第六章 多采样率信号处理
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L
z
mL
W z X z
j L
W e
j
X e
2
2
L=2
~ H e
j
G , L , 其他
Y e
j
GX 0,
j
,
e
j
,
间出现混叠不会影响1kHz以下的信号
所以
s 1 0 .0 6
H(f)
s 1 0 .0 6
H(f)
1
1
0
0.019
0.06
π
0
0.475
0.5
π
通带波纹峰值为
p1
0 .0 0 5 / 2 0 .0 0 2 5
约0.2dB。阻带最小衰减为0.005，大于47dB。 此时的滤波器长度为
(a) FIR滤波与抽取器级联(b) 提高运算效率的 结构 抽取的FIR结构
y m
h k x Mm
k 0
N 1
k
抽取器的多相（Polyphase）滤波器结构
k=Mq+i，i=0,1,…M-1, q=0,1,…,N/M-1 , N取M的整数倍
y m
N 1
D/A 变换器
后置 模拟滤 波
x(t)
过采样D/A变换器
fs
+
'
fs
积分器 1/S
A/D 变换器
b 位
'
数字 低通
b
L
位
抽 取 器 D/A 变换器
一阶sigma-deltaA/D变换器
e(m) E(z)
x(m)
+ +
y(m)
X(z)
Z-1
+
Y(z)
一阶Sigma-delta
的等效数学模型
H (z)
j 2 fT
以 ± k f s (k = 0 ,1 ,2 ,… )无 限 地 重 复
直接抽取 滤波抽取
根据采样定理,为防止混叠,应滤除高频分量
~ H e
j
, ,
其他
M
w n
k
h k x n k
y m w Mm
解：已知
48000 2 3 5 及
7 3
44100 2 3 5 7
2 2 2
2
为改变采样频率，需
L M 2 35
7 2 2 2 3 2
2 3 5 7
2 5
5
37
2
160 147
所以，如果我们选择内插因子L＝160而抽取因子M＝ 147，便得所求采样率转换。我们所求的滤波器截至 频率为
Y e
j
M
j M
X e
j M
H e
j
X e
j
M
1
X(ej)
4
1
X(ej’/)
4
4
1
X(ej( ’-/)
4
’
4
{ y ( m )} Lf s
{ y ( m )} Lf s
问题:低通滤波的指标如何确定?
例: 数字录音带（DAT）驱动器的采样频率为48kHz,而 激光唱盘（CD）播放机则以44.1kHz的采样频率工作。 为了直接把声音从CD录制到DAT，需要把采样频率从 44.1kHz转换到48kHz。为此，考虑完成图6—16的采样 率转换系统。求L和M的最小可能值以及适当的滤波器 j H (e ) 完成这个转换。
插零的结果 L=4
插零并且滤波的结果, L=4
T T
fs
L
Lf
s
w m
m , m , L , L , x L , 其他
W
z
n
w n z
n
W
z
m
x m
c m in (
,
)
L
M
160
其增益应等于160，采样频率为44.1×160=7056kHz
6.3 抽取与内插的FIR结构
一、抽取的FIR结构
h(0) x(n) M y(m) x(n) z-1 M z-1 h(N-1) M z-1 M h(1) h(0) y(m)
z-1
h(1)
h(N-1)
1/2
Y (e j)
4
’
/
/
’
2倍抽取产生的频谱混迭
例: 对采样频率为100kHz的信号进行M=50倍 的抽取，抽取滤波器的截止频率为 fs/2M=1000Hz 。通带和阻带边缘频率为 950Hz和1000Hz,对应
p 0 .0 1 9
h k x Mm
k 0 N M 1 M 1
k
i0 q0
h ( Mq i ) x [ M ( m q ) i ]
N M
令 h i ( m ) h ( mM i ), i 0 ,1, , M 1; m 0 ,1, ,
x i ( m ) x ( mM i ), i 0 ,1, , M 1
w m
z m
m
1 w m M
M 1
e
j 2 lm
M
l0 j 2 lm
z z
m
m
M
1 M
M 1
l0 M 1
w m e m W
M
M
1 M
e
j 2l
