陕西省高二上学期期末数学试卷(理科)D卷
陕西省高二数学上册期末理科试题与答案
陕西省高二数学上册期末理科试题与答案第I卷（选择题共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1.命题且是真命题，则命题是（）A. 假命题B. 真命题C. 真命题或假命题D. 不确定【答案】B命题且是真命题，则命题p和命题q都为真命题.命题且是真命题，由复合命题真值表可知，命题p和命题q都为真命题.本题考查含有逻辑连接词的复合命题的真假判断，属于基础题.2.不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】D分析：直接利用一元二次不等式的解法即可.详解：解方程，得，不等式的解集为.点睛：本题考查一元二次不等式的解法，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答.3.已知等差数列{a n}中，，则公差d的值为（）A. B. 1 C. D.【答案】C由等差数列的通项公式进行计算即可得答案.等差数列{a n}中，，则即3=9+6d,解得d=-1本题考查等差数列通项公式的应用，属于简单题.4.命题“使得”的否定是（）A. 都有B. 使得C. 使得D. 都有【答案】D特称命题的否定为全称命题，将存在量词变为全称量词，同时将结论进行否定，故命题“，使得”的否定是“，都有”，故选D.5.唐代诗人杜牧的七绝唐诗中有两句诗为：“今来海上升高望，不到蓬莱不成仙。
”其中后一句中“成仙”是“到蓬莱”的（）A. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】A因为：不到蓬莱→不成仙，∴成仙→到蓬莱，“成仙”是“到蓬莱”的充分条件，选A. 点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．6.在正方体中，、分别为棱和棱的中点，则异面直线AC与MN所成的角为( )A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°【答案】C连接BC1、D1A，D1C，∵M、N分别为棱BC和棱CC1的中点∴MN∥C1B.∵C1B∥D1A，∴MN∥D1A，∴∠D1AC为异面直线AC与MN所成的角.∵△D1AC为等边三角形，∴∠D1AC=60°.故选C.点睛: 本题主要考查异面直线所成的角.求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.7.曲线与曲线的（）A. 离心率相等B. 焦距相等C. 长轴长相等D. 短轴长相等【答案】B分别求出两个曲线的长轴，短轴，离心率，焦距，即可得到结果．曲线为焦点在y轴上的椭圆，长轴2a=10，短轴2b＝8，离心率e＝，焦距2c＝6．曲线为焦点在y轴上的椭圆，长轴2a′＝2，短轴2b′＝2，离心率e′＝，焦距2c′＝6．∴两个曲线的焦距相等．故选：B．本题考查椭圆的标准方程和简单性质的应用，属于基础题.8.已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，，则直线与平面的位置关系是（）A. 垂直B. 平行C. 相交但不垂直D. 直线在平面内或直线与平面平行【答案】D由，即可判断出直线l与平面α的位置关系．∵，∴⊥，∴直线l在平面α内或直线l与平面α平行．故选：D．本题考查平面法向量的应用、直线与平面位置关系的判定，考查推理能力与计算能力．9.已知双曲线：（，），右焦点到渐近线的距离为，到原点的距离为，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D由题意，双曲线，右焦点到渐近线的距离为，到原点的距离为，则双曲线焦点到渐近线的距离为，又，代入得，解得，故选D．10.在中，角所对的边分别为，且，若，则的形状是（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形【答案】C结合，利用余弦定理可得，可得，由，利正弦定理可得，代入，可得，进而可得结论.在中，∵，∴，∵，∴，∵，∴，代入，∴，解得．∴的形状是等边三角形，故选C．本题考查了正弦定理余弦定理、等边三角形的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.已知椭圆上一点P与椭圆的左右焦点构成一个三角形，且,则的面积为（）A. B. C. D.【答案】B先利用椭圆定义求出|PF1|+|PF2|和|F1F2|的值，然后利用余弦定理求出|PF1||PF2|的值，再代入三角形的面积公式即可．由椭圆可知，a＝2，b＝1，∴c＝，∵P点在椭圆上，F1、F2为椭圆的左右焦点，∴|PF1|+|PF2|＝2a＝4，|F1F2|＝2c＝2，在△PF1F2中，cos∠F1PF2＝＝，∴|PF1||PF2|＝，又∵在△F1PF2中，＝|PF1||PF2|sin∠F1PF2＝；本题考查椭圆中焦点三角形的面积的求法，关键是应用椭圆的定义和余弦定理转化．12.设且，则（）A. B. C. D.【答案】Ax，y∈R+且xy﹣（x+y）＝1，可得xy＝1+（x+y），化简解出即可得．∵x，y∈R+且xy﹣（x+y）＝1，则xy＝1+（x+y）≥1+2，化为：﹣2﹣1≥0，解得≥1+，即xy,xy＝1+（x+y）,即解得本题考查利用基本不等式求最值问题，属于基础题.第II卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
清华大学中学生标准学术能力(TDA)诊断性测试2024-2025学年高二上学期数学试卷和答案
标准学术能力诊断性测试2024年9月测试数学试卷（A 卷）本试卷共150分，考试时间90分钟.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设,a b ∈R ，则“22log log a b >”是“1122b a ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.集合(){}{}22ln 23,23,A x y x x B y y x x x A ==--==-+∈∣∣，则A B ⋂=R ð（）A.(),1∞-- B.()(],13,6∞--⋃C.()3,∞+ D.()[),16,∞∞--⋃+3.已知复数z 满足5z z ⋅=，则24i z -+的最大值为（）C. D.4.已知非零向量,a b 满足3a b = ，向量a 在向量b 方向上的投影向量是9b - ，则a 与b 夹角的余弦值为（） A.33 B.13 C.33- D.13-5.设函数()f x 的定义域为R ，且()()()()42,2f x f x f x f x -++=+=-，当[]1,2x ∈时，()()()2,303f x ax x b f f =+++=-，则b a -=（）A.9-B.6-C.6D.96.班级里有50名学生，在一次考试中统计出平均分为80分，方差为70，后来发现有3名同学的分数登错了，甲实际得60分却记成了75分，乙实际得80分却记成了90分，丙实际得90分却记成了65分，则关于更正后的平均分和方差分别是（）A.82，73 B.80，73 C.82，67D.80，677.已知()sin 404cos50cos40cos θθ-=⋅⋅ ，且ππ,22θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则θ=（）A.π3- B.π6- C.π6 D.π38.已知函数()2221x f x x =-++，则不等式()()2232f t f t +->的解集为（）A.()(),13,∞∞--⋃+ B.()1,3- C.()(),31,∞∞--⋃+ D.()3,1-二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对但不全得3分，有错选的得0分.9.已知实数,,a b c 满足0a b c <<<，则下列结论正确的是（）A.11a c b c>-- B.a a c b b c +<+C.b c a c a b --> D.2ac b bc ab+<+10.已知函数()sin3cos3f x a x x =-，且()3π4f x f ⎛⎫≤⎪⎝⎭对任意的x ∈R 恒成立，则下列结论正确的是（）A.1a =±B.()f x 的图象关于点π,04⎛⎫ ⎪⎝⎭对称C.将()f x 的图象向左移π12个单位，得到的图象关于y 轴对称D.当π23π,1236x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，满足()2f x ≤-成立的x 的取值范围是π7π,3636⎡⎤-⎢⎥⎣⎦11.在长方体1111ABCD A B C D -中，已知4,2AB BC ==，13,AA M N =､分别为1111B C A B ､的中点，则下列结论正确的是（）A.异面直线BM 与AC 所成角的余弦值为7210B.点T 为长方形ABCD 内一点，满足1D T ∥平面BMN 时，1D T的最小值为5C.三棱锥1B B MN -的外接球的体积为14πD.过点,,D M N 的平面截长方体1111ABCD A B C D -所得的截面周长为+三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若实数,x y 满足1232,34x y x y ≤+≤≤-+≤，则x y +的取值范围是__________.13.如图所示，在梯形ABCD 中，1,3AE AB AD =∥,3,BC BC AD CE =与BD 交于点O ，若AO x AD y AB =+ ，则x y -=__________.14.在四面体ABCD 中，3,,CD AD CD BC CD =⊥⊥，且AD 与BC 所成的角为30 .若四面体ABCD 的体积为2，则它的外接球表面积的最小值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知复数12213i z =-+=--.（1）若12z z z =，求z ；（2）在复平面内，复数12,z z 对应的向量分别是,OA OB ，其中O 是原点，求AOB ∠的大小.16.（15分）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且cos cos 1a C b A c -+=.（1）求角A ；（2）已知b D =为BC 边上一点，且2,BD BAC ADC ∠∠==，求AD 的长.17.（15分）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，点Q 为PA 的三等分点，满足13PQ PA =.（1）设平面QCD 与直线PB 相交于点S ，求证：QS ∥CD ；（2）若3,2,60,AB AD DAB PA ∠==== ，求直线CQ 与平面PAD 所成角的大小.18.（17分）甲､乙两位同学进行投篮训练，每个人投3次，甲同学投篮的命中率为p ，乙同学投篮的命中率为()q p q >，且在投篮中每人每次是否命中的结果互不影响.已知每次投篮甲､乙同时命中的概率为15，恰有一人命中的概率为815.（1）求,p q 的值；（2）求甲､乙两人投篮总共命中两次的概率.19.（17分）已知函数()233x x f x a --=⋅+是偶函数，()246h x x x =-+.（1）求函数()e 2x y h a =-的零点；（2）当[],x m n ∈时，函数(()h f x 与()f x 的值域相同，求n m -的最大值.标准学术能力诊断性测试2024年9月测试数学（A卷）参考答案一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.12345678A B C C D B A C二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对但不全的得3分，有错选的得0分.91011AD BC BD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.21,55⎡⎤-⎢⎥⎣⎦13.11114.73π-四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）解：（1）()() ()()12224i13i24i26i4i127i13i13i13i19i5 zzz-+---++-++ =====-+-+---5z∴==（2）依题意向量()()2,4,1,3OA OB=-=--于是有()()()214310OA OB⋅=-⨯-+⨯-=-OA OB====AOB∠为OA 与OB 的夹角，2cos2OA OBAOBOA OB∠⋅∴==-[]0,πAOB∠∈，3π4AOB∠∴=16.（15分）解：（1）由正弦定理可得：cos sin cos sin cos 1sin a C b A C B A c C--+==()cos 1sin sin cos sin A C A C B ∴+=-，由()sin sin B A C =+可得：()cos sin sin sin cos sin A C C A C A C ⋅+=-+，cos sin sin sin cos sin cos cos sin A C C A C A C A C ⋅+=--，cos sin sin cos sin A C C A C∴⋅+=-sin 0C ≠ 可得：cos 1cos A A +=-，1cos 2A ∴=-，()0,πA ∈ ，2π3A ∴=（2）,BAC ADC BCA ACD ∠∠∠∠== ，BAC ∴ 与ADC 相似，满足：AC BC CD AC =，设CD x =，则有3x =解得：1,3x x ==-（舍去），即：1CD =2π3ADC BAC ∠∠== ，在ADC 中，由余弦定理可得：2222πcos 32AD CD AC AD CD+-=⋅⋅，即：211221AD AD +--=⨯⨯解得：1,2AD AD ==-（舍去），AD ∴的长为117.（15分）解：（1）证明：因为平面QCD 与直线PB 相交于点S ，所以平面QCD ⋂平面PAB QS=因为四边形ABCD 为平行四边形，AB ∴∥CD ，AB ⊄ 平面,QCD CD ⊂平面,QCD AB ∴∥平面QCDAB ⊂ 平面PAB ，平面QCD ⋂平面,PAB QS AB =∴∥QS ，AB ∥,CD QS ∴∥CD（2）过点C 作CH AD ⊥于点H ，PA ⊥ 平面,ABCD PA ⊂平面PAD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD ，因为平面PAD ⋂平面ABCD AD =，且CH AD ⊥，CH ∴⊥平面PAD连接,QH CQH ∠∴是直线CQ 与平面PAD 所成的角因为点Q 为PA 的三等分点，232,223PA QA PA =∴==，在Rt DCH 中，333sin602CH =⋅= 在ACD 中，利用余弦定理可得：222223cos120,19223AC AC +-=∴=⨯⨯ ，在Rt QAC 中，222(22)1933QC QA AC =+=+=在Rt QCH 中，3312sin 233CH CQH CQ ∠===，可得π6CQH ∠=，即直线CQ 与平面PAD 所成的角等于π618.（17分）解：（1）设事件A ：甲投篮命中，事件B ：乙投篮命中，甲､乙投篮同时命中的事件为C ，则C AB =，恰有一人命中的事件为D ，则D AB AB =⋃，由于两人投篮互不影响，且在投篮中每人每次是否命中的结果互不影响，所以A 与B 相互独立，,AB AB 互斥，所以：()()()()P C P AB P A P B ==⋅()(()()(()()()P D P AB AB P AB P AB P A P B P A P B =⋃=+=⋅+⋅可得：()()1581115pq p q p q ⎧=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩解得：1335p q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或3315,,,1533p p q p q q ⎧=⎪⎪>∴==⎨⎪=⎪⎩（2）设i A ：甲投篮命中了i 次；j B ：乙投篮命中了j 次，,0,1,2,3i j =，()30285125P A ⎛⎫== ⎪⎝⎭()2213223223365555555125P A ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2223232323545555555125P A ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()3028327P B ⎛⎫== ⎪⎝⎭()2211221221433333339P B ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2222112112233333339P B ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设E ：甲､乙两人投篮总共命中两次，则021120E A B A B A B =++由于i A 与j B 相互独立，021120,,A B A B A B 互斥，()()()()()()()()021*********P E P A B A B A B P A P B P A P B P A P B ∴=++=⋅+⋅+⋅8236454830412591259125271125=⨯+⨯+⨯=19.