第13讲 数控系统插补原理(1)
插补原理
插补开放分类：技术数控技术高新技术数控装置根据输入的零件程序的信息，将程序段所描述的曲线的起点、终点之间的空间进行数据密化，从而形成要求的轮廓轨迹，这种“数据密化”机能就称为“插补”。
编辑摘要插补- 概述机构按预定的轨迹运动。
一般情况是一致运动轨迹的起点坐标、终点坐标和轨迹的曲线方程，由数控系统实施地算出各个中间点的坐标。
在数控机床中，刀具不能严格地按照要求加工的曲线运动，只能用折线轨迹逼近所要加工的曲线。
机床数控系统依照一定方法确定刀具运动轨迹的过程。
也可以说，已知曲线上的某些数据，按照某种算法计算已知点之间的中间点的方法，也称为“数据点的密化”。
数控装置根据输入的零件程序的信息，将程序段所描述的曲线的起点、终点之间的空间进行数据密化，从而形成要求的轮廓轨迹，这种“数据密化”机能就称为“插补”。
插补计算就是数控装置根据输入的基本数据，通过计算，把工件轮廓的形状描述出来，边计算边根据计算结果向各坐标发出进给脉冲，对应每个脉冲，机床在响应的坐标方向上移动一个脉冲当量的距离，从而将工件加工出所需要轮廓的形状。
插补- 分类1、直线插补直线插补（Llne Interpolation）这是车床上常用的一种插补方式，在此方式中，两点间的插补沿着直线的点群来逼近，沿此直线控制刀具的运动。
一个零件的轮廓往往是多种多样的,有直线,有圆弧,也有可能是任意曲线,样条线等. 数控机床的刀具往往是不能以曲线的实际轮廓去走刀的,而是近似地以若干条很小的直线去走刀,走刀的方向一般是x和y方向. 插补方式有:直线插补,圆弧插补,抛物线插补,样条线插补等所谓直线插补就是只能用于实际轮廓是直线的插补方式(如果不是直线,也可以用逼近的方式把曲线用一段段线段去逼近,从而每一段线段就可以用直线插补了).首先假设在实际轮廓起始点处沿x方向走一小段(一个脉冲当量),发现终点在实际轮廓的下方,则下一条线段沿y方向走一小段,此时如果线段终点还在实际轮廓下方,则继续沿y方向走一小段,直到在实际轮廓上方以后,再向x方向走一小段,依次循环类推.直到到达轮廓终点为止.这样,实际轮廓就由一段段的折线拼接而成,虽然是折线,但是如果我们每一段走刀线段都非常小(在精度允许范围内),那么此段折线和实际轮廓还是可以近似地看成相同的曲线的--------这就是直线插补.2、圆弧插补圆弧插补（Circula : Interpolation）这是一种插补方式，在此方式中，根据两端点间的插补数字信息，计算出逼近实际圆弧的点群，控制刀具沿这些点运动，加工出圆弧曲线。
数控机床的插补原理及方法
数控机床的插补原理及方法1概述在数控加工中，被加工零件的轮廓形状千变万化、形状各异。
数控系统的主要任务，是根据零件数控加工程序中的有关几何形状、轮廓尺寸的数控及其加工指令，计算出数控机床各运动坐标轴的进给方向及位移量，分别驱动各坐标轴产生相互协调的运动，从而使得伺服电机驱动机床工作台或刀架相对主轴(即刀具相对工件)的运动轨迹以一定的精度要求逼近所加工零件的理想外形轮廓尺寸。
2插补的基本概念数控系统的主要作用是控制刀具相对于工件的运动轨迹。
一般根据运动轨迹的起点坐标、终点坐标和轨迹的曲线方程，有数控系统实时地算出各个中间点的坐标，即“插入、补上”运动轨迹各个中间点的坐标，通常把这个过程称为“插补”。
机床伺服系统根据这些坐标值控制各坐标轴协调运动，走出规定的轨迹。
插补工作可以由软件或硬件来实现。
早期的硬件数控系统(NC系统)都采用的数字逻辑电路来完成插补工作，在NC中有一个专门完成插补运算的装置，称为插补器。
现代数控系统(CNC或MNC系统)，插补工作一般用软件来完成，或软硬件结合实现插补。
而无论是软件数控还是硬件数控，其插补运算的原理基本相同。
它的作用都是根据给定的信息进行数字计算，在计算过程中不断向各个坐标轴发出相互协调的进给脉冲，使刀具相对于工件按指定的路线移动。
3对插补器的基本要求和插补方法的分类对于硬件插补器的要求如下。
1)插补所需的原始数据较少。
2)有较高的插补精度，插补结果没有累积误差，局部偏差应不超过所允许的误差(一般应小于一个脉冲当量)。