M
z
1 M
y m
h k x Mm
k
k
y m
h Mm
k
k x k
w n , w n ,
n , M , M 其他
w n w n
n kM
k M 1
1 w n M
e
l0
j 2 l n M
, n
y m w Mm w Mm
Y z
m
y m z
m
m
m
M
w Mm
z
Y
z
m
H
x
(z)
H (z) 1 H (z)
H
NS
(z)
1 1 H (z)
H
x
(z) z
1
H
j 2
NS
(z) 1 z
2
Hale Waihona Puke Baidu
1
H
NS
(e
)
2 sin( / 2 )
1
Y (z) z
1
X ( z ) (1 z
)E (z)
y ( m ) x ( m 1) ( m )
1
如
h 0 ( n ) { h ( 0 ), h ( M ), h ( 2 M ), , h ( N M )}
N M 1 M 1
y (m )
h
i0 k 0 M 1
i
(k ) xi (m k )
M x(n) z-1 M z-1
y i (m )
y0(m) h0(m) y(m) y1 (m) h1(m)
k
h m k w k
y m
k
k h m k x L h m rL
r
x r , k
L 为整数
采样率变换一个有理因数
内插器 低通滤波 抽取器
{ w ( k )} L fs M
{ x ( n )} 采样率 f s
(
6.4、 过采样技术
H(f)
H(f)
1
1
0
fc
fs/2
fs - fc
f
0
fc
fs/2
f
(a) (b) 抗混叠滤波器和抗镜象后置模拟滤波器的指 标分配
抽 取 器
x(t) 模拟 抗混滤 波 A/D 变换器 f ’s 数字 低通 x(n) L fs
过采样A/D变换器
内 插 器
x(n) L fs 数字 低通 f ’s
i0
x0(m)
x1 (m)
xM-1(m)
yM-1(m) hM-1 (m)
M
抽取器的多相滤波器结构
二、内插的FIR结构
h(0) L x(n) h(1) z-1 y(m) x(n) h(1) z-1 h(N-1) h(N-1) L L z-1 z-1 h(0) L y(m)
a) 内插器与FIR滤波级联 (b) 提高运算效 率的结构 内插的FIR结构
z
1 1
1 z
Y ( z ) H ( z ) X ( z ) Y ( z ) E ( z )
Y (z) H (z) 1 H (z) X (z) 1 1 H (z) E (z)
Y ( z ) H x ( z ) X ( z ) H NS ( z ) E ( z )
式中
0 .0 2 5
N1 N 2 133 218 351
是
N 5431
的十五分之一
事实上 H 2 ( z )
工作于极低的采样频率上，计算量将进一步下降。
6.2 、 采样率提高——整数Ｌ倍内插
1 0.5 0 -0.5 -1 0 1 0.5 0 -0.5 -1 0 10 20 30 40 50 60 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
s 0 .0 2
假定通带和阻带的波纹峰值为0.005 如果基于Kaiser窗设计符合上述要求的FIR滤 波器，根据教材(4.56)式，则滤波器系数个数 N=5431 现采用多级级联的抽取结构，设计相应的FIR 滤波器，并比较两种不同方法的滤波器系数 个数。
滤波器的设计指标如图（a）所示，采用图（b）所示 的两级级联，现在使
其他
L
y (0)
1 2
Y e
d
X e L
,
G 2
/L
/L
X e
j L
,
d
,
G 2
j
d
Gx ( 0 ) L
如要求y(0)=x(0)，则应有G=L，即对理想的内插器 要求能恢复抽取前的信号，增益Ｇ必须等于Ｌ。
y m
6.1、采样率降低——整数Ｍ倍抽取
1 x(n)
0.5
0 -0.5 -1 0 1 0.5 0 -0.5 -1 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 5 10 15 20 25 30 35 40
y(m)
T T
M
f s
T
MT
fs M
x (n )
< ==> X e
2 e
2 e
'
