电磁学_05_电介质中的静电场

第五讲 电介质中的静电场
一些介质在外加电场的作用下出现极化现象，产生附加的极化电场，这些物质称为电介质。

构成介质的分子，由于正负电中心不重合，形成电偶极子。

在外电场作用下，大量的偶极子在外场的方向排列有序，其结果是在介质内部产生附加的宏观电场。

01 电介质的极化
无极分子(422,,CH H N )：分子的正负电荷中心重合，对外呈现中性；如图XCH003_084所示。

有极分子(2H O )：分子中正负电荷中心不重合，从而形成电偶极子，取向无规则的电偶极子对外呈现中性。

如图XCH003_084_01所示。

无极分子的位移极化：在外电场的作用下，无极分子的正负电荷中心发生相对位移，形成电偶极子，电偶极矩的排列沿外场的方向，如图XCH003_085所示。

有极分子的取向极化：在外电场的作用下，有极分子的电偶极矩发生取向极化，即电偶极矩的排列转向外场的方向，如图XCH003_086所示。

02 电极化强度
在介质内选取无限小体积元V ∆，体积元内分子电偶极矩矢量和：i p ∑ 定义极化强度：i p P V
=∆∑ ——用来描述电介质极化的程度 实验证明，对于各项同性的电介质：0e P E χε= —— E 是介质内部的场强，是空间所有电荷共同
产生的, e χ是电极化率，取决于介质的种类和状态
还可以表示为：0(1)r P E εε=- —— r ε为介质的相对介电常数
03 束缚电荷
一般电介质的极化，可能会在介质内部局部区域出现净余的极化电荷，此时介质内部各点的场强可能不同，极化强度也就不同。

对于均匀电介质和均匀极化，介质内部任意一个有限大小的体积元内没有净余的极化电荷，在介质表面上出现净余的电荷，这些电荷既不能在介质中自由移动，也不能离开介质表面 —— 束缚电荷。

介质内部的场强就是束缚电荷和其它电荷共同产生的。

介质均匀极化 —— 极化电荷(束缚电荷)只分布在介质的表面上。

介质内的极化强度P 和极化面电荷密度σ'的关系
虽然介质均匀极化，但在介质内任选取一个面积元dS —— 法线法线n ，该面积元上有极化电
荷。

以dS 为底面积构成一个长度为L 的斜圆柱体，如图XCH003_226所示。

斜圆柱体的体积：cos V LdS θ∆=
—— 宏观看来无限小，微观来看体积内仍然包含数量很大的极化电偶极子。

cos p
p
P V LdS θ==∆∑∑
p ∑ 可以等效表示为：
()p q L dS L σ''==∑
&q σ''分别是dS 上的极化电荷和极化电荷面密度
()cos dS L P LdS σθ
'= cos n P P σθ'==
n P σ'=⋅
在介质的表面上，束缚电荷面密度等于电极化强度沿表面的外法线方向的分量，如图XCH003_226_01所示。

04 电介质中静电场
介质中的电场强度：0E E E '=+
0E —— 原来外电场；E ' —— 电介质束缚电荷产生的电场
一对带电平行板，板间充满电介质，如图XCH003_087所示，束缚电荷均匀分布在上下两个与极板接触的介质面上，束缚电荷面密度σ'。

介质中的电场：000
E σσεε'=- 自由电荷产生的电场：000E σε=
束缚电荷产生的电场：0
E σε''= 将0e P E χε=和P σ'=带入上式得到：01e E E χ=
+ 相对介电常数：01r e E E
εχ=+= ——r ε与电介质的种类和状态有关 0
r E E ε=−−→ 介质面上极化电荷面密度：01(1)r σσε'=- —— 小于极板上自由电荷
05 介质中的高斯定理和电位移矢量D
如图XCH003_087所示的两个带电极板，其间充满相对介电常数为r ε的电介质 介质中的电场强度：0
r E E ε= —— 000r E E εεε=
对任意闭合曲面的积分，如图XCH003_087_01所示
00000r S S S
dS dS d E E S E εεεε⋅⋅=⋅=⎰⎰⎰ 000,int 0
1r S dS E q εεεε=⋅⋅⎰ 00,int S
r q dS E εε=⋅⎰ 电位移矢量：0r D E εε= —— D E ε=
0,int S
D dS q ⋅=⎰ —— 通过任意闭合曲面的电位移通量等于该闭合曲面包围的自由电荷的代数和， 称作介质中的高斯定理
电位移矢量的意义
与描述电场强度一样，也可以引入电位移线来描述空间电位移的分布，电位移矢量本身没有明确的物理意义。

从0,int S
dS D q ⋅=⎰ 可以得出电位移线起于自由正电荷，终止于自由负电荷，与束缚电荷无关！ 06 D ，E 和P 之间的关系
0r D E εε= —— 01e r e
P E χεεχ⎧=⎨=+⎩ 000(1)e e D E E E εχεχε=+=+
0D E P ε=+
一般情况下的结论
设想在介质中任意选取闭合曲面S ，该曲面内既有自由电荷，也有极化电荷。

根据高斯定理，通过闭合曲面S 的电通量：
0,int 0
1()S dS E q q ε'⋅=+⎰ —— 0,int &q q '分别为闭合曲面S 包围的自由电荷和极化电荷 V
q dV ρ''=⎰ —— ρ'是极化电荷体密度 在S 闭合曲面上，极化电荷面密度：n P σ'=⋅
S 面上的极化电荷与面内的极化电荷异号等量，因此：()S S
q n P dS P dS '=-⋅=-⋅⎰⎰ 代入前式得到：0,int 01()S S
E dS q P dS ε=-⋅⋅⎰⎰ 00,int ()S
P q d E S ε+⋅=⎰ —— 令：0D E P ε=+ 0,int S
D dS q ⋅=⎰ 将0e P
E χε= 代入0D E P ε=+ 得到：
00e E D E εχε=+ 0r D E E
εεε==
应用介质中的高斯定理，计算介质中的电场
如图XCH003_088所示，带电为q 的金属球浸入各向同性的均匀介质油中，计算空间电场分布 金属球面上的电荷q 和介质面的束缚电荷分布具有球对称性，选取半径为r 的球面为高斯面，根据介质中高斯定理：
0,int S
dS D q ⋅=⎰ 24D r q π⋅= —— 24D q r
π= 金属球外任一点的电位移矢量大小：2ˆ4q D r r π=
应用0r D E εε= 电场强度：2
0ˆ4r q
E r r πεε= 两条平行的“无限长”直导线,A B ，相距为d ，放在介电常数为ε的无限大均匀电介质中，计算空间电场分布。

假设直导线,A B 上单位长度分别带电and λλ+-，导线表面的电荷可以看作是均匀分布。

直导线的电场分布具有轴对称性，选取圆柱面为高斯面来计算一个导线在空间的电场分布。

应用介质中的高斯定理：0,int S
dS D q ⋅=⎰ 2D rl l πλ⋅= −−→ 2D r
λπ= 选取如图XCH003_075_02所示的坐标，P 的电位移矢量大小：
12D D D =+ —— 1222()D x D d x λπλπ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 22()
D x d x λλππ=+- 电场强度：D
E ε=
11()2E x d x
λπε=+- —— 0r εεε=。