传动轴的强度和刚度计算教学内容
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示。 由平衡方程T1-500=0 得： T1 =500 N·m AB段：如图（c）所示。 T2+2000-500=0 T2 =-1500 N·m (2) 绘制扭矩图如图 (d)所示。
3.2.2 传动轴的强度和刚度计算
1
2
(a )
【例3-3】 已知一传
动 轴 如 图 (a) 所 示 ，
主动轮A上输入功率 (b )
3.2.2 传动轴的强度和刚度计算
解 (1) 计算外力偶矩M。
MA
9549 15 143.24Nm 1000
MB
9549 10 95.49Nm 1000
方向与轴的转向相同 方向与轴的转向相反
(2) 计算扭矩T。 由图(b)可得：
T1+MA=0 T1= -MA=-143.24N·m
由图 (c)可得：
3.2.2 传动轴的强度和刚度计算
传动轴（受扭圆轴）实例
F d
F
A
F
M
F
Me
B
3.2.2 传动轴的强度和刚度计算
➢外力偶矩、扭矩与扭矩图
1.外力偶矩的计算
在工程中，作用于圆轴上的外力偶矩一般不是直接给出的， 通常给出的是
圆轴所需传递的功率和转速。因此，需要了解功率、 转速和外力偶矩三者之间
的关系， 即：
扭矩图
为了直观地表示圆轴上扭矩的作用情况，把圆轴的轴线作为x轴（横 坐标轴），以纵坐标轴表示扭矩T，这种用来表示圆轴横截面上扭矩沿轴线 方向变化情况的图形称为扭矩图。
3.2.2 传动轴的强度和刚度计算
【例3-2】 绘出图 (a)所示的悬臂梁的扭矩图。
2 0 0 0 N ·m
2
1 5 0 0 N ·m
T2+MA-MB=0 T2=MB-MA=-47.75N·m
(3) 绘制扭矩图如图 (d)所示。由图可知，AB段所承受的扭矩 最大，其值为-143.24 N·m。
3.2.2 传动轴的强度和刚度计算
➢圆轴扭转的切应力与强度计算
在轴的右端施加一个力偶 矩M使其产生扭转变形，可 观察到如下现象：
①圆周线的形状和大小 不变，相邻两圆周线的间 距保持不变，仅绕轴线作 相对转动。
M 9549P n
式中, M——作用于轴上的外力偶矩, 单位: N·m；
P——轴所传递的功率, 单位: kW；
n——轴的转速, 单位: r/min。
说明：轴上输入力偶矩是主动力偶矩，其转向与轴的转向相 同； 轴上输出力偶矩是阻力偶矩， 其转向与轴的转向相反。
3.2.2 传动轴的强度和刚度计算
【例3-1】已知某传动轴传递的功率为7.5 kW，转速为300 r/min， 试计算此传动轴传递的外力偶矩。
(a )
B1
C
A
2
1 5 0 0 N ·m
T1
(b )
1 2 2 0 0 0 N ·m
5 0 0 N ·m
T2 (c )
2 T ( N ·m )
B
C
5 0 0 N ·m
(d )
O
x
－ 1 5 0 0 N ·m
3.2.2 传动轴的强度和刚度计算 解： (1) 计算梁上各段横截面上的扭矩。 因为是悬臂梁，可取截面的自由端部分BC段, 如图（b）所
τmax≤［τ］
对于等截面圆轴有：
max
Tmax Wp
[]
3.2.2 传动轴的强度和刚度计算
【例3-4】 一阶梯圆 轴如图 (a)所示，轴 上受到外力偶矩
(a)
M1=6 kN·m，
M2=4kN·m
1 00 0 M
1
A
M3=2kN·m ， 轴 材 料
T
的许用切应力［τ］
=60 MPa，试校核此 (b ) 0
3.2.2 传动轴的强度和刚度计算
传动轴的强度和刚度计算
3.2.2 传动轴的强度和刚度计算
➢传动轴的概念与实例
T
T
传动轴：用于传递转矩而不承受弯矩，或所承受弯矩很小的轴。
受力特点：传动轴承受作用面与杆件轴线垂直的力偶作用。
变形特点：传动轴各横截面绕轴线发生相对转动，且杆轴线始终保 持直线。任意两横截面间相对转过的角度，称为相对扭 转角，以φ表示。
实心圆截面：
Ip
d 4 32
空心圆截面： Ip3d42(14)
d
D
3.2.2 传动轴的强度和刚度计算
➢圆轴扭转的切应力与强度计算
由上图可知：在圆轴横截面上，当ρ=0时，τ=0；当ρ=R时，
即圆轴横截面上边缘上点的切应力为最大值τmax，且切应力沿半
