北京初三数学中考压轴题

最值类

1．【2012•黔东南州】如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．

（1）求抛物线的解析式．

（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y

轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的

长，并求MN长的最大值．

（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的

面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．

解答：

(1)设抛物线的解析式为y=-x*2+2x+3

(2)设直线BC的解析式为y=a(x+1)(x-3)则a(0+1)(0-3)=3,a=-1∴抛物线的解析式

y=kx+b则有3k+b=0,b=3;k=-1,b=3故直线BC的解析式y=-x+3

已知点M的横坐标为m则M(m,-m+3)、N(m,-m*2+2m+3)∴故N=-m*2+2m+3-(-m+3)=-m*2+3m(0＜m＜3）

（△3）∵S BNC=S△MNC+S△MNB=1/2MN（OD+DB)=1/2MN•OB

∴S BNC=1/2(△-m2+3m)•3=-3/2(m-3/2)×2+27/8（0＜m＜3)

∴当m=3/2时△BNC的面积最大,最大值为27/8

2．【2012•恩施州】如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相

交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．

（1）抛物线及直线AC的函数关系式；

（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；

（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的

任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；

（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．

带入A，C坐标到抛物线：

-1-b+c=0

-4+2b+c=3

b=2，c=3,抛物线y=-x^2+2x+3

直线有两点更简单了根据A坐标，y=k(x+1),带入C坐标y=x+1

D(1,4),N(0,3)

MN+MD如果构成三角形，肯定大于ND，但是如果M同ND共线，并且在线段N D上，那就最小了，当然由于M横坐标比N和D都大，这个假设不可能

由于M在直线x=3上面，所以考查D关于x=3的对称点D'(5,4),连接ND‘交于x=3的点就是取得最小值的M点。

B点坐标可以求出，E（m,m+1）的话，EF方程x=m，求出x=m与抛物线焦点，然后判断BD

长度和EF长度，算出m值，有解的话就可以，没的话就不能。

P点坐标可以设为(n,-n^2+2n+3)，求出P到AC的最大距离就可以得到最大面积。3．【2012•湘潭】如图，抛物线的图

象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，

0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；

（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．

解答：

1、将B点坐标代人解析式得：a=½，

∴抛物线解析式为：y=½x²－﹙3／2﹚x－2

2、由抛物线解析式得到：A、C点坐标为A﹙－1，0﹚、C﹙0，－2﹚.。对称轴x=3／2，由BC两点坐标可以求得BC直线方程为：y=½x－2

还可以求得：BC中点D的坐标为D﹙2，－1﹚

设圆心Q点一定在BC的中垂线上，也一定在抛物线对称轴上，

∴QD的直线方程可以设为：y=－2x＋b

将D点坐标代人直线解析式得：b=3

∴QD的直线方程为：y=－2x＋3

将x=3／2代人解析式得：y=0

∴圆心坐标为Q﹙3／2，0﹚.。

3、过M点作MP∥BC，且与抛物线相切﹙与抛物线只有一个交点﹚，

则这时候的△MBC的面积最大。

设M点坐标为M﹙m，n﹚，MP的直线方程可以设为：y=½x＋p

将M点坐标代人得：①n=½m＋p

将M点坐标代人抛物线解析式得：②n=½m²－﹙3／2﹚m－2

将①代人②化简得：

m²－4m－4－p=0

∴由Δ=﹙－4﹚²－4﹙－4－p﹚=0

∴p=－8

∴m²－4m＋4=0

∴m=2

∴n=－3

∴M点坐标为M﹙2，－△3﹚时MBC的面积最大。

4：（以2009年河南中考数学压轴题）

， t 2= ，t 3=

． …………………11 分

（2）连结 PO 、PC ，并把△POC 沿 CO 翻折，得到四边形 POP C ， 那么是否存在点 P ， 使四边形 POP C 为菱形？若存在，请求出此时点 P 的坐标；若不存在请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD 的三个顶点 B （4，0）、C （8，0）、D （8，

8）.抛物线 y=ax 2+bx 过 A 、C 两点.

(1)直接写出点 A 的坐标，并求出抛物线的解析式；

(2)动点 P 从点 A 出发．沿线段 AB 向终点 B 运动，同时点 Q 从点 C 出发，沿线段 CD 向 终点 D 运动．速度均为每秒 1 个单位长度，运动时间为 t 秒.过点 P 作 PE ⊥AB 交 AC 于点 E.

①过点 E 作 EF ⊥AD 于点 F ，交抛物线于点 G.当 t 为何值时，线段 EG 最长?

②连接 EQ ．在点 P 、Q 运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ 是等腰三角形?请直接

写出相应的 t 值.

解：(1)点 A 的坐标为（4，8）

…………………1 分

将 A(4，8)、C （8，0）两点坐标分别代入 y=ax 2+bx

得 8=16a+4b

0=64a+8b

解得 a=-

∴抛物线的解析式为：

1 2

,b=4

y=- 1 2

x 2+4x …………………3 分

PE BC PE 4

（2）①在 △R t APE 和 △R t ABC 中，tan ∠PAE= = ,即 =

AP AB AP 8

1 1 1

∴PE= AP= t ．PB=8-t ．

∴点Ｅ的坐标为（4+

t ，8-t ）.

2 2

2

1 1 1 1 ∴点 G 的纵坐标为：-

（4+ t ）2+4(4+ t ）=- t 2+8. …………………5 分

2

2 2

8

1 1 ∴EG=- t 2+8-(8-t) =- t 2+t.

8

8

1 ∵- ＜0，∴当 t=4 时，线段 EG 最长为 2.

…………………7 分 8

②共有三个时刻.

…………………8 分

t 1= 16 40 8 5

3 13 2 + 5

5．(2010 年恩施) 如图 11，在平面直角坐标系中，二次函数

y = x 2 + bx + c

的图象与

x 轴交于 A 、B 两点， A 点在原点的左侧，

B 点的坐标为（3，0），与 y 轴交于

C （0，-3）点，点 P 是直线 BC

下方的抛物线上一动点.

（1）求这个二次函数的表达式．

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