错位相减法数列求和法
数学课件 数列求和的方法之错位相减法
这时等式的右边是一个等 n项
比数列的前n项和与一个式 子的和，这样我们就可以 化简求值。
解：∵ Sn =1 + 2x +3x2 + …… +nxn-1 … ……. ①
∴xSn = x + 2x2 + … … + (n-1)xn-1 + nxn ……②
…...①
…... ②
①-②，得
.
.
.
方法总结
(1)若一个数列是由一个等差数列与一个等比数列 的对应项相乘所得数列，求和问题适用错位相减法 。
（2)在写出“ Sn”与“ q”S的n 表达式时应特别
注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出 “ Sn - q”Sn的表达式．
(3)如果出现 q为参数时，一定要讨论 q和=0 的q情=1
数列求和的方法之 ——错位相减法
错位相减法：
设数列 {是an公} 差为d的等差数列（d不等于
零），数列{bn是} 公比为q的等比数列(q不等于
1），数列{cn满} 足： cn ，anb则n 的前{cnn}项和为： Sn c1 c2 c3 cn
a1b1 a2b2 a3b3 anbn
况。
类似于这样形式的数列，求前n项和，可以用错 位相减法求和。
例:求和 Sn =1 + 2x + 3x2 + …… + nxn-1 (x≠0,1)
[分析] 这是一个等差数列{n}与一个等比数列{xn-1}的对应
相乘构成的新数列，这样的数列求和该如何求呢？
Sn =1 + 2x +3x2 + …… +nxn-1 ① xSn = x + 2x2 +……+ (n-1)xn-1 + nxn ②
高考数学大题规范解答-(五)利用错位相减法解决数列求和的答题模板
数列求和是高考的重点，题型以解答题为主，主要考查等差、等比数列的求和公式，错位相减法及裂项相消求和；数列求和常与函数、方程、不等式联系在一起，考查内容较为全面，在考查基本运算、基本能力的基础上又注重考查学生分析问题、解决问题的能力．“大题规范解答——得全分”系列之(五)利用错位相减法解决数列求和的答题模板[典例] (2012江西高考·满分12分)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－12n 2＋kn ，k ∈N *，且S n 的最大值为8.(1)确定常数k ，求a n ；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9－2a n 2n 的前n 项和T n .[教你快速规范审题]1．审条件，挖解题信息观察条件―→S n ＝－12n 2＋kn 及S n 的最大值为8 n S n −−−−−−−→是于的二次函关数当n ＝k 时，S n 取得最大值 2．审结论，明解题方向观察所求结论―→求k 的值及a n ――――→应建立关于k 的方程S n 的最大值为8，即S k ＝8，k ＝4n S −−−−−→可求的表式达 S n ＝－12n 2＋4n3．建联系，找解题突破口 根据已知条件，可利用a n 与S n 的关系求通项公式―――――→注意公式的使用条件a n ＝S n －S n －1＝92－n (n ≥2)，a 1＝S 1＝72―――――→验证n ＝1时，a n 是否成立a n ＝92－n1．审条件，挖解题信息观察条件―→a n ＝92－n 及数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9－2a n 2n922n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭−−−−−−−→－可化列简数9－2a n 2n ＝n2n －1 2．审结论，明解题方向观察所求结论―→求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9－2a n 2n 的前n 项和T n 12n n−−−−−−−→－分析通的特项点 可利用错位相减法求和 3．建联系，找解题突破口 条件具备，代入求和： T n ＝1＋22＋232＋…＋212n n －－＋12n n －①――――→同乘以2 2T n ＝2＋2＋32＋… ＋312n n －－＋22n n－②――――→错位相减②－①：2T n －T n ＝2＋1＋12＋…＋ 212n －－22n n －＝4－212n －－22n n －＝4－222n n －＋ (1)当n ＝k ∈N *时，S n ＝－12n 2＋kn 取得最大值，即8＝S k ＝－12k 2＋k 2＝12k 2，故k 2＝16，k ＝4.当n ＝1时，a 1＝S 1＝－12＋4＝72，(3分)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝92－n .(6分)当n ＝1时，上式也成立，综上，a n ＝92－n .(2)因为9－2a n 2n ＝n2n －1，所以T n ＝1＋22＋322＋…＋n －12n －2＋n2n －1， ①(7分)所以2T n ＝2＋2＋32＋…＋n －12n －3＋n2n －2， ②②－①：2T n －T n ＝2＋1＋12＋…＋12n －2－n 2n －1＝4－12n －2－n2n －1＝4－n ＋22n －1.(11分)故T n ＝4－n ＋22n －1.(12分),,[常见失分探因]利用a n ＝S n －S n －1时，易忽视条件n ≥2，即不验证a 1＝72，是否适合a n ＝92－n .错位相减时，易漏项或求错项数. —————————————————[教你一个万能模板]————————————第一步将数列{c n }写成两个数列的积的形式c n ＝a n b n ，其中{a n }为等差数列，{b n }为等比数列 第二步写出数列{c n }的前n 项和S n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n―→第三步S n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n 的两边同乘以公比q ，得qS n ＝qa 1b 1＋qa 2b 2＋…＋qa n b n―→―→。
微课：数列求和-错位相减法
数列求和————错位相减法教学目标 让学生能理解错位相减法，并能够应用错位相减法求数列的前n 项和。
教学重点错位相减法的应用 教学难点错位相减法的计算过程。
教学准备课件及课本插图教学内容一、问题的引入对于已知的等差、等比数列的求和问题，我们可以使用求前n 项和公式来解决，但对于一些特殊的数列，我们怎样来求它们的和呢？本课题将阐明一种特定数列的求和方法---错位相减法。
