苏教版高中数学必修一.3.《对数》3

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苏教版必修1高一数学《对数函数》习题及答案

高中学生学科素质训练—对数与对数函数一、选择题： 1．3log 9log 28的值是（）A ．32 B ．1 C ．23 D ．22．若log 2)](log [log log )](log [log log )](log [log 55153313221z y x ===0，则x 、y 、z 的大小关系是（）A ．z ＜x ＜yB ．x ＜y ＜zC ．y ＜z ＜xD ．z ＜y ＜x 3．已知x =2+1,则lo g 4(x 3－x －6)等于（）A.23 B.45 C.0D.214．已知lg2=a ，lg3=b ，则15lg 12lg 等于（）A ．ba ba +++12B ．ba ba +++12C ．ba ba +-+12D ．ba ba +-+125．已知2 lg(x －2y )=lg x ＋lg y ，则y x 的值为（）A ．1B ．4C ．1或4D ．4 或 6.函数y =)12(log 21-x 的定义域为（）A ．(21，＋∞) B ．［1，＋∞)C ．(21，1] D ．(－∞，1)7．已知函数y =log 21 (ax 2＋2x ＋1)的值域为R ，则实数a 的取值范围是（）A ．a ＞ 1B ．0≤a ＜ 1C ．0＜a ＜1D ．0≤a ≤18.已知f (e x)=x ，则f (5)等于（）A ．e 5B ．5eC ．ln5D ．log 5e9．若1()log (01),(2)1,()a f x x a a f f x -=>≠<且且则的图像是（）A B C D10．若22log ()y x ax a =---在区间(,1-∞上是增函数，则a 的取值范围是（）A ．[2-B ．)22⎡-⎣C ．(22⎤-⎦D ．()22-11．设集合B A x x B x x A ⋂>=>-=则|},0log |{},01|{22等于（）A ．}1|{>x xB ．}0|{>x xC ．}1|{-<x xD ．}11|{>-<x x x 或12．函数),1(,11ln+∞∈-+=x x x y 的反函数为（）A ．),0(,11+∞∈+-=x e e y xx B ．),0(,11+∞∈-+=x e e y xx C ．)0,(,11-∞∈+-=x e e y xx D ．)0,(,11-∞∈-+=x e e y xx 二、填空题：13．计算：log 2.56.25＋lg1001＋ln e ＋3log 122+= ． 14．函数y =log 4(x －1)2(x ＜1＝的反函数为___ _______． 15．已知m ＞1，试比较(lg m )0.9与(lg m )0.8的大小． 16．函数y =(log 41x )2－log 41x 2＋5 在 2≤x ≤4时的值域为_____ _ ．三、解答题：17．已知y =log a (2－ax )在区间{0，1}上是x 的减函数，求a 的取值范围．18．已知函数f (x )=lg[(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1]，若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围．19．已知f(x)=x2＋(lg a＋2)x＋lg b，f(－1)=－2，当x∈R时f(x)≥2x恒成立，求实数a的值，并求此时f(x)的最小值？20．设0＜x＜1，a＞0且a≠1，试比较|log a(1－x)|与|log a(1＋x)|的大小．21．已知函数f(x)=log a(a－a x)且a＞1，（1）求函数的定义域和值域；（2）讨论f(x)在其定义域上的单调性；（3）证明函数图象关于y=x对称．22．在对数函数y=log2x的图象上(如图)，有A、B、C三点，它们的横坐标依次为a、a＋1、a＋2，其中a≥1，求△ABC面积的最大值．参考答案一、选择题： ADBCB CDCBA AB 二、填空题：13.213，14.y =1－2x (x ∈R )， 15. (lg m )0.9≤(lg m )0.8，16.8425≤≤y 三、解答题：17.解析：先求函数定义域：由2－ax ＞0，得ax ＜2又a 是对数的底数，∴a ＞0且a ≠1，∴x ＜a2 由递减区间[0，1]应在定义域内可得a2＞1，∴a ＜2 又2－ax 在x ∈[0，1]是减函数∴y =log a (2－ax )在区间[0，1]也是减函数，由复合函数单调性可知：a ＞1 ∴1＜a ＜218、解：依题意(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1＞0对一切x ∈R 恒成立．当a 2－1≠0时，其充要条件是：⎪⎩⎪⎨⎧<--+=∆>-0)1(4)1(01222a a a 解得a ＜－1或a ＞35 又a =－1，f (x )=0满足题意，a =1，不合题意．所以a 的取值范围是：(－∞，－1]∪(35，＋∞) 19、解析：由f (－1)=－2 ，得：f (－1)=1－(lg a ＋2)＋lg b =－2，解之lg a －lg b =1，∴ba=10，a =10b ．又由x ∈R ，f (x )≥2x 恒成立．知：x 2＋(lg a ＋2)x ＋lg b ≥2x ，即x 2＋x lg a ＋lg b ≥0，对x ∈R 恒成立，由Δ=lg 2a －4lg b ≤0，整理得(1＋lg b )2－4lg b ≤0 即(lg b －1)2≤0，只有lg b =1，不等式成立．即b =10，∴a =100．∴f (x )=x 2＋4x ＋1=(2＋x )2－3 当x =－2时，f (x ) min =－3． 20.解法一：作差法|log a (1－x )|－|log a (1＋x )|=|a x lg )1lg(- |－|a x lg )1lg(+|=|lg |1a (|lg(1－x )|－|lg(1＋x )|) ∵0＜x ＜1，∴0＜1－x ＜1＜1＋x ∴上式=－|lg |1a [(lg(1－x )＋lg(1＋x )]=－|lg |1a ·lg(1－x 2)由0＜x ＜1，得，lg(1－x 2)＜0，∴－|lg |1a ·lg(1－x 2)＞0， ∴|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )| 解法二：作商法|)1(log ||)1(log |x x a a -+=|log (1－x )(1＋x )|∵0＜x ＜1，∴0＜1－x ＜1＋x ，∴|log (1－x )(1＋x )|=－log (1－x )(1＋x )=log (1－x )x+11 由0＜x ＜1，∴1＋x ＞1，0＜1－x 2＜1 ∴0＜(1－x )(1＋x )＜1，∴x+11＞1－x ＞0 ∴0＜log (1－x )x+11＜log (1－x )(1－x )=1 ∴|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )| 解法三：平方后比较大小∵log a 2(1－x )－log a 2(1＋x )=[log a (1－x )＋log a (1＋x )][log a (1－x )－log a (1＋x )] =log a (1－x 2)·log ax x +-11=|lg |12a ·lg(1－x 2)·lg x x +-11 ∵0＜x ＜1，∴0＜1－x 2＜1，0＜xx +-11＜1 ∴lg(1－x 2)＜0，lgxx+-11＜0 ∴log a 2(1－x )＞log a 2(1＋x )，即|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )| 解法四：分类讨论去掉绝对值当a ＞1时，|log a (1－x )|－|log a (1＋x )|=－log a (1－x )－log a (1＋x )=－log a (1－x 2) ∵0＜1－x ＜1＜1＋x ，∴0＜1－x 2＜1 ∴log a (1－x 2)＜0，∴－log a (1－x 2)＞0当0＜a ＜1时，由0＜x ＜1，则有log a (1－x )＞0，log a (1＋x )＜0 ∴|log a (1－x )|－|log a (1＋x )|=|log a (1－x )＋log a (1＋x )|=log a (1－x 2)＞0 ∴当a ＞0且a ≠1时，总有|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )| 21.解析：(1)定义域为(－∞，1)，值域为(－∞，1)(2)设1＞x 2＞x 1∵a ＞1，∴12x x a a>，于是a －2x a ＜a －1x a则log a (a －a 2x a )＜log a (a －1xa ) 即f (x 2)＜f (x 1)∴f (x )在定义域(－∞，1)上是减函数(3)证明：令y =log a (a －a x )(x ＜1)，则a －a x =a y ，x =log a (a －a y ) ∴f －1(x )=log a (a －a x )(x ＜1)故f (x )的反函数是其自身，得函数f (x )=log a (a －a x )(x ＜1＝图象关于y =x 对称． 22.解析：根据已知条件，A 、B 、C 三点坐标分别为(a ，log 2a )，(a ＋1，log 2(a ＋1))，(a ＋2，log 2(a ＋2))，则△ABC 的面积S=)]2(log [log 2)]2(log )1([log 2)]1(log [log 222222++-++++++a a a a a a222)]2([)1)(2(log 21+++=a a a a a )2()1(log 2122++=a a a aa a a 212log 21222+++=)211(log 2122a a ++= 因为1≥a ,所以34log 21)311(log 2122max =+=S友情提示：部分文档来自网络整理，供您参考！文档可复制、编辑，期待您的好评与关注！。

新教材苏教版高中数学必修一学生版知识点07 指数与对数

高一数学同步精品课堂讲、例、测（苏教版2019必修第一册）知识点7指数与对数指数根式-------- n 次方根，根式1．a 的n 次方根的定义一般地，如果x n ＝a ，那么x 叫作a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *. 2．a 的n 次方根的表示3.(1)负数没有偶次方根．(2)0的n 次方根等于0，记作n0＝0.(3)(na )n ＝a (n ∈N *，且n >1)．(4)na n ＝a (n 为大于1的奇数)．(5)na n＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0(n 为大于1的偶数)．4.指数幂的运算对有理数指数幂的运算性质的三点说明：(1)有理数指数幂的运算性质是由整数指数幂的运算性质推广而来，可以用文字语言叙述为：∈同底数幂相乘，底数不变，指数相加；∈幂的幂，底数不变，指数相乘；∈积的幂等于幂的积．(2)有理数指数幂的运算性质中幂指数运算法则遵循：乘相加，除相减，幂相乘．(3)化简的结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数．对数1.对数的定义：一般地，如果a b＝N(a>0，且a≠1)，那么就称b是以a为底N的对数，记作log a N＝b，其中a叫作对数的底数，N叫作真数．如图所示：2.对数式中求值的基本思想和方法(1)基本思想在一定条件下求对数的值，或求对数式中参数字母的值，要注意利用方程思想求解．(2)基本方法∈将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题．∈利用幂的运算性质和指数的性质计算．3.对数式化简与求值的基本原则和方法(1)基本原则：对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．(2)两种常用的方法∈“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；∈“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．4.对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)log a(MN)＝log a M＋log a N；(2)log a MN＝log a M－log a N；(3)log a M n＝n log a M(n∈R)．解决对数应用题的一般步骤一、由根式化简求值例题1若=，则实数a 的取值范围是()A ．a ∈RB ．a ＝12C ．a ＞12D ．a ≤12例题2下列说法正确的个数是（）∈16的4次方根是2；的运算结果是±2；∈当n 为大于1a ∈R 都有意义；∈当n 为大于1a ≥0时才有意义. A ．1B ．2C ．3D ．4训练1则实数a 的取值范围是A ．(),3-∞B ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭训练2=a 的取值范围是（）A ．1[,)2+∞B ．1(,]2-∞C ．11[,]22-D ．R二、根式与分数指数幂的互化例题1化简43]的结果为（）A ．5 BC．D ．5-例题2的结果是（） A ．132- B ．122-C ．232-D ．322-训练10a >）的分数指数幂形式为（） A ．34a-B ．34aC ．43a-D ．43a训练2设0a >2表示成分数指数幂的形式，其结果是（）A ．12aB ．56a C ．76aD ．32a三、指数式与对数式的互化例题1log b N ＝a (b >0，b ≠1，N >0)对应的指数式是（） A ．a b ＝N B ．b a ＝N C ．a N ＝b D ．b N ＝a例题2把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是1θ∈，空气的温度是0θ∈，经过t 分钟后物体的温度θ∈可由公式010()ektθθθθ-=+-求得，其中k 是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于0的常数．现有80∈的物体，放在20∈的空气中冷却，4分钟以后物体的温度是40∈，则k 约等于（参考数据：ln 3 1.099≈）（） A ．0.6 B ．0.5 C ．0.4D ．0.3训练1下列指数式与对数式互化不正确的一组是（）A ．01e =与ln10=B ．13182-=与811log 23=-C ．3log 92=与1293=D ．7log 71=与177=训练2指数式 x 3=15的对数形式为:A ．log 3 15=xB ．log 15 x=3C ．log x 3= 15D ．log x 15= 3 四、对数的概念判断与求值例题1下列指数式与对数式的互化不正确的一组是A ．100=1与lg1=0B ．131273-=与271log 33=-C ．log 39=2与32=9D ．log 55=1与51=5例题2下列语句正确的是∈对数式log a N=b 与指数式a b =N 是同一关系的两种不同表示方法． ∈若a b =N （a>0且a≠1，N>0），则log a N a N =一定成立． ∈对数的底数可以为任意正实数． ∈log a a b =b 对一切a>0且a≠1恒成立． A ．∈∈∈∈ B ．∈∈∈ C ．∈∈∈D ．∈∈∈训练1下列函数是对数函数的是 A ．3log (1)y x =+B ．()y log 2a x = (a 0,a 1)>≠C ．ln y x =D ．2y log a x = (a 0,a 1)>≠训练2 有下列说法： ∈零和负数没有对数；∈任何一个指数式都可以化成对数式； ∈以10为底的对数叫做常用对数； ∈以e 为底的对数叫做自然对数．其中正确命题的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4综合式测试一、单选题1．正实数x ，y 满足lg lg 100y x x y =，则xy 的取值范围是（）A ．1[,100]100B ．1(0,][100,)100⋃+∞ C ．1(0,][10,)10+∞ D ．1[,10]102．已知4213332,3,25a b c ===，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<D ．c a b <<3．计算log 916·log 881的值为（） A ．18B ．118C ．83D ．384．已知log 45m =，log 98n =，0.8log 0.5p =，则m ，n ，p 的大小关系为（） A ．p m n >>B ．m n p >>C ．m p n >>D ．p n m >>5．若35225a b ==，则11a b +=（） A ．12B ．14C ．1D ．26．某食品加工厂2018年获利20万元，经调整食品结构，开发新产品.计划从2019年开始每年比上一年获利增加20%，问从哪一年开始这家加工厂年获利超过60万元（已知lg 20.3010=，lg30.4771=）.（） A ．2023年B ．2024年C ．2025年D ．2026年7．已知某抽气机每次可抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.2%，则至少要抽的次数是（参考数据：lg20.301=） A ．6B ．7C ．8D ．98．函数()51f x ax bx =-+，若()()5lg log 105f =，则()()lg lg5f 的值为（） A ．3- B ．5 C ．5- D ．9-二、填空题92log 3125(log 10)4-++10．若,a b 是方程242(lg )lg 10x x -+=的两个实根，则 lg()(log log )a b ab b a +的值为______．11．如图，矩形ABCD 的三个顶点,,A B C分别在函数y x=，12y x =，xy =⎝⎭的图像上，且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为______.12．已知()232log 3x f x =⋅，则()10072f 等于__________.三、解答题13．（1）计算：5log 3333322log 2log log 8259-+-；（2）1222301322(7.8)3483-⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎝⎭-⎭.14．（1）证明对数换底公式：log log log a b a NN b=（其中0a >且1a ≠，0b >且1b ≠，0N >）（2）已知3log 2m =，试用m 表示32log 18.15．已知函数xy a =（0a >且1a ≠）在[]1,2上的最大值与最小值之和为20，记()2xx a f x a =+.（1）求a 的值；（2）证明：()()11f x f x +-=；（3）求12320142015201520152015f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值.。

