抛物线及其性质知识点大全和经典例题及解析

抛物线及其性质

【考纲说明】

1、掌握抛物线的简单几何性质，能运用性质解决与抛物线有关问题。

2、通过类比，找出抛物线与椭圆，双曲线的性质之间的区别与联系。

【知识梳理】

1．抛物线定义：平面内到一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线． 2．抛物线四种标准方程的几何性质：

图形

参数p 几何意义 参数p 表示焦点到准线的距离，p 越大，开口越阔.

开口方向 右

左

上

下 标 准方 程 22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p =>

22(0)x py p =->

焦 点位 置 X 正

X 负

Y 正

Y 负

焦 点坐 标 (,0)2

p (,0)2p -

(0,)2p

(0,)2p -

准 线方 程 2p x =-

2p x =

2p y =-

2p y =

范 围 0,x y R ≥∈

0,x y R ≤∈

0,y x R ≥∈

0,y x R ≤∈

对 称轴 X 轴

X 轴

Y 轴

Y 轴

顶 点坐 标 （0,0）

离心率 1e =

通 径 2p

焦半径11(,)A x y 12

p AF x =+

12

p AF x =-+

12

p AF y =+

12

p AF y =-+

焦点弦长AB

12()x x p ++ 12()x x p -++ 12()y y p ++ 12()y y p -++

焦点弦长AB

以AB 为直径的圆必与准线l 相切

3．抛物线)0(22>=p px y 的几何性质：

(1)范围 因为p>0，由方程可知x ≥0，所以抛物线在y 轴的右侧，

当x 的值增大时，|y |也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． (2)对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向． (3)顶点（0，0），离心率：1=e ，焦点(

,0)2p F ，准线2

p

x -=，焦准距p ． (4) 焦点弦：抛物线)0(22

>=p px y 的焦点弦AB ，),(11y x A ,),(22y x B ,则p x x AB ++=21||． 弦长|AB|=x 1+x 2+p,当x 1=x 2时，通径最短为2p 。

4．焦点弦的相关性质：焦点弦AB ，),(11y x A ,),(22y x B ，焦点(

,0)2

p

F (1) 若AB 是抛物线2

2(0)y px p =>的焦点弦（过焦点的弦），且11(,)A x y ，22(,)B x y ，则：21

24

p x x =，2

12y y p =-。

(2) 若AB 是抛物线2

2(0)y px p =>的焦点弦，且直线AB 的倾斜角为α，则22sin P AB α

=（α≠0）。 (3) 已知直线AB 是过抛物线2

2(0)y px p =>焦点F ,

112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p

++===•• (4) 焦点弦中通径最短长为2p 。通径：过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径．

(5) 两个相切：○1以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切.○2过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。

5．弦长公式：),(11y x A ,),(22y x B 是抛物线上两点，则

AB =||1

1||1212212y y k

x x k -+

=-+=

【经典例题】

（1）抛物线——二次曲线的和谐线

椭圆与双曲线都有两种定义方法，可抛物线只有一种：到一个定点和一条定直线的距离相等的所有点的集合.其离心率e=1，这使它既与椭圆、双曲线相依相伴，又鼎立在圆锥曲线之中.由于这个美好的1，既使它享尽和谐之美，又生出多少华丽的篇章.

【例1】P 为抛物线px y 22

=上任一点，F 为焦点，则以PF 为直径的圆与y 轴（ ）

.A 相交 .B 相切 .C 相离 .D 位置由P 确定

【解析】如图，抛物线的焦点为,02p F ⎛⎫

⎪⎝⎭

，准线是 :2

p

l x =-

.作PH ⊥l 于H ，交y 轴于Q ，那么PF PH =， 且2p

QH OF ==.作MN ⊥y 轴于N 则MN 是梯形PQOF 的

中位线，()111

222MN OF PQ PH PF =+==.故以

PF 为直径的圆与y 轴相切，选B.

【评注】相似的问题对于椭圆和双曲线来说，其结论则 分别是相离或相交的.

（2）焦点弦——常考常新的亮点弦

有关抛物线的试题，许多都与它的焦点弦有关.理解并掌握这个焦点弦的性质，对破解这些试题是大有帮助的.

【例2】 过抛物线()022

p px y =的焦点F 作直线交抛物线于()()1122,,,A x y B x y 两点，求证：

（1）12AB x x p =++ （2）

p

BF AF 211=+ 【证明】（1）如图设抛物线的准线为l ，作

1AA l ⊥11111,2

p A BB l B AA x ⊥==+

于，则AF ， 122

p

BF BB x ==+.两式相加即得：

12AB x x p =++

（2）当AB ⊥x 轴时，有

AF BF p ==，

112

AF BF p

∴+=成立； 当AB 与x 轴不垂直时，设焦点弦AB 的方程为：2p y k x ⎛

⎫

=-

⎪⎝⎭

.代入抛物线方程： 2

222p k x px ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.化简得：()()222222014p k x p k x k -++=

∵方程（1）之二根为x 1，x 2，∴12

24

k x x ⋅=.

l X

Y F

A(x,y)11

B(x,y)

22

A 1

B 1l