高等数学(考研要点复习_中)

第三章：中值定理与导数的应用

§3.1 中值定理

本节将运用微分学的两个基本定理，这些定理是研究函数在区间上整体性质的省力工具，为此，先介绍Rollo 定理：Rollo 定理：若函数f(x) 满足：（i ）f(x) 在 [a,b] 上连续；（ii ）f(x) 在（a,b ）可导，（iii ）f(a) =f(b), 则在（a,b ）内至少存在一点，使得f '(ξ)=0.

证明：由（i ）知f(x)在[a,b]上连续，故f(x)在上必能得最大值M 和最小值m ，此时，又有二种情况： （1） M=m ，即f(x)在[a,b]上得最大值和最小值相等，从而知，此时f(x)为常数：f(x)＝M=m ，∴)('x f ＝0，因此，可知ξ为（a,b ）内任一点，都有f '(ξ)＝0。 （2）

M>m,此时M 和m 之中，必有一个不等于f(a)或f(b)，不妨设M ≠f(a)（对m ≠f(a)

同理证明），这时必然在（a,b ）内存在一点ξ，使得f(ξ)=M,即f(x)在ξ点得最大值。下面来证明：f '(ξ)=0

首先由（ii ）知f '(ξ)是存在的，由定义知：

f '(ξ)=ξ

ξ

ξξ

ξ--=--→→x M x f x f x f x x )(lim

)

()(lim

…….(*)

因为M 为最大值，⇒对x ∀有 f(x) ≤M ⇒f(x)－M ≤0, 当x>ξ时，有

ξ

ξξ--=

--x M x f x f x f )()

()(≤0

当x<ξ时，有

ξ

ξ

ξ--=

--x M x f x f x f )()

()(≥0。

又因为（﹡）的极限存在，知（﹡）极限的左、右极限都存在，且都等于)(ξf '，即

)()()(_ξξξf f f '='='+，然而，又有

0)

()(lim

)()(≥--='

='-

→-ξ

ξξξξx f x f f f x 和

0)

()(lim

)()(≤--='

='+

→+ξ

ξξξξx f x f f f x 0)(='⇒ξf 。

注 1：定理中的三个条件缺一不可，否则定理不一定成立，即指定理中的条件是充分的，但非必要。

2：定理中的ξ点不一定唯一。事实上，从定理的证明过程中不难看出：若可导函数)(x f 在点ξ处取得最大值或最小值，则有0)(='ξf 。

3：Rolle 定理的几何意义：设有一段弧的两端点的高度相等，且弧长除两端点外，处处都有不垂直于x 轴的一切线，到弧上至少有一点处的切线平行于x 轴。

【例1】 设多项式)(x p 的导函数)(x p '没有实根，证明)(x p 最多只有一个实根。

二、 Lagrange 中值定理

在Rolle 定理中，第三个条件为(iii))()(b f a f =，然而对一般的函数，此条不满足，现将该条件去掉，但仍保留前两个条件，这样，结论相应地要改变，这就是Lagrange 中值定理：

若函数满足：(i))(x f 在],[b a 上连续；(ii))(x f 在),(b a 上可导；则在),(b a 内至少存在一点ξ，使得 a

b a f b f f --=

')()()(ξ。

若此时，还有)()(b f a f =， 0)(='⇒ξf 。可见Rolle 中值定理是Lagrange 中值定理的一个特殊情况，因而用Rolle 中值定理来证明之。 证明：上式又可写为 0)()()(=---

'a

b a f b f f ξ

(1)

作一个辅助函数：)()()()()(a x a

b a f b f x f x F ----

=

(2)

显然，)(x F 在],[b a 上连续，在),(b a 上可导，且 )()()()()()(a f a a a b a f b f a f a F =----= )()()()()()(a f a b a

b a f b f b f b F =----

=

)()(b F a F =⇒，

所以由Rolle 中值定理，在),(b a 内至少存在一点ξ,使得

0)(='ξF 。 又a

b a f b f x f x F ---

'=')()()()( ⇒

0)()()(=---'a

b a f b f f ξ

或 a

b a f b f f --=')()()(ξ。

注 1：Lagrange 中值定理是Rolle 中值定理的推广；

2：定理中的结论，可以写成))(()()(a b f a f b f -'=-ξ)(b a <<ξ，此式也称为Lagrange 公式，其中ξ可写成： ⇒<<-+=)

10()

(θθξa b a

)))((()()(a b a b a f a f b f --+'=-θ

(3)

若令h h a f a f h a f h a b )()()(,θ+'=-+⇒+= (4)

3：若b a >，定理中的条件相应地改为：)(x f 在],[a b 上连续，在),(a b 内可导，则结论为：

))(()()(b a f b f a f -'=-ξ

也可写成 ))(()()(a b f a f b f -'=-ξ

可见，不论b a ,哪个大，其Lagrange 公式总是一样的。这时，ξ为介于b a ,之间的一个数，(4)中的h 不论正负，只要)(x f 满足条件，(4)就成立。

4：设在点x 处有一个增量x ∆，得到点x x ∆+，在以x 和x x ∆+为端点的区间上应用Lagrange 中值定理，有 x x x f x f x x f ∆⋅∆+'=-∆+)()()(θ )10(<<θ

即 x x x f y ∆⋅∆+'=∆)(θ 这准确地表达了y ∆和x ∆这两个增量间的关系，故该定理又称为微分中值定理。

5：几何意义：如果曲线)(x f y =在除端点外的每一点都有不平行于y 轴的切线，则曲线上至少存在一点，该点的切线平行于两端点的联线。

由定理还可得到下列结论：

定理：如果)(x f y =在区间I 上的导数恒为0，则)(x f 在I 上是一个常数。

证明：在I 中任取一点0x ，然后再取一个异于0x 的任一点x ，在以0x ，x 为端点的区间J 上，

)(x f 满足：(i)连续；(ii)可导；从而在J

内部存在一点ξ，使得

))(()()(00x x f x f x f -'=-ξ 又在I 上，0)(≡'x f ，从而在J 上，0)(≡'x f ， 0)(='⇒ξf ， 所以0)()(0=-x f x f )()(0x f x f =⇒ ， 可见，)(x f 在I 上的每一点都有：)()(0x f x f = （常数）。

三、 Cauchy 中值定理

Cauchy 中值定理：若)(),(x F x f 满足：

(i) )(),(x F x f 在],[b a 上连续； (ii) )(),(x F x f 在),(b a 内可导； (iii))(x F '在),(b a 内恒不为0； (iv))()(b F a F ≠；