径方向呈线性增长。其最大切应力τmax为：
max
②纵向线均倾斜了一角 度。
横截面不存在正应力，而仅有垂直于半径方向的切应力。
3.2.2 传动轴的强度和刚度计算
➢圆轴扭转的切应力与强度计算
T
O
max
T
max
横截面上任意一点的切应力与该点到轴心的距离成正比，其方向与半径 垂直，可以证明横截面上任意一点的切应力计算公式为：
τρ=Tρ/Ip
式中，Ip为横截面对圆心O点的极惯性矩，按下列公式计算：
解：
M9547.5 923 .782 N5 m 300
3.2.2 传动轴的强度和刚度计算
➢外力偶矩、扭矩与扭矩图
2.扭矩和扭矩图
M1
m
M2
M3
(a)
M1
(b )
截 面 法
(c)
m
T （扭矩，单位为N·m ）
TM 10 TM 1
T
M2
M3
T′+Ｍ2-M3=0 T′=M3-M2
3.2.2 传动轴的强度和刚度计算
➢外力偶矩、扭矩与扭矩图
2.扭矩和扭矩图
Me
n
(＋ )
T
x
(a )
(＋ )
n
x T
Me
(b )
扭矩方向规定
3.2.2 传动轴的强度和刚度计算
➢外力偶矩、扭矩与wk.baidu.com矩图
2.扭矩和扭矩图 扭矩的求法：假截留半，内力代换，内外平衡
简便的方法：受扭转杆件某截面上的扭矩等于截面任一侧外力矩 的代数和。外力偶矩的正负号仍用右手螺旋法则：以右手四指表 示外力偶矩转向，拇指指向与截面外发线方向相反时取正值，相 同时取负值。
为15 kW，B、C轮
A MA
1
B MB
2
C MC
1
T1
MA
1
例题3-3图
为输出轮，输出轮B
上输出功率为10 kW， ( c )
轴 的 转 速 为 n=1000 r/min 。 试 求 各 段 轴
MA T
2
T2
MB
2
横截面上的扭矩， (d ) 0 并绘出扭矩图。
x － 4 7 . 7 5 N ·m
－ 1 4 3 . 2 4 B N ·m
T Wp
显然，Wp=Ip/R。上式中, Wp为抗扭截面系数，单位为m3、mm3。
实心圆轴：
Wp
d 3
16
空心圆轴：
Wp
D3
16
(14)
其中α=d/D。
d
d
D
3.2.2 传动轴的强度和刚度计算
➢圆轴扭转的切应力与强度计算
•强度计算
圆轴扭转的强度条件为：圆轴危险截面上的最大切应力小 于或等于材料的许用切应力，即：
3.2.2 传动轴的强度和刚度计算
1
2
(a )
【例3-3】 已知一传
动 轴 如 图 (a) 所 示 ，
主动轮A上输入功率 (b )
3.2.2 传动轴的强度和刚度计算
解 (1) 计算外力偶矩M。
MA
9549 15 143.24Nm 1000
MB
9549 10 95.49Nm 1000
方向与轴的转向相同 方向与轴的转向相反
(2) 计算扭矩T。 由图(b)可得：
T1+MA=0 T1= -MA=-143.24N·m
由图 (c)可得：
3.2.2 传动轴的强度和刚度计算
传动轴（受扭圆轴）实例
F d
F
A
F
M
F
Me
B
3.2.2 传动轴的强度和刚度计算
➢外力偶矩、扭矩与扭矩图
1.外力偶矩的计算
在工程中，作用于圆轴上的外力偶矩一般不是直接给出的， 通常给出的是
圆轴所需传递的功率和转速。因此，需要了解功率、 转速和外力偶矩三者之间
的关系， 即：
扭矩图
为了直观地表示圆轴上扭矩的作用情况，把圆轴的轴线作为x轴（横 坐标轴），以纵坐标轴表示扭矩T，这种用来表示圆轴横截面上扭矩沿轴线 方向变化情况的图形称为扭矩图。
3.2.2 传动轴的强度和刚度计算
【例3-2】 绘出图 (a)所示的悬臂梁的扭矩图。
2 0 0 0 N ·m
2
1 5 0 0 N ·m
T2+MA-MB=0 T2=MB-MA=-47.75N·m
(3) 绘制扭矩图如图 (d)所示。由图可知，AB段所承受的扭矩 最大，其值为-143.24 N·m。
3.2.2 传动轴的强度和刚度计算
➢圆轴扭转的切应力与强度计算
在轴的右端施加一个力偶 矩M使其产生扭转变形，可 观察到如下现象：
①圆周线的形状和大小 不变，相邻两圆周线的间 距保持不变，仅绕轴线作 相对转动。
M 9549P n
式中, M——作用于轴上的外力偶矩, 单位: N·m；
P——轴所传递的功率, 单位: kW；
n——轴的转速, 单位: r/min。
