最新微元法及定积分的几何应用教案

教案

教学目的与要求：

1.正确理解和掌握定积分微元法的基本思想；

2.掌握用定积分解决平面图形面积的问题；

3.培养学生分析问题解决问题的能力和数形结合的观念

重点：1、微元法及其基本思想；2、求平面图形的面积 难点：微元法的基本思想

教学内容与教学组织设计（45分钟）：

第6.5节：定积分的几何应用

1 复习定积分的概念，引入微元法的思想 ………………………..15分钟

定积分的概念

⎰

b

a

dx x f )(0

1

lim ()n

i i i f x λξ→==∆∑.

教学安排 课 型：理论 教学方式：讲授 教学资源

多媒体、板书

授课题目（章、节） 第6.5节：定积分的几何应用

通过对求曲边梯形面积问题的回顾、分析、提炼，可得用定积分计算某个量U 的步骤: (1) 选取积分变量，并确定它的变化区间[,]a b ；

(2) 求微元：将区间[,]a b 分成若干小区间，取其中的任一小区间[,]x x dx +，求出它所对应的部分量的近似值：

()U f x dx ∆≈ (()f x 为[,]a b 上的连续函数 )

则称()f x dx 为量U 的微元，且记作()dU f x dx =；

(3) 列积分：以U 的微元dU 作被积表达式，以[,]a b 为积分区间，得()b

a

U f x dx =⎰

.

这个方法叫做微元法。

微元法实质：找出U 的微元dU 的微分表达式dU=f(x)dx 。

3 求平面图形的面积 …………………………………..17分钟

类型一：D1型区域 （教师主导并详细讲解）

如图1，由曲线()y f x =及直线x a =、()x b a b =<与x 轴

所围成的曲边梯形面积A. 讲解：（板书）

(1) 选变量：选x 为积分变量

(2) 求微元：在区间微元[,]x x dx +上，取x ξ=，则 ()dA f x dx = 图1 (3) 列积分：()b

a

A f x dx =

⎰

练习：（学生自主根据微元法进行分析，然后教师讲解）

如图2，求由曲线 ()y f x = 与 ()y g x = 及直线 x a =、()x b a b =<且()()f x g x ≥所围成的图形面积A 。

利用微元法可得：

(1) 选变量：选x 为积分变量

(2) 求微元：在区间微元[,]x x dx +上，取x ξ=，

则 [()()]d A f x g x d x

=-

(3) 列积分：[()()]b

a

A f x g x dx =-⎰

图2

归纳（D1型区域区域，根据微元法可得面积的计算式子）：

取

x 为积分变量，积分区间为[,]a b ，被积函数为区域上方边界曲线函数减去下方边界曲线函数：()()f x g x -；

3 例题讲解 …………………………………………………10分钟

例1求由抛物线2

y x =与2

x y =所围成的面积.

解 题设曲线所围面积如图3所示,

由方程组

22y x x y ⎧=⎨=⎩

得二曲线的交点为(0,0),(1,1).

(1)选x 为积分变量，积分区间为[0,1]，上方边界曲线函数是y =是2

y x = 图3

故所求面积1

20)A x dx =-⎰32

1

3023

3x x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦1.3=

思考题：利用微元法，例题1是否有其他的解法？

4本节内容小结 …………………………………………………3分钟

（1）、微元法的基本思想； （2）微元法的3个步骤；

（3）对D1型区域，如何计算区域面积。

作业：

1、预习并思考：如何对D2型区域求面积？如何用微元法求旋转体体积？

2、P206 EX-1,2

课后反思