线性代数2_6初等变换与逆矩阵的初等变换求法 - 副本

返回
下页
结束
2. 初等矩阵的可逆性
(1) 初等矩阵都是可逆的.
E(i, j) = -1, E(i(k )) = k 0, E( j, i(k)) = 1
（2）初等矩阵的逆矩阵仍然是同类型的初等矩阵. E(i, j)-1=E(i, j)； E(i(k))-1=E(i(k -1))； E(j,i(k))-1=E(j,i(-k)) .
010 0
AE(1,
2)=
a11
a21

a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a14 a24 a34
1 0 0

0 0
0 0
1 0
0 01
=
a12 a11 a13 a14 a22 a21 a23 a24 a32 a31 a33 a34
3. 初等矩阵的作用
对矩阵A作初等变换可以转化为初等矩阵与矩阵A的乘积.
《线性代数》
返回
下页
结束
定理1 设A是一个mn矩阵，对A施行一次初等行变换相当于在A
的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换相当于在A
的右边乘以相应的n 阶初等矩阵.
例如，设
a11 a12 a13 a14 A = a21 a22 a23 a24
3 4 3
解：
A
E

=

1 2
2 2
3 1
1 0
0 1
0 0
3 4 3 0 0 1

a31
a32
a33
a34

对矩阵A作初等变换可以转化 为初等矩阵与矩阵A的乘积.
1 0 2 a11 a12 a13 a14 a11 + 2a31 a12 + 2a32 a13 + 2a33 a14 + 2a34
E(1,3(2))A= 0 1 0 a21 a22 a23 a24 = a21
初等矩阵有下列三种： E(i, j) 、E(i(k))、E(j,i(k)) .
例: 下面是几个4阶初等矩阵：
换法矩阵
1000
1000
E=
0100
r2r4
———
000
1 =E(2, 4)
0010
0010
0001
0100
1000
1000
E= 0
1
0
0
c2c4
———
0
0
0
1 =E(2, 4)
0010
都是初等矩阵.P12左乘以A相当于交换A的一、二行，而P122003A相当于将的一、
二行交换了奇数次，因而
4 5 6
P122003 A
=

1
2
3 = B
7 8 9
而B右乘以P13即是对矩阵B作一、三列的交换，BP132004表明共交换了偶数
次，因而BP132004=B. 所以，

a31
a32
a33
a34

0 1 0 a11 a12 a13 a14
E(1, 2)A= 1 0 0 a21 a22 a23 a24 =
0 0 1 a31 a32 a33 a34
a21 a22 a23Hale Waihona Puke Baidua24 a11 a12 a13 a14 a31 a32 a33 a34
0010
0001
0100
《线性代数》
返回
下页
结束
6.2 初等矩阵
1.定义 对单位矩阵E施以一次初等变换得到的矩阵称为
初等矩阵（或初等方阵）.
初等矩阵有下列三种： E(i, j) 、E(i(k))、E(j,i(k)) .
例: 下面是几个4阶初等矩阵：
倍法矩阵
1000
1000
E=
0100
4 r3
———
《线性代数》
返回
下页
结束
推论 方阵A可逆的充分必要条件是A可以表示为有限个初等 矩阵的乘积.
证 （必要性）假设A可逆，由定理2，A经有限次初等行变换 可化为单位阵E , 即存在初等矩阵 F1 ,F2 , ,Fs 使 E = Fs F2F1A
A = F1-1F2-1 L
Fs--11Fs-1E = F1-1F2-1 L
=
a11 + 2a13 a12 a13 a21 + 2a23 a22 a23 a31 + 2a33 a32 a33
a14 a24 a34
与第三行(列)的2倍加到第一行(列)所得结果相同.
《线性代数》
返回
下页
结束
0 1 02003 1 2 3 0 0 1 2004
思考: 计算
1
0
第i行的k倍加到第j行记为rj+kri . 例如
1 5 -1 -1 1 -2 1 3 3 8 -1 1 1 -9 3 7
r3-3r1
———
1 5 -1 -1 1 -2 1 3 0 -7 2 4 1 -9 3 7
《线性代数》
返回
下页
结束
6.1 初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换. (1)交换矩阵的某两行(列)； ----换法变换 (2)以数k0乘矩阵的某一行(列)； ----倍法变换 (3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.----消法变换
交换第i行与第j行记为rirj . 例如
1 5 -1 -1 1 -2 1 3 3 8 -1 1 1 -9 3 7
r2r4
———
1 5 -1 -1 1 -9 3 7 3 8 -1 1 1 -2 1 3
《线性代数》
返回
下页
结束
6.1 初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换. (1)交换矩阵的某两行(列)； ----换法变换 (2)以数k0乘矩阵的某一行(列)； ----倍法变换 (3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上. .----消法变换
与交换A的第一行(列)与第二行(列)所得结果相同.
《线性代数》
返回
下页
结束
定理1 设A是一个mn矩阵，对A施行一次初等行变换相当于在A
的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换相当于在A
的右边乘以相应的n 阶初等矩阵.
例如，设
a11 a12 a13 a14 A = a21 a22 a23 a24
用数k乘以第i列记为kci . 例如
1 5 -1 -1 1 -2 1 3 3 8 -1 1 1 -9 3 7
4c3
———
1 5 -4 -1 1 -2 4 3 3 8 -4 1 1 -9 12 7
《线性代数》
返回
下页
结束
6.1 初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换. (1)交换矩阵的某两行(列)； ----换法变换 (2)以数k0乘矩阵的某一行(列)； ----倍法变换 (3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上. .----消法变换
第i列的k倍加到第j列记为cj+kci . 例如
1 5 -1 -1 1 -2 1 3 3 8 -1 1 1 -9 3 7
c3+c1
———
15 1 -2 38 1 -9
0 -1 23 21 47
《线性代数》
返回
下页
结束
6.2 初等矩阵
1.定义 对单位矩阵E施以一次初等变换得到的矩阵称为
初等矩阵（或初等方阵）.
010
0 =E(3(4))
0010
0040
0001
0001
1000
1000
E=
0100
4 c3
———
010
0 =E(3(4))
0010
0040
0001
0001
《线性代数》
返回
下页
结束
6.2 初等矩阵
1.定义 对单位矩阵E施以一次初等变换得到的矩阵称为
初等矩阵（或初等方阵）.
初等矩阵有下列三种： E(i, j) 、E(i(k))、E(j,i(k)) .
F F -1 -1 s-1 s
而
F1-1, F2-1,
,
F -1 s-1
,
Fs
-1
是初等矩阵.
（充分性）如果A可表示为有限个初等矩阵的乘积，因为 初等矩阵都是可逆的，而可逆矩阵的乘积仍然可逆的，所以 A是可逆矩阵.
《线性代数》
返回
下页
结束
利用初等行变换求逆矩阵的方法(要求：熟练掌握)
构造一个 n×2n 矩阵(A|E)，对矩阵(A|E)作初等行变换，当 左部A变成单位矩阵E时，右部单位矩阵E则变成A-1.即
B1
=

