦函数和余弦函数的周期性可以帮助我们找到最值点。

3. 列出方程求解：有时候，我们需要利用数学结论和方程求解来找到最值点。

例如，如果要求解正弦函数的最大值，可以列出导数为零的方程，并求解得到最值点。

结论三角函数中几何的最值问题是几何学和三角函数的重要应用之一。

通过观察函数的图像、使用性质和公式以及列出方程求解，我们可以解决这些问题，并找到最大值和最小值的位置。

在解题过程中，需要注意使用简单的策略，并避免复杂的法律问题的引入。

上述是三角函数中几何的最值问题的概述，希望对您有所帮助。

如需更多详细的信息和例题，请参考相关数学教材或咨询数学教师。

解三角形最值问题

解三角形最值问题大家好呀，今天咱们来聊聊“解三角形最值问题”。

听起来好像有点儿高深，实则并不复杂，只要咱们捋顺了思路，搞定它就像喝杯水那么简单。

三角形这东西，相信大家都不陌生。

生活中随处可见，房子的屋顶、桌子上的三角架、甚至你吃的三明治，都是三角形。

而今天，我们要做的，就是通过一些简单的数学技巧，来找到三角形中的某个“最值”。

要知道，解这种问题，咱们不能光靠背公式，得靠点儿“聪明脑袋”和点儿“运气”。

先说个简单的事儿，三角形最值问题，顾名思义，就是从一个三角形里找出一个“最值”，这个最值可以是最大面积，也可以是最小边长，甚至是最大的角度。

这时候大家可能会想，哎呀，这不就是让我们做个“最优选择”吗？对，没错，就是选出最“牛”的那个，不管是边长、角度还是面积，都可能是我们要找的目标。

只不过，在解这种最值问题时，咱们可得留心，不能只看表面，要从多个角度来分析。

举个例子，假设你有一个三角形的三个边长，想要计算它的最大面积。

别急，不要被题目吓到，关键就是如何利用三角形的性质。

面积公式里，可能就涉及到角度和边长的关系。

所以，如果你想让三角形的面积最大，那角度肯定得找得“合适”——角度太小，三角形就扁了，面积自然就小；角度太大，三角形就成了一个“尖嘴”形状，面积也未必能大到哪里去。

最理想的情况是，三角形的角度刚刚好，那就是“黄金角度”，让面积最大化。

所以说啊，解这种问题，就是要在合适的角度上找到平衡点。

再来说说，三角形的最值问题，不仅仅是看面积，边长也是重头戏。

比如，你已经知道三角形的两个边长，第三个边长是未知的，你就得通过一些巧妙的推理，找出第三边的“最值”。

这个过程里，我们要记住一条常识：三角形的两边之和要大于第三边，否则就不成三角形。

所以，在求解这种最值问题时，要避免那种“想当然”的错误，三角形的三边关系得满足一定的条件，才能顺利解出最值。

有些时候，三角形的最大角度也是我们关心的一个问题。

比如，在建筑设计中，我们可能需要计算一个斜屋顶的角度，如果角度太大，可能会影响结构的稳定性；角度太小，又可能导致水流不畅。

三角函数的最值问题(一)

A． 2
B. 0
C. 1 4
D. 6
[分析]本题可通过公式 sin 2 x 1 cos2 x 将函数表达式化为 y cos2 x 3cos x 2 ，因含有 cosx 的二次式，
4
可换元，令 cosx=t，则 1 t 1, y t 2 3t 2, 配方，得 y t 3 2 1 , 2 4
解：y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=(sin2x+cos2x)+sin2x+2cos2x=1+sin2x+1+cos2x
=2+ 2 sin(2x+ )
4

当 sin(2x+ )=-1 时，y 取最小值 2-
2 ，此时 x 的集合{x|x=kπ- 3 π, k∈Z}.
4
所以
2
f(x)的最小正周期 T=
=
。
2

5
（2）因为 0≤x≤ ，所以 ≤2x+ ≤ 。
2
4 44

2
当 2x+ = 时，cos（2x+ ）取得最大值
；
44
4
2
当 2x+ = 时，cos（2x+ ）取得最小值-1。
4
4
所以 f(x) 在〔0, 〕最大值为 1，最小值为- 2 。
倍（横坐标不变），得到函数
y

1 sin(2x
) 的图象；
2
2
6
④把得到的图象向上平移 5 个单位长度，得到函数 y 1 sin(2x ) + 5 的图象；
4

解三角形最值范围问题

解三角形最值范围问题嘿，朋友们！今天咱们来聊聊解三角形中的最值和范围问题，这就像是在三角形的奇妙世界里玩一场寻宝游戏，超级有趣呢！你看，三角形就像一个小小的王国，三条边和三个角就是这个王国里的居民。

