圆方程知识点总结典型例题

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圆与方程典型例题

圆的方程考点一：求圆的方程1.过两点P (2,2)、Q (4,2)，且圆心在直线x －y ＝0上的圆的标准方程是( )A ．(x －3)2＋(y －3)2＝2B ．(x ＋3)2＋(y ＋3)2＝2C ．(x －3)2＋(y －3)2＝ 2D ．(x ＋3)2＋(y ＋3)2＝ 22.求经过点A (10,5)、B (－4,7)，半径为10的圆的方程．3. 求以A (2,2)、B (5,3)、C (3，－1)为顶点的三角形的外接圆的标准方程．4. 已知A (3，－2)，B (－5,4)，则以AB 为直径的圆的方程是( )A ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝25B ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝25C ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝100D ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝1005．方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的范围是( )A ．a <－2或a >23B ．－23<a <2 C ．－2<a <0 D ．－2<a <23 6.220x y x y R +-++=表示一个圆，则R 的取值范围是（） A ．(],2-∞ B ．(),2-∞ C ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 7. 已知方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0表示圆，求：(1)实数m 的取值范围； (2)圆心坐标和半径．8.ABC ∆的三个顶点坐标分别为()()()1,5,2,2,5,5A B C ---，求其外接圆的方程．7.一圆经过点)3,4(-P ，圆心在直线012=+-y x 上，且半径为5，求该圆的标准方程。

点关于直线对称8.圆12-)1(22=+-）（y x 关于直线02=--y x 对称的圆的方程为（） 9.圆14)3(22=++-）（y x 关于直线0=+y x 对称的圆的方程是（） A.14)3(22=-++）（y x B.13)4(22=++-）（y x C.13)4(22=-++）（y x D.14)3(22=-+-）（y x10.经过两点P (－2,4)、Q (3，－1)，且在x 轴上截得的弦长为6的圆的方程．11.已知直线01=-+y x 与圆心为C 的圆4a -)1(22=+-）（y x 相交于B A ,两点，若ABC ∆为等边三角形，则实数=a （）A.6-B.6C.6±D.61±12.圆心在x 轴上，半径长为2，且过点），（12-的圆的方程为（） A.2)1(22=++y x B.2222=++）（y x C.2)3(22=++y x C.2)1(22=++y x 或2)3(22=++y x13.点P (1，－2)和圆C ：x 2＋y 2＋m 2x ＋y ＋m 2＝0的位置关系是______ 外14．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程是( )A ．(x －2)2＋y 2＝5B ．x 2＋(y －2)2＝5C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝5D ．x 2＋(y ＋2)2＝5周长最小15.圆过点)4,1(),2,1(--B A ,求：（1）周长最小的圆的方程（2）圆心在直线042=--y x 上的圆的方程。

圆系方程-高中数学知识点讲解

圆系方程
1．圆系方程
【知识点的知识】
所谓圆系方程指的是所有的圆都有相同的圆心，但圆的半径不同的圆的总和，还可以是圆的半径相同，但圆心
不同，我们把满足这两种情况的圆的总和就叫做圆系方程；除了圆系，还有直线系（过某一定点）等等．
【例题解析】
例：已知圆系方程x2+y2+2kx+（4k+10）y+5k2+20k＝0（k∈R），是否存在斜率为 2 的直线l 被圆系方程表示的任意一圆截得的弦长是定值45？如果存在，试求直线l 的方程；如果不存在，请说明理由．
解：假设存在满足条件的直线方程为y＝2x+m，
圆的方程配方可得：（x+k）2+（y+2k+5）2＝25．
所以圆心到直线的距离d =1
5|―2푘+2푘+5+푚|=
|5+푚|
，
5
|5+푚|
由垂径定理可得：(2=52―(25)2，
5)
解得m＝0 或m＝﹣10，
故存在满足条件的直线方程，方程为y＝2x 或y＝2x﹣10．
这个题可以看出，遇到圆系方程的题，只需知道其概念就可以了，关键还是看圆心、半径、圆心到直线的距离这三个因素，常用的方法就是待定系数法．
【考点分析】
本考点也是在初中就已经学过，对于高考来说，算是个冷门，但也偶尔会考，还是希望大家了解这些基本的概念，争取不漏死角．
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圆的方程数学知识点与练习

圆的方程●圆的方程的三种形式（1）圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r 2，方程表示圆心为(a,b)，半径为r 的圆. （2）圆的一般方程对于方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0①当D 2+E 2-4F ＞0时，表示圆心为（-D 2,-E 2），半径为12②当D 2+E 2-4F=0时，表示一个点（-D 2，-E2）；③当D 2+E 2-4F ＜0时，它不表示任何图形.（3）圆的参数方程x a rcos ,y b rsin θθ=+⎧⎨=+⎩，圆心(a,b ），半径r ＞0，θ∈R. ●点与圆的位置关系圆的标准方程（x-a ）2+(y-b)2=r 2,圆心A （a,b ），半径r ，若点M （x 0,y 0）在圆上，则(x 0-a)2+(y 0-b)2=r 2; 若点M （x 0,y 0）在圆外，则(x 0-a)2+(y 0-b)2＞r 2; 若点M （x 0,y 0）在圆内，则(x 0-a)2+(y 0-b)2＜r 2. ●确定圆的方程的方法（1）确定圆的方程的主要方法是待定系数法.如果选择标准方程，一般步骤为： ①根据题意，设所求圆的标准方程为（x-a ）2+(y-b)2=r 2; ②根据已知条件，建立关于a 、b 、r 的方程组；③解方程组，并把它们代入所设的方程中，整理后，就得到所求方程. 求圆的标准方程时，尽量利用圆的几何性质，可以大大地减少计算量. (2)如果已知条件中圆心的位置不能确定，可考虑选择圆的一般方程，圆的一般方程也含有三个独立的参数，因此，必须具备三个独立的条件，才能确定圆的一般方程，其方法仍采用待定系数法.设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，由三个条件得到关于D 、E 、F 的一个三元一次方程组，解方程组,求出参数D 、E 、F 的值即可.(3)以A （x 1,y 1）,B(x 2,y 2)为直径的两端点的圆的方程为（x-x 1）(x-x 2)+(y-y 1)(y-y 2)=0. （4）在求圆的方程时，常用到圆的以下几个性质： ①圆心在过切点且与切线垂直的直线上； ②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线. ●与圆有关的最值问题（1）求与圆有关的最值问题多采用几何法，就是利用一些代数式的几何意义进行转化.如①形如m=y bx a--的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t=ax+by 的最值问题，可转化为直线在y 轴上的截距的最值问题；③形如m=(x-a)2+(y-b)2的最值问题，可转化为两点间的距离平方的最值问题. (2)特别要记住下面两个代数式的几何意义：yx表示点（x,y ）与原点（0,0）连线的直线斜率表示点（x,y ）与原点的距离. 1.方程x 2+y 2+4mx-2y+5m=0表示圆的充要条件是( )A.14＜m＜1 B.m＞1 C.m＜14D.m＜14或m＞1解析：若方程表示圆，则(4m)2+(-2)2-4×5m＞0，解得m＜14或m＞1.答案：D2.若点（4a-1,3a+2）不在圆(x+1)2+(y-2)2=25的外部，则a的取值范围是( )A.|a|B.|a|＜1C.|a|D.|a|≤1解析：点（4a-1,3a+2）不在圆(x+1)2+(y-2)2=25的外部，则(4a-1+1)2+(3a+2-2)2≤25，即|a|≤1. 答案：D3.圆(x+2)2+y2=5关于直线y=x对称的圆的方程为( )A.(x-2)2+y2=5B.x2+(y-2)2=5C.(x+2)2+(y+2)2=5D.x2+(y+2)2=5解析：圆(x+2)2+y2=5的圆心(-2，0)关于y=x对称的点的坐标为(0,-2)，所以，所求圆的方程是x2+(y+2)2=5.答案：D4.已知x、y满足x2+y2-4x-6y+12=0，则x2+y2的最小值为__________.解析：点（x,y）在圆(x-2)2+(y-3)2=1上，故点(x,y)到原点距离的平方即x2+y2的最小值为2答案：5.已知圆x2+y2+kx+2y=-k2，当该圆的面积取最大值时，圆心坐标为__________.答案：(0,-1)自我诊断①若圆x2+y2+(a2-1)x+2ay-a=0关于直线x-y+1=0对称，则实数a的值为__________.答案：3自我诊断②以点A（-3，0），B（0，-3），C（157，247）为顶点的三角形与圆x2+y2=R2（R＞0）没有公共点，则圆半径R的取值范围是（）)∪,+∞) B.( ) )∪(3,+∞)D.(,3)2解析：如图，若圆与△ABC没有公共点，需考虑两种情况，①圆在三角形内部；②圆在三角形外部.当圆在三角形内部时，圆与BC；当圆在三角形外部时，圆过点C，所以选A.答案：A题型一圆的方程的求法【例1】根据下列条件求圆的方程：（1）经过点P（1，1）和坐标原点，并且圆心在直线2x+3y+1=0上；（2）圆心在直线y=-4x上，且与直线l:x+y-1=0相切于点P（3，-2）；（3）过三点A（1，12），B（7，10），C（-9，2）.规律方法：求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说，求圆的方程有两种方法：（1）几何法，通过研究圆的性质而求出圆的基本量；（2）代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解. 创新预测1根据下列条件求圆的方程：（1）已知一圆过P（4，-2）、Q（-1，3）两点，且在y轴上截得的线段长为（2，圆心在直线y=2x上，圆被直线x-y=0截得的弦长为题型二与圆有关的最值问题【例2】已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0.（1）求yx的最大值和最小值；（2）求y-x的最大值和最小值；（3）求x2+y2的最大值和最小值.规律方法：化x、y满足的关系式为(x-2)2+y2=3，明确yx、y-x、x2+y2的几何意义，数形结合求解.创新预测2已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0.（1）求y2x1++的最大值和最小值.（2）求x-2y的最大值和最小值.（3）求点P（x,y）到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值.题型三与圆有关的轨迹问题【例3】设定点M（-3，4），动点N在圆x2+y2=4上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹.\规律方法：求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；定义法，根据圆、直线等定义列方程；几何法，利用圆与圆的几何性质列方程；代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.创新预测3 已知圆x2+y2=4上一定点A（2，0），B（1，1）为圆内一点，P，Q为圆上的动点. （1）求线段AP中点的轨迹方程；（2）若∠PBQ=90°，求PQ中点的轨迹方程.题型四与圆有关的实际应用问题【例4】有一种大型商品，A、B两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：A地每千米的运费是B地每千米运费的3倍.已知A、B两地距离为10 km，顾客选择A地或B地购买这件商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低.求P地居民选择A地或B地购货总费用相等时，点P所在曲线的形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购物地点.规律方法：审清题意，根据题意求轨迹方程.求方程前必须建立平面直角坐标系，否则曲线就不能转化为方程，坐标系选取得当，可使运算过程简单，所得方程也较简单.创新预测4 设有一个半径为3 km的圆形村落，A、B两人同时从村落中心出发，A向东而B向北前进.A出村后不久，改变前进方向，沿着切于村落边界的方向前进，后来恰好与B相遇.设A、B 两人的速度都一定，其比为3∶1，问:两人在何处相遇？精品作业自我测评·技能备考一、选择题：每小题6分，共36分.1.（2009·许昌模拟）P（x,y）是圆x2+y2=1与直线x+y+2m=0(m＞0)的公共点，则直线008=0的倾斜角的最大值为( )A.45°B.60°C.90°D.135°答案：A2.（2009·天津汉沽模拟）已知两点A(-2,0)，B(0,2),点C 是圆x 2+y 2-2x=0上任意一点，则△ABC 面积的最小值是( )C.3-2D.32 答案：A3.（2009·山东临沂模拟）若直线ax+2by-2=0(a ＞0,b ＞0)始终平分圆x 2+y 2-4x-2y-8=0的周长，则1a +2b的最小值为( )A.1B.5 答案：D4.（2008·山东）已知圆的方程为x 2+y 2-6x-8y=0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )答案：B5.（2009·湖北沙市模拟）直线l:4x-3y-12=0与x、y轴的交点分别为A、B，O为坐标原点，则△AOB内切圆的方程为( )A.(x-1)2+(y+1)2=1B.(x-1)2+(y-1)2=1C.(x-1)2+(y+1)2D.(x-1)2+(y+1)2=2 答案：A解析：A(3,0),B(0,-4)，O（0，0），∴内切圆的半径r=OA OB AB2+-=1，由图象知，圆心为(1,-1),∴方程为(x-1)2+(y+1)2=1，故选A.6.（2009·西南师大附中模拟）已知点P(x,y)是直线kx+y+4=0（k＞0）上一动点，PA、PB是圆C：x2+y2-2y=0的两条切线，A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为( )A.3B.2C.22D.2 答案：D二、填空题：每小题6分，共18分.7.（2009·江苏江宁高级中学3月模拟）直线ax+by=1过点A(b,a)，则以坐标原点O为圆心，OA 长为半径的圆的面积的最小值是______.答案：π解析：直线过点A(b,a)，∴ab=12，圆面积S=πr2=π(a2+b2)≥2πab=π.8.（2009·广东华南师大附属中学测试）从圆(x-1)2+(y-1)2=1外一点P(2,3)向这个圆引切线，则切线长为____________.答案：2解析：圆心(1,1)，则|PC|2=5，∴切线长9.（2009·浙江金华模拟）已知圆O的方程为x2+y2=4，P是圆O上的一个动点，若OP的垂直平分线总是被平面区域|x|+|y|≥a覆盖，则实数a的取值范围是_____________.答案：a≤1解析：易知OP的垂直平分线即为单位圆的切线，当a≤0时，平面区域即坐标平面，显然满足题意；当a＞0时，由图象易知0＜a≤1，综上，a≤1.三、解答题：10、11题每题15分，12题16分，共46分.10.（2009·江苏通州调研）如图，在平面直角坐标系xOy中，A(a,0)(a＞0),B(0,a),C(-4,0),D(0,4)，设△AOB的外接圆圆心为E.(1)若⊙E与直线CD相切，求实数a的值.(2)设点P在⊙E上，使△PCD的面积等于12的点P有且只有三个，试问：这样的⊙E是否存在？若存在，求出⊙E的标准方程；若不存，说明理由.11.（2009·江苏盐城模拟）已知以点C(t,2t)(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点.(1)求证：△OAB的面积为定值；(2)设直线y=-2x+4与圆C交于点M、N，若OM=ON，求圆C的方程.\12.设O 为坐标原点，曲线x 2+y 2+2x-6y+1=0上有两点P 、Q ，满足关于直线x+my+4=0对称，又满足OP ·OQ =0.(1)求m 的值；(2)求直线PQ 的方程.。

