1.2充要条件【两个课时】

我们就说p是 的充分条件 是 必要条件． 条件； 必要条件 我们就说 是q的充分条件；q是p必要条件．
上述定义知“ 表示有p必有 必有q， 上述定义知“ p ⇒q ”表示有 必有 ， 所以p是 的充分条件 但同时说q是 的必要 的充分条件， 所以 是q的充分条件，但同时说 是p的必要 条件是为什么呢？ 条件是为什么呢？ 这时逆否命题：￢ ， 这时逆否命题：￢q，则￢P． 是真命题！ ：￢ ． 是真命题！ 就有q”，那么“ 必定无p”， 即：“有p就有 ，那么“无q必定无 ，q 就有 必定无 片而言是必不可少的！ 对p片而言是必不可少的！ 片而言是必不可少的 q是p的必要条件说明没有 就没有 了， q是 是 的必要条件说明没有 就没有p了 的必要条件说明没有q就没有 是 p成立的必不可少条件，当然有 未必一定有 成立的必不可少条件， 成立的必不可少条件 当然有q 未必一定有p.
（第二课时） 第二课时）
制作：衡阳市铁一中学数学组
一、复习回顾
1.充分条件 充分条件 的充分条件； 若p⇒q , 则称 是q的充分条件； ⇒ 则称p是 的充分条件 2.必要条件 必要条件 的必要条件； 若p⇒q , 则称 是 p的必要条件； ⇒ 则称q是 的必要条件 3.充要条件 充要条件 的充要条件. 若p ⇔ q，则称 是q的充要条件 ，则称p是 的充要条件
二、概念理解
注意下列说法： 注意下列说法：
举例说明！ 举例说明！
1.若p是q的充分条件，那么 是p的必要条件 若 是 的充分条件 那么q是 的必要条件 的充分条件， 的必要条件; 这时p⇒q成立（是真命题） 成立（ 这时 ⇒ 成立 是真命题）
¬q ⇒ ¬p也成立
2.若p是q的必要条件，那么 是p的充分条件 若 是 的必要条件 那么q是 的充分条件 的必要条件， 的充分条件; 这时q 成立（ 这时 ⇒ p成立（是真命题） 成立 是真命题）
选修2 选修2－1第一章 常用逻辑用语
1.2充分条件与必要条件 充分条件与必要条件
（共两课时） 共两课时）
知 识 回 顾
原命题 若p则q 则 互 否 命 题 真 假 无 关 命题 p则 q 则 逆命题 若q则p 则 互 否 命 题 真 假 无 关 逆 命题 则 若 q则 p
若
学生活动 判断下列命题的真假. 判断下列命题的真假 （1）若x＝y，则 x2=y2 ） ＝ ， （2）若ab = 0，则a = 0 ） ， （3）若x2 >1，则x<1 ） ， （4）若x＝1或x＝2,则 x2 －3x＋2＝0 ） ＝ 或 ＝ 则 ＋ ＝ 真 假 假 真
理解概念
理解概念
充分性：条件是充分的， 充分性：条件是充分的，也就是说条件是 充足的，条件是足够的， 充足的，条件是足够的，条件是足以保证结论 成立的。 成立的。 有之必成立，无之未必不成立” “有之必成立，无之未必不成立” 你能举例说明吗？生活中有吗？ 你能举例说明吗？生活中有吗？ 必要性：必要就是必须，必不可少。 必要性：必要就是必须，必不可少。 有之未必成立，无之必不成立” “有之未必成立，无之必不成立” 你能举例说明吗？生活中有吗？ 你能举例说明吗？生活中有吗？
(C) p 是q 的 充分而不 必要条件
(D) p 是q 的既 不充分也不 必要条件
课堂小结 1.充分条件 充分条件
p是q的充分条件 是 的充分条件
这时¬q ⇒ ¬p
p⇒ q
这时q是 的必要条件 的必要条件！ 这时 是p的必要条件！ 2.必要条件 必要条件
p是q的必要条件 是 的必要条件
q⇒ p
的充分条件！ 这时 q是p的充分条件！ 是 的充分条件
2
；
x<1
⇒ x2>1
⇒ x －3x＋2＝0 ⇒＝1或x＝2 x＝ 或 ＝ ＋ ＝
x2－3x＋2＝0 ； ＋ ＝
新课概念 :定义 定义
一、充分条件与必要条件 为真命题， •一般地， “若p，则q” 为真命题， 一般地， 一般地 ，
如何理解充分条件 •是指由 经过推理能推出 ， 是指由p经过推理能推出 是指由 经过推理能推出q， 和必要条件？ 和必要条件？