（17分）解：（1）()233x x f x a --=⋅+ 是偶函数，则()()f x f x -=，即11333399x x x x a a --⋅+=⋅+，()113309x x a -⎛⎫∴--= ⎪⎝⎭，由x 的任意性得119a =，即9a =()246h x x x =-+ ，()()()()()22e 2e 4e 618e 4e 12e 6e 2x xx x x x x y h a ∴=-=-⋅+-=-⋅-=-+，令()()e 6e 20x x -+=，则e 6x =或e 2x =-（舍去），即ln6x =，()e 2x y h a ∴=-有一个零点，为ln6（2）设当[],x m n ∈时，函数()f x 的值域为[],s t ，则函数()()h f x 的值域也为[],s t ，由（1）知()2933332x x x x f x ---=⋅+=+≥=当且仅当33x x -=，即0x =时等号成立，令()p f x =，则2p ≥，()2246(2)2h x x x x =-+=-+ 在区间[)2,∞+上单调递增，所以当[],p s t ∈时，()2,s h p ≥的值域为()(),h s h t ⎡⎤⎣⎦，即()()h s s h t t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，则224646s s s t t t ⎧-+=⎨-+=⎩，即,s t 为方程246x x x -+=的两个根，解得23s t =⎧⎨=⎩，所以当[],x m n ∈时，()f x 的值域为[]2,3令()30x x λ=>，则()133,1x x y f x λλλ-==+=+>，3x λ= 在()0,∞+上单调递增，对勾函数1y λλ=+在()1,∞+上单调递增，由复合函数的单调性知，()f x 在()0,∞+上单调递增，()f x 是偶函数，()f x ∴在(),0∞-上单调递减令()3f x =，即333x x -+=，解得332x +=或332x =，即33log 2x +=或33log 2x -=，故n m -的最大值为3333535735log log log 222-+-=答案解析1.A【解析】由22log log a b >可得0a b >>，由1122b a⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得a b >，由a b >得不到0a b >>，故必要性不成立；由0a b >>可以得到a b >，故充分性成立，则“22log log a b >”是“1122b a ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”的充分不必要条件.2.B 【解析】集合(){}{}22ln 23230A x y x x x x x ==--=-->∣∣()(){}310{13},x x x x x x =-+>=<->∣∣或集合{}{}223,6B yy x x x A y y ==-+∈=>∣∣，{}()(]6,,13,6B y y A B ∞=≤∴⋂=--⋃R R ∣3.C【解析】复数z 满足5z z ⋅=，设22i,5z a b z z a b =+⋅=+=，()()2224i 24i (2)(4)z a b a b -+=-++=-++，则点()2,4-到圆225a b +=+=4.C【解析】设非零向量,a b 夹角为θ，向量a 在向量b 方向上的投影向量是39b - ，则cos ,39b a a b b θ⨯=-= ∣，解得3cos 3θ=-.5.D【解析】()()42f x f x -++= ，取()()1,312x f f =+=，()()()321211f f a b a b =-=-++=--，()()2f x f x +=- ，取()()0,2042x f f a b ===++，()()303,1423,2f f a b a b a +=---+++=-=- ，()()42f x f x -++= ，取2x =，则()21f =，则7b =，则729b a -=+=.6.B【解析】设更正前甲，乙，丙 的成绩依次为12350,,,,a a a a ，则12505080a a a +++=⨯ ，即507590655080a ++++=⨯ ，()222250(7580)(9080)(6580)807050a -+-+-++-=⨯ ，更正后平均分：()5016080908050x a =++++= ，()22222501(6080)(8080)(9080)807350s a ⎡⎤=-+-+-++-=⎣⎦ .7.A 【解析】()sin 40sin40cos cos40sin θθθ-=- 4cos50cos40cos 4sin40cos40cos θθ=⋅⋅=⋅⋅ 1cot40tan 4cos40θ⇒-=14cos40tan cot40θ-⇒=sin404sin40cos40cos40-=()sin 30102sin80cos40+-= 13cos102cos1022cos40+-=3313sin10cos10sin10cos102222cos40cos40--==()()sin 1060sin 50cos40cos40--===πππ,,223θθ⎛⎫∈-∴=- ⎪⎝⎭.8.C【解析】设()()21121x g x f x x =-=-++，()()2221112121x x x g x f x x x -⋅-=--=--+=--+++，()()2221102121x x x g x g x x x ⎛⎫⋅+-=-++--+= ⎪++⎝⎭，设()()1212121222,112121x x x x g x g x x x ⎛⎫⎛⎫>-=-+--+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()()()()122121121222222021212121x x x x x x x x x x -⎛⎫=-+-=-+> ⎪++++⎝⎭，故()g x 为奇函数，且单调递增，()()()()()()22223212310230f t f t f t f t g t g t +->⇒-+-->⇒+->，()()()()()222302332g t g t g t g t g t +->⇒>--=-，故232t t >-，解得()(),31,t ∞∞∈--⋃+.9.AD【解析】A.0a b c <<<，可得a c b c -<-，故11a c b c>--，A 正确；B.设不等式成立，则()()a a c b c b b c b b b c++<++，可得ab ac ab bc +<+，即ac bc <，由0a b c <<<可得ac bc >，故假设不成立，B 错误；C.不妨假设211313210,,1332b c a c a b c a b --+--+=-<=-<=-<====--，故,C b c a c a b --<错误；D.设不等式成立，()()22,,,0ac b bc ab ac bc ab b a b c a b b a b c +<+-<--<-<<< ，()()a b c a b b -<-成立，故2ac b bc ab +<+成立，D 正确.10.BC【解析】A.()()sin3cos33sin 0,cos πf x a x x x ϕϕϕϕ⎛⎫=-=+=-=≤ ⎪⎝⎭()3π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意x ∈R 恒成立，()f x ∴在3π4x =处取得极值，即3ππ3π42k ϕ⨯+=+，解得7π3ππ,sin 0,π,,sin 4422k ϕϕϕϕϕϕ=-+=-≤∴=-=-=- ，可求得1a =-，A 错误；B.()()3ππ3,0,44f x x f f x ⎛⎫⎛⎫=-=∴ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象关于点π,04⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，B 正确；C.将()f x 的图象向左平移π12个单位，得到()π3ππ3331242g x x x x ⎛⎫⎛⎫=+⨯-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数图象关于y 轴对称，C 正确；D.()3π2342f x x ⎛⎫=-≤- ⎪⎝⎭，即3π1sin 342x ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭，7π3π11π2π32π646k x k ∴+≤-≤+，解得23π231π2ππ363363k x k +≤≤+，由题意知π23π,1236x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，符合条件的k 的取值为1,0-，当1k =-时，π7π3636x -≤≤，均在定义域内，满足条件，当0k =时，23π31π3636x ≤≤，此时仅有23π36x =满足条件，所以满足()22f x ≤-成立的x 的取值范围为π7π23π,363636⎡⎤⎧⎫-⋃⎨⎬⎢⎣⎦⎩⎭，D 错误.11.BD【解析】A.MN ∥,AC BMN ∠∴为直线MN 与AC 所成角，在BMN 中，根据余弦定理可知222cos 2BM MN BN BMN BM MN∠+-=⋅，422BM MN BN ======，代入求得cos 10BMN A ∠=错误；B.取AD 的中点E ，取CD F ，取11A D 的中点S ，连接11,,,,EF D E D F AS SM ，SM ∥,AB AS ∥BM ，所以四边形ABMS 是平行四边形，AS ∥BM 且AS ∥11,D E D E ∴∥1BM D E ∴∥平面BMN ，同理可得1D F ∥平面BMN ，1DT ∥平面,BMN T ∈平面ABCD ，所以点T 的运动轨迹为线段EF ，在1ΔD EF 中，过点1D 作1D T EF ⊥，此时1D T 取得最小值，由题意可知，11D E D F EF ===，1111sin sin sin 105D EF BMN D T D E D EF ∠∠∠====，B 正确；C.取MN 的中点1O ，连接11B O ，则1111O N O M O B ==，过点1O 作1OO ∥1BB ，且111322OO BB ==，OM ∴为外接球的半径，在1Rt MB N 中，MN =，2R OM ∴==，34ππ,33V R C ∴==球错误；D.由平面11AA D D ∥平面11BB C C 得，过点,,D M N 的平面必与11,AA C C 有交点，设过点,,D M N 的平面与平面11AA D D 和平面11BB C C 分别交于,DO PM DO ∴∥,PM 同理可得DP ∥,ON 过点,,D M N 的平面截长方体1111ABCD A B C D -所得的截面图形为五边形DPMNO ，如图所示，以D 为坐标原点，以1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设,AO m CP n ==，则()()()()()0,0,0,2,0,,0,4,,1,4,3,2,2,3D O m P n M N ，()()()()0,2,3,1,0,3,2,0,,0,4,ON m PM n DO m DP n ∴=-=-== ，DP ∥,ON DO ∥PM ，()()2323m n n m ⎧=-⎪∴⎨=-⎪⎩，解得2m n ==，DO DP ∴==ON PM MN ====，所以五边形DPMNO 的周长为DO DP ON PM MN ++++==+，D 正确.12.21,55⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】令()()()()2323x y m x y n x y m n x m n y +=++-+=-++，2131m n m n -=⎧∴⎨+=⎩，解得()()2121,,235555m n x y x y x y ==-∴+=+--+，1232,34x y x y ≤+≤≤-+≤ ，则()()22441323,555555x y x y ≤+≤-≤--+≤-，24435555x y ∴-≤+≤-，即21,55x y ⎡⎤+∈-⎢⎣⎦.13.111【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，设1AD =，则3BC =，()()()()220,0,3,0,,,1,,,33B C A m n D m n E m n ⎛⎫∴+ ⎪⎝⎭，所以直线BD 的方程为1n y x m =+，直线CE 的方程为()2329n y x m =--，联立两直线方程求得()()666655,,,,1,0,,11111111m n m n O AO AD AB m n +-⎛⎫⎛⎫∴=-==-- ⎪ ⎝⎭⎝⎭ ，6511,511m x my AO xAD y AB n ny -⎧=-⎪⎪=+∴⎨⎪-=-⎪⎩ ，解得651,,111111x y x y ==∴-=.14.73π-【解析】依题意，可将四面体ABCD 补形为如图所示的直三棱柱ADE FCB -，AD 与BC 所成的角为30 ，30BCF ∠∴= 或150，设,CB x CF y ==，外接球半径记为R ，外接球的球心如图点O ，11113sin 23324ABCD CBF V DC S xy BCF xy ∠⎛⎫∴=⋅⋅=⨯⨯== ⎪⎝⎭ ，解得8xy =，在2Rt OCO 中，2222222223922sin 4BF R OC OO CO BF BCF ∠⎛⎫⎛⎫==+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，在BCF 中，由余弦定理可得2222cos BF BC CF BC CF BCF ∠=+-⋅⋅，要使外接球表面积最小，则R 要尽可能小，则BCF ∠应取30 ，(2222BF x y xy ∴=+≥-，当且仅当x y =时取等，(22min 99732444R BF xy ∴=+=+=-所以外接球表面积的最小值2min min 4π73πS R ==-.。
陕西省数学高二上学期理数期末考试试卷
陕西省数学高二上学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2018·武邑模拟) 已知倾斜角为的直线与直线垂直，则的值为（）A .B .C .D .2. （2分）过点A(4，a)和点B(5，b)的直线与y＝＋m平行，则|AB|的值为（）A . 6B .C . 2D . 不能确定3. （2分）方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的范围是（）A . a<－2或a>B . － <a<2C . －2<a<0D . －2<a<4. （2分）如果直线x＋2y－1＝0和y＝kx互相平行，则实数k的值为（）．A . 2B .C . －2D . －5. （2分）记动点P是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上一点，记．当为钝角时，则的取值范围为（）A . (0,1)B .C .D . (1,3)6. （2分） (2017高二下·金华期末) 设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下面四个命题中不正确的是（）A . 若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥αB . 若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥βC . 若a∥α，α⊥β，则α⊥βD . 若a⊥β，α⊥β，则a∥α7. （2分）已知变量x，y满足则的值范围是（）A .B .C .D .8. （2分）如图，设D是边长为l的正方形区域，E是D内函数与所构成(阴影部分)的区域，在D中任取一点，则该点在E中的概率是（）A .B .C .D .9. （2分） (2017高一下·定州期末) 下列命题正确的是（）A . 两两相交的三条直线可确定一个平面B . 两个平面与第三个平面所成的角都相等，则这两个平面一定平行C . 过平面外一点的直线与这个平面只能相交或平行D . 和两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线10. （2分）若不论m取何实数，直线l：mx+y﹣1+2m=0恒过一定点，则该定点的坐标为（）A . （﹣2，1）B . （2，﹣1）C . （﹣2，﹣1）D . （2，1）11. （2分） (2017高一下·安庆期末) 点P（m2 ， 5）与圆x2+y2=24的位置关系是（）A . 在圆外B . 在圆上C . 在圆内D . 不确定12. （2分）(2017·衡水模拟) 体积为的正三棱锥A﹣BCD的每个顶点都在半径为R的球O的球面上，球心O在此三棱锥内部，且R：BC=2：3，点E为线段BD上一点，且DE=2EB，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（）A . [4π，12π]B . [8π，16π]C . [8π，12π]D . [12π，16π]二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高三上·扬州期中) 已知x ， y R，直线与直线垂直，则实数a的值为________．14. （1分）(2020·新沂模拟) 若数据的方差为，则 ________．15. （1分）(2018·绵阳模拟) 在一场比赛中，某篮球队的11名队员共有9名队员上场比赛，其得分的茎叶图如图所示．从上述得分超过10分的队员中任取2名，则这2名队员的得分之和超过35分的概率为________．16. （1分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上不存在点P，使得∠APB为直角，则实数m的取值范围是________三、解答题 (共6题；共80分)17. （10分） (2019高一下·南通期末) 如图，在三棱柱ABC–A1B1C1中，AB＝BC ， D为AC的中点，O为四边形B1C1CB的对角线的交点，AC⊥BC1 ．求证：（1）OD∥平面A1ABB1；（2）平面A1C1CA⊥平面BC1D．18. （15分） (2019·哈尔滨模拟) 某城市随机抽取一年（天）内天的空气质量指数的监测数据，结果统计如下：空气质量优良轻微污染轻度污染中度污染中度重污染重度污染天数（1）若某企业每天由空气污染造成的经济损失（单位：元）与空气质量指数（记为）的关系式为：试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失大于元且不超过元的概率；（2）若本次抽取的样本数据有天是在供暖季，其中有天为重度污染，完成下面列联表，并判断能否有的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？非重度污染重度污染合计供暖季非供暖季合计附：19. （15分） (2018高二上·安庆期中) 已知动点到点的距离是它到点的距离的两倍．（1）求动点的轨迹的方程；（2）过坐标原点作直线与轨迹交于两点，若这两点间的距离为，求直线的方程．20. （15分）(2019·南昌模拟) 某品牌餐饮公司准备在10个规模相当的地区开设加盟店，为合理安排各地区加盟店的个数，先在其中5个地区试点，得到试点地区加盟店个数分别为1，2，3，4，5时，单店日平均营业额（万元）的数据如下：加盟店个数（个）12345单店日平均营业额（万元）10.910.297.87.1（参考数据及公式：，，线性回归方程，其中， .）（1）求单店日平均营业额（万元）与所在地区加盟店个数（个）的线性回归方程；（2）根据试点调研结果，为保证规模和效益，在其他5个地区，该公司要求同一地区所有加盟店的日平均营业额预计值总和不低于35万元，求一个地区开设加盟店个数的所有可能取值；（3）小赵与小王都准备加入该公司的加盟店，根据公司规定，他们只能分别从其他五个地区（加盟店都不少于2个）中随机选一个地区加入，求他们选取的地区相同的概率.21. （10分）(2018·宁德模拟) 如图，矩形中，，，点是上的动点．现将矩形沿着对角线折成二面角，使得．（Ⅰ）求证：当时，；（Ⅱ）试求的长，使得二面角的大小为．22. （15分）已知点A（a，0）（a＞4），点B（0，b）（b＞4），直线AB与圆x2+y2﹣4x﹣4y+3=0相交于C、D 两点，且|CD|=2．（1）求（a﹣4）（b﹣4）的值；（2）求线段AB的中点的轨迹方程；（3）求△AOM的面积S的最小值．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共80分)17-1、17-2、答案：略18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、22-1、22-2、22-3、。
