典型环节及其传递函数
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大学自动控制原理2.4典型环节传递函数
02
传递函数的零点和极点决定了系统的动态特性和稳定性。
03
传递函数的分子和分母多项式决定了系统的频率响应特性。
典型环节的分类
比例环节
输出信号与输入信号成正比，传递函 数为 G(s) = K，其中 K 为常数。
02
积分环节
输出信号与输入信号的时间积分成正 比，传递函数为 G(s) = 1 / (sT)，其 中 T 为时间常数。
将介绍控制系统的稳定性 分析方法。
掌握频率响应法在控制系 统设计中的应用。
学习如何利用根轨迹法进 行系统性能分析。
了解现代控制系统的基本 概念和分类。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
高阶环节的传递函数具有多个极点和零点，这些极点和零点 决定了环节的动态特性，如响应速度、超调和调节时间等。
实例分析
以一个三阶惯性环节为例，其传递函数为 $G(s) = frac{1}{s^3 + 2s^2 + 3s + 1}$，该环节具有三个极点 $s = -1, -1, -1$ 和一个 零点 $s = 0$。
拉普拉斯变换中的频率。
该传递函数是一个有理分式，分 母为线性多项式，分子为常数。
当输入信号 (s) 变化时，输出信 号 (G(s)) 会根据增益 (K) 和时间
常数 (T) 进行相应的变化。
实例分析
实例1
一阶惯性环节在电机控制系统中的应用，用于描述电机的动态响应特性。
实例2
在温度控制系统中的一阶惯性环节，用于描述加热元件的热量传递和散热过程。
04 一阶惯环节
定义与特点
定义
一阶惯性环节的传递函数为 (G(s) = frac{K}{T s + 1})，其中 (K) 是增益，(T) 是时间常 数。
传递函数的零点和极点决定了系统的动态特性和稳定性。
03
传递函数的分子和分母多项式决定了系统的频率响应特性。
典型环节的分类
比例环节
输出信号与输入信号成正比，传递函 数为 G(s) = K，其中 K 为常数。
02
积分环节
输出信号与输入信号的时间积分成正 比，传递函数为 G(s) = 1 / (sT)，其 中 T 为时间常数。
将介绍控制系统的稳定性 分析方法。
掌握频率响应法在控制系 统设计中的应用。
学习如何利用根轨迹法进 行系统性能分析。
了解现代控制系统的基本 概念和分类。
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高阶环节的传递函数具有多个极点和零点，这些极点和零点 决定了环节的动态特性，如响应速度、超调和调节时间等。
实例分析
以一个三阶惯性环节为例，其传递函数为 $G(s) = frac{1}{s^3 + 2s^2 + 3s + 1}$，该环节具有三个极点 $s = -1, -1, -1$ 和一个 零点 $s = 0$。
拉普拉斯变换中的频率。
该传递函数是一个有理分式，分 母为线性多项式，分子为常数。
当输入信号 (s) 变化时，输出信 号 (G(s)) 会根据增益 (K) 和时间
常数 (T) 进行相应的变化。
实例分析
实例1
一阶惯性环节在电机控制系统中的应用，用于描述电机的动态响应特性。
实例2
在温度控制系统中的一阶惯性环节，用于描述加热元件的热量传递和散热过程。
04 一阶惯环节
定义与特点
定义
一阶惯性环节的传递函数为 (G(s) = frac{K}{T s + 1})，其中 (K) 是增益，(T) 是时间常 数。
2-4 典型环节及其传递函数
1
气阻的数学表达式为 ∆p = R∆q ∆p 式中， 是气体压力降 ； ( N/m 2 ) ∆q ( N ⋅ s) 是气体重量流量 ； R 是气阻值。 因而它的传递函数为 ∆P( s ) G( s ) = =R ∆Q ( s ) （３）喷嘴一挡板机构 喷嘴一挡板机构由恒节流孔 １，背压室 ２，喷嘴 ３，和挡板 ４ 组成，如图 ２－１８ 所示。 ∆h 它的作用是把输入挡板的微小位移 转换成相应 的气压信号输出。在忽略背压室气容影响时，可把喷嘴 1 2 4 一挡板机构看作一个比例环节，即 3 D ∆p D = k 1 ∆h 式中， 是喷嘴背压的变化； ∆p D ∆h 是挡板开度变化量； 是比例系数。 k1 d （４）放大器 h 在自动控制系统中用得最多的是运算放大 器，它是一个具有高放大倍数直接耦合式放大器。 1 − 恒节流孔 2 − 背压室 运算放大器一般由集成电路构成，其符号如图 ２－ 3 − 喷嘴 4 − 挡板 １９ 所示。 