1 fs
e e '
'
fs / 2
2
fs / 2
H
NS
( f ) df
2 2
b b '
内插器
fs b位
数字输入
噪声整形再量化器
fs
数字 低通
'
量化器
fs
'
'
b位
w (n)
Q
W MSB
n b 位
至b位 D A
'
L
环路滤波器
N 1 ( 4 7 8) /( 2 .2 8 6 ) 1 3 3
见教材(4.56)式，式中
0 .0 4 1
为过渡带宽。
M
2
2
fs M1
的滤波器
100kH z 25
H 2 (z)
，此时的采样频率为
4kH z
则滤波器的通带边界950Hz对应于
p2
0 .9 5 4
l0
W z H z X z
Y z
M
M
H e
l
j l M
z
M
X e
X e
M
j l M
z
M
Y e
j
H e
M
M
H e
l
j l M
j l M
M 0 .5
2 0 .4 7 5
而阻带边界定为 通带波纹峰值为
p2
0 .0 0 5 / 2 0 .0 0 2 5
约0.2dB。阻带最小衰减为0.005，大于47dB。 此时的滤波器长度为 N 2 ( 4 7 8) /( 2 .2 8 6 ) 2 1 8
M M 1M
2
M 1 25
M
2
2
H(f) 1
0
0.019
0.02
π (a)
H1(z)
25
H2(z)
2
(b)
通带边界依然是950Hz，则
p1
0 .9 5 1000
2 0 .0 1 9
M 0 .0 4
由于抽取因子是25，阻带边界可以定为
0 .0 2 0 .0 4
第六章 多采样率信号处理
在实际应用中，各系统之间的采样率往往是 不同的，例如，在音频范围内，广播系统的 采样率为32kHz，CD唱机的采样率为44.1kHz ，而数字录音带（DAT）的采样率为48kHz。 这就需要设计一类数字滤波器，用于将被处 理信号的采样率转换成与相应系统所要求一 致的采样率。多采样率技术还有许多其他的 应用，过采样技术是其中的一个典型应用实 例。
z
mL
W z X z
j L
W e
j
X e
2
2
L=2
~ H e
j
G , L , 其他
Y e
j
GX 0,
j
,
e
j
,
间出现混叠不会影响1kHz以下的信号
所以
s 1 0 .0 6
H(f)
s 1 0 .0 6
H(f)
1
1
0
0.019
0.06
π
0
0.475
0.5
π
通带波纹峰值为
p1
0 .0 0 5 / 2 0 .0 0 2 5
约0.2dB。阻带最小衰减为0.005，大于47dB。 此时的滤波器长度为
(a) FIR滤波与抽取器级联(b) 提高运算效率的 结构 抽取的FIR结构
y m
h k x Mm
k 0
N 1
k
抽取器的多相（Polyphase）滤波器结构
k=Mq+i，i=0,1,…M-1, q=0,1,…,N/M-1 , N取M的整数倍
y m
N 1
D/A 变换器
后置 模拟滤 波
x(t)
过采样D/A变换器
fs
+
'
fs
积分器 1/S
A/D 变换器
b 位
'
数字 低通
b
L
位
抽 取 器 D/A 变换器
一阶sigma-deltaA/D变换器
e(m) E(z)
x(m)
+ +
y(m)
X(z)
Z-1
+
Y(z)
一阶Sigma-delta
的等效数学模型
H (z)
j 2 fT
以 ± k f s (k = 0 ,1 ,2 ,… )无 限 地 重 复
直接抽取 滤波抽取
根据采样定理,为防止混叠,应滤除高频分量
~ H e
j
, ,
其他
M
w n
k
h k x n k
y m w Mm
解：已知
48000 2 3 5 及
7 3
44100 2 3 5 7
2 2 2
2
为改变采样频率，需
L M 2 35
7 2 2 2 3 2
2 3 5 7
2 5
5
37
2
160 147
所以，如果我们选择内插因子L＝160而抽取因子M＝ 147，便得所求采样率转换。我们所求的滤波器截至 频率为
Y e
j
M
j M
X e
j M
H e
j
X e
j
M
1
X(ej)
4
1
X(ej’/)
4
4
1
X(ej( ’-/)
4
’
4
{ y ( m )} Lf s
{ y ( m )} Lf s
问题:低通滤波的指标如何确定?