2023-2024学年北京市西城区高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．直线3x﹣4y+1＝0不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．抛物线x2＝6y的焦点到准线的距离为（）A．12B．1C．2D．33．在空间直角坐标系O﹣xyz中，点A（4，﹣2，8）到平面xOz的距离与其到平面yOz的距离的比值等于（）A．14B．12C．2D．44．在(2x+1x)3的展开式中，x的系数为（）A．3B．6C．9D．12 5．正四面体ABCD中，AB与平面BCD所成角的正弦值为（）A．√63B．√36C．√24D．√336．已知直线a，b和平面α，其中a⊄α，b⊂α，则“a∥b”是“a∥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．设A，B为双曲线E：x 2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右顶点，M为双曲线E上一点，且△AMB为等腰三角形，顶角为120°，则双曲线E的一条渐近线方程是（）A．y＝x B．y＝2x C．y=√2x D．y=√3x8．在正方体的8个顶点中任选3个，则这3个顶点恰好不在同一个表面正方形中的选法有（）A．12种B．24种C．32种D．36种9．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝CC1＝4，E为棱B1C1的中点，P为四边形BCC1B1内（含边界）的一个动点．且DP⊥BE，则动点P的轨迹长度为（）A．5B．2√5C．4√2D．√1310．在直角坐标系xOy 内，圆C ：（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝1，若直线l ：x +y +m ＝0绕原点O 顺时针旋转90°后与圆C 存在公共点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[−√2，√2]B ．[−4−√2，−4+√2]C ．[−2−√2，−2+√2]D ．[−2+√2，2+√2]二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11．过点A （2，﹣3）且与直线x +y +3＝0平行的直线方程为 ． 12．在（2x +1）4的展开式中，所有项的系数和等于 ．（用数字作答）13．两个顶点朝下竖直放置的圆锥形容器盛有体积相同的同种液体（示意图如图所示），液体表面圆的半径分别为3，6，则窄口容器与宽口容器的液体高度的比值等于 ．14．若方程x 2m+2+y 24−m =1表示的曲线为双曲线，则实数m 的取值范围是 ；若此方程表示的曲线为椭圆，则实数m 的取值范围是 ．15．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，E 为棱BB 1的中点，F 为棱CC 1（含端点）上的一个动点．给出下列四个结论：①存在符合条件的点F ，使得B 1F ∥平面A 1ED ； ②不存在符合条件的点F ，使得BF ⊥DE ； ③异面直线A 1D 与EC 1所成角的余弦值为√55； ④三棱锥F ﹣A 1DE 的体积的取值范围是[23，2]．其中所有正确结论的序号是 ．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16．（10分）从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动．（1）共有多少种不同的选择方法？（2）若要求选出的3名志愿者中有2男1女，且他们分别从事经济、文化和民生方面的问卷调查工作，求共有多少种不同的选派方法？17．（15分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BA⊥BC，BC＝3，AB＝AA1＝4．（1）证明：直线AB1⊥平面A1BC；（2）求二面角B﹣CA1﹣A的余弦值．18．（15分）已知⊙C经过点A（1，3）和B（5，1），且圆心C在直线x﹣y+1＝0上．（1）求⊙C的方程；（2）设动直线l与⊙C相切于点M，点N（8，0）．若点P在直线l上，且|PM|＝|PN|，求动点P的轨迹方程．19．（15分）已知椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的一个焦点为(√5，0)，四个顶点构成的四边形面积等于12．设圆（x﹣1）2+y2＝25的圆心为M，P为此圆上一点．（1）求椭圆C的离心率；（2）记线段MP与椭圆C的交点为Q，求|PQ|的取值范围．20．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面P AB，AB∥DC，E为棱PB的中点，平面DCE与棱P A相交于点F，且P A＝AB＝AD＝2CD＝2，再从下列两个条件中选择一个作为已知．条件①：PB＝BD；条件②：P A⊥BC．（1）求证：AB∥EF；（2）求点P到平面DCEF的距离；（3）已知点M在棱PC上，直线BM与平面DCEF所成角的正弦值为23，求PMPC的值．21．（15分）设椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a＞b＞0)左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与椭圆C相交于A，B两点．已知椭圆C的离心率为12，△ABF2的周长为8．（1）求椭圆C的方程；（2）判断x轴上是否存在一点M，对于任一条与两坐标轴都不垂直的弦AB，使得MF1为△AMB的一条内角平分线？若存在，求点M的坐标；若不存在，说明理由．2023-2024学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
广东省部分学校2024-2025学年高二上学期第一次联考数学试卷(含答案解析)
广东省部分学校2024-2025学年高二上学期第一次联考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知()()2,1,3,1,1,1a b =-=- ，若()a a b λ⊥-，则实数λ的值为（）A ．2-B ．143-C ．73D ．22．P 是被长为1的正方体1111ABCD A B C D -的底面1111D C B A 上一点，则1PA PC ⋅的取值范围是（）A ．11,4⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．11,42⎡⎤--⎢⎥⎣⎦3．已知向量()4,3,2a =- ，()2,1,1b = ，则a 在向量b上的投影向量为（）A ．333,,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．333,,244⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．333,,422⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()4,2,24．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱1AA ，1BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且()102A G λλ=<<，则点G 到平面1D EF 的距离为（）AB C ．3D 5．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为平行四边形，,M N 分别为棱,BC PD 上的点，13CM CB =，PN ND =，设AB a =，AD b =，AP c = ，则向量MN 用{},,a b c 为基底表示为（）A ．1132a b c++B ．1162a b c-++C ．1132a b c -+D ．1162a b c--+ 6．在四面体OABC 中，空间的一点M 满足1146OM OA OC λ=++ ．若,,MA MB MC共面，则λ=（）A ．12B ．13C ．512D ．7127．已知向量()()1,21,0,2,,a t t b t t =--=，则b a - 的最小值为（）AB C D8．“长太息掩涕兮，哀民生之多艰”，端阳初夏，粽叶飘香，端午是一大中华传统节日.小玮同学在当天包了一个具有艺术感的肉粽作纪念，将粽子整体视为一个三棱锥，肉馅可近似看作它的内切球（与其四个面均相切的球，图中作为球O ）.如图：已知粽子三棱锥P ABC -中，PA PB AB AC BC ====，H 、I 、J 分别为所在棱中点，D 、E 分别为所在棱靠近P 端的三等分点，小玮同学切开后发现，沿平面CDE 或平面HIJ 切开后，截面中均恰好看不见肉馅.则肉馅与整个粽子体积的比为（）.A ．π9B ．π18C ．π27D ．π54二、多选题9．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1BB 的中点，F 为11A D 的中点，如图所示建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（）A ．13DB =B ．向量AE 与1AC uuu r 所成角的余弦值为5C ．平面AEF 的一个法向量是()4,1,2-D ．点D 到平面AEF 10．在正三棱柱111ABC A B C -中，1AB AA =，点P 满足][1([0,1,0,])1BP BC BB λμλμ=+∈∈，则下列说法正确的是（）A ．当1λ=时，点P 在棱1BB 上B ．当1μ=时，点P 到平面ABC 的距离为定值C ．当12λ=时，点P 在以11,BC B C 的中点为端点的线段上D ．当11,2λμ==时，1A B ⊥平面1AB P 11．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达・芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达・芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则（）A ．122CG AB AA =+ B ．直线CQ 与平面1111D C B A 所成角的正弦值为23C ．点1C 到直线CQ 的距离是3D ．异面直线CQ 与BD 三、填空题12．正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为2，底面边长为1，M 是BC 的中点．在直线1CC 上求一点N ，当CN 的长为时，使1⊥MN AB ．13．四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且1PD =，3AB =，G 是ABC V 的重心，则PG 与平面PAD 所成角θ的正弦值为.14．坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出建筑轮那，展现造型之美.如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形.若25m AB =，10m BC =，且等腰梯形所在平面、等腰三角形所在平面与平面ABCD 的夹角的正切值均为5，则该五面体的所有棱长之和为.四、解答题15．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11,2AD AA AB ===，点E 在棱AB 上移动.(1)当点E 在棱AB 的中点时，求平面1D EC 与平面1DCD 所成的夹角的余弦值；(2)当AE 为何值时，直线1A D 与平面1D EC 所成角的正弦值最小，并求出最小值.16．如图所示，直三棱柱11ABC A B C -中，11,92,0,,CA CB BCA AA M N ︒==∠==分别是111,A B A A 的中点．(1)求BN 的长；(2)求11cos ,BA CB的值．(3)求证：BN ⊥平面1C MN ．17．如图，在四棱维P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，AB AD ⊥，1AB =，2AD =，AC CD ==(1)求直线PB 与平面PCD 所成角的正切值；(2)在PA 上是否存在点M ，使得//BM 平面PCD ？若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由．18．如图1，在边长为4的菱形ABCD 中，60DAB ∠=︒，点M ，N 分别是边BC ，CD 的中点，1AC BD O ⋂=，AC MN G ⋂=．沿MN 将CMN 翻折到PMN 的位置，连接PA ，PB ，PD ，得到如图2所示的五棱锥P ABMND -．(1)在翻折过程中是否总有平面PBD ⊥平面PAG ？证明你的结论；(2)若平面PMN ⊥平面MNDB ，线段PA 上是否存在一点Q ，使得平面QDN 与平面PMN 所成Q 的位置；若不存在，请说明理由．19．如图，四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是菱形，PA ⊥平面,60ABCD ABC ∠= ，11,,2PA AB E F ==分别是线段BD 和PC 上的动点，且()01BE PFBD PC λλ==<≤．(1)求证：//EF 平面PAB ；(2)求直线DF 与平面PBC 所成角的正弦值的最大值；(3)若直线AE与线段BC交于M点，AH PM于点H，求线段CH长的最小值．参考答案：题号12345678910答案C BADDDCBBCDBCD题号11答案BC1．C【分析】利用两个向量垂直的性质，数量积公式即求得λ的值．【详解】 向量()()2,1,3,1,1,1a b =-=-若()a a b λ⊥-，则2()(419)(213)0a a b a a b λλλ⋅-=-⋅=++-++=，73λ∴=．故选：C ．2．B【分析】建立空间直角坐标系，写出各点坐标，同时设点P 的坐标为(),,x y z ，用坐标运算计算出1PA PC ⋅，配方后可得其最大值和最小值，即得其取值范围．【详解】如图，以点D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则1,0,0，()10,1,1C ，设(),,P x y z ，01x ≤≤，01y ≤≤，1z =，()1,,1PA x y ∴=--- ，()1,1,0PC x y =--，()()2222111111222PA PC x x y y x x y y x y ⎛⎫⎛⎫∴⋅=----=-+-=-+--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当12x y ==时，1PA PC ⋅ 取得最小值12-，当0x =或1，0y =或1时，1PA PC ⋅取得最大值0，所以1PA PC ⋅ 的取值范围是1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：B.3．A【分析】根据投影向量公式计算可得答案.【详解】向量a 在向量b上的投影向量为()()()2242312333cos ,2,1,12,1,13,,222b a b a a b b b b ⋅⨯+⨯-⎛⎫⋅⋅=⋅=⋅== ⎪⎝⎭r r rr r r r r r .故选：A.4．D【分析】建立空间直角坐标系，由点到平面的距离公式计算即可．【详解】以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，1DD 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()2,,2G λ，()10,0,2D ，()2,0,1E ，()2,2,1F ，所以()12,0,1ED =- ，()0,2,0= EF ，()0,,1EG λ=．设平面1D EF 的法向量为(),,n x y z = ，则12020n ED x z n EF y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，取1x =，得()1,0,2n =r，所以点G 到平面1D EF的距离为EG n d n ⋅== ，故选：D ．5．D【分析】利用空间向量的线性运算结合图形计算即可.【详解】由条件易知()11113232MN MC CD DN BC BA DP AD BA AP AD =++=++=++-()11113262b ac b a b c =-+-=--+.