2017年高考数学(理科)全国卷Ⅰ解析版

2017年高考数学(理科)全国卷Ⅰ解析版

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．

第Ⅰ卷

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知集合A ＝{x |x ＜1}，B ＝{x |3x ＜1}，则( ) A ．A ∩B ＝{x |x ＜0} B ．A ∪B ＝R C ．A ∪B ＝{x |x ＞1}

D ．A ∩B ＝∅

解析：选A.∵B ＝{x |3x ＜1}，∴B ＝{x |x ＜0}．

又A ＝{x |x ＜1}，∴A ∩B ＝{x |x ＜0}，A ∪B ＝{x |x ＜1}．故选A. 2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )

A.1

4 B.π8 C.1

2

D.π4

解析：选B.不妨设正方形ABCD 的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S 正方形＝4.

由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S 黑＝S 白

＝12S 圆＝π

2，所以由几何概型知所求概率P ＝S 黑S 正方形＝π24＝π8

.故选B. 3．设有下面四个命题

p 1：若复数z 满足1

z ∈R ，则z ∈R ； p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ；

p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z 2； p 4：若复数z ∈R ，则z ∈R. 其中的真命题为( ) A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 2，p 3

D ．p 2，p 4

解析：选B.设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，z 1＝a 1＋b 1i(a 1，b 1∈R)，z 2＝a 2＋b 2i(a 2，b 2∈R)．

对于p 1，若1z ∈R ，即1

a ＋

b i ＝a －b i a 2＋b 2∈R ，则b ＝0⇒z ＝a ＋b i ＝a ∈R ，所以

p 1为真命题．

对于p 2，若z 2∈R ，即(a ＋b i)2＝a 2＋2ab i －b 2∈R ，则ab ＝0. 当a ＝0，b ≠0时，z ＝a ＋b i ＝b i ∉R ，所以p 2为假命题．

对于p 3，若z 1z 2∈R ，即(a 1＋b 1i)(a 2＋b 2i)＝(a 1a 2－b 1b 2)＋(a 1b 2＋a 2b 1)i ∈R ，则a 1b 2＋a 2b 1＝0.而z 1＝z 2，即a 1＋b 1i ＝a 2－b 2i ⇔a 1＝a 2，b 1＝－b 2.因为a 1b 2＋a 2b 1＝0

a 1＝a 2，

b 1＝－b 2，所以p 3为假命题．

对于p 4，若z ∈R ，即a ＋b i ∈R ，则b ＝0⇒z ＝a －b i ＝a ∈R ，所以p 4为真命题．故选B.

4．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )

A ．1

B ．2

C ．4

D ．8

解析：选C.设{a n }的公差为d ，则

由⎩⎨⎧

a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩

⎪⎨⎪⎧

(a 1＋3d )＋(a 1＋4d )＝24，6a 1＋6×52d ＝48，解得d ＝4.故选C.

5．函数f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( )

A ．[－2,2]

B ．[－1,1]

C ．[0,4]

D ．[1,3]

解析：选D.∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )． ∵f (1)＝－1，∴f (－1)＝－f (1)＝1.

故由－1≤f (x －2)≤1，得f (1)≤f (x －2)≤f (－1)． 又f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，∴－1≤x －2≤1， ∴1≤x ≤3.故选D.

6.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2(1＋x )6展开式中x 2的系数为( ) A ．15 B ．20 C ．30

D ．35

解析：选C.因为(1＋x )6的通项为C r 6x r ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2(1＋x )6展开式中含x 2的项为1·C 26x 2和1x

2·C 46x 4

. 因为

C 26＋C 46＝2C 26＝2×

6×5

2×1

＝30， 所以⎝ ⎛

⎭

⎪⎫1＋1x 2(1＋x )6展开式中x 2的系数为30.故选C.

7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( )

A ．10

B ．12

C ．14

D ．16

解析：选B.观察三视图可知该多面体是由直三棱柱和三棱锥组合而成的，且直三棱柱的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，侧棱长为2.三棱锥的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，高为2，如图所示．因此该多面体各个面中有2个梯形，且这两个梯形全等，梯形的上底长为2，下底长为4，高为2，故这些梯形的面积之和为2×1

2×(2＋4)×2＝

12.故选B.

8．如图所示的程序框图是为了求出满足3n －2n ＞1 000的最小偶数n ，那么在

和两个空白框中，可以分别填入( )

A ．A ＞1 000和n ＝n ＋1

B ．A ＞1 000和n ＝n ＋2

C ．A ≤1 000和n ＝n ＋1

D ．A ≤1 000和n ＝n ＋2

解析：选D.因为题目要求的是“满足3n －2n ＞1 000的最小偶数n ”，所以n 的叠加值为2，所以内填入“n ＝n ＋2”．由程序框图知，当内的条

件不满足时，输出n ，所以

内填入“A ≤1 000”．故选D.

9．已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝ ⎛

⎭⎪⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( )

A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π

6

个单位长度，得到曲线C 2

B ．把

C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移

π

12

个单位长度，得到曲线C 2 C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的1

2

倍，纵坐标不变，再把得到的曲线