例: 数字录音带（DAT）驱动器的采样频率为48kHz,而 激光唱盘（CD）播放机则以44.1kHz的采样频率工作。 为了直接把声音从CD录制到DAT，需要把采样频率从 44.1kHz转换到48kHz。为此，考虑完成图6—16的采样 率转换系统。求L和M的最小可能值以及适当的滤波器 j H (e ) 完成这个转换。
插零的结果 L=4
插零并且滤波的结果, L=4
T T
fs
L
Lf
s
w m
m , m , L , L , x L , 其他
W
z
n
w n z
n
W
z
m
x m
c m in (
,
)
L
M
160
其增益应等于160，采样频率为44.1×160=7056kHz
6.3 抽取与内插的FIR结构
一、抽取的FIR结构
h(0) x(n) M y(m) x(n) z-1 M z-1 h(N-1) M z-1 M h(1) h(0) y(m)
z-1
h(1)
h(N-1)
1/2
Y (e j)
4
’
/
/
’
2倍抽取产生的频谱混迭
例: 对采样频率为100kHz的信号进行M=50倍 的抽取，抽取滤波器的截止频率为 fs/2M=1000Hz 。通带和阻带边缘频率为 950Hz和1000Hz,对应
p 0 .0 1 9
h k x Mm
k 0 N M 1 M 1
k
i0 q0
h ( Mq i ) x [ M ( m q ) i ]
N M
令 h i ( m ) h ( mM i ), i 0 ,1, , M 1; m 0 ,1, ,
x i ( m ) x ( mM i ), i 0 ,1, , M 1
w m
z m
m
1 w m M
M 1
e
j 2 lm
M
l0 j 2 lm
z z
m
m
M
1 M
M 1
l0 M 1
w m e m W
M
M
1 M
e
j 2l
M
z
1 M
y m
h k x Mm
k
k
y m
h Mm
k
k x k
w n , w n ,
n , M , M 其他
w n w n
n kM
k M 1
1 w n M
e
l0
j 2 l n M
, n
y m w Mm w Mm
Y z
m
y m z
m
m
m
M
w Mm
z
Y
z
m
H
x
(z)
H (z) 1 H (z)
H
NS
(z)
1 1 H (z)
H
x
(z) z
1
H
j 2
NS
(z) 1 z
2
Hale Waihona Puke Baidu
1
H
NS
(e
)
2 sin( / 2 )
1
Y (z) z
1
X ( z ) (1 z
)E (z)
y ( m ) x ( m 1) ( m )
1
如
h 0 ( n ) { h ( 0 ), h ( M ), h ( 2 M ), , h ( N M )}
N M 1 M 1
y (m )
h
i0 k 0 M 1
i
(k ) xi (m k )
M x(n) z-1 M z-1
y i (m )
y0(m) h0(m) y(m) y1 (m) h1(m)
k
h m k w k
y m
k
k h m k x L h m rL
r
x r , k
L 为整数
采样率变换一个有理因数
内插器 低通滤波 抽取器
{ w ( k )} L fs M
{ x ( n )} 采样率 f s
(
6.4、 过采样技术
H(f)
H(f)
1
1
0
fc
fs/2
fs - fc
f
0
fc
fs/2
f
(a) (b) 抗混叠滤波器和抗镜象后置模拟滤波器的指 标分配
抽 取 器
x(t) 模拟 抗混滤 波 A/D 变换器 f ’s 数字 低通 x(n) L fs
过采样A/D变换器
内 插 器
x(n) L fs 数字 低通 f ’s
i0
x0(m)
x1 (m)
xM-1(m)
yM-1(m) hM-1 (m)
M
抽取器的多相滤波器结构
二、内插的FIR结构
h(0) L x(n) h(1) z-1 y(m) x(n) h(1) z-1 h(N-1) h(N-1) L L z-1 z-1 h(0) L y(m)