故选：D 6．D【分析】根据给定条件，利用空间向量的共面向量定理的推论列式计算即得.【详解】在四面体OABC 中，,,OA OB OC不共面，而1146OM OA OB OC λ=++ ，则由,,MA MB MC ，得11146λ++=，所以712λ=.故选：D 7．C【分析】计算出b a -=≥ .【详解】因为()()1,21,0,2,,a t t b t t =--=，所以b a -=当0t =时，等号成立，故ba -.故选：C.8．B【分析】设1PFCF ==，易知PA PB AB AC BC =====，且23FG =，设肉馅球半径为r ，CG x =，根据中点可知P 到CF 的距离4d r =，sin 4dPFC r PF∠==，根据三角形面积公式及内切圆半径公式可得1x =，结合余弦定理可得1cos 3PFC ∠=，进而可得3PC =，sin 3PFC ∠=，可得内切球半径且可知三棱锥为正三棱锥，再根据球的体积公式及三棱锥公式分别求体积及比值.【详解】如图所示，取AB 中点为F ，PF DE G ⋂=，为方便计算，不妨设1PF CF ==，由PA PB AB AC BC ====，可知3PA PB AB AC BC =====，又D 、E 分别为所在棱靠近P 端的三等分点，则2233FG PF ==，且AB PF ⊥，AB CF ⊥、PF CF F = ，PF ，CF ⊂平面PCF ，即AB ⊥平面PCF ，又AB ⊂平面ABC ，则平面PCF ⊥平面ABC ，设肉馅球半径为r ，CG x =，由于H 、I 、J 分别为所在棱中点，且沿平面HIJ 切开后，截面中均恰好看不见肉馅，则P 到CF 的距离4d r =，sin 4d PFC r PF∠==，12414233GFC r S r =⋅⋅⋅=△，又2132GFC rS x ⎛⎫=++⋅ ⎪⎝⎭ ，解得：1x =，故22241119cos 223213CF FG CG PFC CF FG +-+-∠===⋅⋅⋅⋅，又2222111cos 21132P PF CF PC PC F F C P F C +-+⋅-∠=⋅=⋅⋅，解得PC =，sin 3PFC ∠=，所以：4sin 31rPFC ∠==，解得6r =，343V r =π=球，由以上计算可知：P ABC -为正三棱锥，故111sin 4332ABC V S d AB AC BAC r =⋅⋅=⋅⋅⋅∠⋅粽11432332627=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=，=.故选：B.9．BCD【分析】先写出需要的点的坐标，然后利用空间向量分别计算每个选项即可.【详解】由题可知，2,0,0,()0,0,0D,()2,2,1E,()1,0,2F,()12,2,2B,()10,2,2C，所以1DB==A错误；()0,2,1AE=,()12,2,2AC=-，所以111·cos,AE ACAE ACAE AC=B正确；()0,2,1AE=,()1,0,2AF=-，记()4,1,2n=-，则0,0AE AFn n==，故,AE AFn n⊥⊥，因为AE AF A⋂=,,AE AF⊂平面AEF，所以()4,1,2n=-垂直于平面AEF，故选项C正确；B =2,0,0，所以点D到平面AEF的距离·21DA ndn===，故选项D正确；故选：BCD10．BCD【分析】对于A，由1CP BP BC BBμ==-即可判断；对于B，由[]11,0,1B P BP BB BCλλ=-=∈和11//B C平面ABC即可判断；对于C，分别取BC和11B C的中点D和E，由BP BD=+1BBμ即1DP BBμ=即可判断；对于D，先求证1A E⊥平面11BB C C，接着即可求证1B P⊥平面1A EB，进而即可求证1A B⊥平面1AB P.【详解】对于A，当1λ=时，[]1,0,1CP BP BC BBμμ=-=∈，又11CC BB=，所以1CP CCμ=即1//CP CC，又1CP CC C=，所以1C C P、、三点共线，故点P在1CC上，故A错误；对于B ，当1μ=时，[]11,0,1B P BP BB BC λλ=-=∈，又11B C BC =，所以111B P B C λ= 即111//B P B C ，又1111B B C P B = ，所以11B C P 、、三点共线，故点P 在棱11B C 上，由三棱柱性质可得11//B C 平面ABC ，所以点P 到平面ABC 的距离为定值，故B 正确；对于C ，当12λ=时，取BC 的中点11,D B C 的中点E ，所以1//DE BB 且1DE BB =，BP BD =+[]1,0,1BB μμ∈ ，即1DP BB μ= ，所以DP E D μ= 即//DP DE，又DP DE D ⋂=，所以D E P 、、三点共线，故P 在线段DE 上，故C 正确；对于D ，当11,2λμ==时，点P 为1CC 的中点，连接1,A E BE ，由题111A B C △为正三角形，所以111A E B C ⊥，又由正三棱柱性质可知11A E BB ⊥，因为1111BB B C B = ，111BB B C ⊂、平面11BB C C ，所以1A E ⊥平面11BB C C ，又1B P ⊂平面11BB C C ，所以11A E B P ⊥，因为1111B C BB CC ==，所以11B E C P =，又111π2BB E B C P ∠=∠=，所以111BB E B C P ≌，所以111B EB C PB ∠=∠，所以1111111π2PB C B EB PB C C PB ∠+∠=∠+∠=，设BE 与1B P 相交于点O ，则1π2B OE ∠=，即1BE B P ⊥，又1A E BE E = ，1A E BE ⊂、平面1A EB ，所以1B P ⊥平面1A EB ，因为1A B ⊂平面1A EB ，所以11B P A B ⊥，由正方形性质可知11A B AB ⊥，又111AB B P B = ，11B P AB ⊂、平面1AB P ，所以1A B ⊥平面1AB P ，故D 正确.故选：BCD.【点睛】思路点睛：对于求证1A B ⊥平面1AB P ，可先由111A E B C ⊥和11A E BB ⊥得1A E ⊥平面11BB C C ，从而得11A E B P ⊥，接着求证1BE B P ⊥得1B P ⊥平面1A EB ，进而11B P A B ⊥，再结合11A B AB ⊥即可得证1A B ⊥平面1AB P .11．BC【分析】A 选项，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到122AB AA CG +≠ ；B 选项，求出平面的法向量，利用线面角的夹角公式求出答案；C 选项，利用空间向量点到直线距离公式进行求解；D 选项，利用异面直线夹角公式进行求解.【详解】A 选项，以A 为坐标原点，1,,DA AB AA所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则()()()()()()10,0,0,0,1,0,0,0,1,1,1,2,0,1,2,1,1,0A B A G Q C ----，()()()110,1,1,1,1,1,1,0,0B C D --，()()()10,2,2,0,1,0,0,0,1CG AB AA =-==，则()()()1220,2,00,0,20,2,2AB AA CG +=+=≠，A 错误；B 选项，平面1111D C B A 的法向量为()0,0,1m =，()()()0,1,21,1,01,2,2CQ =---=-，设直线CQ 与平面1111D C B A 所成角的大小为θ，则2sin cos ,3CQ m CQ m CQ m θ⋅===⋅，B 正确；C 选项，()10,0,1CC =，点1C 到直线CQ 的距离为3d ==，C 正确；D 选项，()()()1,0,00,1,01,1,0BD =--=--，设异面直线CQ 与BD 所成角大小为α，则cos cos ,6CQ BD CQ BD CQ BDα⋅=====⋅，D 错误.故选：BC 12．18/0.125【分析】根据正三柱性质建立空间直角坐标系，利用向量垂直的坐标表示可得结果.【详解】取11B C 的中点为1M ，连接1,MM AM ，由正三棱柱性质可得11,,AM MM BM MM AM BM ⊥⊥⊥，因此以M 为坐标原点，以1,,AMBM MM 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如下图所示：易知()11,0,0,0,,2,0,0,022A B M ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设CN 的长为a ，且0a >，可得10,,2N a ⎛⎫- ⎪⎝⎭；易知1110,,,,,2222MN a AB ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭若1⊥MN AB ,则1112022MN AB a ⋅=-⨯+= ,解得18a =，所以当CN 的长为18时，使1⊥MN AB .故答案为：1813．23【分析】建立空间直角坐标系，求出平面PAD 的一个法向量m 及PG，由PG 与平面PAD 所成角θ，根据sin cos ,m PG m PG m PGθ⋅==⋅即可求解.【详解】因为PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，所以,,DA DC DP 两两垂直，以D 为坐标原点，,,DA DC DP的方向分别为,,x y z 轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()0,0,1P ，()3,0,0A ，()3,3,0B ，()0,3,0C ，则重心()2,2,0G ，因而()2,2,1PG =- ，()3,0,0DA = ，()0,0,1DP =，设平面PAD 的一个法向量为(),,m x y z =，则300m DA x m DP z ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩ ，令1y =则()0,1,0m = ，则22sin cos ,133m PG m PG m PG θ⋅====⨯⋅，故答案为：23.14．117m【分析】先根据线面角的定义求得5tan tan EMO EGO ∠=∠，从而依次求EO ，EG ，EB ，EF ，再把所有棱长相加即可得解．【详解】如图，过E 做EO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，过E 分别做EG BC ⊥，EM AB ⊥，垂足分别为G ，M ，连接OG ，OM ，由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角分别为EMO ∠和EGO ∠，所以5tan tan EMO EGO ∠=∠．因为EO ⊥平面ABCD ，⊂BC 平面ABCD ，所以EO BC ⊥，因为EG BC ⊥，EO ，EG ⊂平面EOG ，EO EG E = ，所以⊥BC 平面EOG ，因为OG ⊂平面EOG ，所以BC OG ⊥，同理，OM BM ⊥，又BM BG ⊥，故四边形OMBG 是矩形，所以由10BC =得5OM =，所以EO 5OG =，所以在直角三角形EOG 中，EG =在直角三角形EBG 中，5BG OM ==，8EB ==，又因为55255515EF AB =--=--=，所有棱长之和为2252101548117⨯+⨯++⨯=．故答案为：117m15．(2)当2AE =时，直线1A D 与平面1D EC 【分析】（1）以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，求得平面1D EC 的一个法向量，平面1DCD 的一个法向量，利用向量法可求平面1D EC 与平面1DCD 所成的夹角的余弦值；（2）设AE m =，可求得平面1D EC 的一个法向量，直线的方向向量1DA，利用向量法可得sin θ=.【详解】（1）以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，当点E 在棱AB 的中点时，则1(0,0,1),(1,1,0),(0,2,0),(0,0,0),(1,0,0)E C D A D ，则1(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)ED EC DA =--=-=，设平面1D EC 的一个法向量为(,,)n x y z =，则1·0·0n ED x y z n EC x y ⎧=--+=⎪⎨=-+=⎪⎩ ，令1x =，则1,2y z ==，所以平面1D EC 的一个法向量为(1,1,2)n =，又平面1DCD 的一个法向量为(1,0,0)DA =，所以·cos ,·DA n DA n DA n=== 所以平面1D EC 与平面1DCD（2）设AE m =，则11(0,0,1),(1,,0),(0,2,0),(0,0,0),(1,0,1)E m C D A D ，则11(1,,1),(1,2,0),(02),(1,0,1)ED m EC m m DA =--=--≤≤=，设平面1D EC 的一个法向量为(,,)n x y z =，则1·0·(2)0n ED x my z n EC x m y ⎧=--+=⎪⎨=-+-=⎪⎩ ，令1y =，则2,2x m z =-=，所以平面1D EC 的一个法向量为(2,1,2)n m =-，设直线1A D 与平面1D EC 所成的角为θ，则11||sin ||||n DA n DA θ===令4[2,4]m t -=∈，则sin θ=当2t =时，sin θ取得最小值，最小值为5.16．(2)10(3)证明见解析【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，根据空间两点间距离公式，即得答案；（2）根据空间向量的夹角公式，即可求得答案；（3）求出1C M ，1C N，BN 的坐标，根据空间位置关系的向量证明方法，结合线面垂直的判定定理，即可证明结论.【详解】（1）如图，建立以点O 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 所在直线分别为x 轴、y 轴、z轴的空间直角坐标系．依题意得(0,1,0),(1,0,1)B N ，∴BN == （2）依题意得，()()()()111,0,2,0,1,0,0,0,0,0,1,2A B C B ，∴1(1,1,2)BA =- ，1(0,1,2)CB =，113BA CB =⋅，1BA1CB所以11111cos ,BA CB BA CB BA CB ⋅=⋅（3）证明：()()()10,0,2,0,1,0,1,0,1C B N ，11,,222M ⎛⎫⎪⎝⎭．∴111,,022C M ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，()11,0,1C N =- ，()1,1,1BN =-，∴1111(1)10022C M BN ⋅=⨯+⨯-+⨯= ，1110(1)(1)10C N BN ⋅=⨯+⨯-+-⨯=，∴1C M BN ⊥ ，1C N BN ⊥，即11,C M BN C N BN ⊥⊥，又1C M ⊂平面1C MN ，1C N ⊂平面1C MN ，111= C M C N C ，∴BN ⊥平面1C MN ．17．(2)存在点M ，使得//BM 平面PCD ，14AM AP =.【分析】（1）取AD 的中点为O ，连接,PO CO ，由面面垂直的性质定理证明⊥PO 平面ABCD ，建立空间直角坐标系求解直线PB 与平面PCD 所成角的正切值即可；（2）假设在PA 上存在点M ，使得()01PM PA λλ=≤≤，由线面平行，转化为平面的法向量与直线的方向向量垂直，求解参数即可.【详解】（1）取AD 的中点为O ，连接,PO CO ，因为PA PD =，所以PO AD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ，所以⊥PO 平面ABCD ，又AC CD =，所以CO AD ⊥，PA PD ⊥，2AD =，所以1PO =，AC CD ==2CO =，所以以O 为坐标原点，分别以,,OC OA OP 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，0,0,1，()2,0,0C ，()0,1,0A ，()1,1,0B ，()0,1,0D -，所以()2,0,1PC =- ，()0,1,1PD =--，()1,1,1PB =- ，设平面PCD 的一个法向量为 =s s ，则00PC m PD m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，200x z y z -=⎧⎨--=⎩，令1,x =则2,2z y ==-，所以()1,2,2m =-，设直线PB 与平面PCD 所成角为θ，sin cos ,m PB m PB m PB θ⋅====，所以cos 3θ==，所以tan θ所以直线PB 与平面PCD所成角的正切值2.（2）在PA 上存在点M ，使得()01PM PA λλ=≤≤，所以()0,1,1PA =- ，所以()0,,PM PA λλλ==-，所以()0,,1M λλ-，所以()1,1,1BM λλ=---，因为//BM 平面PCD ，所以BM m ⊥ ，即()()121210λλ---+-=，解得34λ=，所以存在点M ，使得//BM 平面PCD ，此时14AM AP =.18．(1)总有平面PBD ⊥平面PAG ，证明详见解析(2)存在，Q 是PA 的靠近P 的三等分点，理由见解析.【分析】（1）通过证明BD ⊥平面PAG 来证得平面PBD ⊥平面PAG .（2）建立空间直角坐标系，利用平面QDN 与平面PMN 所成角的余弦值来列方程，从而求得Q 点的位置.【详解】（1）折叠前，因为四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥，由于,M N 分别是边BC ，CD 的中点，所以//MN BD ，所以MN AC ⊥，折叠过程中，,,,,MN GP MN GA GP GA G GP GA ⊥⊥⋂=⊂平面PAG ，所以MN ⊥平面PAG ，所以BD ⊥平面PAG ，由于BD ⊂平面PBD ，所以平面PBD ⊥平面PAG .