典型例题：圆的一般方程

4.1.2 圆的一般方程【例1】判断二元二次方程224441290x y x y +-++=是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径.【例2】求经过(4,2),(1,3)A B -两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为4的圆的方程.【例3】设圆的方程为224x y +=，过点(0,1)M 的直线l 交圆于点A B 、，O 是坐标原点，点P为AB 的中点，当l 绕点M 旋转时，求动点P 的轨迹方程．参考：例1【分析】用配方法将其变形化成圆的标准形式或运用圆的一般方程的判断方法求解.【解】圆的方程可化为22131224x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，圆心为13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径为12r =. 【点拨】要注意对于224441290x y x y +-++=来说，这里的91,3,4D E F =-==，而不是D=-4,E=12,F=9.例2：【分析】设出圆的一般方程，用待定系数法求解.【解】设所求圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=. 当0x =时，20y Ey F ++=，则122E y y +=-；当0y =时，20x Dx F ++=，则122Dx x +=-.则1644201930()()422D E F D E F D E⎧⎪++++=⎪+-++=⎨⎪⎪-+-=⎩，解得352D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩.∴ 圆的方程为223520x y x y +--+=. 【点拨】用待定系数法的一般步骤是“设（设含待定系数的方程）→列（利用条件列出系数所满足的方程组）→求（解方程组）→写（写出所求方程）”. 当已知圆上三点或两点时，选用圆的一般方程形式较为简单. 当易知圆心和半径时，选用圆的标准方程形式易求解.例3：【分析【动点P 为AB 的中点，所以点P 是由点A B 、而决定，另外点A B 、又由点(0,1)M 的直线l 来决定，找到最初的“动”是解决问题的关键.【解】设点P 的坐标为(,)x y ，1122(,)(,)A x y B x y 、．因A B 、在圆上，所以222211224,4x y x y +=+=．两式相减得222212120x x y y -+-=．所以12121212()()()()0.x x x x y y y y -++-+=当12x x ≠时，有12121212()0.y y x x y y x x -+++⋅=-①并且12121212,2,21.x x x y y y y y y x x x ⎧+=⎪⎪+⎪=⎨⎪-⎪-=⎪-⎩ ②将②代入①并整理得2211()24x y +-=③．当12x x =时，点A B 、的坐标为（0，2），（0，－2），这时点P 的坐标为（0，0）也满足③，所以点P 的轨迹方程为2211()24x y +-=．【点拨】将所求点P 坐标设为(,)x y ，相应的已知点Q 的坐标设为00(,)x y ，再用x y 、表示00x y 、．即00(,)(,)x g x y y h x y =⎧⎨=⎩，然后代入已知点Q 满足的方程00()0f x y =,，消去00x y 、得到所求曲线的方程，体现设而不求思想．本题是将12121212,,22x x y y y y x x ++--看作整体进行代换．。

高中数学圆的方程典型例题总结归纳

高中数学圆的方程典型例题例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-．∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为222)(r y a x =+-．又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-22224)3(16)1(r a ra解之得：1-=a ，202=r ．所以所求圆的方程为20)1(22=++y x ．解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为13124-=--=AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ．又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(22=++==AC r ．故所求圆的方程为20)1(22=++y x ．又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22．∴点P 在圆外．说明：此题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例5 已知圆422=+y x O ：，求过点()42，P 与圆O 相切的切线．解：∵点()42，P 不在圆O 上，∴切线PT 的直线方程可设为()42+-=x k y 根据r d = ∴21422=++-k k 解得43=k 所以()4243+-=x y 即 01043=+-y x因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存有．易求另一条切线为2=x ．说明：上述解题过程容易漏解斜率不存有的情况，要注意补回漏掉的解．此题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决（也要注意漏解）．还能够使用200r y y x x =+，求出切点坐标0x 、0y 的值来解决，此时没有漏解．类型三：弦长、弧问题例9、直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为解：依题意得，弦心距3=d ，故弦长2222=-=d r AB ，从而△OAB 是等边三角形，故截得的劣弧所对的圆心角为3π=∠AOB .类型四：直线与圆的位置关系.例13 圆9)3()3(22=-+-y x 上到直线01143=-+y x 的距离为1的点有几个？分析：借助图形直观求解．或先求出直线1l 、2l 的方程，从代数计算中寻找解答．解法一：圆9)3()3(22=-+-y x 的圆心为)3,3(1O ，半径3=r ．设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ，则324311343322<=+-⨯+⨯=d ．如图，在圆心1O 同侧，与直线01143=-+y x 平行且距离为1的直线1l 与圆有两个交点，这两个交点符合题意．又123=-=-d r ．∴与直线01143=-+y x 平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意． ∴符合题意的点共有3个．解法二：符合题意的点是平行于直线01143=-+y x ，且与之距离为1的直线和圆的交点．设所求直线为043=++m y x ，则1431122=++=m d ，∴511±=+m ，即6-=m ，或16-=m ，也即06431=-+y x l ：，或016432=-+y x l ：．设圆9)3()3(221=-+-y x O ：的圆心到直线1l 、2l 的距离为1d 、2d ，则 34363433221=+-⨯+⨯=d ，143163433222=+-⨯+⨯=d ．∴1l 与1O 相切，与圆1O 有一个公共点；2l 与圆1O 相交，与圆1O 有两个公共点．即符合题意的点共3个．说明：对于此题，若不留心，则易发生以下误解：设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ，则324311343322<=+-⨯+⨯=d ．∴圆1O 到01143=-+y x 距离为1的点有两个．显然，上述误解中的d 是圆心到直线01143=-+y x 的距离，r d <，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1．到一条直线的距离等于定值的点，在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上，所以题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点．求直线与圆的公共点个数，一般根据圆与直线的位置关系来判断，即根据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判断．类型五：圆与圆的位置关系例15：圆0222=-+x y x 和圆0422=++y y x 的公切线共有条。

专题55：圆与方程知识点与典型例题(解析版)

专题55：圆与方程知识点与典型例题（解析版）1、圆的方程（1）圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=，其中(,)a b 为圆心，r 为半径（2）圆的一般方程：22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->，其中圆心为(,)22D E --只有当22,x y 的系数化为1时才能用上述公式) 注意：已知圆上两点求圆方程时，运用圆心在这两点的垂直平分线上这个条件可简化计算。

1．圆C 的圆心坐标为()0,0，且圆C 经过点()3,4M ，求圆C 的方程.1．2225x y +=. 【分析】求出圆的半径，即可得圆标准方程．【详解】解：圆C 5=，所求圆的方程为2225x y +=. 故答案为：2225x y +=．【点睛】本题考查求圆的标准方程，解题关键是确定圆心坐标和半径．2．求过点(1,1),(1,1)A B --，且圆心在直线20x y +-=上的圆的方程.2．22(1)(1)4x y -+-=. 【解析】试题分析：由,A B 的坐标计算可得AB 的垂直平分线方程y x =，进而得到：20y xx y =⎧⎨+-=⎩，解可得,x y 的值，即可得圆心坐标，而圆的半径22r ==，代入圆的标准方程计算即可得到答案．解析:由已知得线段AB 的中点坐标为()0,0，所以()11111AB k --==---所以弦AB 的垂直平分线的斜率为1k =，所以AB 的垂直平分线方程为y x = 又圆心在直线20x y +-=上，所以20y xx y =⎧⎨+-=⎩ 解得11x y =⎧⎨=⎩即圆心为()1,1圆的半径为22r ==所以圆的方程为()()22114x y -+-=. 3．写出下列方程表示的圆的圆心和半径:(1)2210x y +=; (2)2221x y ;(3)()22325x y ++=; (4)()()22259x y ++-=.3．(1)圆心坐标为()0,0,; (2)圆心坐标为()2,0-,半径为1; (3)圆心坐标为()0,3-,半径为5; (4)圆心坐标为()2,5-,半径为3. 【分析】圆的标准方程为222()(),0x a y b r r -+-=>，则此圆的圆心坐标为(,)a b ，半径为r ，将(1) (2) (3) (4)分别代入即可得解. 【详解】解：(1)由圆2210x y +=的标准方程可得，该圆的圆心坐标为()0,0,，即圆2210x y +=的圆心坐标为()0,0,； (2) 由圆2221x y 的标准方程可得，该圆的圆心坐标为()2,0-,半径为1，即圆2221x y 的圆心坐标为()2,0-,半径为1；(3) 由圆()22325x y ++=的标准方程可得，该圆的圆心坐标为()0,3-,半径为5，即圆()22325x y ++=的圆心坐标为()0,3-,半径为5；(4) 由圆()()22259x y ++-=的标准方程可得，该圆的圆心坐标为()2,5-,半径为3，即圆()()22259x y ++-=的圆心坐标为()2,5-,半径为3.【点睛】本题考查了圆的标准方程及由标准方程确定圆的圆心坐标与半径，属基础题. 4．求满足下列条件的圆的方程（1）圆C 的圆心坐标为()0,0，且圆C 经过点()3,4M ，求圆C 的方程. （2）过()()()2,0,4,0,0,2A B C 三点的圆的方程. 4．（1）2225x y +=；（2）()()223310x y -+-=. 【分析】（1）根据圆心坐标和圆上点坐标求解出圆的半径，从而圆的方程可求；（2）采用待定系数法求解出圆的方程. 【详解】（1）因为圆心为()0,0且圆经过点()3,4M，所以圆的半径为5R ==，所以圆的方程为：2225x y +=；（2）设圆的方程为：()()222x a y b R -+-=，代入点的坐标有：()()()222222222242a b R a b R a b R ⎧-+=⎪⎪-+=⎨⎪+-=⎪⎩，所以33a b R ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以圆的方程为：()()223310x y -+-=. 【点睛】本题考查圆的方程求解，其中涉及利用圆心和半径求圆的方程、待定系数法求圆的方程，难度较易.2、直线与圆的位置关系(1)直线:0l Ax By C ++=，圆222:()()C x a y b r -+-=，记圆心(,)C a b 到直线l的距离d =①直线与圆相交,则0d r ≤<或方程组的0∆> ②直线与圆相切，则d r =或方程组的0∆= ③直线与圆相离，则d r >或方程组的0∆<（2）直线与圆相交时，半径r ，圆心到弦的距离d ，弦长l，满足：l =（3）直线与圆相切时， ①切线的求法：（Ⅰ）已知切点（圆上的点）求切线,有且只有一条切线,切点与圆心的连线与切线垂直；（Ⅱ）已知切线斜率求切线，有两条互相平行的切线，设切线方程为y kx b =+，利用圆心到切线的距离等于半径列出方程求出b 的值；（Ⅲ）已知过圆外的点00(,)P x y 求圆222:()()C x a y b r -+-=的切线，有两条切线，若切线的斜率存在，设切线方程为：00()y y k x x -=-，利用圆心到切线的距离等于半径列出方程求出k 的值；若切线的斜率不存在，则切线方程为0x x =，验证圆心到切线距离是否等于半径。