3)沿进给线路，进给速度恒定且符合加工要求。
4)电路简单可靠。
插补器的形式很多，从产生的数学模型分，有一次(直线插补器)、二次(圆、抛物线、双曲线、椭圆)插补器及高次曲线插补器等。
从基本原理分，有数字脉冲乘法器、逐点比较法插补器、数字积分器、比较积分法插补器等。
常用的插补方法有基准脉冲插补法和数据采样插补法两种。
数控机床插补原理
X轴实际位置 X轴位置
比较
X坐标轴的位置增量/本周期
插 补 程 序
X轴位置 跟踪误差
Y坐标轴的位置增量/本周期
Y轴位置
采样反馈
比较
Y轴位置 跟踪误差
Y轴实际位置
伺 服 位 置 控 制 软 件
X轴 速度
X 驱 动 Y 驱 动
Y轴 速度
2插补的分类
2.4数据采样插补算法分类
1、直接函数法
数 据 采 样 插 补 算 法
Σ =5
Σ =4 Σ =3
6
7 8
F5<0
F6>0 F7<0
+y
-x -x
F6=F5+2y5+1=4
F7=F6-2x6+1=1 F8=F7-2x7+1=0
x6=4, y6=0
x7=4, y7=0 x8=4, y8=0
Σ =2
Σ =1 Σ =0
四、总结
插补原理，就是根据加工要求，确定出起 点和终点坐标之间的中间点，进而控制刀具 沿规定的轨迹运动，以加工出规定的轮廓的 方法。
X i 1 X i 1 2 2 2 Fi 1 ( X i 1) Yi R Fi 2 X i 1
3.3.4终点判别
双向计数：Σ=|Xb-Xa|+|Yb-Ya|，Σ=0停止 单向计数：Σ=max{|Xb-Xa|,|Yb-Ya|},Σ=0停止 分别计数：Σ1=|Xb-Xa|,Σ2=|Yb-Ya|，Σ1&Σ2=0停止
y
4 2 2 3
E(4,2)
o
1 1
x
2.投影法（单向计数） 取X方向和Y方向最多的步数作为计 数长度，此方向每走一步减一，直 到减为0停止。 Σ=max{|Xe|,|Ye|} Σ=0插补停止
数控插补及刀补原理
数控插补及刀补原理《数控插补及刀补原理：一场奇妙的机械之旅》嘿，你知道数控插补和刀补是啥玩意儿不？这就像是机械世界里的魔法咒语一样，虽然听起来超级复杂，但要是弄明白了，那可老有趣了。
先说说数控插补吧。
就好比我之前去参观一个工厂，看到一台数控机床在那儿吭哧吭哧地干活儿。
那机床就像一个超级精确的厨师，要做一道特别精细的菜。
数控插补呢，就像是这个厨师心里想的做菜步骤。
比如说，要把一块金属材料加工成一个有弯弯绕绕形状的零件，这可不能随便乱切乱削呀。
数控插补就开始发挥作用了。
它就像在一张超级细密的网格纸上规划路线。
想象一下啊，这个网格纸的小格子小到几乎看不见。
数控系统呢，就像一个聪明的小助手，它要在这个网格纸上找到一条最合适的路径，从零件的起点走到终点，而且还要经过那些设计好的弯弯角角。
就像我在那个工厂看到的，机床的刀具要按照这条规划好的路径一点一点地走，不能偏差一丁点儿，不然做出来的零件就成残次品啦。
这插补有好几种方法呢，像直线插补就比较简单直接，就像我们走路，从一个点笔直地走到另一个点。
但是在机械加工里，哪有那么多直来直往的事儿啊，很多时候需要曲线插补。
这就好比你在公园里散步，走着走着就沿着弯弯的小路走了。
曲线插补就是要让刀具能够沿着那些复杂的曲线形状来加工零件，什么圆弧啊，抛物线啊，都得行。
然后咱们再聊聊刀补。
刀补这个东西啊，就像是给刀具穿上了一件特制的铠甲。
还说回我在工厂看到的那台机床啊，那个刀具虽然看起来很锋利，但是它可不能想怎么切就怎么切。
因为刀具本身是有一定的宽度的呀。
如果不考虑这个宽度，那加工出来的零件尺寸就不对了。
刀补就是来解决这个问题的。
它就像是在告诉机床：“嘿，刀具兄弟有点胖，你得给它腾出点地方来。
”比如说，要加工一个内部有个小凹槽的零件。
如果没有刀补，刀具直接按照设定的路径走，那这个凹槽就会被刀具的宽度给撑大了。
有了刀补呢，机床就会自动调整刀具的路径，让刀具在合适的位置切削，这样加工出来的凹槽就刚刚好了。
数控插补原理
数控插补原理嘿，朋友们！今天咱来聊聊数控插补原理。
这玩意儿啊，就像是一个神奇的魔法，让机器能按照我们的想法精确地行动起来。
你看啊，数控插补原理就好比是一个超级聪明的指挥家。