（2）存在，理由如下：当平面PMN ⊥平面MNDB 时，由于平面PMN 平面MNDB MN =，GP ⊂平面PMN ，GP MN ⊥，所以GP ⊥平面MNDB ，由于AG ⊂平面MNDB ，所以GP AG ⊥，由此以G 为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，依题意可知())(),2,0,,0,1,0,P D B N PB --=- ()A，(PA = ，设()01PQ PA λλ=≤≤ ，则(()(),0,3,0,GQ GP PQ GP PA λ=+=+=+-= ，平面PMN 的法向量为()11,0,0n = ，()(),DQ DN ==，设平面QDN 的法向量为()2222,,n x y z = ，则()2222222200n DQ x y z n DN y ⎧⋅=-++=⎪⎨⎪⋅=+=⎩ ，故可设()21n λλ=--+ ，设平面QDN 与平面PMN 所成角为θ，由于平面QDN 与平面PMN所成角的余弦值为13，所以1212cos n n n n θ⋅==⋅解得13λ=,所以当Q 是PA 的靠近P 的三等分点时，平面QDN 与平面PMN 所成角的余弦值为13.19．(1)证明见解析(2)8(3)5【分析】（1）根据条件建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量证明线面关系即可；（2）利用空间向量研究线面夹角，结合二次函数的性质计算最大值即可；（3）设BM tBC = ，利用空间向量基本定理及三点共线的充要条件得出AH ，利用向量模长公式及导数研究函数的单调性计算最值即可.【详解】（1）由于四边形ABCD 是菱形，且60ABC ∠= ，取CD 中点G ，则AG CD ⊥，又PA ⊥平面ABCD ，可以A 为中心建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()()2,0,0,,,0,0,1,B C D P G -，所以()()()1,,2,0,1PC BD BP =-=-=- ，由()01BE PF BD PCλλ==<≤，可知,,BE BD PF PC EF EB BP PF BD BP PC λλλλ==∴=++=-++ ()42,0,1λλ=--，易知()AG = 是平面PAB 的一个法向量，显然0EF AG ⋅= ，且EF ⊄平面PAB ，即//EF 平面PAB；（2）由上可知()()()1,,DP PF DF λλλλ+==+-=+- ，设平面PBC 的一个法向量为(),,n x y z =r，则200n BP x z n PC x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，令1x =，则2,3z y ==，2n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，设直线DF 与平面PBC 所成角为α，则sin cos ,n DF n DF n DF α⋅==⋅ ，易知35λ=时，()2min 165655λλ-+=，即此时sin α取得最大值8；（3）设()(](),0,0,12,0BM t BC t t AM AB BM t ==-∈⇒=+=- ，由于,,H M P 共线，不妨设()1AH xAM x AP =+- ，易知AM AP ⊥，则有()()22010AH PM AH AM AP x AM x AP ⋅=⋅-=⇒--= ，所以22114451x t t AM ==-++ ，则()()2CH CA AH t x x =+=--- ，即()()2222454454655445t CH t t x t x t t --=-+-++=+-+ 记()(]()2450,1445t f t t t t --=∈-+，则()()()2228255445t t f t t t --+'=-+，易知22550t t -+>恒成立，所以()0f t '<，即()f t 单调递减，所以()()min 9155f t f CH ≥=-⇒==.。
2023-2024学年广西桂林市高二(上)期末数学试卷(含答案)
2023-2024学年广西桂林市高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系O−xyz 中，点(1,1,2)到坐标原点O 的距离为( )A.2B.3C.6D.112.一个科技小组中有4名女同学、5名男同学，现从中任选1名同学参加学科竞赛，则不同的选派方法数为( )A. 4 B. 5C. 9D. 203.椭圆x 29+y 24=1的长轴长是( )A. 2B. 3C. 4D. 64.已知在10件产品中有2件次品，现从这10件产品中任取3件，用X 表示取得次品的件数，则P(X =1)=( )A. C 12C 310B. C 12C 28C 310C. C 23C 18C 310D. C 12C 13C 3105.圆C 1：x 2+y 2=1与圆C 2：(x−3)2+y 2=9的位置关系是( )A. 外切B. 内含C. 相交D. 外离6.已知m =(1,2,4)，n =(2,1,x)分别为直线a ，b 的一个方向向量，且a ⊥b ，则x =( )A. 1B. −1C. 2D. −27.设小明乘汽车、火车前往某目的地的概率分别为0.6，0.4.汽车和火车正点到达目的地的概率分别为0.7，0.9，则小明正点到达目的地的概率为( )A. 0.78B. 0.82C. 0.87D. 0.498.已知点P(3,4)，A ，B 是圆C ：x 2+y 2=4上的两个动点，且满足|AB|=2，M 为线段AB 的中点，则|PM|的最大值为( )A. 5−3B. 5+3C. 3D. 7二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某服装公司对1−5月份的服装销量进行了统计，结果如下： 月份编号x12345销量y(万件)5096142185227若y 与x 线性相关，其线性回归方程为y =bx +7.1，则下列说法正确的是( )A. 线性回归方程必过(3,140)B. b=44.3C. 相关系数r<0D. 6月份的服装销量一定为272.9万件10.某市对历年来新生儿体重情况进行统计，发现新生儿体重X～N(3.5,0.25)，则下列结论正确的是( )A. 该正态分布的均值为3.5B. P(X>3.5)=12C. P(4<X≤4.5)≥12D. P(X>4.5)=P(X≤3)11.已知双曲线M：x24−y29=1，则下列说法正确的是( )A. M的离心率e=132B. M的渐近线方程为3x±2y=0C. M的焦距为6D. M的焦点到渐近线的距离为312.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为DD1，BB1的中点，则下列选项正确的是( )A. 直线FC1与直线AE平行B. 直线FC1与底面ABCD所成的角为30°C. 直线FC1与直线AE的距离为2305D. 直线FC1到平面AB1E的距离为23三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
西安市高二上学期期末数学试卷(理科)D卷(模拟)
西安市高二上学期期末数学试卷（理科）D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）下列命题中：①命题“，使得”,则是假命题.②“若，则互为相反数”的逆命题为假命题.③命题“”,则“”.④命题“若，则”的逆否命题是“若，则”.其中正确命题是（）A . ②③B . ①②C . ①④D . ②④2. （2分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，则双曲线的离心率为（）A .B .C .D .3. （2分）已知椭圆+=1的离心率为，椭圆上一点P到两焦点距离之和为12，则b=（）A . 8B . 6C . 5D . 44. （2分） (2016高一上·历城期中) 若y=（m﹣1）x2+2mx+3是偶函数，则f（﹣1），f（﹣），f（）的大小关系为（）A . f（）＞f（）＞f（﹣1）B . f（）＜f（﹣）＜f（﹣1）C . f（﹣）＜f（）＜f（﹣1）D . f（﹣1）＜f（）＜f（﹣）5. （2分）(2019·广西模拟) 过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为．若，则双曲线的离心率是（）A .B .C .D .6. （2分） (2016高二下·信宜期末) 设p：（3x2+ln3）′=6x+3；q：（3﹣x2）ex的单调增区间是（﹣3，1），则下列复合命题的真假是（）A . “p∨q”假B . “p∧q”真C . “￢q”真D . p∨q真7. （2分） (2017高二上·河南月考) 抛物线的焦点坐标为（）A .B .C .D .8. （2分） (2018高二上·大连期末) 的二面角的棱上有A,B两点，直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知，则CD的长为（）A .B .C .D .9. （2分） (2016高一下·玉林期末) 过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点，点O是原点，若|AF|=3，则的面积为（）A .B .C .D .10. （2分） M是△ABC所在平面内一点，，D为AC中点，则的值为（）A .B .C . 1D . 211. （2分）双曲线2x2－y2＝8的实轴长是（）A . 2B . 2C . 4D . 412. （2分） (2019高二上·集宁月考) 在△ABC中，N是AC边上一点，且＝，P是BN上的一点，若＝m ＋，则实数m的值为（）A .B .C . 1D . 3二、填空题． (共4题；共5分)13. （1分） (2016高二上·大连期中) 设F1 ， F2分别是椭圆 =1的左，右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为（6，4），则|PM|+|PF1|的最大值为________14. （2分） (2018高二上·浙江月考) 若是双曲线的左，右焦点，点是双曲线上一点，若，则 ________，的面积 ________.15. （1分）经过点P（3，2）且以=（1，﹣2）为方向向量的直线l的点方向式为________16. （1分） (2016高二上·友谊期中) 给出下列命题：①直线l的方向向量为 =（1，﹣1，2），直线m的方向向量 =（2，1，﹣），则l与m垂直；②直线l的方向向量 =（0，1，﹣1），平面α的法向量 =（1，﹣1，﹣1），则l⊥α；③平面α、β的法向量分别为 =（0，1，3）， =（1，0，2），则α∥β；④平面α经过三点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），向量 =（1，u，t）是平面α的法向量，则u+t=1．其中真命题的是________．（把你认为正确命题的序号都填上）三、解答题． (共5题；共55分)17. （10分） (2018高二上·寿光月考) 已知抛物线：的焦点与椭圆：（）右焦点重合，且点在椭圆上.（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若倾斜角为的直线过椭圆的左焦点，且与椭圆相交于、两点，求的面积.18. （15分）(2013·上海理) 已知真命题：“函数y=f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形”的充要条件为“函数y=f（x+a）﹣b 是奇函数”．（1）将函数g（x）=x3﹣3x2的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图象对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数g（x）图象对称中心的坐标；（2）求函数h（x）= 图象对称中心的坐标；（3）已知命题：“函数 y=f（x）的图象关于某直线成轴对称图象”的充要条件为“存在实数a和b，使得函数y=f（x+a）﹣b 是偶函数”．判断该命题的真假．如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题（不必证明）．19. （5分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线x2=4的焦点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线x=2与椭圆交于P，Q两点，P点位于第一象限，A，B是椭圆上位于直线x=2两侧的动点，满足直线PA与直线PB的倾斜角互补，证明直线AB的斜率为．20. （15分） (2016高二上·桐乡期中) 如图，三棱锥P﹣ABC中，D，E分别是BC，AC的中点．PB=PC=AB=2，AC=4，BC=2 ，PA= ．（1）求证：平面ABC⊥平面PED；（2）求AC与平面PBC所成的角；（3）求平面PED与平面PAB所成锐二面角的余弦值．21. （10分）(2018·呼和浩特模拟) 已知椭圆的中心在原点，其中一个焦点与抛物线的焦点重合，点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左右焦点分别为，过的直线与椭圆相交于两点，若的面积为，求以为圆心且与直线相切的圆的方程.四、填空题 (共3题；共12分)22. （1分）设P（x，y）是椭圆上的一点，则2x﹣y的最大值是________23. （1分）曲线的极坐标方程为ρcosθ=2，它的直角坐标方程是________．24. （10分） (2019高二下·吉林月考) 己知圆的参数方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．（1）将圆的参数方程化为普通方程，将圆的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）圆，是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题． (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题． (共5题；共55分) 17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、四、填空题 (共3题；共12分) 22-1、23-1、24-1、24-2、。
2024-2025学年江西省南昌县莲塘第一中学高二上学期11月期中考试数学试卷(含答案)
2024-2025学年江西省南昌县莲塘第一中学高二上学期11月期中考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知z =1−i ，则z (1−z )=( )A. −1−iB. −1+iC. 1−iD. 1+i2.已知椭圆方程为x 236+y 264=1，则该椭圆的长轴长为( )A. 6B. 12C. 8D. 163.已知椭圆C:x 23+y 22=1的左、右焦点分别为F 1,F 2，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点，则△AF 1B 的周长为( )A. 2B. 4C. 23 D. 434.已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为2，则渐近线方程是( )A. y =±12xB. y =±2xC. y =±3xD. y =±33x 5.已知抛物线的焦点在直线x−2y−4=0上，则此抛物线的标准方程是( )A. y 2=16xB. x 2=−8yC. y 2=16x 或x 2=−8yD. y 2=16x 或x 2=8y6.“a =3”是“直线l 1:ax−2y +3=0与直线l 2:(a−1)x +3y−5=0垂直”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.已知动圆C 与圆C 1:(x−3)2+y 2=4外切，与圆C 2:(x +3)2+y 2=4内切，则动圆圆心C 的轨迹方程为( )A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 双曲线一支8.一个工业凹槽的截面是一条抛物线的一部分，它的方程是x 2=4y,y ∈[0,10]，在凹槽内放入一个清洁钢球(规则的球体)，要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为( )A. 12B. 1C. 2D. 52二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
西安市高二上学期期末数学试卷(理科)D卷
(I)证明：DE 底面PBC，试判断四面体EBCD是否为鳖臑. 若是，写出其四个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；
（Ⅱ）记阳马 的体积为 ， 四面体 的体积为 ， 求 的值．
20. （10分） (2016·江苏) 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x-y-2=0，抛物线C：y2=2px(p＞0).
14. （1分） (2015高二上·承德期末) 已知倾斜角为 的直线l过点（0，1），则直线l被圆x2+y2+4y﹣5=0截得的弦长为________．
15. （1分） 已知在锐角 中， ， ，则 的取值范围是________.
16. （1分） (2017·临川模拟) 设点P（x，y）是曲线a|x|+b|y|=1（a≥0，b≥0）上任意一点，其坐标（x，y）均满足 ，则 a+b取值范围为________．
18. （10分） (2015高三上·石家庄期中) 已知条件p：A={x|x2﹣2mx+m2﹣4≤0，x∈R，m∈R}，条件q：B={x|x2﹣2x﹣3≤0，x∈R}．
（1） 若A∩B={x|0≤x≤3}，求实数m的值；
（2） 若q是￢p的充分条件，求实数m的取值范围．
19. （5分） 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.
A .
B .
C .
D .