1、错位相减法的来源（人教必修五P55）学生活动学生回忆等比数列求和公式的推导过程教师活动错位相减法在高中课本出现时在必修五等推导等比数列的求和公式的过程中使用，在讲新课时大部分学生没有掌握其推导的过程，导致后面的应用困惑。
二、典型例题例题1:)1(,22≠+⋯⋯++x nx x x n 求和： 分析：一般地，如果数列{an }是等差数列，{bn }是等比数列，求数列{an 〃bn }的前n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{bn }的公比，然后作差求解．13232)1(......232++-+++=++++=n n n nn nx x n x x xS nx x x x S 解：令两式相减得：11321)1()1()1(++---=--++++=-n n n n n n nx x x x S x nx x x x x S x()211)1(2x n x x S n n -+-=+小结：（1）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解（2）在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n qS S -”的表达式．三、练习反馈1、已知数列的等比数列公比是首项为41,41}{1==q a a n ，设 1423log (*)n n b a n +=∈N ，数列n n n n b a c c ⋅=满足}{（1）求证：}{n b 是等差数列；（2）求数列}{n c 的前n 项和n S ．解（1）由题意知，1()(*)4n n a n =∈N ，12log 3,2log 3141141=-=-=a b a b n n ， ∴111111144443log 3log 3log 3log 3n n n n n n a b b a a q a +++-=-=== ∴数列3,1}{1==d b b n 公差是首项的等差数列；（2）由（1）知，1(),32(*)4n n n a b n n ==-∈N ．∴1(32)(),(*)4n n c n n N =-⨯∈， ∴2311111114()7()(35))(32)(),44444n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯(+-⨯ 于是1432)41()23()41)53()41(7)41(4)41(141+⨯-+(⨯-++⨯+⨯+⨯=n n n n n S ， 两式相减得：132)41()23(])41()41()41[(34143+⨯--++++=n n n n S 111(32)()24n n +=-+⨯． ∴121281()(*)334n n n S n ++=-⋅∈N ．四、总结1、用错位相减法的数列特征：已知数列 {}Cn 满足n n b a Cn =的形式，其中{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，等比且公比不等于1。
题型-数列求和之错位相减法
1数列求和之错位相减法一、题型要求：错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n 和公式的推导方法）。
二、例题讲解：1、求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S2、求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n 前n 项的和.三、练习巩固：1、（2012－信宜二模）设{}n a 为等比数列，121(1)2n n n T na n a a a -=+-+++，已知11T =，24T =，（1）求数列{}n a 的首项和公比；（2）求数列{}n T 的通项公式.；2、（2015－漳浦校级模拟）等差数列}{n a 中，.2,49197a a a ==数列}{n b 满足n a n n a b 22⋅=（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）求数列}{n b 的前n 项和n S3、（2014－肇庆高三期末）已知数列{}n a 满足11=a ，n a a na n n n =-++11，*N n ∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2nn nb a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T ；4、（2014－肇庆高三期末）已知数列{}n a 满足11=a ，121+=+n n a a （*N n ∈）.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n S 为数列}12{+n a n的前n 项和，求n S ；35、（2014－惠州调研）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且有12n n a S -=；数列{}n b 满足(27)n n b n a =-（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n b 的前n 项和为n T6、（2014－珠海六校联考）已知数列{}n a 为等差数列,且5714,20a a ==,数列{}n b 的前n 项和为n S ,且满足132n n S S -=+(2,*)n n ≥∈N ，123b =. （1）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式；（2）若n n n c a b =⋅,n T 为数列{}n c 的前n 项和,求n T .7、（2014－中山期末）数列{n a }的前n 项和为n S ，2131(*)22n n S a n n n N +=--+∈． （1）设n n b a n =+，证明：数列{}n b 是等比数列；（2）求数列{}n nb 的前n 项和n T ；8、（2014－梅州质检）设等比数列{n a }的前n 项和为Sn ，已知122(*)n n a S n N +=+∈。
错位相减法在数列求和中的应用