苏教版高中数学必修1《对数：对数的概念》教学教案

对数的概念【教学目标】1.使学生理解对数的概念，能够进行对数式与指数式的互化。

2.培养学生应用数学的意识.【教学重点】对数的概念【教学难点】对数与指数的互化【教学过程】一.复习引入：某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年,这种物质剩留的的质量是原来的84%,经过多少年这种物质的剩留量为原来的一半?二.新课讲解1. 定义：一般地，如果 ()1,0≠>a a a 的b 次幂等于N , 即 N a b =，那么数 b 叫做 a 为底 N 的对数，记作 b N a =log ，a 叫做对数的底数，N 叫做真数。

N a b = b N a =log【注】（1）在指数式中 N > 0 （负数与零没有对数）；（2） 01log =a 1log =a a（3）对数恒等式： N a N a =log ；b a b a =log（4）常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。

为了简便,N 的常用对数log 10 N 简记作lg N例如：log 105简记作lg 5 log 103.5简记作lg3.5.（5）自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e ＝2.71828……为底的对数，以e 为底的对数叫自然对数，为了简便，N 的自然对数log e N 简记作ln N 。

例如：log e 3简记作ln3 log e 10简记作ln102. 例题例1 将下列指数式改写成对数式：（1）54＝625 （2）2-6＝164 （3）3a ＝27 (4) （13 ）m ＝5.73 解：（1）log 5625＝4；（2）log 2 164 ＝－6；（3）log 327＝a ；（4）log 315.73＝m例2 将下列对数式写成指数式：（1）log 2116＝－4；（2）log 2128＝－7；（3）lg0.01＝－2；（4）ln10＝2.303解：（1）（12 ）－4＝16；（2）27＝128；（3）10－2＝0.01；（4）e 2.303＝10例3 求下列各式的值：（1） 64log 2 ；271log 3（2） 27log 9； 81log 34解：设 =x 27log 9 则 ,27=x a 3233=x , ∴23=x （3） ()[]81log log log 346（4） ()()32log 32-+（5） 5log 23log 14242-+-+例4 求 x 的值：（1） 43log 3-=x （2） ()()1123log 2122=-+-x x x （3） ()[]0log log log 432=x （4） 872log =x （5） 416log =x解：（1）2713443==-x （2）2,00212123222-==⇒=+⇒-=-+x x x x x x x但必须：⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠->-0123112012222x x x x ∴0=x 舍去 2-=x（3） ()1log log 43=x , ∴3log 4=x , 6443==x（4） 787878878722)(2=∴==x x x （5） )(22164舍去或-=∴=x x【课堂小结】（1）定义（2）互换（3）求值大家要在理解对数概念的基础上，掌握对数式与指数式的互化，会计算一些特殊对数值。

高中数学第三章指数函数、对数函数和幂函数3.2对数函数3.2.1对数名师导航学案苏教版必修1

3.2.1 对数名师导航知识梳理一、对数与对数运算 1.对数的定义一般地，如果a x=N(a>0,a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作__________，其中a 叫做对数的__________，N 叫做对数的__________.对数恒等式为________________________________________. 2.对数的运算法则指数的运算法则：对数的运算法则：（1）a m ·a n =a m+n;→ （1）______________;（2）n m aa =a m ·a -n =a m-n;→ （2）______________;（3）(a m )n=a mn;→ （3）_______________. 二、对数运算法则的证明 (学会证明方法)1.正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的_______________； log a (MN)=log a M+log a N. 设log a M=p,log a N=q,则a p =M,a q=N,∴MN=a p ·a q =a p+q.∴log a (MN)=p+q=log a M+log a N.2.两个正数的商的对数等于被除数的对数___________除数的对数；log a N M =log a M-log a N.∵N M =q p aa =a p-q,∴log aNM=p-q=log a M-log a N. 3.正数的幂的对数等于幂的底数的对数____________幂指数；log a (N n)=n ·log a N. 根据对数恒等式:Na a log =N,∴N n=(aalog N)n=Nn a alog •.∴log a (N n)=n ·log a N.4.正数的正的方根的对数等于被开方数的对数______________根指数. log anN n1=·log a N.∵n N =n N 1,∴由法则3得log a n N =log a nN 1=n1·log a N. 三、对数的性质1.__________和__________没有对数.因为a ＞0，所以不论b 是什么数，都有a b ＞0，即不论b 是什么数，N=a b永远是正数，这说明在相应的对数式 b=log a N 中真数N 永远是正数，换句话说负数和零没有对数. 2.1的对数是__________.因为a 0=1(a ＞0，且a ≠1)，所以根据对数的定义可得log a 1=0. 3.底数的对数等于__________.因为a 1=a ，根据对数的定义知log a a=1. 四、一组重要的对数公式——换底公式 1.log a b=abc c log log ,即有log c a ·log a b=log c b;2.log b a=ba log 1，即有log a b ·log b a=1；3.nmb a log =mnlog a b. 疑难突破如何将给出的对数式换成指定底数的对数？《考试大纲》要求知道用换底公式将一般对数转化成指定底数的对数.对数换底公式：log b N=bNa a log log (a ＞0且a ≠1，b ＞0且b ≠1，N ＞0)，推论：log a b=a b log 1，mn b a nm =log log a b.更特别地有log a a n=n.问题探究问题1 对数式与指数式有何关系？在对数符号log a N 中，为什么规定a ＞0，a ≠1，N ＞0呢？探究思路：对数的概念是这么说的：一般地，如果a(a ＞0且a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b=N ，那么就称b 是以a 为底N 的对数，记作log a N=b ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.从定义不难发现无论是指数式a b=N ，还是对数式log a N=b 都反映的是a 、b 、N 三数之间的关系. 在对数符号log a N 中，若a ＜0，则N 为某些值时，log a N 不存在，如log (-2)8不存在. 若a=0，则N 不为0时，log a N 不存在；N 为0时，log a N 可以为任何正数，不唯一.若a=1，则N 不为1时，log a N 不存在；N 为1时，log a N 可以为任何实数，不唯一.因此规定a ＞0且a ≠1.因为log a N=b ⇔a b=N ，在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，因此N ＞0. 问题2 对于对数，除了对数的定义，还有对数的性质，你能说说这些相关的内容吗？探究思路：对数部分，我们首先应当掌握对数的意义，即对数式与指数式之间的对应关系.另外对于对数我们应该掌握一些常用的性质：如(1)log a 1=0(1的对数是0)； (2)log a a=1(底数的对数是1)； (3)aalog N=N(对数恒等式)；(4)log a N=aNb b log log (b ＞0且b ≠1)(换底公式)；(5)log a M+log a N=log a MN ； (6)log a M-log a N=log a NM ； (7)nlog a N=log a N n； (8)mn log a N=log a m N n. 以上各式均有条件a ＞0且a ≠1.问题3 初学对数运算性质，容易犯下面的错误：log a (M ±N)=log a M ±log a N ，log a (M ×N)=log a M ×log a N ，log aN M =NM a a log log ，log a N n =(log a N)n.应该如何解决呢？探究思路：首先应把握对数运算的本质特征，运算性质是把真数的乘、除、乘方降级为对数的加、减、乘运算，是降级运算；其次，对数记号log a N 整体上才有意义，不能误把对数符号当作表示数的字母进行运算. 典题精讲例1 (1)将下列指数式写成对数式： ①210=1 024；②10-3=10001； ③0.33=0.027；④e 0=1.(2)将下列对数式写成指数式： ①log 0.46.25=-2；②lg2=0.301 0； ③log 310=2.095 9；④ln23.14=x.思路解析应用指数式与对数式的等价关系求解. 答案:(1)①log 21 024=10；②lg 10001=-3；③log 0.30.027=3；④ln1=0. (2)①0.4-2=6.25；②100.301 0=2；③32.095 9=10；④e x=23.14.例2 计算：log 2487+log 212-21log 242.思路解析这是几个对数式的加减运算，注意到每个对数式是同底的，则可以利用同底数的对数的运算公式化为一个对数式.当然也可以反其道而行之，即把每个对数的真数写成积或商的形式，再利用积或商的对数的运算性质化为同底对数的和与差，然后进行约简.解法一：原式=21(log 27-log 248)+log 23+2log 22-21(log 27+log 22+log 23) =21log 27-21log 23-21log 216+21log 23+2-21log 27-21=-21. 解法二：原式=log 2(347×12×671⨯)=-21. 例3 求下列各式的值： (1)3log 3128-；(2)7lg20×(21)lg0.7； (3)log 2(1+32+)+log 2(1+32-)； (4)lg(5353-++).思路解析 (1)由幂的运算法则把其化成同底，用对数恒等式aalog N=N 化简计算.(2)通过取对数，先算出对数值，再求值.(3)运用对数运算法则化成一个对数，然后利用底数与真数的特殊关系求解. (4)运用对数运算法则巧去根号. 解答:(1)2722222)2(827log 27log 13log 31)3log 31(33log 3122222=====----. (2)设x=7lg20×(21)lg0.7，则lgx=lg20×lg7+lg0.7×lg(21)=(lg2+1)×lg7+(lg7-1)×(-lg2)=lg7+lg2=lg14， ∴x=14，即7lg20×(21)lg0.7=14. (3)log 2(1+32+)+log 2(1+32-)=log 2［(1+2)2-(3)2］=log 222=log 2232=23. (4)lg(5353-++)=21lg(5353-++)2=21lg(3+5+3-5+259-)=21lg10=21. 例4 已知11.2a=1 000，0.011 2b=1 000，那么a 1-b1等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4 思路解析本题有两种解题方法.解法一：用指数解.由题意11.2=a 11000，0.011 2=b11000， ∴两式相除得ba 111000-=0112.02.11=1 000.∴a 1-b1=1. 解法二：用对数解.由题意，得a ×lg11.2=3，b ×lg0.011 2=3， ∴a 1-b 1=31(lg11.2-lg0.011 2)=1. 答案:A例5 方程lg(4x +2)=lg2x+lg3的解是_____________.思路解析把方程两边化为同底的对数式，然后比较真数得含有求知数的方程，解之即可.解:把两边化成同底的对数式为lg(4x +2)=lg(2x×3)，比较真数，得方程4x +2=2x×3，利用换元法，解得2x =1或2x=2. 所以x=0或x=1. 答案:x 1=0，x 2=1 知识导学 1.对数的概念在实际应用中，一定要注意指数式与对数式的等价性，即log a N=b a b=N. 2.换底公式一般地，我们称log a N=aNb b log log 为对数的换底公式.换底公式是对数中一个非常重要的公式，这是因为它是对一个对数进行变形运算的主要依据之一，是对数的运算性质.对数运算性质应用的前提是式子中对数的底相同.若底不同则需要利用换底公式化为底相同的.我们在应用换底公式时，一方面要证明它和它的几个推论；另一方面要结合构成式子的各对数的特点选择一个恰当的数作为对数的底，不要盲目地换底，以简化我们的解题过程. 3.常用对数与自然对数的概念有了对数的概念后，要求log 0.840.5的值，我们需要引入两个常用的对数：常用对数和自然对数.常用对数是指以10为底的对数；自然对数是指以e(e=2.718 28…，是一个无理数)为底的对数.有了常用对数和自然对数再利用对数的运算性质，我们就可以求log 0.840.5的值了. 4.对数恒等式对数恒等式：Na alog =N.它的证明也很简单，只要紧扣对数式的定义即可证明. ∵a b=N ， ∴b=log a N. ∴a b=Na alog =N ，即Na a log =N.如5log 33=5、6log 44=6等.要熟记对数恒等式的形式，会使用这一公式化简对数式.疑难导析对数换底公式口诀：换底公式真神奇，换成新底可任意，原底加底变分母，真数加底变分子. 问题导思指数式与对数式之间可以相互转化，它们之间可以理解为就像加法与减法一样的关系.后面我们会学习反函数，指数式与对数式之间的转化可以通过反函数进行. 这些常用的性质在指数运算中非常有用，需要记牢.有的性质可以用口诀来帮助记忆，比如，性质(5)(6)(7)可以这样来记：积的对数变为加，商的对数变为减，幂的乘方取对数，要把指数提到前. 典题导考绿色通道指数式与对数式之间的换算，就是利用log a N=b ⇔a b=N. 典题变式已知log a 2=m ，log a 3=n ，则a 2m-n=____________. 解答：∵log a 2=m ，log a 3=n ， ∴a m =2，a n=3.∴a 2m-n=3432)(222===nm n m a a a a . 绿色通道解决求值问题一般有两种解法：一是将式中的真数的积、商、幂、方根运用对数的运算法则化为对数的和、差、积、商，即“化整为零”，然后合并、消项、化简求值；二是将式中的对数的和、差、积、商运用对数运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，即“化零为整”，然后“相约”，化简求值. 典题变式计算2log 525+3log 264-8log 71的值为( )A.14B.8C.22D.27 答案:C绿色通道有关对数式的运算，除了要用到对数运算性质外，还要注意代数运算的其他性质的运用.如遇到不能直接运用对数运算法则进行运算的问题，有两种解决办法：一是取对数，先求出对数值，再求出真数的值，即为原式的值；二是运用对数恒等式aalog N=N 把任何正数N 化成含所需要的正数为底数的对数的一个幂，即可转化为用幂的运算法则和对数运算法则解决问题. 典题变式1.lg5lg8 000+(lg 32)2+lg0.06-lg6=______________.解答:原式=lg5(3+3lg2)+3lg 22+lg 606.0=3(1-lg2)(1+lg2)+3lg 22-2=3-2=1. 2.计算2lg5+32lg8+lg5·lg20+lg 22的值. 解答:原式=2lg5+2lg2+lg5(2lg2+lg5)+lg 22 =lg 25+2lg2·lg5+lg 22+2(lg5+lg2)=(lg5+lg2)2+2(lg5+lg2) =lg 210+2lg10 =1+2=3.绿色通道因为指数与对数存在着互逆的运算关系，因而反映在具体问题中就一定从指数式、对数式两条思路分别运用幂的运算法则和对数运算法则解决问题.这就是对立统一的原则在具体思路上的指导和体现. 典题变式已知a=lg(1+71)，b=lg(1+491)，试用a 、b 的式子表示lg1.4.答案:lg1.4=71(a-4b+1). 黑色陷阱如果误以为原方程lg(4x+2)=lg2x+lg3可化为lg4x+lg2=lg2x+lg3，将导致解题错误.这也说明数学思维的严密性，如果百密一疏，则后悔莫及! 典题变式已知函数f(x)=⎩⎨⎧≤>,0,3,0,log 3x x x x 则f ［f(91)］的值是( )A.9B.91C.-9D.-91答案:B。