说明：轴上输入力偶矩是主动力偶矩，其转向与轴的转向相 同； 轴上输出力偶矩是阻力偶矩， 其转向与轴的转向相反。
3.2.2 传动轴的强度和刚度计算
【例3-1】已知某传动轴传递的功率为7.5 kW，转速为300 r/min， 试计算此传动轴传递的外力偶矩。
(a )
B1
C
A
2
1 5 0 0 N ·m
T1
(b )
1 2 2 0 0 0 N ·m
5 0 0 N ·m
T2 (c )
2 T ( N ·m )
B
C
5 0 0 N ·m
(d )
O
x
－ 1 5 0 0 N ·m
3.2.2 传动轴的强度和刚度计算 解： (1) 计算梁上各段横截面上的扭矩。 因为是悬臂梁，可取截面的自由端部分BC段, 如图（b）所
τmax≤［τ］
对于等截面圆轴有：
max
Tmax Wp
[]
3.2.2 传动轴的强度和刚度计算
【例3-4】 一阶梯圆 轴如图 (a)所示，轴 上受到外力偶矩
(a)
M1=6 kN·m，
M2=4kN·m
1 00 0 M
1
A
M3=2kN·m ， 轴 材 料
T
的许用切应力［τ］
=60 MPa，试校核此 (b ) 0
3.2.2 传动轴的强度和刚度计算
传动轴的强度和刚度计算
3.2.2 传动轴的强度和刚度计算
➢传动轴的概念与实例
T
T
传动轴：用于传递转矩而不承受弯矩，或所承受弯矩很小的轴。
受力特点：传动轴承受作用面与杆件轴线垂直的力偶作用。
变形特点：传动轴各横截面绕轴线发生相对转动，且杆轴线始终保 持直线。任意两横截面间相对转过的角度，称为相对扭 转角，以φ表示。
实心圆截面：
Ip
d 4 32
空心圆截面： Ip3d42(14)
d
D
3.2.2 传动轴的强度和刚度计算
➢圆轴扭转的切应力与强度计算
由上图可知：在圆轴横截面上，当ρ=0时，τ=0；当ρ=R时，
即圆轴横截面上边缘上点的切应力为最大值τmax，且切应力沿半
径方向呈线性增长。其最大切应力τmax为：
max
②纵向线均倾斜了一角 度。
横截面不存在正应力，而仅有垂直于半径方向的切应力。
3.2.2 传动轴的强度和刚度计算
➢圆轴扭转的切应力与强度计算
T
O
max
T
max
横截面上任意一点的切应力与该点到轴心的距离成正比，其方向与半径 垂直，可以证明横截面上任意一点的切应力计算公式为：
τρ=Tρ/Ip
式中，Ip为横截面对圆心O点的极惯性矩，按下列公式计算：
解：
M9547.5 923 .782 N5 m 300
3.2.2 传动轴的强度和刚度计算
➢外力偶矩、扭矩与扭矩图
2.扭矩和扭矩图
M1
m
M2
M3
(a)
M1
(b )
截 面 法
(c)
m
T （扭矩，单位为N·m ）
TM 10 TM 1
T
M2
M3
T′+Ｍ2-M3=0 T′=M3-M2
3.2.2 传动轴的强度和刚度计算
➢外力偶矩、扭矩与扭矩图
2.扭矩和扭矩图
Me
n
(＋ )
T
x
(a )
(＋ )
n
x T
Me
(b )
扭矩方向规定
3.2.2 传动轴的强度和刚度计算
➢外力偶矩、扭矩与wk.baidu.com矩图
2.扭矩和扭矩图 扭矩的求法：假截留半，内力代换，内外平衡
简便的方法：受扭转杆件某截面上的扭矩等于截面任一侧外力矩 的代数和。外力偶矩的正负号仍用右手螺旋法则：以右手四指表 示外力偶矩转向，拇指指向与截面外发线方向相反时取正值，相 同时取负值。
为15 kW，B、C轮
A MA
1
B MB
2
C MC
1
T1
MA
1
例题3-3图
为输出轮，输出轮B
上输出功率为10 kW， ( c )
轴 的 转 速 为 n=1000 r/min 。 试 求 各 段 轴
MA T
2
T2
MB
2
横截面上的扭矩， (d ) 0 并绘出扭矩图。
x － 4 7 . 7 5 N ·m
－ 1 4 3 . 2 4 B N ·m
T Wp
显然，Wp=Ip/R。上式中, Wp为抗扭截面系数，单位为m3、mm3。
实心圆轴：
Wp
d 3
16
空心圆轴：
Wp
D3
16
(14)
其中α=d/D。
d
d
D
3.2.2 传动轴的强度和刚度计算
➢圆轴扭转的切应力与强度计算
•强度计算
圆轴扭转的强度条件为：圆轴危险截面上的最大切应力小 于或等于材料的许用切应力，即：