想象一下，一场音乐会，指挥家要让各种乐器在合适的时间发出合适的声音，这样才能演奏出美妙的音乐。
数控插补原理也是这样，它要指挥着机床的刀具，在正确的位置、以正确的速度进行切削，这样才能加工出我们想要的零件。
比如说，我们要加工一个复杂的曲线形状。
这要是靠我们手工去弄，那可真是太难啦，说不定弄半天还弄不好。
但有了数控插补原理就不一样啦！它能把这个复杂的曲线分解成一个个小的线段，然后让刀具沿着这些线段一步步地走过去，就像走迷宫一样，最后不就加工出我们想要的形状啦！再打个比方，这数控插补原理就像是一个经验丰富的导航。
我们要去一个陌生的地方，导航会给我们规划出一条精确的路线，告诉我们什么时候转弯，什么时候直行。
数控插补原理也是这样，它会给刀具规划出精确的路径，让刀具知道该怎么走，才能加工出符合要求的零件。
那这数控插补原理是怎么做到这些的呢？这可就涉及到一些专业的知识啦。
它要根据我们输入的指令，计算出刀具在每个时刻的位置和速度。
这就像是一场精密的计算游戏，不能有一点差错。
而且啊，不同的插补方法还有不同的特点呢。
就拿直线插补来说吧，它就像是走直线，简单直接。
而圆弧插补呢，就像是画圆弧，得有一定的技巧。
还有抛物线插补等等其他的插补方法，每一种都有自己独特的用处。
哎呀，这数控插补原理可真是太重要啦！没有它，那些高精度的零件怎么能制造出来呢？那些复杂的机器设备怎么能正常运行呢？它就像是机器世界的基石，支撑着整个制造业的发展。
所以啊，朋友们，可别小看了这数控插补原理。
它虽然看起来很复杂，但只要我们认真去学，去理解，就一定能掌握它的奥秘。
到时候，我们就能让机器在我们的指挥下，乖乖地工作，制造出各种精美的零件和产品。
这不就是我们想要的吗？让我们一起加油，去探索数控插补原理的神奇世界吧！。
数控机床的插补原
多项式插补的优缺点
优点
多项式插补能够生成光滑的曲线，适用于复杂形状的加工；可以通过增加控制点来提高插补精度；可以处理多种 类型的插补需求。
缺点
计算量大，需要较高的计算能力；对于某些特殊形状的加工，可能需要特殊的多项式函数形式；需要精确的已知 数据点，否则可能导致插补误差较大。
05
样条插补
样条插补的定义
样条曲线法
样条曲线法是一种更加高级的插补方法，它使用多项式样 条曲线来描述加工路径，能够实现更加复杂的形状加工， 并提高加工精度和表面质量。
插补算法的精度和效率
精度
插补算法的精度是衡量其性能的重要指标之一。高精度的插 补算法能够生成更加精确的路径，从而提高加工精度和表面 质量。
效率
插补算法的效率也是需要考虑的因素之一。高效的插补算法 能够缩短加工时间，从而提高生产效率。在实际应用中，需 要根据具体需求选择精度和效率之间的平衡点。
确定已知数据点
首先需要确定起始点和终止点的坐标位置，以及可能的其他控制点。
构造多项式函数
根据已知数据点，选择合适的多项式函数形式，如线性函数、二次函 数或更高次的多项式。
求解插值方程
通过求解插值方程，得到多项式函数的系数，使得该函数在已知数据 点处的值与实际值相等。
生成加工路径
将多项式函数与机床的坐标系统关联起来，生成加工路径，控制机床 的运动轨迹。
04
多项式插补
多项式插补的定义
多项式插补是一种数学方法，用于在 两个已知数据点之间生成一条光滑曲 线。它通过构造一个多项式函数来逼 近给定的数据点，使得该函数在数据 点处的值与实际值尽可能接近。
VS
在数控机床中，多项式插补被用于生 成零件加工的路径，使得加工过程更 加精确和光滑。
《数控插补原》课件
利用人工智能技术，如神经网络、深度学习等，对插补算法进行 优化和改进，提高加工质量和效率。
加强稳定性研究
针对稳定性问题，加强研究，提出有效的解决方案，提高插补算 法的稳定性和可靠性。
05
插补原理的应用案例
数控机床的加工应用
数控机床是现代制造业的核心设备之一，插补原理在其中发挥着至关重要 的作用。
通过插补算法，数控机床能够实现高精度、高效率的加工，广泛应用于机 械、航空、汽车等领域。
插补算法能够实时计算刀具路径，优化加工过程，提高加工质量和效率。
机器人路径规划应用
1
