西南交通大学《大学物理》安培环路定律 磁力 磁介质

L2
�
mv 2 ) （洛仑兹力为 qB
选B
om
(b)
L1
I1⊙⊙ I2 P 1 I1⊙⊙ I2 L2
P 2⊙ I3
�
选C
选B
4．如图所示，在磁感应强度为 B 的均匀磁场中，有一圆形载流 导线，a、b、c 是其上三个长度相等的电流元，则它们所受安培 力大小的关系为： [ ] (A) Fa > Fb > Fc (C) Fb > Fc > Fa (B) Fa < Fb < Fc
ww w. z
µ0 I ，R 增大， B0 减小。 2R µ 0 IR 2 (2) 圆线圈轴线上： B = 3 2( R 2 + x 2 ) 2
dB µ 0 I 2 R ( R 2 + x 2 ) 2 − 3R 3 ( R 2 + x 2 ) = ⋅ dR 2 (R 2 + x2 )3 µ I 2Rx 2 − R 3 = 0 ⋅ 2 (R 2 + x2 ) 5 2 2 Rx 2 − R 3 = 0 ∴x=
�
∫
L
� � B ⋅ dl = µ0 ∑ I 可得：
导线 1 和导线 2 在 P 点产生的磁感应强度大小分别为：
方向如图所示。由二者叠加，可得：
ww w. z
[ sin 3 x d x = − cos x +
∫
解：(1) 设金属球壳面电荷密度为σ ，则球面角宽度为 dθ 的一个 带状面元（阴影）上的电荷
�
�
� � � f = qv × B 知其运动轨道所围的面积为圆面积 S = π R
= π(
2 2 � � 圆运动向心力） ，磁通量 B ⋅ d S = BS = Bπ ( mv ) 2 = π m v ∫ 2
S
qB
q B
.c
�
� � ∫ B ⋅ d l , B P1 ≠ B P2 (D)
L1
� � ∫ B ⋅d l ≠
ww w. z
解：均匀载流无限大平板附近磁场方向垂直半圆形刚性线圈向里，载流为 I 半径为 R 的
hi
�
na
� �
nc
1 π + nπ 2
1 2 π 1 πR I × B sin = πR 2 IB 2 2 2 � � 由右手螺旋定则知方向为在图面中向上（ p m 方向垂直图面向上， B 方向向右） 1 磁力矩恰为零，则 M = πR 2 I × B sin α = 0 2
na
B= µ0 I 2d
� �
过，电流在导体宽度方向均匀分布。导体外在导体薄片中线附近处 P
� 点的磁感应强度 B 的大小为
� � 表面，由安培环路定理 B ⋅ dl = µ0 ∑ I 有： ∫
L
hi
解：过 P 点作安培环路 L 如图所示，根据对称性分析， B 平行于薄片
�
.c
P I
� (2) 磁感应强度 B 沿图中环路 L 的积分 � � 。 B ∫ ⋅dl =
nc
。
= µ0 ∑ I ，其中与 L 成右旋关系的为正，反之为负。 � � 题中 L 内电流 A 流向向外，与 L 不成右旋关系，为负，所以 ∫ B ⋅ dl = −µ 0 I 。
∫ B ⋅ dl
L
�
�
3．如图所示，在宽度为 d 的导体薄片上有电流 I 沿此导体长度方向流
he
L
µ0 I 有 2π r
nc
he
2π d pm = π(R sin θ ) 2 d I = πσωR 4 sin 3 θ d θ
p m = πσωR 4 ∫ sin 3 θ d θ = 4 πσωR 4 / 3
= ωR Q / 3
(2) 设金属球壳质量面密度为ρ s，则球面角宽度为 dθ 的一个带状面元的质量
.c
1 a
θ
µ0 I = 2π r 2π µ I B2 = 0 = 2π r 2π B1 =
�
a
I
� B
b
c
nc
3
5．在一个磁性很强的长的条形磁铁附近放一条可以自由弯曲的软导线， 如图所示。当电流从上向下流经软导线时，软导线将： [ ] (A) 不动 (B) 被磁铁推至尽可能远 (C) 被磁铁吸引靠近它，但导线平行于磁棒 (D) 缠绕在磁铁上，从上向下看，电流是顺时针方向流动 的 (E) 缠绕在磁铁上，从上向下看， 电流是逆时针方向流动的
半圆形刚性线圈磁矩 p m 垂直半圆形刚性线圈向里，由 M = pm × B 有 与 j 平行半圆形刚性线圈所受磁力矩为 M =
�
�
由安培定律与 j 平行半圆形刚性线圈直边和弯曲边所受力
�
1 π R 2 I × B sin 0 � = 0 2
he
(n = 1, 2 ⋯ ⋯)
�
�
�
大小相等，方向相反，为与 j 平行半圆形刚性线圈受力为 0。
a2 + x2 µ0 I a2 + x2
.I
y
om
� B1
µ0 I
dθ
d m = ρ s 2πR sin θ ⋅ R d θ
它旋转的动量矩为 d L = R sin θ ⋅ ω R sin θ ⋅ d m = 2 πωρ s R 4 sin 3 θ d θ
π
∴