第三章第2节第2课时对数的运算性质及换底公式 2017-2018学年高中数学(苏教版)必修一教学 ppt课件

[例 2]
已知 log189＝a,18b＝5，试用 a，b 表示 log3645.
利用换底公式，把题目中不同底的对数化成同底
[思路点拨]
的对数，再进一步应用对数的lg25＋lg 2· lg 5＋lg 2； 32 3 log 5 (2)2log32－log3 9 ＋log38－5 ； 2 (3)lg 25＋3lg 8＋lg 5· lg 20＋lg2 2； (4)(1－log62)2＋log62· log618＋lg 10－ln e2.
[思路点拨]
问题 1：对数 log24，log42 的值分别是多少？ 1 提示：2，2. 问题 2： log24， log42 的关系是什么？logab 与 logba 是否具有同样的关系？
提示：log24log42＝1，logablogba＝1.
问题 3：令 a＝lg 5，b＝lg 3，试用 a，b 表示 log35.
9 ＝log3100×100＝log39＝2.
答案：(1)2
(2)2
2．设
log3xx>0， f(x)＝ x 3 x<0.
－2
则 f[f(－2)]等于________．
1 解析：f(－2)＝3 ＝9. 1 1 ∴f[f(－2)]＝f(9)＝log39＝log33－2＝－2.
问题 3：log24，log28，log232 之间存在什么关系？
提示：log24＋log28＝log232＝log2(4×8)， 32 log2 8 ＝log24＝log232－log28， 32 log2 4 ＝log28＝log232－log24.
问题 4：利用上面的数值， loga(MN)＝logaMlogaN 成立吗？
问题 1：你知道对数 log22，log24，log28，log232 的值分别是多少吗？

探究对数运算的性质——高中数学必修一教案

对数运算是高中数学必修一中的一个重要内容，掌握其性质和运算方法对于数学学习和实际应用都具有很大的帮助。

本文将探究对数运算的性质，分别从定义、性质、运算法则、解题方法等多个角度进行讲解，以期给读者带来全面的了解和帮助。

一、定义我们先来回顾一下对数的定义。

对于正实数a和大于0的正整数n，如果一个数x满足a的n次方等于x，则称x为以a为底，n为指数的对数，记为loga x = n。

其中，a叫做对数的底数，x叫做真数，n叫做指数。

例如，对于8、2、3来说，log2 8 = 3，log3 2 =0.63093，log2 3 ≈ 1.58496。

从定义可以看出，对数运算实质上是以幂运算为基础的一种运算。

同时，对数的底数必须为正实数且不等于1，而真数必须为正实数。

对于loga a的值，我有loga a = 1，即底数为a的对数中，以a 为真数的对数值为1。

而对于loga 1的值，我们有loga 1 = 0，即底数为a的对数中，以1为真数的对数值为0。

二、性质对数运算有很多重要的性质，包括对数的性质、对数运算的性质等。

在这里我们将重点介绍对数的性质。

1.对数的唯一性：同一底数的对数只有唯一一个数与之对应。

因为根据定义，一个实数只能有一个幂次与之对应，相同底数的对数也只能有唯一一个。

2.对数的存在性：对于任何正实数x和底数a，必然存在一个实数n，使得a的n次方等于x。

因为a的n次方是一个连续的函数，并且可以取到任何大于0的正实数，存在一个实数n，使得a的n次方和x相等。

3.对数的有序性：底数相同的对数，指数越大，对应的数越大；指数越小，对应的数越小。

由于一个底数的幂次函数是一个单调递增或递减的函数，同底数的对数也满足单调性。

4.底数的变化：对数的底数变为a的p次方，相当于对数的指数乘以p，即loga xp = ploga x。

这是对数运算一个非常有用的性质，可以用来化简对数式子。

5.对数的互换：即loga b = 1/logb a。

苏教版高中数学教材目录【精选文档】

必修一第一章集合1.1集合的含义及其表示1。

2子集、全集、补集1。

3交集、并集第二章函数2。

1函数的概念和图象2.2指数函数2.3对数函数2.4幂函数2。

5函数与方程2。

6函数模型及其应用必修二第一章立体几何初步1。

1空间几何体1。

2点、线、面之间的位置关系1。

3空间几何体的表面积和体积第二章平面解析几何初步2.1直线与方程2。

2圆与方程2.3空间直角坐标系必修三第一章算法初步1.1算法的含义1.2流程图1.3基本算法语句1。

4算法案例第二章统计2。

1抽样方法2。

2总体分布的估计2。

3总体特征数的估计2。

4线性回归方程第三章概率3.1随机事件及其概率3。

2古典概型3。

3几何概型3.4互斥事件必修四第一章三角函数1。

1任意角、弧度1。

2任意角的三角函数1.3三角函数的图象与性质第二章平面向量2.1向量的概念与表示2。

2向量的线性运算2.3向量的坐标表示2。

4向量的数量积2.5向量的应用第三章三角恒等变换3。

1两角和与差的三角函数3.2二倍角的三角函数3。

3几个三角恒等式必修五第一章解三角形1.1正弦定理1。

2余弦定理1.3正弦定理、余弦定理的应用第二章2.1数列2。

2等差数列2.3等比数列第三章3.1不等关系3.2一元二次不等式3。

3二元一次不等式组与简单线性规划3.4《基本不等式》选修1-1第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1。

2充分条件与必要条件1。

3简单的逻辑联结词1。

4全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2。

1椭圆2。

2双曲线2。

3抛物线第三章导数及其应用3.1变化率与导数3。

2导数的计算3.3导数在研究函数中的应用3.4生活中的优化问题举例选修1—2第一章统计案例1。

1回归分析的基本思想及其初步应用1。

2独立性检验的基本思想及其初步应用第二章推理与证明2。

1合情推理与演绎推理2。

2直接证明与间接证明第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念3。

2复数代数形式的四则运算第四章框图4.1流程图4.2结构图选修2—1第一章常用逻辑用语1。

高中数学苏教版必修一学案：3.2.1 第1课时对数的概念

3．2对数函数3．2.1对数的概念第1课时对数的概念学习目标 1.理解对数的概念，掌握对数的基本性质(重、难点)；2.掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方程(重、难点)．预习教材P72－74，完成下面问题：知识点一对数的概念一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即a b＝N，那么就称b是以a为底N的对数，记作log a N＝b，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数．【预习评价】思考解指数方程3x＝3时，可化为3x＝，所以x＝12.请思考怎样解3x＝2?提示因为2难以化为以3为底的指数式，因而需要引入对数概念．知识点二对数的基本性质(1)负数和零没有对数．(2)log a1＝0(a＞0，且a≠1)．(3)log a a＝1(a＞0，且a≠1)．知识点三对数与指数的关系当a＞0，且a≠1时，a x＝N⇔x＝log a N.知识点四常用对数和自然对数通常将以10为底的对数称为常用对数，以e为底的对数叫做自然对数，log10N 可简记为lg_N，log e N简记为ln_N.【预习评价】1．下列指数式与对数式互化不正确的一组是________．(填序号)(1)e0＝1与ln 1＝0；(2)＝12与log812＝－13；(3)log39＝2与＝3；(4)log77＝1与71＝7.解析根据a b＝N⇔b＝log a N可知，(1)，(2)，(4)均正确，(3)不正确应是32＝9. ★★答案★★(3)2．若lg(ln x)＝0，则x＝________.解析ln x＝1，x＝e.★★答案★★ e3．若lg(log3x)＝1，则x的值为________．解析∵lg(log3x)＝1，∴log3x＝101＝10，∴x＝310.★★答案★★310题型一对数式与指数式的互化【例1】(1)将下列指数式写成对数式：①54＝625；②2－6＝164；③3a＝27；④⎝⎛⎭⎪⎫13m＝5.73.(2)求下列各式中的x的值：①log64x＝－23；②log x8＝6；③lg 100＝x；④－ln e2＝x.解(1)①log5625＝4；②log2164＝－6；③log327＝a；④ 5.73＝m.(2)①＝4－2＝116.②x6＝8，所以＝ 2.③10x＝100＝102，于是x＝2.④由－ln e2＝x，得－x＝ln e2，即e－x＝e2.所以x＝－2.规律方法要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解．【训练1】计算：(1)log927；(2)；(3).解(1)设x＝log927，则9x＝27,32x＝33，∴x＝3 2.题型二应用对数的基本性质求值【例2】求下列各式中x的值：(1)log2(log5x)＝0；(2)log3(lg x)＝1；解(1)∵log2(log5x)＝0.∴log5x＝20＝1，∴x＝51＝5.(2)∵log3(lg x)＝1，∴lg x＝31＝3，∴x＝103＝1 000.(3)∵log(2－1)13＋22＝x，∴(2－1)x＝13＋22＝1(2＋1)2＝12＋1＝2－1，∴x＝1.(4)∵＝27x＝2，∴x＝2 27.规律方法(1)对数式与指数式关系图：对数式log a N＝b是由指数式a b＝N变换而来的，两式底数相同，对数式中的真数N就是指数式中的幂的值N，而对数值b是指数式中的幂指数．(2)并非所有指数式都可以直接化为对数式．如(－3)2＝9就不能直接写成log(－3)9＝2，只有a＞0且a≠1，N＞0时，才有a x＝N⇔x＝log a N.【训练2】(1)若log2(log3x)＝log3(log4y)＝log4(log2z)＝0，则x＋y＋z的值为________．解析∵log2(log3x)＝0，∴log3x＝1，∴x＝3，同理y＝4，z＝2，∴x＋y＋z＝9.★★答案★★9(2)求的值(a，b，c∈R＋且不等于1，N＞0)．解考查题型三利用对数基本性质解方程方向方向1【例3－1】解方程lg(－2x－1)＝lg(x2－9)．解由已知得－2x－1＝x2－9，即x2＋2x－8＝0，解得x＝－4或x＝2.经检验，x＝2时，－2x－1<0，x2－9<0，与对数真数大于0矛盾，故x＝2舍去．所以原方程的根为x＝－4.方向2：同底对数方程转化为无理方程【例3－2】解方程log3(x－1)＝log3x＋5.解由题意得x－1＝x＋5，∴(x－1)2＝x＋5，即x2－3x－4＝0.解得x＝－1或x＝4.经检验，x＝－1不合题意，故舍去；x＝4是原方程的解．∴原方程的解是x＝4.方向3：整体代换转化为有理方程【例3－3】方程9x－6·3x－7＝0的解是________．解析设3x＝t(t＞0)，则原方程可化为t2－6t－7＝0，解得t＝7或t＝－1(舍去)，∴t＝7，即3x＝7.∴x＝log37.★★答案★★log37方向4：指、对数互化转化为有理方程【例3－4】若log(1－x)(1＋x)2＝1，则x＝________.解析由题意知1－x＝(1＋x)2，解得x＝0，或x＝－3.验证知，当x＝0时，log(1－x)(1＋x)2无意义，当x＝0不合题意，应舍去，所以x＝－3.★★答案★★－3规律方法应熟练进行指数与对数间的相互转化，在解题过程中，看到对数就应想到它的指数形式，看到指数就应想到它的对数形式．(1)对数运算时的常用性质：log a a＝1，log a1＝0.(2)使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质.课堂达标1．2x＝3化为对数式是________．解析∵2x＝3，∴x＝log23.★★答案★★x＝log232．若log3x＝3，则x＝________.解析∵log3x＝3，∴x＝33＝27.★★答案★★273．ln 1＋log(2－1)(2－1)＝________.解析ln 1＋log(2－1)(2－1)＝0＋1＝1.★★答案★★ 14．设10lg x＝100，则x的值为________．★★答案★★1005．求下列各式的值：(1)log(2－3)(2＋3)－1；(2)log327；(3)32＋log35.解(1)设x＝log(2－3)(2＋3)－1，则(2－3)x＝(2＋3)－1＝12＋3＝2－3，∴x＝1.即log(2＋3)－1＝1.(2－3)(2)∵33＝37，∴log327＝3.∴原式＝9×5＝45.课堂小结1．对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即a b＝N⇔log a N＝b(a ＞0，且a≠1，N＞0)，据此可得两个常用恒等式：2．在关系式a x＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算，而如果已知a和N求x的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算.。

