事件的相互独立性试题及答案
高中数学选修2-3课时作业2：2.2.2事件的相互独立性
2．2.2 事件的相互独立性一、基础达标1．一袋中装有5只白球，3只黄球，在有放回地摸球中，用A 1表示第一次摸得白球，A 2表示第二次摸得白球，则事件A 1与A 2－是 ( )A ．相互独立事件B ．不相互独立事件C ．互斥事件D ．对立事件[答案] A[解析] 由题意可得A 2－表示“第二次摸到的不是白球”，即A 2－表示“第二次摸到的是黄球”，由于采用有放回地摸球，故每次是否摸到黄球或白球互不影响，故事件A 1与A 2－是相互独立事件．2．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是( )A.512B.12C.712D.34[答案] C[解析] ∵P (A )＝12，P (B )＝16，∴P (A －)＝12，P (B －)＝56.又A ，B 为相互独立事件，∴P (A － B －)＝P (A －)P (B －)＝12×56＝512.∴A ，B 中至少有一件发生的概率为 1－P (A －B －)＝1－512＝712.3．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x ，转盘乙得到的数为y ，x ，y 构成数对(x ，y )，则所有数对(x ，y )中满足xy ＝4的概率为 ( ) A.116 B.18 C.316D.14[答案] C[解析] 满足xy ＝4的所有可能如下： x ＝1，y ＝4；x ＝2，y ＝2；x ＝4，y ＝1. ∴所求事件的概率P ＝P (x ＝1，y ＝4)＋P (x ＝2，y ＝2)＋P (x ＝4，y ＝1) ＝14×14＋14×14＋14×14＝316.4．从应届高中生中选拔飞行员，已知这批学生体型合格的概率为13，视力合格的概率为16，其他几项标准合格的概率为15，从中任选一名学生，则该生三项均合格的概率为(假设三项标准互不影响)( )A.49B.190C.45D.59[答案] B[解析] 该生三项均合格的概率为13×16×15＝190.5．已知A ，B 是相互独立事件，且P (A )＝12，P (B )＝23，则P (AB －)＝________；P (A －B －)＝________.[答案] 16 16[解析] ∵P (A )＝12，P (B )＝23，∴P (A －)＝12，P (B －)＝13.∴P (AB －)＝P (A )P (B －)＝12×13＝16， P (A － B －)＝P (A －)P (B －)＝12×13＝16.6．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为________． [答案] 35[解析] 设此队员每次罚球的命中率为p ， 则1－p 2＝1625，∴p ＝35.7．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率： (1)第3次拨号才接通电话； (2)拨号不超过3次而接通电话．解 设A i ＝{第i 次拨号接通电话}，i ＝1，2，3. (1)第3次才接通电话可表示为A 1－A 2－A 3， 于是所求概率为P (A 1－A 2－A 3)＝910×89×18＝110；(2)拨号不超过3次而接通电话可表示为A 1＋A 1－A 2＋A 1－ A 2－A 3， 于是所求概率为P (A 1＋A 1－A 2＋A 1－A 2－A 3) ＝P (A 1)＋P (A 1－A 2)＋P (A 1－A 2－A 3) ＝110＋910×19＋910×89×18＝310. 二、能力提升8．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率P (A )是 ( )A.29B.118C.13D.23[答案] D[解析] 由题意，P (A －)·P (B －)＝19， P (A －)·P (B )＝P (A )·P (B －)． 设P (A )＝x ，P (B )＝y ，则⎩⎨⎧（1－x ）（1－y ）＝19，（1－x ）y ＝x （1－y ）. 即⎩⎨⎧1－x －y ＋xy ＝19，x ＝y ， ∴x 2－2x ＋1＝19，∴x －1＝－13，或x －1＝13(舍去)，∴x ＝23.9．在如图所示的电路图中，开关a ，b ，c 闭合与断开的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率是( )A.18B.38C.14D.78[答案] B[解析] 设开关a ，b ，c 闭合的事件分别为A ，B ，C ，则灯亮这一事件E ＝ABC ∪ABC －∪AB －C ，且A ，B ，C 相互独立， ABC ，ABC －，AB －C 互斥，所以 P (E )＝P (ABC )∪(ABC －)∪(AB －C ) ＝P (ABC )＋P (ABC －)＋P (AB －C )＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C －)＋P (A )P (B －)P (C ) ＝12×12×12＋12×12×(1－12)＋12×(1－12)×12＝38.10．在一条马路上的A ，B ，C 三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆汽车在这条马路上行驶，那么在这三处都不停车的概率是________． [答案] 35192[解析] 由题意P (A )＝2560＝512；P (B )＝3560＝712；P (C )＝4560＝34； 所以所求概率P ＝P (ABC )＝P (A )P (B )P (C )＝512×712×34＝35192.11．从10位同学(其中6女，4男)中随机选出3位参加测验，每位女同学能通过测验的概率均为45，每位男同学通过测验的概率均为35，求： (1)选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率；(2)10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率． 解 (1)设选出的3位同学中，至少有一位男同学的事件为A ，则A －为选出的3位同学中没有男同学的事件，而P (A －)＝C 36C 310＝16，所以P (A )＝1－16＝56.(2)设女同学甲和男同学乙被选中的事件为A ，女同学甲通过测验的事件为B ，男同学乙通过测验的事件为C ，则甲、乙同学被选中且通过测验的事件为A ∩B ∩C ，由条件知A ，B ，C 三个事件为相互独立事件，所以P (A ∩B ∩C )＝P (A )×P (B )×P (C )．而P (A )＝C 18C 310＝115，P (B )＝45，P (C )＝35，所以P (A ∩B ∩C )＝115×45×35＝4125.12．已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2.(1)假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率；(2)要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？解 (1)设敌机被第k 门高炮击中的事件为A k (k ＝1，2，3，4，5)，那么5门高炮都未击中敌机的事件为A 1－·A 2－·A 3－·A 4－·A 5－. ∵事件A 1，A 2，A 3，A 4，A 5相互独立， ∴敌机未被击中的概率为P (A 1－·A 2－·A 3－·A 4－·A 5－)＝P (A 1－)·P (A 2－)·P (A 3－)·P (A 4－)·P (A 5－)＝(1－0.2)5＝(45)5.∴敌机未被击中的概率为(45)5.(2)至少需要布置n 门高炮才能有0.9以上的概率被击中，仿(1)可得： 敌机被击中的概率为1－(45)n ∴令1－(45)n ≥0.9，∴(45)n ≤110 两边取常用对数，得n ≥11－3lg 2≈10.3.∵n ∈N *，∴n ＝11.∴至少需要布置11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机． 三、探究与创新13．在一个选拔项目中，每个选手都需要进行四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为56，45，34，13，且各轮问题能否正确回答互不影响．(1)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率； (2)求该选手至多进入第三轮考核的概率；(3)该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为X ，求随机变量X 的分布列．解 设事件A i (i ＝1，2，3，4)表示“该选手能正确回答第i 轮问题”， 由已知P (A 1)＝56，P (A 2)＝45，P (A 3)＝34，P (A 4)＝13. (1)设事件B 表示“该选手进入第三轮才被淘汰”，则P (B )＝P (A 1A 2A 3－)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3－) ＝56×45×(1－34)＝16.(2)设事件C 表示“该选手至多进入第三轮考核”， 则P (C )＝P (A 1－＋A 1A 2－＋A 1A 2A 3－) ＝P (A 1－)＋P (A 1A 2－)＋P (A 1A 2A 3－) ＝16＋56×15＋56×45×(1－34)＝12. (3)X 的可能取值为1，2，3，4.P (X ＝1)＝P (A 1－)＝16，P (X ＝2)＝P (A 1A 2－)＝56×(1－45)＝16，P (X ＝3)＝P (A 1A 2A 3－)＝56×45×(1－34)＝16，P (X ＝4)＝P (A 1A 2A 3)＝56×45×34＝12， 所以，X 的分布列为。
课时作业3：2.2.2 事件的相互独立性
2.2.2事件的相互独立性一、选择题1．下列事件A 、B 是独立事件的是( )A ．一枚硬币掷两次，A ＝“第一次为正面”，B ＝“第二次为反面”B ．袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸两球，A ＝“第一次摸到白球”，B ＝“第二次摸到白球”C ．掷一枚骰子，A ＝“出现点数为奇数”，B ＝“出现点数为偶数”D ．A ＝“人能活到20岁”，B ＝“人能活到50岁”2．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率P (A )是( )A.29B.118C.13D.233．甲乙两人投球命中率分别为12，25，甲乙两人各投一次，恰好命中一次的概率为( ) A.15 B.25 C.12 D.9104．某大街在甲、乙、丙三处设有红、绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为13、12、23，则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为( ) A.19 B.16 C.13 D.718二、填空题5．甲袋中有8个白球，4个红球；乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中任取一个球，则取得同色球的概率为________．6．明天上午李明要参加世博会志愿者活动，为了准时起床，他用甲乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率为0.80，乙闹钟准时响的概率为0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________．7.甲,乙二人单独解一道题, 若甲,乙能解对该题的概率分别是m , n . 则此题被解对的概率是8.有一谜语, 甲,乙,丙猜对的概率分别是1/5, 1/3 , 1/4 .则三人中恰有一人猜对该谜语的概率是三、解答题(每小题10分，共20分)9．甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．(1)求再赛2局结束这次比赛的概率；(2)求甲获得这次比赛胜利的概率．10．已知A ，B ，C 三个相互独立事件，若事件A 发生的概率为12，事件B 发生的概率为13，事件C 发生的概率为14，求下列事件发生的概率． (1)事件A ，B ，C 都发生的概率． (2)事件A ，B ，C 都不发生的概率．(3)事件A ，B ，C 不都发生的概率． (4)事件A ，B ，C 至少有一个发生的概率．(5)事件A ，B ，C 恰有一个发生的概率． (6)事件A ，B ，C 恰有两个发生的概率．(7)事件A ，B ，C 至多有两个发生的概率．11．某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球，已知按钮第一次被按下后，出现红球与绿球的概率都是12，从按钮第二次被按下起，若前次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为13，23；若前次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为35，25.记第n (n ∈N ，n ≥1)次按下按纽后出现红球的概率为p n .(1)求p 2的值；(2)当n ∈N ，n ≥2时，求用p n －1表示p n 的表达式．12.某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．（I ）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；（II ）任选3名下岗人员，求这3人中至少有2人参加过培养的概率．参考答案1． A 2．D 3． C 4． D 5． 12 6． 0.98 7. m +n - mn 8.1330 9．解： 记“第i 局甲获胜”为事件A i (i ＝3,4,5)，“第j 局乙获胜”为事件B j (j ＝3,4,5)．(1)设“再赛2局结束这次比赛”为事件A ，则A ＝A 3·A 4＋B 3·B 4，由于各局比赛结果相互独立，故P (A )＝P (A 3·A 4＋B 3·B 4)＝P (A 3·A 4)＋P (B 3·B 4)＝P (A 3)P (A 4)＋P (B 3)P (B 4)＝0.6×0.6＋0.4×0.4＝0.52.(2)记“甲获得这次比赛胜利”为事件B ，因前两局中，甲、乙各胜1局，故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而B ＝A 3·A 4＋B 3·A 4·A 5＋A 3·B 4·A 5， 由于各局比赛结果相互独立，故P (B )＝P (A 3·A 4＋B 3·A 4·A 5＋A 3·B 4·A 5)＝P (A 3·A 4)＋P (B 3·A 4·A 5)＋P (A 3·B 4·A 5)＝P (A 3)P (A 4)＋P (B 3)P (A 4)P (A 5)＋P (A 3)P (B 4)P (A 5)＝0.6×0.6＋0.4×0.6×0.6＋0.6×0.4×0.6＝0.648.10．解： (1)记事件A 1为“事件A ，B ，C 都发生”，因为A ，B ，C 是三个相互独立事件，所以P (A 1)＝P (A )P (B )P (C )＝12×13×14＝124. (2)记事件A 2为“事件A ，B ，C 都不发生”，因为A ，B ，C 是三个相互独立事件，故A ，B ，C 也相互独立，所以P (A 2)＝P (A )P (B )P (C )＝12×23×34＝14(3)记事件A 3为“事件A ，B ，C 不都发生”，则A 3＝A 1，从而P (A 3)＝1－P (A 3)＝1－P (A 1)＝1－124＝2324. (4)记事件A 4为“事件A ，B ，C 至少有一个发生”，则A 4＝A 2，从而P (A 4)＝1－P (A 4)＝1－P (A 2)＝1－14＝34. (5)记事件A 5为“事件A ，B ，C 恰有一个发生”则有三种情况：第一种，事件A 发生，事件B ，C 不发生，即A ·B ·C ；第二种，事件B 发生，事件A ，C 不发生，即A ·B ·C ；第三种，事件C 发生，事件A ，B 不发生，即A ·B ·C ；而这三种情况不可能同时发生，即A ·B ·C ，A ·B ·C ，A ·B ·C 彼此互斥，所以P (A 5)＝P (A ·B ·C )＋P (A ·B ·C )＋P (A ·B ·C )＝14＋18＋112＝1124. (6)记事件A 6为“事件A ，B ，C 恰有两个发生”则有三种情况：第一种，事件A ，B 发生，事件C 不发生，即A ·B ·C ；第二种，事件A ，C 发生，事件B 不发生，即A ·B ·C ；第三种，事件B ，C 发生，事件A 不发生，即A ·B ·C ；而这三种情况不可能同时发生，即A ·B ·C ，A ·B ·C ，A ·B ·C 彼此互斥，所以P (A 6)＝P (A ·B ·C )＋P (A ·B ·C )＋P (A ·B ·C )＝18＋112＋124＝14. (7)方法一：记事件A 7为“事件A ，B ，C 至多有两个发生”，则有三种情况：第一种，事件A ，B ，C 都不发生，即A 2第二种，事件A ，B ，C 恰有一个发生，即A 5第三种，事件A ，B ，C 恰有两个发生，即A 6所以P (A 7)＝P (A 2)＋P (A 5)＋P (A 6)＝14＋1124＋14＝2324. 方法二：记事件A 7为“事件A ，B ，C 至多有两个发生”，则A 7＝“事件A ，B ，C 都发生”，即A 7＝A 1 P (A 7)＝1－P (A 7)＝1－P (A 1)＝1－124＝2324. 11．解： (1)p 2＝12×13＋12×35＝715.(2)p n ＝p n －1×13＋(1－p n －1)×35＝－415p n －1＋35. 12. 解：任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A ，“该人参加过计算机培训”为事件B ，由题设知，事件A 与B 相互独立，且()0.6P A =，()0.75P B =． （I ）解法一：任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是1()()()0.40.250.1P P A B P A P B ===⨯=所以该人参加过培训的概率是1110.10.9P -=-=．解法二：任选1名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是2()()0.60.250.40.750.45P P A B P A B =+=⨯+⨯=该人参加过两项培训的概率是3()0.60.750.45P P A B ==⨯=．所以该人参加过培训的概率是230.450.450.9P P +=+=．（II ）解法一：任选3名下岗人员，3人中只有2人参加过培训的概率是22430.90.10.243P C =⨯⨯=．3人都参加过培训的概率是330.90.729P ==．所以3人中至少有2人参加过培训的概率是450.2430.7290.972P P +=+=．解法二：任选3名下岗人员，3人中只有1人参加过培训的概率是1230.90.10.027C ⨯⨯=．3人都没有参加过培训的概率是30.10.001=．所以3人中至少有2人参加过培训的概率是10.0270.0010.972--=．。
人教A版高中数学必修2课后训练四十二事件的相互独立性
课后训练四十二事件的相互独立性(25分钟·50分)一、选择题(每小题4分，共12分)1.甲、乙两班各有36名同学，甲班有9名三好学生，乙班有6名三好学生，两班各派1名同学参加演讲活动，派出的恰好都是三好学生的概率是( )A. B. C. D.【解析】选C.两班各自派出代表是相互独立事件，设事件A，B分别为甲班、乙班派出的是三好学生，则事件AB为两班派出的都是三好学生，则P(AB)=P(A)P(B)=×=.2.如图所示，A，B，C表示3个开关，若在某段时间内，它们正常工作的概率分别为0.9，0.8，0.7，则该系统的可靠性(3个开关只要一个开关正常工作即可靠)为( )A.0.504B.0.994C.0.496D.0.064【解析】选B.1-(1-0.9)(1-0.8)(1-0.7)=1-0.006=0.994.3.在某道路的A，B，C三处设有交通灯，这三盏灯在1分钟内开放绿灯的时间分别为25秒，35秒，45秒，某辆车在这段道路上匀速行驶，则在这三处都不停车的概率为 ( )A. B. C. D.【解析】选C.由题意可知汽车在这三处都不停车的概率为××=.二、填空题(每小题4分，共12分)4.同学甲参加某科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三问题分别得100分、100分、200分，答错或不答均得零分.假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8，0.6，0.5，且各题答对与否相互之间没有影响，则同学甲得分不低于300分的概率是________.【解析】设“同学甲答对第i个题”为事件A i(i=1，2，3)，则P(A1)=0.8，P(A2)=0.6，P(A3)=0.5，且A1，A2，A3相互独立，同学甲得分不低于300分对应于事件A1A2A3∪A1A3∪A2A3发生，故所求概率为P=P(A1A2A3∪A1A3∪A2A3)=P(A1A2A3)+P(A1A3)+P(A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)+P(A1)P()P(A3)+P()P(A2)P(A3)=0.8×0.6×0.5+0.8×0.4×0.5+0.2×0.6×0.5=0.46.答案：0.465.已知A、B是相互独立事件，且P(A)=，P(B)=，则P(A)=________；P()=________. 【解析】因为P(A)=，P(B)=，所以P()=，P()=.所以P(A)=P(A)P()=×=，P()=P()P()=×=.答案：6.甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8，0.6，0.5，则三人都达标的概率是________，三人中至少有一人达标的概率是________.【解析】由题意可知三人都达标的概率为P=0.8×0.6×0.5=0.24；三人中至少有一人达标的概率为P′=1-(1-0.8)×(1-0.6)×(1-0.5)=0.96.答案：0.24 0.96三、解答题(共26分)7.(12分)在同一时间内，甲、乙两个气象台独立预报天气准确的概率分别为和.在同一时间内，求：(1)甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率.(2)至少有一个气象台预报准确的概率.【解析】记“甲气象台预报天气准确”为事件A，“乙气象台预报天气准确”为事件B.(1)P(AB)=P(A)P(B)=×=.(2)至少有一个气象台预报准确的概率为P=1-P()=1-P()P()=1-×=.8.(14分)在某校运动会中，甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛(即每两队比赛一场)，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局.在每一场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为.(1)求甲队获第一名且丙队获第二名的概率.(2)求在该次比赛中甲队至少得3分的概率.【解析】(1)设甲队获第一且丙队获第二为事件A，则P(A)=××=.(2)甲队至少得3分有两种情况：两场只胜一场；两场都胜.设事件B为“甲两场只胜一场”，设事件C为“甲两场都胜”，则事件“甲队至少得3分”为B∪C，则P(B∪C)=P(B)+P(C)=×+×+×=+=.(15分钟·30分)1.(4分)先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是( )A. B. C. D.【解析】选D.三次均反面朝上的概率是=，所以至少一次正面朝上的概率是1-=.2.(4分)如图已知电路中4个开关闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为( )A. B. C. D.【解析】选C.灯泡不亮包括两种情况：①四个开关都开，②下边的2个都开，上边的2个中有一个开，所以灯泡不亮的概率是×××+×××+×××=，因为灯亮和灯不亮是对立事件，所以灯亮的概率是1-=.【加练·固】在如图所示的电路图中，开关a，b，c闭合与断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率是( )A. B. C. D.【解析】选B.设开关a，b，c闭合的事件分别为A，B，C，则灯亮这一事件E=ABC∪AB∪A C，且A，B，C相互独立，ABC，AB，A C互斥，所以P(E)=P(ABC∪AB∪A C)=P(ABC)+P(AB)+P(A C)=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P()+P(A)P()P(C)=××+××+××=.3.(4分)某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立.则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________.【解析】记“该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮”为事件A，由题意，若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，必有第二个问题回答错误，第三、四个回答正确，第一个问题可对可错，故P(A)=1×0.2×0.8×0.8=0.128.答案：0.1284.(4分)加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为，，，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为________.【解析】依题意得，加工出来的零件的正品率是××=，因此加工出来的零件的次品率是1-=.答案：5.(14分)甲、乙两名跳高运动员在一次2米跳高中成功的概率分别为0.7，0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：(1)甲试跳三次，第三次才成功的概率.(2)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率.(3)甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率.【解析】记“甲第i次试跳成功”为事件A i，“乙第i次试跳成功”为事件B i，依题意得P(A i)=0.7，P(B i)=0.6，且A i，B i相互独立.(1)“甲试跳三次，第三次才成功”为事件A3，且这三次试跳相互独立.所以P(A3)=P()P()P(A3)=0.3×0.3×0.7=0.063.(2)记“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件C.P(C)=1-P()P()=1-0.3×0.4=0.88.(3)记“甲在两次试跳中成功i次”为事件M i(i=0，1，2)，“乙在两次试跳中成功i次”为事件N i(i=0，1，2)，因为事件“甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次”可表示为M1N0+M2N1，且M1N0，M2N1为互斥事件，则所求的概率为P(M1N0+M2N1)=P(M1N0)+P(M2N1)=P(M1)P(N0)+P(M2)P(N1)=2×0.7×0.3×0.42+0.72×2×0.6×0.4=0.067 2+0.235 2=0.302 4.所以甲、乙每人试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率为0.302 4.1.设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)等于( )A. B. C. D.【解析】选D.由题意，P()·P()=，P()·P(B)=P(A)·P().设P(A)=x，P(B)=y，则即所以x2-2x+1=，所以x-1=-，或x-1=(舍去)，所以x=.2.在某中学篮球体育测试要求学生完成“立定投篮”和“三步上篮”两项测试，“立定投篮”与“三步上篮”各有2次投篮机会，先进行“立定投篮”测试，如果合格才有机会进行“三步上篮”测试，为了节约时间，每项只需且必须投中一次即为合格.小明同学“立定投篮”的命中率为，“三步上篮”的命中率为，假设小明不放弃任何一次投篮机会且每次投篮是否命中互不影响，求小明同学一次测试合格的概率.【解析】设小明第i次“立定投篮”命中为事件A i，第i次“三步上篮”命中为事件B i(i=1，2)，依题意有P(A i)=，P(B i)=(i=1，2)，“小明同学一次测试合格”为事件C.P()=P()+P(A2)+P(A1)=P()P()+P()P(A2)P()P()+P(A1)·P()P()=+××+×=.所以P(C)=1-=.。