机器人路径规划是实现自动化生产的重要环节， 插补原理在其中扮演着关键角色。
2
通过插补算法，机器人能够实现最优路径规划， 提高工作效率，减少能量消耗和碰撞风险。
计算量大
插补算法需要进行大量的数学运算， 对于复杂曲线的处理可能会占用较多 的计算资源。
对硬件要求高
稳定性问题
在某些情况下，插补算法可能会出现 稳定性问题，如跟随误差、振动等。
为了实现高精度的插补运算，需要高 性能的计算机硬件支持。
插补原理的改进方向
优化算法
通过改进算法，减少计算量，提高运算效率，以满足更快速、更 精确的加工需求。
04
插补原理的优缺点分析
插补原理的优点
高精度
插补算法通常具有很高的 精度，能够实现复杂曲线 的精确控制。
灵活性
插补算法可以处理各种形 状的曲线，包括直线、圆 弧、样条曲线等，满足各 种加工需求。
高效性
随着计算机技术的发展， 插补算法的运算速度越来 越快，能够满足实时控制 的要求。
插补原理的缺点
为实际切削的轨迹。
插补算法的精度和效率直接影响到加工质量和加工效率。
数控机床插补原理
数控机床插补原理在实际加工中，被加工工件的轮廓形状千差万别，严格说来，为了满足几何尺寸精度的要求，刀具中心轨迹应该准确地依照工件的轮廓形状来生成，对于简单的曲线数控系统可以比较容易实现，但对于较复杂的形状，若直接生成会使算法变得很复杂，计算机的工作量也相应地大大增加，因此，实际应用中，常采用一小段直线或圆弧去进行拟合就可满足精度要求(也有需要抛物线和高次曲线拟合的情况)，这种拟合方法就是“插补”，实质上插补就是数据密化的过程。
插补的任务是根据进给速度的要求，在轮廓起点和终点之间计算出若干个中间点的坐标值，每个中间点计算所需时间直接影响系统的控制速度，而插补中间点坐标值的计算精度又影响到数控系统的控制精度，因此，插补算法是整个数控系统控制的核心。
插补算法经过几十年的发展，不断成熟，种类很多。
一般说来，从产生的数学模型来分，主要有直线插补、二次曲线插补等；从插补计算输出的数值形式来分，主要有脉冲增量插补(也称为基准脉冲插补)和数据采样插补[26]。
脉冲增量插补和数据采样插补都有个自的特点，本文根据应用场合的不同分别开发出了脉冲增量插补和数据采样插补。
1、数字积分插补数字积分插补是脉冲增量插补的一种。
下面将首先阐述一下脉冲增量插补的工作原理。
2、脉冲增量插补脉冲增量插补是行程标量插补，每次插补结束产生一个行程增量，以脉冲的方式输出。
这种插补算法主要应用在开环数控系统中，在插补计算过程中不断向各坐标轴发出互相协调的进给脉冲，驱动电机运动。
一个脉冲所产生的坐标轴移动量叫做脉冲当量。
脉冲当量是脉冲分配的基本单位，按机床设计的加工精度选定，普通精度的机床一般取脉冲当量为：0.01mm，较精密的机床取1 或0.5 。
采用脉冲增量插补算法的数控系统，其坐标轴进给速度主要受插补程序运行时间的限制，一般为1~3m/min。
脉冲增量插补主要有逐点比较法、数据积分插补法等。
逐点比较法最初称为区域判别法，或代数运算法，或醉步式近似法。
数控插补
(b)
③ 插补计算过程
偏差判断 坐标进给
偏差计算 终点判别
2．逐点比较法圆弧插补
（1）圆弧插补计算原理
① 偏差计算公式
定义圆弧偏差判别式如下：
Fm=Rm2R2= xm2+ym2R2
新加工点m+1点的偏差为
Fm43;1
插补计算过程
逐点比较法插补原理：
逐点比较法又称代数运算法、醉步法。基 本原理是：计算机在控制加工过程中，能逐点地 计算和判别加工误差，与规定的运动轨迹进行比 较，由比较结果决定下一步的移动方向。既可以 做直线插补，又可以做圆弧插补。这种算法的特 点是:运算直观，插补误差小于一个脉冲当量， 输出脉冲均匀，而且输出脉冲的速度变化小，调 节方便，因此，在两坐标联动的数控机床中应用 较为广泛。
数控机床的工作原理
数控系统的主要任务之一就是控制执行机 构按预定的轨迹运动。一般情况是已知运动轨迹 的起点坐标、终点坐标和曲线方程，由数控系统 实时地算出各个中间点的坐标。即需要“插入、 补上”运动轨迹各个中间点的坐标，通常这个过 程就称为“插补”。 常用插补方法：逐点比较法、数字积分法、 数字脉冲乘法器插补法。
