错位相减法数列求和法

特定数列求和法一错位相减法

在高中所学的数列求合的方法有很多，比如倒序相加法、公式法、数学归 纳法、裂项相消法、错位相减法等等，在此处我们就只着重讲解一种特定数列求 和的方法一一错位相减法。那到底什么是错位相减法呢？现在咱们来回忆当初学 习等比数列时老师是怎么一步步推导出等比数列的求和公式的，下面是推导过 程：

数列a n 是由第一项为a i ，且公比为q 的等比数列，它的前n 项和是

由已知有

通过上述推导过程老师运用了一种特殊的推导方法将本来很复杂的运算简 化了，从而得到等比数列的求和公式， 这种方法叫错位相减法，那我们是不是遇 到复杂的运算就都可以用这种方法呢？答案当然不是，我们仔细观察这推导过 程，就会发现其实错位相减法是用来计算一个等比数列乘以一个等差数列而成的 复杂数列的。可以归纳数学模型如下：

S n a i

a i q a i q 2 a i q n i ，求S n 的通项公式。

两端同乘以 q ，有

i 时, i 时, 于是 S n a i a i q a i q 2 ...

qs n aiq

2 aiq

3 a i q n

...

(1 q)s n

a i

n

a i q

由①可得

由③可得

S n

s

n

S n n a i (q i)或者

na i

i)

已知数列4是以a i 为首项，d 为公差的等差数列，数列 0是以b i 为首 项，q(q

1)为公比的等比数列，数列C n a n b n ，求数列C n 的前n 项和.

解

由已知可知

许许多多的高考试题以及课后习题证明了不是所有的数列题目都会很直接 地写明所求数列是一个等比数列乘以一个等差数列的形式， 通过对最近几年高考 中的数列题的分析总结出了以下几种错位相减法求和类型： 所求数列中的等差数列是已知

这第一种类型的题顾名思义是所求的复杂数列中直接给出其中一个是等差 数列，则只要证明或者求出另一个是等比数列， 那么就可以用错位相减法来求解 该题，同时如果另一个不能被证明是等比数列就不能用错位相减法来求解， 得另

找他法了 ■ 例1.(2013湖南文)设S n 为数列｛a n ｝的前n 项和，已知:

a 1 0,2a n a 1 S 1 S n , n N

(1)求a 1，并求数列｛a n ｝的通项公式 (2)求数列｛na n ｝的前n 项和.

两端同乘以q 可得

qC n

a1®q :a 1b 2

a 2

b 2q

a ?

b 3 asdq 83 匕4

..

.

...a

n 1 b

n 1

q a

n b n q

a

n 1b

n

a n

b n q

由①-②得

(1 q)C n

a 1

b 1 d(b 2 b 3 ...b n 1

b n ) a n b n q 化简得 C n

Cd

d(b 2

b 3 ... b n 1 b n )

a n

b n q /

(q

C

n

a

i b

1

a

2b 2

a

3b

3

■■-

i q

分析：在本题中第二问要求的是数列｛na n ｝的前n 项和，其中的a n 我们不能 直接知道是什么数列，n 可以由做题经验看出是公差为1的等差数列，所以在本 题中要先求出a n ，证明是等比数列以后，贝財可以用错位相减法求解 b n .

旦2

a n i

故数列｛a n ｝是由首项为i,公比为2的等比数列，所以数列｛a n ｝的通项公式为

n i

a n 2

由⑴知，na n n 2n i .记数列｛na n ｝的前n 项和为B n .

2B n i 2 2 22

L n 2n

(I )由已知，当n I 时,

a

n i

[( a

n i a n

) ( a

n

a

n i )

2n i 2n 3

3(2 2 L 2)

令n 2,得

2a 2 i

S 2

i a 2 a 2

2 ，

当n 2时，由

2a n i

S n ，

2 a n i S n i

解⑴令n 1得 a i a i 2 两式相减得

因为a i 0所以a i

1

2a n 2a n i

a n

于是

B n

2 n i

i 2 2 3 2 L n 2

②-①得

n 2 n i

、

B n n 2 (i 2 2 L 2

)

i (n

n

i) 2 .

例2.(20I0新课标卷理)设数列 a n 满足

a i

2,a

n i a

n

3

(I) 求数列a n 的通项公式;

(2) 令b n na n ，求数列的前n 项和S n

(a 2 aj] a i