高中数学必修二 10 2 事件的相互独立性 练习(含答案)
10.2 事件的相互独立性一、选择题1．下列事件A,B是独立事件的是()A．一枚硬币掷两次,A=“第一次为正面向上”,B=“第二次为反面向上”B．袋中有两个白球和两个黑球,不放回地摸两球,A=“第一次摸到白球”,B=“第二次摸到白球”C．掷一枚骰子,A=“出现点数为奇数”,B=“出现点数为偶数”D．A=“人能活到20岁”,B=“人能活到50岁”【答案】A【解析】对于A选项，,A B两个事件发生，没有关系，故是相互独立事件.对于B选项，A事件发生时，影响到B事件，故不是相互独立事件.对于C选项，由于投的是一个骰子，,A B是对立事件，所以不是相互独立事件.对于D选项，能活到20岁的，可能也能活到50岁，故,A B不是相互独立事件.综上所述，本小题选A.2．在某次考试中，甲、乙通过的概率分别为0.7，0.4，若两人考试相互独立，则甲未通过而乙通过的概率为A．0.28B．0.12C．0.42D．0.16【答案】B【解析】甲未通过的概率为0.3，则甲未通过而乙通过的概率为0.30.40.12⨯=．选B.3．甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人的能荣获一等奖的概率分别为23和34，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为（）A．34B．23C．57D．512【答案】D【解析】设甲、乙获一等奖的概率分别是23(),()34P A P B ==，不获一等奖的概率是2131()1,()13344P A P B =-==-=，则这两人中恰有一人获奖的事件的概率为：13215()()()()()()()343412P AB AB P AB P AB P A P B P A P B +=+=+=⨯+⨯=。
4．甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军,乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为( )A ．34B ．23C ．35D ．12【答案】A【解析】甲赢的方式分为两种：第一场赢，或者第一场输且第二场赢.甲第一场赢的概率为12，甲第一场输第二场赢的概率为1111224⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭.故甲赢得冠军的概率为311244+=.故选A. 5．（多选题）下列各对事件中,不是相互独立事件的有( )A ．运动员甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”B ．甲､乙两运动员各射击一次,“甲射中10环”与“乙射中9环”C ．甲､乙两运动员各射击一次,“甲､乙都射中目标”与“甲､乙都没有射中目标”D ．甲､乙两运动员各射击一次,“至少有1人射中目标”与“甲射中目标但乙未射中目标”【答案】ACD【解析】在A 中,甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”两个事件不可能同时发生,二者是互斥事件,不独立;在B 中,甲､乙各射击一次,“甲射中10环”发生与否对“乙射中9环”的概率没有影响,二者是相互独立事件;在C 中,甲,乙各射击一次,“甲､乙都射中目标”与“甲､乙都没有射中目标“不可能同时发生,二者是互斥事件,不独立;在D 中,设“至少有1人射中目标”为事件A ,“甲射中目标但乙未射中目标”为事件B ,则AB B =,因此当()1P A ≠时,()()()P AB P A P B ≠⋅,故A ､B 不独立,6．（多选题）甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以1A ，2A 表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出1个球，以B 表示从乙罐中取出的球是红球的事件，下列命题正确的是（ ）A ．23()30PB = B ．事件B 与事件1A 相互独立C ．事件B 与事件2A 相互独立D ．1A ，2A 互斥【答案】AD 【解析】根据题意画出树状图，得到有关事件的样本点数：因此()1183305P A ==，()2122305P A ==，15823()3030P B +==，A 正确； 又115()30P A B =，因此()()11()P A B P A P B ≠，B 错误；同理，C 错误； 1A ，2A 不可能同时发生，故彼此互斥，故D 正确，故选：AD ．二、填空题7．甲射手击中靶心的概率为13，乙射手击中靶心的概率为12，甲、乙两人各射击一次，那么甲、乙不全击中靶心的概率为__________． 【答案】56【解析】由于两个人射击是相互独立的，故不全中靶心的概率为1151326-⋅=. 8．甲、乙两队进行篮球决赛，采取三场二胜制（当一队赢得二场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以2:1获胜的概率是_____．【答案】0.3【解析】甲队的主客场安排依次为“主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，甲队以2:1获胜的是指甲队前两场比赛中一胜一负，第三场比赛甲胜，则甲队以2:1获胜的概率是：0.60.50.60.40.50.60.3P=⨯⨯+⨯⨯=.9．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于.【答案】【解析】根据题意，记该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮为A，若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，必有第二个问题回答错误，第三、四个回答正确，第一个问题可对可错；有相互独立事件的概率乘法公式，可得P（A）=1×0.2×0.8×0.8=0.128，故答案为0.128.法二：根据题意，记该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮为A，若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，必有第二个问题回答错误，第三、四个回答正确，第一个问题可对可错，由此分两类，第一个答错与第一个答对；有相互独立事件的概率乘法公式，可得P（A）=0.8×0.2×0.8×0.8+0.2×0.2×0.8×0.8=0.2×0.8×0.8=0.12810．一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为8081，则此射手的命中率是______．【答案】2 3【解析】设此射手每次射击命中的概率为p ，分析可得，至少命中一次的对立事件为射击四次全都没有命中，由题意可知一射手对同一目标独立地射击四次全都没有命中的概率为80118181-=． 则41(1)81p -=，可解得23p =，故答案为23． 三、解答题 11．假定生男孩和生女孩是等可能的，令A =｛一个家庭中既有男孩又有女孩｝，B =｛一个家庭中最多有一个女孩｝.对下述两种情形，讨论A 与B 的独立性.（1）家庭中有两个小孩；（2）家庭中有三个小孩.【答案】（1）A ，B 不相互独立 （2）A 与B 是相互独立【解析】（1）有两个小孩的家庭,小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω={（男,男）,（男,女）,（女,男）,（女,女）},它有4个样本点 由等可能性可知每个样本点发生的概率均为14这时A ={（男,女）,（女,男）},B ={（男,男）,（男,女）,（女,男）},AB ={（男,女）,（女,男）} 于是()()()131,,242P A P B P AB === 由此可知()()()P AB P A P B ≠所以事件A ,B 不相互独立.（2）有三个小孩的家庭,小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω={（男,男,男）,（男,男,女）,（男,女,男）,（女,男,男）,（男,女,女）,（女,男,女）,（女,女,男）,（女,女,女）}. 由等可能性可知每个样本点发生的概率均为18, 这时A 中含有6个样本点,B 中含有4个样本点,AB 中含有3个样本点.于是()()()63413,,84828P A P B P AB =====, 显然有()()()P AB P A P B =成立,从而事件A 与B 是相互独立的.12．计算机考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为45，34，23，在实际操作考试中“合格”的概率依次为12，23，56，所有考试是否合格相互之间没有影响. （1）假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？（2）这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率.【答案】（1）丙；（2）1130【解析】（1）设“甲获得合格证书”为事件A ，“乙获得合格证书”为事件B ，“丙获得合格证书”为事件C ， 则412()525P A =⨯=，321()432P B =⨯=，255()369P C =⨯=. 因为()()()P C P B P A >>，所以丙获得合格证书的可能性最大.（2）设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D ，则21421531511()()()()52952952930P D P ABC P ABC P ABC =++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.。
第十章 概率 10.2事件的相互独立性专题训练
第十章概率 10.2事件的相互独立性学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题1.位于直角坐标系原点的质点P按以下规则移动:①每次移动一个单位,②向左移动的概率为14，向右移动的概率为34.移动5次后落点在(1,0)-的概率为( )A.32351344C⎛⎫⎛⎫⨯⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B.23351344C⎛⎫⎛⎫⨯⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.32241344C⎛⎫⎛⎫⨯⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.23241344C⎛⎫⎛⎫⨯⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2.在某次人才招聘会上，假定某毕业生赢得甲公司面试机会的概率为23，赢得乙、丙两公司面试机会的概率均为14，且三个公司是否让其面试是相互独立的.则该毕业生只赢得甲、乙两个公司面试机会的概率为（）A.116B.18C.14D.123.甲、乙两人比赛,平手的概率为12,乙获胜的概率为13,则下列说法正确的是( )A.甲获胜的概率是16B.甲不输的概率是12C.乙输的概率是23D.乙不输的概率是124.抛掷一枚均匀的骰子两次,在下列事件中,与事件“第一次得到6点”不互相独立的事件是( )A.“两次得到的点数和是12”B.“第二次得到6点”C.“第二次的点数不超过3点”D.“第二次的点数是奇数”5.在如图所示的电路图中，开关,,a b c闭合与断开的概率都是12，且是相互独立的，则灯灭的概率是 ( )A．18 B．38C．58D．786.投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )A.0.648B.0.432C.0.36D.0.3127.甲、乙两队进行排球决赛.现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军,乙队需要再赢两局才能获得冠军.若两队每局获胜的概率相同,则甲队获得冠军的概率为( ) A. 12 B. 35 C. 23 D. 348.端午节放假,甲、乙、丙回老家过节的概率分別为111,,345.假定三人的行动相互之间没有影响,那么这段时间内至少有1人回老家过节的概率为( )A. 5960B. 35C. 12D. 1609.袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，如果“第一次摸得白球”记为事件A ,“第二次摸得白球”记为事件B ,那么事件A 与B , A 与B 间的关系是( )A. A 与B , A 与B 均相互独立B. A 与B 相互独立, A 与B 互斥C. A 与B , A 与B 均互斥D. A 与B 互斥，A 与B 相互独立10.从一箱产品中随机地抽取一件,设事件A ={抽到一等品},事件 B ={抽到二等品},事件C ={抽到三等品},且已知()0.65P A =,()0.2P B =,()0.1P C =,则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为( )A. 0.7B. 0.65C. 0.35D. 0.3二、填空题11.甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0.6，则其中恰有一人击中目标的概率是________．12.设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19, A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同, 则事件A 发生的概率()P A =__________. 13.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4:1获胜的概率是________.14.如图,系统M 由,,,A B C D 四类不同的元件构成.当元件,3A i 至少有一个正常工作且元件,C D 至少有一个正常工作时,系统M 正常工作.已知元件,,,A B C D 正常工作的概率依次为0.5,0.6,0.7,0.8,元件连接成的系统M 正常工作的概率()P M =__________.15.如图 ,已知电路中有4个开关,每个开关独立工作,且闭合的概率为12,则灯亮的概率为_______.三、解答题16.甲乙两名射击运动员分别对一目标射击一次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：1.2人都射中目标的概率；2.2人中恰有1人射中目标的概率；3.2人至少有1人射中目标的概率。
高二数学《事件的相互独立性》课后作业
事件的相互独立性1、甲乙丙射击命中目标的概率分别为12、14、112，现在三人射击一个目标各一次，目标被设计中的概率是（ ）A. 196B. 4796C. 2132D. 56 2、三个同学同时作一电学实验，成功的概率分别为1P ,2P ,3P ,则此实验在三人中恰有两个人成功的概率是3、甲、乙射击运动员分别对一目标射击一次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，则2人中至少有一人射中的概率是4、甲．乙、丙三位同学完成六道数学自测题，他们及格的概率依次为45、35、710，求：（1） 三人中有且只有两人及格的概率；（2） 三人中至少有一人不及格的概率。
5、设A 、B 为两个事件，若P(A)=0.4, ()()0.7,p A B P B x ==，试求满足下列条件的X 的值：（1） A 与B 为互斥事件（2） A 与B 为独立事件参考答案：1、C 2、()()()123132231111PP P PP P P P P -+-+- 3、 0.984、解：设甲．乙、丙答题及格分别为事件A 、B 、C ，则A 、B 、C 相互独立。
(1) 三人中有且只有2人及格的概率为()()()()()()1P P AB C P A B C P A BC P A P B P C P A P B P C P A P B P C ------------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=⋅++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭437437437113111551055105510250⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (2). 三人中至少有一人不及格的概率为()()()()2437831115510125P P ABC P A P B P C =-=-=-⨯⨯= 5、解：（1）因为A 与B 为互斥事件，所以A B =∅.故()P A B = ()p A B --()P A -- ()P B =0.7--0.4—X,所以X=0.3(2).因为 A 与B 为独立事件，所以()P A B = ()P A ⋅ ()P B ，由此可得，()p A B = ()P A + ()P B -- ()P A B = ()P A + ()P B --()P A ⋅ ()P B ，即0.7=0.4+X-0.4X 解得X=0.5。
10-2 事件的相互独立性——高一数学人教A版(2019)必修第二册洞悉课后习题
10.2 事件的相互独立性——高一数学人教A 版（2019）必修第二册洞悉课后习题【教材课后习题】1.掷两枚质地均匀的骰子，设A =“第一枚出现奇数点”，B =“第二枚出现偶数点”，则A 与B 的关系为( ) A.互斥B.互为对立C.相互独立D.相等2.假设()0.7P A =，()0.8P B =，且A 与B 相互独立，则()P AB = _______，()P A B =_______.3.若()0P A >，()0P B >，证明：事件A ，B 相互独立与A ，B 互斥不能同时成立.4.甲、乙两人独立地破译份密码，已知各人能破译的概率分别是13，14，求：（1）两人都成功破译的概率； （2）密码被成功破译的概率.5.如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为{1,2,3,4,5,6,7,8}Ω=.构造适当的事件A ，B ，C ，使()()()()P ABC P A P B P C =成立，但不满足A ，B ，C 两两独立.6.分析如下三个随机试验及指定的随机事件，并解答下面的问题.1E ：抛掷两枚质地均匀的硬币；事件A =“两枚都正面朝上”.2E ：向一个目标射击两次，每次命中目标的概率为0.6；事件B =“命中两次目标”.3E ：从包含2个红球、3个黄球的袋子中依次任意摸出两球；事件C “两次都摸到红球”.（1）用适当的符号表示试验的可能结果，分别写出各试验的样本空间； （2）指出这三个试验的共同特征和区别； （3）分别求A ，B ，C 的概率.【定点变式训练】7.某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织4位同学参加.假设李老师和张老师各自分别将活动通知的信息独立且随机地发给4位同学，且所发信息都能收到.则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为( ) A.25B.1225C.1625D.458.某校组织《最强大脑》PK 赛，最终A ，B 两队进入决赛，两队各由3名选手组成，每局两队各派一名选手PK ，除第三局胜者得2分外，其余各局胜者均得1分，负者得0分.假设每局比赛A 队选手获胜的概率均为23，且各局比赛结果相互独立，比赛结束时A 队的得分高于B 队的得分的概率为( ) A.827B.49C.1627D.20279.一个旅行团到漳州旅游，有百花村与云洞岩两个景点可选择，该旅行团选择去哪个景点相互独立.若旅行团选择两个景点都去的概率是49，只去百花村不去云洞岩与只去云洞岩不去百花村的概率相等，则旅行团选择去百花村的概率是( ) A.23B.C.49D.10.某次战役中，狙击手A 受命射击敌机，若要击落敌机，需命中机首2次或命中机中3次或命中机尾1次，已知A 每次射击，命中机首、机中、机尾的概率分别为0.2，0.4，0.1，未命中敌机的概率为0.3，且各次射击相互独立.若A 至多射击2次，则他能击落敌机的概率为( ) A.0.23B.0.2C.0.16D.0.1131911.如图所示，已知电路中4个开关闭合的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率为( )A.B.316C.D.131612.甲、乙两位同学各拿出6张游戏牌，用作抛骰子的奖品，两人商定：骰子朝上的面的点数为奇数时甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜，得到所有12张游戏牌，并结束游戏.比赛开始后，甲积2分，乙积1分，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏，下面对这12张游戏牌的分配合理的是( )A.甲得9张，乙得3张B.甲得6张，乙得6张C.甲得8张，乙得4张D.甲得10张，乙得2张13.设某批电子手表的正品率为23，次品率为13，现对该批电子手表进行检测，每次抽取一个电子手表，假设每次检测相互独立，则第3次首次检测到次品的概率为___________.14.事件A ，B ，C 是互相独立的事件，若1()6P AB =，1()8P BC =，1()8P ABC =，则()P B =_______________.15.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________.16.第五届移动互联网创新大赛，于2019年3月到10月期间举行，为了选出优秀选手，某高校先在计算机科学系选出一名种子选手甲，再从全校征集出3位志愿者分别与甲进行一场技术对抗赛，根据以往经验，甲与这三位志愿者进行比赛一场获胜的概率分别为332,,453，且各场输赢互不影响.11614求甲恰好获胜两场的概率.17.小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求：(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率.(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率.答案以及解析1.答案：C解析：因为A ，B 中有相同的样本点，如(1,2)，故选项A 、B 错误；因为A 中含有B 中没有的样本点，如，故选项D 错误； 因为1()2P A =，，91()364P AB ==，所以()()()P AB P A P B =，故选项C.正确.2.答案：0.56；0.94解析：，.. 3.答案：见解析解析：若事件A ，B 相互独立，则()()()0P AB P A P B =>，所以()0P AB ≠，即A ，B 不互斥.若事件A ，B 互斥，则()0P AB =，因为()()0P A P B ⋅>，所以()()()P AB P A P B ≠，即A ，B 不独立.所以事件A ，B 相互独立与A ，B 互斥不能同时成立. 4.答案：（1）112（2）12解析：设A =“甲能破译密码”，B =“能破译密码”，则A ，B 相互独立.由题意知1()3P A =，1()4P B =. （1）111()()()3412P AB P A P B ==⨯=；（2）1111()()()()34122P A B P A P B P AB =+-=+-=.5.答案：A 与B ，A 与C ，B 与C 都不相互独立解析：设{1,2,3,4}A =，{1,2,3,5}B =，{1,6,7,8}C =，则{1}ABC =，{1,2,3}AB =，(1,1)1()2P B =()()()0.70.80.56P AB P A P B ==⨯=()()()()0.70.80.560.94P A B P A P B P AB =+-=+-={1}AC =，{1}BC =，所以1()()()2P A P B P C ===，3()8P AB =，1()()8P AC P BC ==，1()8P ABC =.所以()()()()P ABC P A P B P C =⋅，但()()()P AB P A P B ≠，()()()P AC P A P C ≠，()()()P BC P B P C ≠，即A 与B ，A 与C ，B 与C 都不相互独立.6.