错位相减法在数列求和中的应用近年来，高考中数列问题正向多元化发展，命题中含有复合数列屡见不鲜.要想在高考中从容应对,就需熟练掌握等差、等比数列的有关知识,同时要善于把非等差等比数列转化为等差等比数列来求解.现对数列求和的方法----错位相减法简要分析如下：一.利用错位相减法推导等比数列求和公式.已知等比数列,它的前项和是,根据等比数列的通项公式,上式可写成的两边乘得的两边减去的两边,得当时,等比数列的前项和的公式又因为所以上面公式可写成当时，点评：通过将式的左右两边同时乘以公比,使式与式产生错位后相减得出.二、应用错位相减法求和如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法.例1、求数列的前项和分析：数列成等差数列，数列成等比数列，此例用错位相减法可达到目的.同时应注意和两种情况.解：若，则若,则式两边同乘以，得减去得所以点评：这个数列可以看成一个等差数列和一个等比数列的对应项的乘积，这种数列我们称为“混合数列”，解决这类问题的常用方法是：依照等比数列前项和公式的推导方法——错位相减法，特别注意分和两种情况讨论.例2、（2007全国卷文，21题）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且,,.求,的通项公式.求数列的前项和.解：设的公差为，的公比为则依题意有>0且解得所以,,,减去得==点评：本题主要考查数列的概念，等差数列，等比数列，及求数列前项和的方法等基础知识，考查运算能力.第问就运用了混合数列的求和方法----错位相减法.。
数列求和之错位相减法ppt课件
①-②得
Sn 1 2 （1 22 1 23 1 2n） n 2n1
即
Sn
2 22 23 2n n 2n1
2 2n 2 n 2n1 (1 n)2n1 2
1 2
故Sn 2 (1 n)2n1
数列求和之错位相减法
1
复习回顾： 等比数列前n项和的求和公式
2
问题探究：
数列 {an }的通项公式 an n，数列 {b n }的通项公式 b n 2 n， 求数列 {an bn }的前 n项和。
观察：所求数列的通项公式是由等差数列与等比 数列的积组成。即“等差×等比”型
3
n 2n
乘公比，错位，相减
Sn a1b1 a2b2 anbn
即Sn 1 2 2 22 3 23 (n 1) 2n1 n 2n ①
2Sn 1 22 2 23 (n -1) 2n n 2n1 ②
两式相减得 2Sn 1 3 2 32 2 3n (2n 1) 3n1
2Sn 3 2 （32 3n ) (2n 1) 3n1
3 2 32 3n 3 (2n 1) 3n1 6 (2 2n) 3n1
4
当堂练习：
求和：1 3 3 32 (2n 1) 3n
解：
记Sn 13 332 (2n 3) 3n1 (2n 1) 3n
3Sn 1 32 3 33 (2n 3) 3n (2n 1) 3n1
7
作业：
1、求和：（1）1
4 22
6 23
《数列求和——错位相减法》教学设计新部编版
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《数列求和——错位相减法》教学设计数学组：张涛 2017年11月13日教学目标：理解错位相减法，并能够应用错位相减法求数列的前n 项和。
教学重点：错位相减法的应用。
教学难点：错位相减法的计算过程。
教学内容：一、课前复习回顾等差、等比数列的通项公式与前n 项和公式：1、等差数列：①通项公式：()d m n a d n a a m n )(11-+=-+=②前n 项和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列：①通项公式：m n m n n q a q a a --==11；②前n 项和公式：)11)1(1≠--=q qq a S n n （ 3、数列前n 项和S n 与通项a n 的关系式：{1,2,11=≥--=n S n S S n n n a设计意图：由于应用错位相减法解题时必定会使用等比数列前n 项和的通项公式求和，因此有必要做好复习铺垫工作。
二、问题探究典题导入例1、已知;,3,12n n n n n n b a c b n a ⨯==-=求数列}{n c 的前n 项和n S 。
解：由题悟法归纳：“错位相减法”的核心要领：乘公比，错位，相减。
以题试法33)1(63)1(23)12(31)31(32323)12()3333(2323)12()32323232(32②-①②3)12(35333133①①3)12(35333111112143214321432321321+•-=∴-•--=⨯----⨯+=-∴⨯--+++++=-⨯--⨯++⨯+⨯+⨯+=-⨯-++⨯+⨯+⨯=⨯⨯-++⨯+⨯+⨯=∴++++=+++-+++nnnnnnnnnnnnnnnnnnnSnnSnSnSnSnSccccSΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΘ即得得由1. 已知nn n a 3=，求数列}{n a 的前n 项和n S 。
数列求和——错位相减法 教学设计 2023届高三数学二轮复习
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若 ， ， 对任意的正整数 恒成立，求实数 的取值范围.
6．(2021·新高考І卷·16)某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为 的长方形纸，对折1次共可以得到 ， 两种规格的图形，它们的面积之和 ，对折2次共可以得到 ， ， 三种规格的图形，它们的面积之和 ，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折 次，那么 ______ .
设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项.
(1)求{an}的公比；
(2)若a1=1，求数列{nan}的前n项和.
解：(1) ；
(2) ，
记{nan}的前n项和为Sn，则
重点讲解求和步骤中
“4．解出和Sn”的注意事项：
两式相减后，等式右边中间的n－1项求和转化成了等比数列求和，应先提公因数——等差数列的公差，再选择适当的求和公式计算；
2.通过课程的学习，学生能进一步发展数学学科核心素养的运算能力；通过运算促进数学思维发展，形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神。
教学重点
错位相减法求数列的和
教学难点
错位相减后的项数、符号、化简等易错问题，以及对转化数学思想的理解。
教
教学过程设计
教学
步骤
数列求和——错位相减法 教学设计
教学课题
数列求和——错位相减法
课程类型
复习课
教学目标
知识与技能
熟练掌握错位相减法，能够准确、快速地用错位相减法求出“等差×等比”数列的和。
过程与方法
通过两等式的错位相减，将无法求和的问题转化成等比数列求和，在运算的过程中，体会转化与化归的数学思想。
等差数列求和公式：求和的七种方法!