思维活动——想一想 想一想 思维活动 1.给出一个命题 ，能否写出它的多个充分条 给出一个命题p， 给出一个命题 这些充分条件一定有因果关系吗？ 件？这些充分条件一定有因果关系吗？ ——不一定有因果关系！ 不一定有因果关系！ 不一定有因果关系 2.给出一个命题 ，能否写出它的多个必要条 给出一个命题p， 给出一个命题 这些必要条件一定有因果关系吗？ 件？这些必要条件一定有因果关系吗？ ——不一定有因果关系！ 不一定有因果关系！ 不一定有因果关系
一般说法： 一般说法： 1.若p⇒q ,但q ≠> p，则称 是q的充分但 若 ⇒ 但 ，则称p是 的充分但 不必要条件； 就有q） 不必要条件；（有p就有 ） 就有 2.若p≠> ，但q ⇒ p，则称 是q的必要但 若 ≠> ≠>q， ，则称p是 的必要但 不充分条件； 则无q） 不充分条件；（无p则无 ） 则无 3.若p≠> ，且q ≠> p，则称 是q的既不充 若 ≠> ≠>q， ，则称p是 的既不充 分也不必要条件． 等价） 分也不必要条件．（p与q等价） 与 等价
若 p≠> ， 且 q ≠> ≠>q， ≠> 分也不必要条件． 分也不必要条件． 若p⇒q ,但q ⇒ 但 ⇒
从集合角度理解：
p ⊆ q ⇔ຫໍສະໝຸດ Baidup ⇒q
数学运用 例题1.下列 下列“ 形式的命题中， 例题 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命 ， 形式的命题中 的充分条件？ 题p是q的充分条件？ 是 的充分条件 (1)若x=1,则x2-4x+3=0; 若 则 (2)若f(x)=x,则f(x)在(－∞，＋ 上为增函数； 若 ，＋∞)上为增函数 则 在 － ，＋ 上为增函数； (3)若x为无理数，则x2为无理数 若 为无理数 为无理数， 为无理数. 点拨：事实上就是判断“ 是否为真命题。 点拨：事实上就是判断“p ⇒ q”是否为真命题。 是否为真命题 如(1)中“x＝1” ⇒ “x2-4x+3=0”，所以“x＝1” 中 ＝ ，所以“ ＝ 的充分条件， 是 “x2-4x+3=0”的充分条件，但不可反推， 的充分条件 但不可反推， 的充分非必要条件. 故“x＝1” 是 “x2-4x+3=0”的充分非必要条件 ＝ 的充分非必要条件
课内活动 运用本节课所讲的知识填空
①“a和b都是偶数”是“a+b为偶数”的＿＿条件； “a和 都是偶数” a+b为偶数 为偶数” ＿＿条件 条件； ②“x 5”是 3”的 条件； ②“x＞5”是“x＞3”的 条件； ③“x≠3”是 |x|≠3”的 条件； ③“x≠3”是“|x|≠3”的 条件； ④“个位数字是 的自然数” 个位数字是5 ④“个位数字是5的自然数”是“这个自然数能被 5整除”的 整除” 条件； 条件； ⑤“至少有一组对应边相等 至少有一组对应边相等” ⑤“至少有一组对应边相等”是“两个三角形全 条件； 等”的 条件； （1）充分非必要 （2）充分非必要 ） ） （3）必要非充分 （4）充分非必要 ） ） 答案： 答案： （5）必要非充分 ）
问题1: 问题 条件和结论有什么关系
问题1:说明条件和结论有什么关系 问题1:说明条件和结论有什么关系？ 说明条件和结论有什么关系？
（ 1） x＝ y
⇒
x2＝y2 ； x2＝y2 ⇒ x＝y ab ⇒ =0
• （2）ab = 0 ⇒ a = 0 ； a = 0 ） • （3）x2>1 ⇒x<1 ） • （4）x＝1或x＝2 ） ＝ 或 ＝
二、充要条件 一般地,如果既有 ⇒ 又有q⇒ 一般地 如果既有p⇒q ，又有 ⇒p 就记作 如果既有 p ⇔ q. 此时,我们说 那么 的充分必要条件,简 此时 我们说,那么 是 q的充分必要条件 简 我们说 那么p是 的充分必要条件 称充要条件. 称充要条件 显然,如果 是 的充要条件 那么q也是 的充要条件,那么 也是p的充 显然 如果p是q的充要条件 那么 也是 的充 如果 要条件. 要条件 那么p 互为充要条件. 即：如果p ⇔ q,那么 与 q互为充要条件 如果 那么 互为充要条件
¬p ⇒ ¬q也成立
比较下列说法： 比较下列说法：