答案：（1）1E 的空间可表示为1{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}Ω=；2E 的样本空间可表示为2{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}Ω=； 3E 的样本空间可表示为3){(0,0),(0,1,(1,0),(1,1)}Ω=（2）三个试验的共同特征：完成一次试验都要观察两个指标，即样本点中包含两个要素，并且每个要素都只有两种可能结果.所以它们的样本点都可以用有序数对来表示，并且具有相同的表达形式.三个试验的区别：1E 中的样本点具有等可能性，2E ，3E 中的样本点不是等可能的. （3）1()4P A =；()0.36P B =；1()10P C = 解析：（1）1E 中用有序数对(,)m n ，m ，{0,1}n ∈表示样本点，其中0表示“反面朝上”，1表示“正面朝上”.其样本空间可表示为1{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}Ω=.2E 中用有序数对()12,x x ，1x ，2{0,1}x ∈表示样本点，其中0表示“末命中”，1表示“命中”.其样本空间可表示为2{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}Ω=.3E 中用有序数对(,)x y ，x ，{0,1}y ∈表示样本点，其中0表示“摸到红球”，1表示“摸到黄球”.其样本空间可表示为3){(0,0),(0,1,(1,0),(1,1)}Ω=. （3）1()4P A =；()0.60.60.36P B =⨯=；1()10P C =. 7.答案：C解析：设“甲同学收到李老师的信息”为事件A ，“收到张老师的信息”为事件B ，A ，B 相互独立，，则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为33161()1(1())(1())15525P AB P A P B -=---=-⨯=.故选C. 8.答案：C解析：比赛结束时A 队的得分高于B 队的得分包含三种情况：①A 全胜；②第一局A 胜，第二局B 胜，第三局A 胜；③第一局B 胜，第二局A 胜，第三局A 胜.所以比赛结束时A 队的得分高于B 队的得分的概率. 故选C. 9.答案：A解析：用事件A 表示“旅行团选择去百花村”，事件B 表示“旅行团选择去云洞岩”，A ，B 相互独立，则4()9P AB =，.设()P A x =，，则4,9(1)(1),xy x y x y ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩解得或2,323x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（舍去），故旅行团选择去百花村的概率是.故选A. 10.答案：A解析：A 每次射击，命中机首、机中、机尾的概率分别为0.2，0.4，0.1，未命中敌机的概率为0.3，且各次射击相互独立.若A 射击1次就击落敌机，则他击中了敌机的机尾，概率为0.1；若A 射击2次就击落敌机，则他2次都击中了敌机的机首，概率为0.20.20.04⨯=或者第1次没有击中机尾且第2次击中了机尾，概率为，因此若A 至多射击2次，则他能击落敌机的概率为0.10.040.090.23++=.故选A.11.答案：D解析：由题意，灯泡不亮包括4个开关都断开；甲、丙、丁都断开，乙闭合；乙、丙、丁都断开，甲闭合，这三种情况是互斥的，每一种情况中的事件都是42()()105P A P B ===3221212216333333327P ⎛⎫=+⨯⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭()()P AB P AB =()P B y =2,323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩230.90.10.09⨯=相互独立的，所以灯泡不亮的概率为，所以灯亮的概率为31311616-=.故选D. 12.答案：A解析：由题意，得骰子朝上的面的点数为奇数的概率为，即甲、乙每局得分的概率相等，所以甲获胜的概率是11132224+⨯=， 乙获胜的概率是.所以甲得到的游戏牌为31294⨯=（张）， 乙得到的游戏牌为（张）.故选A. 13.答案：427解析：因为第3次首次检测到次品，所以第1次和第2次检测到的都是正品，第3次检测到的是次品，所以第3次首次检测到次品的概率为. 14.答案：12解析：设，()P B b =，， 因为1()6P AB =，1()8P BC =，1()8P ABC =，所以1,61(1),81(1),8ab b c ab c ⎧=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪-=⎪⎩所以1,31,21.4a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩所以1()2P B =.15.答案：16；23解析：甲，乙两球都落入盒子的概率为111236⨯=.方法一：甲、乙两球至少有一个落入盒子的情形包括：①甲落入、乙未落入的概率为121233⨯=；②甲未落入，乙落入的概率为111236⨯=；③甲，乙均落入的概率为111236⨯=.所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为11123663++=.111111111111322222222222216⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=12111224⨯=11234⨯=221433327⨯⨯=()P A a =()P C c =方法二：甲，乙两球均未落入盒子的概率为121233⨯=，则甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为12133-=. 16.答案：概率为920解析：设甲与三位志愿者比赛一场获胜的事件分别为A ，B ，C ， 则， 则甲恰好获胜两场的概率为：()()()()()()()()()()()()P P ABC P ABC P ABC P A P B P C P A P B P C P A P B P C =++=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅ .17.答案：(1)概率为0.398. (2)概率为0.994.解析：(1)用A ，B ，C 分别表示这三列火车正点到达的事件，则()0.8,()0.7,()0.9P A P B P C ===，所以. 由题意得A ，B ，C 之间互相独立， 所以恰好有两列火车正点到达的概率为1()()()P P ABC P ABC P ABC =++0.20.70.90.80.30.90.80.70.10.398=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为.332(),(),()453P A P B P C ===332332332911145345345320⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()0.2,()0.3,()0.1P A P B P C ===()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C =+⋅+21()1()()()10.20.30.10.994P P ABC P A P B P C =-=-⋅=-⨯⨯=。
事件的独立性练习题及答案
事件的相互独立性巩固与提高练习A 组一、选择题1、若A 与B 相互独立，则下面不相互独立的事件是（ ）A. A 与A --B.A 与B --C. A -- 与BD. A --与B --2、抛掷一颗骰子一次,记A 表示事件:出现偶数点，B 表示事件：出现3点或6点，则事件A 与B 的关系。
（ ）A 、相互互斥事件B 、相互独立事件C 、既相互互斥事件又相互独立事件D 、既不互斥事件又不独立事件3、在下列命题中为假命题的是（ ）A 、概率为0的事件与任何事件都是互相独立的B 、互斥的两个事件一定不是相互独立的，同样互相独立的两个事件也一定不是互斥的C 、必然事件与不可能事件是相互独立的D 、概率为1的事件与任何事件都是相互独立的4、甲乙丙射击命中目标的概率分别为12、14、112，现在三人射击一个目标各一次，目标被设计中的概率是（ ）A 、 196B 、 4796C 、 2132D 、 56 二、填空题5、某商场经理根据以往经验知道，有40%的客户在结账时会使用信用卡，则连续三位顾客都使用信用卡的概率为 .6、三个同学同时作一电学实验，成功的概率分别为1P ,2P ,3P ,则此实验在三人中恰有两个人成功的概率是 .7、甲、乙射击运动员分别对一目标射击一次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，则2人中至少有一人射中的概率是 .三、解答题8、甲．乙、丙三位同学完成六道数学自测题，他们及格的概率依次为45、35、710，求：（1）三人中有且只有两人及格的概率；（2）三人中至少有一人不及格的概率。
B 组一、选择题1、设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同则事件A 发生的概率P （A ）是（ ）A. 23B. 13C. 19 D 1182、假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障率为1-P ，且各引擎是否有故障是独立的，如有至少50%的引擎能正常运行，飞机就可以成功飞行，若使4引擎飞机比2引擎飞机更安全，则P 的取值范围是（ ）A ． 2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ D 10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题3、每门高射炮射击飞机的命中率为0.6，至少要 门高射炮独立的对飞机同时进行一次射击就可以使击中的概率超过0.98.4、甲、乙两人同时应聘一个工作岗位，若甲、乙被应聘的概率分别为0.5和0.6两人被聘用是相互独立的，则甲、乙两人中最多有一人被聘用的概率 .三、解答题5、设A 、B 为两个事件，若P(A)=0.4, ()()0.7,p A B P B x ==，试求满足下列条件的X 的值：（1）A 与B 为互斥事件（2）A 与B 为独立事件习题答案A 组一、选择题1、若A 与B 相互独立，则下面不相互独立的事件是（A ）A. A 与A --B.A 与B --C. A -- 与BD. A --与B --2、抛掷一颗骰子一次,记A 表示事件:出现偶数点，B 表示事件：出现3点或6点，则事件A 与B 的关系。
高中数学2-3检测： 事件的相互独立性(附解析)
1．下列事件A ，B 是相互独立事件的是( )A ．一枚硬币掷两次，A ＝“第一次为正面”，B ＝“第二次为反面”B ．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸球两次，每次摸一球，A ＝“第一次摸到白球”，B＝“第二次摸到白球”C ．掷一枚骰子，A ＝“出现点数为奇数”，B ＝“出现点数为偶数”D ．A ＝“一个灯泡能用1000小时”，B ＝“一个灯泡能用2000小时”2．坛子中放有3个白球，2个黑球，从中进行不放回地取球2次，每次取一球，用A 1表示第一次取得白球，A 2表示第二次取得白球，则A 1和A 2是( )A ．互斥的事件B ．相互独立的事件C ．对立的事件D ．不相互独立的事件3．如图，元件A i (i ＝1,2,3,4)通过电流的概率是0.9，且各元件是否通过电流相互独立，则电流能在M ，N 之间通过的概率是( )A ．0.729B ．0.8829C ．0.864D ．0.98913题 4题4．如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )A.49B.29C.23D.135．在某道路A ，B ，C 三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这个道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为________．6．甲、乙两颗卫星同时独立的监测台风．在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为( ) A ．0.95 B ．0.6 C ．0.05 D ．0.47．甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为12和13，两人同时参加测试，其中有且只有一人能通过的概率是( )A.13B.23C.12 D ．18．同学甲参加某科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错或不答均得零分．假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.6,0.5，且各题答对与否相互之间没有影响，则同学甲得分不低于300分的概率是________．9.李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立)：(1)(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率．1．下列事件A ，B 是相互独立事件的是( )A ．一枚硬币掷两次，A ＝“第一次为正面”，B ＝“第二次为反面”B ．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸球两次，每次摸一球，A ＝“第一次摸到白球”，B ＝“第二次摸到白球”C ．掷一枚骰子，A ＝“出现点数为奇数”，B ＝“出现点数为偶数”D ．A ＝“一个灯泡能用1000小时”，B ＝“一个灯泡能用2000小时”[解析] 把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故A 是相互独立事件；B 中是不放回地摸球，显然A 事件与B 事件不相互独立；对于C ，其结果具有唯一性，A ，B 应为对立事件；D 中事件B 受事件A 的影响．故选A.2．坛子中放有3个白球，2个黑球，从中进行不放回地取球2次，每次取一球，用A 1表示第一次取得白球，A 2表示第二次取得白球，则A 1和A 2是( )A ．互斥的事件B ．相互独立的事件C ．对立的事件D ．不相互独立的事件[解析] P (A 1)＝35，若A 1发生，则P (A 2)＝24＝12；若A 1不发生，则P (A 2)＝34，即A 1发生的结果对A 2发生的结果有影响，故A 1与A 2不是相互独立事件．故选D.3．如图，元件A i (i ＝1,2,3,4)通过电流的概率是0.9，且各元件是否通过电流相互独立，则电流能在M ，N 之间通过的概率是( )A ．0.729B ．0.8829C ．0.864D ．0.98913题 4题[解析] 电流能通过A 1，A 2的概率为0.9×0.9＝0.81，电流能通过A 3的概率为0.9，故电流不能通过A 1，A 2且也不能通过A 3的概率为(1－0.81)×(1－0.9)＝0.019.故电流能通过系统A 1，A 2，A 3的概率为1－0.019＝0.981.而电流能通过A 4的概率为0.9，故电流能在M ，N 之间通过的概率是0.981×0.9＝0.8829.[答案] B4．如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )A.49 B.29 C.23 D.13[解析] “左边圆盘指针落在奇数区域”记为事件A ，则P (A )＝46＝23，“右边圆盘指针落在奇数区域”记为事件B ，则P (B )＝46＝23，事件A 、B 相互独立，所以两个指针同时落在奇数区域的概率为23×23＝49，故选A.5．在某道路A ，B ，C 三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这个道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为________．[解析] 由题意可知，每个交通灯开放绿灯的概率分别为512，712，34.在这个道路上匀速行驶， 则三处都不停车的概率为512×712×34＝35192.[答案] 351926．甲、乙两颗卫星同时独立的监测台风．在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为( ) A ．0.95 B ．0.6 C ．0.05 D ．0.4[解析] 解法一：在同一时刻至少有一颗卫星预报准确可分为：①甲预报准确，乙预报不准确；②甲预报不准确，乙预报准确；③甲预报准确，乙预报准确．这三个事件彼此互斥，故事件的概率为0.8×(1－0.75)＋(1－0.8)×0.75＋0.8×0.75＝0.95.解法二：“在同一时刻至少有一颗卫星预报准确”的对立事件是“在同一时刻甲、乙两颗卫星预报都不准确”，故事件的概率为1－(1－0.8)(1－0.75)＝0.95.故选A.7．甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为12和13，两人同时参加测试，其中有且只有一人能通过的概率是( ) A.13 B.23 C.12 D ．1[解析] 设事件A 表示“甲通过听力测试”，事件B 表示“乙通过听力测试”．依题意知，事件A 和B 相互独立，且P (A )＝12，P (B )＝13.记“有且只有一人通过听力测试”为事件C ，则)()(B A B A C --= ，且-B A 和B A -互斥．故P (C )＝)()(B A B A P --＝P (-B A )＋P (B A -)＝P (A )P (-B )＋P (-A )P (B )＝12×⎪⎭⎫ ⎝⎛-311＋⎪⎭⎫ ⎝⎛-211×13＝12.[答案] C8．同学甲参加某科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错或不答均得零分．假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.6,0.5，且各题答对与否相互之间没有影响，则同学甲得分不低于300分的概率是________．[解析] 设“同学甲答对第i 个题”为事件A i (i ＝1,2,3)，则P (A 1)＝0.8，P (A 2)＝0.6，P (A 3)＝0.5，且A 1，A 2，A 3相互独立，同学甲得分不低于300分对应于事件(A 1A 2A 3)∪(A 1-2A A 3) ∪(-1A A 2A 3)发生， 故所求概率为P ＝P (A 1A 2A 3∪A 1-2A A 3∪-1A A 2A 3)＝P (A 1A 2A 3)＋P (A 1-2A A 3)＋P (-1A A 2A 3)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (-2A )P (A 3)＋P (-1A )P (A 2)P (A 3)＝0.8×0.6×0.5＋0.8×0.4×0.5＋0.2×0.6×0.5＝0.46.9.李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立)：(1)(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率．解(1)根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的场次有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4.所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.(2)设事件A为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件B为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件C为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”．则C＝-BA∪BA-，A，B独立．根据投篮统计数据，P(A)＝35，P(B)＝25. P(C)＝P(-BA)＋P(BA-)＝35×35＋25×25＝1325.故在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为13 25.。
高中数学课时练习13事件的相互独立性含解析新人教A版选修2_3
事件的相互独立性【基础全面练】 (15分钟 30分)1．下列各对事件中，是相互独立事件的有( ) A ．运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”B ．甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”C ．甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”D ．甲、乙两运动员各射击一次，“至少有1人射中目标”与“甲射中目标但乙未射中目标” 【解析】选B.在A 中，甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”两个事件不可能同时发生，二者是互斥事件，不独立；在B 中，甲、乙各射击一次，“甲射中10环”发生与否对“乙射中9环”的概率没有影响，二者是相互独立事件；在C 中，甲，乙各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标“不可能同时发生，二者是互斥事件，不独立；在D 中，设“至少有1人射中目标”为事件M ，“甲射中目标但乙未射中目标”为事件N ，则MN ＝N ，因此当P(M)≠1时，P(MN)≠P(M)·P(N)，故A 、B 不独立．2．一件产品要经过两道独立的工序，第一道工序的次品率为a ，第二道工序的次品率为b ，则该产品的正品率为________．【解析】由于经过两道工序才能生产出一件产品，当两道工序都合格时才能生产出正品，又由于两道工序相互独立，则该产品的正品率为(1－a)(1－b). 答案：(1－a)(1－b)3．在甲盒内的200个螺杆中有160个是A 型，在乙盒内的240个螺母中有180个是A 型．若从甲、乙两盒内各取一个，则能配成A 型螺栓的概率为________．【解析】从甲盒内取一个A 型螺杆记为事件M ，从乙盒内取一个A 型螺母记为事件N ，因事件M ，N 相互独立，则能配成A 型螺栓(即一个A 型螺杆与一个A 型螺母)的概率为P(MN)＝P(M)P(N)＝160200 ×180240 ＝35 .答案：354．甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球．从每袋中任取一个球，则取得同色球的概率为________.【解析】若都取到白球，P 1＝812 ×612 ＝13 ，若都取到红球，P 2＝412 ×612 ＝16 ，则所求概率P ＝P 1＋P 2＝13 ＋16 ＝12.答案：125．(2020·北京高考)某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如表：假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．(1)分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；(2)从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；(3)将该校学生支持方案二的概率的估计值记为p 0，假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为p 1，试比较p 0与p 1的大小．(结论不要求证明)【命题意图】考查随机抽样、用样本估计总体、用频率估计概率、随机事件的关系等． 【解析】(1)样本中，男生支持方案一的频率为200200＋400 ＝13，女生支持方案一的频率为300300＋100 ＝34，用样本估计总体，用频率估计概率，所以估计该校男生支持方案一的概率为13 ，女生支持方案一的概率为34.(2)记事件A i (i ＝1，2)为抽取的第i 个男生支持，事件B 为抽取的女生支持，则P(A i )＝13 ，P(B)＝34 ，所求概率p ＝P(A 1A 2B ＋A 1A 2B ＋A 1A 2B)＝P(A 1A 2B )＋P(A 1A 2B)＋P(A 1A 2B)＝13×13 ×(1－34 )＋13 ×(1－13 )×34 ＋(1－13 )×13 ×34 ＝1336； (3)p 0＝350＋150350＋250＋150＋250 ＝12 .估计全校男生支持方案二的概率为350350＋250 ＝712 ，女生支持方案二的概率为150150＋250 ＝38 .除一年级以外男生有100名，女生有100名，估计其中支持方案二的有712 ×100(名)，38×100(名)，p 1＝712×100＋38×100100＋100 ＝2348 ，所以p 0>p 1.【综合突破练】 (30分钟 60分) 一、选择题(每小题5分，共25分)1．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.7，在目标被击中的情况下，甲、乙同时击中目标的概率为( ) A ．2144 B ．1522C ．2150D ．925【解析】选A.根据题意，记甲击中目标为事件A ，乙击中目标为事件B ，目标被击中为事件C ，则P(C)＝1－P(1A )P(1B)＝1－(1－0.6)×(1－0.7)＝0.88；则在目标被击中的情况下，甲、乙同时击中目标的概率为P ＝0.6×0.70.88 ＝2144.2．在荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一片跳到另一片)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A 片上，则跳三次之后停在A 片上的概率是( )A ．13B ．29C ．49D ．827【解析】选 A.由题意知逆时针方向跳的概率为23 ，顺时针方向跳的概率为13 ，青蛙跳三次要回到A 只有两条途径：第一条：按A→B→C→A，P 1＝23 ×23 ×23 ＝827 ；第二条：按A →C→B→A，P 2＝13 ×13 ×13 ＝127，所以跳三次之后停在A 上的概率为P 1＋P 2＝827 ＋127 ＝13.3．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军，乙队需要再赢两局才能获得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( ) A ．34 B ．23 C ．35 D ．12【解析】选A.问题等价为两类：第一类，比赛一局甲赢，其概率P 1＝12 ；第二类，需比赛2局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率P 2＝12 ×12 ＝14 .