等差数列是常见数列的一种，可以用AP表示，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。
(一）等差数列求和公式1.公式法
2.错位相减法
3.求和公式
4.分组法有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个
等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
5.裂项相消法适用于分式形式的通项公式，把一项拆成两个或多个的差的形式，即an=f(n+1)－f(n)，然后累加时抵消中间的许多项。
数列求和错位相减法
知识与技能目标：理解用错位相减推导等比数列前n项和公式的过程，掌握公式的特点，并在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题。
知识与技能目标：理解用错位相减推导等比数列前n项和公式的过程，掌握公式的特点，并在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题。
过程与方法：通过对公式的研究过程，提高学生探究问题、分析问题与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质。
知识与技能目标：理解用错位相减推导等比数列前n项和公式的过程，掌握公式的特点，并在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题。
过程与方法：通过对公式的研究过程，提高学生探究问题、分析问题与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质。
情感、态度和价值目标：通过对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，并从中获得成功的经验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美。
2020年全国Ⅲ卷17题（12分）设数列{}满足1=3，r1=3−4u(1)计算2，3，猜想{}的通项公式并加以证明；(2)求数列{2}的前n项和.2020年全国Ⅲ卷17题（12分）设数列{}满足1=3，r1=3−4u(1)计算2，3，猜想{}的通项公式并加以证明；(2)求数列{2}的前n项和.2020年全国Ⅲ卷17题（12分）设数列{}满足1=3，r1=3−4u(1)计算2，3，猜想{}的通项公式并加以证明；(2)求数列{2}的前n项和.解：（2）解：（2）22)12(.2)12(212122232)12(222222232)12(27252322)12(272523,2)12(2)1(1112132n 1432n 32n n +-=⨯+---⋅+⨯=⨯+-⨯++⨯+⨯+⨯=--⨯+++⨯+⨯+⨯=⨯+++⨯+⨯+⨯=+=++-++n n n n n n n n n n n S n n S n S n S n a 所以）（②得①②从而①所以得由 2020年全国Ⅲ卷17题（12分）设数列{}满足1=3，r1=3−4u(1)计算2，3，猜想{}的通项公式并加以证明；(2)求数列{2}的前n 项和.复习回顾等比数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。
题型-数列求和之错位相减法
题型-数列求和之错位相减法数列求和之错位相减法一、题型要求：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n和公式的推导方法）。
二、例题讲解：1、求和：$S_n=1+3x+5x^2+7x^3+。
+(2n-1)x^{n-1}$，其中$x=2$。
2、求数列$2,3.n$前$n$项的和。
三、练巩固：1、（2012-信宜二模）设$\{a_n\}$为等比数列，$T_n=na_1+(n-1)a_2+。
+2a_{n-1}+a_n$，已知$T_1=1$，$T_2=4$。
1）求数列$\{a_n\}$的首项和公比；2）求数列$T_n$的通项公式；2、（2015-漳浦校级模拟）等差数列$\{a_n\}$中，$a_7=4$，$a_{19}=2a_9$。
数列$\{b_n\}$满足$b_n=a_n\times2$。
1）求数列$\{a_n\}$的通项公式；2）求数列$\{b_n\}$的前$n$项和$S_n$；4、（2014-肇庆高三期末）已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+1$（$n\in N^*$）。
1）求数列$\{a_n\}$的通项公式；2）设$b_n=\frac{a_{2n}}{n}$，数列$\{b_n\}$的前$n$项和为$T_n$，求$T_n$；5、（2014-惠州调研）已知数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且有$S_n=1-a_n$。
数列$\{b_n\}$满足$2b_n=(2n-7)a_n$。
1）求数列$\{a_n\}$和$\{b_n\}$的通项公式；2）求数列$\{b_n\}$的前$n$项和$T_n$；6、（2014-珠海六校联考）已知数列$\{a_n\}$为等差数列，且$a_5=14$，$a_7=20$，数列$\{b_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且满足$3S_n=S_{n-1}+2$（$n\geq2$，$n\in N^*$），$b_1=$。
数列求和微专题错位相减法求和教学设计
数列求和方法——错位相减法求和三维目标：1. 知识与技能：理解并掌握错位相减法，明确错位相减法在数列求和当中的应用题型和解题步就。
2. 过程与方法：通过提出问题，从而对数列求和除了公式法以外，对不能直接用公式法求和的数列探究新的求和方法，结合等比数列的求和公式的推导方法进行推进，从而得出应用范围：形如数列C n＝a n·b n ,{a n}是等差数列,{b n} 是等比数列;则数列{C n} 可采用错位相减法求和。
这体现了由特殊到一般的认知规律，由感性认识升华到理性思考的数学过程；完全符合提出问题、分析问题、解决问题的科学方法的要求；3. 情感、态度与价值观：通过本节内容的学习探究，让学生体会到发现数学、感知数学、研究数学、利用数学并处理数学问题的愉悦；培养学生科学地研究问题的习惯，融会贯通前后数学知识的能力，进一步挖掘知识、感受数学的内在美.教学重点、难点：选择错位相减法求和的数列的特征。
则通项公式中必有一部分为等差数列，一部分为等比数列，方可用错位相减法求和。
教学方法：PPT演示，语音讲解，录屏软件录屏、录音形成视频mp4文档。
