2021新高考数学二轮总复习专题六统计与概率6.4.2随机变量及其分布学案含解析.docx

6.4.2 随机变量及其分布

必备知识精要梳理

1.超几何分布

在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,则

P (X=k )=C M k C N -M

n -k C N n ,k=0,1,2,…,m ,其中m=min{M ,n },且n ≤N ,M ≤N ,n ,M ,N ∈N *.

2.二项分布

一般地,在n 次独立重复试验中,事件A 发生的次数为X ,设每次试验中事件A 发生的概率为

p ,则P (X=k )=C n k p k q n-k ,其中0

X~B (n ,p ),且E (X )=np ,D (X )=np (1-p ).

3.正态分布

一般地,如果对于任何实数a ,b (a

4.离散型随机变量的分布列

设离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1,x 2,…,x i ,…,x n ,X 取每一个值x i (i=1,2,…,n )的概率P (X=x i )=p i ,

关键能力学案突破

热点一 依据频率求概率的

综合问题

【例1】某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B 两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下:

A 地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 76

78 86 95 66 97 78 88 82 76 89

B 地区:73 83 62 51 91 46 53 73 64 82

93 48 65 81 74 56 54 76 65 79

(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可);

(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级:

记事件C:“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评价结果相互独立.根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C的概率.

解题心得频率是概率的近似值,随着试验次数的增加,频率会越来越接近概率,在实际问题中,常用事件发生的频率作为概率的估计值.频率本身是随机的,而概率是一个确定的数,是客观存在的,因此概率与每次试验无关.

(1)利用基本概念:①互斥事件不可能同时发生;②对立事件是互斥事件,且必须有一个要发生.

(2)利用集合的观点来判断:设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A,B,全集为I.①事件A与B互斥,即集合A∩B=⌀;②事件A与B对立,即集合A∩B=⌀,且A∪B=I,也即A=∁I B或

B=∁I A.

(3)对立事件是针对两个事件来说的,而互斥事件则可以是多个事件间的关系.

(4)如果A1,A2,…,A n中任何两个都是互斥事件,那么我们就说A1,A2,…,A n彼此互斥.

(5)若事件A1,A2,A3,…,A n彼此互斥,则P(A1∪A2∪…∪A n)=P(A1)+P(A2)+…+P(A n).

应用互斥事件的概率加法公式解题时,一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥,然后求出各事件分别发生的概率,再求和.对于较复杂事件的概率,可以转化为求其对立事件的概率.

(6)将所求事件转化成彼此互斥的事件的和