故甲队获得冠军的概率为P 1＋P 2＝34.4．甲射击命中目标的概率是12 ，乙命中目标的概率是13 ，丙命中目标的概率是14 .现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为( ) A ．34 B ．23 C ．45 D ．710【解析】选A.设“甲命中目标”为事件A ，“乙命中目标”为事件B ，“丙命中目标”为事件C ，则击中目标表示事件A ，B ，C 中至少有一个发生．又P(A B C )＝P(A )P(B )P(C )＝[1－P(A)]·[1－P(B)]·[1－P(C)]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12 ×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13 ×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14 ＝14. 故目标被击中的概率P ＝1－P(A B C )＝34.5．从甲袋中摸出一个红球的概率是13 ，从乙袋中摸出一个红球的概率是12 ，且从两个袋中摸球相互之间不受影响，从两袋中各摸出一个球，则23 等于( )A ．2个球不都是红球的概率B ．2个球都是红球的概率C ．至少有1个红球的概率D ．2个球中恰有1个红球的概率【解析】选C.分别记从甲、乙袋中摸出一个红球为事件A ，B ，则P(A)＝13 ，P(B)＝12 ，由于A ，B 相互独立，所以1－P(A )P(B )＝1－23 ×12 ＝23 .根据互斥事件可知C 正确．二、填空题(每小题5分，共15分)6．有一批书共100本，其中文科书40本，理科书60本，按装潢可分精装、平装两种，精装书70本，某人从这100本书中任取一本书，恰是文科书，放回后再任取1本，恰是精装书，这一事件的概率是__________．【解析】设“任取一本书是文科书”的事件为A ，“任取一本书是精装书”的事件为B ，则A ，B 是相互独立的事件，所求概率为P(AB).根据题意可知P(A)＝40100 ＝25 ，P(B)＝70100 ＝710 ，所以P(AB)＝P(A)·P(B)＝25 ×710 ＝725 .答案：725【补偿训练】某人一周晚上值班2次，在已知他周日一定值班的条件下，他在周六晚上值班的概率为________．【解析】设事件A 为“周日值班”，事件B 为“周六值班”， 则P(A)＝C 16 C 27 ，P(AB)＝1C 27 ，故P(B|A)＝P （AB ）P （A ） ＝16 .答案：167．(2021·银川高二检测)甲、乙两人独立地解决同一个问题，甲解决这个问题的概率是13 ，乙解决这个问题的概率是25 ，那么恰好有一个人解决这个问题的概率是________．【解析】记“甲解决问题”为事件A ，“乙解决问题”为事件B ， “恰有一人解决问题”为事件C ，则P(C)＝P(A B )＋P(A B) ＝P(A)P(B )＋P(A )P(B) ＝13 ×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25 ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13 ×25 ＝715 .答案：7158．事件A ，B ，C 相互独立，如果P(AB)＝16 ，P(B C)＝18 ，P(AB C )＝18 ，则P(B)＝________，P(A B)＝________．【解析】因为P(AB C )＝P(AB)P(C )＝16 P(C )＝18 ，所以P(C )＝34 ，即P(C)＝14 .又P(B C)＝P(B )·P(C)＝18 ，所以P(B )＝12 ，P(B)＝12 .又P(AB)＝16 ，则P(A)＝13，所以P(A B)＝P(A )·P(B)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13 ×12 ＝13.答案：12 13【补偿训练】某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为45 ，乙当选的概率为35 ，丙当选的概率为710. (1)求恰有一名同学当选的概率．(2)求至多有两人当选的概率．【解析】设甲、乙、丙当选的事件分别为A ，B ，C ， 则P(A)＝45 ，P(B)＝35 ，P(C)＝710 .(1)易知事件A ，B ，C 相互独立，所以恰有一名同学当选的概率为P(A B C )＋P(A B C )＋P(A B C) ＝P(A)P(B )P(C )＋P(A )P(B)P(C )＋P(A )P(B )P(C) ＝45 ×25 ×310 ＋15 ×35 ×310 ＋15 ×25 ×710 ＝47250 . (2)至多有两人当选的概率为1－P(ABC)＝1－P(A)P(B)P(C) ＝1－45 ×35 ×710 ＝83125.三、解答题(每小题10分，共20分)9．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率： (1)第3次拨号才接通电话． (2)拨号不超过3次而接通电话．【解析】设A i ＝{第i 次拨号接通电话}，i ＝1，2，3. (1)第3次拨号才接通电话可表示为A 1 A 2A 3， 于是所求概率为P(A 1 A 2A 3)＝910 ×89 ×18 ＝110.(2)拨号不超过3次而接通电话可表示为A 1＋A 1A 2＋A 1 A 2A 3， 于是所求概率为P(A 1＋A 1A 2＋A 1 A 2A 3)＝P(A 1)＋P(A 1A 2)＋P(A 1 A 2A 3) ＝110 ＋910 ×19 ＋910 ×89 ×18 ＝310. 10．根据资料统计，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.6，购买甲、乙保险相互独立，各车主间相互独立． (1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率． (2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率． (3)求一位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率．【解析】记A 表示事件“购买甲种保险”，B 表示事件“购买乙种保险”，则由题意得A 与B ，A 与B ，A 与B ，A 与B 都是相互独立事件，且P(A)＝0.5，P(B)＝0.6.(1)记C 表示事件“同时购买甲、乙两种保险”． 所以P(C)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.5×0.6＝0.3.(2)记D 表示事件“购买乙种保险但不购买甲种保险”，则D ＝A B. 所以P(D)＝P(A B)＝P(A )P(B)＝(1－0.5)×0.6＝0.3.(3)记E 表示事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”，则事件E 包括A B ，A B ，AB ，且它们彼此为互斥事件．所以P(E)＝P(A B ∪A B ∪AB)＝P(A B)＋P(A B )＋P(AB) ＝0.5×0.6＋0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.8.【一题多解】解答第(3)题还可以用如下的方法解决：事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”与事件“甲、乙两种保险都不购买”为对立事件． 所以P(E)＝1－P(A B )＝1－(1－0.5)×(1－0.6)＝0.8. 【创新迁移练】1．(2021·桂林高二检测)近两年来，以《中国诗词大会》为代表的中国文化类电视节目带动了一股中国文化热潮．某台举办闯关答题比赛，共分两轮，每轮共有4类题型，选手从前往后逐类回答，若中途回答错误，立马淘汰，若全部回答正确，就能获得一枚复活币并进行下一轮答题，两轮都通过就可以获得最终奖金．选手在第一轮闯关获得的复活币，系统会在下一轮答题中自动使用，即下一轮重新进行闯关答题时，在某一类题型中回答错误，自动复活一次，视为答对该类题型．若某选手每轮的4类题型的通过率均分别为910 、89 、34 、13 ，则该选手进入第二轮答题的概率为________；该选手最终获得奖金的概率为________． 【解析】选手进入第二轮答题，则第一轮中答题全部正确，概率为910 ×89 ×34 ×13 ＝15 ，第二轮通过的概率为15 ＋110 ×89 ×34 ×13 ＋910 ×19 ×34 ×13 ＋910 ×89 ×14 ×13 ＋910×89 ×34 ×23 ＝15 ＋145 ＋140 ＋115 ＋25 ＝257360 ，该选手最终获得奖金的概率为15 ×257360 ＝2571800. 答案：15 25718002．在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1 000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如表：作物产量(千克) 300 500概率0.5 0.5作物市场价格(元/千克) 6 10概率0.4 0.6设X表示在这块地上种植一季此作物的利润，求X的分布列．【解析】设A表示事件“作物产量为300千克”，B表示事件“作物市场价格为6元/千克”，由题设知P(A)＝0.5，P(B)＝0.4.因为利润＝产量×市场价格－成本，所以X所有可能的取值为500×10－1 000＝4 000，500×6－1 000＝2 000，300×10－1 000＝2 000，300×6－1 000＝800.P(X＝4 000)＝P(A )P(B )＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3，P(X＝2 000)＝P(A )P(B)＋P(A)P(B )＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5，P(X＝800)＝P(A)P(B)＝0.5×0.4＝0.2，所以X的分布列为。
课时作业10：2．2.2 事件的相互独立性
2.2.2 事件的相互独立性一、选择题1．设A 与B 是相互独立事件，则下列命题中正确的是( ) A ．A 与B 是对立事件 B ．A 与B 是互斥事件 C ．A 与B 是不相互独立 D ．A 与B 是相互独立事件2．从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为15，身体关节构造合格的概率为14.从中任挑一儿童，则这两项至少有一项合格的概率是(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)( ) A.1320 B.15 C.14D.253．甲、乙两人独立地破译1个密码，他们能译出密码的概率分别为13和14，则两人合作译出密码的概率为( ) A.112 B.512 C.712D.124．已知A ，B 是相互独立事件，若P (A )＝0.2，P (AB ＋A B ＋A B )＝0.44，则P (B )等于( ) A ．0.3 B ．0.4 C ．0.5D ．0.65．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x ，转盘乙得到的数为y ，x ，y 构成数对(x ，y )，则所有数对(x ，y )中满足xy ＝4的概率为( )A.116B.18C.316D.146．某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别是13、12、23，则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为( ) A.19 B.16 C.13D.7187．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率P (A )是( ) A.29 B.118 C.13 D.23二、填空题8．某市派出甲、乙两支球队参加全省青年组、少年组足球赛，两队夺冠的概率分别为35和25，则该市足球队取得冠军的概率为________．9．在一次三人象棋对抗赛中，甲胜乙的概率为0.4，乙胜丙的概率为0.5，丙胜甲的概率为0.6，比赛顺序如下：第一局，甲对乙；第二局，第一局胜者对丙；第三局，第二局胜者对第一局败者；第四局，第三局胜者对第二局败者，则乙连胜四局的概率为________． 10．国庆节放假，甲、乙、丙三人去北京旅游的概率分别是13，14，15.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________．11．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球、3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件，再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)． ①P (B )＝25；②P (B |A 1)＝511；③事件B 与事件A 1相互独立； ④A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件；⑤P (B )的值不能确定，因为它与A 1，A 2，A 3中究竟哪一个发生有关．三、解答题12．某示范性高中的校长推荐甲、乙、丙三名学生参加某大学自主招生考核测试，在本次考核中只有合格和优秀两个等级．若考核为合格，则给予10分降分资格；若考核为优秀，则给予20分降分资格．假设甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为23，23，12，他们考核所得的等级相互独立．(1)求在这次考核中，甲、乙、丙三名学生至少有一名考核为优秀的概率；(2)记在这次考核中甲、乙、丙三名学生所得降分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列．13．某公司为了了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两个地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79(1)根据两组数据完成两个地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两个地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)； (2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：记事件C 表示“A 地区用户的满意度等级高于B 地区用户的满意度等级”．假设两个地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C 的概率．答案精析1．D [∵A 与B 是相互独立事件， ∴P (AB )＝P (A )P (B )，∴P (A B )＝P (A )－P (AB )＝P (A )－P (A )P (B )＝P (A )·[1－P (B )]＝P (A )P (B )， ∴事件A 与B 是相互独立事件．故选D.] 2．D3．D [设甲独立破译密码的事件为A ，乙独立破译密码的事件为B ，则P (A )＝13，P (B )＝14，所以P (A )＝23，P (B )＝34，所以甲、乙两人合作译出密码的概率为1－P (A )P (B )＝1－23×34＝12.] 4．A [∵A ，B 是相互独立事件， ∴A ，B 和A ，B 均相互独立． ∵P (A )＝0.2，P (AB ＋A B ＋A B )＝0.44， ∴P (A )P (B )＋P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝0.44， ∴0.2P (B )＋0.8P (B )＋0.2[1－P (B )]＝0.44， 解得P (B )＝0.3.]5．C [满足xy ＝4的所有可能如下： x ＝1，y ＝4；x ＝2，y ＝2；x ＝4，y ＝1. ∴所求事件的概率P ＝P (x ＝1，y ＝4)＋P (x ＝2，y ＝2)＋P (x ＝4，y ＝1) ＝14×14＋14×14＋14×14＝316.] 6．D [设汽车分别在甲、乙、丙三处通行为事件A 、B 、C ， 则P (A )＝13，P (B )＝12，P (C )＝23.停车一次即为事件A BC ＋A B C ＋AB C ，故概率为P ＝⎝⎛⎭⎫1－13×12×23＋13×⎝⎛⎭⎫1－12×23＋13×12×⎝⎛⎭⎫1－23＝718.] 7．D [由题意，P (A )·P (B )＝19，P (A )·P (B )＝P (A )·P (B )． 设P (A )＝x ，P (B )＝y ，则⎩⎪⎨⎪⎧ (1－x )(1－y )＝19，(1－x )y ＝x (1－y ). 即⎩⎪⎨⎪⎧1－x －y ＋xy ＝19，x ＝y ， ∴x 2－2x ＋1＝19，∴x －1＝－13，或x －1＝13(舍去)，∴x ＝23.]8.1925 9.0.09 10.35解析 设“国庆节放假，甲、乙、丙三人去北京旅游”分别为事件A 、B 、C ，则A 、B 、C 相互独立且P (A )＝13，P (B )＝14，P (C )＝15，∴至少有1人去北京旅游的概率为：1－P (A B C )＝1－P (A )·P (B )·P (C )＝1－⎝⎛⎭⎫1－13×⎝⎛⎭⎫1－14×⎝⎛⎭⎫1－15＝1－25＝35. 11．②④解析 ①P (B )＝P (A 1B )＋P (A 2B )＋P (A 3B )＝510×511＋210×411＋310×411＝922，①不正确，⑤不正确；②P (B |A 1)＝510×51112＝511，正确；③事件B 与事件A 1有关系，故不正确；④A 1，A 2，A 3不可能同时发生，是两两互斥的事件，故正确．12．解 (1)记“甲考核为优秀”为事件A ，“乙考核为优秀”为事件B ，“丙考核为优秀”为事件C ，“甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件E .则事件A ，B ，C 是相互独立事件，事件A B C 与事件E 是对立事件，于是 P (E )＝1－P (A B C )＝1－⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛⎭⎫1－12＝1718. (2)ξ的所有可能取值为30,40,50,60.P (ξ＝30)＝P (A B C )＝⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛⎭⎫1－12＝118， P (ξ＝40)＝P (A B C )＋P (A B C )＋P (A B C )＝23×⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫1－23×23×⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛⎭⎫1－23×12＝518. P (ξ＝50)＝P (AB C )＋P (A B C )＋P (A BC )＝23×23×⎝⎛⎭⎫1－12＋23×⎝⎛⎭⎫1－23×12＋⎝⎛⎭⎫1－23×23×12＝49， P (ξ＝60)＝P (ABC )＝23×23×12＝29.所以ξ的分布列为13.解 (1)通过茎叶图可以看出，A 地区用户满意度评分的平均值高于B 地区用户满意度评分的平均值；A 地区用户满意度评分比较集中，B 地区用户满意度评分比较分散．(2)记C A 1表示事件“A 地区用户的满意度等级为满意或非常满意”，C A 2表示事件“A 地区用户的满意度等级为非常满意”，C B 1表示事件“B 地区用户的满意度等级为不满意”，C B 2表示事件“B 地区用户的满意度等级为满意”，则C A 1与C B 1独立，C A 2与C B 2独立，C B 1与C B 2互斥，C ＝C B 1C A 1∪C B 2C A 2.P (C )＝P (C B 1C A 1∪C B 2C A 2)＝P (C B 1C A 1)＋P (C B 2C A 2)＝P (C B 1)P (C A 1)＋P (C B 2)P (C A 2)．由所给数据，得C A 1，C A 2，C B 1，C B 2发生的频率分别为1620，420，1020，820，故P (C A 1)＝1620，P (C A 2)＝420，P (C B 1)＝1020，P (C B 2)＝820，P (C )＝1020×1620＋820×420＝0.48.。
专题28 事件的相互独立性(解析版)
专题28 事件的相互独立性一、单选题1．2020年1月，教育部出台《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》(简称“强基计划”)，明确从2020年起强基计划取代原有的高校自主招生方式.如果甲､乙两人通过强基计划的概率分别为43,54，那么两人中恰有一人通过的概率为A．35B．15C．14D．720【试题来源】辽宁省部分重点高中2020-2021学年高二下学期期中考试【答案】D【分析】由题意，甲乙两人通过强基计划是相互独立的事件，可确定甲乙两人中恰有一人通过的事件为甲通过乙不通过和甲不通过乙通过.【解析】由题意，甲乙两人通过强基计划的事件是相互独立的，那么甲乙两人中恰有一人通过的概率为41137545420P=⨯+⨯=.故选D.2．甲､乙两队进行羽毛球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军，乙队需要再赢两局才能得到冠军，若甲队每局获胜的概率为13，则甲队获得冠军的概率为A．49B．59C．23D．79【试题来源】江西省赣州市2021届高三二模【答案】B【分析】由题设知甲、乙两队获胜的概率分别为13、23，甲队要获得冠军，则至少在两局内赢一局，利用概率的乘法和加法公式求概率即可.【解析】由题意知每局甲队获胜的概率为13，乙队获胜的概率为23，所以至少在两局内甲队赢一局，甲队才能获得冠军，当第一局甲队获胜，其概率为13；当第一局甲队输，第二局甲队赢，其概率为212339⨯=. 所以甲队获得冠军的概率为125399+=.故选B. 3．五一放假，甲、乙、丙去厦门旅游的概率分别是13、14、15，假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去厦门旅游的概率为 A ．5960B ．35C ．12D ．160【试题来源】2020-2021学年高一数学必修第二册同步单元AB 卷（新教材人教B 版） 【答案】B【分析】由对立事件为A ：三人都不去厦门旅游，求()P A ，应用()1()P A P A =-求概率即可.【解析】记事件A 至少有1人去厦门旅游，其对立事件为A ：三人都不去厦门旅游， 由独立事件的概率公式可得1112()(1)(1)(1)3455P A =---=， 由对立事件的概率公式可得3()1()5P A P A =-=，故选B. 4．有两名射手射击同一目标，命中的概率分别为0.8和0.7，若各射击一次，则目标被击中的概率是 A ．0.56 B ．0.92 C ．0.94D ．0.96【试题来源】2020-2021学年下学期高一数学同步精品课堂（新教材人教版必修第二册） 【答案】C【分析】利用独立事件和对立事件的概率求解即可．【解析】设事件A 表示：“甲击中”，事件B 表示：“乙击中”．由题意知A ，B 互相独立． 故目标被击中的概率为P ＝1－P (AB )＝1－P (A )P (B )＝1－0.2×0.3＝0.94．故选C 5．在一次“概率”相关的研究性活动中，老师在每个箱子中装了10个小球，其中9个是白球，1个是黑球，用两种方法让同学们来摸球．方法一：在20箱中各任意摸出一个小球；方法二：在10箱中各任意摸出两个小球．将方法一、二至少能摸出一个黑球的概率分别记为1p 和2p ，则 A ．12p p = B ．12p p <C ．12p p >D ．以上三种情况都有可能【试题来源】湖南省2021届高三下学期三模 【答案】B【分析】分别计算1p 和2p ，再比较大小.【解析】方法一：每箱中的黑球被选中的概率为110，所以至少摸出一个黑球的概率2019110p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．方法二：每箱中的黑球被选中的概率为15，所以至少摸出一个黑球的概率102415p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．10201010124948105105100p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则12p p <．故选B.【名师点睛】概率计算的不同类型： （1）古典概型、几何概型直接求概率；（2）根据事件间的关系利用概率加法、乘法公式求概率； （3）利用对立事件求概率；（4）判断出特殊的分布列类型，直接套公式求概率.6．2020年1月，教育部出台《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（简称“强基计划”），明确从2020年起强基计划取代原有的高校自主招生方式.如果甲、乙、丙三人通过强基计划的概率分别为433,,544，那么三人中恰有两人通过的概率为A ．2180 B ．2780C ．3380D ．2740【试题来源】2020-2021学年高二下学期数学选择性必修第三册同步单元AB 卷 【答案】C【分析】根据积事件与和事件的概率公式可求解得到结果.【解析】记甲、乙、丙三人通过强基计划分别为事件,,A B C ，显然,,A B C 为相互独立事件， 则“三人中恰有两人通过”相当于事件ABC ABC ABC ++，且,,ABC ABC ABC 互斥，∴所求概率()()()()P ABC ABC ABC P ABC P ABC P ABC ++=++()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C =++1334134313354454454480=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.故选C. 7．甲、乙两名同学相约学习某种技能，该技能需要通过两项考核才能拿到证书，每项考核结果互不影响.已知甲同学通过第一项考核的概率是45，通过第二项考核的概率是12；乙同学拿到该技能证书的概率是13， 那么甲、乙两人至少有一人拿到该技能证书的概率是 A ．1315B ．1115C ．23D ．35【试题来源】【新教材精创】4.1.3独立性与条件概率的关系A 基础练 【答案】D【分析】由已知先求得甲取得证书的概率，再求得甲，乙两人都取不到证书的概率，由对立事件的概率公式可得选项.【解析】由已知得甲拿到该技能证书的概率为412525⨯=，则甲，乙两人都没有拿到证书的概率为21211535⎛⎫⎛⎫-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以甲、乙两人至少有一人拿到该技能证书的概率是23155-=，故选D. 