6. （2分） 如果圆x2+y2+Dx+Ey+F=0与x轴相切于原点，则（ ）
A . E≠0，D=F=0
陕西省西安市2023-2024学年高二上学期期中数学试题含解析
2023-2024~1高二年级期中数学试卷（答案在最后）时间：120分钟满分：150分一、单项选择题．本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1.已知1sin 3α=，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan α的值为（）A.4-B.4C.-D.【答案】A 【解析】【分析】根据同角三角函数的基本关系求出cos α，tan α；【详解】解：因为1sin 3α=，22sin cos 1αα+=，所以22cos 3α=±，因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 3α=-，所以1sin 3tan cos 43ααα===-故选：A2.已知0,0a b >>且22ab a b =+，则8a b +的最小值为（）A. B.10C.9D.272【答案】C 【解析】【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解.【详解】由22ab a b =+可得，1112a b+=，所以()1185592882a b ab b a b a b a +=⎛⎫+=++≥⎪⎭++= ⎝，当且仅当82b a a b =，即33,4a b ==时取得等号，所以8a b +的最小值为9，故选:C.3.函数()sin ln ||f x x x =⋅的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】先根据函数的奇偶性，可排除A ，C ，根据当01x <<时，()0f x <即可排除B ．得出答案.【详解】因为()sin ln ||(0)f x x x x =⋅≠，所以()sin()ln ||sin ln ||()f x x x x x f x -=-⋅-=-=-，所以()f x 为奇函数，故排除A ，C ．当01x <<时，sin 0x >，ln ||0x <，则()0f x <，故排除B ，故选:D ．【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.4.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且2EF =，则下列结论中错误的是（）A.AC BE⊥ B.//EF 平面ABCDC.直线AB 与平面BEF 所成的角为定值D.异面直线AE ，BF 所成的角为定值【答案】D 【解析】【分析】根据线线垂直、线面平行、线面角、线线角等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】对于A ，连接BD ，根据正方体的性质可知1,AC BC AC BB ⊥⊥，而11,,BC BB B BC BB =⊂ 平面11BB D D ，所以AC ⊥平面11BB D D ，又BE ⊂平面11BB D D ，所以AC BE ⊥，故A 正确.对于B ，因为11//B D BD ，11B D ⊄平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以11//B D 平面ABCD ，又E ､F 在直线11D B 上运动，//EF ∴平面ABCD ，故B 正确.对于C ，直线AB 与平面BEF 所成的角即为直线AB 与平面11BB D D 所成的角，故为定值，故C 正确.对于D ，设11111,AC BD O A C B D O == ，当点E 在1D 处，F 为11D B 的中点时，由于1111//,O D OB O D OB =，所以四边形11OBO D 是平行四边形，所以11//BO OD ，所以异面直线,AE BF 所成的角是1OD A ∠，由于AC ⊥平面11BB D D ，1OD ⊂平面11BB D D ，所以1AC OD ⊥，所以1122a 236t n OA OD A OD ∠===.当E 在上底面的中心，F 在1B 的位置时，同理可得1OO A ∠是异面直线,AE BF 所成的角，且1222tan 12OO A ∠==.故D 不正确.故选：D5.宋代制酒业很发达，为了存储方便，酒缸是要一层一层堆起来的，形成堆垛，用简便的方法算出堆垛中酒缸的总数，古代称之为堆垛术.有这么一道关于“堆垛”求和的问题：将半径相等的圆球堆成一个三角垛，底层是每边为n 个圆球的三角形，向上逐层每边减少一个圆球，顶层为一个圆球，记自上而下第n 层的圆球总数为n a ，容易发现：11a =，23a =，36a =，则105a a -=（）A.45B.40C.35D.30【答案】B 【解析】【分析】根据题意，归纳推理，第n 层的圆球总数个数表达式，再将10n =，5，代入求解即可．【详解】当1n =时，第1层的圆球总数为11a =，当2n =时，第2层的圆球总数为2123a =+=，当3n =时，第3层的圆球总数为31236a =++=，..．所以第n 层的圆球总数为()112 (2)n n n n a +=+++=，当5n =时，()5155152a +⨯==，当10n =时，()1051100512a⨯==+，故10540a a -=．故选：B ．6.已知焦点为12,F F 的双曲线C点P 为C 上一点，且满足2123PF PF =，若12PF F △的面积为C 的实轴长为（）A.2B.C.2D.【答案】B 【解析】【分析】由双曲线定义可得24PF a =，16PF a =，应用余弦定理及已知有122cos 3PF F ∠=，最后由三角形面积公式列方程求a ，即得实轴长.【详解】设220PF m =>，则13PF m =，故212m a PF PF =-=（a 为双曲线参数），所以24PF a =，16PF a =，故22222121212212||||||524cos 2||||48PF PF F F a c PF F PF PF a +--∠==，而c a =c =，则2212252202cos 483a a PF F a -∠==，12(0,π)PF F ∠∈，所以12sin 3PF F ∠=，故1212121sin 2PF F PF PF S PF F =∠= ，则22234a a ⨯=⇒=，故长轴长2a =故选：B7.已知ABC 的三个顶点都在抛物线26x y =上，且F 为抛物线的焦点，若1()3AF AB AC =+，则||||||++= AF BF CF （）A.12 B.10C.9D.6【答案】C 【解析】【分析】设A ，B ，C 的纵坐标分别是123,,y y y ，由1()3AF AB AC =+，得三点纵坐标之和，再结合抛物线的定义即可求出||||||AF BF CF ++的值.【详解】由26x y =，得3p =.设A ，B ，C 的纵坐标分别是123,,y y y ，由1()3AF AB AC =+，有1213131()23y y y y y -=-+-，即12392y y y ++=.由抛物线的定义可得:1233||||||392pAF BF CF y y y p ++=+++== .故选：C8.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左，右焦点12,F F ，过原点的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点．其中M在第一象限．1121,3NF MN F F MF =≥，则椭圆C 的离心率的取值范围为（） A.612B.2]-C.1]D.1]2-【答案】D 【解析】【分析】由题可知四边形12MF NF 为矩形，根据勾股定理及椭圆的定义可得2222||2||20MF a MF b -+=，结合已知条件有)()2221Δ420a MF aa b ⎧>≥⎪⎨=->⎪⎩，进而即得.【详解】因为过原点的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，且12MN F F =，所以四边形12MF NF 为矩形，由椭圆的对称性知：12NF MF =，而21||||2MF MF a +=，所以22221||||4MF MF c +=，则222222||4||44MF a MF a c -+=且M 在第一象限，整理得2222||2||20MF a MF b -+=，所以()22Δ420a b=->，所以222||2MF a a b =-又22121132NF MF MF MF MF a MF ==≥-2||(31)a MF a >≥，所以)()2222231Δ420a a a b aa b ⎧>-≥-⎪⎨=->⎪⎩，整理得2221432c e a<=≤-，所以2312e <≤-.故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.（多选题）若方程22151x y t t +=--所表示的曲线为C ，则下面四个命题中正确的是（）A.若1＜t ＜5，则C 为椭圆B.若t ＜1．则C 为双曲线C.若C 为双曲线，则焦距为4D.若C 为焦点在y 轴上的椭圆，则3＜t ＜5【答案】BD 【解析】【分析】根据椭圆和双曲线的标准方程及简单的几何性质，逐项判定，即可求解，得到答案.【详解】由题意，若方程22151x yt t +=--表示椭圆，则满足501051t t t t ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，解得13t <<或35t <<，对于A 中，当3t =时，此时方程222x y +=表示圆，所以不正确；当方程22151x yt t +=--表示焦点在y 轴上椭圆，则满足501051t t t t ->⎧⎪->⎨⎪-<-⎩，解得35t <<，所以D 项正确；对于B 中，当1t <时，50,10t t ->-<，此时表示焦点在x 轴上的双曲线，所以是正确的；对于C 中，当0=t 时，方程22151x y -=，此时双曲线的焦距为，所以不正确.故选BD.若方程22151x yt t +=--表示椭圆，则满足501051t t t t ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，解得13t <<或35t <<，【点睛】本题主要考查了椭圆与双曲线的标准方程和简单的几何性质的应用，其中解答椭圆和双曲线的标准方程和几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，关于数列{}n a ，下列命题中正确的是（）A.若1n n a a +=，则{}n a 既是等差数列又是等比数列B.若()2*=+∈n S An Bn n N（A ，B 为常数），则{}na 是等差数列C.若()11nn S =--，则{}n a 是等比数列D.若{}n a 是等比数列，则()*232,,--∈n n n n n S S S S S n N 也成等比数列【答案】BC 【解析】【分析】对于A ：根据等差、等比数列的定义分析判断；对于BC ：根据n a 与n S 之间的关系，结合等差、等比数列的定义分析判断；对于D ：根据等比数列的和项性质分析判断.【详解】对于选项A:因为1*()+∈=n n n a a N ，即10n n a a +-=，可知数列{}n a 是等差数列，当0n a =时，数列{}n a 不是等比数列，故A 错误；对于选项B ：因为2n S An Bn =+，当1n =时，11a S A B ==+；当2n ≥时，()()()221112-⎡⎤==+---+-=+-⎣⎦n n n a S An Bn A n B n An B S A ；可知1n =时，符合上式，综上所述：2=+-n a An B A ，可得()122--=≥n n a a A n ，所以数列{}n a 是等差数列，故B 正确；对于选项C:因为()11nn S =--，当1n =时，112a S ==；当2n ≥时，112(1)n n n n a S S --=-=⨯-；可知1n =时，符合上式，综上所述：12(1)n n a -=⨯-，可得112(1)12(1)+-⨯-⨯==--nn n n a a ，所以数列{}n a 是等比数列，故C 正确；对于选项D:当数列{}n a 是等比数列时，取()1nn a =-，则2110S =-+=，此时显然2S ，42S S -，64S S -不是等比数列，故D 错误；故选：BC.11.（多选）已知抛物线22y px =()0p >的焦点F 到准线的距离为4，直线l 过点F 且与抛物线交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，若(),2M m 是线段AB 的中点，则（）A.4p = B.抛物线的方程为216y x =C.直线l 的方程为24y x =- D.=10AB 【答案】ACD 【解析】【分析】由焦点到准线的距离可求得4p =，则可判断A 正确，B 错误；利用斜率坐标计算公式几何中点坐标计算公式可求得直线l 的斜率，从而求得l 的方程，可判断C 正确；()1212284y y x x +=+-=，所以126x x +=从而12410AB AF BF x x =+=++=判断D 正确.【详解】因为焦点F 到准线的距离为4，根据抛物线的定义可知4p =，故A 正确故抛物线的方程为28y x =，焦点()2,0F ，故B 错误则2118y x =，2228y x =．又(),2M m 是AB 的中点，则124y y +=，所以22121288y y x x -=-，即12121282y y x x y y -==-+，所以直线l 的方程为24y x =-．故C 正确由()1212284y y x x +=+-=126x x ⇒+=，得12410AB AF BF x x =+=++=．故D 正确故选：ACD ．12.已知点(1,2)M ，点P 是双曲线C ：221916x y-=左支上的动点，2F 为其右焦点，N 是圆D ：22(5)1x y ++=的动点，直线OP 交双曲线右支于Q （O 为坐标原点），则（）A.28PF ≥B.过点M 作与双曲线C 仅有一个公共点的直线恰有2条C.||||PM PN -的最小值为5- D.若2DPF △的内切圆E 与圆D 外切，则圆E 的半径为32【答案】ACD 【解析】【分析】根据双曲线焦半径的结论可知A 正确，由点和双曲线的位置关系可以确定与双曲线有一个公共点的直线条数不止2条，根据双曲线定义和,PM PN 的位置关系可判断C ，最后根据焦点三角形2DPF △的内切圆圆心在左端点的正上方，即圆心横坐标为3-可求其半径.【详解】如下图所示：由双曲线方程和圆D 方程可知，3,4,5a b c ===，所以左焦点为0()5,D -，右焦点2(5,0)F ；对于A ，由于P 在双曲线左支上，根据焦半径公式可知28PF a c ≥+=，故A 正确；对于B ，由过点M 的直线与双曲线有一个公共点可知，直线的斜率一定存在，设直线斜率为k ，则直线l 的方程为2(1)y k x -=-，联立直线l 和双曲线C 的方程得：222(169)18(2)9(420)0k x k k x k k -----+=；①当21690k -=时，即43k =±，该方程为一元一次方程，仅有一个实数根，所以直线l 和双曲线C 仅有一个公共点，此时直线l 与双曲线的渐近线43y x =±平行，即此时有两条直线42(1)3y x -=±-与双曲线相交，且仅有一个交点，符合题意；②当21690k -≠时，该方程为一元二次方程，由直线与双曲线有一个公共点可知，该方程仅有一个实数根，所以[]22218(2)36(169)(420)0k k k k k ∆=-+--+=，整理得2250k k --=，即1414k ±=，此时直线为双曲线的切线，分别为1412(1)4y x ±-=-，所以过点M 可作两条切线；综上可知，过点M 可作与双曲线有一个公共点的直线共有4条，所以B 错误；对于C ，由双曲线定义可知，26PF PD -=，2225PM PF MF PF ≥-=-2,,P M F 三点共线时等号成立；1PN PD DN PD ≤+=+，当且仅当,,P D N 三点共线时等号成立；所以，215PM PN PF PD -≥--=-C 正确；对于D ，如图所示，分别设2DPF △的内切圆与三边切点为,,A G H ，又因为22,,PG PH DG DA F A F H ===，所以22226PF PD F H GD F A DA a -=-=-==，又因为A 在x 轴上，0()5,D -，2(5,0)F ，不妨设(,0)A t ,由26F A DA -=，得5(5)6t t --+=，即3t =-；所以(3,0)A -即为双曲线的左端点，又因为2EA DF ⊥，所以圆心E 在左端点A 的正上方，即圆心横坐标为3-，设(3,)E r -，则圆E 的半径为r ，由于圆D 与圆E 外切，1r =+，解得32r =；所以D 正确.故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量a ，b 满足(2,1)a = ，(1,2)b y y =-+ ，且a b ⊥ ，则||a b -= ________.【答案】【解析】【分析】由向量垂直的坐标表示求得参数y ，然后由模的坐标表示求解．【详解】∵a b ⊥ ，∴2(1)20a b y y ⋅=-++= ，解得4y =，即(3,6)b =- ，∴||(5,5)a b -=-==故答案为：14.已知实数x ，y 满足直线l 的方程230x y ++=的最小值为______．【答案】【解析】【分析】将问题转化求点(0,1)到直线l ：230x y ++=上点的距离最小值，即可得结果.(0,1)到直线l：230x y++=上点的距离，所以其最小值为d15.已知F为椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>的右焦点，O为坐标原点，M为线段OF垂直平分线与椭圆C 的一个交点，若3cos7MOF∠=，则椭圆C的离心率为______．【答案】23【解析】【分析】设(),0F c，,2cM y⎛⎫⎪⎝⎭，将0,2cM y⎛⎫⎪⎝⎭代入椭圆C的方程，得222214cb ya⎛⎫-=⎪⎝⎭，在MOE△中，不妨设32cOE==，利用勾股定理和椭圆中222a bc=+，求出9a=，则可得出离心率.【详解】解：设(),0F c，,2cM y⎛⎫⎪⎝⎭，将0,2cM y⎛⎫⎪⎝⎭代入椭圆C的方程，得222241cya b+=，即222214cb ya⎛⎫-=⎪⎝⎭.设E为线段OF的垂直平分线与x轴的交点，则MOE△为直角三角形，由于3cos7MOF∠=，所以在MOE△中，不妨设32cOE==，则7OM=，6c=.由勾股定理可得||ME y===即2221404cba⎛⎫-=⎪⎝⎭，得229140ba⎛⎫-=⎪⎝⎭，又222223636a b c b a -==⇒=-，所以42853240a a -+=，解得281a =或22436a c =<=（舍去），故9a =，椭圆C 的离心率6293c e a ===.故答案为：23.16.斐波那契数列，又称黄金分割数列，被誉为最美的数列，若数列{}n a 满足121,1a a ==，()*123,N n n n a a a n n --=+≥∈，则称数列{}n a 为斐波那契数列，则222122023202320242a a a a a +++= _____．【答案】12##0.5【解析】【分析】由题设递推关系得到21211----=-+n n n n n a a a a a ，利用裂项相消法运算求解.