(整理)多重积分的方法总结.

多重积分的方法总结

专业：水文与水资源工程

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多重积分的方法总结

二重积分和三重积分的概念都有实际的几何或物理的背景，定义分为四个步骤用构造的方法给出，最终表现为“黎曼和”的极限．故多重积分具有极限的基本性质，如唯一性，线性性质等．定义给出了概念的一个准确描述方法，进而从定义出发可以从纯逻辑上考察概念具有的性质以及计算方法．和定积分的概念对应，多重积分和定积分的定义及性质一致，其定义和性质都不难理解．把握这里的概念，需要大家从这几个角度来理解：1. 几何和物理背景；2. 定义形式；3.概念的性质；4.计算方法；5.应用．

计算根据被积区域和被积函数的形式要选择适当的方法处理，这里主要是看被积区域的形式来选择合适的坐标形式，并给区域一个相应的表达，从而可以转化多重积分为多次的积分形式．具体的一些作法在下面给出．

一．二重积分的计算

重积分的计算主要是化为多次的积分．这里首先要看被积区域的形式, 选择合适的坐标系来进行处理．二重积分主要给出了直角坐标系和极坐标系的计算方法．我们都可以从以下几个方面把握相应的具体处理过程：1.被积区域在几何直观上的表现（直观描述，易于把握）；2.被积分区域的集合表示（用于下一步确定多次积分的积分次序和相应的积分限）；3.化重积分为多次积分．

1. 在直角坐标下： (a) X-型区域

几何直观表现：用平行于y 轴的直线穿过区域内部，与边界的交点最多两个．从而可以由下面和上面交点位于的曲线确定两个函数1()y y x =和2()y y x =；

被积区域的集合表示：12{(,),()()}D x y a x b y x y y x =≤≤≤≤； 二重积分化为二次积分：

21()()

(,)(,)b

y x a

y x D

f x y dxdy dx f x y dy =⎰⎰

⎰⎰

．

(b) Y-型区域

几何直观表现：用平行于x 轴的直线穿过区域内部，与边界的交点最多两个．从而可以由左右交点位于的曲线确定两个函数1()x x x =和2()x x x =；

被积区域的集合表示：12{(,),()()}D x y c y d x x x x x =≤≤≤≤； 二重积分化为二次积分：

21()

()

(,)(,)d

x y c

x y D

f x y dxdy dx f x y dx =⎰⎰⎰

⎰

．

2. 在极坐标下：

几何直观表现：从极点出发引射线线穿过区域内部，与边界的交点最多两

个．从而可以由下面和上面交点位于的曲线确定两个函数1()r r θ=和2()r r θ=（具体如圆域，扇形域和环域等）；

被积区域的集合表示：1212{(,),()()}D r r r r θθθθθθ=≤≤≤≤，注意，如果极点在被积区域的内部，则有特殊形式2{(,)02,0()}D r r r θθπθ=≤≤≤≤；

直角坐标下的二重积分化为极坐标下的二重积分，并表示成相应的二次积分：

2211()

()

(,)(cos ,sin )(cos ,sin )r r D

D

f x y dxdy f r r rdrd d f r r rdr θθθθθθθθθθ==⎰⎰

⎰⎰⎰⎰

．

注：具体处理题目时，首要要能够选择适当的处理方法，并能够实现不同积分次序及直角坐标和极坐标的转化．

3. 二重积分的换元法：

(,)z f x y =在闭区域D 上连续，设有变换

(,),(,)(,)x x u v T u v D y y u v =⎧'∈⎨=⎩

将D '一一映射到D 上，又(,),(,)x u v y u v 关于u , v 有一阶连续的偏导数，且

(,)

0(,)

x y J u v ∂=

≠∂, (,)u v D '∈ 则有

(,)((,),(,))D

D f x y dxdy f x u v y u v J dudv '

=⎰⎰⎰⎰．

二．三重积分的计算

三重积分具体的处理过程类似于二重积分，也分为三个步骤来进行处理． 1. 在直角坐标下：

空间区域几何直观表现：用平行于z 轴的直线穿过区域内部，与边界曲面的交点最多两个．从而可以由下面和上面交点位于的曲面确定两个函数1(,)z z x y =和1(,)z z x y =，并把区域投影到xoy 面上从而确定(,)x y 的范围，记为xy D ；

被积区域的集合表示：12{(,,)(,),(,)(,)}xy V x y z x y D z x y z z x y =∈≤≤, 进一步地, xy D 可以表示成X －型区域或Y －型区域;

三重积分化为三次积分：

21(,)

(,)

(,,)(,,)xy

z x y z x y V

D f x y z dV dxdy f x y z dz =⎰⎰⎰⎰⎰⎰

（所谓“二套一”的形式）

2211()

(,)

()

(,)

(,,)b

y x z x y a y x z x y dx dy f x y z dz =⎰⎰

⎰

（xy D 为X －型）

2211()

(,)

()

(,)

(,,)d

x y z x y c

x y z x y dy dx f x y z dz =⎰⎰

⎰

（xy D 为Y －型）

注：类似于以上的处理方法，把空间区域投影到 yoz 面或zox 面又可把三重积分转化成不同次序的三次积分．这时区域几何直观表现，区域的集合表示，以及新的三次积分次序如何？可见，三重积分最多可以对应六种积分次序．这里还有所谓一套二的处理方法，区域的直观表现为：平行于xoy 面的截面面积容易求得．作为被积函数最好与x ，y 无关，即可表示为为()f z ．则区域表示为：

{(,,),(,)}z V x y z c z d x y D =≤≤∈,

其中z D 表示垂直于z 轴的截面．此时，三重积分化为：

(,,)()z

d

c

V

D f x y z dV dz f z dxdy =⎰⎰⎰

⎰⎰⎰ （所谓“一套二”的形式）

()z d

D c

f z S dz =⎰

其中z D S 表示截面z D 的面积，它是关于z 的函数．

2. 在柱坐标下：

柱坐标与直角坐标的关系：

cos sin ,(0,02,)x r y r r z z z θθθπ=⎧⎪

=≤<∞≤≤-∞<<+∞⎨⎪=⎩

空间区域几何直观表现：用平行于z 轴的直线穿过区域内部，与边界曲面的交点最多两个，从而可以由下面和上面交点位于的曲面确定两个函数1(,)z z x y =和1(,)z z x y =．空间区域在xoy 面上的投影区域易于用参数r 和θ表示范围（具体如圆域，扇形域和环域等），并且1(,)z z x y =和1(,)z z x y =也易于进一步表示z 成关于,r θ较简单的函数形式，比如22x y +可以看成一个整体（具体如上、下表面为旋转面的情形）；

被积区域的集合表示：

121212{(,),()(),(,)(,)}V r r r r z r z z r θθθθθθθθ=≤≤≤≤≤≤；

直角坐标下的三重积分化为极坐标下的三重积分，并表示成相应的三次积分：