【名师点睛】在解决含有“至少”，“至多”等一类问题的概率问题时，正面求解时情况较复杂，可以求其对立事件的概率，再用1减去所求的对立事件的概率，就是所求的概率.8．某班级举办投篮比赛，每人投篮两次.若小明每次投篮命中的概率都是0.6，则他至少投中一次的概率为 A ．0.24 B ．0.36 C ．0.6D ．0.84【试题来源】北京市大兴区2020-2021学年度高二上学期期末检测试卷【答案】D【分析】先求出对立事件：一次都未投中的概率，然后可得结论．【解析】由题意小明每次投篮不中的概率是10.60.4-=，再次投篮都不中的概率是20.40.16=，所以他再次投篮至少投中一次的概率为10.160.84-=．故选D．【名师点睛】本题考查相互独立事件同时发生的概率公式，在出现至少、至多等词语时，可先求其对立事件的概率，然后由对立事件概率公式得出结论．9．某单位举行知识竞赛，给每位参赛选手设计了两道题目，已知某单位参赛者答对每道题的概率均为45，且各次答对与否相互独立，则该参赛者答完两道题目后至少答对一题的概率为A．45B．1625C．125D．2425【试题来源】2020-2021高中数学新教材配套提升训练（人教A版必修第二册）【答案】D【分析】根据相互独立事件的概率计算公式，以及对立事件的概率计算公式，由题中条件，可直接得出结果.【解析】因为参赛者答对每道题的概率均为45，且各次答对与否相互独立，则该参赛者答完两道题目后至少答对一题的概率为242411525P⎛⎫=--=⎪⎝⎭.故选D.10．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面朝上”，事件B=“第二枚硬币反面朝上”，则A与B的关系为A．互斥B．相互对立C．相互独立D．相等【试题来源】【新教材精创】4.1.3独立性与条件概率的关系A基础练【答案】C【分析】根据互斥事件、对立事件和独立事件的定义即可判断.【解析】显然事件A和事件B不相等，故D错误，由于事件A与事件B能同时发生，所以不为互斥事件，也不为对立事件，故AB错误；因为事件A 是否发生与事件B 无关，事件B 是否发生也与事件A 无关，故事件A 和事件B 相互独立，故C 正确.故选C.11．袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰好取完所有红球的概率为 A ．0.0324 B ．0.0434 C ．0.0528D ．0.0562【试题来源】江西省新余市第一中学2020-2021学年高二年级第六次考试 【答案】B【分析】第4次恰好取完所有红球有三种情形，红白白红，白红白红，白白红红，据此由互斥事件的和及相互独立事件同时发生的概率公式求解.【解析】第4次恰好取完所有红球有三种情形，红白白红，白红白红，白白红红， 所以第4次恰好取完所有红球的概率为222918291821()()0.043410101010101010101010⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯=，故选B 12．四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放一枚质地均匀的硬币，所有人同时抛掷自己面前的硬币一次．若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着，那么，事件“相邻的两个人站起来”没有发生．．．．的概率为 A ．12 B ．716 C ．38D ．14【试题来源】重庆市第七中学2021届高三上学期期中 【答案】B【分析】先研究相邻两个人站起来的情况，分为2个人站起来，三个人站起来及四个人站起来，3种情况，一一分析，没有发生的概率即用1减去上面站起来的概率即可. 【解析】由题意可知，四个人抛硬币，一共有4216=种不同的情况，其中有相邻两个人同为正面需要站起来有4种情况，三个人需要站起来有4种情况， 四个人都站起来共有1种情况，所以有相邻的两个人站起来的概率44191616P ++==， 故没有相邻的两个人站起来的概率为9711616P =-=.故选B ． 13．某校甲、乙、丙三名教师每天使用1号录播教室上课的概率分别是0.6，0.6，0.8，这三名教师是否使用1号录播教室相互独立，则某天这三名教师中至少有一人使用1号录播教室上课的概率是 A ．0.296 B ．0.288 C ．0.968D ．0.712【试题来源】2021年全国高中名校名师原创预测卷新高考数学（第九模拟） 【答案】C【分析】设甲、乙、丙三名教师某天使用1号录播教室上课分别为事件,,A B C ，可得()0.6P A =，()0.6P B =，()0.8P C =，由事件,,A B C 相互独立，再根据对立事件的概率公式代入求解.【解析】甲、乙、丙三名教师某天使用1号录播教室上课分别为事件,,A B C ，则()0.6P A =，()0.6P B =，()0.8P C =，这三名教师是否使用1号录播教室相互独立，则所求事件的概率为()()()()111P ABC P A P B C P P -=-⋅⋅==-0.40.40.20.968⨯⨯=，故选C. 14．某地有A ，B ，C ，D 四人先后感染了传染性肺炎，其中只有A 到过疫区，B 确定是受A 感染的．对于C 因为难以判定是受A 还是受B 感染的，于是假定他受A 和B 感染的概率都是12．同样也假定D 受A ，B 和C 感染的概率都是13．在这种假定下，B ，C ，D 中恰有两人直接受A 感染的概率是 A ．16B ．13 C ．12D ．23【试题来源】【新教材精创】4.1.3独立性与条件概率的关系B 提高练 【答案】C【分析】根据题意得出：因为直接受A 感染的人至少是B ，而C 、D 二人也有可能是由A 感染的，B ，C ，D 中恰有两人直接受A 感染为事件CD CD +．由此可计算出概率． 【解析】设,,B C D 直接受A 感染为事件B 、C 、D ， 则事件B 、C 、D 是相互独立的，()1P B =，1()2P C =，1()3P D =， 表明除了B 外，,C D 二人中恰有一人是由A 感染的， 所以12111()()()23232P CD CD P CD P CD +=+=⨯+⨯=，所以B 、C 、D 中直接受A 传染的人数为2的概率为12，故选C. 15．一个袋中装有6个大小形状完全相同的小球，其中有4个白球，2个黑球，现随机从袋中摸出一球，记下颜色，放回袋中后，再从袋中随机摸出一球，记下颜色，则两次摸出的球中至少有一个黑球的概率为A ．49 B ．59 C ．35D ．815【试题来源】备战2021年新高考数学一轮复习考点一遍过 【答案】B【分析】由题意利用相互独立事件概率的乘法公式，先求出两次摸到的全是白球的概率，再利用对立事件的概率公式即可求解.【解析】记每次摸出白球为事件A ，每次摸出黑球为事件B ，则()4263P A ==，()2163P B ==， 两次摸出的球中至少有一个黑球包括两次黑球和一次白球一次黑球， 其对立事件为两次摸到的都是白球， 两次摸到的都是白球概率为224339⨯=， 所以两次摸出的球中至少有一个黑球的概率为45199-=，故选B 【名师点睛】本题的关键点是第一次摸出球后又放回去，所以每次摸出白球和黑球的概率都不变，求出这两个概率，每次摸球是相互独立的，所以可以利用概率的乘法公式求出两次摸到的全是白球的概率，即可求出其对立事件至少有一个黑球的概率.16．已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A ，B 如图所示. 其中()12,()6,()4,()8n n A n B n AB Ω====，则事件A 与事件BA ．是互斥事件，不是独立事件B ．不是互斥事件，是独立事件C ．既是互斥事件，也是独立事件D ．既不是互斥事件，也不是独立事件【试题来源】北京市丰台区2020-2021学年度高二上学期期中考试 【答案】B 【分析】由()4n A B =可判断事件是否为互斥事件，由()()()P AB P A P B =可判断事件是否为独立事件.【解析】因为()12,()6,()4,()8n n A n B n A B Ω====，所以()2n AB =，()4n AB =，()8n B =，所以事件A 与事件B 不是互斥事件， 所以()41123P AB ==，()()68112123P A P B =⨯=， 所以()()()P AB P A P B =，所以事件A 与事件B 是独立事件.故选B.17．甲、乙两个气象站同时作气象预报，如果甲站、乙站预报的准确率分别为0.8和0.7，那么在一次预报中两站恰有．．一次准确预报的概率为 A ．0.8 B ．0.7 C ．0.56D ．0.38【试题来源】2020-2021学年高一数学必修第二册同步单元AB 卷 【答案】D【分析】利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式运算即可得解.【解析】因为甲、乙两个气象站同时作气象预报，甲站、乙站预报的准确率分别为0.8和0.7， 所以在一次预报中两站恰有一次准确预报的概率为0.8(10.7)(10.8)0.70.38P =⨯-+-⨯=.故选D ．18．甲射击命中目标的概率是12，乙命中目标的概率是13，丙命中目标的概率是14.现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为 A ．12B ．34 C ．23D ．14【试题来源】2020-2021学年高一数学必修第二册同步单元AB 卷 【答案】B【分析】先由相互独立事件的概率乘法公式，求出目标不被击中的概率，再由对立事件概率公式，即可得解.【解析】由于甲、乙、丙射击一次命中目标的概率分别为12，13，14， 三人同时射击目标一次，则目标不被击中的概率为11111112344⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由对立事件的概率公式可得目标被击中的概率为13144-=.故选B. 19．某普通高校招生体育专业测试合格分数线确定为60分，甲、乙、丙三名考生独立参加测试，他们能达到合格的概率分别是0.9，0.8，0.75，则三人中至少有一人达标的概率为 A ．0.015 B ．0.005 C ．0.985D ．0.995【试题来源】2020-2021学年高二数学课时同步练（人教B 版2019选择性必修第二册） 【答案】D【分析】设出每一个每一个考生达标的事件，并求其对立事件的概率，根据相互独立事件的概率的和事件求解出答案.【解析】设 “甲考生达标” 为事件A ， “乙考生达标” 为事件B ， “丙考生达标” 为事件C ，则()0.9P A =，()0.8P B =，()0.75P C =，()10.90.1P A =-=，()10.80.2P B =-=，()10.750.25P C =-=，设 “三人中至少有一人达标” 为事件D ，则()()110.10.20.2510.0050.995P D P ABC =-=-⨯⨯=-=，故选D.【名师点睛】本题以实际问题为背景考查相互独立事件的概念及其发生的概率的计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题.20．甲、乙、丙三人参加某项测试，他们能达到标准的概率分别是0.8，0.6，0.5，则三人中至少有一人达标的概率是 A ．0.16 B ．0.24 C ．0.96D ．0.04【试题来源】内蒙古通辽市奈曼旗实验中学2018-2019学年高二下学期期末考试 【答案】C【分析】先求三人中至少有一人达标的对立事件的概率，再求其概率.【解析】至少有1人达标的对立事件是一个人也没达标，概率为()()()10.810.610.50.04---=，所以三人中至少有一人达标的概率为10.040.96-=.故选C【名师点睛】本题考查对立事件，属于基础题型.二、多选题1．下列各对事件中，为相互独立事件的是A ．掷一枚骰子一次，事件M “出现偶数点”；事件N “出现3点或6点”B ．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M “第一次摸到白球”，事件N “第二次摸到白球”C ．袋中有3白､2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M “第一次摸到白球”，事件N “第二次摸到黑球”D ．甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲､乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M “从甲组中选出1名男生”，事件N “从乙组中选出1名女生”【试题来源】2020-2021学年高一数学一隅三反系列（人教A 版2019必修第二册）【答案】ABD【分析】利用相互独立事件的定义一一验证即可.【解析】在A 中，样本空间{}1,2,3,4,5,6Ω=，事件{}2,4,6M =，事件{}3,6N =，事件{6}MN =， 所以31()62P M ==，21()63P N ==，111()236P MN =⨯=， 即()()()P MN P M P N =，故事件M 与N 相互独立，A 正确.在B 中，根据事件的特点易知，事件M 是否发生对事件发生的概率没有影响，故M 与N 是相互独立事件，B 正确；在C 中，由于第1次摸到球不放回，因此会对第2次摸到球的概率产生影响，因此不是相互独立事件，C 错误；在D 中，从甲组中选出1名男生与从乙组中选出1名女生这两个事件的发生没有影响，所以它们是相互独立事件，D 正确.故选ABD.【名师点睛】判断两个事件是否相互独立的方法：（1）直接法：利用生活常识进行判断；（2）定义法：利用()()()P MN P M P N =判断. 2．已知,A B 是随机事件，则下列结论正确的是A ．若,AB 是互斥事件，则()()()P AB P A P B =B ．若事件,A B 相互独立，则()()()P A B P A P B +=+C ．若,A B 是对立事件，则,A B 是互斥事件D ．事件,A B 至少有一个发生的概率不小于,A B 恰好有一个发生的概率【试题来源】【新教材精创】4.1.3独立性与条件概率的关系A 基础练【答案】CD【分析】根据互斥事件加法公式、独立事件乘法公式、对立事件的定义即可求解.【解析】对于A ， 若,A B 是互斥事件，则()()()P A B P A P B +=+，故A 错误； 对于B ， 若事件,A B 相互独立，则()()()P AB P A P B =，故B 错误；对于C ，根据对立事件的定义， 若,A B 是对立事件，则,A B 是互斥事件，故C 正确； 对于D ， 所有可能发生的情况有：只有A 发生、只有B 发生、AB 都发生、AB 都不发生四种情况，,A B 至少有一个发生包括：只有A 发生、只有B 发生、AB 同时发生三种情况， 故其概率是75%；而恰有一个发生很明显包括只有A 发生或只有B 发生两种情况，故其概率是50%， 故事件,A B 至少有一个发生的概率不小于,A B 恰好有一个发生的概率，故D 正确.故选CD. 3．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A =“第一枚硬币正面朝上”，事件B =“第二枚硬币反面朝上”，则A ．A 与B 互斥B ．A 与B 相互独立C ．3()4P A B =D ．()()P A P B =【试题来源】2020-2021高中数学新教材配套提升训练（人教A 版必修第二册）【答案】BCD【分析】根据互斥事件、相互独立事件的概念以及事件的概率求法逐一判断即可.【解析】根据题意事件A =“第一枚硬币正面朝上”，事件B =“第二枚硬币反面朝上”，可知两事件互不影响，即A 与B 相互独立，故B 正确，A 不正确；由()12P A =，()12P B =， 所以()()3()1-4P A B P A P B ==，且()()P A P B =，故D 正确，C 正确.故选BCD 4．分别抛掷两枚质地均匀的骰子（六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6），设事件M =“第一枚骰子的点数为奇数”，事件N =“第二枚骰子的点数为偶数”，则A ．M 与N 互斥B ．M 与N 不对立C ．M 与N 相互独立D ．()34P M N = 【试题来源】2020-2021高中数学新教材配套提升训练（人教A 版必修第二册）【答案】BCD【分析】相互独立事件，互斥事件，对立事件，利用定义即可以逐一判断四个选项正误.【解析】对于选项A ：事件M 与N 是可能同时发生的，故M 与N 不互斥，选项A 不正确； 对于选项B ：事件M 与N 不互斥，不是对立事件，选项B 正确；对于选项C ：事件M 发生与否对事件N 发生的概率没有影响，M 与N 相互独立.对于选项D ：事件M 发生概率为1()2P M = ，事件N 发生的概率1()2P N =，()1131()()1224P M N P M P N =-=-⨯=，选项D 正确.故选BCD 【名师点睛】本题主要考查了相互独立事件，互斥事件，对立事件，以及随机事件的概率，属于基础题.5．甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以1A ，2A 表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出1个球，以B 表示从乙罐中取出的球是红球的事件，下列命题正确的是A ．23()30PB = B ．事件B 与事件1A 相互独立C ．事件B 与事件2A 相互独立D ．1A ，2A 互斥 【试题来源】2020-2021学年高一数学一隅三反系列（人教A 版2019必修第二册）【答案】AD【分析】先画出树状图，然后求得()1P A ， ()2P A ，()P B 的值，得A 正确；利用 ()()11()P A B P A P B ≠判断B 错误，同理C 错误；由1A ，2A 不可能同时发生得D 正确.【解析】根据题意画出树状图，得到有关事件的样本点数：因此()1183305P A ==，()2122305P A ==，15823()3030P B +==，A 正确； 又()11530P A B =，因此()()11()P A B P A P B ≠，B 错误； 同理可以求得()()22()P A B P A P B ≠，C 错误；1A ，2A 不可能同时发生，故彼此互斥，故D 正确，故选AD ．【名师点睛】本题主要考查互斥事件、相互独立事件的判断及其概率，意在考查学生的数学抽象的学科素养，属基础题.三、填空题1．在某道路A ，B ，C 三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这个道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为________．【试题来源】2020-2021学年下学期高一数学同步精品课堂（新教材人教版必修第二册） 【答案】35192【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式求解即可． 【解析】由题意可知，每个交通灯开放绿灯的概率分别为512，712，34．在这个道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为512×712×34＝35192． 故答案为351922．11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时乙得分的概率为0.6，各球的结果相互独立.在某局打成10:10后，甲先发球，乙以13:11获胜的概率为________．【试题来源】【新教材精创】4.1.3独立性与条件概率的关系A 基础练【答案】0.15【分析】依题意还需进行四场比赛，其中前两场乙输一场、最后两场乙赢，根据相互独立事件的概率公式计算可得；【解析】依题意还需进行四场比赛，其中前两场乙输一场、最后两场乙赢，其中发球方分别是甲、乙、甲、乙；所以乙以13:11获胜的概率()()10.50.60.50.610.60.50.50.60.15P =-⨯⨯⨯+-⨯⨯⨯= 故答案为0.153．A ，B ，C ，D 四人之间进行投票，各人投自己以外的人1票的概率都是13（个人不投自己的票），则仅A 一人是最高得票者的概率为________．【试题来源】安徽省六安市舒城中学2021届高三下学期仿真模拟（二） 【答案】527【分析】根据A 的票数为3,2分类讨论，再根据互斥事件的概率加法公式即可求出．【解析】若仅A 一人是最高得票者，则A 的票数为3,2．若A 的票数为3，则1111133327P =⨯⨯=； 若A 的票数为2，则BCD 三人中有两人投给A ，剩下的一人与A 不能投同一个人，213111242333327P C ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭； 所以仅A 一人是最高得票者的概率为12145272727P P P =+=+=． 故答案为527． 【名师点睛】本题解题关键是根据A 的得票数进行分类讨论，当A 的票数为3时，容易求出1127P =，当A 的票数为2时，要考虑如何体现A 的票数最高，分析出四人投票情况，是解题的难点，不妨先考虑BC 投给A ，则D 投给B （C ），A 就投给C 或D （B 或D ），即可容易解出．4．暑假期间，甲外出旅游的概率是14，乙外出旅游的概率是15，假定甲乙两人的行动相互之间没有影响，则暑假期间两人中至少有一人外出旅游的概率是________．【试题来源】2020-2021学年高一数学一隅三反系列（人教A 版2019必修第二册）【答案】25【分析】设“暑假期间两人中至少有一人外出旅游”为事件A ，则其对立事件A 为“暑假期间两人都未外出旅游”，先求得()P A ，再求解即可.【解析】设“暑假期间两人中至少有一人外出旅游”为事件A ，则其对立事件 A 为“暑假期间两人都未外出旅游”，则()11311455P A ⎛⎫⎛⎫=-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()()321155P A P A =-=-=.故答案为25. 5．事件,,A B C 互相独立，若()()()111,688P A B P B C P A B C ⋅=⋅=⋅⋅=，，则()P B =__________.【试题来源】2020-2021学年高一数学必修第二册同步单元AB 卷（新教材人教B 版） 【答案】12【分析】根据独立事件的乘法公式和对立事件的概率公式解方程组可得结果.【解析】因为事件,,A B C 互相独立，所以1()()61()()81()()()8P A P B P B P C P A P B P C ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩， 所以()()11()()8111()68P B P C P C ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，所以1()4P C =，1()2P B =.故答案为12 【名师点睛】根据独立事件的乘法公式和对立事件的概率公式求解是解题关键.四、解答题1．已知在某次1500米体能测试中，甲、乙、丙3人各自通过测试的概率分别为25，34，13．求： （1）3人都通过体能测试的概率；（2）只有2人通过体能测试的概率；（3）只有1人通过体能测试的概率．【试题来源】2020-2021学年下学期高一数学同步精品课堂（新教材人教版必修第二册）【答案】（1）110；（2）2360；（3）512．【分析】设事件A＝“甲通过体能测试”，事件B＝“乙通过体能测试”，事件C＝“丙通过体能测试”（1）利用相互独立事件的概率乘法公式即可求解.（2）只有2人通过体能测试为AB C＋A B C＋A BC，利用相互独立事件的概率乘法公式即可求解.（3）只有1人通过体能测试为A B C＋A B C＋A B C，利用相互独立事件的概率乘法公式即可求解.【解析】设事件A＝“甲通过体能测试”，事件B＝“乙通过体能测试”，事件C＝“丙通过体能测试”，由题意有：P(A)＝25，P(B)＝34，P(C)＝13．（1）设事件M1＝“甲、乙、丙3人都通过体能测试”，即事件M1＝ABC，由事件A，B，C相互独立可得P(M1)＝P(ABC)＝P(A)·P(B)·P(C)＝25×34×13＝110．（2）设事件M2＝“甲、乙、丙3人中只有2人通过体能测试”，则M2＝AB C＋A B C＋A BC，由于事件A，B，C，A，B，C均相互独立，并且事件AB C，A B C，A BC两两互斥，因此P(M2)＝P(A)·P(B)·P(C)＋P(A)·P(B)·P(C)＋P(A)·P(B)·P(C)＝25×34×113⎛⎫-⎪⎝⎭＋25×314⎛⎫-⎪⎝⎭×13＋215⎛⎫-⎪⎝⎭×34×13＝2360．（3）设事件M3＝“甲、乙、丙3人中只有1人通过体能测试”，则M3＝A B C＋A B C＋A B C，由于事件A，B，C，A，B，C均相互独立，并且事件A B C，A B C，A B C两两互斥，因此P(M3)＝P(A)·P(B)·P(C)＋P(A)·P(B)·P(C)＋P(A)·P(B)·P(C)＝25×314⎛⎫-⎪⎝⎭×113⎛⎫-⎪⎝⎭＋215⎛⎫-⎪⎝⎭×34×113⎛⎫-⎪⎝⎭＋215⎛⎫-⎪⎝⎭×314⎛⎫-⎪⎝⎭×13＝512．2．已知A，B，C为三个独立事件，若事件A发生的概率是12，事件B发生的概率是23，事件C发生的概率是34，求下列事件的概率：（1）事件A，B，C只发生两个的概率；（2）事件A，B，C至多发生两个的概率．【试题来源】2020-2021学年下学期高一数学同步精品课堂（新教材人教版必修第二册）【答案】（1）1124；（2）34．【分析】（1）记“事件A，B，C只发生两个”为A1，则事件A1包括三种彼此互斥的情况，利用互斥事件概率的加法公式和相互独立事件的概率乘法公式可得答案；（2）记“事件A，B，C至多发生两个”为A2，则包括彼此互斥的三种情况，利用互斥事件概率的加法公式计算即可．【解析】（1）记“事件A，B，C只发生两个”为A1，则事件A1包括三种彼此互斥的情况：AB C，A B C，A BC，由互斥事件概率的加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，得P(A1)＝P(AB C)＋P(A B C)＋P(A BC)＝112＋18＋14＝1124，所以事件A，B，C只发生两个的概率为11 24．（2）记“事件A，B，C至多发生两个”为A2，则包括彼此互斥的三种情况：事件A，B，C一个也不发生，记为A3，事件A，B，C只发生一个，记为A4，事件A，B，C只发生两个，记为A5，故P(A2)＝P(A3)＋P(A4)＋P(A5)＝124＋624＋1124＝34．所以事件A，B，C至多发生两个的概率为34．3．甲､乙两人独立破译一个密码，他们译出的概率分别为13和1.4求：（1）两人都译出的概率；。
事件的相互独立性(使用)
方法二：A1，A2 至少有一个正常工作的概率为 1－P( A1 A2 )＝1－(1－0.8)(1－0.8)＝0.96，∴系统正常工作的概率为 P(K)[1－P( A1 A2 ]＝0.9×0.96＝0.864.