1．逐点比较法直线插补
（1）直线插补计算原理
偏差计算公式
定义直线插补的偏差判别式如下：
E(xe,ye)
0=yxexye Fm=ymxexmye
Y
M(xm,ym)
N(xn,yn)
O
X
沿着+X方向走一步，即： Xi+1=Xi+1,Fi+1,j=YjXe-(Xi+1)Ye=Fi,j-Ye
(a) 图2.1 直线插补和圆弧插补 a 直线插补 b 圆弧插补
数控技术数控机床的插补原理直线插补与圆弧插补计算原理
就结束该插补运算；如未到达再重复上述的 循环步骤。
（七）直线插补例题
图中的OA是要加工的直线。直线的起点在坐标原 点，终点为A（5，3）。试用逐点比较法对该直线 段进行插补，并画出补轨迹。
Y A（5,3）
O X
图2-5 逐点比较法直线插补轨迹
插补分类：（插补采用的原理和计算方法）
基准脉冲插补：(又称为行程标量插补或脉冲增量插补) 每次插补结束，向每个运动坐标输出基准脉冲序列。 脉冲序列的频率代表了运动速度，而脉冲的数量表示 移动量。
①逐点比较法；②数字积分法；③数字脉冲乘法器插补法；④矢 量判别法；⑤比较积分法；⑥最小偏差法；⑦目标点跟踪法；⑧ 单步追踪法；⑨直接函数法。
（五）逐点比较法直线插补源自2. 算法分析（第Ⅰ象限） 总结
第一拍 判别 第二拍 进给 第三拍 运算 第四拍 比较
Fm≥0 Fm<0
+△x +△y
Fm+1=Fm-ye Fm+1=Fm+xe
m=m+1
（六）插补运算过程
方向判定：根据偏差值判定进给方向； 坐标进给：根据判定的方向，向该坐标方向
发一进给脉冲； 偏差计算：每走一步到达新的坐标点，按偏
特点：以折线逼近直线、圆弧或各类曲线。
精度高：最大偏差不超过一个脉冲当量。
（四）逐点比较法
插补开始 方向判定
逐点比较法 工作循环过程
坐标进给
偏差计算
终点到？
N
插补结束
Y
（五）逐点比较法直线插补
y A(xe,ye)
o
x
每次插补计算输出一个脉冲，不是进给到X轴 方向，就是进给到Y轴方向，不可能两个坐标轴都进给
插补原理及控制方法
插补原理及控制方法插补原理是指在数控机床运动控制系统中，通过对多个轴同时进行定长或定角度的运动控制，实现复杂曲线的加工。
插补控制方法包括线性插补和圆弧插补两种。
一、线性插补线性插补是指在工件加工中，沿直线轨迹进行直线段的插补控制方法。
线性插补的原理是通过控制系统对多个轴的运动速度和方向进行精确控制，使得工件能够沿着设定的直线路径进行加工。
线性插补的控制方法包括点位控制和连续控制两种。
1.点位控制点位控制是将每个插补段分解成多个线性插补点，通过对每个点的坐标进行控制，实现工件的加工。
点位控制方式适用于工件形状简单、精度要求不高的情况下。
2.连续控制连续控制是通过对每个时间段内的轴位置进行插补计算，实现工件的连续运动。
此命令适用于工件形状复杂、精度要求较高的场景。
在连续控制中，通常使用插补算法进行计算，将每个时间段内需要插补的线性段分割成多个小段，并根据小段的长度和速度来确定每个小段的运动规律。
二、圆弧插补圆弧插补是指在数控机床加工中，通过对多个轴的运动进行控制，实现工件上圆弧曲线的加工。
圆弧插补的原理是通过对多个轴进行同步运动，控制圆弧路径的切线和加工速度，使得工件能够按照设定的半径和圆弧角度进行加工。
圆弧插补的控制方法包括圆心插补法和半径插补法。
1.圆心插补法圆心插补法是通过控制系统中的插补算法，计算每个时间段内轴的位置和速度，实现工件画圆弧的加工。
在圆心插补中，需要手动指定圆心的坐标位置和圆弧的半径、角度来实现加工。
2.半径插补法半径插补法是指通过在控制系统中指定圆弧的起点、终点和半径来实现工件圆弧的加工。
在半径插补中，插补算法会根据起始点和终点的位置，计算出圆心的位置和圆弧的角度，从而实现工件的加工。
总结：插补原理及控制方法是数控机床系统中非常重要的部分，通过对多个轴的运动进行精确控制，实现工件曲线轨迹的加工。
线性插补适用于直线段的加工，圆弧插补适用于曲线段的加工。
掌握插补原理及控制方法，对于数控机床加工精度的提高和加工效率的提高具有重要意义。
数控插补原理
v
X 2 Y2
vMF
X Y
