椭圆综合题

椭圆习题课

1 已知以F 1（2,0），F 2（2,0）为焦点的椭圆与直线043=++y x 有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为_____________

2 如图直线y ＝kx ＋b 与椭圆

2

2

14

x

y +=交于A 、B 两点,记△AOB 的面积为S ．

(I)求在k ＝0，0＜b ＜1的条件下，S 的最大值；（Ⅱ)当｜AB ｜＝2，S ＝1时，求直线AB 的方程．

3 设椭圆

222

2

1(0)x y a b a

b

+

=>>的左、右焦点分别为12F F A ，，是椭圆上的一点，

212AF F F ⊥，原点O 到直线1A F 的距离为

113

O F ．

（Ⅰ）证明a =；

（Ⅱ）求(0)t b ∈，使得下述命题成立：设圆222x y t +=上任意点00()M x y ，处的切线交椭圆于1Q ，2Q 两点，则12OQ OQ ⊥．

4 求F 1、F 2分别是椭圆

2

2

14

x

y +=的左、右焦点.

（Ⅰ）若P 是第一象限内该数轴上的一点，2

2

1254

P F P F +=-

，求点P 的作标；

（Ⅱ）设过定点M （0，2）的直线l 与椭圆交于同的两点A 、B ，且∠ADB 为锐角（其中O 为作标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围.

15 我们把由半椭圆

12

22

2=+

b

y a

x (0)x ≥与半椭圆

12

22

2=+

c

x b

y (0)x ≤合成

的曲线称作“果圆”，其中222c b a +=，0>a ，0>>c b ．

如图，设点0F ，1F ，2F 是相应椭圆的焦点，1A ，2A 和1B ，2B 是“果圆” 与x ，

y 轴的交点，M 是线段21A A 的中点．

（1）若012F F F △是边长为1的等边三角形，求该 “果圆”的方程；

（2）设P 是“果圆”的半椭圆

12

22

2=+

c

x b

y

(0)x ≤上任意一点．求证：当PM 取得最小值时，

P 在点12B B ，或1A 处；

（3）若P 是“果圆”上任意一点，求PM 取得最小值时点P 的横坐标．