• 答案： B
例4.某学生语、数、英三科考试成绩，在一次考试中 排名全班第一的概率：语文为0.9，数学为0.8，英语 为0.85，问一次考试中 (1)三科成绩均未获得第一名的概率是多少？ (2)恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？
事件的相互独立性
复习回顾
(1).条件概率的概念
设事件A和事件B，且P(A)>0,在已知事件A发生的条件下事 件B发生的概率，叫做条件概率.记作P(B |A).
(2).条件概率计算公式:
n( AB) P( AB) P( B | A) n( A) P( A)
思考与探究 思考1：在大小均匀的5个皮蛋中有3个红皮蛋，2个白 皮蛋，每次取一个，不放回的取两次，求在已知第一 次取到红皮蛋的条件下，第二次取到红皮蛋的概率。 思考2：在大小均匀的5个皮蛋中有3个红皮蛋，2个白 皮蛋，每次取一个，有放回的取两次，求在已知第一 次取到红皮蛋的条件下，第二次取到红皮蛋的概率。
是
不是
是
若 P ( A) 0, 则 P ( B A) P ( B)
P ( AB) P ( A) P ( B)
推广：如果事件A1，A2，…An相互独立，那么这n个事件 同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积.即：
P(A1·A2·…·An)= P(A1)·P(A2)·…·P(An)
注：独立与互斥的关系：
1.一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的， 令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多 有一个女孩}．对下述两种情形，讨论A与B的独立性： (1)家庭中有两个小孩； (2)家庭中有三个小孩．
事件的相互独立性
课后巩固1．设A 与B 是相互独立事件，则下列命题中正确的命题是( ) A ．A 与B 是对立事件 B ．A 与B 是互斥事件 C.A 与B 不相互独立 D ．A 与B 是相互独立事件答案 D2．已知P (B )>0，A 1A 2＝∅，则下列成立的是( ) A ．P (A 1|B )>0B ．P (A 1∪A 2|B )＝P (A 1|B )＋P (A 2|B )C ．P (A 1A 2)≠0D ．P (A 1 A 2)＝1 答案 B解析 由A 1A 2＝∅，可知A 1与A 2互斥．3．若事件A ，B 相互独立，且P (A )＝P (B )＝34，则P (AB )＝( ) A ．0 B.116 C.916 D.12答案 C解析 因为事件A ，B 相互独立，故 P (AB )＝P (A )·P (B )＝34×34＝916.4．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p 1，乙解决这个问题的概率是p 2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是( )A ．p 1p 2B ．p 1(1－p 2)＋p 2(1－p 1)C ．1－p 1p 2D ．1－(1－p 1)(1－p 2)答案 B5．在一个选拔项目中，每个选手都需要进行四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为56、45、34、13，且各轮问题能否正确回答互不影响．(1)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率； (2)求该选手至多进入第三轮考核的概率；(3)该选手在考核过程中回答过的问题的个数记为X ，求随机变量X 的分布列．解析 设事件A i (i ＝1,2,3,4)表示“该选手能正确回答第i 轮问题”，由已知P (A 1)＝56，P (A 2)＝45，P (A 3)＝34，P (A 4)＝13， (1)设事件B 表示“该选手进入第三轮才被淘汰”， 则P (B )＝P (A 1A 2 A 3)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3) ＝56×45×(1－34)＝16.(2)设事件C 表示“该选手至多进入第三轮考核”， 则P (C )＝P (A 1＋A 1 A 2＋A 1A 2 A 3) ＝P (A 1)＋P (A 1 A 2)＋P (A 1A 2 A 3) ＝16＋56×15＋56×45×(1－34)＝12.(3)X 的可能取值为1,2,3,4. P (X ＝1)＝P (A 1)＝16，P (X ＝2)＝P (A 1 A 2)＝56×(1－45)＝16， P (X ＝3)＝P (A 1A 2A 3)＝56×45×(1－34)＝16， P (X ＝4)＝P (A 1A 2A 3)＝56×45×34＝12， 所以，X 的分布列为。
高中数学-事件的相互独立性跟踪测试卷及答案
课时跟踪检测（四十三）事件的相互独立性层级(一)“四基”落实练1．甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A＝“甲击中目标”，事件B＝“乙击中目标”，则事件A与事件B () A．相互独立但不互斥B．互斥但不相互独立C．相互独立且互斥D．既不相互独立也不互斥解析：选A对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A 与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A 与B可能同时发生，所以事件A与B不是互斥事件．2．甲、乙两班各有36名同学，甲班有9名三好学生，乙班有6名三好学生，两班各派1名同学参加演讲活动，派出的恰好都是三好学生的概率是 ()A.524 B.512C.124 D.38解析：选C两班各自派出代表是相互独立事件，设事件A，B分别为甲班、乙班派出的是三好学生，则事件AB为两班派出的都是三好学生，则P(AB)＝P(A)P(B)＝936×636＝1 24.3．有一道竞赛题，A，B，C三人可解出的概率分别为12，13，14，则三人独立解答，仅有一人解出的概率为()A.124 B.1124C.1324 D.1724解析：选B设仅有一人解出的事件为D，则P(D)＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＝12×23×34＋12×13×34＋12×23×14＝1124.4．两名射手射击同一目标，命中的概率分别为0.8和0.7，若各射击一次，则目标被击中的概率是() A．0.56 B．0.92C．0.94 D．0.96解析：选C ∵两人都没有击中的概率为0.2×0.3＝0.06，∴目标被击中的概率为1－0.06＝0.94.5．(多选)从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，从两袋中各摸出一个球，下列结论正确的是( )A ．2个球都是红球的概率为16B ．2个球不都是红球的概率为13C ．至少有1个红球的概率为23D ．2个球中恰有1个红球的概率为12解析：选ACD 设“从甲袋中摸出一个红球”为事件A 1，“从乙袋中摸出一个红球”为事件A 2，则P (A 1)＝13，P (A 2)＝12，且A 1，A 2相互独立．2个球都是红球为A 1A 2，其概率为13×12＝16，A 正确；“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件，其概率为56，B 错误；2个球中至少有1个红球的概率为 1－P (A )P (B )＝1－23×12＝23，C 正确；2个球中恰有1个红球的概率为13×12＋23×12＝12，D 正确．故选A 、C 、D.6．已知A ，B 是相互独立事件，且P (A )＝12P (B )＝23，则P (A B －)＝________；P (A － B －)＝________.解析：∵P (A )＝12，P (B )＝23，∴P (A －)＝12，P (B －)＝13.∴P (A B －)＝P (A )P (B －)＝12×13＝16，P (A － B －)＝P (A －)P (B －)＝12×13＝16.答案：16 167．已知生产某零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和P ，每道工序是否产生废品相互独立，若经过两道工序得到的零件不是废品的概率是0.960 3，则P＝________.解析：由题意，得(1－0.01)(1－P)＝0.960 3，解得P＝0.03.答案：0.038．设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．求：(1)进入商场的1位顾客，甲、乙两种商品都购买的概率；(2)进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率．解：记A表示事件“进入商场的1位顾客购买甲种商品”，则P(A)＝0.5；记B表示事件“进入商场的1位顾客购买乙种商品”，则P(B)＝0.6；记C表示事件“进入商场的1位顾客，甲、乙两种商品都购买”；记D表示事件“进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种”．(1)易知C＝AB，则P(C)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.5×0.6＝0.3.(2)易知D＝(A B－)∪(A－B)，则P(D)＝P(A B－)＋P(A－B)＝P(A)P(B－)＋P(A－)P(B)＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5.层级(二) 能力提升练1.如图所示，A，B，C表示3个开关，若在某段时间内，它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.7，则该系统的可靠性(3个开关只要有一个开关正常工作即可靠)为()A．0.504 B．0.994C．0.496 D．0.064解析：选B由题意知，所求概率为1－(1－0.9)·(1－0.8)(1－0.7)＝1－0.006＝0.994. 2．甲袋中有8个白球、4个红球，乙袋中有6个白球、6个红球，这些小球除颜色外完全相同．从每袋中任取1个球，则取得同色球的概率为________．解析：设从甲袋中任取1个球，事件A为“取得白球”，则事件A为“取得红球”；从乙袋中任取1个球，事件B为“取得白球”，则事件B为“取得红球”．∵事件A与B相互独立，∴事件A与B也相互独立．∴从每袋中任取1个球，取得同色球的概率为P(AB∪A B)＝P(AB)＋P(A B)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝23×12＋13×12＝12.答案：123．甲、乙两名同学参加一项射击比赛，其中任何一人每射击一次击中目标得2分，未击中目标得0分．已知甲、乙两人射击互不影响，且命中率分别为35和p .若甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为920，则p 的值为________． 解析：设“甲射击一次，击中目标”为事件A ，“乙射击一次，击中目标”为事件B ，则“甲射击一次，未击中”为事件A ，“乙射击一次，未击中目标”为事件B ，则P (A )＝35，P (A )＝25，P (B )＝p ，P (B )＝1－p ，依题意35×(1－p )＋25×p ＝920，解得p ＝34.答案：344．(2022·全国甲卷节选)甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8，各项目的比赛结果相互独立．求甲学校获得冠军的概率．解：设三个项目比赛中甲学校获胜分别为事件A ，B ，C ，易知事件A ，B ，C 相互独立．甲学校获得冠军，对应事件A ，B ，C 同时发生，或事件A ，B ，C 中有两个发生，故甲学校获得冠军的概率为P ＝P (ABC ＋A BC ＋A B C ＋AB C ) ＝P (ABC )＋P (A BC )＋P (A B C )＋P (AB C )＝0.5×0.4×0.8＋(1－0.5)×0.4×0.8＋0.5×(1－0.4)×0.8＋0.5×0.4×(1－0.8) ＝0.16＋0.16＋0.24＋0.04 ＝0.6.5．已知某音响设备由五个部件组成，A 电视机，B 影碟机，C 线路，D 左声道和E 右声道，其中每个部件工作的概率如图所示，当且仅当A 与B 中至少有一个工作，C 工作，D 与E 中至少有一个工作时能听到声音，且若D 和E 同时工作则有立体声效果．(1)求能听到立体声效果的概率； (2)求听不到声音的概率．解：(1)能听到立体声效果的概率P 1＝[1－(1－0.9)×(1－0.95)]×0.95×0.94×0.94＝0.835 222 9.(2)能听到声音的概率P 2＝[1－(1－0.9)×(1－0.95)]×0.95×[1－(1－0.94)2]＝0.941 847 1，故听不到声音的概率为1－P 2＝1－0.941 847 1＝0.058 152 9. 层级(三) 素养培优练在生活小常识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关生活小常识的问题，已知甲答对这道题的概率是34112，乙、丙两人都回答正确的概率是14.设每人回答问题正确与否相互独立．(1)求乙答对这道题的概率；(2)求甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题的概率．解：(1)记“甲答对这道题”“乙答对这道题”“丙答对这道题”分别为事件A ，B ，C ，设乙答对这道题的概率P (B )＝x ，由于每人回答问题正确与否相互独立，因此A ，B ，C 是相互独立事件．由题意可知，P (A )＝34，P (A B )＝P (A )P (B )＝ 1－34×(1－x )＝112，解得x ＝23，所以乙答对这道题的概率为P (B )＝23.(2)设“甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题”为事件M ，丙答对这道题的概率P (C )＝y ，由题可知，P (BC )＝P (B )·P (C )＝23×y ＝14，解得y ＝38.甲、乙、丙三人都回答错误的概率为P (A B C )＝P (A )P (B )·P (C )＝ 1－34× 1－23× 1－38＝596. 因为事件“甲、乙、丙三人都回答错误”的对立事件是“甲、乙、丙三人中，至少有一人答对”，所以P (M )＝1－596＝9196.。
10.2 事件的相互独立性
10.2 事件的相互独立性课标要求素养要求结合有限样本空间，了解两个事件独立性的含义，结合古典概型，利用独立性计算概率.结合具体实例了解事件独立性的含义及利用独立性计算概率，发展数学抽象及数学运算素养.教材知识探究3张奖券只有1张能中奖，3名同学有放回地抽取.事件A 为“第一名同学没有抽到中奖奖券”，事件B 为“第三名同学抽到中奖奖券”.问题 上述问题中事件A 的发生是否会影响B 发生的概率？事件A 和事件B 相互独立吗？提示 因为抽取是有放回的，所以A 的发生不会影响B 发生的概率，事件A 和事件B 相互独立.1.相互独立事件对任意两个事件A 与B ，如果P (AB )＝P (A )·P (B )成立，则称事件A 与事件B 相互独立，简称为独立. 2.相互独立事件的性质如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B －__，A －__与B ，A －__与B －也相互独立.教材拓展补遗[微判断]甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为12和13，甲、乙两人各射击一次，下列求解过程是否正确.(1)目标恰好被命中一次的概率为12＋13.(×) (2)目标恰好被命中两次的概率为12×13.(√)(3)目标被命中的概率为12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12×13.(×)(4)目标被命中的概率为1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13.(√)提示 目标恰好被命中一次的概率为12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12，故(1)错；目标被命中包括命中一次，恰好被命中两次，则其概率为12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12×13，故(3)错. [微训练]1.甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A ：“甲击中目标”，事件B ：“乙击中目标”，则事件A 与事件B ( ) A.相互独立但不互斥 B.互斥但不相互独立 C.相互独立且互斥 D.既不相互独立也不互斥解析 对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A 与事件B 相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A 与事件B 可能同时发生，所以事件A 与事件B 不是互斥事件. 答案 A2.从应届高中生中选拔飞行员，已知这批学生体型合格的概率为13，视力合格的概率为16，其他几项标准合格的概率为15，从中任选一名学生，则该生三项均合格的概率为(假设三项标准互不影响)( ) A.59 B.49 C.190 D.45 解析 p ＝13×16×15＝190. 答案 C [微思考]1.不可能事件与任何一个事件相互独立吗？提示相互独立.不可能事件的发生对任何一个事件的发生没有影响.2.必然事件与任何一个事件相互独立吗？提示相互独立.必然事件的发生与任何一个事件的发生没有影响.题型一相互独立事件的判断【例1】从一副扑克牌(除去大小王，共52张)中任抽一张，设A＝“抽到老K”，B＝“抽得红牌”，判断事件A与B是否相互独立？是否互斥？是否对立？为什么？解由于事件A为“抽得老K”，事件B为“抽到红牌”，故抽得红牌中有可能抽到红桃K或方块K，即有可能抽到老K，故事件A，B有可能同时发生，显然它们不是互斥事件，更不是对立事件，以下考虑它们是否互为独立事件：抽到老K的概率为P(A)＝452＝113，抽到红牌的概率P(B)＝2652＝12，故P(A)P(B)＝113×12＝126，事件AB即为“既抽得老K又抽得红牌”，亦即“抽到红桃老K或方块老K”，故P(AB)＝252＝126，从而有P(A)·P(B)＝P(AB)，因此A与B互为独立事件.规律方法两种方法判断两事件是否具有独立性(1)定义法：直接判定两个事件发生是否相互影响.(2)公式法：检验P(AB)＝P(A)P(B)是否成立.【训练1】掷一枚正方体骰子一次，设事件A：“出现偶数点”，事件B：“出现3点或6点”，则事件A，B的关系是()A.互斥但不相互独立B.相互独立但不互斥C.互斥且相互独立D.既不相互独立也不互斥解析事件A＝{2，4，6}，事件B＝{3，6}，事件AB＝{6}，样本点空间Ω＝{1，2，3，4，5，6}.所以P (A )＝36＝12，P (B )＝26＝13，P (AB )＝16＝12×13，即P (AB )＝P (A )P (B )，因此，事件A 与B 相互独立.当“出现6点”时，事件A ，B 同时发生，所以A ，B 不是互斥事件. 答案 B题型二 相互独立事件同时发生的概率【例2】 甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求： (1)2人都射中目标的概率； (2)2人中恰有1人射中目标的概率； (3)2人至少有1人射中目标的概率； (4)2人至多有1人射中目标的概率. 要清楚事件包含几种情况哟解 设“甲射击1次，击中目标”为事件A ，“乙射击1次，击中目标”为事件B ，则A 与B ，A －与B ，A 与B －，A －与B －为相互独立事件.(1)2人都射中目标的概率为P (AB )＝P (A )·P (B )＝0.8×0.9＝0.72.(2)“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲射中、乙未射中(事件AB －发生)，另一种是甲未射中、乙射中(事件A －B 发生).根据题意，事件AB －与A －B 互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为P (AB －)＋P (A －B )＝P (A )·P (B －)＋P (A －)·P (B ) ＝0.8×(1－0.9)＋(1－0.8)×0.9 ＝0.08＋0.18＝0.26.(3)“2人至少有1人射中”包括“2人都中”和“2人有1人射中”两种情况，其概率为p ＝P (AB )＋[P (AB －)＋P (A －B )]＝0.72＋0.26＝0.98.(4)“2人至多有1人射中目标”包括“有1人射中”和“2人都未射中”两种情况，故所求概率为p ＝P (A － B －)＋P (AB －)＋P (A －B )＝P (A －)·P (B －)＋P (A )·P (B －)＋P (A －)·P (B )＝0.02＋0.08＋0.18＝0.28.规律方法 解决此类问题要明确互斥事件和相互独立事件的意义，若A ，B 相互独立，则A －与B ，A 与B －，A －与B －也是相互独立的，代入相互独立事件的概率公式求解.【训练2】 设事件A 与事件B 相互独立，两个事件中只有A 发生的概率与只有B 发生的概率都是14，求P (A )、P (B ).解 只有A 发生，即AB －发生；只有B 发生，即A －B 发生.因为A ，B 相互独立，所以A －与B ，B －与A 也相互独立.所以P (AB －)＝P (A )P (B －)＝P (A )[1－P (B )]＝14， P (A －B )＝P (A －)P (B )＝P (B )[1－P (A )]＝14，即⎩⎪⎨⎪⎧P （A ）－P （A ）P （B ）＝14，P （B ）－P （A ）P （B ）＝14.解得⎩⎪⎨⎪⎧P （A ）＝12，P （B ）＝12.题型三 相互独立事件概率的综合应用 正难则反思想是解决此类问题的常用方法【例3】 小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求：(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率； (2)这三列火车至少有一列正点到达的概率.解 用A ，B ，C 分别表示这三列火车正点到达的事件，则P (A )＝0.8，P (B )＝0.7，P (C )＝0.9，所以P (A －)＝0.2，P (B －)＝0.3，P (C －)＝0.1.(1)由题意得A ，B ，C 之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为 p 1＝P (A －BC )＋P (AB －C )＋P (ABC －)＝P (A －)P (B )P (C )＋P (A )P (B －)P (C )＋P (A )P (B )P (C －) ＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1 ＝0.398.