苏教版高中数学必修一第三章章末知识整合(附答案)

章末知识整合一指数、对数的基本运算[例1] 计算：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－780＋⎝ ⎛⎭⎪⎫18－13＋ 4（3－π）4＝________.(2)已知函数f (x )＝lg x ，若f (ab )＝1，则f (a 2)＋f (b 2)＝________．解析：(1)原式＝1＋813＋|3－π|＝1＋2＋π－3＝π. (2)因为f (a 2)＋f (b 2)＝lg a 2＋lg b 2＝lg a 2b 2，又f (ab )＝lg ab ＝1，所以lg a 2b 2＝2lg ab ＝2. 答案：(1)π (2)2 规律方法1．指数与指数运算、对数与对数运算是两个重要的知识点，不仅是考查的重要问题类型，也是高考的常考内容．主要考查指数和对数的运算性质，以客观题为主．2．(1)指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为指数运算．(2)对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式进行对数计算、化简．[即时演练] 1.计算：(1)(2014·安徽卷)⎝ ⎛⎭⎪⎫1681－34＋log 354＋log 345＝________．(2)(2015·浙江卷)2log 23＋log 43＝________．解析：(1)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫234－34＋log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫54×45＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－3＋log 31＝⎝ ⎛⎭⎪⎫323＋0＝278.(2)原式＝2log 23＋log 23＝2log 2(33)＝3 3. 答案：(1)278 (2)3 3二幂函数的图象与性质[例2] 已知幂函数f (x )＝xm 2－2m －3(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上函数值随着x 的增大而减小，求满足(a ＋1)－m2<(3－2a )－m2的a 的取值范围．解：因为函数f (x )在(0，＋∞)上的函数值随着x 的增大而减小，所以m 2－2m －3<0.利用二次函数的图象可得－1<m <3. 又m ∈N *，所以m ＝1，2. 又函数图象关于y 轴对称，所以m 2－2m －3为偶数，故m ＝1. 所以所以有(a ＋1)－12<(3－2a )－12.又因为y ＝x －12的定义域为(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上是减函数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＞0，3－2a ＞0，a ＋1＞3－2a ，解得23<a <32.故实数a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪23<a <32. 规律方法1．幂函数y ＝x n 的图象，关键是根据n 的取值，确定第一象限的情况，然后再由定义域及奇偶性进一步确定幂函数在其他象限的图象．2．幂函数中的参数问题，要依据题设条件列出指数中参数所含的方程或不等式，求出参数，然后再利用幂函数的图象和相关的性质进行计算检验．[即时演练] 2.已知幂函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N *)． (1)试确定函数的定义域，并指明该函数的单调性； (2)若该函数的图象经过点(2，2)，求函数的解析式．解：(1)m 2＋m ＝m (m ＋1)，m ∈N *，而m 与m ＋1中必有一个为偶数，所以m (m ＋1)为偶数．所以函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N *)的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数．(2)因为函数f (x )经过点(2，2)，所以2＝2(m 2＋m )－1，即212＝2(m 2＋m )－1. 所以m 2＋m ＝2.解得m ＝1或m ＝－2. 又因为m ∈N *，所以m ＝1.因此函数f (x )＝x 12.三指数函数与对数函数的图象与性质 [例3] 已知函数f (x )＝log 12ax －2x －1(a 为常数)． (1)若常数a ＜2且a ≠0，求f (x )的定义域；(2)若f (x )在区间(2，4)上是减函数，求实数a 的取值范围．解：(1)由题意，ax －2x －1＞0，即(x －1)(ax －2)＞0.当0＜a ＜2时，2a ＞1.解不等式得x ＜1或x ＞2a .当a ＜0时，解得2a＜x ＜1.故当a ＜0时，定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2a ＜x ＜1；当0＜a ＜2时，定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜1或x ＞2a .(2)令u ＝ax －2x －1，因为f (x )＝log 12u 为减函数，故要使f (x )在(2，4)上是减函数，只需函数u (x )＝ax －2x －1＝a ＋a －2x －1，在(2，4)上单调递增且为正．故由⎩⎨⎧a－2＜0，u（2）＝2a－22－1≥0，解得1≤a＜2.所以实数a的取值范围为[1，2)．规律方法1．求解f(x)的定义域，注意a的取值影响，要进行分类讨论．2．第(2)问中，逆用“对数型”复合函数的性质，在脱去对数符号时，其真数一定要大于0，从而u(2)≥0得到关于a的不等式组．[即时演练] 3.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝⎝⎛⎭⎪⎫12x.(1)画出函数f(x)的图象；(2)根据图象写出f(x)的单调区间，并写出函数的值域．解：(1)先作出当x≥0时，f(x)＝⎝⎛⎭⎪⎫12x的图象，利用偶函数的图象关于y轴对称，再作出f(x)在x∈(－∞，0)时的图象．(2)函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为[0，＋∞)，值域为(0，1]．四函数模型的实际应用[例4] 甲、乙两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规模(产量)进行调查，提供了两个方面的信息如图甲和图乙所示．甲调查表明：每个甲鱼池平均出产量从第一年1万只甲鱼上升到第六年2万只．乙调查表明：甲鱼池个数由第一年30个减少到第六年10个，请你根据提供的信息说明．图甲图乙(1)第二年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼总数；(2)到第六年这个县的甲鱼养殖业的规模比第一年是扩大了还是缩小了？说明理由；(3)哪一年的规模最大？说明理由．解：(1)由题图可知，直线y 甲＝kx ＋b ，经过(1，1)和(6，2)．可求得k ＝0.2，b ＝0.8.所以y 甲＝0.2(x ＋4)．故第二年甲鱼池的产量为1.2万只．同理可得y 乙＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋172.故第二年甲鱼池的个数为26个，全县出产甲鱼的总数为26×1.2＝31.2(万只)．(2)规模缩小，原因是：第一年出产甲鱼总数30万只，而第6年出产甲鱼总数为20万只．(3)设第x 年规模最大，即求y 甲·y 乙＝0.2(x ＋4)·4⎝⎛⎭⎪⎫－x ＋172＝－0.8x 2＋3.6x ＋27.2的最大值．当x ＝－ 3.62×（－0.8）＝214≈2时，y 甲·y 乙＝－0.8×4＋3.6×2＋27.2＝31.2(万只)最大．即第二年规模最大，甲鱼产量为31.2万只．[即时演练] 4.某汽车公司曾在2014年初公告：2014年销量目标为39.3万辆；且该公司董事长极力表示有信心完成这个销量目标．已知2011年，某汽车年销量8万辆；2012年，某汽车年销量18万辆；2013年，某汽车年销量30万辆．如果我们分别将2011，2012，2013，2014年定义为第一、第二、第三、第四年，现在有两个函数模型：二次函数型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，指数函数型g (x )＝a ·b x ＋c (a ≠0，b ≠1，b ＞0)，哪个模型能更好地反映该公司年销量y 与第x 年的关系？解：建立年销量y (万辆)与第x 年的函数，可知函数图象必过点(1，8)，(2，18)，(3，30)．(1)构造二次函数型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，将点的坐标代入，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝8，4a ＋2b ＋c ＝18，9a ＋3b ＋c ＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝7，c ＝0.则f (x )＝x 2＋7x ，故f (4)＝44，与计划误差为4.7. (2)构造指数函数型g (x )＝a ·b x ＋c ，将点的坐标代入，可得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＋c ＝8，ab 2＋c ＝18，ab 3＋c ＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1253，b ＝65，c ＝－42.则g (x )＝1253×⎝ ⎛⎭⎪⎫65x－42，故g (4)＝1253×⎝ ⎛⎭⎪⎫654－42＝44.4，与计划误差为5.1.由上可得，f (x )＝x 2＋7x 模型能更好地反映该公司年销量y (万辆)与第x 年的关系．五转化与数形结合思想[例5] 当a 为何值时，函数y ＝7x 2－(a ＋13)x ＋a 2－a －2的一个零点在区间(0，1)上，另一个零点在区间(1，2)上？解：已知函数对应的方程为7x 2－(a ＋13)x ＋a 2－a －2＝0，函数的大致图象如图所示．根据方程的根与函数的零点的关系，方程的根一个在(0，1)上，另一个在(1，2)上，则：⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＞0，f （1）＜0，f （2）＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＞0，a 2－2a －8＜0，a 2－3a ＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＜－1或a ＞2，－2＜a ＜4，a ＜0或a ＞3，所以－2＜a ＜－1或3＜a ＜4. 规律方法1．转化是将数学命题由一种形式转向另一种形式的转换过程；化归是将待解决的问题通过某种转化的过程，归结为一类已解决或比较容易解决的问题．2．在解决函数问题时，常进行数与形或数与数的转化，从而达到解决问题的目的．[即时演练] 5.(2015·湖南卷)若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________．解析：函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，等价于函数y ＝|2x －2|与y ＝b 的图象有两个不同的交点．在同一坐标系中作出y ＝|2x －2|与y ＝b 的图象(如图所示)．由图象知，两图象有2个交点，则0＜b ＜2.答案：{b|0＜b＜2}。

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高中数学新课标苏教版教材目录数学1第1章集合§1.1集合的含义及其表示§1.2子集、全集、补集§1.3交集、并集第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ§2.1函数的概念和图象§函数的概念和图象§函数的表示方法§函数的简单性质§映射的概念§2.2指数函数§分数指数幂§指数函数§2.3对数函数§对数§对数函数§2.4幂函数§2.5函数与方程§二次函数与一元二次方程§用二分法求方程的近似解§2.6函数模型及其应用数学2第3章立体几何初步§3.1空间几何体§棱柱、棱锥和棱台§圆柱、圆锥、圆台和球§中心投影和平行投影§直观图画法§空间图形的展开图§柱、锥、台、球的体积§3.2点、线、面之间的位置关系§平面的基本性质§空间两条直线的位置关系§直线与平面的位置关系§平面与平面的位置关系第4章平面解析几何初步§4.1直线与方程§直线的斜率§直线的方程§两条直线的平行与垂直§两条直线的交点§平面上两点间的距离§点到直线的距离§4.2圆与方程§圆的方程§直线与圆的位置关系§圆与圆的位置关系§4.3空间直角坐标系§空间直角坐标系§空间两点间的距离数学3第5章算法初步§5.1算法的意义§5.2流程图§5.3基本算法语句§5.4算法案例第6章统计§6.1抽样方法§6.2总体分布的估计§6.3总体特征数的估计§6.4线性回归方程第7章概率§7.1随机事件及其概率§7.2古典概型§7.3几何概型§7.4互斥事件及其发生的概率数学4第8章三角函数§8.1任意角、弧度§8.2任意角的三角函数§8.3三角函数的图象和性质第9章平面向量§9.1向量的概念及表示§9.2向量的线性运算§9.3向量的坐标表示§9.4向量的数量积§9.5向量的应用第10章三角恒等变换§10.1两角和与差的三角函数§10.2二倍角的三角函数§10.3几个三角恒等式数学5第11章解三角形§11.1正弦定理§11.2余弦定理§11.3正弦定理、余弦定理的应用第12章数列§12.1等差数列§12.2等比数列§12.3数列的进一步认识第13章不等式§13.1不等关系§13.2一元二次不等式§13.3二元一次不等式组与简单的线性规划问题§13.4基本不等式选修系列11-1第1章常用逻辑用语§1.1命题及其关系§1.2简单的逻辑联结词§1.3全称量词与存在量词第2章圆锥曲线与方程§2.1圆锥曲线§2.2椭圆§2.3双曲线§2.4抛物线§2.5圆锥曲线的共同性质第3章导数及其应用§3.1导数的概念§3.2导数的运算§3.3导数在研究函数中的应用§3.4导数在实际生活中的应用1-2第1章统计案例§1.1独立性检验§1.2线性回归分析第2章推理与证明§2.1合情推理与演绎推理§2.2直接证明与间接证明第3章数系的扩充与复数的引入§3.1数系的扩充§3.2复数的四则运算§3.3复数的几何意义第4章框图§4.1流程图§4.2结构图选修系列22-1第1章常用逻辑用语§1.1命题及其关系§1.2简单的逻辑连接词§1.3全称量词与存在量词第2章圆锥曲线与方程§2.1圆锥曲线§2.2椭圆§2.3双曲线§2.4抛物线§2.5圆锥曲线的统一定义§2.6曲线与方程第3章空间向量与立体几何§3.1空间向量及其运算§3.2空间向量的应用2-2第1章导数及其应用§1.1导数的概念§1.2导数的运算§1.3导数在研究函数中的应用§1.4导数在实际生活中的应用§1.5定积分第2章推理与证明§2.1合情推理与演绎推理§2.2直接证明与间接证明§2.3数学归纳法第3章数系的扩充与复数的引入§3.1数系的扩充§3.2复数的四则运算§3.3复数的几何意义2-3第1章计数原理§1.1两个基本原理§1.2排列§1.3组合§1.4计数应用题§1.5二项式定理第2章概率§2.1随机变量及其概率分布§2.2超几何分布§2.3独立性§2.4二项分布§2.5离散型随机变量的均值与方差§2.6正态分布第3章统计案例§3.1独立性检验§3.2线性回归分析主要编写人员情况主编单墫副主编李善良陈永高主要编写人员数学与应用数学方面：单墫陈永高苏维宜蒋声丁德成洪再吉许道云孙智伟李跃文王晓谦尤建功秦厚荣唐忠明钱定边傅珏生葛福生夏建国孙智伟汪任观数学教育与数学史方面：李善良赵振威葛军徐稼红周焕山朱家生高中数学教师与教研员：仇炳生冯惠愚张乃达祁建新樊亚东石志群董林伟张松年陈光立陆云泉孙旭东于明寇恒清王红兵卫刚单墫 1943年生，南京师范大学数学系教授，博士生导师，享受政府特殊津贴。