0 M
0

,
A1


1 0 L
B2
=

0
M
1 M

0 0
L A2

由定理1知，B1 = Fm L F2F1A, 其中Fi是对应初等矩阵.
同理可得B2:
即B2的第二行第二列元素化为 1, 第二列的其它元素全化为零.
一直进行下去，最终把A化成了 单位矩阵E.
定理2 若n阶矩阵A可逆，则可以通过初等行变换将A化为单位矩阵.
证： 因为A可逆,即|A|≠0，所以A的第一列不全为0,不妨设a11 ≠ 0.
将A的第一行元素乘以1/a11 ,再将变换后的第一行的(-ai1)倍加到第i行， i=2,3,…,n,使第一列其他元素全化为零，得如下形式矩阵B1:
1 L
A E 行变换 E A-1
即若 Pm Pm-1 P2P1 A = E ,则 Pm Pm-1 L P2 P1 = A-1, 而 Pm Pm-1 P2 P1 = A-1 ,即 Pm Pm-1 L P2 P1E = A-1,
就是说，当通过初等行变换将矩阵A变成E时，经过同样的变换把E变成
了A-1.于是有 Pm Pm-1 P2P1( A | E)
= (PmPm-1L P2P1A | PmPm-1L P2P1E)
= (E | A-1)
《线性代数》
返回
下页
结束
若矩阵A可逆，则矩阵(A |E)可经初等行变换化为(E |A-1).
1 2 3
例1(法1). 设
A = 2
2
1 ,求 A-1.
交换第i列与第j列记为cicj . 例如
1 5 -1 -1 1 -2 1 3 3 8 -1 1 1 -9 3 7
c1c3
———
-1 5 1 -2 -1 8 3 -9
1 -1 13 31 17
《线性代数》
返回
下页
结束
6.1 初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换. (1)交换矩阵的某两行(列)； ----换法变换 (2)以数k0乘矩阵的某一行(列)； ----倍法变换 (3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上. .----消法变换
0



4 5 6 0 1 0
0 0 1 7 8 91 0 0
解 设 1
A =4
2 5
3 6
，A左右侧矩阵
P12
0
=

1
1 0
0
0

7 8 9
0 0 1
0 0 1
P13
=

0
1
0

1 0 0
例: 下面是几个4阶初等矩阵：
消法矩阵
1000
1000
E= 0 0
1 0
0 1
0 0
r2+kr4
———
0 0
1 0
0 1
k 0
=Er(2,4(k))
0001
0001
1000
1 0 00
E=
0100 0010
c2+kc4
———
0 0
1 0
0 1
0 0
=Ec(2,4(k))
0001
0k 01
《线性代数》
a22
a23
a24
0
0 1 a31
a32
a33
a34

a31
a32
a33
a34
1 0 0 0
AE(1,3(2))=

a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a14 a24 a34

0 2 0

10 0
0 0
1001
用数k乘以第i行记为kri . 例如
1 5 -1 -1 1 -2 1 3 3 8 -1 1 1 -9 3 7
4r2
———
1 5 -1 -1 4 -8 4 12 3 8 -1 1 1 -9 3 7
《线性代数》
返回
下页
结束
6.1 初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换. (1)交换矩阵的某两行(列)； ----换法变换 (2)以数k0乘矩阵的某一行(列)； ----倍法变换 (3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上. .----消法变换
0 1 02003 1 2 3 0 0 1 2004 4 5 6

1
0
0


4
5
6


0
1
0

=

1
2
3

0 0 1 7 8 9 1 0 0
7 8 9
《线性代数》
返回
下页
结束
6.3 求逆矩阵的初等变换方法
第6节 初等变换与逆矩阵的初等变换求法
一、初等变换 二、初等矩阵
初等矩阵的作用、初等矩阵的可逆性
三、求逆矩阵的初等行变换法
注意：第6-7节与教材内容及次序有所不同,请作笔记.
《线性代数》
返回
下页
结束
6.1 初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换. (1)交换矩阵的某两行(列)； ----换法变换 (2)以数k0乘矩阵的某一行(列)； ----倍法变换 (3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上. .----消法变换