高中数学--圆的方程知识点题型归纳

考点三、与圆有关的轨迹问题【例1】动点P 到点A (8,0)的距离是到点B (2,0)的距离的2倍，则动点P 的轨迹方程为( )A ．x 2＋y 2＝32B ．x 2＋y 2＝16C ．(x －1)2＋y 2＝16D ．x 2＋(y －1)2＝16【例2】方程y =表示的曲线是（）A. 一条射线B. 一个圆C. 两条射线D. 半个圆【例3】在ABC ∆中，若点,C B 的坐标分别是（-2,0）和（2,0），中线AD 的长度是3，则点A 的轨迹方程是（）A. 223x y += B. 224x y +=C. ()2290x y y +=≠ D. ()2290x y x +=≠【例4】已知一曲线是与两个定点O (0,0)，A (3,0)距离的比为12的点的轨迹．求这个曲线的方程，并画出曲线．【变式1】方程1x -= ）A. 一个圆B. 两个圆C. 一个半圆D. 两个半圆【变式2】动点P 到点A (8,0)的距离是到点B (2,0)的距离的2倍，则动点P 的轨迹方程为( )A ．x 2＋y 2＝32B ．x 2＋y 2＝16C ．(x －1)2＋y 2＝16D ．x 2＋(y －1)2＝16【变式3】如右图，过点M (－6,0)作圆C ：x 2＋y 2－6x －4y ＋9＝0的割线，交圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点P 的轨迹．【变式4】如图，已知点A (－1,0)与点B (1,0)，C 是圆x 2＋y 2＝1上的动点，连接BC 并延长至D ，使得|CD |＝|BC |，求AC 与OD 的交点P 的轨迹方程．方法总结：求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：（1）直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简．(2)定义法：根据直线、圆等定义列方程． (3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程．(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．考点四：与圆有关的最值问题【例1】已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称，则a －b 的取值范围是________【例2】已知x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则y －2x －1的最小值为________．【例3】已知点M 是直线3x ＋4y －2＝0上的动点，点N 为圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1上的动点，则|MN |的最小值是( )A.95B ．1 C.45D.135【例4】已知实数x ，y 满足(x －2)2＋(y ＋1)2＝1则2x －y 的最大值为________，最小值为________．【变式1】P (x ，y )在圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1上移动，则x 2＋y 2的最小值为________．【变式2】由直线y ＝x ＋2上的点P 向圆C ：(x －4)2＋(y ＋2)2＝1引切线PT (T 为切点)，当|PT |最小时，点P 的坐标是( )A ．(－1,1)B ．(0,2)C ．(－2,0)D ．(1,3)【变式3】已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值是________．【变式4】已知圆M 过两点C (1，－1)，D (－1,1)，且圆心M 在x ＋y －2＝0上．（1）求圆M 的方程；（2）设P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A 、PB 是圆M 的两条切线，A ，B 为切点，求四边形P AMB 面积的最小值．方法总结：解决与圆有关的最值问题的常用方法（1）形如u ＝y －bx －a 的最值问题，可转化为定点(a ，b )与圆上的动点(x ，y )的斜率的最值问题（2）形如t ＝ax ＋by 的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；（3）形如(x －a )2＋(y －b )2的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题．（4）一条直线与圆相离，在圆上找一点到直线的最大（小）值：d r ±（其中d 为圆心到直线的距离）2.在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为（）.A.45π B.34πC.(6-πD.54π 3.如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M到直线OP 的距离表示成x 的函数()f x ，则()y f x =在[]0,π上的图像大致为（）.二、填空题A.B.C.D.1.直线1l 和2l 是圆222x y +=的两条切线，若1l 与2l 的交点为()1,3，则1l 与2l 的夹角的正切值等于.2.直线1:l y x a =+和2:l y x b =+将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，则22a b +=________.3.在平面直角坐标系xOy 中，直线230x y +-=被圆()()22214x y -++=截得的弦长为． 4.若圆C 的半径为1，其圆心与点()1,0关于直线x y =对称，则圆C 的标准方程为_______. 5.设点()0,1M x ，若在圆O ：221x y +=上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则0x 的取值范围是.6.已知直线20ax y +-=与圆心为C 的圆()()2214x y a -+-=相交于,A B 两点，且ABC △为等边三角形，则实数a =_________.。

高中数学圆与方程知识点归纳与常考题型专题练习(附解析)

高中数学圆与方程知识点归纳与常考题型专题练习(附解析)知识点：4.1.1 圆的标准方程1、圆的标准方程：圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程222()()x a y b r -+-=2、点与圆的关系的判断方法：00(,)M x y 222()()x a y b r -+-=（1）>，点在圆外2200()()x a y b -+-2r （2）=，点在圆上2200()()x a y b -+-2r （3）<，点在圆内2200()()x a y b -+-2r 4.1.2 圆的一般方程1、圆的一般方程：，圆心为半径为022=++++F Ey Dx y x2、圆的一般方程的特点：(1)①x2和y2的系数相同，不等于0．②没有xy 这样的二次项．(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D 、E 、F ，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。

4.2.1 圆与圆的位置关系1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．设直线：，圆：，圆的半径为，圆心l 0=++c by ax C 022=++++F Ey Dx y x r 到直线的距离为，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：)2,2(E D --d （1）当时，直线与圆相离；r d >l C （2）当时，直线与圆相切；r d =l C （3）当时，直线与圆相交；直线、圆的位置关系r d <l C 注意：1.直线与圆的位置关系直线与圆相交，有两个公共点方程组有两组不同实数解d R ⇔<⇔(0)∆>直线与圆相切，只有一个公共点方程组有唯一实数解d R ⇔=⇔(0)∆= 直线与圆相离，没有公共点方程组无实数解d R ⇔>⇔(0)∆<2.求两圆公共弦所在直线方程的方法：将两圆方程相减。

圆的方程知识点+例题+练习

教学过程1．确定一个圆的方程，需要三个独立条件．“选形式，定参数”是求圆的方程的基本方法，即根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数，同时注意利用几何法求圆的方程时，要充分利用圆的性质．2．解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算．3．求圆的方程时，一般考虑待定系数法，但如果能借助圆的一些几何性质进行解题，不仅能使解题思路简化，而且还能减少计算量．如弦长问题，可借助垂径定理构造直角三角形，利用勾股定理解题．课堂巩固一、填空题1．(2014·南京模拟)已知点A(1，－1)，B(－1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是________．2．若圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心位于第三象限，那么直线x＋ay＋b＝0一定不经过第________象限．3．(2014·银川模拟)圆心在y轴上且过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是________．4．两条直线y＝x＋2a，y＝2x＋a的交点P在圆(x－1)2＋(y－1)2＝4的内部，则实数a的取值范围是________．5．(2014·东营模拟)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是________．6．已知点M(1,0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是________．7．(2014·南京调研)已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则圆C上各点到l的距离的最小值为______．8．若圆x2＋(y－1)2＝1上任意一点(x，y)都使不等式x＋y＋m≥0恒成立，则实数m的取值范围是________．教学效果分析。

圆的方程知识点总结及典例

4.1圆的方程基础知识梳理1.圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-，圆心：),(b a ，半径：r ；2.圆的一般方程：)04(,02222>-+=++++F E D F Ey Dx y x .习题巩固一、选择题1．点(sin θ，cos θ)与圆x 2＋y 2＝12的位置关系是( ) A ．在圆上 B ．在圆内C ．在圆外D ．不能确定2．已知以点A (2，－3)为圆心，半径长等于5的圆O ，则点M (5，－7)与圆O 的位置关系是( )A ．在圆内B ．在圆上C ．在圆外D ．无法判断3．若直线y ＝ax ＋b 通过第一、二、四象限，则圆(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝1的圆心位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．圆(x －3)2＋(y ＋4)2＝1关于直线y ＝x 对称的圆的方程是( )A ．(x ＋3)2＋(y ＋4)2＝1B ．(x ＋4)2＋(y －3)2＝1C ．(x －4)2＋(y －3)2＝1D ．(x －3)2＋(y －4)2＝15．方程y ＝9－x 2表示的曲线是( )A ．一条射线B ．一个圆C ．两条射线D ．半个圆6．已知一圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x 轴和y 轴上．则此圆的方程是( )A ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝13B ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝13C ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝52D ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝527．圆2x 2＋2y 2＋6x －4y －3＝0的圆心坐标和半径分别为( )A ．⎝⎛⎭⎫－32，1和194B ．(3,2)和192C ．⎝⎛⎭⎫－32，1和192D ．⎝⎛⎭⎫32，－1和1928．方程x 2＋y 2＋4x －2y ＋5m ＝0表示圆的条件是( )A ．14<m <1 B ．m >1 C ．m <14D ．m <1 9．M (3,0)是圆x 2＋y 2－8x －2y ＋10＝0内一点，过M 点最长的弦所在的直线方程是( )A ．x ＋y －3＝0B ．x －y －3＝0C ．2x －y －6＝0D ．2x ＋y －6＝010．圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0的圆心到直线x －y ＝1的距离为( )A ．2B ．22C ．1D ．2 11．已知圆x 2＋y 2－2ax －2y ＋(a －1)2＝0(0<a <1)，则原点O 在( )A ．圆内B ．圆外C ．圆上D ．圆上或圆外12．若圆M 在x 轴与y 轴上截得的弦长总相等，则圆心M 的轨迹方程是( )A ．x －y ＝0B ．x ＋y ＝0C ．x 2＋y 2＝0D ．x 2－y 2＝0二、填空题13．已知圆的内接正方形相对的两个顶点的坐标分别是(5,6)，(3，－4)，则这个圆的方程是_____________________________．14．圆O的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，点(2,3)到圆上的最大距离为________．15．如果直线l将圆(x－1)2＋(y－2)2＝5平分且不通过第四象限，那么l的斜率的取值范围是________．16．如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆面积最大时，圆心坐标为________．17．已知圆C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a为实数)上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称点都在圆C上，则a＝________．18．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为________．三、解答题19．已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2，－2)，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上，求圆心为C的圆的标准方程．20.已知一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且该圆经过点A(6,1)，求这个圆的方程．21．平面直角坐标系中有A(－1,5)，B(5,5)，C(6，－2)，D(－2，－1)四个点能否在同一个圆上？22．如果方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0表示一个圆．(1)求t的取值范围；(2)求该圆半径r的取值范围．。