当我们要找三角形的最值和范围时，就像是在这个王国里寻找最珍贵的宝藏或者探索居民们活动的边界。

比如说，正弦定理和余弦定理就是我们探险的重要工具。

正弦定理就像是一把神奇的钥匙，可以打开角度和边长关系的大门。

想象一下，你拿着这把钥匙在三角形的城堡里，左扭扭右扭扭，就把那些隐藏在角落里的边长与角的秘密给找出来了。

余弦定理呢，那简直就是一个超级放大镜。

它能把三角形的边和角之间那种微妙的关系放大得清清楚楚。

就好像你本来只能看到三角形这个小世界里模模糊糊的影子，余弦定理一来，“啪”的一下，所有细节都展现在眼前了。

有时候啊，我们遇到求三角形面积的最值。

这就好比是在这个三角形王国里找最大的一块土地。

你得小心翼翼地利用那些定理，像个精明的地主一样，把边和角摆弄来摆弄去，想办法让这块“土地”面积最大。

要是不小心弄错了，就像一个糊涂的农夫，把好好的地种得乱七八糟。

还有求角的范围的时候，那就像是在给三角形里的角们划地盘。

这些角啊，可调皮了，你得用那些定理和不等式把它们死死地限定在一个范围内，不然它们就像一群调皮的小猴子，到处乱窜，让你的答案变得乱七八糟。

在这个过程中，我们可能会遇到各种陷阱。

比如有些看似简单的条件，其实就像隐藏在草丛里的小怪兽，冷不丁就会把你绊倒。

你得仔细分辨，像个勇敢的骑士一样，把这些小怪兽一一打败。

而且啊，有时候你以为你已经找到了宝藏的准确位置，也就是求出了最值或者范围，结果一检查，发现自己掉进了一个大坑里，就像你满心欢喜以为挖到了金子，结果发现是个破铜烂铁。

这时候你就得重新审视自己的解题步骤，看看是哪个调皮的定理被你用错了。

解三角形的最值和范围问题虽然有点像走迷宫，但只要我们掌握好那些神奇的定理工具，小心那些隐藏的陷阱，就能在这个三角形的奇妙世界里顺利地找到宝藏，成功完成这场有趣的冒险啦！怎么样，是不是感觉没那么可怕了呢？。

高中数学：三角函数的最值问题

高中数学：三角函数的最值问题三角函数的最值问题是三角函数中的基本内容，它对三角函数的恒等变形能力及综合应用能力要求较高．同求解其他函数最值一样，解决这一类问题的基本途径，一方面应充分利用三角函数自身的特殊性（如有界性），另一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为我们所熟知的函数（如二次函数）的最值问题．下面通过几道高考题，对三角函数的最值问题作一归纳总结．一、转化为的形式形如的函数可以利用辅助角公式转化成的形式，再利用正、余弦函数的有界性求得最值，不是这种类型的可通过三角恒等变换变形为这种类型．例1、设函数（其中，），且的图象在轴右侧的第一个最高点的横坐标是．（1）求的值；（2）如果在区间上的最小值为，求的值；解：（1）．依题意，得，；（2）由（1）知．又当时，，故，从而在区间上的最小值，故．注意：（1）当自变量有范围限制时，与的范围也要相应地因受限制而缩小．（2）要熟悉下列公式：，，，，等等．另外，把求三角函数最值问题与向量结合起来，即在已知条件中不直接给出三角函数，而是给出几个向量，通过这几个向量的运算构造一个三角函数，再将这个三角函数转化为的类型．例2、已知向量，，．（1）若，求；（2）求的最大值．解：（1）∵，∴，即，．又，则．（2）由，，得，当时，取得最大值，即当时，取得最大值为．二、转化为二次函数的形式这类问题可通过换元法，将三角函数的最值问题转化为二次函数的最值问题：例3、已知的三个内角，求当满足何值时取得最大值，并求出这个最大值．解：．∵，∴，∴令，则，原式可化为．当，即，时，原式取得最大值．求三角函数的最值，除了上面介绍的方法外，还有均值不等式法、单调性法、数形结合法等等．▍▍ ▍▍。

高中数学解题方法系列：三角函数最值问题的6种方法(按题型分类版)

高中数学解题方法系列：三角函数最值问题的 6 种方法（按题型分类版）三角函数的最值问题是三角函数基础知识的综合应用，近几年的高考题中经常出现。

其出现的形式，或者是在小题中单纯地考察三角函数的值域问题；或者是隐含在解答题中，作为解决解答题所用的知识点之一；或者在解决某一问题时，应用三角函数有界性会使问题更易于解决（比如参数方程）。

题目给出的三角关系式往往比较复杂，进行化简后，再进行归纳，主要有以下几种类型。

掌握这几种类型后，几乎所有的三角函数最值问题都可以解决。

1．y=asinx+bcosx 型的函数特点是含有正余弦函数，并且是一次式。

解决此类问题的指导思想是把正、余弦函数转化为只有一种三角函数。

应用课本中现成的公式即可： y= tan φ= basin(x+φ )，其中例 1 已知函数 f (x )=2cos x sin(x + π)－3 sin 2x +sin x cos x (1)求函数 f (x )的最小正周期； (2)求 f (x )的最小值及取得最小值时相应的 x 的值； (3)若当 x ∈［ π ， 7π］时，f (x )的反函数为 f －1(x )，求 f -－1(1)的值.12 12解：(1)f (x )=2cos x sin(x + π)－ 3=2cos x (sin x cos π+cos x sin π)－sin 2x +sin x cos x sin 2x +sin x cos x 3 3=2sin x cos x + cos2x =2sin(2x + π)3∴f (x )的最小正周期 T =π (2)当 2x + π=2k π－ π，即 x =k π－ 5π (k ∈Z )时，f (x )取得最小值－2.3 2 12 (3)令 2sin(2x + π)=1，又 x ∈［ π, 7π］,3 2 2 ∴2x + π∈［ π, 3π］,∴2x + π= 5π，则3 3 2 3 6x = π，故 f -－1(1)= π.4 42．y=asin 2x+bsinxcosx+cos 2x 型的函数。