a) 内插器与FIR滤波级联 (b) 提高运算效 率的结构 内插的FIR结构
z
1 1
1 z
Y ( z ) H ( z ) X ( z ) Y ( z ) E ( z )
Y (z) H (z) 1 H (z) X (z) 1 1 H (z) E (z)
Y ( z ) H x ( z ) X ( z ) H NS ( z ) E ( z )
式中
0 .0 2 5
N1 N 2 133 218 351
是
N 5431
的十五分之一
事实上 H 2 ( z )
工作于极低的采样频率上，计算量将进一步下降。
6.2 、 采样率提高——整数Ｌ倍内插
1 0.5 0 -0.5 -1 0 1 0.5 0 -0.5 -1 0 10 20 30 40 50 60 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
s 0 .0 2
假定通带和阻带的波纹峰值为0.005 如果基于Kaiser窗设计符合上述要求的FIR滤 波器，根据教材(4.56)式，则滤波器系数个数 N=5431 现采用多级级联的抽取结构，设计相应的FIR 滤波器，并比较两种不同方法的滤波器系数 个数。
滤波器的设计指标如图（a）所示，采用图（b）所示 的两级级联，现在使
其他
L
y (0)
1 2
Y e
d
X e L
,
G 2
/L
/L
X e
j L
,
d
,
G 2
j
d
Gx ( 0 ) L
如要求y(0)=x(0)，则应有G=L，即对理想的内插器 要求能恢复抽取前的信号，增益Ｇ必须等于Ｌ。
y m
6.1、采样率降低——整数Ｍ倍抽取
1 x(n)
0.5
0 -0.5 -1 0 1 0.5 0 -0.5 -1 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 5 10 15 20 25 30 35 40
y(m)
T T
M
f s
T
MT
fs M
x (n )
< ==> X e
2 e
2 e
'
1 fs
e e '
'
fs / 2
2
fs / 2
H
NS
( f ) df
2 2
b b '
内插器
fs b位
数字输入
噪声整形再量化器
fs
数字 低通
'
量化器
fs
'
'
b位
w (n)
Q
W MSB
n b 位
至b位 D A
'
L
环路滤波器
N 1 ( 4 7 8) /( 2 .2 8 6 ) 1 3 3
见教材(4.56)式，式中
0 .0 4 1
为过渡带宽。
M
2
2
fs M1
的滤波器
100kH z 25
H 2 (z)
，此时的采样频率为
4kH z
则滤波器的通带边界950Hz对应于
p2
0 .9 5 4
l0
W z H z X z
Y z
M
M
H e
l
j l M
z
M
X e
X e
M
j l M
z
M
Y e
j
H e
M
M
H e
l
j l M
j l M
M 0 .5
2 0 .4 7 5
而阻带边界定为 通带波纹峰值为
p2
0 .0 0 5 / 2 0 .0 0 2 5
约0.2dB。阻带最小衰减为0.005，大于47dB。 此时的滤波器长度为 N 2 ( 4 7 8) /( 2 .2 8 6 ) 2 1 8
M M 1M
2
M 1 25
M
2
2
H(f) 1
0
0.019
0.02
π (a)
H1(z)
25
H2(z)
2
(b)
通带边界依然是950Hz，则
p1
0 .9 5 1000
2 0 .0 1 9
M 0 .0 4
由于抽取因子是25，阻带边界可以定为
0 .0 2 0 .0 4
第六章 多采样率信号处理
在实际应用中，各系统之间的采样率往往是 不同的，例如，在音频范围内，广播系统的 采样率为32kHz，CD唱机的采样率为44.1kHz ，而数字录音带（DAT）的采样率为48kHz。 这就需要设计一类数字滤波器，用于将被处 理信号的采样率转换成与相应系统所要求一 致的采样率。多采样率技术还有许多其他的 应用，过采样技术是其中的一个典型应用实 例。