【详解】因为()*123,Nn n n a a a n n --=+≥∈，则12--=-+n n n a a a ，可得21211----=-+n n n n n a a a a a ，则()()()22221220231122323342022202320232024a a a a a a a a a a a a a a a a +++=+-++-++⋅⋅⋅+-+ 202320242023202411=-+=a a a a ，所以2221220232023202420232024202320241222a a a a a a a a a +++== .故答案为：12四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在锐角ABC 中，,,a b c 是角,,A B C的对边，cos cos()C B A C -=-.（1）求角A 的度数；（2）若a =，且ABC的面积是b c +.【答案】(1)3π；（2）【解析】【详解】试题分析:（1）根据三角形内角关系及诱导公式将B 转化()cos cos B A C =-+，再根据两角和与差余弦公式展开化简,合并，约分得sin 2A =，最后根据三角形内角范围及特殊角对应函数值得角A 的度数；（2）先选用面积公式：1sin 2ABC S bc A ∆=，得12bc =，再根据余弦定理得2224b c +=，最后根据()2222b c b c bc +=++求b c +的值.试题解析:（1）在ABC 中，A B C π++=，那么由()cos cos C B A C -=-，可得()()()cos cos cos cos 2sin sin sin C A C B A C A C A C C =-+=--+=，≠0得3sin 2A =，则在锐角ABC 中，π.3A =（2）由（1）知3A π=，且1sin 2ABC S bc A == ，得12bc =，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，那么()2222222cos 3a b c bc A b c bc b c bc =+-=+-=+-，则()22348b c a bc +=+=，可得b c +=点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.18.已知公比为q 的正项等比数列{}n a ，且12a =，416a =，n n b na =．（1）求3b 的值；（2）求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）324b =；（2）1(1)22n n T n +=-+.【解析】【分析】（1）先利用已知条件求公比和n a ，再计算3a ，3b 即可；（2）利用错位相减法求和即可.【详解】（1）正项等比数列{}n a 中，12a =，416a =，故3418a q a ==，即2q =，故2n n a =，3328a ==，33324b a ==；（2）由2n n a =知，2n n b n =⋅123122232...2n n T n ∴=⋅+⋅+⋅++⋅①又23412122232 (2)n n T n +=⋅+⋅+⋅++⋅②由①-②得，1231112(21)222...222(1)2221n n n n n n T n n n +++--=++++-⋅=⋅=---1(1)22n n T n +∴=-+所以数列{}n b 的前n 项和1(1)22n n T n +=-+.【点睛】本题考查了数列通项公式和错位相减法求和，属于中档题.19.如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE BCF -和一个正四棱锥P ABCD -组合而成，AD AF ⊥，2AE AD ==．（Ⅰ）证明：平面PAD ⊥平面ABFE ；（Ⅱ）求正四棱锥P ABCD -的高h ，使得二面角C AF P --的余弦值是3．【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）1h =．【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）根据AB ⊥平面ADE ，结合AD AF ⊥，利用线面垂直以及面面垂直判定定理，可得结果.（Ⅱ）利用（Ⅰ）建系后求法向量，要注意两个法向量夹角和二面角平面角关系，不要弄错符号.试题解析：（Ⅰ）证明：直三棱柱ADE BCF -中，AB ⊥平面ADE ，所以AB AD ⊥，又AD AF ⊥，AB AF A = ，所以AD ⊥平面ABFE ，AD ⊂平面PAD ，所以平面PAD ⊥平面ABFE ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知AD ⊥平面ABFE ，以A 为原点，AB ，AE ，AD 方向为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，如图设正四棱锥P ABCD -的高为h ，2AE AD ==，则()0,0,0A ，()2,2,0F ，()2,0,2C ，()1,,1P h -，()2,2,0AF = ，()2,0,2AC = ，()1,,1AP h =- ．设平面ACF 的一个法向量()111,,m x y z =r，则1111220,{220,m AF x y m AC x z ⋅=+=⋅=+=取11x =，则111y z ==-，所以()1,1,1m =-- ．设平面AFP 的一个法向量()222,,n x y z =r ，则22222220,{0,n AF x y n AP x hy z ⋅=+=⋅=-+= 取21x =，则21y =-，21z h =--，所以()1,1,1n h =--- ．二面角C AF P --的余弦值是3，所以22cos ,3m n m n m n ⋅===⋅ ，解得1h =．点睛：本题主要考查了直线与平面，平面与平面垂直的证明，注意条件的合理转化，和用向量解立体几何时法向量的求解和应用.20.已知抛物线22y px =（0p >）的焦点为F ，点()02,A y 为抛物线上一点，且4AF =.（1）求抛物线的方程；（2）不过原点的直线l ：y x m =+与抛物线交于不同两点P ，Q ，若OP OQ ⊥，求m 的值.【答案】（1）28y x=（2）8-【解析】【分析】（1）根据抛物线过点0(2,)A y ，且4AF =，利用抛物线的定义求解；（2）设1122(,),(,)P x y Q x y ，联立28y x m y x =+⎧⎨=⎩，根据OP OQ ⊥，由0OP OQ ⋅= ，结合韦达定理求解.【小问1详解】由抛物线22(0)y px p =>过点0(2,)A y ，且4AF =，得2442p p +=∴=所以抛物线方程为28y x =；【小问2详解】由不过原点的直线l ：y x m =+与抛物线交于不同两点P ，Q设1122(,),(,)P x y Q x y ，联立28y x m y x=+⎧⎨=⎩得22(28)0x m x m +-+=，所以()22Δ28464320m m m =--=->，所以2m <，所以2121282,x x m x x m+=-=因为OP OQ ⊥，所以0OP OQ ⋅= ，则2121212121212()()2()0x x y y x x x m x m x x m x x m +=+++=+++=，222(82)0m m m m ∴+-+=，即280m m +=，解得0m =或8m =-，又当0m =时，直线与抛物线的交点中有一点与原点O 重合，不符合题意，故舍去；所以实数m 的值为8-.21.已知数列{}n a 满足()*11122n n a a n N a +==-∈，．（1）设11n n b a =-，求证数列{}n b 为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设21n n a c n =+，数列{}2n n c c +的前n 项和n T ，是否存在正整数m ，使得11n m m T c c +<对任意的*N n ∈都成立？若存在，求出m 的最小值；若不存在，试说明理由．【答案】（1）证明见解析，1+=n n a n ；（2）存在，m 的最小值为3【解析】【分析】（1）结合递推关系可证得b n +1－b n =1，且b 1＝1，可证数列{b n }为等差数列，据此可得数列{}n a 的通项公式；（2）结合通项公式裂项有21122n n c c n n ，+⎛⎫=- ⎪+⎝⎭求和有111213212n T n n ⎛⎫=+--< ⎪++⎝⎭，再结合条件可得()134m m +≥，即求．【小问1详解】证明：∵1111111111112111n n n n n n n n n a b b a a a a a a ++-=-=-==-------，又由a 1＝2，得b 1＝1，所以数列{b n }是首项为1，公差为1的等差数列，所以b n ＝1+(n －1)×1＝n ，由11n n b a =-，得1+=n n a n．【小问2详解】∵221n n a c n n==+，()2411222n n c c n n n n +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以11111111212133242212n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=+--< ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，依题意，要使11n m m T c c +<对于n ∈N *恒成立，只需()134m m +≥，即212(3)(4)0m m m m +-=-+≥解得m ≥3或m ≤-4．又m ＞0，所以m ≥3，所以正整数m 的最小值为3．22.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长为8，以椭圆的左焦点为圆心，短半轴长为半径的圆与直线2:(4)2h y x =-直线相切．（1）求椭圆的方程C ；（2）已知直线:8l x =，过右焦点F 的直线（不与x 轴重合）与椭圆C 交于,A B 两点，过点A 作AD l ⊥，垂足为D ．①求证：直线BD 过定点E ，并求出定点E 的坐标；②点O 为坐标原点，求OBD 面积的最大值．【答案】（1）2211612x y +=；（2）①证明见解析，()50，；②15.【解析】【分析】（1）根据题意可得28a =b =，2216bc =+，解得，即a ，b ，c ，进而可得椭圆的方程．（2）①由题意得(2,0)F ，设直线:2()AB x my m =+∈R ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，1(8,)D y ，联立直线AB 与椭圆的方程，由韦达定理可得12y y +，12y y ，且12123()my y y y =+，写出直线BD 方程，再令0y =，即可得出答案．②由①可得判别式△0>，211||||2OBD OED OEB S S S OE y y =+=⋅-，令1t =，化简结合函数单调性即可得出答案．【详解】（1）椭圆的长轴长为8，4a ∴=左焦点(,0)c -到直线hb=2216=b c + 又2b c ∴==∴椭圆的方程:C 2211612x y +=（2）由对称性，若直线BD 过定点E ，则该定点E 必在x 轴上，①由题得()20F ，，设直线2()AB x my m =+∈R ：，设11221()()(8)A x y B x y D y ，，，，，联立方程22211612x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)12360m y my++-=，（*）所以有1221234my y m -+=+，1223634y y m -=+，且12123()my y y y =+，因为2128BD yy k x -=-，所以直线BD 的方程为()211288yy y y x x --=--0y =，得()()1212121212121866888y x ymy myy y x y y y y y y ---=-=-=----（**）将12123()my y y y =+，代入（**），则121213()68835yyy x y y +-=-=-=-故直线BD 过定点()50，，即定点E 为()50，．②在（*）中，222144436(34)1444(1)m m m ∆=+⨯+=⨯+，所以122||34y y m -=+又直线BD 过定点()50E ，故，212215||||223434OBD OED OEB S S S OE y y m m =+=⋅⋅-=⋅=++△△△令1t =≥，则260601313OBD t S t t t==++ 在[1)t ∈+∞，上单调递减，故当1t =，0m =时，max ()15OBD S = ．。
2024-2025学年陕西省陕西师范大学附属中学高二上学期期初考试数学试卷(含答案)
2024-2025学年陕西省陕西师范大学附属中学高二上学期期初考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若i(1−z)=1，则z+z=( )A. −2B. −1C. 1D. 22.天气预报说，在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%.现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率．用1，2，3，4，5，6表示下雨，用计算机产生了10组随机数为180，792，454，417，165，809，798，386，196，206.据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为( )A. 35B. 25C. 12D. 7103.已知平面α//平面β，a，b是平面α，β外两条不同的直线，则下列结论错误的是( )A. 若a//α，则a//βB. 若b⊥α，则b⊥βC. 若a//α，b//β，则a//bD. 若a⊥α，b⊥β，则a//b4.有专业机构认为某流感在一段时间没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过15例”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据判断，一定符合该标志的是( )A. 甲地：均值为4，中位数为3B. 乙地：均值为5，方差为10C. 丙地：中位数为3，众数为2D. 丁地：均值为3，方差大于05.把一根长度为7的铁丝截成3段，如果三段的长度均为正整数，则能构成三角形的概率为( )A. 25B. 12C. 13D. 146.设θ为两个非零向量a，b的夹角，已知对任意实数t，|ta+b|的最小值为1，则( )A. 若|a|确定，则θ唯一确定B. 若|b|确定，则θ唯一确定C. 若θ确定，则|a|唯一确定D. 若θ确定，则|b|唯一确定7.在△ABC中，AC=3，BC=4，∠C=90∘.P为△ABC所在平面内的动点，且PC=1，则PA⋅PB的取值范围是( )A. [−5,3]B. [−3,5]C. [−6,4]D. [−4,6]8.三棱锥S−ABC的侧棱SA是它的外接球的直径，且SA=8,AB=1,BC=3,AC=13，则三棱锥S−ABC的体积为( )A. 353B. 352C. 32D. 33二、多选题：本题共4小题，共20分。
高二上学期期中考试数学试卷含答案(共5套)
高二上学期期中考试数学试题本卷分Ⅰ（选择题）、Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中Ⅰ卷1至2页，第二卷2至4页，共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题：本题共12个小题，每小题5分1．“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．有下列四个命题：（1）“若，则，互为倒数”的逆命题；（2）“面积相等的三角形全等”的否命题；（3）“若，则有实数解”的逆否命题；（4）“若，则”的逆否命题.其中真命题为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（4）D．（1）（2）（3）3．若则为（）A．等边三角形 B．等腰直角三角形C．有一个内角为30°的直角三角形 D．有一个内角为30°的等腰三角形4．已知.若“”是真命题，则实数a的取值范围是A．(1，+∞)B．(－∞，3)C．(1，3)D．5．的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为A．B．C．D．6．已知中，，则等于（）A．B．或C．D．或7．等差数列的前项和为，若，则等于（）A．58B．54C．56D．528．已知等比数列中，，，则（）A．2B．C．D．49．已知，则z=22x+y的最小值是A．1 B．16 C．8 D．410．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（）A．B．C．D．11．当ａ＞０，关于代数式，下列说法正确的是（）A．有最小值无最大值B．有最大值无最小值C．有最小值也有最大值D．无最小值也无最大值12．在△ABC中，AB＝2，C＝，则AC＋BC的最大值为A．B．3C．4D．2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：共4个小题，每小题5分，共20分13．命题的否定是______________．14．已知的三边长构成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长为________.15．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，当n≥2时，a n＋2S n－1＝n，则S2 017的值____ ___ 16．已知变量满足约束条件若目标函数的最小值为2，则的最小值为__________．三、解答题：共6题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
陕西省高二上学期期末理科数学试题 (解析版)
10.
x2 已知双曲线 C： a2
y2 b2
1(a 0,b 0) 的左、右焦点分别为 F1 ， F2 ，离心率为 2， P 是双曲线上一
点， PF1 x 轴，则
PF1 F1F2
的值为（
）
3
A.
4
4
B.
5
5
C.
6
2 D.
3
【答案】A
【解析】
【分析】由离心率可得 c 2a ，再根据 a2 b2 c2 可得 b
由余弦定理 2c2 m2 n2 2mn cos 60 ，
即 4c2 m2 n2 mn ，（1）
设 a1 是椭圆的长半轴， a2 为双曲线的实半轴，
由椭圆以及双曲线的定义，可得 m n 2a1 ， m n 2a2 ，
m a1 a2 ， n a1 a2 ，
代入（1）式，可得 3a22 4c2 a12 0 ，
【详解】设等比数列an 的公比为 q ，
则 q a2 a3 a4 a1 a2 a3 q q 2 ，
a1 a2 a3
a1 a2 a3
所以 S6 S3 a4 a5 a6 q3 a1 a2 a3 8 7 56 ．
故选：D
12. 我们把离心率互为倒数且焦点相同的椭圆和双曲线称为一对“优美曲线”.已知 F1 ， F2 是一对“优美曲线”
【答案】 3 【解析】 【分析】已知两边及夹角，由余弦定理直接求得结果.
【详解】已知 A 60, c 2, b 1 ， 由余弦定理得 a2 b2 c2 bc 12 22 1 2 3 ，解得 a 3 .
故答案为： 3 .
