电磁场数值方法电子教案：矩量法

幂级数 傅立叶级数 麦克劳林级数
fn x xn1
fn cos n或sin n
fn xn
MOM
▪ 分域基
• 只在L的部分定义域存在（部分为零） • 形状复杂 • 稳定 • 一维、二维、三维
1）狄拉克函数（Dirac delta function）
B0 (x) (x x0 )
(x x0)
x0
MOM
2）脉冲函数（pulse）
C B1(x) P(x, x1, x2 ) 0
x1 x x2 others
1
P(xj , x1, x2)
3）子域三角函数（subsectional triangle function）
x x1
B2
(
x)
t(x,
x1,
x2
,
x3
)
x2 x3
x1 x
S
(x)
sin(kx kx1)
sin(kx2 sin(kx3
kx1) kx)
, ,
sin(kx3 kx2 )
x1 x x2 x2 x x3
a1f1(x)
a2f2(x)
a3f3(x)
aN1fN1(x)
x
x1
x2
x3
x4
xN1
xN
5）拉格朗日插值多项式（Lagrangian interpolation polynomials）函数
L( f ) g
N
L n fn g n 1 未知数
MOM
❖ MOM基本步骤
▪ 2、匹配
在 L 的值域内选一组线性无关的函数wm (权函数），分别与 Lf 和g作内积
wm , Lf wm , g
பைடு நூலகம்
n wm , Lfn wm , g
n
N
n w1, Lfn w1, g
n1
N
MOM
&4.2 基函数与权函数选择
❖ 基、权函数的影响
▪ 计算结果的精度 ▪ 阻抗矩阵计算的难易 ▪ 未知量的多少 ▪ 阻抗矩阵的条件数的大小
❖ 基函数要求
▪ 完备性、正交性（线性无关） ▪ 尽可能逼近待求量 ▪ 基函数均可作为权函数
MOM
❖ 基函数
▪ 分为全域基和分域基 ▪ 全域基
• 存在于L全部定义域且不为零 • 无需网格剖分 • 只适合简单、规则形状
MOM
❖ MOM定义
▪ 采用基函数和权函数离散化方程的数值方法 ▪ 内域积分形式的加权余量法的总称
❖ MOM思想
√ ▪ 先将需要求解的微分方程或积分方程写成带有微 分或积分算符的算子方程 ▪ 再将待求函数表示为某一组选用的基函数的线性
组合并代入算子方程 ▪ 最后用一组选定的权函数对所得的方程取矩量，
x3 x2
a1f1(x)
a2f2(x)
a3f3(x) aN2fN2(x)
x1 x x2
1
x2 x x3
x1
x2
x3
a1f1(x)
a2f2(x) a3f3(x)
a4f4(x)
aN1fN1(x) aNfN(x)
x1
x2
x
x3
x4
xN1
xN
x
x1
x2
x3
x4
xN1
xN
MOM
4）分段正弦函数（piecewise sinusoidal functions）
L
L k 4
H (2)
e 0
(K
e
e )dl
LJSZ EZ S
L 1
j
L 2
L 2
2GZ, Z
Z 2
k
2GZ, Z dZ
LI Z EZ i
MOM
❖ MOM基本步骤
▪ 1、展开
未知函数 f 为有限个线性无关的已知简单函数 f n 之和
N
f n fn n1 线性无关。称为基函数
1
[n
]
2
w1, g [gn ] w2, g
MOM
❖ MOM基本步骤
▪ 4、矩阵方程求解
[n ] [lmn ]1[ gn ]
f n fn n1
f [ fn ][n ] [ fn ][lmn ]1[gm]
[
~ fn
]
[
f1,
f2
fn
]
直接求解：LU，SVD；迭代：CG、BiCG、GMRES 算法软件包：LAPACK、BLAS、MKL
n )
ln 2 An
s
n
ln An
,
r
Tn
s
fn (r )
s
(
ln 2 An
n )
ln 2 An
s
n
ln An
,
r
Tn
0, 其他
j
(x x1)(x x2 ) (xj x1)(xj x2 )
(x x j1)(x x j1) (x xN ) (x j x j1)(x j x j1) (x j xN )
j 1, 2, ; x1 x2 xN
MOM
1 ( x)
1 2
x(x
1)
2 (x) 1 x2
3 ( x)
n
n1
w2 , Lfn
w2 , g
N n1
n
wN , Lfn
wN , g
L( f ) g 的近似算式
MOM
❖ MOM基本步骤
▪ 3、变换为矩阵方程
[lmn ][n ] [gn ]
w1, L( f1) w1, L( f2 )
[lmn ] w2 , L( f1) w2 , L( f2 )
MOM
❖ 算子
表示函数形式 (x) 与函数形式 (x) 之间的对应关系， 即函数空间到函数空间的映射，又称变换，它可以写成
(x) LA(x)
▪ 多种形式
• 微商、不定积分、傅立叶变换、拉普拉斯变换、梯度、 散度、旋度、矩阵乘子
❖ 不同电磁问题的算子方程
1 dl '
L
0
l' 4R
L
L 0 2
MOM
矩量法
The Method of Moment
&4.1 矩量法概述
❖ 发展史
▪ 1963年，K.K.Mei，博士论文 ▪ 1968年，R.F.Harrington，专著 ▪ 20世纪90年代初，快速算法发展
• FMM • MLFMA • Wavelet • ……
❖ 应用
▪ 天线问题、天线设计、微波网络、生物电磁学、 辐射效应研究、微带线分析、辐射和散射、电磁 兼容
1 2
x(x
1)
MOM
RWG（Rao-Wilton-Glisson）矢量基函数
定义于平面三角形贴片对上， 能保持单元交界面处切向连续，且无线电荷积累
ln
2
An
n ,
r Tn
Tn
fn (r )
ln 2 An
n
,
r Tn ，
0,
其他
n=1，2，
n
ln
rn rn
Tn
n
O
MOM
s
(
ln 2 An
就得到一个矩阵方程或代数方程组
MOM
❖ MOM原理
▪ 线性空间理论
▪ N个线性方程的联立方程组、微分方程、差分方程 及积分方程均属于希尔伯特空间中的算子方程
▪ 它们可化作矩阵方程予以求解，在求解过程中需 计算广义矩量，故此法称为矩量法
算子方程
L( f ) g
L取不同形式，便可描绘不同的电磁工程问题