高斯函数的一个重要性质

西南民族大学学报·自然科学版第33卷第2期 Journal of Southwest University for Nationalities ⋅Natural Science Edition Apr.

2007___________________________________________________________________

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收稿日期：2006-11-25

作者简介：付萍(1984-), 四川师范大学数学与软件科学学院2006级硕士研究生, 廖群英(1974-), 女, 河南师范大学副教授. 基金项目：四川省教育厅青年基金(2005B024)项目资助.

文章编号：1003-2843(2007)02-0295-04 高斯函数的一个重要性质

付萍1, 廖群英2, 李莎2

(1. 四川师范大学数学与软件科学学院, 四川成都 610066；2. 河南师范大学数学与信息科学学院, 河南新乡 453002) 摘 要： 从素数与合数两方面入手, 研究阶乘、整除及高斯函数三者间的关系, 归纳出高斯函数的一个重要性质：若n 是一个正整数, 则()()1!1n n n ⎡⎤−⎢⎥+⎣⎦

是偶数. 关键词: 高斯函数; 素数; 合数

中图分类号: O156.1 文献标识码: A

1 引言

设x 为任一实数, 用[x ]表示不超过x 的最大整数, 称[x ]为高斯函数. 由定义立刻得到下列性质[1]：

(1) [][]1x x x ≤<+, []1x x x −<≤.

(2) [][]n x n x +=+, n 是整数.

(3) [][][]x y x y +≤+.

(4) 当x 不是整数时, [][]1x x −=−−；当x 是整数时, [][]x x −=−.

(5) 若,a b 是任意两个正整数, 则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数是a b

⎡⎤⎢⎥⎣⎦

. 1957年闵嗣鹤教授、严士健教授在文[1]中利用以上的性质(3)和(5)已解决了!n 的分解、组合数是整数等问

题. 2000年殷堰工老师[2]将!n 的标准分解式、

组合数是整数等结论很好地运用到数学竞赛中, 提供了解含阶乘整除问题的一种有效的方法. 本文进一步从素数与合数两方面入手, 对阶乘、整除及高斯函数三者间的关系进行分析, 最终得出高斯函数的一个重要性质, 即如下定理：

定理 设n 是一个大于零的整数, 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−)1()!1(n n n 是偶数. 2 预备知识

为完成定理的证明, 先做以下的准备工作.

引理2.1[3](Wilson 定理) 设p 是素数, 则()()1!10mod p p −+≡.

西南民族大学学报·自然科学版 引理2.2 设n 是大于4的整数, 则)(mod 0)!2(n n ≡−.

证明 令n ab =, 则11a b n <≤≤−.

若a b ≠, 则()1!ab n −, 即()()1!0mod n n −≡, 从而()()2!0mod n n −≡.

若a b =, 则2n a =, 从而2n a =≤

.由2n =得, 4n =或0, 与n 的取法矛盾. 故2n <, 即2a n <, 从而()()1!0mod n n −≡, 即()()2!0mod n n −≡. 由引理2.1与引理2.2立即可得：

引理2.3 设n 是素数, 则()()2!1mod n n −≡.

3 定理的证明

有了以上的准备, 在这一部分完成定理的证明.

证明 当05n <≤时, ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+−)1()!1(n n n 0=, 结论显然成立. 当5>n 时, 分类讨论：

(一) 若n 是素数, 则1n +必是偶合数. 设()()

1!1n Q n n −=+, 则()()1!111n n Q n n n −+++=+. 由引理 2.1定理得()1!1n n −+, 从而()1!1n n n −++.又由引理 2.2得()11!n n +−, 从而()11!1n n n +−++.但(),11n n +=, 因此()()11!1n n n n +−++, 即1Q n +

是一整数, 故 []()()()()

21!11!111111n n n n Q Q n n n n n −++−+−=+−=−=++. 要证[]Q 是偶数, 只需证[]2Q , 即()()2

211!1n n n +−+−. 事实上由引理2.1得()1!1n n −+, 从而

()21!1n n n −+−. (1)

又由()2

111122

n n n n −−++=得 ()2211n n +−. (2)

而1n +是合数, 不妨设1n ab +=, 1a b n <≤≤, 由(),11n n +=, 可得11a b n n <≤≤−<.

若1b n =−, 则211

a n =+−, 由a 是整数得2n =或3, 此与5n >矛盾, 因此11a

b n <≤<−. ① 若a b ≠, 则()2!ab n −, 又5n >, 即14n −>, 从而()21!ab n −, 即

()()211!n n +−. (3)

第2期 ② 若a b =, 则21n a +=, 从而12n a +≤.由12

n a +=得, 14n +=或0, 此与5n >矛盾, 故21a n <+.又由2a 是偶数, n 是奇数, 故21a n ≤−, 因此()221!a n −, 即

()()211!n n +−. (4) 由()()

21,1n n +=及(1)、(2)、(3)、(4)式可得()()2211!1n n n +−+−, 即[]Q 是偶数.

(二) 若n 是合数, 可分为以下两种情况： 1) 当n 是合数,1n +是素数时, 令()()

1!1n Q n n −=+ 则()1!11(1)n n Q n n n −++=++. 由引理2.2得()2!n n −, 从而()1!n n −, 故()1!n n n −+.又由引理2.3及1n +为素数可得()11!1n n +−−, 从而()11!n n n +−+.而(),11n n +=, 因此()()11!n n n n +−+, 即11

Q n ++是一整数, 故 []()()()()2

1!1!111111n n n n Q Q n n n n n −+−−=+−=−=+++. 要证[]Q 是偶数, 只需证[]2Q , 即()()2

211!n n n n +−−. 事实上由()11!1n n +−−, 可得

()211!n n n +−−. (5)

又由于n 是偶数得

222

n n n n ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠. (6) 因n 是合数, 不妨设n ab =, 11a b n <≤≤−.类似于(一)的证明可知12a b n <≤<−.

① 若a b ≠, 则()3!ab n −, 又5n >, 即23n −>, 故()22!ab n −即

()21!n n −. (7)

② 若a b =, 则有()2

22!a n −, 即

()21!n n −. (8)

由()2,11n n +=及(5)、(6)、(7)、(8)式可得()()2211!n n n n +−−, 即[]Q 是偶数. 2) 当,1n n +都是合数时, 令()()1!

1n Q n n −=+.由引理 2.2得()2!(1)!n n n −−, ()11!n n +−, 而

(),11n n +=, 故()()11!n n n +−, 即Q 是一整数. 要证[]Q 是偶数, 只需证[]2Q 即()()211!n n n +−.

事实上由于,1n n +不同奇偶, 故有以下两种情况：