2020/1/24
15
(2)所能加工直线的最大长度
所能加工直线的最大长度取决于寄存器的位数。若存放偏 差函数F和终点坐标值的寄存器位数为n，所允许的Xe或Ye 的最大为2n-1
最大加工直线长度
Lmax xe2 ye2 2 2n 1
(1)何时变换象限。变换象限的点必须发生在坐标轴上， 亦即发生在有一个坐标值为0时，故又称检零切换。
2020/1/24
25
(2)变换象限后的走向，即原来的象限要更换。我们规定：
经过检零检查后自动切换象限就不必分段编程了，但应在加工程 序的译码程序段，取得所分布象限的进给方向和插补运算公式。
2020/1/24
为了避免在插补中出现溢出，允许的最大直线长度为
Lmax 2n 1
2020/1/24
16
（6）不同象限的直线插补计算
2020/1/24
17
（7）逐点比较法直线插补举例
第一象限直线OA，终点坐标 X给e总=6步, Y数e=4N。=终6+点4=判10别，是每判进断给进一 步减1。
2020/1/24
Fi1
(Xi
1)2
Yi2
R2
Fi
2Xi
1
N X a Xb Ya Yb
Nx Xa Xb
N y Ya Yb
21
（4）逐点比较法圆弧插补举例
对 于 第 一 象 限 圆 弧 AB ， 起 点 A(4,0), 终点B(0,4)
步数 起点
偏差判别
1 2 3 4 5 6 7 20820/1/24
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3 2 1 终点判别 O 1 y
计 算 机 数 控 装 置
E(4,3
Y 给结束
2 N 3
4
15
3.2 逐点比较法插补 数 控 技 术
第 三 章
计 算 机 数 控 装 置
2. 直线插补： （1）偏差函数的设计： 直线方程为： XeY－XYe＝0 直线OE 为给定轨迹，P （X，Y）为动点坐标，动点 与直线的位置关系有三种情 况：①动点在直线上方、② 直线上、③直线下方。
计 算 机 数 控 装 置
具沿X轴应走的步数为X e，沿Y轴走的步数为Ye，计数器中存入 X和Y两坐标进给步数总和∑＝∣Xe∣＋∣Ye∣，当X或Y坐标进 给时，计数长度减1，当计数长度减到零时，即∑＝0时，停止 插补，到达终点。
19
3.2 逐点比较法插补 数 第一象限直线逐点比较法插补的流程图： 控 开始 技 初始化xe→X，ye→Y,E→N 术
第 三 章
（2）进给方向的判别: 对于第一象限直线，其偏差符号与进给方向的关系为 :
①F＝0时，表示动点在OE上，如点P，可向＋X向进给，也可向＋Y向进给。 ②F>0时，表示动点在OE上方，如点P1，应向＋X向进给。 ③F<0时，表示动点在OE下方，如点P2，应向＋Y向进给。 这里规定动点在直线上时，可归入F>0的情况一同考虑。
目标 位置 当前 位置 误差 实际 位置 进给 速度
插补模块
调整运算
驱动装置
工作台
测量元件
8
位置控制软件
3.1 CNC装置的插补原理概述 数 控 技 术
第 三 章
三. 数控插补的分类 ： 2. 数字增量插补（时间标量插补或数据采样插补） 数据采样插补的特点： ① 每次插补运算的结果不再是某坐标轴方向上的一个脉冲，
除以及开方等复杂运算。因此插补运算一般都采用迭代算法。
②插补运算速度直接影响数控系统的运行速度；插补运算精 度又直接影响数控系统的运行精度。
计 算 机 数 控 装 置
③插补速度和插补精度之间是相互制约、互相矛盾的，因此只
能折中选择。 以上是插补算法的基本技术要求！
5
3.1 CNC装置的插补原理概述 数 控 技 术
12
计 算 机 数 控 装 置
3.1 CNC装置的插补原理概述 数 控 技 术
第 三 章
CNC系统一般都具有直线插补和圆弧插补两项基本功能， 高档的CNC系统中还具有抛物线插补、渐开线插补、正弦 线插补、样条曲线插补和球面螺旋线插补等功能。 CNC系统所具有的插补种类和插补精度表明其数控系统性 能、档次的高低。
第 三 章
3.1.1 数控插补的基本概念：