2016年高中数学 3.2.1对数(3)课件苏教版必修1---对数的换底公式

化简：
1 1 1 log2 ·log3 ·log5 ＝ 25 8 9
2 1 2 ＝＋＋ log330 log430 log530
3 2 1 证明：log 19＋log 19＋log 19 ＜2 2 3 5
．．
自我挑战：
例2 设xa＝yb＝zc，且
1 1 1 + = a b c
．求证：z＝xy．
变式：设正实数a，b，c 满足3a＝4b＝6c，
2 1 2 (1)求证： - = ； c b a
(2)比较3a，4b，6c的大小．
数学应用：
例3．如图，2000年我国国内生产总值(GDP)为89442亿元，如果我国的 GDP年均增长7.8%左右，按照这个增长速度，在2000年的基础上，经过多少年后，我国GDP才能实现比2000年翻两番的目标？(lg2≈0.3010， lg1.078≈0.0326，结果保留整数)．
换底公式的推导结论：
1 logab· logba＝1； logab＝ log a b
m log a n b ＝ log a b n
m
数学应用：
例1 求log89×log332的值．
变式： (1)求log89×log2732的值；
(2)若log34×log25×log5m＝2，则m＝
．
自我挑战：
能运用性质解决这些问题吗？如果有困难，困难在哪里？
问题聚焦：例题：用常用对数表示 log3 5
解：
对数的换底公式
猜想结论：
lg N (1) loga N lg a
logc N (2) loga N logc a
证明：如何证明？例题能给我们有什么启示？
数学建构：
对数的换底公式： logcN logaN＝ log a c 其中a＞0，a≠1， c＞0，c≠1， N ＞0

第6章-6.3-对数函数高中数学必修第一册苏教版

A.
B.
)
C.
D.
【解析】
若0 < < 1,则函数 = 的图象下降且过点 0,1 ，而函数
= log − 的图象上升且过点 −1,0 ，与题中所给图象均不符合.若 > 1,
首先函数 = 的图象只可能在轴上方，函数 = log − 的图象只可能
在轴左侧，从而A,D中图象不正确；再看单调性， = 与 = log − 的单调性
∴ = + 1.
又的图象过点 1,3 ,
∴ 3 = + 1,即 = 2,
∴ = 2 + 1（【另解】至此,也可令2 + 1 = 9,解得 = 3,即 −1 9 = 3）.
∴ −1 = log 2 − 1 , > 1.
故 −1 9 = log 2 8 = 3.
（1） = lg − 1 + lg − 2 ;
【解析】要使函数式有意义，需满足ቊ
− 1 > 0,
解得 > 2.
− 2 > 0,
所以函数 = lg − 1 + lg − 2 的定义域是{| > 2}.
（2） = log
1−
5;
【解析】要使函数式有意义，需满足ቊ
所以函数 = log
log 0.5 4 − 3
ln 4−
−3
3
的定义域是{|
4
< ≤ 1}.
.
4 − > 0,
【解析】要使函数式有意义，需满足ቊ
解得 < 4且 ≠ 3.
− 3 ≠ 0,
所以函数 =
ln 4−
−3

苏教版高中数学必修1教案5篇

苏教版高中数学必修1教案5篇苏教版高中数学必修1教案5篇教案是以系统方法为指导。

教案把教学各要素看成一个系统，分析教学问题和需求，确立解决的程序纲要，使教学效果最优化。

下面小编给大家带来关于苏教版高中数学必修1教案，方便大家学习苏教版高中数学必修1教案1教学目标：(1) 了解集合、元素的概念，体会集合中元素的三个特征;(2) 理解元素与集合的属于和不属于关系;(3) 掌握常用数集及其记法;教学重点：掌握集合的基本概念;教学难点：元素与集合的关系;教学过程：一、引入课题军训前学校通知：8月15日8点，高一年级在体育馆集合进行军训动员;试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定(是高一而不是高二、高三)对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念--集合(宣布课题)，即是一些研究对象的总体。

阅读课本P2-P3内容二、新课教学(一)集合的有关概念1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。

2. 一般地，我们把研究对象统称为元素(element)，一些元素组成的总体叫集合(set)，也简称集。

3. 思考1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：(1) 大于3小于11的偶数;(2) 我国的小河流;(3) 非负奇数;(4) 方程的解;(5) 某校2023级新生;(6) 血压很高的人;(7) 著名的数学家;(8) 平面直角坐标系内所有第三象限的点(9) 全班成绩好的学生。

对学生的解答予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。

4. 关于集合的元素的特征(1)确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。

(2)互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此，同一集合中不应重复出现同一元素。

对数函数课件-2022-2023学年高一上学期数学苏教版(2019)必修第一册

高中数学
必修第一册
配套江苏版教材
【概念理解】
（1） f -1（x）是函数f（x）的反函数，不是“f（x）的负1次幂”.
（2）并非每个函数都有反函数，有些函数没有反函数，如二次函数y＝x2没有反函数.
（3）“给定值域中任意一个y的值，只有唯一的x与之对应”这句话，可以从函数图象上来理解，即任何
一条与y轴垂直的直线与函数y＝f（x）的图象至多只有一个交点，因此定义域内的单调函数必有反函数，
<1 x<0
当a>1时，ax
情况
x
当0<a<1时，a
单调性
<1 x>0 ,
=1 x=0 ,
>1 x<0
>0 x>1 ,
当a>1时，log a
=0 x=1 ,
<0 0<x<1 ；
<0 x>1 ,
当0<a<1时，log a
=0 x=1 ,
>0 0<x<1
当a>1时，y＝ax，y＝logax在定义域内为增函数；当0<a<1时，y＝ax，y＝logax在定义域内为减函数
高中数学
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【规律总结】对数值正负的规律
（1）当a>1时，由对数函数y＝logax是增函数知：若0<x<1，则logax<loga1＝0；若x>1，则logax>loga1＝0.
（2）当0<a<1时，由对数函数y＝logax是减函数知：若0<x<1，则logax>loga1＝0；若x>1，则logax<loga1＝0.