圆与方程知识点总结典型例题

圆与方程1. 圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-. 特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222r y x =+.2. 点与圆的位置关系：(1). 设点到圆心的距离为d ，圆半径为r ：a.点在圆内 d ＜r ；b.点在圆上 d=r ；c.点在圆外 d ＞r(2). 给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-.①M 在圆C 内22020)()(r b y a x <-+-⇔②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-⇔（ ③M 在圆C 外22020)()(r b y a x >-+-⇔（3）涉及最值：① 圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值② 圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值思考：过此A 点作最短的弦？（此弦垂直AC ）3. 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x .(1) 当0422>-+F E D 时，方程表示一个圆，其中圆心⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D C ，半径2422F E D r -+=. (2) 当0422=-+F E D 时，方程表示一个点⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D . (3) 当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形.注：方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且0422 AF E D -+.4. 直线与圆的位置关系：直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-圆心到直线的距离22B A CBb Aa d +++=1）无交点直线与圆相离⇔⇔>r d ；2）只有一个交点直线与圆相切⇔⇔=r d ；3）有两个交点直线与圆相交⇔⇔<r d ；弦长|AB|=222d r -还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组⎩⎨⎧=++++=++0022F Ey Dx y x C By Ax 求解，通过解的个数来判断：（1）当0>∆时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交；（2）当0=∆时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切；（3）当0<∆时，直线与圆没有交点，直线与圆相离；5. 两圆的位置关系（1）设两圆2121211)()(:r b y a x C =-+-与圆2222222)()(:r b y a x C =-+-，圆心距221221)()(b b a a d -+-=① 条公切线外离421⇔⇔+>r r d ；② 条公切线外切321⇔⇔+=r r d ；③ 条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ；④ 条公切线内切121⇔⇔-=r r d ；⑤ 无公切线内含⇔⇔-<<210r r d ；外离外切相交内切（2）两圆公共弦所在直线方程圆1C ：221110x y D x E y F ++++=，圆2C ：222220x y D x E y F ++++=，则()()()1212120D D x E E y F F -+-+-=为两相交圆公共弦方程.补充说明：① 若1C 与2C 相切，则表示其中一条公切线方程；② 若1C 与2C 相离，则表示连心线的中垂线方程.（3）圆系问题过两圆1C ：221110x y D x E y F ++++=和2C ：222220x y D x E y F ++++=交点的圆系方程为()22221112220x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=（1λ≠-）补充：① 上述圆系不包括2C ；② 2）当1λ=-时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）③ 过直线0Ax By C ++=与圆220x y Dx Ey F ++++=交点的圆系方程为()220x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=6. 过一点作圆的切线的方程：(1) 过圆外一点的切线：①k 不存在，验证是否成立②k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，即求解k ，得到切线方程【一定两解】例1. 经过点P(1，—2)点作圆(x+1)2+(y —2)2=4的切线，则切线方程为。