一. 数控多轴联动的实现方法 ： 数控机床加工复杂轮廓时，通过插补运算程序，运算、判断 出每一步应进哪一个坐标，进多少，从而实现坐标轴联动， 加工出所需曲线。 二. 数控插补的概念 ： 插补就是根据给定进给速度和给定轮廓线形（轮廓形状）的 要求，在轮廓的已知点之间，确定一些中间点的方法，这种 方法称为插补方法或插补原理。 而对于每种方法(原理)又可以用不同的计算方法来实现，这种 具体的计算方法称之为插补算法。
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插补的实质：在一个线段的起点和终点之间进行数据点的密化。
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四. 数控插补插补器 ： 数控系统中完成插补运算工作的装置或程序成为插补器，插补
器可分为：硬件插补器、软件插补器及软、硬件结合插补器等 三种类型。
硬件插补器的特点是：运算速度快、但灵活性差、结构复杂、 成本较高。 CNC系统多采用软件插补器，软件插补器的特点是：结构简 单，灵活易变，但速度较慢。 现代CNC系统多采用软、硬件结合的插补器，软件完成粗插 补（即通过软件将加工轨迹分割为线段），硬件完成精插补 （用硬件完成粗插补分割的线段的进一步密化数据点）。
Y P1 E(Xe,Ye) P (X,Y) P2 O X
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图3-4 动点与直线位置关系
3.2 逐点比较法插补 数 控 技 术
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（3 ）偏差的简化算法: 下面将F的运算采用递推算法予以简化，动点Pi(Xi，Yi)的Fi 值为:
Fi X eYi X iYe
沿＋X向走一步后 ， 新的偏差为：
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一. 逐点比较法的基本思想 ： （也称代数运算法或醉步法） 问题的由来：已知起点、终点和进给速度，要求沿制定轨 迹和 进给速度进给到终点。 解决策略：盲人走路。
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三. 数控插补的分类 ： （基准脉冲插补和数据采样插补）
1. 脉冲增量插补（行程标量插补，也称基准脉冲插补） 每次插补结束，数控装置向每个运动坐标输出基准脉冲序列， 每个脉冲代表了最小位移（脉冲当量），脉冲序列的频率代 表了坐标运动速度，而脉冲的数量表示移动量。 脉冲当量是脉冲分配的基本单位，它决定了数控系统的加 工精度和分辨率。 普通数控机床： δ = 0.01mm；精密数控机床： δ
= 0.005mm 、 0.0025mm 或0.001mm；
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脉冲增量插补法有：逐点比较法、最小偏差法、数字积分法、 目标点跟踪法、单步追踪法、矢量判别法、加密判别和双判 别插补法、直接函数法等，它们主要用在采用步进电机驱动 的数控系统。 基准脉冲插补算法仅适用于一些中等精度（ δ = 0.01mm ） 6 或中等速度（1~4m/min）要求的计算机数控系统
Fi 1 X eYi 1 X i 1Ye X eYi ( X i 1)Ye X eYi X iYe Ye Fi Ye
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即Fi 1 Fi Ye
向＋Y方向进给一步，新的偏差为:
Fi 1 X eYi 1 X i 1Ye X e (Yi 1) X i Ye X eYi X i Ye X e Fi X e
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C N C 插 补 原 理
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数控技术第13讲
第三章 插补原理、刀具半径补偿和速度控制
本章讲授主要内容：