高中数学(苏教版)必修一讲义：第三章 3.2 对数函数

问题1：若2x ＝16，(13)x ＝9，x 的值分别为多少？提示：4，－2.问题2：若2x ＝3，(13)x ＝2，你现在还能求得x 吗？这是一种什么运算？提示：不能．这是一种已知底数和幂值，求指数的运算．问题3：若2x ＝0，(13)x ＝－1，这样的x 存在吗？为什么？提示：不存在．因为2x >0，(13)x >0，所以原方程无解．1．对数的概念一般地，如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b ＝N ，那么就称b 是以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．2．常用对数与自然对数通常将以10为底的对数称为常用对数，为了简便起见，对数log 10N 简记为lg_N . 在科学技术中，常常使用以e 为底的对数，这种对数称为自然对数(其中e ＝2.718 28…是一个无理数)，正数N 的自然对数log e N 一般简记为ln_N .对数符号log a N 只有在N >0，a >0且a ≠1时才有意义．零和负数无对数，即N ≤0时log a N 无意义(因为a x >0)．[例1] 求使对数log (a －2)(7－2a )有意义的a 的取值范围． [思路点拨] 根据对数中底数与真数的取值范围求解． [精解详析] 在log a N 中，N >0，a >0且a ≠1， ∴依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧7－2a >0，a －2>0，a －2≠1.解得2<a <72且a ≠3.故a 的取值范围是2<a <72，且a ≠3.[一点通] 解决此类问题只需根据对数的意义，即底数大于0且不等于1，真数大于0，列不等式组求解即可．1．已知对数log a (3a －2)有意义，则实数a 的取值范围为________．解析：要使log a (3a －2)有意义， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －2>0a >0a ≠1.∴a >23且a ≠1.★答案★：{a |a >23且a ≠1}2．求下列各式中的x 的范围．(1)log (x 2＋1)(－3x ＋8)；(2)log (2x －1)(x ＋2)．解：(1)依题意知⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋8>0x 2＋1>0x 2＋1≠1，解得x <83且x ≠0.所以x 的取值范围是x <83且x ≠0.(2)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>02x －1>02x －1≠1，解得x >12且x ≠1.所以x 的取值范围是x >12且x ≠1.[例2] 将下列指数式与对数式互化： (1)43＝64；(2)(13)－2＝9；(3)2－2＝14；(4)log 327＝3；(5)log 128＝－3；(6)log 2x ＝5.[思路点拨] 利用a x ＝N ⇔x ＝log a N (a >0，且a ≠1)进行转化． [精解详析] (1)log 464＝3； (2)log 139＝－2； (3)log 214＝－2；(4)33＝27； (5)(12)－3＝8； (6)x ＝(2)5＝4 2.[一点通] 指数式a b ＝N 中的幂N 即为对数式log a N ＝b 中的真数N .利用此关系可以进行指数式与对数式的互化，求某些对数值就可以把它转化成指数问题．3．下列指数式与对数式的互化正确的序号是________． ①N ＝a 2与log N a ＝2；②log 2 4＝4与 2 4＝4； ③(14)－3＝64与log 6414＝－13； ④log x 7y ＝z 与x z ＝y 17.解析：①错，N ＝a 2⇒log a N ＝2；②正确； ③错误，(14)－3＝64⇒log 1464＝－3；④正确．★答案★：②④4．求下列各式中x 的值：(1)log x 27＝32；(2)log 3x ＝6；(3)log 3(lg x )＝1.解：(1)∵log x 27＝32，∴x 32＝27，x ＝2723＝32＝9.(2)由log 3x ＝6，得(3)6＝x ，∴x ＝33＝27. (3)由log 3(lg x )＝1，得lg x ＝31＝3，∴x ＝103＝1 000.[例3] 求下列各式的值： (1)log (2－3)(2＋3)－1;(2)log 327; (3)32＋log 35.[思路点拨] 利用对数的基本性质和对数与指数之间的转化求解． [精解详析] (1)设x ＝log (2－3)(2＋3)－1，则(2－3)x ＝(2＋3)－1＝12＋3＝2－ 3. ∴x ＝1. 即log (2－3)(2＋3)－1＝1.(2)∵33＝27，∴log 327＝3. (3)32＋log 35＝32·3log 35＝9·3log 35. 令3log 35＝x ，∴log 35＝log 3x 即x ＝5.∴原式＝9×5＝45. [一点通](1)求对数的值时，可先设其值为x ，转化为指数式后再求． (2)log a a N ＝N (a >0且a ≠1)，这是对数恒等式，使用时要注意格式．5．求下列各式的值：(1)log 525；(2)log 2116；(3)lg 1 000；(4)lg 0.001.解：(1)∵52＝25，∴log 525＝2； (2)∵2－4＝116，∴log 2116＝－4；(3)∵103＝1 000，∴lg 1 000＝3； (4)∵10－3＝0.001，∴lg 0.001＝－3. 6．计算下列各题： (1)2122；(2)22＋log 25；(3)71－log 75. 解：(1)212log25＝(212)2＝(2)2＝5；(2)22＋log25＝22×2log 25＝4×5＝20； (3)71－log75＝71÷7log 75＝7÷5＝75.1．在求解对数问题时，要注意log a N 中对a ，N 的要求：①对a 的要求是：a >0且a ≠1；②对N 的要求是：N >0.2．对数的基本性质对于对数log a N (a >0，a ≠1，N >0)，具有以下性质：①零和负数无对数，即N >0；②log a a ＝1；③log a 1＝0；④a log a N ＝N .一、填空题1．若对数式log (x －1)(x ＋3)有意义，则x 的取值范围为________．解析：若log (x －1)(x ＋3)有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3>0，x －1>0，x －1≠1解得x >1且x ≠2.★答案★：(1,2)∪(2，＋∞)．2．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么x －12等于________．解析：由log 7[log 3(log 2x )]＝0，得log 3(log 2x )＝1，即log 2x ＝3，解得x ＝8，所以x12-＝812-＝18＝122＝24. ★答案★：243．若log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m ＋n ＝________. 解析：由log a 2＝m 得a m ＝2，由log a 3＝n 得a n ＝3. ∴a 2m ＋n ＝a 2m ·a n ＝(a m )2·a n ＝22×3＝12. ★答案★：124．若f (10x )＝x ，则f (1 000)的值为________．解析：令10x ＝t ，∴x ＝lg t . ∴f (t )＝lg t 即f (x )＝lg x .∴f (1 000)＝lg 1 000，∵103＝1 000，∴f (1 000)＝3. ★答案★：35．若10α＝2，β＝lg 3，则10012αβ-＝________.解析：∵β＝lg 3，∴10β＝3. ∴100α12-β＝100α10012β＝(10α)210β＝223＝43. ★答案★：436．若log 3(a ＋1)＝1，则log a 2＋log 2(a －1)的值为________．解析：∵log 3(a ＋1)＝1，∴a ＋1＝31，即a ＝2. ∴log a 2＋log 2(a －1)＝log 22＋log 2(2－1)＝1＋0＝1. ★答案★：1 二、解答题7．(1)将对数式log 139＝－2，化为指数式；(2)将指数式10－3＝0.001，化为对数式； (3)已知log 2(log 5x )＝1，求x 的值．解：(1)∵log 139＝－2，∴(13)－2＝9；(2)∵10－3＝0.001，∴log 100.001＝－3，即lg 0.001＝－3；(3)∵log 2(log 5x )＝1，∴log 5x ＝2，∴x ＝52＝25. 8．求下列各式中x 的值： (1)log 8x ＝－23；(2)log x 27＝34；(3)log 2(log 5x )＝0；(4)log 3(lg x )＝1. 解：(1)由log 8x ＝－23，得x ＝823-＝(23)23-＝2－2＝14.(2)由log x 27＝34，得x 34＝27，x ＝(33)43＝34＝81.(3)由log 2(log 5x )＝0，得log 5x ＝1，所以x ＝5.(4)由log 3(lg x )＝1，得lg x ＝3，所以x ＝103＝1 000. 9．已知log 2x ＝3，log 2y ＝5，求log 2xy 的值．解：∵log 2x ＝3，log 2y ＝5， ∴x ＝23，y ＝25，x y ＝2325＝14∴log 2x y ＝log 214＝log 22－2＝－2.问题1：你知道对数log 22，log 24，log 28，log 232的值分别是多少吗？提示：1，2，3，5.问题2：这几个对数与log 22有什么形式上的关系？提示：log 24＝log 222＝2log 22，log 28＝log 223＝3log 22，log 232＝log 225＝5log 22. 问题3：log 24，log 28，log 232之间存在什么关系？提示：log 24＋log 28＝log 232＝log 2(4×8)，log 2328＝log 24＝log 232－log 28，log 2324＝log 28＝log 232－log 24.问题4：利用上面的数值，log a (MN )＝log a M log a N 成立吗？提示：不成立，如log 232≠log 24×log 28.对数的运算性质(1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ；(2)log a MN＝log a M －log a N ；(3)log a M n ＝n log a M ，(其中a >0，a ≠1，M >0，N >0，n ∈R .)问题1：对数log 24，log 42的值分别是多少？提示：2，12.问题2：log 24，log 42的关系是什么？log a b 与log b a 是否具有同样的关系？提示：log 24log 42＝1，log a b log b a ＝1.问题3：令a ＝lg 5，b ＝lg 3，试用a ，b 表示log 35. 提示：由a ＝lg 5知10a ＝5，由b ＝lg 3知10b ＝3.又10a ＝(10b )ab，5＝3a b，∴log 35＝a b ，即log 35＝lg 5lg 3.换底公式的定义：一般地，我们有log a N ＝log c Nlog c a ，(其中a >0，a ≠1，N >0，c >0，c ≠1.)这个公式称为对数的换底公式．对数的每一条运算法则，都要注意只有当式子中所有的对数记号都有意义时，等式才成立，如log 2[(－3)·(－5)]是存在的，但log 2(－3)与log 2(－5)均不存在，故不能写成log 2[(－3)·(－5)]＝log 2(－3)＋log 2(－5)．[例1] 计算下列各式的值： (1)lg 25＋lg 2·lg 5＋lg 2； (2)2log 32－log 3329＋log 38－5log 53； (3)lg 25＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋lg 2 2；(4)(1－log 62)2＋log 62·log 618＋lg 10－ln e 2.[思路点拨] 利用对数的运算性质，将式子转化为只含一种或几种真数的形式再进行计算．[精解详析] (1)原式＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2 ＝lg 5·lg(5×2)＋lg 2 ＝lg 5＋lg 2＝lg 10＝1.(2)原式＝2log 32－(log 332－log 39)＋3log 32－3 ＝2log 32－5log 32＋2＋3log 32－3＝－1. (3)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg102·lg(2×10)＋lg 2 2 ＝2lg(5×2)＋(1－lg 2)·(lg 2＋1)＋lg 2 2＝2＋1－lg 22＋lg 22＝3.(4)(log 66－log 62)2＋log 62·log 6(2×32) ＝⎝⎛⎭⎫log 6622＋log 62·(log 62＋log 632) ＝log 263＋log 262＋2log 62·log 63 ＝(log 63＋log 62)2＝1. 又lg 10＝12，ln e 2＝2，∴原式＝1＋12－2＝－12.[一点通] 利用对数的运算性质解题时，应根据所求式子的结构，对真数进行分解或合并，常见的方法有两种：一种是将式中真数的积、商、幂、方根运用对数的运算性质将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；另一种方法是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算性质将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．1．(1)(lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 20的值是________． (2)log 39100＋2log 310＝________. 解析：(1)原式＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 20 ＝lg 5＋lg 20＝lg (5×20)＝lg 100＝2. (2)原式＝log 39100＋log 3100 ＝log 3⎝⎛⎭⎫9100×100＝log 39＝2. ★答案★：(1)2 (2)22．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x (x >0)，3x (x <0).则f [f (－2)]等于________．解析：f (－2)＝3－2＝19.∴f [f (－2)]＝f (19)＝log 319＝log 33－2＝－2.★答案★：－23．求值：(1)lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18；(2)lg 243lg 9；(3)lg 27＋lg 8－3lg 10lg 1.2.解：(1)法一(公式的正向运用)：原式＝lg (2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg(32×2) ＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2 ＝0.法二(公式的逆向运用)：原式＝lg 14－lg(73)2＋lg 7－lg 18＝lg14×7(73)2×18＝lg 1＝0.(2)原式＝lg 35lg 32＝5lg 32lg 3＝52.(3)原式＝lg (33)12＋lg 23－3lg 1012lg 3×2210＝32(lg 3＋2lg 2－1)lg 3＋2lg 2－1＝32.[例2] 已知log 189＝a,18b ＝5，试用a ，b 表示log 3645.[思路点拨] 利用换底公式，把题目中不同底的对数化成同底的对数，再进一步应用对数的运算性质求值．[精解详析] 法一：∵log 189＝a,18b ＝5，∴log 185＝b ，于是log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(9×5)log 18(18×2)＝log 189＋log 1851＋log 182＝a ＋b1＋log 18189＝a ＋b 2－a. 法二：∵log 189＝a,18b ＝5，∴log 185＝b .于是log 3645＝log 18(9×5)log 181829＝log 189＋log 1852log 1818－log 189＝a ＋b2－a .法三：∵log 189＝a,18b ＝5， ∴lg 9＝a lg 18，lg 5＝b lg 18.∴log 3645＝lg 45lg 36＝lg (9×5)lg 1829＝lg 9＋lg 52lg 18－lg 9＝a lg 18＋b lg 182lg 18－a lg 18＝a ＋b2－a.[一点通](1)换底公式的主要用途在于将一般对数化为常用对数或自然对数，解决一般对数求值问题．(2)换底公式的本质是化同底，这是解决对数问题的基本方法．4．若x log 23＝1，则3x ＋9x 的值为________．解析：由x log 23＝1得x ＝1log 23＝log 32.∴3x ＋9x ＝3log 32＋9log 32＝2＋9log 94 ＝2＋4＝6. ★答案★：65．已知lg 2＝a ，lg 7＝b ，用a ，b 表示log 498. 解：log 498＝lg 98lg 4＝lg 49＋lg 22lg 2＝2lg 7＋lg 22lg 2，∵lg 2＝a ，lg 7＝b ，∴log 498＝2b ＋a2a.6．计算：(log 2125＋log 425＋log 85)(log 52＋log 254＋log 1258)．解：法一：原式＝(log 253＋log 225log 24＋log 25log 28)·(log 52＋log 54log 525＋log 58log 5125) ＝(3log 25＋2log 252log 22＋log 253log 22)(log 52＋2log 522log 55＋3log 523log 55)＝(3＋1＋13)log 25·(3log 52)＝13log 25·log 22log 25＝13.法二：原式＝(lg 125lg 2＋lg 25lg 4＋lg 5lg 8)(lg 2lg 5＋lg 4lg 25＋lg 8lg 125)＝(3lg 5lg 2＋2lg 52lg 2＋lg 53lg 2)(lg 2lg 5＋2lg 22lg 5＋3lg 23lg 5)＝(13lg 53lg 2)(3lg 2lg 5)＝13.[例3] 设x ，y ，z 均为正数，且3x ＝4y ＝6z . 求证：1z －1x ＝12y.[思路点拨] 由条件可知，可以令3x ＝4y ＝6z ＝k ，用k 分别表示出x ，y ，z .然后再代入进行证明． [精解详析] 设3x ＝4y ＝6z ＝k ，因为x ，y ，z 均为正数，所以k >1.所以x ＝log 3k ＝1log k 3，y ＝log 4k ＝1log k 4＝12log k 2， z ＝log 6k ＝1log k 6，所以1x ＋12y ＝log k 3＋log k 2＝log k 6＝1z ，即1z －1x ＝12y. [一点通] 在证明恒等式或进行对数值运算时，多借助于换底公式化为同底的对数，至于底数取什么数值，一般是根据已知条件灵活选取．7．已知2x ＝5y ，则xy 的值为________．解析：令2x ＝5y ＝k (k >0)，则x ＝log 2k ，y ＝log 5k ， ∴x y ＝log 2k log 5k ＝log k 5log k 2＝log 25. ★答案★：log 25 8．设A ＝1log 519＋2log 319＋3log 2 19，B ＝1log 2 π＋1log 5 π，试比较A 与B 的大小．解：利用换底公式，可得A ＝log 195＋2log 193＋3log 192＝log 19360，B ＝log π2＋log π5＝log π10. ∵log 19360<log 19192，log π10>log ππ2， ∴log 19360<2，log π10>2，∴A <B .[例4] 2013年我国国民生产总值为a 亿元，如果年平均增长8%，那么经过多少年，我国国民生产总值是2013年的2倍？(已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，lg 1.08≈0.033 4.精确到1年)[思路点拨] 认真分析题意，找出其中各量之间的关系，列出式子，并利用对数运算求解．[精解详析] 设经过x 年，我国国民生产总值是2013年的2倍．经过1年，总产值为a (1＋8%)，经过2年，总产值为a (1＋8%)2. ……经过x 年，总产值为a (1＋8%)x . 由题意得a (1＋8%)x ＝2a ，即1.08x ＝2，两边取常用对数，得lg 1.08x＝lg 2，则x＝lg 2lg 1.08≈0.301 00.033 4≈9(年)．答：约经过9年，国民生产总值是2013年的2倍．[一点通]解对数应用题的步骤(1)理解题意，弄清各字母的含义；(2)恰当地设未知数，建立数学模型，即已知a x＝N(a，N是常数，且a>0，a≠1)，求x；(3)在a x＝N两边取以a为底的对数得x＝log a N.(4)还原为实际问题，归纳结论．9．通常表明地震能量大小的尺度是里氏震级，其计算公式是M＝lg A－lg A0，其中，A 是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅，M为震级，则7级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的多少倍？解：M＝7时，7＝lg A1－lg A0，∴A1A0＝107，即A1＝107A0；当M＝5时，A2＝105A0，∴A1A2＝107A0105A0＝100(倍)．因此7级地震的最大震幅是5级地震最大振幅的100倍．10．我们都处于有声世界里，不同场合，人们对音量会有不同的要求．音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为I的声波，分贝的定义是：y＝10lg II0.这里I0是人耳能听到的声音的最低声波强度，I0＝10－12 w/m2，当I＝I0时，y＝0.(1)如果I＝1 w/m2，求相应的分贝值；(2)70 dB时声音强度I是60 dB时声音强度I′的多少倍？解：(1)∵I＝1 w/m2，∴y＝10lg II0＝10lg110－12＝10lg 1012＝120(dB)．(2)由70＝10lg II0，得lgII0＝7，∴II0＝107.又由60＝10lg I′I0，得lgI′I0＝6，∴I′I0＝106.∴II′＝107106＝10，即I＝10I′.1．对于底数相同的对数式的化简，常用的方法是：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．2．根据对数的换底公式，可得出下列结论．(1)log a n b m ＝mnloga b (a >0，a ≠1，b >0，m ∈R ，n ∈R 且n ≠0)；(2)log a b ·log b c ·log c d ＝log a d (a >0，b >0，c >0，d >0，a ≠1，b ≠1，c ≠1)．一、填空题1．lg 5＋lg 20的值是________．解析：lg 5＋lg 20＝lg 100＝1. ★答案★：12．(陕西高考改编)设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是________．①log a b ·log c b ＝log c a ②log a b ·log c a ＝log c b ③log a (bc )＝log a b ·log a c ④log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c解析：对①式：log a b ·log c b ＝log c a ⇒log a b ＝log c a log c b ，显然与换底公式不符，所以不恒成立；对②式：log a b ·log c a ＝log c b ⇒log a b ＝log c blog c a ，显然与换底公式一致，所以恒成立；对③式：log a (bc )＝log a b ·log a c ，显然与公式不符，所以不恒成立．对④式：log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c ，同样与公式不符，所以不恒成立．★答案★：②3．已知a 2＝1681(a >0)，则log 23a ＝________.解析：由a 2＝1681(a >0)得a ＝49，所以log 2349＝log 23⎝⎛⎭⎫232＝2. ★答案★：24．已知lg 2＝a,10b ＝3，则lg 108＝________(用a ，b 表示)．解析：由条件可知lg 2＝a ，lg 3＝b ， ∴lg 108＝lg(27×4)＝lg 4＋lg 27＝2lg 2＋3lg 3 ＝2a ＋3b . ★答案★：2a ＋3b5．已知3a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m 的值为________．解析：由条件可知a ＝log 3m ，b ＝log 5m ， ∴1a ＋1b ＝log m 3＋log m 5＝2，∴log m 15＝2. 即m 2＝15，∴m ＝15. ★答案★：156．里氏震级M 的计算公式为：M ＝lg A －lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．解析：由lg 1 000－lg 0.001＝6，得此次地震的震级为6级．因为标准地震的振幅为0.001，设9级地震最大振幅为A 9，则lg A 9－lg 0.001＝9，解得A 9＝106，同理5级地震最大振幅A 5＝102，所以9级地震的最大振幅是5级的10 000倍．★答案★：6 10 000 二、解答题7．计算下列各式的值： (1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)lg 25＋23lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2.解：(1)法一：原式＝12(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5)＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5 ＝12lg 2＋12lg 5＝12(lg 2＋lg 5) ＝12lg 10＝12. 法二：原式＝lg 427－lg 4＋lg 75＝lg 42×757×4＝lg(2·5)＝lg 10＝12.(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2 ＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝3. 8．(1)设log 34·log 48·log 8m ＝log 416，求m ； (2)已知log 142＝a ，用a 表示log27.解：(1)利用换底公式，得lg 4lg 3·lg 8lg 4·lg m lg 8＝2，∴lg m ＝2lg 3，于是m ＝9. (2)由对数换底公式，得 log27＝log 27log 22＝log 2712＝2log 27＝2(log 214－log 22) ＝2⎝⎛⎭⎫1a －1＝2(1－a )a .9．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的13(结果保留1位有效数字)？(lg 2≈0.301 0，lg3≈0.477 1)解：假设经过x 年，该物质的剩余量是原来的13，根据题意得：0.75x ＝13，∴x ＝log 0.7513＝－lg 3lg 3－lg 4＝－lg 3lg 3－2lg 2≈4.故估计约经过4年，该物质的剩余量是原来的13.细胞分裂的过程中，1个分裂成2个，2个分裂成4个，依此类推，… 问题1：当细胞分裂成64个时，分裂了多少次？提示：6次．