(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为 p 2＝1－P (A － B － C －) ＝1－P (A －)P (B －)P (C －) ＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.【迁移】 (变问法)在例3条件下，求恰有一列火车正点到达的概率. 解 恰有一列火车正点到达的概率 p 3＝P (AB － C －)＋P (A －BC －)＋P (A － B －C )＝P (A )P (B －)P (C －)＋P (A －)P (B )P (C －)＋P (A －)P (B －)P (C ) ＝0.8×0.3×0.1＋0.2×0.7×0.1＋0.2×0.3×0.9 ＝0.092.规律方法 明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义.一般地，已知两个事件A ，B ，它们的概率分别为P (A )，P (B )，那么： (1)A ，B 中至少有一个发生为事件A ＋B . (2)A ，B 都发生为事件AB . (3)A ，B 都不发生为事件A － B －.(4)A ，B 恰有一个发生为事件AB －＋A －B .(5)A ，B 中至多有一个发生为事件AB －＋A －B ＋A － B －.【训练3】 某机械厂制造一种汽车零件，已知甲机床的正品率是0.96，乙机床的次品率是0.05，现从它们制造的产品中各任意抽取一件，试求： (1)两件产品都是正品的概率； (2)恰有一件是正品的概率； (3)至少有一件是正品的概率.解 用A 表示“从甲机床生产的产品中抽得正品”，用B 表示“从乙机床生产的产品中抽得正品”，用C 表示“抽得的两件产品中恰有一件是正品”，用D 表示“抽得的两件产品中至少有一件正品”，则C ＝(AB －)∪(A －B )，D ＝C ∪(AB ). (1)由题意知，A 与B 是相互独立事件，P (B )＝1－P (B －)＝1－0.05＝0.95，P (A )＝0.96， 所以两件都是正品的概率为P (AB )＝P (A )P (B )＝0.96×0.95＝0.912.(2)由于事件AB －与A －B 互斥，所以恰有一件是正品的概率为 P (C )＝P [(AB －)∪(A －B )] ＝P (AB －)＋P (A －B ) ＝P (A )P (B －)＋P (A －)P (B )＝0.96×0.05＋0.04×0.95＝0.086. (3)由于事件AB 与C 互斥， 所以P (D )＝P [(AB )∪C ] ＝P (AB )＋P (C ) ＝0.912＋0.086＝0.998.一、素养落地1.通过学习事件独立性的含义，培养数学抽象素养.通过利用独立性计算概率提升数学运算素养.2.相互独立事件与互斥事件的区别二、素养训练1.坛子中放有3个白球，2个黑球，从中进行不放回地取球2次，每次取一球，用A 1表示第一次取得白球，A 2表示第二次取得白球，则A 1和A 2是( ) A.互斥的事件 B.相互独立的事件 C.对立的事件D.不相互独立的事件解析 ∵P (A 1)＝35，若A 1发生了，P (A 2)＝24＝12；若A 1不发生，P (A 2)＝34，即A 1发生的结果对A 2发生的结果有影响，∴A 1与A 2不是相互独立事件. 答案 D2.甲、乙、丙三人独立地去译一个密码，分别译出的概率为15，13，14，则此密码能译出的概率是( ) A.160B.25C.35D.5960解析 用A ，B ，C 分别表示甲、乙、丙三人破译出密码， 则P (A )＝15，P (B )＝13，P (C )＝14，∵P (A －B －C －)＝P (A －)·P (B －)·P (C －)＝45×23×34＝25.∴此密码破译出的概率为1－25＝35. 答案 C3.已知P (A )＝0.3，P (B )＝0.5，当事件A 、B 相互独立时，P (A ∪B )＝________.解析 ∵A 、B 相互独立，∴P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (AB )＝0.3＋0.5－0.3×0.5＝0.65. 答案 0.654.已知A 、B 是相互独立事件，且P (A )＝12，P (B )＝23，求P (AB －)和P (A － B － ).解 ∵A 、B 是相互独立事件， ∴A 与B －，A －与B －也是相互独立事件. 又∵P (A )＝12，P (B )＝23，故P (A －)＝12，P (B －)＝1－23＝13，∴P (AB －)＝P (A )×P (B －)＝12×13＝16；P (A － B －)＝P (A －)×P (B －)＝12×13＝16.基础达标一、选择题1.一袋中装有5只白球，3只黄球，在有放回地摸球中，用A 1表示第一次摸得白球，A 2表示第二次摸得白球，则事件A 1与A －2是( ) A.相互独立事件 B.不相互独立事件 C.互斥事件D.对立事件解析 由题意可得A －2表示“第二次摸到的不是白球”，即A －2表示“第二次摸到的是黄球”，由于采用有放回地摸球，故每次是否摸到黄球或白球互不影响，故事件A 1与A －2是相互独立事件. 答案 A2.某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别是13，12，23，则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为( ) A.19 B.16 C.13 D.718解析 设汽车分别在甲、乙、丙三处通行为事件A ，B ，C ，则P (A )＝13，P (B )＝12，P (C )＝23.停车一次即为事件A －BC ＋AB －C ＋ABC －，故概率为p ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×12×23＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×23＋13×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝718.答案 D3.同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x ，转盘乙得到的数为y ，x ，y 构成数对(x ，y )，则所有数对(x ，y )中满足xy ＝4的概率为( )A.116B.18C.316D.14解析 满足xy ＝4的所有可能如下： x ＝1，y ＝4；x ＝2，y ＝2；x ＝4，y ＝1. ∴所求事件的概率p ＝P (x ＝1，y ＝4)＋P (x ＝2，y ＝2)＋P (x ＝4，y ＝1) ＝14×14＋14×14＋14×14＝316. 答案 C4.从甲袋中摸出1个白球的概率为13，从乙袋内摸出1个白球的概率是12，从两个袋内各摸1个球，那么概率为56的事件是( ) A.2个球都是白球 B.2个球都不是白球 C.2个球不都是白球 D.2个球恰好有1个白球解析 从甲袋内摸出白球与从乙袋内摸出白球两事件相互独立，故两个球都是白球的概率为p 1＝13×12＝16，∴两个球不都是白球的概率为p ＝1－p 1＝56. 答案 C5.在如图所示的电路图中，开关a ，b ，c 闭合与断开的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率是( )A.18B.38C.14D.78解析 设开关a ，b ，c 闭合的事件分别为A ，B ，C ，则灯亮这一事件E ＝ABC ∪ABC －∪AB －C ，且A ，B ，C 相互独立， ABC ，ABC －，AB －C 互斥，所以 P (E )＝P [(ABC )∪(ABC －)∪(AB －C )] ＝P (ABC )＋P (ABC －)＋P (AB －C )＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C －)＋P (A )P (B －)P (C ) ＝12×12×12＋12×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×12＝38. 答案 B 二、填空题6.甲、乙两人独立地求解同一问题，甲解出这个问题的概率是p 1，乙解出这个问题的概率是p 2，那么恰好有1人解出这个问题的概率是________.解析 恰好有1人解出可分为甲解出乙没解出、甲没解出乙解出.这两个事件显然是互斥的.所以恰好有1人解出这个问题的概率为p 1(1－p 2)＋p 2(1－p 1). 答案 p 1(1－p 2)＋p 2(1－p 1)7.在一次三人象棋对抗赛中，甲胜乙的概率为0.4，乙胜丙的概率为0.5，丙胜甲的概率为0.6，比赛顺序如下：第一局，甲对乙；第二局，第一局胜者对丙；第三局，第二局胜者对第一局败者；第四局，第三局胜者对第二局败者，则乙连胜四局的概率为________.解析 乙连胜四局，即乙先胜甲，然后胜丙，接着再胜甲，最后再胜丙，∴概率p ＝(1－0.4)×0.5×(1－0.4)×0.5＝0.09. 答案 0.098.国庆节放假，甲、乙、丙三人去北京旅游的概率分别是13，14，15.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________. 解析 设“国庆节放假，甲、乙、丙三人去北京旅游”分别为事件A 、B 、C ，则A 、B 、C 相互独立且P (A )＝13，P (B )＝14，P (C )＝15，∴至少有1人去北京旅游的概率为：1－P (A －B －C －)＝1－P (A －)·P (B －)·P (C －)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15＝1－25＝35.答案 35三、解答题9.某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率： (1)第3次拨号才接通电话； (2)拨号不超过3次而接通电话.解 设A i ＝{第i 次拨号接通电话}，i ＝1，2，3. (1)第3次才接通电话可表示为A －1 A －2A 3，于是所求概率为P (A －1 A －2A 3)＝910×89×18＝110；(2)拨号不超过3次而接通电话可表示为A 1＋A －1A 2＋A －1 A －2A 3，由于事件A 1，A －1A 2，A －1A －2A 3两两互斥，于是所求概率为P (A 1＋A －1A 2＋A －1 A －2A 3)＝P (A 1)＋P (A －1A 2)＋P (A －1 A －2A 3) ＝110＋910×19＋910×89×18＝310.10.甲、乙、丙三人各自向同一飞机射击，设击中飞机的概率分别为0.4、0.5、0.8，如果只有一人击中，则飞机被击落的概率是0.2；如果有两人击中，则飞机被击落的概率是0.6；如果三人都击中，则飞机一定被击落.求飞机被击落的概率. 解 设甲、乙、丙三人击中飞机的事件分别为A 、B 、C ，依题意知，A 、B 、C 相互独立，故所求概率为p ＝[P (A B － C － )＋P (A －BC －)＋P (A － B －C )]×0.2＋[P (ABC －)＋P (AB －C )＋P (A －BC )]×0.6＋P (ABC )＝(0.4×0.5×0.2＋0.6×0.5×0.2＋0.6×0.5×0.8)×0.2＋(0.4×0.5×0.2＋0.4×0.5×0.8＋0.6×0.5×0.8)×0.6＋0.4×0.5×0.8＝0.492.能力提升11.甲盒中有200个螺杆，其中有160个A 型的，乙盒中有240个螺母，其中有180个A 型的.现从甲、乙两盒中各任取一个，则恰好可配成A 型螺栓的概率为( ) A.120B.1516C.35D.1920解析 设“从甲盒中任取一螺杆为A 型螺杆”为事件M ，“从乙盒中任取一螺母为A 型螺母”为事件N ，则M 与N 相互独立，P (M )＝160200＝45，P (N )＝180240＝34，则从甲、乙两盒中各任取一个，恰好可配成A 型螺栓的概率为P (MN )＝P (M )P (N )＝45×34＝35.故选C. 答案 C12.某学生语、数、英三科考试成绩在一次考试中排名全班第一的概率：语文为0.9，数学为0.8，英语为0.85，问一次考试中： (1)三科成绩均未获得第一名的概率是多少？ (2)恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？解 分别记该生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为A ，B ，C ，则A ，B ，C 两两相互独立且P (A )＝0.9，P (B )＝0.8，P (C )＝0.85. (1)“三科成绩均未获得第一名”可以用A － B － C －表示， P (A － B － C －)＝P (A －)P (B －)P (C －) ＝[1－P (A )][1－P (B )][1－P (C )] ＝(1－0.9)(1－0.8)(1－0.85)＝0.003， 所以三科成绩均未获得第一名的概率是0.003.(2)“恰有一科成绩未获得第一名”可以用(A －BC )∪(AB －C )∪(ABC －)表示. 由于事件A －BC ，AB －C 和ABC －两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的意义，所求的概率为P (A －BC )＋P (AB －C )＋P (ABC －)＝P (A －)P (B )P (C )＋P (A )P (B －)P (C )＋P (A )P (B )P (C －)＝[1－P (A )]P (B )P (C )＋P (A )[1－P (B )]P (C )＋P (A )P (B )·[1－P (C )] ＝(1－0.9)×0.8×0.85＋0.9×(1－0.8)×0.85＋0.9×0.8×(1－0.85) ＝0.329，所以恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329.创新猜想13.(多填题)两人打靶，甲击中的概率为0.8，乙击中的概率为0.7，若两人同时射击一目标，则它们都中靶的概率是________，它们都不中靶的概率为________. 解析 利用P (AB )＝P (A )P (B )得P (AB )＝0.8×0.7＝0.56，P (A －B －)＝P (A －)P (B －)＝(1－0.8)(1－0.7)＝0.06. 答案 0.56 0.0614.(多填题)事件A ，B ，C 相互独立，如果P (AB )＝16，P (B －C )＝18，P (ABC －)＝18，则P (B )＝________，P (A －B )＝________.解析 ∵P (ABC －)＝P (AB )P (C －)＝16P (C －)＝18，∴P (C －)＝34，即P (C )＝14.又P (B －C )＝P (B －)·P (C )＝18，∴P (B －)＝12，P (B )＝12.又P (AB )＝16，则P (A )＝13，∴P (A －B )＝P (A －)·P (B )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×12＝13.答案 12 13。
2022年高一下数学第44讲：事件的相互独立性
2022年高一下数学第44讲：事件的相互独立性1．袋内有3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，用A 表示“第一次摸得白球”，用B 表示“第二次摸得白球”，则A 与B 是( )A ．互斥事件B ．相互独立事件C ．对立事件D ．不相互独立事件解析：选D 根据互斥事件、对立事件和相互独立事件的定义可知，A 与B 不是相互独立事件．故选D.2．若P (AB )＝19，P (A )＝23，P (B )＝13，则事件A 与B 的关系是( ) A ．事件A 与B 互斥B ．事件A 与B 对立C ．事件A 与B 相互独立D ．事件A 与B 既互斥又独立解析：选C 因为P (A )＝23，所以P (A )＝13，又P (B )＝13，P (AB )＝19，所以有P (AB )＝P (A )P (B )，所以事件A 与B 相互独立但不一定互斥．故选C.3.如图，A ，B ，C 表示3个开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9，0.8，0.7，那么系统的可靠性为( )A ．0.054B ．0.994C ．0.496D ．0.06解析：选B 记三个开关都正常工作分别为事件A ，B ，C ，则P (A )＝0.9，P (B )＝0.8，P (C )＝0.7.三个开关同时出现故障的事件为A ∩B ∩C ，则此系统正常工作的概率为P ＝1－P (A B C )＝1－P (A )P (B )P (C )＝1－0.1×0.2×0.3＝0.994.故选B.4．周老师上数学课时，给班里同学出了两道选择题，她预估做对第一道题的概率为0.80，做对两道题的概率为0.60，则预估做对第二道题的概率是( )A ．0.80B ．0.75C ．0.60D ．0.48解析：选B 设“做对第一道题”为事件A ，“做对第二道题”为事件B ，则P (AB )＝P (A )P (B )＝0.8×P (B )＝0.6，故P (B )＝0.75.故选B.5．设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4，各人是否需使用设备相互独立，则同一工作日至少3人需使用设备的概率为( )A ．0.25B ．0.30C ．0.31D ．0.35解析：选C 设甲、乙、丙、丁需使用设备分别为事件A ，B ，C ，D ，则P (A )＝0.6，P (B )＝P (C )＝0.5，P (D )＝0.4，恰好3人使用设备的概率P 1＝P (A BCD ∪A B CD ∪AB C D ∪ABC D )＝(1－0.6)×0.5×0.5×0.4＋0.6×(1－0.5)×0.5×0.4＋0.6×0.5×(1－0.5)×0.4＋0.6×0.5×0.5×(1－0.4)＝0.25，4人使用设备的概率P 2＝P (ABCD )＝0.6×0.5×0.5×0.4＝0.06，故所求概率P ＝P 1＋P 2＝0.25＋0.06＝0.31.故选C.6．有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在两批种子中各取一粒，则恰有一粒种子能发芽的概率是________．解析：所求概率P ＝0.8×0.1＋0.2×0.9＝0.26.答案：0.267．在某道路A ，B ，C 三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为________．解析：由题意可知，每个交通灯开放绿灯的概率分别为512，712，34. 在这个道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为512×712×34＝35192. 答案：351928．某天上午，李明要参加“青年文明号”活动．为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己．假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________．解析：至少有一个准时响的概率为1－(1－0.90)·(1－0.80)＝1－0.10×0.20＝0.98. 答案：0.989．在同一时间内，甲、乙两个气象台独立预报天气准确的概率分别为45和34.求： (1)甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率；(2)至少有一个气象台预报准确的概率．解：记“甲气象台预报天气准确”为事件A ，“乙气象台预报天气准确”为事件B .显然事件A ，B 相互独立，且P (A )＝45，P (B )＝34. (1)甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率P (AB )＝P (A )P (B )＝45×34＝35. (2)至少有一个气象台预报准确的概率为P ＝1－P (A B )＝1－P (A )P (B )＝1－15×14＝1920. 10．某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案．方案一：考三门课程，至少有两门及格为考试通过．方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别为0.5,0.6,0.9，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．求：(1)该应聘者用方案一考试通过的概率；(2)该应聘者用方案二考试通过的概率．解：记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A ，B ，C ，则P (A )＝0.5，P (B )＝0.6，P (C )＝0.9.(1)应聘者用方案一考试通过的概率为P 1＝P (AB C )＋P (A BC )＋P (A B C )＋P (ABC )＝0.5×0.6×0.1＋0.5×0.6×0.9＋0.5×0.4×0.9＋0.5×0.6×0.9＝0.75.(2)应聘者用方案二考试通过的概率为P 2＝13P (AB )＋13P (BC )＋13P (AC ) ＝13×0.5×0.6＋13×0.6×0.9＋13×0.5×0.9＝0.43. B 级——面向全国卷高考高分练1．有一道数学难题，学生A 解出的概率为12，学生B 解出的概率为13，学生C 解出的概率为14.若A ，B ，C 三人独立去解答此题，则恰有一人解出的概率为( ) A ．1B ．624 C.1124 D.1724解析：选C 一道数学难题，恰有一人解出，包括：①A 解出，B ，C 解不出，概率为12×23×34＝14； ②B 解出，A ，C 解不出，概率为12×13×34＝18； ③C 解出，A ，B 解不出，概率为12×23×14＝112. 所以恰有1人解出的概率为14＋18＋112＝1124.故选C. 2．国庆节放假，甲去北京旅游的概率为13，乙、丙去北京旅游的概率分别为14，15.假定3人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为( )A.5960B ．35C.12D.160解析：选B 因为甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为13，14，15，所以他们不去北京旅游的概率分别为23，34，45，故至少有1人去北京旅游的概率为1－23×34×45＝35.故选B. 3．甲骑自行车从A 地到B 地，途中要经过4个十字路口，已知甲在每个十字路口遇到红灯的概率都是13，且在每个路口是否遇到红灯相互独立，那么甲在前两个十字路口都没有遇到红灯，直到第三个路口才首次遇到红灯的概率是( )A.13B ．427 C.49 D.127解析：选B 由题意知，甲在前两个十字路口没有遇到红灯，直到第三个路口才首次遇到红灯的概率为23×23×13＝427.故选B. 4.如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是12，且是互相独立的，则灯亮的概率为( )A.316B ．