第2讲 基本初等函数、函数与方程

(2)(2017课标全国Ⅰ,11,5分)设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则 ( )
A.2x<3y<5z B.5z<2x<3y
C.3y<5z<2x D.3y<2x<5z
答案 (1)D (2)D 解析 (1)由x2-2x-8>0可得x>4或x<-2, 所以x∈(-∞,-2)∪(4,+∞), 令u=x2-2x-8, 则其在x∈(-∞,-2)上单调递减, 在x∈(4,+∞)上单调递增. 又因为y=ln u在u∈(0,+∞)上单调递增, 所以y=ln(x2-2x-8)在x∈(4,+∞)上单调递增.故选D.
的应用问题集中体现在函数零
6 指数函数与幂函数的单 点个数的判断,零点所在区间等
调性、大小比较
方面.近几年全国卷考查较少,
但也要引起重视.
总纲目录
总纲目录 栏目索引
考点一 基本初等函数的图象与性质
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考点二 函数的零点（高频考点）
考点三 函数的实际应用
考点聚焦
考点一 基本初等函数的图象与性质
(2)由2x=3y=5z,可设( 2 )2x=( 3 3 )3y=( 5 5 )5z=t, 因为x,y,z为正数,所以t>1, 因为 2 = 6 23 = 6 8 , 3 3 = 6 32 = 6 9 , 所以 2 < 3 3 ;
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因为 2 =10 25 =10 32 , 5 5 =10 25 , 所以 2 > 5 5 ,所以 5 5 < 2 < 3 3 . 分别作出y=( 2 )x,y=( 3 3 )x,y=( 5 5 )x的图象,如图.
函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的根,即函数y=f(x)的图象与
函数y=g(x)的图象交点的横坐标.
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典型例题
(1)函数f(x)=
1 x2 , 1 x 1,的零点个数是
(
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lg x, x 1
A.0 B.1 C.2 D.3
(2)(2017课标全国Ⅲ,11,5分)已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,
A.
=
1
,c= 1
32
34
0
sin
xdx
=
1 4
(-cos
x)|
0
=
1 ,且0< 3 2 < 3 <2,∴a>b>c,故选C.
2
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考点二 函数的零点(高频考点)
命题点 1.判断函数零点所在的区间. 2.判断函数零点的个数.
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3.由函数零点的情况求参数的值(范围).
函数的零点与方程根、函数图象的关系
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2.(2017陕西高三教学质量检测试题(一))已知a=
2
1 3
,b=(
2log2
3
)
1 2
,c=
1
4
0
sin
xdx
,则实数a,b,c的大小关系是
(
)
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A.a>c>b B.b>a>c
C.a>b>c D.c>b>a
答案
C
∵a=
2
1 3
=
1
,b=(
2log2
3
)
1 2
=3
1 2
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跟踪集训
1.已知函数f(x)=3x-b(2≤x≤4,b为常数)的图象经过点(2,高1考),则导航f(x)的值域为 ()
A.[1,81] B.[1,3] C.[1,9] D.[1,+∞) 答案 C 由f(x)的图象过点(2,1),可知b=2,∴f(x)=3x-2,其在区间[2,4]上 是增函数,∴f(x)min=f(2)=30=1,f(x)max=f(4)=32=9.故C正确.
et et
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令h(t)=
1 et
t2 et
,易得h(t)为偶函数,
又由f(x)有唯一零点得函数h(t)的图象与直线y=a有唯一交点,则此交点
的横坐标为0,
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所以a=1 0 = 1 ,故选C.
22
方法归纳
判断函数零点个数的方法
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跟踪集训
1.函数f(x)=log3x-x+2必有一个零点的区间是 (
指数函数与对数函数的图象与性质
图象
指数函数y=ax(a>0且a≠1) 对数函数y=logax(a>0且a高≠考1导) 航
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单调性 0<a<1时,在R上单调递减;a 0<a<1时,在(0,+∞)上单调递减;a>1时,在(0,+
>1时,在R上单调递增
∞)上单调递增
函数值
0<a<1, 当x>0时,0<y<1; 当x<0时,y>1
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第2讲 基本初等函数、函数与方程
考情分析
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年份 卷别
2017 Ⅰ Ⅲ
2016 Ⅰ
Ⅲ
题 考查内容 号
命题规律
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11 指数式及大小比较
基本初等函数作为高考的
11 函数的零点
命题热点,多单独或与不等式综
合考查.常以选择题、填空题的 8 幂函数、对数函数的单
形式出现.有时难度较大,函数 调性、时,y<0; 当0<x<1时,y>0
a>1, 当x>0时,y>1; 当x<0时,0<y<1
a>1, 当x>1时,y>0; 当0<x<1时,y<0
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典型例题
(1)(2017课标全国Ⅱ,8,5分)函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是
()
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A.(-∞,-2) B.(-∞,1) C.(1,+∞) D.(4,+∞)
则a= ( )
A.- 1 B. 1 C. 1 D.1
2
3
2
答案 (1)C (2)C
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解析
(1)作出函数f(x)=
1 x2 , 1 x 1,的图象,如图所示,
lg x, x 1
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由图象可知,所求函数的零点个数是2. (2)由函数f(x)有零点得x2-2x+a(ex-1+e-x+1)=0有解,即(x-1)2-1+a(ex-1+e-x+1)=0 有解, 令t=x-1,则上式可化为t2-1+a(et+e-t)=0,即a= 1 t2 .
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则3y<2x<5z,故选D.
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方法归纳 基本初等函数图象与性质的应用技巧 (1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取高值考导,当航 底数a的值 不确定时,要注意分a>1和0<a<1两种情况讨论. (2)研究由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数的性质,首 先通过换元法转化为两个或多个基本初等函数,然后根据复合函数的性 质与相关函数的性质之间的关系进行判断. (3)对于幂函数y=xα的性质要注意α>0和α<0两种情况的不同.