《抛物线》典型例题12例(含标准答案)

《抛物线》典型例题 12例

典型例题一

例1指出抛物线的焦点坐标、准线方程. (1) X 2

=4y

(2) X =ay 2

(a H 0)

分析：（1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出 P,再写出焦点 坐标和准线方程.

（2）先把方程化为标准方程形式，再对 a 进行讨论，确定是哪一种后，求 P 及 焦点坐标与准线方程.

解：（1）寫P =2,.••焦点坐标是（0, 1）,准线方程是：y = -1

（2）原抛物线方程为：y 2 a 1 ，二

2

P = — a ①当2时，牛右，抛物线开口向右, 二焦点坐标是（丄,0），准线方程是：x = 4a 4a ②当a <

0时，牛-右，抛物线开口向左, 1 1 •••焦点坐标是（丄,0），准线方程是：x =-' 4a 4a 综合上述，当a H0时，抛物线x=ay 2的焦点坐标为（丄,0），准线方程是：x = - 1 4a 4a 典型例题 例2若直线y =kx-2与抛物线y 2

=8x 交于A 、B 两点，且AB 中点的横坐标为2, 求此直线方程. 分析：由直线与抛物线相交利用韦达定理列出 k 的方程求解.另由于已知与直线 斜率及弦中点坐标有关，故也可利用 作差法”求k. 解法一：设 A （x 1, y 1）、

y = kx — 2

B( x 2, y 2)，则由：｛ 2 可得：k 2x 2-(4k+8)x + 4 = 0 . 2 C l y =8x

•••直线与抛物线相交,

” k H 0 且 i >0，贝U k

A —1 .

••• AB 中点横坐标为:

解得：k=2或k=—1

2 （舍去）.

k 2 =2

，

故所求直线方程为：y =2x—2 .

解法二：设AX，%）、B（X2，y2），则有 y12 =8x1 y/ = 8x2

两式作差解：（％-y2）（y1 +丫2）=8（x1 -X2），即*72

X1 —X2 y1 + y2

打x^i +X2 = 4 二yt + 丫2 =kx1—2 +kx2 —2 = “X t + x?）— 4 = 4k 一4，

8

/. k=----- 故 k=2或k=—1 （舍去）.

4k 一4

则所求直线方程为：y =2x-2 .

典型例题三

例3求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆心与抛物线的准线相切.

分析：可设抛物线方程为寸=2px（ p>0）.如图所示，只须证明则以AB为直径的圆，必与抛物线准线相切.

证明：作AA丄I于A i, BB i丄丨于B i . M为AB中点，作

MM i丄丨于M i，则由抛物线的定义可知:

在直角梯形BB i A i A 中:

MM, AB

2

=MM ,

1

=2（AA +BB1）=?（|AF|+|BF|）

= 2AB

AB，故以AB为直径的圆，必与抛物线的准线相切.

说明：类似有：以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离，以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交.

典型例题四

例4 （1）设抛物线y2 =4x被直线y=2x+k截得的弦长为3^5，求k值.

（2）以（1）中的弦为底边，以x轴上的点P为顶点作三角形，当三角形的面积为9时，求P点坐标.

分析：（1）题可利用弦长公式求k，（2）题可利用面积求高，再用点到直线距离

2

2

求p 点坐标.

解: (1)由卩 "x 得：4x 2

+(4k —4)x + k 2

=0 l y =2x+k

k

设直线与抛物线交于A （x 1, y 1）与B （x 2, y 2）两点.则有：治+ x ? = 1 -k,为凶=一 4 二 AB | = J (1 +2

2

)(X 1 -X 2)2 = j 5(x 1 +X 2)2 -4x 1X 2 ] = 751(1-k)2-k 2】= j 5(1-2k)

/. AB|

J5(1-2k) =3^5，即 k = —4

•••点P 在x 轴上，.••设P 点坐标是（X 0,O ）

二X o = -1或X o =5，即所求P 点坐标是（—1, 0）或（5, 0）.

典型例题五

例5已知定直线I 及定点A （A 不在I 上），n 为过A 且垂直于I 的直线，设N 为 I 上任一点，AN 的垂直平分线交n 于B,点B 关于AN 的对称点为P,求证P 的 轨迹为抛物线.

分析：要证P 的轨迹为抛物线，有两个途径，一个证明 P 点的轨迹符合抛物线 的定义，二是证明P 的轨迹方程为抛物线的方程，可先用第一种方法，由

A 为

定点，I 为定直线，为我们提供了利用定义的信息，若能证明 PA = PN 且PN 丄丨 即可.

寫AB 丄I.二PN 丄丨.

则P 点符合抛物线上点的条件：到定点A 的距离与到定直线的距离相等，所以P 点的

轨迹为抛物线.

2天9 675

⑵，S A =9

，底边长为矗，•三角形高h y 5

则点P 到直线y=2x-4的距离就等于h,即

2x 0 — 0 — 4 6yl5

证明：如图所示, 连结 PA PN 、NB.

由已知条件可知: PB 垂直平分NA,且B 关于AN 的对称点为P. ••• AN 也垂直平分

P B.则四边形PABN 为菱形.即有PA=PN .