34 C.1316 D.14解析：选C 记“A ，B ，C ，D 四个开关闭合”分别为事件A ，B ，C ，D ，可用对立事件求解，图中含开关的三条线路同时断开的概率为：P (C )P (D )[1－P (AB )]＝12×12×⎝⎛⎭⎫1－12×12＝316.所以灯亮的概率为1－316＝1316.故选C. 5．甲、乙同时炮击一架敌机，已知甲击中敌机的概率为0.3，乙击中敌机的概率为0.5，敌机被击中的概率为________．解析：由题意知P ＝1－(1－0.3)×(1－0.5)＝0.65.答案：0.656．某地区为女农民工免费提供家政和医院陪护工培训，每人可选择参加一项、两项培训或不参加培训，已知参加过家政培训的有60%，参加过医院陪护工培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且每个人的选择相互之间没有影响．任选1名女农民工，则她参加过培训的概率是________．解析：设事件A 表示“女农民工参加家政培训”，事件B 表示“女农民工参加医院陪护工培训”，则P(A)＝0.6，P(B)＝0.75，任选1名女农民工，她两项培训都没参加的概率为P(A B)＝P(A)P(B)＝(1－0.6)×(1－0.75)＝0.1，则她参加过培训的概率是1－P(A B)＝1－0.1＝0.9.答案：0.97．某同学语文、数学、英语三科的考试成绩在一次考试中排名全班第一的概率：语文为0.9，数学为0.8，英语为0.85，求：(1)三科成绩均未获得第一名的概率是多少？(2)恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？解：分别记该生语文、数学、英语考试成绩排名全班第一的事件为A，B，C，则A，B，C两两相互独立且P(A)＝0.9，P(B)＝0.8，P(C)＝0.85.(1)“三科成绩均未获得第一名”可以用A B C表示，所求的概率为P(A B C)＝P(A)P(B)P(C)＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝(1－0.9)(1－0.8)(1－0.85)＝0.003，即三科成绩均未获得第一名的概率是0.003.(2)“恰有一科成绩未获得第一名”可以用(A BC)∪(A B C)∪(AB C)表示．由于事件A BC，A B C和AB C两两互斥，根据概率的加法公式和事件独立性定义，所求的概率为P(A BC)＋P(A B C)＋P(AB C) ＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＝[1－P(A)]P(B)P(C)＋P(A)[1－P(B)]P(C)＋P(A)P(B)[1－P(C)]＝(1－0.9)×0.8×0.85＋0.9×(1－0.8)×0.85＋0.9×0.8×(1－0.85)＝0.329，即恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329.C级——拓展探索性题目应用练某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生选修哪门课互不影响．已知学生小张只选甲的概率为0.08，只选甲和乙的概率为0.12，至少选一门课的概率为0.88，用ξ表示小张选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积．(1)求学生小张选修甲的概率；(2)记“函数f(x)＝x2＋ξx为R上的偶函数”为事件A，求事件A的概率．解：(1)设学生小张选修甲、乙、丙的概率分别为x，y，z，则⎩⎪⎨⎪⎧ x (1－y )(1－z )＝0.08，xy (1－z )＝0.12，(1－x )(1－y )(1－z )＝0.12，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0.4，y ＝0.6，z ＝0.5.所以学生小张选修甲的概率为0.4. (2)若函数f (x )＝x 2＋ξx 为R 上的偶函数，则ξ＝0，当ξ＝0时，表示小张选修三门课或三门课都不选．所以P (A )＝P (ξ＝0)＝xyz ＋(1－x )(1－y )(1－z )＝0.4×0.6×0.5＋(1－0.4)(1－0.6)(1－0.5)＝0.24，即事件A 的概率为0.24.。
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事件的互相独立性1.若A 与B 相互独立，则下面不相互独立事件有( )A.A 与AB.A 与BC.A 与B D A 与B2.在某段时间内，甲地不下雨的概率为0.3，乙地不下雨的概率为0.4，假设在这段时间内两地是否下雨相互无影响，则这段时间内两地都下雨的概率是( )A.0.12B.0.88C.0.28D.0.423.甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是P 1,乙解决这个问题的概率是P 2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是( )A.P 1P 2B.P 1(1-P 2)+P 2(1-P 1)C.1-P 1P 2D.1-(1-P 1)(1-P 2) 4.从应届高中生中选出飞行员，已知这批学生体型合格的概率为31，视力合格的概率为61，其他几项标准合格的概率为51，从中任选一学生，则该生三项均合格的概率为（假设三项标准互不影响）( ) A.94 B.901 C.54 D. 95 5.一道数学竞赛试题，甲生解出它的概率为21，乙生解出它的概率为31，丙生解出它的概率为41，由甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为____________.6.一出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是31，那么这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率是_______________. 7.某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都“合格”则该课程考核“合格”.甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9、0.8、0.7；在实验考核中合格的概率分别为0.8、0.7、0.9.所有考核是否合格相互之间没有影响.（1）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率； （2）求这三人该课程考核都合格的概率（结果保留三位小数）.8.外形相同的球分别装在三个不同的盒子中，每个盒子中有10个球.其中第一个盒子中有7个球标有字母A，3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个.试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一球.如果第二次取得的球是红球，则称试验成功，求试验成功的概率.9.如图，用A、B、C、D四类不同的元件连接成两个系统N1、N2.当元件A、B、C、D都正常工作时，系统N1正常工作；当元件A、B至少有一个正常工作，且C、D至少有一个正常工作时，系统N2正常工作.已知元件A、B、C、D正常工作的概率依次为0.80、0.90、0.90、0.70，分别求系统N1、N2正常工作的概率P1、P2.10.一个通讯小组有两套设备，只要其中有一套设备能正常工作，就能进行通讯.每套设备由3个部件组成，只要其中有一个部件出故障，这套设备就不能正常工作.如果在某一时间段内每个部件不出故障的概率为P ，计算在这一时间段内，（1）恰有一套设备能正常工作的概率； （2）能进行通讯的概率.11.从甲袋中摸出一个红球的概率是31,从乙袋内摸出1个红球的概率是21，从两袋内各摸出1个球，则32等于( )A.2个球不都是红球的概率B.2个球都是红球的概率C.至少有1个红球的概率D.2个球中恰好有1个红球的概率12.某人有一串8把外形相同的钥匙，其中只有一把能打开家门，一次该人醉酒回家每次从8把钥匙中随便拿一把开门，试用后又不加记号放回，则该人第三次打开家门的概率是____________.13.下列各对事件（1）运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”；（2）甲、乙二运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”；（3）甲、乙二运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”.（4）甲、乙二运动员各射击一次，“至少有1人射中目标”与“甲射中目标但乙未射中目标”. 是互斥事件的有____________；是相互独立事件的有____________.14.某班有两个课外活动小组，其中第一小组有足球票6张，排球票4张；第二小组有足球票4张，排球票6张.甲从第一小组的10张票中任抽1张，乙从第二小组的10张票中任抽1张.（1）两人都抽到足球票的概率是多少？（2）两人中至少有1人抽到足球票的概率是多少？16.设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响.已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1,乙、丙都需要照顾的概率为0.125，（Ⅰ)求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少；（Ⅱ）计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率.事件的互相独立性1.若A 与B 相互独立，则下面不相互独立事件有( )A.A 与AB.A 与BC.A 与B D A 与B解析：由定义知，易选A. 答案：A2.在某段时间内，甲地不下雨的概率为0.3，乙地不下雨的概率为0.4，假设在这段时间内两地是否下雨相互无影响，则这段时间内两地都下雨的概率是( )A.0.12B.0.88C.0.28D.0.42 解析：P=（1-0.3）（1-0.4）=0.42. 答案：D3.甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是P 1,乙解决这个问题的概率是P 2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是( )A.P 1P 2B.P 1(1-P 2)+P 2(1-P 1)C.1-P 1P 2D.1-(1-P 1)(1-P 2)解析：恰有一人解决就是甲解决乙没有解决或甲没有解决乙解决，故所求概率是p 1(1-p 2)+p 2(1-p 1). 答案：B4.从应届高中生中选出飞行员，已知这批学生体型合格的概率为31，视力合格的概率为61，其他几项标准合格的概率为51，从中任选一学生，则该生三项均合格的概率为（假设三项标准互不影响）( ) A.94 B.901 C.54 D. 95 解析：P=901516131=⨯⨯.答案：B.5.一道数学竞赛试题，甲生解出它的概率为21，乙生解出它的概率为31，丙生解出它的概率为41，由甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为____________.解析：P=2411413221433121433221=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯. 答案：2411.6.一出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是31，那么这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率是_______________. 解析：因为这位司机在第一，二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯，所以P=(1-31)(1-31)×31=274. 答案：2747.某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都“合格”则该课程考核“合格”.甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9、0.8、0.7；在实验考核中合格的概率分别为0.8、0.7、0.9.所有考核是否合格相互之间没有影响.（1）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率； （2）求这三人该课程考核都合格的概率（结果保留三位小数）.解析：记“甲理论考核合格”为事件A 1；“乙理论考核合格”为事件A 2；“丙理论考核合格”为事件A 3；记i A 为A i 的对立事件，i=1,2,3；记“甲实验考核合格”为事件B 1;“乙实验考核合格”为事件B 2；“丙实验考核合格”为事件B 3.（1）记“理论考核中至少有两人合格”为事件C ，记C 为C 的对立事件 P （C ）=P （A 1A 23A +A 12A A 3+1A A 2A 3+A 1A 2A 3) =P(A 1A 23A )+P(A 12A A 3)+P(1A A 2A 3)+P(A 1A 2A 3)=0.9×0.8×0.3+0.9×0.2×0.7+0.1×0.8×0.7+0.9×0.8×0.7=0.902 (2)记“三人该课程考核都合格”为事件D P （D ）=P[(A 1·B 1)·（A 2·B 2）·（A 3·B 3）] =P （A 1·B 1）·P （A 2·B 2）·P （A 3·B 3） =P （A 1）·P （B 1）·P （A 2）·P （B 2）·P （A 3）·P （B 3) =0.9×0.8×0.7×0.8×0.7×0.9 0.254 016≈0.254所以，这三人该课程考核都合格的概率为0.254 8.外形相同的球分别装在三个不同的盒子中，每个盒子中有10个球.其中第一个盒子中有7个球标有字母A ，3个球标有字母B ；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个.试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A 的球，则在第二个盒子中任取一球；若第一次取得标有字母B 的球，则在第三个盒子中任取一球.如果第二次取得的球是红球，则称试验成功，求试验成功的概率.解析：设事件A ：从第一个盒子中取得一个标有字母A 的球；事件B ：从第一个盒子中取得一个标有字母B 的球，则A 、B 互斥，且P （A ）=107，P （B ）=103；事件C ：从第二号盒子中取一个红球，事件D ：从第三号盒子中取一个红球，则C 、D 互斥，且P （C ）=21，P （D ）=54108 .显然，事件A·C 与事件B·D 互斥，且事件A 与C 是相互独立的，B 与D 也是相互独立的.所以试验成功的概率为P=P(A·C+B·D)=P(A·C)+P(B·D)=P(A)·P(C)+P(B)·P(D)=10059. ∴本次试验成功的概率为10059. 9.如图，用A 、B 、C 、D 四类不同的元件连接成两个系统N 1、N 2.当元件A 、B 、C 、D 都正常工作时，系统N 1正常工作；当元件A 、B 至少有一个正常工作，且C 、D 至少有一个正常工作时，系统N 2正常工作.已知元件A 、B 、C 、D 正常工作的概率依次为0.80、0.90、0.90、0.70，分别求系统N 1、N 2正常工作的概率P 1、P 2.解析：N 1正常工作等价于A 、B 、C 、D 都正常工作，N 2正常工作等价于A 、B 中至少一个正常工作，且C 、D 中至少有一个正常工作.且A 、B 、C 、D 正常工作的事件相互独立.分别记元件A 、B 、C 、D 正常工作为事件A 、B 、C 、D ，由已知P （A ）=0.80，P （B ）=0.90，P （C ）=0.90，P （D ）=0.70. (1)P 1=P(A·B·C·D) =P(A)P(B)P(C)·P(D)=0.80×0.90×0.90×0.70=0.453 6.(2)P 2=P(1-A ·B )·P(1-C ·D ) =［1-P(A )·P(B )］［1-P(C )·P(D )］=(1-0.2×0.1)×(1-0.1×0.3)=0.98×0.97=0.950 6. 拓展探究10.一个通讯小组有两套设备，只要其中有一套设备能正常工作，就能进行通讯.每套设备由3个部件组成，只要其中有一个部件出故障，这套设备就不能正常工作.如果在某一时间段内每个部件不出故障的概率为P ，计算在这一时间段内，（1）恰有一套设备能正常工作的概率； （2）能进行通讯的概率.解析：记“第一套通讯设备能正常工作”为事件A ，“第二套通讯设备能正常工作”为事件B. 由题意知P （A ）=p 3,P(B)=p 3, P(A )=1-p 3,P(B )=1-p 3.(1)恰有一套设备能正常工作的概率为P(A·B +A ·B)=P(A·B )+P(A ·B) =p 3(1-p 3)+(1-p 3)p 3=2p 3-2p 6.(2)方法一：两套设备都能正常工作的概率为 P(A·B)=P(A)·P(B)=p 6.至少有一套设备能正常工作的概率，即能进行通讯的概率为 P(A·B +A ·B)+P(A·B)=2p 3-2p 6+p 6=2p 3-p 6. 方法二：两套设备都不能正常工作的概率为 P(A ·B )=P(A )·P(B )=(1-p 3)2. 至少有一套设备能正常工作的概率，即能进行通讯的概率为1-P(A ·B )=1-P(A )·P(B )=1-(1-p 3)2=2p 3-p 6. 答：恰有一套设备能正常工作的概率为2p 3-2p 6,能进行通讯的概率为2p 3-p 6. 11.从甲袋中摸出一个红球的概率是31,从乙袋内摸出1个红球的概率是21，从两袋内各摸出1个球，则32等于( )A.2个球不都是红球的概率B.2个球都是红球的概率C.至少有1个红球的概率D.2个球中恰好有1个红球的概率 答案：C12.某人有一串8把外形相同的钥匙，其中只有一把能打开家门，一次该人醉酒回家每次从8把钥匙中随便拿一把开门，试用后又不加记号放回，则该人第三次打开家门的概率是____________.解析：(87)2×81=51249. 答案：5124913.下列各对事件（1）运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”；（2）甲、乙二运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”；（3）甲、乙二运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”.（4）甲、乙二运动员各射击一次，“至少有1人射中目标”与“甲射中目标但乙未射中目标”. 是互斥事件的有____________； 是相互独立事件的有____________. 解析：（1）甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”两个事件不可能同时发生，二者是互斥事件.（2）甲、乙各射击一次，“甲射中10环”发生与否，对“乙射中9环”的概率没有影响，二者是相互独立事件. （3）甲、乙各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”不可能同时发生，二者是互斥事件.（4）甲、乙各射击一次，“至少有1人射中目标”与“甲射中目标，但乙没有射中目标”可能会同时发生，二者构不成互斥事件，也不可能是相互独立事件. 答案：（1），（3）；（2）14.现有四个整流二极管可串联或并联组成一个电路系统，已知每个二极管的可靠度为0.8(即正常工作的概率），请你设计一种四个二极管之间的串并联形式的电路系统，使得其可靠度大于0.85.画出你的设计图并说明理由. 解析：（1）P=1-(1-0.8)4=0.998 4＞0.85; (2)P=1-(1-0.82)2=0.870 4＞0.85; (3)P=［1-(1-0.8)2］2=0.921 6＞0.85; (4)P=1-(1-0.8)(1-0.83)=0.902 4＞0.85; (5)P=1-(1-0.8)2(1-0.82)=0.985 6＞0.85. 以上五种之一均可.15.某班有两个课外活动小组，其中第一小组有足球票6张，排球票4张；第二小组有足球票4张，排球票6张.甲从第一小组的10张票中任抽1张，乙从第二小组的10张票中任抽1张. （1）两人都抽到足球票的概率是多少？（2）两人中至少有1人抽到足球票的概率是多少？解析：记“甲从第一小组的10张票中任抽1张，抽到足球票”为事件A ，“乙从第二小组的10张票中任抽1张，抽到足球票”为事件B ；记“甲从第一小组的10张票中任抽1张，抽到排球票”为事件A ,“乙从第二小组的10张票中任抽1张，抽到排球票”为事件B .于是P （A ）=53106 ，P （A )=52; P(B)=104=52,P(B )=53.由于甲（或乙）是否抽到足球票，对乙（或甲）是否抽到足球票没有影响，因此A 与B 是相互独立事件.（1）甲、乙两人都抽到足球票就是事件A·B 发生，根据相互独立事件的概率乘法公式，得到P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）=53·25652=. 答：两人都抽到足球票的概率是256. (2)甲、乙两人均未抽到足球票（事件B A •发生）的概率为 P （B A •）=P （A ）·P （B ）=2565352=•. ∴两人中至少有1人抽到足球票的概率为 P=1-P(B A •)=1-256=2519. 答：两人中至少有1人抽到足球票的概率是2519. 16.（2005全国高考卷3，文18）设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响.已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1,乙、丙都需要照顾的概率为0.125， （Ⅰ)求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少； （Ⅱ）计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率. DBBCA ，CCBCD ，BA18. 解析：（Ⅰ）记甲、乙、丙三台机器在一小时需要照顾分别为事件A 、B 、C ， 则A 、B 、C 相互独立. 由题意得P(AB)=P(A)·P(B)=0.05 P(AC)=P(A)·P(C)=0.1,P(BC)=P(B)·P(C)= 0.125 解得P(A)=0.2;P(B)=0.25;P(C)=0.5所以，甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是0.2、0.25、0.5 (Ⅱ)∵A 、B 、C 相互独立，∴A 、B 、C 相互独立∴甲、乙、丙每台机器在这个小时内需都不需要照顾的概率为 P(A ·B ·C )=P(A )P(B )P(C )=0.8×0.75×0.5=0.3 ∴这个小时内至少有一台需要照顾的概率为p=1-P(A ·B ·C )=1-0.3=0.7。