教学过程：1、知识回顾：数列求和公式法2、问题探究：已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1 =2，S n = a n+1-2，求数列{(2n+1)a n}的前n项和T n.解：当n≥2时，由S n = a n+1-2,可得S n -1= a n+2，两式相减得a n+1=2a n 当n=1时，由a1=S1 =a2-2, ∴ a2=a1+2=4. ∴a n+1/a n=2∴ a n=2·2n-1=2n.∴(2n+1)a n= (2n+1)2n于是①T n =3×21+5×22+7×23+…+(2n+1)2n则② 2T n = 3×22+5×23+…+(2n-1)2n +(2n+1)2n+1两式相减，得-T n =6+2×(22+23+…+2n )-(2n+1)2n+1 =∴T n =2+(2n-1)2n3、方法归纳：错位相减法求和(1)应用范围：形如C n＝a n·b n ,{a n}是等差数列,{b n} 是等比数列; (2)解题步骤：I，等式①S n=C1+C2+C3+ … +C n两边同乘数列{b n} 的公比q 得: ② q S n=q C1+q C2+q C3+ … +q C n（达到错位）II，① -②，再利用等比数列求和公式求和4、训练巩固：求和：S n＝x＋2x2＋3x3＋…＋nx n(x≠0).5、课堂小结：错位相减法求和(1)形如c n＝a n·b n, {a n} 与{b n}中一个是等差数列,一个是等比数列;(2)步骤：乘公比，错位减微课录制的软件和步就；1、软件版本： Microsoft 3652、操作步就：I、打开准备好的PPT课件（Microsoft powerpoint2019）II、点击菜单栏图一图二图三1、点击录制2、点击录制3、点击从头开始图五图六4、点击录制按钮开始录制5、点击停止按钮录制完成6、导出视频7、创建视频。
数列求和7种方法(方法全,例子多)
数列求和的基本方法和技巧（配以相应的练习）一、总论：数列求和7种方法： 利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和分段求和法（合并法求和） 利用数列通项法求和二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法，三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。
数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧.一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn3、 )1(211+==∑=n n k S nk n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n5、 213)]1(21[+==∑=n n k S nk n [例1] 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nx x x x 32的前n 项和.解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得 nn x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 （利用常用公式）＝x x x n--1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21[例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(21++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64342++n n n＝nn 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f题1.等比数列的前ｎ项和S ｎ＝2ｎ－１，则＝题2．若12+22+…+(n -1)2=an 3+bn 2+cn ，则a = ,b = ,c = .解： 原式=答案：二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.[例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①解：由题可知，{1)12(--n xn }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x}的通项之积设nn x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ② （设制错位）①－②得 nn n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1----⋅+=-- ∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+[例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n nS ………………………………② （设制错位） ①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS （错位相减）1122212+---=n n n∴ 1224-+-=n n n S练习题1 已知 ，求数列｛a n ｝的前n 项和S n .答案：练习题2 的前n 项和为____答案：三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.[例5] 求证：n n n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++证明： 设nn n n n n C n C C C S )12(53210++⋅⋅⋅+++=………………………….. ①把①式右边倒转过来得113)12()12(n n n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=- （反序）又由mn n m n C C -=可得nn n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-1103)12()12(…………..…….. ②①+②得 nn n n n n n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110⋅+=++⋅⋅⋅+++=- （反序相加） ∴ nn n S 2)1(⋅+=[例6] 求89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①将①式右边反序得1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..