L = ∫ d L = 2 πωρ s R
d q = σ 2πR sinθ ⋅ R d θ d θ ω 它旋转相当于电流 dI = d q = σωR 2 sin θ d θ
其磁矩为 ∴球壳旋转产生的圆电流的磁矩
π
hi
2． 半径为 R 的均匀薄金属球壳， 其上均匀分布有电荷 Q ， 球壳绕过球心的轴以角速度ω 转 动。 (1) 求球壳旋转产生的圆电流的磁矩 pm ； (2) 若球壳的质量为 m，求磁矩和动量矩之比 pm / L。
.I
a O a
× I
y
三、计算题 1．图示为两条穿过 y 轴且垂直于 x—y 平面的平行长直导线的 俯视图，两条导线皆通有电流 I，但方向相反，它们到 x 轴的距
om
O R I O′
P x
� j
x
离皆为 a。
(1) 推导出 x 轴上 P 点处的磁感应强度 B ( x) 的表达式。 (2) 求 P 点在 x 轴上何处时，该点的 B 取得最大。 解：(1) 由安培环路定理
向为______________ 。把线圈绕 OO ＇轴转过角度_________________ 时， 磁力矩恰为零。 解：由放入均匀磁场中的线圈所受力矩 M = pm × B 有 线圈所受磁力矩的大小 M =
.c
I R I
�
�
�
故线圈绕 OO＇轴转过角度 α =
6．如图，在面电流密度为 j 的均匀载流无限大平板附近，有一 载流为 I 半径为 R 的半圆形刚性线圈， 线圈平面与载流大平板垂 直，与 j 平行线圈所受磁力矩为_____________________ ，受力 为________________。
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《大学物理 AI》作业
No .10 安培环路定律 磁力 磁介质 No.
班级 ________ 学号 ________ 姓名 _________ 成绩 _______
一、选择题 1．在图(a)和(b)中各有一半径相同的圆形回路 L1 、L2 ， 但 圆周内有电流 I1、I2 ，其分布相同，且均在真空中， 在(b)图中 L2 回路外有电流 I3 ，P 1、P2 为两圆形回路上 的对应点，则： [ ] (A) (C)
令
dB =0 dR
na
导线上部 a 点受力方向垂直纸面向里，下部 b 点受力方向垂直纸面向外，所以软导 线将缠绕在磁铁上，从上向下看，电流是逆时针方向流动的。 选E
R 。 2
.c
a
I
N
(D) Fa > Fc > Fb � � � 解：由安培定律 dF = Idl × B 可知：安培力的大小为 � � � � dF = BI dl sin( dl , B ) ∝ sin( dl , B ) � � 由图可知道，在 b 点夹角 ( dl , B ) 最大，c 点次之，a 点为 0 所以 Fb > Fc > Fa 。
na
� �
nc
�
2
2．取一闭合积分回路 L，使三根载流导线穿过它所围成的面。现改变三根导线之间的相 互间隔，但不超出积分回路，则
ww w. z
空间各点磁场与电流的位置(分布)有关，所以 L 上各点的 B 将改变。
3． 一电子以速度 v 垂直地进入磁感强度为 B 的均匀磁场中， 此电子在磁场中 运动轨道所围的面积内的磁通量将 [ ] (A) 正比于 B ，反比于 v 2 (B) 反比于 B ，正比于 v 2 (C) 正比于 B，反比于 v (D) 反比于 B ，反比于 v 解： 电子以速度 v 垂直地进入磁感强度为 B 的均匀磁场中， 由洛仑兹力公式
= ωρ s R 4
4
∫ sin
0
3
θ dθ
∴磁矩和动量矩之比为
he
I1
3．在 xOy 平面内有一圆心在 O 点的圆线圈，通以顺时针绕向 的电流 I1 另有一无限长直导线与 y 轴重合，通以电流 I2 ，方向 向上，如图所示。求此时圆线圈所受的磁力。 解：设圆半径为 R，选一微分元 dl ，由安培定律知它所受磁力 大小为 d F = I1 d l ⋅ B 由于对称性，y 轴方向的合力为零。 ∴ d Fx = d F cos θ
na
1 cos 3 x ] 3
0 2
B x = B1 x + B 2 x θ x O x µ0 I a µ0 Ia P θ = 2⋅ ⋅ = 2 2 a θ 2 2 2 2 � π ( a + x ) 2π a + x a +x B 2 × 2 I By = 0 � µ 0 Ia � B ( x) = i π (a2 + x 2 ) 2µ 0 Iax 2 µ 0 Ia ( a 2 − 3x 2 ) dB d2B (2) 令 ，得 ，又 =− = 0 x = 0 = − <0 dx π (a 2 + x 2 ) 2 dx 2 π (a 2 + x 2 ) 3 所以 x = 0 出 B 有极大值。