高中数学必修2__第四章《圆与方程》知识点总结与练习

第三节圆_的_方_程[知识能否忆起]1．圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹) 标准方程 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)圆心：(a ，b )，半径：r一般方程 x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)圆心：⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2，半径：12D 2＋E 2－4F2．点与圆的位置关系点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系： (1)若M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2. (2)若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. (3)若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2.[小题能否全取]1．(教材习题改编)方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆的充要条件是( ) A.14＜m ＜1 B ．m ＜14或m ＞1C ．m ＜14D ．m ＞1解析：选B 由(4m )2＋4－4×5m ＞0得m ＜14或m ＞1.2．(教材习题改编)点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4内，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(1，＋∞)解析：选A ∵点(1,1)在圆的内部， ∴(1－a )2＋(1＋a )2＜4， ∴－1＜a ＜1.3．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( ) A ．x 2＋(y －2)2＝1B ．x 2＋(y ＋2)2＝1C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝1解析：选A 设圆心坐标为(0，b )，则由题意知(0－1)2＋(b －2)2＝1，解得b ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.4．(2012·潍坊调研)圆x 2－2x ＋y 2－3＝0的圆心到直线x ＋3y －3＝0的距离为________．解析：圆心(1,0)，d ＝|1－3|1＋3＝1.答案：15．(教材习题改编)圆心在原点且与直线x ＋y －2＝0相切的圆的方程为 ____________________．解析：设圆的方程为x 2＋y 2＝a 2(a ＞0) ∴|2|1＋1＝a ，∴a ＝2，∴x 2＋y 2＝2. 答案：x 2＋y 2＝21.方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是： (1)B ＝0；(2)A ＝C ≠0；(3)D 2＋E 2－4AF ＞0.2．求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算． (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上． (2)圆心在任一弦的中垂线上．(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．圆的方程的求法典题导入[例1] (1)(2012·顺义模拟)已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段弧长之比为1∶2，则圆C 的方程为( )A.⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝43B.⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝13C ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43D ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝13(2)已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程为________________． [自主解答] (1)由已知知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为2π3，设圆心(0，b )，半径为r ，则r sin π3＝1，r cos π3＝|b |，解得r ＝23，|b |＝33，即b ＝±33.故圆的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43.(2)圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧26＋5D ＋F ＝0，10＋D ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，F ＝－6.圆C 的方程为x 2＋y 2－4x －6＝0. [答案] (1)C (2)x 2＋y 2－4x －6＝0由题悟法1．利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于a ，b ，r 或D ，E ，F 的方程组． 2．利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程，体现了数形结合思想的运用．以题试法1．(2012·浙江五校联考)过圆x 2＋y 2＝4外一点P (4,2)作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则△ABP 的外接圆的方程是( )A ．(x －4)2＋(y －2)2＝1B ．x 2＋(y －2)2＝4C ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5D ．(x －2)2＋(y －1)2＝5解析：选D 易知圆心为坐标原点O ，根据圆的切线的性质可知OA ⊥P A ，OB ⊥PB ，因此P ，A ，O ，B 四点共圆，△P AB 的外接圆就是以线段OP 为直径的圆，这个圆的方程是(x －2)2＋(y －1)2＝5.与圆有关的最值问题典题导入[例2] (1)(2012·湖北高考)过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )A ．x ＋y －2＝0B ．y －1＝0C ．x －y ＝0D ．x ＋3y －4＝0(2)P (x ，y )在圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1上移动，则x 2＋y 2的最小值为________． [自主解答] (1)当圆心与P 的连线和过点P 的直线垂直时，符合条件．圆心O 与P 点连线的斜率k ＝1，∴直线OP 垂直于x ＋y －2＝0.(2)由C (1,1)得|OC |＝2，则|OP |min ＝2－1，即(x 2＋y 2)min ＝2－1.所以x 2＋y 2的最小值为(2－1)2＝3－2 2.[答案] (1)A (2)3－2 2由题悟法解决与圆有关的最值问题的常用方法 (1)形如u ＝y －bx －a的最值问题，可转化为定点(a ，b )与圆上的动点(x ，y )的斜率的最值问题(如A 级T 9)；9．(2012·南京模拟)已知x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则y －2x －1的最小值为________．解析：y －2x －1表示圆上的点P (x ，y )与点Q (1,2)连线的斜率，所以y －2x －1的最小值是直线PQ与圆相切时的斜率．设直线PQ 的方程为y －2＝k (x －1)即kx －y ＋2－k ＝0.由|2－k |k 2＋1＝1得k ＝34，结合图形可知，y －2x －1≥34，故最小值为34. 答案：34(2)形如t ＝ax ＋by 的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题(如以题试法2(2))； (3)形如(x －a )2＋(y －b )2的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题(如例(2))．以题试法2．(1)(2012·东北三校联考)与曲线C ：x 2＋y 2＋2x ＋2y ＝0相内切，同时又与直线l ：y ＝2－x 相切的半径最小的圆的半径是________．(2)已知实数x ，y 满足(x －2)2＋(y ＋1)2＝1则2x －y 的最大值为________，最小值为________．解析：(1)依题意，曲线C 表示的是以点C (－1，－1)为圆心，2为半径的圆，圆心C (－1，－1)到直线y ＝2－x 即x ＋y －2＝0的距离等于|－1－1－2|2＝22，易知所求圆的半径等于22＋22＝322.(2)令b ＝2x －y ，则b 为直线2x －y ＝b 在y 轴上的截距的相反数，当直线2x －y ＝b 与圆相切时，b 取得最值．由|2×2＋1－b |5＝1.解得b ＝5±5，所以2x －y 的最大值为5＋5，最小值为5－ 5.答案：(1)322 (2)5＋5 5－5与圆有关的轨迹问题典题导入[例3] (2012·正定模拟)如图，已知点A (－1,0)与点B (1,0)，C 是圆x 2＋y 2＝1上的动点，连接BC 并延长至D ，使得|CD |＝|BC |，求AC 与OD 的交点P 的轨迹方程．[自主解答] 设动点P (x ，y )，由题意可知P 是△ABD 的重心．由A (－1,0)，B (1,0)，令动点C (x 0，y 0)，则D (2x 0－1,2y 0)，由重心坐标公式得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋1＋2x 0－13，y ＝2y 03，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x ＋12，y 0＝3y 2(y 0≠0)，代入x 2＋y 2＝1，整理得⎝⎛⎭⎫x ＋132＋y 2＝49(y ≠0)，故所求轨迹方程为⎝⎛⎭⎫x ＋132＋y 2＝49(y ≠0)．由题悟法求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据直线、圆、圆锥曲线等定义列方程． (3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程．(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．以题试法3．(2012·郑州模拟)动点P 到点A (8,0)的距离是到点B (2,0)的距离的2倍，则动点P 的轨迹方程为( )A ．x 2＋y 2＝32B ．x 2＋y 2＝16C ．(x －1)2＋y 2＝16D ．x 2＋(y －1)2＝16解析：选B 设P (x ，y )，则由题意可得2(x －2)2＋y 2＝(x －8)2＋y 2，化简整理得x 2＋y 2＝16.与圆有关的交汇问题是近几年高考命题的热点，这类问题，要特别注意圆的定义及其性质的运用．同时，要根据条件，合理选择代数方法或几何方法，凡是涉及参数的问题，一定要注意参数的变化对问题的影响，以便确定是否分类讨论．同时要有丰富的相关知识储备，解题时只有做到平心静气地认真研究，不断寻求解决问题的方法和技巧，才能真正把握好问题．[典例] (2011·江苏高考)设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪m2≤(x －2)2＋y 2≤m 2，x ，y ∈R ，B ＝{(x ，y )|2m ≤x ＋y ≤2m ＋1，x ，y ∈R }．若A ∩B ≠∅，则实数m 的取值范围是________．[解析] 由题意知A ≠∅，则m 2≤m 2，即m ≤0或m ≥12.因为A ∩B ≠∅，则有：(1)当2m ＋1<2，即m <12时，圆心(2,0)到直线x ＋y ＝2m ＋1的距离为d 1＝|2－2m －1|2≤|m |，化简得2m 2－4m ＋1≤0，解得1－22≤m ≤1＋22，所以1－22≤m ≤12； (2)当2m ≤2≤2m ＋1，即12≤m ≤1时，A ∩B ≠∅恒成立；(3)当2m >2，即m >1时，圆心(2,0)到直线x ＋y ＝2m 的距离为d 2＝|2－2m |2≤|m |，化简得m 2－4m ＋2≤0，解得2－2≤m ≤2＋2，所以1<m ≤2＋ 2.综上可知：满足题意的m 的取值范围为⎣⎡⎦⎤12，2＋2. [答案] ⎣⎡⎦⎤12，2＋2 [题后悟道] 该题是圆与集合，不等式交汇问题，解决本题的关键点有： ①弄清集合代表的几何意义；②结合直线与圆的位置关系求得m 的取值范围．针对训练若直线l ：ax ＋by ＋4＝0(a >0，b >0)始终平分圆C ：x 2＋y 2＋8x ＋2y ＋1＝0，则ab 的最大值为( )A ．4B ．2C ．1D.14解析：选C 圆C 的圆心坐标为(－4，－1)，则有－4a －b ＋4＝0，即4a ＋b ＝4. 所以ab ＝14(4a ·b )≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋b 22＝14×⎝⎛⎭⎫422＝1.当且仅当a ＝12，b ＝2取得等号．1．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于原点P (0,0)对称的圆的方程为( ) A ．(x －2)2＋y 2＝5 B ．x 2＋(y －2)2＝5 C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝5D ．x 2＋(y ＋2)2＝5解析：选A 圆上任一点(x ，y )关于原点对称点为(－x ，－y )在圆(x ＋2)2＋y 2＝5上，即(－x ＋2)2＋(－y )2＝5.即(x －2)2＋y 2＝5.2．(2012·辽宁高考)将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( )A ．x ＋y －1＝0B ．x ＋y ＋3＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x －y ＋3＝0解析：选C 要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，圆心坐标为(1,2)．A ，B ，C ，D 四个选项中，只有C 选项中的直线经过圆心．3．(2012·青岛二中期末)若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －3)2＋⎝⎛⎭⎫y －732＝1 B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D.⎝⎛⎭⎫x －322＋(y －1)2＝1 解析：选B 依题意设圆心C (a,1)(a ＞0)，由圆C 与直线4x －3y ＝0相切，得|4a －3|5＝1，解得a ＝2，则圆C 的标准方程是(x －2)2＋(y －1)2＝1.4．(2012·海淀检测)点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1解析：选A设圆上任一点为Q (x 0，y 0)，PQ 的中点为M (x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝4＋x 02，y ＝－2＋y2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2.因为点Q 在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，即(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.5．(2013·杭州模拟)若圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋5a ＝0，关于直线y ＝x ＋2b 成轴对称图形，则a －b 的取值范围是( )A ．(－∞，4)B ．(－∞，0)C ．(－4，＋∞)D ．(4，＋∞)解析：选A 将圆的方程变形为(x －1)2＋(y ＋3)2＝10－5a ，可知，圆心为(1，－3)，且10－5a ＞0，即a ＜2.∵圆关于直线y ＝x ＋2b 对称，∴圆心在直线y ＝x ＋2b 上，即－3＝1＋2b ，解得b ＝－2，∴a －b ＜4.6．已知点M 是直线3x ＋4y －2＝0上的动点，点N 为圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1上的动点，则|MN |的最小值是( )A.95B ．1C.45D.135解析：选C 圆心(－1，－1)到点M 的距离的最小值为点(－1，－1)到直线的距离d ＝|－3－4－2|5＝95，故点N 到点M 的距离的最小值为d －1＝45. 7．如果三角形三个顶点分别是O (0,0)，A (0,15)，B (－8,0)，则它的内切圆方程为________________．解析：因为△AOB 是直角三角形，所以内切圆半径为r ＝|OA |＋|OB |－|AB |2＝15＋8－172＝3，圆心坐标为(－3,3)，故内切圆方程为(x ＋3)2＋(y －3)2＝9.答案：(x ＋3)2＋(y －3)2＝98．(2013·河南三市调研)已知圆C 的圆心与抛物线y 2＝4x 的焦点关于直线y ＝x 对称，直线4x －3y －2＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝6，则圆C 的方程为__________．解析：设所求圆的半径是R ，依题意得，抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是(1,0)，则圆C 的圆心坐标是(0,1)，圆心到直线4x －3y －2＝0的距离d ＝|4×0－3×1－2|42＋(－3)2＝1，则R 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫|AB |22＝10，因此圆C 的方程是x 2＋(y －1)2＝10.答案：x 2＋(y －1)2＝109．(2012·南京模拟)已知x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则y －2x －1的最小值为________．解析：y －2x －1表示圆上的点P (x ，y )与点Q (1,2)连线的斜率，所以y －2x －1的最小值是直线PQ与圆相切时的斜率．设直线PQ 的方程为y －2＝k (x －1)即kx －y ＋2－k ＝0.由|2－k |k 2＋1＝1得k ＝34，结合图形可知，y －2x －1≥34，故最小值为34. 答案：3410．过点C (3,4)且与x 轴，y 轴都相切的两个圆的半径分别为r 1，r 2，求r 1r 2. 解：由题意知，这两个圆的圆心都在第一象限，且在直线y ＝x 上，故可设两圆方程为 (x －a )2＋(y －a )2＝a 2，(x －b )2＋(y －b )2＝b 2，且r 1＝a ，r 2＝b .由于两圆都过点C ，则(3－a )2＋(4－a )2＝a 2，(3－b )2＋(4－b )2＝b 2 即a 2－14a ＋25＝0，b 2－14b ＋25＝0. 则a 、b 是方程x 2－14x ＋25＝0的两个根．故r 1r 2＝ab ＝25.11．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410.(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．解：(1)直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1,2)．则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0.(2)设圆心P (a ，b )，则由P 在CD 上得a ＋b －3＝0.① 又∵直径|CD |＝410，∴|P A |＝210， ∴(a ＋1)2＋b 2＝40.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.∴圆心P (－3,6)或P (5，－2)． ∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40 或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.12．(2012·吉林摸底)已知关于x ，y 的方程C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0. (1)当m 为何值时，方程C 表示圆；(2)在(1)的条件下，若圆C 与直线l ：x ＋2y －4＝0相交于M 、N 两点，且|MN |＝455，求m 的值．解：(1)方程C 可化为(x －1)2＋(y －2)2＝5－m ，显然只要5－m ＞0，即m ＜5时方程C 表示圆．(2)因为圆C 的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5－m ，其中m ＜5，所以圆心C (1,2)，半径r ＝5－m ，则圆心C (1,2)到直线l ：x ＋2y －4＝0的距离为d ＝|1＋2×2－4|12＋22＝15，因为|MN |＝455，所以12|MN |＝255，所以5－m ＝⎝⎛⎭⎫152＋⎝⎛⎭⎫2552，解得m ＝4.1．(2012·常州模拟)以双曲线x 26－y 23＝1的右焦点为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是( )A ．(x －3)2＋y 2＝1B ．(x －3)2＋y 2＝3C ．(x －3)2＋y 2＝3D ．(x －3)2＋y 2＝9解析：选B 双曲线的渐近线方程为x ±2y ＝0，其右焦点为(3,0)，所求圆半径r ＝|3|12＋(±2)2＝3，所求圆方程为(x －3)2＋y 2＝3.2．由直线y ＝x ＋2上的点P 向圆C ：(x －4)2＋(y ＋2)2＝1引切线PT (T 为切点)，当|PT |最小时，点P 的坐标是( )A ．(－1,1)B ．(0,2)C ．(－2,0)D ．(1,3)解析：选B 根据切线长、圆的半径和圆心到点P 的距离的关系，可知|PT |＝|PC |2－1，故|PT |最小时，即|PC |最小，此时PC 垂直于直线y ＝x ＋2，则直线PC 的方程为y ＋2＝－(x－4)，即y ＝－x ＋2，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，y ＝－x ＋2，解得点P 的坐标为(0,2)．3．已知圆M 过两点C (1，－1)，D (－1,1)，且圆心M 在x ＋y －2＝0上． (1)求圆M 的方程；(2)设P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A 、PB 是圆M 的两条切线，A ，B 为切点，求四边形P AMB 面积的最小值．解：(1)设圆M 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )2＋(－1－b )2＝r 2，(－1－a )2＋(1－b )2＝r 2，a ＋b －2＝0.解得a ＝b ＝1，r ＝2，故所求圆M 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4. (2)因为四边形P AMB 的面积S ＝S △P AM ＋S △PBM ＝12|AM |·|P A |＋12|BM |·|PB |，又|AM |＝|BM |＝2，|P A |＝|PB |，所以S ＝2|P A |，而|P A |＝|PM |2－|AM |2＝|PM |2－4，即S ＝2|PM |2－4.因此要求S 的最小值，只需求|PM |的最小值即可，即在直线3x ＋4y ＋8＝0上找一点P ，使得|PM |的值最小，所以|PM |min ＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，所以四边形P AMB 面积的最小值为S ＝2|PM |2min －4＝232－4＝2 5.1．在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．5 2B ．10 2C ．15 2D ．20 2解析：选B 由题意可知，圆的圆心坐标是(1,3)，半径是10，且点E (0,1)位于该圆内，故过点E (0,1)的最短弦长|BD |＝210－(12＋22)＝25(注：过圆内一定点的最短弦是以该点为中点的弦)，过点E (0,1)的最长弦长等于该圆的直径，即|AC |＝210，且AC ⊥BD ，因此四边形ABCD 的面积等于12|AC |×|BD |＝12×210×25＝10 2.2．已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值是________．解析：l AB ：x －y ＋2＝0，圆心(1,0)到l 的距离d ＝32，则AB 边上的高的最小值为32－1. 