3.1 数控装置概述 3.2 逐点比较法插补
3.3 数字积分法插补
3.4 比较积分法插补 3.5 数据采样插补
3.6 刀具半径补偿原理 3.7 进给速度与加减速控制
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3.1 CNC装置的插补原理概述 数 控 技 术
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3.1 CNC装置的插补原理概述 数 控 技 术
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插补概念的总结： 在数控机床中，刀具不能严格地按照要求加工的曲线运动，只 能用折线轨迹逼近所要加工的曲线。 插补就是机床数控系统依照一定方法，确定刀具运动轨迹的 过程。也可以说，已知曲线上的某些数据，按照某种算法计算 已知点之间的中间点的方法，也称为“数据点的密化”。 插补计算就是数控装置根据输入的基本数据，通过计算，把工 件轮廓的形状描述出来，边计算边根据计算结果向各坐标发出 进给脉冲，对应每个脉冲，机床在响应的坐标方向上移动一个 脉冲当量的距离，从而将工件加工出所需要轮廓的形状。
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三. 数控插补的分类 ： 2. 数字增量插补（时间标量插补或数据采样插补） 采用数据采样插补算法时，每调用一次插补程序，数控系统 就计算出本插补周期内各个坐标轴的位置增量以及各个坐标 轴的目标位置。 随后伺服位置控制软件将把插补计算求得的坐标轴位置与采 样获得的坐标轴实际位置进行比较求得位置跟踪误差，然后 根据当前位置误差计算出坐标轴的进给速度并输出给驱动装 置，从而驱动移动部件向减小误差的方向运动。
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在数控机床的加工过程中，刀具只能以折线的形式去逼近需要 被加工的曲线轮廓，其实际运动轨迹是由一系列微小直线段所 组成的折线，而不是光滑的曲线，如下图所示。
a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9
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而是与各坐标轴位置增量相对应的几个数字量。此类算法适用 于以直流伺服电机或交流伺服电机作为驱动元件的闭环或半闭 环数控系统。 ② 数据采样插补程序的运行时间已不再是限制加工速度的主 要因素。加工速度的上限取决于插补精度要求以及伺服系统的 动态响应特性。
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3.1 CNC装置的插补原理概述 数 控 技 术
Fi 1 Fi X e
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3.2 逐点比较法插补 数 刀具正好处于直线上，偏 差为零，即F＝0，根据这一点偏差可求出新一点偏差，随着加 工的进行，每一新加工点的偏差都可由前一点偏差和终点坐标 相加或相减得到。 （4）终点判别: 在插补计算、进给的同时还要进行终点判别。常用终点判 别方法，是设置一个长度计数器，从直线的起点走到终点，刀
第 三 章
1. 逐点比较插补原理： 一般来说，逐点比较法插补过程可按以下四个步骤进行： ①偏差判别：根据刀具当前位置，确定 开始
进给方向。
②坐标进给：使加工点向给定轨迹趋进， 即向减少误差方向移动。 ③偏差计算：计算新加工点与给定轨迹 之间的偏差，作为下一步 判别依据。根 据加工点的当前位置，计算偏差函数值。 ④终点判别：判断是否到达终点，若到 达，结束插补；否则，继续以上四个步 骤（如右图所示）。
Y P1 E(Xe,Ye) P (X,Y) P2 X
图3-4 动点与直线位置关系
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