15. “蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点都在
陕西省2020年数学高二上学期理数期末考试试卷D卷
陕西省 2020 年数学高二上学期理数期末考试试卷 D 卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2019·惠州模拟) 已知集合，集合，则集合（）A.B. C. D.2. （2 分） (2018 高二上·鞍山期中) 设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项的和，若 = ，则 A . 12=（ ）B . 15C . 20D . 253.（2 分）已知 、 为椭圆 A.3 B.9 C.4 D.5两个焦点，P 为椭圆上一点且4. （2 分） 向量 ， 的夹角为 60 ， 且，则A.1第 1 页 共 17 页,则 等于（ ）（）B.C. D.2 5. （2 分） (2019 高二上·丰台期中) “ A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件”是“”的（ ）6. （2 分） 若变量 x,y 满足约束条件 A.1 B.2 C.3 D.4则 z=2x+y 的最大值为（ ）7. （2 分） (2019 高二下·深圳期末) 设双曲线（，）的一条渐近线为，且一个焦点与抛物线的焦点相同，则此双曲线的方程为（ ）A. B. C. D. 8. （2 分） (2016 高三上·黄冈期中) 在等差数列{an}中，已知 a4+a8=16，则该数列前 11 项和 S11=（ ）第 2 页 共 17 页A . 58 B . 88 C . 143 D . 1769. （2 分） (2018 高二上·抚顺期末) 设 向向量，则直线 与平面 的位置关系是（ ）是平面 的法向量，A . 平行或直线在平面内B . 垂直C . 相交但不垂直D . 不能确定10. （2 分） (2019 高一下·大庆期中) 如图，在中，点 在边 上，且,,的面积为，则线段 的长度为（ ）是直线 的方 ,A. B. C.D.11. （2 分） (2016 高二下·马山期末) 双曲线 A.2的离心率为（ ）B.第 3 页 共 17 页C.D. 12. （2 分） (2019 高一上·河南月考) 如图，在正方体 列说法正确的是（ ）中，F 是棱上的动点，下A . 对任意动点 F，在平面内不存在与平面平行的直线B . 对任意动点 F，在平面内存在与平面垂直的直线C . 当点 F 从 运动到 的过程中，直线 与平面夹角大小不变D . 当点 F 从 运动到 的过程中，点 D 到平面的距离逐渐变大二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2020 高二上·玉溪期中) 在数列 列 的前 n 项和.中，是方程的两根， 表示数（1） 若 是等比数列，则________；（2） 若 是等差数列，则________.14. （1 分） (2020 高三上·深圳月考) 已知 立，则实数 x 的取值范围为________.，对任意的实数 a，b 都有成15. （1 分） 已知 =(-3,2.1), =(-1,0,4)，则向量 与 ﹣λ 垂直的充要条件是 λ=________第 4 页 共 17 页16. （1 分） (2020·泰州模拟) 若函数三、 解答题 (共 6 题；共 45 分)17. （5 分） (2020·江门模拟) 已知函数（1） 当时，求不等式的解集；只有一个零点，则实数 a 的取值范围为________. .（2） 证明：.18. （10 分） (2018·兰州模拟) 已知椭圆上，且.为椭圆的左右焦点，点在（1） 求椭圆 的方程；（2） 过 的直线分别交椭圆 于和，且等差数列？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.，问是否存在常数 ，使得19. （10 分） (2018 高一下·毕节期末) 已知数列 的前 项和为设数列前 项和为 ，且，.，数列 是等比数列.（1） 求数列 和 的通项公式；（2） 求 . 20. （10 分） (2019 高一下·浙江期中) 设的内角所对的边分别为且 （1） 求角 的大小；（2） 若角 的平分线交 于点 ，求线段长度的取值范围.21. （5 分） 如图，矩形 ABCD，PA⊥平面 ABCD，M、N、R 分别是 AB、PC、CD 的中点．①求证：直线 AR∥平面 PMC；②求证：直线 MN⊥直线 AB．第 5 页 共 17 页，若22. （5 分） (2019 高二下·滁州期末) 已知圆和抛物线，圆与抛物线 的准线交于 、 两点，的面积为 ，其中 是 的焦点.（1） 求抛物线 的方程；（2） 不过原点 的动直线 交该抛物线于 ， 两点，且满足 一动点，求当动点 到直线 的距离最大时直线 的方程.，设点 为圆 上任意第 6 页 共 17 页一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)答案：1-1、 考点：参考答案解析： 答案：2-1、 考点： 解析：答案：3-1、 考点： 解析：第 7 页 共 17 页答案：4-1、 考点：解析： 答案：5-1、 考点：解析： 答案：6-1、 考点：解析： 答案：7-1、 考点：第 8 页 共 17 页解析： 答案：8-1、 考点：解析： 答案：9-1、 考点： 解析：答案：10-1、 考点： 解析：第 9 页 共 17 页答案：11-1、 考点：解析： 答案：12-1、 考点： 解析：第 10 页 共 17 页二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、答案：13-2、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共45分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。
陕西省数学高二上学期理数期末考试试卷D卷
（2） 求二面角P﹣AD﹣C的大小；
（3） 求直线PA与直线FG所成角的余弦值．
22. （10分） (2018高二下·永春期末) 设抛物线C： 的焦点为F ，过F 且斜率为 的直线l 与 C交于A ，B 两点，
（1） 求 l的方程；
（2） 求过点A ，B 且与 C的准线相切的圆的方程．
4. （2分） 经过抛物线y2＝2x的焦点且平行于直线3x－2y＋5＝0的直线的方程是（ ）
A . 6x-4y-3=0－
B . 3x-2y-3=0
C . 2x+3y-2=0
D . 2x+3y-1=0
5. （2分） 关于直线a,b以及平面M,N,下列命题中正确的是 （ ）
A . 若a//M,b//M，则a//b
20-1、
20-2、
21-1、
21-2、
21-3、
22-1、
22-2、
14. （1分） (2018高二上·北京月考) 点P（4，－2）与圆 上任一点连线的中点轨迹方程是________.
15. （1分） 正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与B1C所成角的大小为________
16. （1分） (2019高二上·长沙期中) 椭圆 短轴的长为 ，则实数 ________.
三、 解答题 (共6题；共60分)
17. （5分） 已知集合 ，集合 .若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围.
18. （10分） (2017高一下·东丰期末) 已知圆 : 圆
求：
（1） 圆 上的点到直线 的最大距离；
（2） 圆 与圆 与的公共弦长。
19. （10分） (2018·栖霞模拟) 如图，在多面体 中， 是平行四边形， ， ， 两两垂直.
陕西省数学高二上学期期末考试试卷(理科)B卷
陕西省数学高二上学期期末考试试卷（理科）B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分） (2016高三上·黄冈期中) 等比数列{an}中，a1＞0，则“a1＜a3”是“a3＜a6”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件2. （2分）已知函数f(x)=x3+ax2-2ax+3a2 ，且在f(x)图象上点(1,f(1))处的切线在y轴上的截距小于0，则a的取值范围是（）A . （-1，1）B .C .D .3. （2分）已知F1 ， F2是双曲线 =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若点F2关于直线y= x的对称点M也在双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A .B .C .D . 24. （2分）两平面α、β的法向量分别为 =（3，﹣1，z）， =（﹣2，﹣y，1），若α⊥β，则y+z的值是（）A . ﹣3B . 6C . ﹣6D . ﹣125. （2分）如果执行如图的程序框图，那么输出的值是（）A . 2010B . -1C .D . 26. （2分）已知曲线的一条切线斜率是3，则切点的横坐标为（）A . -2B . -1C . 1D . 27. （2分）如图，在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点．那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值为（）A .B .C .D .8. （2分）(2013·上海理) 已知A，B为平面内两个定点，过该平面内动点m作直线AB的垂线，垂足为N．若=λ • ，其中λ为常数，则动点m的轨迹不可能是（）A . 圆B . 椭圆C . 双曲线D . 抛物线9. （2分） (2017高三上·商丘开学考) 已知等差数列{an}的前n项和为Sn ，且a1=﹣20．在区间（3，5）内任取一个实数作为数列{an}的公差，则Sn的最小值仅为S6的概率为（）A .B .C .D .10. （2分）(2018·银川模拟) 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的值为（）A .B .C .D .11. （2分）若椭圆上一点P到焦点F1的距离为6，则点P到另一个焦点F2的距离为（）A . 2B . 4C . 6D . 812. （2分）设函数有两个极值点，且，则（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二上·河北开学考) 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取________名学生．14. （1分） (2016高一上·浦城期中) 给出下列结论：①y=x2+1，x∈[﹣1，2]，y的值域是[2，5]；②幂函数图象一定不过第四象限；③函数f（x）=loga（2x﹣1）﹣1的图象过定点（1，0）；④若loga ＞1，则a的取值范围是（，1）；⑤函数f（x）= + 是既奇又偶的函数；其中正确的序号是________．15. （1分） (2017高二下·菏泽开学考) 函数f（x）=xlnx（x＞0）的单调递增区间是________．16. （1分） (2017高二上·南阳月考) 是椭圆与双曲线的公共焦点，分别是在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是________．三、解答题 (共6题；共65分)17. （10分）(2017·镇江模拟) 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 =l （a＞b＞0）的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为A．（1）求该椭圆的方程：（2）过点D（，﹣）作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值．18. （15分） (2016高二下·银川期中) 对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下．寿命（h）100～200200～300300～400400～500500～600个数2030804030（1）列出频率分布表；（2）画出频率分布直方图；（3）估计元件寿命在100～400h以内的在总体中占的比例．19. （10分）(2017·达州模拟) 如图在棱锥P﹣ABCD中，ABCD为矩形，PD⊥面ABCD，PB=2，PB与面PCD成45°角，PB与面ABD成30°角．（1）在PB上是否存在一点E，使PC⊥面ADE，若存在确定E点位置，若不存在，请说明理由；（2）当E为PB中点时，求二面角P﹣AE﹣D的余弦值．20. （10分）某旅行社在暑假期间推出如下旅游团组团办法：达到100人的团体，每人收费1000元．如果团体的人数超过100人，那么每超过1人，每人平均收费降低5元，但团体人数不能超过180人．若设组团的人数为x，旅行社收费为y．（1）求旅行社收费y与组团人数x的函数关系式；（2）如何组团，才能使旅行社收费最多？21. （10分）已知点C的坐标为（1，0），A，B是抛物线y2=x上不同于原点O的相异的两个动点，且．（1）求证：点A，C，B共线；（2）若，当时，求动点Q的轨迹方程．22. （10分） (2018高二下·赣榆期末) 已知函数，其中（1）当时，求函数在上的值域；（2）若函数在上的最小值为3，求实数的取值范围.参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共65分) 17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、。
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陕西省高二上学期期末数学试卷（理科）D 卷
姓名:________
班级:________
成绩:________
一、 选择题： (共 12 题；共 24 分)
1. （2 分） (2016 高一下·中山期中) 如图是 2012 年在某大学自主招生考试的面试中，七位评委为某考生打 出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（ ） 79 844647 93
A . 84，4.84
B . 84，1.6
C . 85，1.6
D . 85，4
2. （2 分） 已知抛物线
的准线与双曲线
为直角三角形，则 的值为（ ）
交于 ， 两点，点 为抛物线的焦点，若
A.
B.
C.
D. 3. （2 分） (2018 高一下·枣庄期末) 下表是某厂
月份用水量（单位：百吨）的一组数据：
月份 用水量
由散点图可知，用水量 与月份 之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是
，则
第1页共9页
（） A. B. C. D. 4. （2 分） 已知焦点在 x 轴上的双曲线的渐近线方程是
A. B.2 C. D.4 5. （2 分） (2018 高二下·黑龙江期中) 已知椭圆 时，椭圆的离心率为（ ）
A.
， 则双曲线的离心率是 （ ）
过点
，当
取得最小值
B.
C.
D. 6. （2 分） 在区域 D： A.
内随机取一个点，则此点到点 A(1，2)的距离大于 2 的概率是（ ）
第2页共9页
B. C.
D. 7. （2 分） (2017·济南模拟) 命题 p：将函数 y=cosx•sinx 的图象向右平移 个单位可得到 y= cos2x 的图象；命题 q：对∀ m＞0，双曲线 2x2﹣y2=m2 的离心率为 ，则下列结论正确的是（ ） A . p 是假命题 B . ￢p 是真命题 C . p∨q 是真命题 D . p∧q 是假命题
8. （2 分） (2018 高二上·黑龙江期末) 设抛物线
的焦点为 ，过点
的直线与抛物线相
交于
两点，与抛物线的准线相较于点 ，
，则
与
的面积之
（）
A.
B.
C.
D.
9. （2 分） (2015 高三上·邢台期末) 过双曲线 且 l 与此双曲线的两条渐近线的交点分别为 B，C，若
=1（a＞0，b＞0）的右焦点 F 作斜率为﹣1 的直线，
=
，则此双曲线的离心率为（ ）
A. B.2
第3页共9页
C. D. 10. （2 分） (2015 高二下·广安期中) 如图，在三棱锥 P﹣ABC 中，D，E 分别是 BC，AB 的中点，PA⊥平面 ABC，∠BAC=90°，AB≠AC，AC＞AD，PC 与 DE 所成的角为 α，PD 与平面 ABC 所成的角为 β，二面角 P﹣BC﹣A 的 平面角为 γ，则 α，β，γ 的大小关系是（ ）
A . α＜β＜γ B . α＜γ＜β C . β＜α＜γ D . γ＜β＜α 11. （2 分） (2018 高二上·黑龙江期末) 已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱长与底面边长相等，则 AB1 与侧 面 ACC1A1 所成角的正弦等于（ ）．
A. B. C.
第4页共9页
D.
12. （2 分） 已知双曲线 C 的中心在原点，焦点在坐标轴上， 线，则 C 的方程为（ ）
是 C 上的点，且
是 C 的一条渐近
A.
B.
C.
或
D.
或
二、 填空题 (共 6 题；共 6 分)
13. （1 分） (2017 高一下·丰台期末) 从某企业生产的某种产品中抽取 100 件样本，测量这些样本的一项质 量指标值，由测量结果得如下频数分布表：
质量指标 值分组 频数
[75，85） [85，95） [95，105） [105，115） [115，125]
6
26
38
22
8
则样本的该项质量指标值落在[105，125]上的频率为________．
14. （1 分） (2017·静安模拟) “x＜0”是“x＜a”的充分非必要条件，则 a 的取值范围是________
15. （1 分） (2018·北京) 已知直线 l 过点（1,0）且垂直于 x 轴，若 l 被抛物线 4，则抛物线的焦点坐标为________.
截得的线段长为
16. （1 分） (2012·湖南理) 如果执行如图所示的程序框图，输入 x=﹣1，n=3，则输出的数 S=________
第5页共9页
17. （1 分） (2017·上海) 设双曲线 ﹣ =1（b＞0）的焦点为 F1、F2 ， P 为该双曲线上的一点，若 |PF1|=5，则|PF2|=________．
18. （1 分） (2012·江西理) 椭圆 + =1（a＞b＞0）的左、右顶点分别是 A，B，左、右焦点分别是 F1 ， F2 ． 若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为________．
三、 解答题 (共 4 题；共 35 分)
19. （10 分） 设命题 ：“若
，则
有实根”．
（1） 试写出命题 的逆否命题；
（2） 判断命题 的逆否命题的真假，并写出判断过程．
20. 考)
（ 10
分）
(2017
高二上·牡丹江月
（1） 已知椭圆的离心率为 ，短轴一个端点到右焦点的距离为 4，求椭圆的标准方程。
（2） 已知双曲线过点
，一个焦点为
，求双曲线的标准方程。
21. （10 分） 如图所示，在直角梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠ABC=90°，CD=BC=1，点 E 为 AD 边上的中点，过点
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D 作 DF∥BC 交 AB 于点 F，现将此直角梯形沿 DF 折起，使得 A﹣FD﹣B 为直二面角，如图乙所示．
（1） 求证：AB∥平面 CEF；
（2） 若二面角的余弦值为﹣
，求 AF 的长．
22. （5 分） (2015 高二下·福州期中) 已知椭圆 E 的焦点在 x 轴上，长轴长为 4，离心率为 ． （Ⅰ）求椭圆 E 的标准方程； （Ⅱ）已知点 A（0，1）和直线 l：y=x+m，线段 AB 是椭圆 E 的一条弦且直线 l 垂直平分弦 AB，求实数 m 的值．
第7页共9页
一、 选择题： (共 12 题；共 24 分)
1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、
二、 填空题 (共 6 题；共 6 分)
13-1、答案：略 14-1、 15-1、
参考答案
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16-1、 17-1、 18-1、
三、 解答题 (共 4 题；共 35 分)
19-1、答案：略 19-2、答案：略 20-1、答案：略 20-2、答案：略 21-1、答案：略 21-2、答案：略 22-1、答案：略
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。