故△ABC 面积的最小值是12×22×⎝⎛⎭⎫32－1＝3－ 2.答案：3－ 23．(2012·抚顺调研)已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1，1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点．(1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．解：(1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y )．因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －2)2＋(2y )2＝4. 故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)设PQ 的中点为N (x ，y )，在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |，设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2，所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.第四节直线与圆、圆与圆的位置关系[知识能否忆起]一、直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r )相离相切相交图形量化方程观点 Δ＜0 Δ＝0 Δ＞0 几何观点d ＞rd ＝rd ＜r二、圆与圆的位置关系(⊙O 1、⊙O 2半径r 1、r 2，d ＝|O 1O 2|) 相离外切相交内切内含图形量化 d ＞r 1＋r 2d ＝r 1＋r 2|r 1－r 2|＜d ＜r 1＋r 2d ＝|r 1－r 2|d ＜|r 1－r 2|[小题能否全取]1．(教材习题改编)圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝6与直线2x ＋y －5＝0的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交但直线不过圆心 C ．相交过圆心D ．相离解析：选B 由题意知圆心(1，－2)到直线2x ＋y －5＝0的距离d ＝5，0＜d ＜6，故该直线与圆相交但不过圆心．2．(2012·银川质检)由直线y ＝x ＋1上的一点向圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0引切线，则切线长的最小值为( )A.7B ．2 2C ．3D. 2解析：选A 由题意知，圆心到直线上的点的距离最小时，切线长最小．圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0可化为(x －3)2＋y 2＝1，则圆心(3,0)到直线y ＝x ＋1的距离为42＝22，切线长的最小值为(22)2－1＝7.3．直线x －y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝r 2相交于A ，B 两点，且AB 的长为2，则圆的半径为( )A.322B.62C ．1D ．2解析：选B 圆心(0,0)到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝12.则r 2＝⎝⎛⎭⎫12|AB |2＋d 2＝32，r ＝62. 4．(教材习题改编)若圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx ＋2没有公共点，则实数k 的取值范围是________．解析：由题意知21＋k 2＞1，解得－3＜k ＜ 3.答案：(－3， 3)5．已知两圆C 1：x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，则两圆公共弦所在的直线方程是____________．解析：两圆相减即得x－2y＋4＝0.答案：x－2y＋4＝01.求圆的弦长问题，注意应用圆的几何性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可用勾股定理或斜率之积为－1列方程来简化运算．2．对于圆的切线问题，要注意切线斜率不存在的情况．直线与圆的位置关系的判断典题导入[例1](2012·陕西高考)已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则() A．l与C相交B．l与C相切C．l与C相离D．以上三个选项均有可能[自主解答]将点P(3,0)的坐标代入圆的方程，得32＋02－4×3＝9－12＝－3<0，所以点P(3,0)在圆内．故过点P的直线l定与圆C相交．[答案] A本例中若直线l为“x－y＋4＝0”问题不变．解：∵圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，∴圆心(2,0)，r＝2.＝32＞2.又圆心到直线的距离为d＝62∴l与C相离．由题悟法判断直线与圆的位置关系常见的方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系．(2)代数法：联立直线与圆的方程消元后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内可判断直线与圆相交．以题试法1．(2012·哈师大附中月考)已知直线l 过点(－2,0)，当直线l 与圆x 2＋y 2＝2x 有两个交点时，其斜率k 的取值范围是( )A ．(－22，22)B ．(－2，2) C.⎝⎛⎭⎫－24，24D.⎝⎛⎭⎫－18，18 解析：选C 易知圆心坐标是(1,0)，圆的半径是1，直线l 的方程是y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0，根据点到直线的距离公式得|k ＋2k |k 2＋1＜1，即k 2＜18，解得－24＜k ＜24.直线与圆的位置关系的综合典题导入[例2] (1)(2012·广东高考)在平面直角坐标系xOy 中，直线3x ＋4y －5＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，则弦AB 的长等于( )A ．33B ．2 3 C. 3D ．1(2)(2012·天津高考)设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是( )A ．[1－3，1＋ 3 ]B ．(－∞，1－ 3 ]∪[1＋3，＋∞)C ．[2－22，2＋2 2 ]D ．(－∞，2－2 2 ]∪[2＋22，＋∞)[自主解答] (1)圆x 2＋y 2＝4的圆心(0,0)，半径为2，则圆心到直线3x ＋4y －5＝0的距离d ＝532＋42＝1.故|AB |＝2r 2－d 2＝24－1＝2 3.(2)圆心(1,1)到直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0的距离为|m ＋n |(m ＋1)2＋(n ＋1)2＝1，所以m ＋n＋1＝mn ≤14(m ＋n )2，整理得[(m ＋n )－2]2－8≥0，解得m ＋n ≥2＋22或m ＋n ≤2－2 2.[答案] (1)B (2)D由题悟法1．圆的弦长的常用求法：(1)几何法：设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则⎝⎛⎭⎫l 22＝r 2－d 2. (2)代数方法：运用韦达定理及弦长公式： |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]. [注意] 常用几何法研究圆的弦的有关问题．2．求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点与圆的位置关系，若点在圆内，无解；若点在圆上，有一解；若点在圆外，有两解．以题试法2．(2012·杭州模拟)直线y ＝kx ＋3与圆(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－34，0B.⎣⎡⎦⎤－33，33 C ．[－3， 3]D.⎣⎡⎦⎤－23，0 解析：选B 如图，设圆心C (2,3)到直线y ＝kx ＋3的距离为d ，若|MN |≥23，则d 2＝r 2－⎝⎛⎭⎫12|MN |2≤4－3＝1，即|2k |21＋k 2≤1，解得－33≤k ≤ 33.圆与圆的位置关系典题导入[例3] (1)(2012·山东高考)圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离(2)设两圆C 1、C 2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C 1C 2|＝________. [自主解答] (1)两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d ＝42＋1＝17.∵3－2＜d ＜3＋2，∴两圆相交．(2)由题意可设两圆的方程为(x －r i )2＋(y －r i )2＝r 2i ，r i ＞0，i ＝1,2.由两圆都过点(4,1)得(4－r i )2＋(1－r i )2＝r 2i ，整理得r 2i －10r i ＋17＝0，此方程的两根即为两圆的半径r 1，r 2，所以r 1r 2＝17，r 1＋r 2＝10，则|C 1C 2|＝(r 1－r 2)2＋(r 1－r 2)2＝2×(r 1＋r 2)2－4r 1r 2＝2×100－68＝8. [答案] (1)B (2)8由题悟法两圆位置关系的判断常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到．以题试法3．(2012·青岛二中月考)若⊙O ：x 2＋y 2＝5与⊙O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A 、B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长是________．解析：依题意得|OO 1|＝5＋20＝5，且△OO 1A 是直角三角形，S △O O 1A ＝12·|AB |2·|OO 1|＝12·|OA |·|AO 1|，因此|AB |＝2·|OA |·|AO 1||OO 1|＝2×5×255＝4. 答案：4[典例](2012·东城模拟)直线l过点(－4,0)且与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝25交于A，B两点，如果|AB|＝8，那么直线l的方程为()A．5x＋12y＋20＝0B．5x－12y＋20＝0或x＋4＝0C．5x－12y＋20＝0D．5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0[尝试解题]过点(－4,0)的直线若垂直于x轴，经验证符合条件，即方程为x＋4＝0满足题意；若存在斜率，设其直线方程为y＝k(x＋4)，由被圆截得的弦长为8，可得圆心(－1，2)到直线y＝k(x＋4)的距离为3，即|3k－2|1＋k2＝3，解得k＝－512，此时直线方程为5x＋12y＋20＝0，综上直线方程为5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0.[答案] D——————[易错提醒]—————————————————————————1.解答本题易误认为斜率k一定存在从而错选A.2.对于过定点的动直线设方程时，可结合题意或作出符合题意的图形分析斜率k是否存在，以避免漏解.——————————————————————————————————————针对训练1．过点A(2,4)向圆x2＋y2＝4所引切线的方程为__________________．解析：显然x＝2为所求切线之一．当切线斜率存在时，设切线方程为y－4＝k(x－2)，即kx －y ＋4－2k ＝0，那么|4－2k |k 2＋1＝2，k ＝34，即3x －4y ＋10＝0.答案：x ＝2或3x －4y ＋10＝02．已知直线l 过(2,1)，(m,3)两点，则直线l 的方程为________________．解析：当m ＝2时，直线l 的方程为x ＝2；当m ≠2时，直线l 的方程为y －13－1＝x －2m －2，即2x －(m －2)y ＋m －6＝0.因为m ＝2时，方程2x －(m －2)y ＋m －6＝0，即为x ＝2，所以直线l 的方程为2x －(m －2)y ＋m －6＝0. 答案：2x －(m －2)y ＋m －6＝0一、选择题1．(2012·人大附中月考)设m ＞0，则直线2(x ＋y )＋1＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝m 的位置关系为( )A ．相切B ．相交C ．相切或相离D ．相交或相切解析：选C 圆心到直线l 的距离为d ＝1＋m 2，圆半径为m .因为d －r ＝1＋m 2－m ＝12(m －2m ＋1)＝12(m －1)2≥0，所以直线与圆的位置关系是相切或相离．2．(2012·福建高考)直线x ＋3y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长度等于( )A ．2 5B ．2 3 C. 3D ．1解析：选B 因为圆心(0,0)到直线x ＋3y －2＝0的距离为1，所以AB ＝24－1＝2 3.3．(2012·安徽高考)若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析：选C 欲使直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，只需使圆心到直线的距离小于等于圆的半径2即可，即|a －0＋1|12＋(－1)2≤2，化简得|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1.4．过圆x 2＋y 2＝1上一点作圆的切线与x 轴，y 轴的正半轴交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为( )A. 2B. 3 C ．2 D ．3解析：选C 设圆上的点为(x 0，y 0)，其中x 0>0，y 0>0，则切线方程为x 0x ＋y 0y ＝1.分别令x ＝0，y ＝0得A ⎝⎛⎭⎫1x 0，0，B ⎝⎛⎭⎫0，1y 0，则|AB |＝ ⎝⎛⎭⎫1x 02＋⎝⎛⎭⎫1y 02＝1x 0y 0≥1x 20＋y 202＝2.当且仅当x 0＝y 0时，等号成立．5．(2013·兰州模拟)若圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)上仅有4个点到直线x －y －2＝0的距离为1，则实数r 的取值范围为( )A ．(2＋1，＋∞)B ．(2－1, 2＋1)C ．(0, 2－1)D ．(0, 2＋1)解析：选A 计算得圆心到直线l 的距离为22＝ 2＞1，如图．直线l ：x －y －2＝0与圆相交，l 1，l 2与l 平行，且与直线l 的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l 2的距离 2＋1.6．(2013·临沂模拟)已知点P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k ＞0)上一动点，P A ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 是切点，若四边形P ACB 的最小面积是2，则k 的值为( )A. 2B.212 C ．2 2 D ．2解析：选D 圆心C (0,1)到l 的距离d ＝5k 2＋1，所以四边形面积的最小值为2×⎝⎛⎭⎫12×1×d 2－1＝2，解得k 2＝4，即k ＝±2.又k ＞0，即k ＝2.7．(2012·朝阳高三期末)设直线x －my －1＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为23，则实数m 的值是________．解析：由题意得，圆心(1,2)到直线x －my －1＝0的距离d ＝4－3＝1，即|1－2m －1|1＋m 2＝1，解得m ＝±33. 答案：±338．(2012·东北三校联考)若a ，b ，c 是直角三角形ABC 三边的长(c 为斜边)，则圆C ：x 2＋y 2＝4被直线l ：ax ＋by ＋c ＝0所截得的弦长为________．解析：由题意可知圆C ：x 2＋y 2＝4被直线l ：ax ＋by ＋c ＝0所截得的弦长为2 4－⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋b 22，由于a 2＋b 2＝c 2，所以所求弦长为2 3. 答案：2 39．(2012·江西高考)过直线x ＋y －22＝0上点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是________．解析：∵点P 在直线x ＋y －22＝0上，∴可设点P (x 0，－x 0＋22)，且其中一个切点为M .∵两条切线的夹角为60°，∴∠OPM ＝30°.故在Rt △OPM 中，有OP ＝2OM ＝2.由两点间的距离公式得OP ＝ x 20＋(－x 0＋22)2＝2，解得x 0＝ 2.故点P 的坐标是( 2， 2)．答案：( 2， 2)10．(2012·福州调研)已知⊙M ：x 2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切⊙M 于A ，B 两点．(1)若|AB |＝423，求|MQ |及直线MQ 的方程； (2)求证：直线AB 恒过定点．解：(1)设直线MQ 交AB 于点P ，则|AP |＝223，又|AM |＝1，AP ⊥MQ ，AM ⊥AQ ，得|MP |＝ 12－89＝13，又∵|MQ |＝|MA |2|MP |，∴|MQ |＝3. 设Q (x,0)，而点M (0,2)，由x 2＋22＝3，得x ＝±5，则Q 点的坐标为(5，0)或(－5，0)．从而直线MQ 的方程为2x ＋5y －25＝0或2x －5y ＋25＝0.(2)证明：设点Q (q,0)，由几何性质，可知A ，B 两点在以QM 为直径的圆上，此圆的方程为x (x －q )＋y (y －2)＝0，而线段AB 是此圆与已知圆的公共弦，相减可得AB 的方程为qx－2y ＋3＝0，所以直线AB 恒过定点⎝⎛⎭⎫0，32. 11．已知以点C ⎝⎛⎭⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O 、A ，与y 轴交于点O 、B ，其中O 为原点．(1)求证：△AOB 的面积为定值；(2)设直线2x ＋y －4＝0与圆C 交于点M 、N ，若|OM |＝|ON |，求圆C 的方程．解：(1)证明：由题设知，圆C 的方程为(x －t )2＋⎝⎛⎭⎫y －2t 2＝t 2＋4t 2，化简得x 2－2tx ＋y 2－4ty ＝0，当y ＝0时，x ＝0或2t ，则A (2t,0)；当x ＝0时，y ＝0或4t，则B ⎝⎛⎭⎫0，4t ，所以S △AOB ＝12|OA |·|OB | ＝12|2t |·⎪⎪⎪⎪4t ＝4为定值． (2)∵|OM |＝|ON |，则原点O 在MN 的中垂线上，设MN 的中点为H ，则CH ⊥MN ， ∴C 、H 、O 三点共线，则直线OC 的斜率k ＝2t t ＝2t 2＝12，∴t ＝2或t ＝－2. ∴圆心为C (2,1)或C (－2，－1)，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5或(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5，由于当圆方程为(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5时，直线2x ＋y －4＝0到圆心的距离d ＞r ，此时不满足直线与圆相交，故舍去，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2－12x ＋32＝0的圆心为Q ，过点P (0,2)，且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A 、B .(1)求k 的取值范围；(2)是否存在常数k ，使得向量OA ＋OB 与PQ 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．解：(1)圆的方程可写成(x －6)2＋y 2＝4，所以圆心为Q (6,0)．过P (0,2)且斜率为k 的直线方程为y ＝kx ＋2，代入圆的方程得x 2＋(kx ＋2)2－12x ＋32＝0，整理得(1＋k 2)x 2＋4(k －3)x ＋36＝0.①直线与圆交于两个不同的点A 、B 等价于Δ＝[4(k －3)]2－4×36(1＋k 2)＝42(－8k 2－6k )>0，解得－34<k <0，即k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－34，0. (2)设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)则OA ＋OB ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，由方程①得x 1＋x 2＝－4(k －3)1＋k 2.② 又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋4.③ 因P (0,2)、Q (6,0)，PQ ＝(6，－2)，所以OA ＋OB 与PQ 共线等价于－2(x 1＋x 2)＝6(y 1＋y 2)，将②③代入上式，解得k ＝－34. 而由(1)知k ∈⎝⎛⎭⎫－34，0，故没有符合题意的常数k .1．已知两圆x 2＋y 2－10x －10y ＝0，x 2＋y 2＋6x －2y －40＝0，则它们的公共弦所在直线的方程为________________；公共弦长为________．解析：由两圆的方程x 2＋y 2－10x －10y ＝0，x 2＋y 2＋6x －2y －40＝0，相减并整理得公共弦所在直线的方程为2x ＋y －5＝0.圆心(5,5)到直线2x ＋y －5＝0的距离为105＝25，弦长的一半为50－20＝30，得公共弦长为230. 答案：2x ＋y －5＝0 2302．(2012·上海模拟)已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0，a 1，a 2，…，a 11是该圆过点(3,5)的11条弦的长，若数列a 1，a 2，…，a 11成等差数列，则该等差数列公差的最大值是________．解析：容易判断，点(3,5)在圆内部，过圆内一点最长的弦是直径，过该点与直径垂直的弦最短，因此，过(3,5)的弦中，最长为10，最短为46，故公差最大为10－4610＝5－265. 答案：5－2653.(2012·江西六校联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的准线为l ，焦点为F ，圆M 的圆心在x 轴的正半轴上，圆M 与y 轴相切，过原点O 作倾斜角为π3的直线n ，交直线l 于点A ，交圆M 于不同的两点O 、B ，且|AO |＝|BO |＝2.(1)求圆M 和抛物线C 的方程；(2)若P 为抛物线C 上的动点，求PM ,·PF ,的最小值；(3)过直线l 上的动点Q 向圆M 作切线，切点分别为S 、T ，求证：直线ST 恒过一个定点，并求该定点的坐标．解：(1)易得B (1，3)，A (－1，－3)，设圆M 的方程为(x －a )2＋y 2＝a 2(a ＞0)，将点B (1，3)代入圆M 的方程得a ＝2，所以圆M 的方程为(x －2)2＋y 2＝4，因为点A (－1，－3)在准线l 上，所以p 2＝1，p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x . (2)由(1)得，M (2,0)，F (1,0)，设点P (x ，y )，则PM ,＝(2－x ，－y )，PF ,＝(1－x ，－y )，又点P 在抛物线y 2＝4x 上，所以PM ,·PF ,＝(2－x )(1－x )＋y 2＝x 2－3x ＋2＋4x ＝x 2＋x ＋2，因为x ≥0，所以PM ,·PF ,≥2，即PM ,·PF ,的最小值为2.(3)证明：设点Q (－1，m )，则|QS |＝|QT |＝m 2＋5，以Q 为圆心，m 2＋5为半径的圆的方程为(x ＋1)2＋(y －m )2＝m 2＋5，即x 2＋y 2＋2x －2my －4＝0，①又圆M 的方程为(x －2)2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0，②由①②两式相减即得直线ST 的方程3x －my －2＝0，显然直线ST 恒过定点⎝⎛⎭⎫23，0.1．两个圆：C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0与C 2：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的公切线有且仅有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析：选B 由题知C 1：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4，则圆心C 1(－1，－1)，C 2：(x －2)2＋(y。