② （反序） 又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x①+②得 （反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴ S ＝44.5题1 已知函数 （1）证明：；（2）求的值.解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边 （2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，两式相加得：所以.练习、求值：四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例7] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ，… 解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a S n n将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n （分组） 当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(nn + （分组求和）当1≠a 时，2)13(1111n n aa S nn -+--=＝2)13(11n n a a a n -+--- [例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1(∴ ∑=++=n k n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k knk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得S n ＝k k k nk n k nk ∑∑∑===++1213132（分组）＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++＝2)1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n （分组求和） ＝2)2()1(2++n n n五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1）)()1(n f n f a n -+= （2）n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （3）111)1(1+-=+=n n n n a n （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n （5）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n(6) nnn n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则 （7）)11(1))((1CAn B An B C C An B An a n +-+-=++=（8）n a ==[例9] 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.解：设n n n n a n -+=++=111（裂项）则 11321211+++⋅⋅⋅++++=n n S n （裂项求和）＝)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+- ＝11-+n [例10] 在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n nn n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.解： ∵ 211211nn n n n a n =++⋅⋅⋅++++=∴ )111(82122+-=+⋅=n n n n b n （裂项）∴ 数列{b n }的前n 项和)]111()4131()3121()211[(8+-+⋅⋅⋅+-+-+-=n n S n （裂项求和）＝)111(8+-n ＝18+n n[例11] 求证：1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+⋅⋅⋅++解：设89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S ∵n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （裂项） ∴89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S （裂项求和） ＝]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1sin 1-+-+-+- ＝)0tan 89(tan 1sin 1 -＝1cot 1sin 1⋅＝ 1sin 1cos 2 ∴ 原等式成立练习题1.答案：.练习题2。
等比求和错位相减法数列求和
（2）
an
2n 1 3n
（先变形式）
（3） an (3n 2) 2n1
(4) an (3n 2) 2n 2 最后算的对不对，看看有没有（常数+等差 等比）的形式， 在用 S1 检验是否和 a1 相同，如果是那么就恭喜你了~~~
3 最后应该注意什么？ 第一，这里的最后，应该把握考试的时间，
可先放着争取时间把后面的易得分点拿下再回来化简；
第二，记得最后把相减后的 Sn 系数化为 1；
第三，化简的标准结果应该为（常数+等差 等比）的形式，
不放心就用 S1 是否等于 a1 检验一下
练习求和
（1） an n 2n （注意整个过程能否再简便）
如如：：aan n2n2(n2(n2n1)1)(；2n 1)2n ；
aann
22n2n2nn11；(2n
1)
1 2
n
；
aann
((22nn11))
12
1 n1 n1
2
(2n
1)
1 2
n
1 2
1
(4n
2)
1 2
n
an
an
(2n 1)22n
(2n 1)22n
(2n
1)
1 2
n2
(2n
1)
1 2
n
4
ห้องสมุดไป่ตู้
(4n
2)
1 2
n
下面举例子说明：
求数列 an
(2n
1)
1
n1
的前
n
项和
2
Sn
2 中途的化简方法过程应该注意什么？
答：第一：先写 S n ，再换行写左边 qSn ，右边 q 乘以等比部分
探讨数列中错位相减法求和的简单公式.doc
探讨数列中错位相减法求和的简单公式山东省日照市莒县第一中学2012级16班陈伟指导老师：张先娟—、关键词：特殊数列、求和、错位相减法、简单公式二、内容提要：已知某数列｛c”｝的通项公式是= (An + B)q n ,如何求得该数列的前n项和57??普通解法：用“错位相减法”按部就班的逐步解答。
