数列与函数相结合题型求解方法
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数列与函数相结合的题型求解方法
在解数列综合题中经常碰到与函数相结合的题目，对于这类题目不少学生感到难度较大，其主要原因是有的学生难以运用函数知识进行解题。本文通过具体的例子来说明这类题型的求解方法。
1．与一次函数相结合
例1．设数列{a
n
}的前n项之和是，a, b是常数，且b≠a。
(1)证明：数列{a
n
}是等差数列；
(2)证明：以为坐标的点P
n
(n=1,2,3,……）都在同一直线上，并写出此直线方程。
（1993年上海高考题）
分析：要证数列{a
n }是等差数列，只要证a
n
=kn+t (其中k, t是常数)，即数列的通项是关于n的一次函数即
可，
∵ S
n
=an+bn(n-1), ∴
即
∴a
n =a+2(n-1)b，从而数列a
n
的通项是关于n的一次函数，所以数列{a
n
}是等差数列。
(2)要证以为坐标的点P
n
(n=1,2,3,……）都在同一直线上，
只要证P
n
(n≥2且n∈N)与第一点连线的斜率为定值即可。因为
，
所以，以为坐标的点P
n
(n=1,2,3,……）都在过(a, a-1)且斜率为的同一直线上，
所以所求的直线方程为，即x-2y+a-2=0。2．与二次函数相结合
例2．在直角坐标平面上有一点列P
1(a
1
,b
1
),P
2
(a
2
,b
2
),P
3
(a
3
,b
3
),……,P
n
(a
n
,b
n
),……,对每一个自然数n,点
P n (a
n
,b
n
)在函数y=x2的图象上，且点P
n
(a
n
,b
n
),点A(n,0),点B(n+1,0)，构成一个以点P
n
(a
n
,b
n
)为顶点的等腰三角
形。
(1)求对每一个自然数n，以点P
n 纵坐标构成的数列b
n
的通项公式；
(2)令，求的值。
分析：(1) 由P
n A=P
n
B可得。
又∵ P
n (a
n
,b
n
)在函数y=x2的图象上，∴.
(2)∵ ,
∴
3．与指数函数相结合
例3．在xOy平面上有一点列P
1(a
1
,b
1
),P
2
(a
2
,b
2
),P
3
(a
3
,b
3
),……,P
n
(a
n
,b
n
),……对每一个自然数n，点
P n (a
n
,b
n
)在函数y=的图象上，且点P
n
(a
n
,b
n
)，点(n,0)与点(n+1,0)构成一个以点
P n (a
n
,b
n
)为顶点的等腰三角形。
(1)求点P
n
(a
n
, b
n
)的纵坐标b
n
的表达式；
(2)若对每一个自然数n, 以b
n
, b
n+1
, b
n+2
为边长能构成一个三角形，求a的范围；
(3)设B
n
=b
1
b
2
b
3
……b
n
(n∈N
+
)，若a是(2)中确定的范围内的最小整数时，求{B
n
}的最大项是第几项？
分析:(1)由于三角形为等腰三角形，所以点P
n (a
n
,b
n
)在两点(n, 0)与(n+1, 0)连线的中垂线上，从而。
又因为点P
n (a
n
, b
n
)在函数y=的图象上，所以b
n
=。
(2) 因为函数y=是单调递减函数，所以对每一个自然数n有b
n >b
n+1
>b
n+2
。
又因为以b
n , b
n+1
, b
n+2
为边长能构成一个三角形，所以b
n+2
+b
n+1
>b
n
,
从而,即，解得
(3) 因为且a是整数，所以a=7,因此b
n
=2000。
又因为B
n =b
n
B
n-1
, 于是当b
n
≥1时，B
n
≥B
n-1
；
当b
n+1<1时，B
n
>B
n+1
，所以{B
n
}的最大项的项数n满足b
n
≥1且b
n+1
<1，
即2000≥1且2000<1，解得19.8 从而{B n }的最大项是第20项。 4．与对数函数相结合 例4．已知函数, (1)n=1,2,3,……时，把已知函数的图象和直线y=1的交点横坐标依次记为a 1,a 2 ,a 3 ，……，a n ,……。 求证：a 1+a 2 +a 3 +……+a n <1; (2)对于每一个n值，设A n ,B n 为已知函数图象上与x轴距离为1的两点，求证n取任意一个正整数时，以A n B n 为直径的圆都与一条定直线相切，求出这条定直线的方程和切点坐标。