1.教师版：圆的方程

圆的方程专项复习（教师版）一、知识点归纳： 1.圆的标准方程平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆。

定点是圆心，定长是半径。

如果圆心坐标为(a ,b )，半径等于r ,根据两点间距离公式可得圆的标准方程(x -a )2+(y -b )2=r 2。

如果圆心恰好为原点时，方程为x 2+y 2=r 2。

圆心在原点（0，0），半径为1的圆称为单位圆，其方程为x 2＋y 2=1,由圆心坐标(a ,b )及半径r 的值，可以直接写出圆的标准方程。

由圆的标准方程也可直接读出圆心坐标和半径r 的大小。

2.圆的一般式方程任何一个圆的方程都可以写成下面形式：x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，但方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0不一定表示圆方程。

一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0，配方22224()()224D E D E Fx y +-+++=（1）当D 2+E 2-4F ＞0时，方程表示圆，称为圆的一般式方程，其圆心(,)22D E --.（2）当D 2+E 2-4F =0时，方程仅表示一个点；（3）当D 2+E 2-4F ＜0时，方程没有实数解，方程不表示任何图形。

3.参数方程的概念在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ,y 都是某个变数t 的函数，即(),()x f t y g t =⎧⎨=⎩且对于t 的每一个允许值，由方程组所确定的点M (x ,y )都在这条曲线上，则此方程组就叫这条曲线的参数方程，联系x ,y 之间关系的变数叫做参数。

相对于参数方程而言，直接给出曲线上点的坐标关系的方程叫做曲线的普通方程。

4.圆的参数方程：若圆心坐标为C (a ,b )，半径为r ，则cos ,sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩称为圆的参数方程。

其中θ是以x 轴正方向为始边方向，CP 方向为终边方向的角。

C 是圆心，P 是圆上与θ对应的点。

特别地，以(0，0)为圆心，以r 为半径的圆的参数方程为)(sin cos 为参数θθθ⎩⎨⎧==r y r x5.点与圆的位置关系几何法——利用距离来判断：设点到圆心的距离为d ，圆的半径为r ．（1）点在圆外;r d >⇔ （2）点在圆上;r d =⇔ （3）点在圆内;r d <⇔ 代数法——利用方程来判断：设点),,(00y x P 圆的方程为(x －a)2＋(y －b)2=r 2（r>0）（1）点P 在圆外22020)()(r b y a x >-+-⇔；（2）点P 在圆上;)()(22020r b y a x =-+-⇔；（3）点P 在圆内22020)()(r b y a x <-+-⇔； 6. 求圆的切线方法(1)已知圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0．①若已知切点(x 0，y 0)在圆上，则切线只有一条，其方程是02)(2)(0000=++++++F y y E x x D y y x x 当),(00y x 在圆外时，0)2()2(000=++++++F y y E x x D y y x x 表示过两个切点的切点弦方程． ②若已知切线过圆外一点(x 0，y 0)，则设切线方程为y －y 0=k(x －x 0)，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线．③若已知切线斜率为k ，则设切线方程为y=kx ＋b ，再利用相切条件求b ，这时必有两条切线． (2)已知圆x 2＋y 2=r 2．①若已知切点P 0(x 0，y 0)在圆上，则该圆过P 0点的切线方程为x 0x ＋y 0y=r 2．②已知圆的切线的斜率为k ，圆的切线方程为12+±=k r kx y . 7.几种特殊位置的圆的方程（1）圆心在原点：222(0)x y r r +=≠ （2）圆心在x 轴上：222()(0)x a y r r -+=≠ （3）圆心在y 轴上：222()(0)x y b r r +-=≠ （4）与x 轴相切：222()()(0)x a y b b b -+-=≠ （5）与y 轴相切：222()()(0)x a y b a a -+-=≠ （6）圆心在x 轴上且过原点：222()(0)x a y a a -+=≠ （7）圆心在y 轴上且过原点：222()(0)x y b b b +-=≠（8）过原点：222222()()(0)x a y b a b a b -+-=++≠ （9）与两坐标轴都相切：222()()(||||0)x a y b a a b -+-==≠ 8.重要结论：（1）已知：一个圆的直径端点是A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)．则圆的方程是(x-x 1)(x-x 2)+(y-y 1)(y-y 2)=0．（2）过圆外一点00(,)P x y 的圆的切线方程的求解方法：设切线方程为00()y y k x x -=-，与圆的方程联立，根据=0∆即可求出k 的值；也可以根据圆心到直线的距离等于半径求出k 的值。

高中数学圆的方程典型例题

高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程例1、求经过点)5,0(A ，且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程．例2、设圆满足：(1)截y 轴所得弦长为2；(2)被x 轴分成两段弧，其弧长的比为1:3 在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02=-y x l ：的距离最小的圆的方程．类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例3 已知圆422=+y x O ：，求过点()42，P 与圆O 相切的切线．例4两圆0111221=++++F y E x D y x C ：与0222222=++++F y E x D y x C ：相交于A 、B 两点，求它们的公共弦AB 所在直线的方程．例5、过圆122=+y x 外一点)3,2(M ，作这个圆的两条切线MA 、MB ，切点分别是A 、B ，求直线AB 的方程。

类型三：弦长、弧问题例6、求直线063:=--y x l 被圆042:22=--+y x y x C 截得的弦AB 的长.例7、直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为例8、求两圆0222=-+-+y x y x 和522=+y x 的公共弦长类型四：直线与圆的位置关系例9、已知直线0323=-+y x 和圆422=+y x ，判断此直线与圆的位置关系.例10、若直线m x y +=与曲线24x y -=有且只有一个公共点，求实数m 的取值范围.例11 圆9)3()3(22=-+-y x 上到直线01143=-+y x 的距离为1的点有几个？类型五：圆与圆的位置关系例12、判断圆02662:221=--++y x y x C 与圆0424:222=++-+y x y x C 的位置关系，例13：圆0222=-+x y x 和圆0422=++y y x 的公切线共有条。

类型六：圆中的对称问题例14、圆222690x y x y +--+=关于直线250x y ++=对称的圆的方程是例15 自点()33，-A 发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，反射光线所在的直线与圆074422=+--+y x y x C ：相切（1）求光线l 和反射光线所在的直线方程．（2）光线自A 到切点所经过的路程．类型七：圆中的最值问题例16：圆0104422=---+y x y x 上的点到直线014=-+y x 的最大距离与最小距离的差是例17 (1)已知圆1)4()3(221=-+-y x O ：，),(y x P 为圆O 上的动点，求22y x d +=的最大、最小值（2)已知圆1)2(222=++y x O ：，),(y x P 为圆上任一点．求12--x y 的最大、最小值，求y x 2-的最大、最小值．例18：已知)0,2(-A ，)0,2(B ，点P 在圆4)4()3(22=-+-y x 上运动，则22PB PA +的最小值是 .类型八：轨迹问题例19、基础训练：已知点M 与两个定点)0,0(O ，)0,3(A 的距离的比为21，求点M 的轨迹方程.例20、已知线段AB 的端点B 的坐标是（4，3），端点A 在圆4)1(22=++y x 上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.例21 如图所示，已知圆422=+y x O ：与y 轴的正方向交于A 点，点B 在直线2=y 上运动，过B 做圆O 的切线，切点为C ，求ABC ∆垂心H 的轨迹．例22 已知圆的方程为222r y x =+，圆内有定点),(b a P ，圆周上有两个动点A 、B ，使PB PA ⊥，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程．高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程例1 求经过点)5,0(A ，且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程．分析：欲确定圆的方程．需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点A ，故只需确定圆心坐标．又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上．解：∵圆和直线02=-y x 与02=+y x 相切， ∴圆心C 在这两条直线的交角平分线上，又圆心到两直线02=-y x 和02=+y x 的距离相等．∴5y 2x 52y -x +=．∴两直线交角的平分线方程是03=+y x 或03=-y x ．又∵圆过点)5,0(A ，∴圆心C 只能在直线03=-y x 上．设圆心)3,(t t C∵C 到直线02=+y x 的距离等于AC ，∴22)53(532-+=+t t t t ．化简整理得0562=+-t t ．解得：1=t 或5=t∴圆心是)3,1(，半径为5或圆心是)15,5(，半径为55． ∴所求圆的方程为5)3()1(22=-+-y x 或125)15()5(22=-+-y x ．说明：本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法．例2、设圆满足：(1)截y 轴所得弦长为2；(2)被x 轴分成两段弧，其弧长的比为1:3，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02=-y x l ：的距离最小的圆的方程．分析：要求圆的方程，只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程．满足两个条件的圆有无数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线的距离公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的方程．解法一：设圆心为),(b a P ，半径为r ．则P 到x 轴、y 轴的距离分别为b 和a ．由题设知：圆截x 轴所得劣弧所对的圆心角为︒90，故圆截x 轴所得弦长为r 2． ∴222b r =又圆截y 轴所得弦长为2．∴122+=a r ．又∵),(b a P 到直线02=-y x 的距离为52b a d -=∴2225b a d -=ab b a 4422-+=)(242222b a b a +-+≥ 1222=-=a b当且仅当b a =时取“=”号，此时55min =d ．这时有⎩⎨⎧=-=1222a b b a ∴⎩⎨⎧==11b a 或⎩⎨⎧-=-=11b a 又2222==b r 故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x 解法二：同解法一，得52b a d -=．∴d b a 52±=-．∴2225544d bd b a +±=．将1222-=b a 代入上式得：01554222=++±d bd b ．上述方程有实根，故0)15(82≥-=∆d ，∴55≥d ．将55=d 代入方程得1±=b ．又1222+=a b ∴1±=a ．由12=-b a 知a 、b 同号．故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x ．说明：本题是求点到直线距离最小时的圆的方程，若变换为求面积最小呢？类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例3 已知圆422=+y x O ：，求过点()42，P 与圆O 相切的切线．解：∵点()42，P 不在圆O 上，∴切线PT 的直线方程可设为()42+-=x k y 根据r d = ∴21422=++-k k 解得 43=k 所以 ()4243+-=x y 即 01043=+-y x因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为2=x ．说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解．本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决（也要注意漏解）．还可以运用200r y y x x =+，求出切点坐标0x 、0y 的值来解决，此时没有漏解．例4 两圆0111221=++++F y E x D y x C ：与0222222=++++F y E x D y x C ：相交于A 、B 两点，求它们的公共弦AB 所在直线的方程．分析：首先求A 、B 两点的坐标，再用两点式求直线AB 的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁．为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧．解：设两圆1C 、2C 的任一交点坐标为),(00y x ，则有：0101012020=++++F y E x D y x ① 0202022020=++++F y E x D y x ②①－②得：0)()(21021021=-+-+-F F y E E x D D ．∵A 、B 的坐标满足方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ．∴方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D 是过A 、B 两点的直线方程．又过A 、B 两点的直线是唯一的． ∴两圆1C 、2C 的公共弦AB 所在直线的方程为0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ．说明：上述解法中，巧妙地避开了求A 、B 两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去求它，而是利用曲线与方程的概念达到了目标．从解题的角度上说，这是一种“设而不求”的技巧，从知识内容的角度上说，还体现了对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本质认识．它的应用很广泛．例5、过圆122=+y x 外一点)3,2(M ，作这个圆的两条切线MA 、MB ，切点分别是A 、B ，求直线AB 的方程。

高中数学圆的方程典型例题(含答案)