简单公式法解答如下：=(C + D) —[6 + (C + D)]q"其中C = Aqt , D = (B + C)qf , t ----- ------i-Q三、正文部分：在高中学习中，数学是一门特别重要的学科。
其中数列更是高考的必考项目，数列求和则是数列问题中的重中之重。
这类题目出题灵活，可与函数结合，与不等式结合，与程序框图结合……内容丰富，题型多变，是考试命题人最为青睐的考点之一。
在数列求和问题中，最具代表性的就是，用“错位相减法”求特殊数列前门项和的题型。
该题型计算量大，出错率高,浪费时间长。
因此，我决定探索一种简单的计算或验算公式，辅助做题。
例题处理：已知某数列｛%｝的前刀项和为S“=2a“-3,另一数列他｝的递推公式b n = b u_x + 4 ,且％ =勺=3 ,求数列如的前刀项和T n.解：普通解法：对于数列｛〜｝, S〃=2d〃-3 ①・••昭=2%-3 ②①-②得a n = 2% - 2%i• a n =2(/i > 2) •：an=3x2"= 9+12x 2(1_2"T)~1-2—(12M —3)x2对于数列也他一b『4则该数列为公差为4首项为5的等差数列。
即b ti = 3 + 4(/? — 1) = —1 + 4/7.令数列{c n} = {a n xh n},则3c“ = (-1 + 4/1) x3x = (-3 +12) x 2心=(6n - —)x 2"所以7； = 9x2° + 21x21+33x2? +…+ (12〃—15)x2心+(12〃—3)x2"」(§)两边同乘以数列他}的公比旷2得27； = 9x2 +21x2? +33x23+…•…+(12/2—15)x2^ +(12/2—3)x2’ ④③-④，得-T f =9+12x2' + I2 x 22 + 12 x 23 +••• +12x2^-(I2z?-3)x2"=9+12(2,+22+23+---+2^,)-(12H-3)X2,?= 9+12x2"-24-12^x2"+3x2" = 15x2w-12nx2w-15 =(-12M +15)X2,?-15・•・ 7； =—(—12/? + 15)x2"+15观察最终结果可知，上式中-12 = 6x2x—!—,1-2即数列a｝的前/7项和屮a的系数x公比x —,I -公L匕1 3 1 115=[(6x2x-― ) + (--)l x2x——+ (6x2x-,1-2 2 1-2 1-2即数列a｝的前刃项和屮(刃的系数X公比X—L- +常数项)x公比X—1—1 -公比 1 -公比…的系数X公比XE。
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特定数列求和法一错位相减法在高中所学的数列求合的方法有很多，比如倒序相加法、公式法、数学归 纳法、裂项相消法、错位相减法等等，在此处我们就只着重讲解一种特定数列求 和的方法一一错位相减法。
那到底什么是错位相减法呢？现在咱们来回忆当初学 习等比数列时老师是怎么一步步推导出等比数列的求和公式的，下面是推导过 程：数列a n 是由第一项为a i ，且公比为q 的等比数列，它的前n 项和是由已知有通过上述推导过程老师运用了一种特殊的推导方法将本来很复杂的运算简 化了，从而得到等比数列的求和公式， 这种方法叫错位相减法，那我们是不是遇 到复杂的运算就都可以用这种方法呢？答案当然不是，我们仔细观察这推导过 程，就会发现其实错位相减法是用来计算一个等比数列乘以一个等差数列而成的 复杂数列的。
可以归纳数学模型如下：S n a ia i q a i q 2 a i q n i ，求S n 的通项公式。
两端同乘以 q ，有i 时, i 时, 于是 S n a i a i q a i q 2 ...qs n aiq2 aiq3 a i q n...(1 q)s na ina i q由①可得由③可得S nsnS n n a i (q i)或者na ii)已知数列4是以a i 为首项，d 为公差的等差数列，数列 0是以b i 为首 项，q(q1)为公比的等比数列，数列C n a n b n ，求数列C n 的前n 项和.解由已知可知许许多多的高考试题以及课后习题证明了不是所有的数列题目都会很直接 地写明所求数列是一个等比数列乘以一个等差数列的形式， 通过对最近几年高考 中的数列题的分析总结出了以下几种错位相减法求和类型： 所求数列中的等差数列是已知这第一种类型的题顾名思义是所求的复杂数列中直接给出其中一个是等差 数列，则只要证明或者求出另一个是等比数列， 那么就可以用错位相减法来求解 该题，同时如果另一个不能被证明是等比数列就不能用错位相减法来求解， 得另找他法了 ■ 例1.(2013湖南文)设S n 为数列｛a n ｝的前n 项和，已知:a 1 0,2a n a 1 S 1 S n , n N(1)求a 1，并求数列｛a n ｝的通项公式 (2)求数列｛na n ｝的前n 项和.两端同乘以q 可得qC na1®q :a 1b 2a 2b 2qa ?b 3 asdq 83 匕4......an 1 bn 1q an b n qan 1bna nb n q由①-②得(1 q)C na 1b 1 d(b 2 b 3 ...b n 1b n ) a n b n q 化简得 C nCdd(b 2b 3 ... b n 1 b n )a nb n q /(qCnai b1a2b 2a3b3■■-i q分析：在本题中第二问要求的是数列｛na n ｝的前n 项和，其中的a n 我们不能 直接知道是什么数列，n 可以由做题经验看出是公差为1的等差数列，所以在本 题中要先求出a n ，证明是等比数列以后，贝財可以用错位相减法求解 b n .旦2a n i故数列｛a n ｝是由首项为i,公比为2的等比数列，所以数列｛a n ｝的通项公式为n ia n 2由⑴知，na n n 2n i .记数列｛na n ｝的前n 项和为B n .2B n i 2 2 22L n 2n(I )由已知，当n I 时,an i[( an i a n) ( anan i )2n i 2n 33(2 2 L 2)令n 2,得2a 2 iS 2i a 2 a 22 ，当n 2时，由2a n iS n ，2 a n i S n i解⑴令n 1得 a i a i 2 两式相减得因为a i 0所以a i12a n 2a n ia n于是B n2 n ii 2 2 3 2 L n 2②-①得n 2 n i、B n n 2 (i 2 2 L 2)i (nni) 2 .例2.(20I0新课标卷理)设数列 a n 满足a i2,an i an3(I) 求数列a n 的通项公式;(2) 令b n na n ，求数列的前n 项和S n(a 2 aj] a i1） 1 所以数列｛a n｝的通项公式为a n 22n1（2）由b nna n n 22n 1知S n 1 2 2 23 325L2n 1n 2，①从而22 S n 1 23 2 25 3 272n 1L n 2 ，②①-②得2 亠3 5 2n 1 2n 1(1 2 ) S n 2 2 2 L 2 n 2 ，即1S n 9 [（3 n 1）22n 12].9评析：在上述两个例题中的第一问中都是先求出了a n是等比数列，所以此时的na n就是一个等比数列乘以一个等差数列而成的复杂数列，符合模型要求，最后才可以用错位相减法快速地求出na n的前n项和.所求数列中的等比数列是已知这种类型的题与第一种类型题相反，就是在所求的复杂数列中直接写明其中一个是等比数列，只要求出或者证明另一个是等差数列，则我们就可以用错位相减法来求解该题，如果另一个不是等差数列则我们就不能用错位相减法来求解，下面我们又来看看这类题型的应用。