(1) p是q的充分条件； 这时p⇒ 成立 这时 ⇒q成立 ( 2 ) p成立的一个充分条件是q. q ⇒ p ( 3) p是q的必要条件； q ⇒ p ( 4 ) q成立的一个必要条件是p. q ⇒ p ( 5 ) p是q的充分条件； 充分性 p ⇒ q ( 6 ) q成立的充分条件是p. 充分性 p ⇒ q
图 示
：灯泡L ：开 关 ：电 源
现规定电路中， 闭合” 现规定电路中，记“开关K 闭合”为p，“灯泡L ， 点亮” 的什么条件？ 点亮”为q，指出下列各电路图中 是q的什么条件？ ，指出下列各电路图中p是 的什么条件
K K Ａ
A
K
K
A
L L
L
L
(A) p 是q 的 充要条件
(B) p 是q 的 必要而不 充分条件
3.充要条件 充要条件
p是q的充要条件 是 的充要条件
p⇔ q
这时p 互为充要条件！ 这时 、 q互为充要条件！ 互为充要条件
作 业 布 置
P12习题 习题1.2A组第 ，2，3题 组第1， ， 题 习题 组第
选修2 选修2－1第一章 常用逻辑用语
1.2充分条件与必要条件 充分条件与必要条件
例题3.填空题， 例题 填空题，试用适当的词语填空 填空题 充分不必要 （1）x＝y是x2＝y2的_____________ 条件 ） ＝ 是 必要不充分 2） 0是 ________________条件 （2）ab = 0是a = 0 的________________条件 （3）x2>1是x<1的__________________条件 ） 是 的 既不充分又不必要 条件 （4）x＝1或x＝2是x2－3x＋2＝0的_____条件 ） ＝ 或 ＝ 是 ＋ ＝ 的 充要 条件
•也就是说，如果p成立，那么 一定成立． 也就是说，如果 成立 那么q一定成立 成立， 一定成立． 也就是说 •即：只要有p就能充分地保证 的成立， 即 只要有 就能充分地保证 的成立， 就能充分地保证q的成立 •这时我们说 可推出 ， 这时我们说p可推出 这时我们说 可推出q，
记 ： ⇒q 作 p
一般地， 一般地， 若p⇒q ,但q ⇒ 但 必要条件； 必要条件； ≠>q， 若p≠> ，但q ≠> 充分条件； 充分条件； ≠> ⇒ p，则称 是q的充分但不 ，则称p是 的充分但不 p，则称 是q的必要但不 ，则称p是 的必要但不 p， 则称 是 q的既不充 ， 则称p是 的既不充 p，则称p是q的充要条件 ，则称 是 的充要条件
例题2.下列“ 形式的命题中， 例题 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命 下列 ， 形式的命题中 的必要条件？ 题 q是p的必要条件？ 是 的必要条件 (1)若x=y,则x2=y2; 若 则 (2)若两三角形全等 则这两个三角形的面积相等 若两三角形全等,则这两个三角形的面积相等 若两三角形全等 则这两个三角形的面积相等; (3)若a>b，则ac>bc. 若 ， 点拨：还是判断“ 是否为真命题。 点拨：还是判断“p ⇒ q”是否为真命题。 是否为真命题 但要特别注意说法： 但要特别注意说法：如： （1） x=y ⇒ x2=y2，我们说 x2=y2 是x=y的必 ） 的必 要条件. 要条件
数学运用
例题4：指出下列各组命题中， 是 的什么 例题 ：指出下列各组命题中，p是q的什么 条件： 条件： （1） p：x-1=0；q：(x-1)(x+2)=0. ） ： ； ： （1）充分不必要条件 ） （2） p：两条直线平行；q：内错角相等 ） ：两条直线平行； ：内错角相等. （2）充要条件 ） （3） p：a>b；q：a2>b2 ） ： ； ： （3）既不充分又不必要条件 ） （4） p：四边形的四条边相等； ） ：四边形的四条边相等； q：四边形是正四边形. ： （4）必要不充分条件 ）
从集合角度理解： 从集合角度理解：
•P足以导致 也就 足以导致q,也就 足以导致 是说条件p充分了 充分了； 是说条件 充分了； •q是p成立所 必须 是 成立所 具备的前提。 具备的前提。
p
q，相当于P q，相当于P
q ，即
P
q 或 P、q
例如：集合P＝{ x x > 3} , Q = { x x > 0}，P ⊆ Q， x ∈ P, 则x ∈ Q