高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为222)(r y a x =+-．又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点．∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-22224)3(16)1(ra r a解之得：1-=a ，202=r ．所以所求圆的方程为20)1(22=++y x ．解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为13124-=--=AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ．又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(22=++==AC r ．故所求圆的方程为20)1(22=++y x ．又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为r PC d >=++==254)12(22．∴点P 在圆外．例2 求半径为4，与圆042422=---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程．分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解．解：则题意，设所求圆的方程为圆222)()(r b y a x C =-+-：．圆C 与直线0=y 相切，且半径为4，则圆心C 的坐标为)4,(1a C 或)4,(2-a C ．又已知圆042422=---+y x y x 的圆心A 的坐标为)1,2(，半径为3．若两圆相切，则734=+=CA 或134=-=CA ．(1)当)4,(1a C 时，2227)14()2(=-+-a ，或2221)14()2(=-+-a (无解)，故可得1022±=a ． ∴所求圆方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2224)4()1022(=-++-y x ．(2)当)4,(2-a C 时，2227)14()2(=--+-a ，或2221)14()2(=--+-a (无解)，故622±=a ． ∴所求圆的方程为2224)4()622(=++--y x ，或2224)4()622(=+++-y x ．说明：对本题，易发生以下误解：由题意，所求圆与直线0=y 相切且半径为4，则圆心坐标为)4,(a C ，且方程形如2224)4()(=-+-y a x ．又圆042422=---+y x y x ，即2223)1()2(=-+-y x ，其圆心为)1,2(A ，半径为3．若两圆相切，则34+=CA ．故2227)14()2(=-+-a ，解之得1022±=a ．所以欲求圆的方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2224)4()1022(=-++-y x ．上述误解只考虑了圆心在直线0=y 上方的情形，而疏漏了圆心在直线0=y 下方的情形．另外，误解中没有考虑两圆内切的情况．也是不全面的．例3 求经过点)5,0(A ，且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程．分析：欲确定圆的方程．需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点A ，故只需确定圆心坐标．又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上．解：∵圆和直线02=-y x 与02=+y x 相切， ∴圆心C 在这两条直线的交角平分线上，又圆心到两直线02=-y x 和02=+y x 的距离相等．∴5252y x y x +=-．∴两直线交角的平分线方程是03=+y x 或03=-y x ．又∵圆过点)5,0(A ，∴圆心C 只能在直线03=-y x 上．设圆心)3,(t t C∵C 到直线02=+y x 的距离等于AC ，∴22)53(532-+=+t t t t ．化简整理得0562=+-t t ．解得：1=t 或5=t∴圆心是)3,1(，半径为5或圆心是)15,5(，半径为55． ∴所求圆的方程为5)3()1(22=-+-y x 或125)15()5(22=-+-y x ．说明：本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法．例4、设圆满足：(1)截y 轴所得弦长为2；(2)被x 轴分成两段弧，其弧长的比为1:3，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02=-y x l ：的距离最小的圆的方程．分析：要求圆的方程，只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程．满足两个条件的圆有无数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线的距离公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的方程．解法一：设圆心为),(b a P ，半径为r ．则P 到x 轴、y 轴的距离分别为b 和a ．由题设知：圆截x 轴所得劣弧所对的圆心角为︒90，故圆截x 轴所得弦长为r 2． ∴222b r =又圆截y 轴所得弦长为2． ∴122+=a r ．又∵),(b a P 到直线02=-y x 的距离为52b a d -=∴2225b a d -=ab b a 4422-+= )(242222b a b a +-+≥ 1222=-=a b当且仅当b a =时取“=”号，此时55min =d ．这时有⎩⎨⎧=-=1222a b b a ∴⎩⎨⎧==11b a 或⎩⎨⎧-=-=11b a 又2222==b r故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x 解法二：同解法一，得52b a d -=．∴d b a 52±=-．∴2225544d bd b a +±=．将1222-=b a 代入上式得：01554222=++±d bd b ．上述方程有实根，故0)15(82≥-=∆d ，∴55≥d ．将55=d 代入方程得1±=b ．又1222+=a b ∴1±=a ．由12=-b a 知a 、b 同号．故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x ．说明：本题是求点到直线距离最小时的圆的方程，若变换为求面积最小呢？类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例5 已知圆422=+y x O ：，求过点()42，P 与圆O 相切的切线．解：∵点()42，P 不在圆O 上， ∴切线PT 的直线方程可设为()42+-=x k y 根据r d =∴21422=++-kk解得 43=k 所以 ()4243+-=x y即 01043=+-y x因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为2=x ．说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解．本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决（也要注意漏解）．还可以运用200r y y x x =+，求出切点坐标0x 、0y 的值来解决，此时没有漏解．例6 两圆0111221=++++F y E x D y x C ：与0222222=++++F y E x D y x C ：相交于A 、B 两点，求它们的公共弦AB 所在直线的方程．分析：首先求A 、B 两点的坐标，再用两点式求直线AB 的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁．为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧．解：设两圆1C 、2C 的任一交点坐标为),(00y x ，则有：0101012020=++++F y E x D y x ① 0202022020=++++F y E x D y x ②①－②得：0)()(21021021=-+-+-F F y E E x D D ．∵A 、B 的坐标满足方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ． ∴方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D 是过A 、B 两点的直线方程．又过A 、B 两点的直线是唯一的．∴两圆1C 、2C 的公共弦AB 所在直线的方程为0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ．说明：上述解法中，巧妙地避开了求A 、B 两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去求它，而是利用曲线与方程的概念达到了目标．从解题的角度上说，这是一种“设而不求”的技巧，从知识内容的角度上说，还体现了对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本质认识．它的应用很广泛．例7、过圆122=+y x 外一点)3,2(M ，作这个圆的两条切线MA 、MB ，切点分别是A 、B ，求直线AB 的方程。

高二数学圆与方程知识点总结与经典题型

圆与方程教学目标1.会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点，会根据已知条件求圆的标准方程.2.正确理解圆的方程的形式及特点，会在不同条件下求圆的一般方程，以及由一般式求圆心和半径.3.能准确判断点与圆的位置关系.类型一求圆的标准方程(基础)例1.求下列圆的标准方程．(1)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4)；(2)求过点A(1，－1)，B(－1，1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方程．(3)求经过点A(1，－1)，B(－1，1)面积最小的圆的标准方程.类型二点与圆的位置关系的判断(基础)例2-1.已知两点P1(4，9)和P2(6，3)．(1)求以P1P2为直径的圆C的方程；(2)试判断点M(6，9)、N(3，3)、Q(5，3)是在圆C上，在圆C内，还是在圆C外？(基础)例2-2.已知点A(1，2)不在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，求实数a的取值范围.类型三利用圆的定义与标准方程求最值(提升)例3.已知x，y∈R，且圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝4，(1)求(x＋2)2＋(y－2)2的最大值与最小值．(2)求yx－4的最大值与最小值．类型四圆的一般方程的定义(基础)例4.判断方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径．类型五求圆的一般方程(基础)例5.已知∈ABC的三个顶点为A(1，4)，B(－2，3)，C(4，－5)，求∈ABC的外接圆方程、圆心坐标和外接圆半径.类型六求动点的轨迹方程(提升)例6.已知Rt∈ABC中，A(－1，0)，B(3，0)．求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．知识点一圆的定义及圆的标准方程1.圆的定义平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆.其中定点是圆的圆心；定长是圆的半径. 2.圆的标准方程设圆心坐标为(a，b)，半径为r，则圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2．特别地，当圆心在坐标原点时，圆的标准方程为x2＋y2＝r2．知识点二点与圆的位置关系点与圆有三种位置关系，即点在圆外、点在圆上、点在圆内，判断点与圆的位置关系有两种方法：(1)几何法：将所给的点M与圆心C的距离跟半径r比较：若|CM|＝r，则点M在圆上；若|CM|>r，则点M在圆外；若|CM|<r，则点M在圆内.(2)代数法：可利用圆C的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2来确定：点M (m ，n )在圆C 上∈(m －a )2＋(n －b )2＝r 2；点M (m ，n )在圆C 外∈(m －a )2＋(n －b )2>r 2；点M (m ，n )在圆C 内∈(m －a )2＋(n －b )2<r 2.知识点三圆的一般方程的定义1.当D 2＋E 2－4F >0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0叫做圆的一般方程，其圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛--22E D ，，半径为2422F E D -+. 2.当D 2＋E 2－4F =0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示点⎪⎭⎫ ⎝⎛--22E D ，. 3.当D 2＋E 2－4F<0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0不表示任何图形.知识点四由圆的一般方程判断点与圆的位置关系已知点M (x 0，y 0)和圆的方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0).则其位置关系如下表：位置关系代数关系点M 在圆外x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F >0 点M 在圆上x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0 点M 在圆内x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F <0【拓展】有关圆的最值问题，常借助于图形性质，利用数形结合求解．一般地，①形如k ＝y －b x －a的最值问题可转化为求动直线斜率的最值问题； ②形如t ＝ax ＋by 的最值问题转化为动直线截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2的最值问题转化为圆上一动点到定点(a ，b )的最值问题．类型一求圆的标准方程(基础)【变式1】已知∈ABC 的三个顶点坐标分别为A (0，5)，B (1，－2)，C (－3，－4)，求该三角形的外接圆的方程．类型二点与圆的位置关系的判断(基础)【变式2】点P (5a ＋1，12a )在圆(x －1)2＋y 2＝1的内部，则a 的取值范围是( )A ．－1<a <1B ．a <113C ．－15<a <15D ．－113<a <113类型三利用圆的定义与标准方程求最值(基础)【变式3】已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，点A (0，－1)，B (0，1)，设P 是圆C 上的动点，令d ＝|P A |2＋|PB |2，求d 的最大值及最小值．类型四圆的一般方程的定义(基础)【变式4】若方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0表示圆，求：(1)实数m 的取值范围；(2)圆心坐标和半径．类型五求圆的一般方程(基础)【变式5】已知一圆过P (4，－2)，Q (－1，3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43，求圆的方程．类型六求动点的轨迹方程(提升)【变式6-1】已知线段AB 的端点B 的坐标是(5，3)，端点A 在圆(x －1)2＋y 2＝2上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹．(基础)【变式6-2】求到点O (0，0)的距离是到点A (3，0)的距离的21的点的轨迹方程.总结优化1.已知圆的圆心在x 轴上，半径长为5，且截y 轴所得的线段长为8，求该圆的标准方程. 标准方程圆的方程一般方程 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0) x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)(基础)1．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝0(基础)2．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于原点(0，0)对称的圆的方程为( )A ．(x －2)2＋y 2＝5B ．x 2＋(y －3)2＝5C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝5D ．x 2＋(y ＋2)2＝5(基础)3．圆(x －1)2＋(y －1)2＝1上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值是( )A ．2B ．1＋2C ．2＋22 D ．1＋22 (基础)4．已知方程x 2＋y 2－2x ＋2k ＋3＝0表示圆，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(3，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+-，23 (提升)5．若实数x ，y 满足(x ＋5)2＋(y －12)2＝142，则x 2＋y 2的最小值为________． (提升)6．如果直线l 将圆(x －1)2＋(y －2)2＝5平分且不通过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是__________．(基础)7．已知点P是圆C：x2＋y2＋4x＋ay－5＝0上任意一点，P点关于直线2x＋y－1＝0的对称点也在圆C上，则实数a＝________．(基础)8．已知圆C过点A(4，7)，B(－3，6)，且圆心C在直线l：2x＋y－5＝0上，求圆C 的方程．(提升)9．设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．(基础)10．方程|x |－1＝()211--y 所表示的曲线是( ) A ．一个圆 B ．两个圆 C ．半个圆 D ．两个半圆(基础)11．已知两点A (－1，0)，B (0，2)，点P 是圆(x －1)2＋y 2＝1上任意一点，则△P AB 面积的最大值与最小值分别是( )A ．2，12(4－5)B ．12(4＋5)，12(4－5) C ．5，4－ 5 D ．12(5＋2)，12(5－2)(基础)12．若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为( )A ． 5B ．5C ．2 5D ．10(提升)13．若圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋m ＝0与y 轴交于A 、B 两点，且∠ACB ＝90°(其中C 为已知圆的圆心)，则实数m 等于________．(提升)14．已知平面上两点A (－2，0)，B (2，0)，在圆C ：(x －1)2＋(y ＋1)2＝4上取一点P ，求使|P A |2＋|PB |2取得最小值时点P 的坐标，取得最大值时点P 的坐标，并求出最大、最小值．(提升)15．在平面直角坐标系xOy 中，设二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b (x ∈R )的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C．(1)求实数b的取值范围；(2)求圆C的方程；(3)问圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论．11。