问题2：当细胞的数目确定时，分裂的次数是唯一确定的吗？提示：是唯一确定的．问题3：当已知细胞数目y时，分裂次数x如何表示？提示：由y＝2x可得x＝log2y.一般地，函数y＝log a x(a>0，a≠1)叫做对数函数，它的定义域是(0，＋∞)．考察函数y＝log2x和y＝logx的图象．12问题1：试作出这两个函数的图象．提示：如图所示：问题2：它的图象与y轴有交点吗？为什么？提示：没有交点．因为x>0.问题3：它的图象与x轴有公共点吗？y＝log a x过这一点吗？提示：有公共点(1,0)，过．问题4：这两个函数的图象有什么关系？提示：关于x轴对称．问题5：它们的增减性怎样？提示：y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增．x在(0，＋∞)上单调递减．y＝log12对数函数的图象与性质0＜a＜1a＞1图象性定义域：(0，＋∞)质值域：(－∞，＋∞)过点(1,0)，即当x＝1时，y＝0在(0，＋∞)上是单调增函数在(0，＋∞)上是单调减函数问题1：作出函数y＝2x与y＝log2x的图象．提示：如图：问题2：它们的图象有什么关系？提示：关于直线y＝x对称．指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，一般地，如果函数y＝f(x)存在反函数，那么它的反函数记作y＝f－1(x)．1．对数函数是一个形式概念，只有形如y＝log a x(a>0，a≠1)的函数才是对数函数．如函数y＝log2x＋1，y＝log2(x＋1)，y＝2log2x等都不是对数函数．2．由指数函数y＝a x(a>0且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)的关系不难发现其对应关系：由此可知：对数函数中的自变量x的范围等同于指数函数中的函数值范围；对数函数中的函数值的范围等同于指数函数中的自变量的范围．3．不论a(a>0且a≠1)取何值，函数f(x)＝log a x必过定点(1,0)，这是因为“不论底数为何值，1的对数等于0”．因此涉及与对数函数有关的定点问题，均可利用此性质求解．[例1]求下列函数的定义域．(1)f(x)＝log(x－1)(x＋2)；(2)f(x)＝log(1－2x)(3x＋2)；(3)f(x)＝1 log2(x－1).[思路点拨]根据对数式中底数、真数的范围列不等式(组)求解．[精解详析](1)由⎩⎪⎨⎪⎧x－1>0，x－1≠1，x＋2>0得⎩⎪⎨⎪⎧x>1，x≠2，x>－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x>1，x≠2.故函数的定义域是{x|x>1且x≠2}．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－2x>0，1－2x≠1，3x＋2>0得⎩⎪⎨⎪⎧x<12，x≠0，x>－23，∴⎩⎪⎨⎪⎧－23<x<12，x≠0.故函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|－23<x<12且x≠0.(3)由log2(x－1)≠0知x－1≠1，∴x≠2.又x－1>0，∴x>1.故函数的定义域是{x|x>1且x≠2}．[一点通]求函数的定义域就是求使函数的解析式有意义时自变量的取值范围．常用的方法有：①分母不等于零；②根指数为偶数时，被开方数为非负数；③对数的真数大于零，对数的底数大于零且不等于1.1．(广东高考改编)函数f(x)＝lg(x＋1)x－1的定义域是________．解析：要使函数有意义，须满足：⎩⎪⎨⎪⎧x＋1>0x－1≠0⇒x>－1且x≠1，∴函数的定义域为(－1,1)∪(1，＋∞)．★答案★：(－1,1)∪(1，＋∞)2．求下列函数的定义域：(1)y＝log2(4x－3)；(2)y＝log5－x(2x－2)．解：(1)要使函数有意义，须满足： log 2(4x －3)≥0＝log 21， ⇒1≤4x －3⇒x ≥1，∴函数的定义域为[1，＋∞)． (2)要使函数有意义，须满足： ⎩⎪⎨⎪⎧2x －2>05－x >05－x ≠1⇒1<x <5且x ≠4.∴函数的定义域为(1,4)∪(4,5).[例2] 作出函数y ＝|log 2(x ＋1)|＋2的图象，并指出其单调区间． [思路点拨] 按下列顺序作图，作图后再观察得出单调区间． y ＝log 2x →y ＝log 2(x ＋1)→y ＝|log 2(x ＋1)|→y ＝|log 2(x ＋1)|＋2. [精解详析] 第一步：作出y ＝log 2x 的图象，如图(1)．第二步：将y ＝log 2x 的图象沿x 轴向左平移1个单位得到y ＝log 2(x ＋1)的图象，如图(2)．第三步：将y ＝log 2(x ＋1)的图象在x 轴下方的图象以x 轴为对称轴翻折到x 轴的上方得到y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图(3)．第四步：将y ＝|log 2(x ＋1)|的图象沿y 轴方向向上平移2个单位，得到y ＝|log 2(x ＋1)|＋2的图象，如图(4)．由图可知，函数的单调递减区间是(－1,0)，单调递增区间是(0，＋∞)．[一点通] 按函数图象的平移，翻折变换作图，先作出基本的函数y ＝f (x )图象，然后再按顺序作函数y ＝|f (x ＋a )|＋b 的图象．3．已知a >0且a ≠1，则函数y ＝a x 与y ＝log a (－x )在同一坐标系中的图象为________(填序号)．解析：法一：首先，曲线y ＝a x 位于x 轴上方，y ＝log a (－x )位于y 轴左侧，从而排除(1)(3)．其次，从单调性入手，y ＝a x 与y ＝log a (－x )的增减性正好相反，又可排除(4)．法二：若0<a <1，则曲线y ＝a x 下降且过点(0,1)，而曲线y ＝log a (－x )上升且过点(－1,0)，所有选项均不符合这些条件．若a >1，则曲线y ＝a x 上升且过点(0,1)，而曲线y ＝log a (－x )下降且过点(－1,0)，只有(2)满足条件．法三：如果注意到y ＝log a (－x )的图象关于y 轴的对称图象为y ＝log a x ，又y ＝log a x 与y ＝a x 互为反函数(图象关于直线y ＝x 对称)，则可直接选定(2)．★答案★：(2)4．如图所示，曲线是对数函数y ＝log a x 的图象，已知a 值取3，43，35，110，则相应于C 1、C 2、C 3、C 4的a 值依次为________．解析：过点(0,1)作平行于x 轴的直线，与C 1、C 2、C 3、C 4的交点的坐标为(a 1,1)、(a 2,1)、(a 3,1)、(a 4,1)，其中a 1、a 2、a 3、a 4分别为各对数的底数，显然a 1>a 2>a 3>a 4，所以C 1、C 2、C 3、C 4的底数值依次为3、43、35、110.★答案★：3、43、35、110[例3] 比较下列各组数的大小： (1)log 0.13与log 0.1π； (2)log 45与log 65； (3)3log 45与2log 23.[思路点拨] 所给的四组数的大小均与对数有关，可借助对数函数的单调性比较大小． [精解详析] (1)∵函数y ＝log 0.1x 是减函数，π>3， ∴log 0.13>log 0.1π.(2)∵函数y ＝log 4x 和y ＝log 6x 都是增函数， ∴log 45>log 44＝1，log 65<log 66＝1. ∴log 45>log 65.(3)∵3log 45＝log 453＝log 4125＝log 2125log 24＝12log 2125＝log2125，2log 23＝log 232＝log 29，又∵函数y ＝log 2x 是增函数，125>9， ∴log 2125>log 29，即3log 45>2log 23.[一点通] 比较两个对数值的大小与比较两个指数值的大小的方法基本类似．当底数相同时，可直接利用对数函数的单调性比较；当底数不同时，可用换底公式或找中间值联系传递，如取0,1，－1等进行比较．5．设a ＝log 54，b ＝(log 53)2，c ＝log 45则a ，b ，c 的大小关系为________．解析：∵1>log 54>log 53>0，∴(log 53)2<log 53. 又∵log 45>log 44＝1，∴c >a >b . ★答案★：c >a >b6．(重庆高考改编)设a ＝log 1312，b ＝log 1323，c ＝log 343，则a ，b ，c 由小到大的顺序为________．解析：a ＝log 1312＝log 32，b ＝log 1323＝log 332，c ＝log 343，函数y ＝log 3x 在(0，＋∞)上是增函数，43＜32＜2，即c ＜b ＜a .★答案★：c <b <a7．比较下列各组数的大小： (1)log 0.30.1与log 0.33；(2)log a (a ＋2)与log a (a ＋3)(a >0，a ≠1)； (3)log 3π，log 76与ln 0.2.解：(1)∵函数y ＝log 0.3x 是减函数，0.1<3， ∴log 0.30.1>log 0.33. (2)∵a ＋2<a ＋3，∴①当a >1时，log a (a ＋2)<log a (a ＋3)， ②当0<a <1时，log a (a ＋2)>log a (a ＋3)． (3)∵log 3π>1,0<log 76<1，ln 0.2<0， ∴log 3π>log 76>ln 0.2.函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的底数变化对图象位置的影响观察图象，注意变化规律：(1)上下比较：在直线x ＝1的右侧，a >1时，a 越大，图象向右越靠近x 轴，0<a <1时a 越小，图象向右越靠近x 轴．(2)左右比较：比较图象与y ＝1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大．一、填空题1．(重庆高考改编)函数y ＝1log 2(x －2)的定义域为________．解析：要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，log 2(x －2)≠0，解得x >2且x ≠3.★答案★：(2,3)∪(3，＋∞)2．函数f (x )＝log a (2x ＋1)＋2(a >0且a ≠1)必过定点________．解析：∵log a 1＝0，∴x ＝0时f (x )＝2. 故函数f (x )过定点(0,2)． ★答案★：(0,2)3．(新课标卷Ⅱ改编)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则a ，b ，c 的大小关系是________．解析：由题意知：a ＝log 36＝1＋log 32＝1＋1log 23，b ＝log 510＝1＋log 52＝1＋1log 25，c ＝log 714＝1＋log 72＝1＋1log 27，因为log 23<log 25<log 27，所以a >b >c . ★答案★：a >b >c4．若y ＝(log 12a )x 在R 上为减函数，则实数a 的取值范围是________．解析：∵函数y ＝(log 12a )x 在R 上为减函数，∴0<log 12a <1.∴12<a <1.★答案★：(12，1)5．函数y ＝log a x ，x ∈[2,4]，a >0且a ≠1，若此函数的最大值比最小值大1，则a ＝________. 解析：当a >1时，log a 4－log a 2＝1，解得a ＝2，当0<a <1时，log a 2－log a 4＝1，解得a ＝12.∴a ＝2或12.★答案★：2或126．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x (x >0)，(12)x (x ≤0)，则f [f (127)]＝________.解析：因为f (127)＝log 3127＝－3，所以f [f (127)]＝f (－3)＝(12)－3＝8.★答案★：8 二、解答题7．已知函数f (x )＝log 2(x －3)． (1)求f (51)－f (6)的值；(2)若f (x )≥0，求x 的取值范围．解：(1)∵f (x )＝log 2(x －3)，∴f (51)－f (6)＝log 2(51－3)－log 2(6－3) ＝log 248－log 23＝log 216＝4.(2)f (x )≥0即log 2(x －3)≥0，∴x －3≥1解得x ≥4. 所以x 的取值范围为[4，＋∞)．8．设y 1＝log a (3x ＋1)，y 2＝log a (－3x )，其中0<a <1. (1)若y 1＝y 2，求x 的值； (2)若y 1>y 2，求x 的取值范围．解：(1)∵y 1＝y 2，∴log a (3x ＋1)＝log a (－3x )， ∴3x ＋1＝－3x ，解得x ＝－16，经检验x ＝－16在函数的定义域内，∴x ＝－16.(2)y 1>y 2，即log a (3x ＋1)>log a (－3x )(0<a <1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1>0，－3x >0，3x ＋1<－3x ，解得－13<x <－16，∴x 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－13，－16. 9．已知f (x )＝log 3x . (1)作出这个函数的图象；(2)当0<a <2时，有f (a )>12，利用图象求a 的取值范围．解：(1)作出函数y ＝log 3x 的图象如图所示．(2)令f (x )＝12，即log 3x ＝12，解得x ＝ 3.由如图所示的图象知：当0<a <2时，若f (a )>12，则3<a <2.故当0<a <2时，满足f (a )>12的a 的取值范围为(3，2)．[例1] 求函数y ＝log 12(6＋x ＋2x 2)的单调区间．[思路点拨] 首先确定出该函数的定义域，把函数转化为两个函数y ＝log 12u ，u ＝6＋x＋2x 2构成，根据它们各自的单调性来进行判断．[精解详析] 由6＋x ＋2x 2>0得2(x ＋14)2＋478>0，即函数定义域是R 令u (x )＝2x 2＋x ＋6，则函数u (x )＝2x 2＋x ＋6的单调增区间为 (－14，＋∞)，单调减区间为(－∞，－14)．又∵y ＝log 12u 在(0，＋∞)上是减函数，∴函数y ＝log 12(6＋x ＋2x 2)的单调增区间为(－∞，－14)，单调减区间为(－14，＋∞)．[一点通](1)研究函数的单调性，首先必须考虑它的定义域；(2)对于形如y ＝f (g (x ))的函数的单调性，必须考虑u ＝g (x )与y ＝f (u )的单调性，从而得出f (u )＝f (g (x ))的单调性；(3)判断函数的单调性，或者求函数的单调区间，也可画出函数图象求解．1．函数f (x )＝log 12(1－2x )的单调递增区间是________．解析：由1－2x >0得x <12，∵u ＝1－2x 在(－∞，12)上单调递减，y ＝log 12u 在(0，＋∞)上单调递减．∴f (x )＝log 12(1－2x )在(－∞，12)上单调递增．★答案★：(－∞，12)2．已知函数f (x )＝log 0.5(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)单调递减，则a 的取值范围________．解析：根据复合函数的单调性知， ⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤2，22－2a ＋3a >0，解得－4<a ≤4. ★答案★：(－4,4]3.判断函数y ＝f (x )＝log a (1－x )的单调性．解：由1－x >0，得函数f (x )＝log a (1－x )的定义域为(－∞，1)．令u ＝1－x ＝－x ＋1，∴y ＝log a u . ∵u ＝－x ＋1在(－∞，1)上是减函数，当a >1时，y ＝log a u 在u ∈(0，＋∞)上是增函数；当0<a <1时，y ＝log a u 在u ∈(0，＋∞)上是减函数； ∴当a >1时，f (x )＝log a (1－x )在(－∞，1)上是减函数；当0<a <1时，f (x )＝log a (1－x )在(－∞，1)上是增函数.[例2] 解下列不等式： (1)log 2(2x －1)<log 2(－x ＋5)； (2)log x 12>1.[思路点拨] (1)利用y ＝log 2x 的单调性求解； (2)分类讨论，分x >1和0<x <1讨论． [精解详析] 因为对数式中真数大于0，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x －1>0，－x ＋5>0.解得12<x <5.又函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，所以原不等式化为2x －1<－x ＋5，解得x <2. 所以原不等式的解集是{x |12<x <2}．(2)当x >1时，原不等式化为log x 12>log x x .∴x <12，这与x >1矛盾；当0<x <1时，原不等式可化为log x 12>log x x ，∴x >12.结合0<x <1，所以12<x <1.故原不等式的解集为(12，1)．[一点通] 解对数不等式需考虑对数定义中的隐含条件：真数大于零，底数大于零且不等于1，再根据对数函数的单调性，把对数的不等式转化为真数的不等式，然后求交集即得原不等式的解集．4．不等式log 2(x －3)>1的解集为________．解析：∵log 2(x －3)>1， ∴log 2(x －3)>log 22. ∴x －3>2，x >5. ★答案★：{x |x >5}5．(1)已知log a 12>1，求a 的取值范围；(2)已知log 0.72x <log 0.7(x －1)，求x 的取值范围．解：(1)由log a 12>1得log a 12>log a a .①当a >1时，有a <12，此时无解．②当0<a <1时，有12<a ，从而12<a <1.∴a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，1.(2)∵函数y ＝log 0.7x 在(0，＋∞)上为减函数， ∴由log 0.72x <log 0.7(x －1) 得⎩⎪⎨⎪⎧2x >0，x －1>0，2x >x －1，解得x >1.∴x 的取值范围是(1，＋∞)[例3] 已知函数f (x )＝log m (x ＋1)－log m (1－x )(m >0且m ≠1)， (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性．[思路点拨] (1)确定定义域是解x ＋1>0且1－x >0，而不是x ＋11－x >0；(2)判断奇偶性可利用定义来判定．[精解详析] (1)由x ＋1>0且1－x >0得－1<x <1.∴f (x )的定义域是(－1,1)． (2)函数的定义域关于原点对称，且f (－x )＝log m (－x ＋1)－log m (1＋x ) ＝－[log m (1＋x )－log m (1－x )]＝－f (x )， ∴y ＝f (x )是奇函数．[一点通] 对数函数的综合问题的考查主要体现在：对数的运算，与对数函数有关的函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等问题．解决这些问题必须熟练的掌握对数的相关运算性质、基本初等函数的定义域、值域、单调区间、奇偶性的求解方法与技巧．6．已知f (x )是定义在[－2,2]上的单调递增函数，且f (x )的最大值为1，则满足f (log 2x )<1的解集为________．解析：函数f (x )在[－2,2]上单调递增且f (x )的最大值为1，∴f (2)＝1.∴f (log 2x )<1可化为f (log 2x )<f (2)，即log 2x <2，即0<x <4.又－2≤log 2x ≤2，∴14≤x ≤4.故14≤x <4.★答案★：[14，4)7．设函数f (x )＝log a ⎝⎛⎭⎫1－ax ，其中0<a <1. (1)证明：f (x )是(a ，＋∞)上的减函数； (2)若f (x )>1，求x 的取值范围．解：(1)证明：令0<a <x 1<x 2， g (x )＝1－ax，则g (x 1)－g (x 2)＝⎝⎛⎭⎫1－a x 1－⎝⎛⎭⎫1－a x 2＝a (x 1－x 2)x 1x 2<0， ∴g (x 1)<g (x 2)，又∵0<a <1， ∴f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(a ，＋∞)上是减函数． (2)∵log a ⎝⎛⎭⎫1－a x >1，∴0<1－ax <a . ∴1－a <ax <1，∵0<a <1，∴1－a >0，从而a <x <a1－a .∴x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫a ，a1－a .1．对于函数y ＝log a f (x )(a >0且a ≠1)单调性的判断，首先应求满足f (x )>0的x 的范围，即函数的定义域．假设f (x )在定义域的子区间I 1上单调递增，在区间I 2上单调递减，则(1)当a >1时，原函数与内层函数f (x )的单调性相同，即在I 1上单调递增，在I 2上单调递减．(2)当0<a <1时，原函数与内层函数f (x )的单调性不同，即在I 1上单调递减，在I 2上单调递增．2．关于对数函数性质的几点应用：(1)y ＝log a x 中定义域(0，＋∞)――――――→可延伸为y ＝log a f (x )的定义域，需f (x )>0. (2)y ＝log a x 过定点(1,0)――――――→可延伸为y ＝log a f (x )过定点，只需f (x )＝1即可． (3)y ＝log a x 的单调性――――――→可延伸为 y ＝log a f (x )的单调性，利用y ＝log a u 和u ＝f (x )的单调性判断．(4)考查y ＝log a f (x )的奇偶性，定义域关于原点对称后利用函数奇偶性的定义来判定较容易．一、填空题1．(江苏高考)函数ƒ(x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．解析：由题意知，函数ƒ(x )＝log 5(2x ＋1)的定义域为{x |x ＞－12}，所以该函数的单调增区间为(－12，＋∞)．答案：(－12，＋∞)2．函数y ＝3x 的反函数是________，y ＝log 12x 的反函数是________．解析：∵函数y ＝a x 与函数y ＝log a x 互为反函数，∴函数y ＝3x 的反函数是y ＝log 3x ，函数y ＝log 12x 的反函数是y ＝(12)x .答案：y ＝log 3x y ＝(12)x3．定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，且f (12)＝0，则满足f (log 14x )<0的集合为________．解析：因为定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，所以在(－∞，0]上单调递增．又f (12)＝0，所以f (－12)＝0，由f (log 14x )<0可得log 14x <－12或log 14x >12，解得x ∈(0，12)∪(2，＋∞)．答案：{x |0<x <12或x >2} 4．设a ＝0.32，b ＝20.3，c ＝log 25，d ＝log 20.3，则a ，b ，c ，d 的大小关系是__________(从小到大排列)．解析：∵a ＝0.32∈(0,1)．b ＝20.3∈(1,2)，c ＝log 25∈(2,3)，d ＝log 20.3∈(－1,0)，∴d <a <b <c . 答案：d <a <b <c5．已知f (x )是定义域为R 的奇函数，若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )>0的x 的取值范围是________．解析：由奇函数图象的对称性，知函数f (x )的图象如图所示．由图象知满足f (x )>0的x 的取值范围是(－1,0)∪(1，＋∞)．答案：(－1,0)∪(1，＋∞)6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，0<x ≤10，－12x ＋6，x >10，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是________．解析：函数f (x )的图象如图∵f (a )＝f (b )，即|lg a |＝|lg b |.∴ab ＝1，又10<c <12∴abc ∈(10,12)．答案：(10,12)二、解答题7．解不等式：log a (3x －4)>log a (x －2)．解：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ log a (3x －4)>log a (x －2)，3x －4>0，x －2>0.(1)当a >1时，又等价于⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4>x －2，3x －4>0，x －2>0，解得x >2.(2)当0<a <1时，又等价于⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4<x －2，3x －4>0，x －2>0，不等式无解．综上可知：当a >1时，不等式的解集为(2，＋∞)；当0<a <1时，不等式无解．8．已知函数f (x )＝lg |x |.(1)判断函数f (x )的奇偶性；(2)画出函数f (x )的草图；(3)求函数f (x )的单调递减区间，并加以证明．解：(1)要使函数有意义，x 的取值需满足|x |>0，解得x ≠0，即函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，f (－x )＝lg |－x |＝lg |x |＝f (x )，∴f (－x )＝f (x )．∴函数f (x )是偶函数．(2)由于函数f (x )是偶函数，则其图象关于y 轴对称，如图所示．(3)由图得函数f (x )的单调递减区间是(－∞，0)．证明：设x 1、x 2∈(－∞，0)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝lg |x 1|－lg |x 2|＝lg |x 1||x 2|.∵x 1、x 2∈(－∞，0)，且x 1<x 2，∴|x 1|>|x 2|>0.∴|x 1||x 2|>1.∴lg |x 1||x 2|>0.∴f (x 1)>f (x 2)．∴函数f (x )在(－∞，0)上是减函数，即函数的单调递减区间是(－∞，0)．9．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－(4a ＋1)x －8a ＋4，x <1，log a x ，x ≥1.(1)当a ＝12时，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )是(－∞，＋∞)上的减函数，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝12时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－3x ，x <1log 12x ，x ≥1，当x <1时，f (x )＝x 2－3x 是减函数，所以f (x )>f (1)＝－2，即x <1时，f (x )的值域是(－2，＋∞)．当x ≥1时，f (x )＝log 12x 是减函数，所以f (x )≤f (1)＝0，即x ≥1时，f (x )的值域是(－∞，0]．于是函数f (x )的值域是(－∞，0]∪(－2，＋∞)＝R .(2)若函数f (x )是(－∞，＋∞)上的减函数，则下列①②③三个条件同时成立：①当x <1时，f (x )＝x 2－(4a ＋1)x －8a ＋4是减函数，于是4a ＋12≥1，则a ≥14； ②当x ≥1时，f (x )＝log a x 是减函数，则0<a <1；③12－(4a ＋1)·1－8a ＋4≥0，则a ≤13. 于是实数a 的取值范围是[14，13]．。