道是什么数列，要通过已知求解，-12 我们可以由做题经验看出是以公比为-的2例3. （2013辽宁理17）已知等差数列a n 满足a20，a6a810.(1) 求数列a n的通项公式;(2) 求数列孕7的前n项和.2n 1分析：在本题中最终要求的是数列許的前n项和'其中的a"不能直接知等比数列，故在本题中我们要先求出a n ，证明它是等差数列以后，贝財可以用 错位相减法求出数列 為 的前n 项和. 2 解(1设等差数列a n 的公差为d ，从已知条件可知道: a d o 2a 12d 10 解得d' 故数列a n 的通项公式为a n 2 n (2)设数列為的前n 项和为S n ，2 即a ? a 3 & 4 2 2 2 a n2* 1故S 1，所以当n 1时，①-③有： 鱼 2 a 2a r 2a 2 /鱼 22 a 12an 12* 1a3a222a. 2nanan 1a n 歹，2* 1又 a n an 1 1所以S n一a 1 (11小21)J 丿a n亠122 221Z1 n1 -尹2 n4 1 2n1 —2n 2n S 丄 n2门i例4. (2012江西理16)已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n =—2+ kn(k € N *),并 2且S n 的最大值为8.(1)确定常数k ，并求a n ；9 2a⑵求数列｛ —的前n 项和T n .9 2a 分析：在本题第二问中要求的是数列｛-1 的前n 项和，其中的a n 不能直2 11 接知道是什么数列，要通过已知求解， 厶可以由数学经验看出是公比为 -的等22比数列，所以在本题中要先求出a n ，证明它是等差数列后，才可以用错位相减 法求出数列｛士学的前n 项和。
2n解（1）根据题目可知，当n = k € N *时，S=— ^n 2+ kn 取得最大值，即28=Sk =—『=期 16(k € N +),因此k = 4，从而-a n = Si — S —1= — n (n 》2).2an=2- n.（等差数列）T n = b l + b 2+…+ b n所以又 a 1 = S 1=—，所以将a n 代入b n 得b丄bn2n1T n= 2T n—T n2n评析：在上述两题中的第一题中先证明了 a n 是等差数列，所以此时的先在第一问求出了 S n 的公式，再根据这个公式求出了 电是等差数列，所以此时n的b n 也是一个等差数列与一个等比数列的乘积形式， 符合模型要求，最后我们在 这两个题中才借用错位相减法来快速地求出所求数列的前 n 项和. 所求数列中的等比数列和等差数列都未知求解这种类型的题的难度就比较大了，因为在所求的复杂数列中不能直接 明显地看出它其中包含的等差数列和等比数列， 则需要根据题目已知来找出或者 证明所求数列是一个等差数列与一个等比数列的乘积， 这样才能依据错位相减法来计算结果。
例5. （2013山东.理）设等差数列a n 的前n 项和为S n ，且S 4 4S 2,a 2n 2a . 1 （1） 求数列a n 的通项公式； （2） 设数列b n 的前n 项和T n ，且T n（为常数），令C n b ?n （n N ）.2求数列C n 的前n 项和R n .分析：本题中要求的是数列C n b 2n （n N ）的前n 项和，其中b 2n 不能直接 知道是什么数列，在第二问中又知道 b n 和a n 有关系，所以在本题的第一问中我 们要先求出a n ，再在第二问中将b n 求出，最后当C n 满足错位相减法的条件后我 们就可以用错位相减法来求解了 •解：（1）由S 4 4S 2,a 2n 2a n 1, a n 为等差数列，可得a 1 1,d 2 所以 a n 2n 1a * i就是一个等差数列与一个等比数列的乘积形式, 符合模型要求；第二题中,(2)由Tn2nb i T i 1 当n 2时,①-③可得所以当0时, @-®得当0时,Tn 1a n 1 12n 1n2b n 1 ，2nn1C n b2n 1 ，4n12n 1 R n 0 2 ---4424n 1 112n 1 R n 19,3 …… n 444443n1R n -n 199 4C n b2n1(n 1)^(n42)3n 19 4n 1例6. （2009上海青浦区）设数列a n的前n和为S n ,已知S1S4 -y，一般地，S n (n 1)24(2n 112 3(n23(2n 1)-1）,（当n为奇数时）（n（当n为偶数时）N*)(1)求a4 ；(2)求a2n ；（3）求和：3恂2 玄3玄4 玄5氏a2n 1a2n -它是数列，但可以抱着这样的心态来看看，通过第二问中的 和，也许可以转化为一个等差数列与一个等比数列的乘积形式,位相减法来求和了 • 解 （1）略.72 (2k ) 4(22k 1)32(2k) 4(22k 212 3(在上述两题中，都不能直接知道所求的是什么形式的数列，所以只 能从题目中找出相关条件，将所求的结论转化成一个等差数列与一个等比数列的 乘积形式，使之符合模型要求，这样才能在这两个题中借用错位相减法来快速地 求出所求结果。
总结数列求和不仅在高中数学中有着十分重要的作用，也是学习高等代数的基 础，有着承前启后的作用，本文通过对一般形式下错位相减法的运算再现， 使我 们体会错位相减法的内在规律，感受数学解题思想的魅力，其实我们学习错位相 减法，更重要的是总结其中所渗透的数学思想方法， 将数学思想和方法融为一体，(2)当 n 2k 时, (k N* )a2ks2kS 2k 1所以 a2n4n( n N* ).(3) (2) 同理可求得:32n 111(2n 1)，81829384959632n 132n =T i ，T n 4T n两式相减得 3T n 所以1 2 3 -[4 3 42 5 4331 2 3[42 3 43 5 3】[4 2（424332n 1n 1T n 丁 4(2n 1) 4n］ 44 4n) (2n 1) 4n1］， (2n 1) 4n1］， 32n 来求出那一串的 那么就可以用错 12 1) 22k评析:才能在解决数列求和问题上得心应手。