苏教版高中数学必修一：2.3.1对数

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4. 对数运算是指数运算的逆运算，结合对数运算，培养
逆向思维能力.
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1．如果 ax＝N(a＞0， a≠1)，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数．记作 x＝logaN，其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数．对数式的书写格式：
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例如：将指数式化为对数式：
项目指数式对数式
式子 ab＝N logaN＝b
a 底数底数方根数
b 指数对数根指数
N 幂真数被开方数
意
义
根式
a＝ N
b
a的b次幂等于 N 以 a 为底 N 的对数等于 b N的b次方根等于a
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利用对数式与指数式之间的关系，可以把指数与对数进行互化，从而使问题顺利地得到解决，求某些对数值就可以把它转化为指数问题．
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9．设 a＞0，b＞0，且均不为 1，由换底公式可加以求证： (1)logab· logba＝1； n (2)logamb ＝mlogab.
n
例如：①log23· log32＝______________； ②log89＝______________ .
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lg b lg a 证明：(1)logab· logba＝ · ＝1. lg a lg b
n lg b nlg b n n (2) log am b ＝＝mlogab. m＝ lg a mlg a
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①1
2 ② log23 3
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一、对数的概念
指数式 ab＝N 与对数式 logaN＝b 中，a、b、N 三者间的关系实质如下(a>0 且 a≠1)：

苏教版高中数学必修+选修知识点归纳总结

高中数学必修+选修知识点归纳引言1.课程内容：必修课程由5个模块组成：恒则成人生一连串的奋斗追求理想要奋战不懈坚持到底有恒则成必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数）必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。

必修3：算法初步、统计、概率。

必修4：三角函数、平面向量、三角恒等变换。

必修5：解三角形、数列、不等式。

以上是每一个高中学生所必须学习的。

上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。

不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。

此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。

选修课程有3个系列：选修系列1：由2个模块组成。

选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。

选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数的引入、框图选修系列2：由3个模块组成。

选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何。

选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数的引入选修2—3：计数原理、概率，统计案例。

选修系列4：由4个专题组成。

选修4—1：几何证明选讲。

选修4—2：矩阵与变换。

选修4—4：坐标系与参数方程。

选修4—5：不等式选讲。

2．重难点及考点：重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数难点：函数、圆锥曲线高考相关考点：⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函数的图象与性质、三角函数的应用⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应用⑼直线、平面、简单几何体：空间直线、直线与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间向量⑽排列、组合和概率：排列、组合应用题、二项式定理及其应用⑾概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布⑿导数：导数的概念、求导、导数的应用⒀复数：复数的概念与运算必修1数学知识点第一章：集合与函数概念§1.1.1、集合1、把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。