图 2-17 喷嘴挡板机构结构示意图 图中三角形尖端代表输出端，输出电压为 u 0 (t ) 它有两个输入端，一个是同相输入端 ｂ 用 “十”表示，一个是反相输入端 ａ 用“一”表示。当 放大器工作在放大区而不是饱和区时，输出电压 与同相输入端电压 和反相输入 u 0 (t ) u i (t ) u ( t ) 端电压 之间的电压差成正比。即 i1 a u 0 (t ) = k [u i2 (t ) − u i1 ( t )] + 也可写成 b ∆u 0 (t ) = k∆u i (t ) U i1 因而其传递函数为 Ui2 U0 ∆U 0 ( s ) G( s ) = =k 图 2-19 运算放大器符号图 ∆U i ( s ) 式中， 为开环放大倍数，这个数值很高，可达到 。所以集成运算放大器工作在 k 10 6 ~ 10 7 无反馈状态时输入电阻很高。它有以下两个主要特点： ①由于开环输入电阻很高，运算放大器两个输入端的电流接近于零。 ②由于开环放大倍数很高，所以 ｂ 端和 Ｃ 端电位接近相等，即 。 u i2 ≈ ui1 运算放大器本身虽属放大环节，但可用它来组成其他各种基本环节。
气阻的数学表达式为 ∆p = R∆q ∆p 式中， 是气体压力降 ； ( N/m 2 ) ∆q ( N ⋅ s) 是气体重量流量 ； R 是气阻值。 因而它的传递函数为 ∆P( s ) G( s ) = =R ∆Q ( s ) （３）喷嘴一挡板机构 喷嘴一挡板机构由恒节流孔 １，背压室 ２，喷嘴 ３，和挡板 ４ 组成，如图 ２－１８ 所示。 ∆h 它的作用是把输入挡板的微小位移 转换成相应 的气压信号输出。在忽略背压室气容影响时，可把喷嘴 1 2 4 一挡板机构看作一个比例环节，即 3 D ∆p D = k 1 ∆h 式中， 是喷嘴背压的变化； ∆p D ∆h 是挡板开度变化量； 是比例系数。 k1 d （４）放大器 h 在自动控制系统中用得最多的是运算放大 器，它是一个具有高放大倍数直接耦合式放大器。 1 − 恒节流孔 2 − 背压室 运算放大器一般由集成电路构成，其符号如图 ２－ 3 − 喷嘴 4 − 挡板 １９ 所示。 图 2-17 喷嘴挡板机构结构示意图 图中三角形尖端代表输出端，输出电压为 u 0 (t ) 它有两个输入端，一个是同相输入端 ｂ 用 “十”表示，一个是反相输入端 ａ 用“一”表示。当 放大器工作在放大区而不是饱和区时，输出电压 与同相输入端电压 和反相输入 u 0 (t ) u i (t ) u ( t ) 端电压 之间的电压差成正比。即 i1 a u 0 (t ) = k [u i2 (t ) − u i1 ( t )] + 也可写成 b ∆u 0 (t ) = k∆u i (t ) U i1 因而其传递函数为 Ui2 U0 ∆U 0 ( s ) G( s ) = =k 图 2-19 运算放大器符号图 ∆U i ( s ) 式中， 为开环放大倍数，这个数值很高，可达到 。所以集成运算放大器工作在 k 10 6 ~ 10 7 无反馈状态时输入电阻很高。它有以下两个主要特点： ①由于开环输入电阻很高，运算放大器两个输入端的电流接近于零。 ②由于开环放大倍数很高，所以 ｂ 端和 Ｃ 端电位接近相等，即 。 u i2 ≈ ui1 运算放大器本身虽属放大环节，但可用它来组成其他各种基本环节。
5-典型环节传递函数-振荡环节
振荡环节(Oscillating Element)
2．传递函数与功能框
振荡环节的 功能框图阶跃响应振荡环节(Oscillating Element)
3．动态
当ξ=0时，c(t)为等幅自由振荡(又称为无阻尼振荡)。 其振荡频率为ωn，ωn称为无阻尼自然振荡 频率。
当0<ξ<1时，c(t)为减幅振荡(又称为阻尼振荡)。其振 荡频率为ωd, ωd称为阻尼自然振荡频率。
振荡环节(Oscillating Element)
4．举例
【实例1】 图为一RLC串联电路。若以 电源电压作为输入电压 ，以电容器两 端电压作为输出电压，此电路的传递 函数。并分析此为振荡电路的条件。 【解】 由基尔霍夫定律有
而流过电容的电流
其传递函数
2．传递函数与功能框
振荡环节的 功能框图阶跃响应振荡环节(Oscillating Element)
3．动态
当ξ=0时，c(t)为等幅自由振荡(又称为无阻尼振荡)。 其振荡频率为ωn，ωn称为无阻尼自然振荡 频率。
当0<ξ<1时，c(t)为减幅振荡(又称为阻尼振荡)。其振 荡频率为ωd, ωd称为阻尼自然振荡频率。
振荡环节(Oscillating Element)
4．举例
【实例1】 图为一RLC串联电路。若以 电源电压作为输入电压 ，以电容器两 端电压作为输出电压，此电路的传递 函数。并分析此为振荡电路的条件。 【解】 由基尔霍夫定律有
而流过电容的电流
其传递函数
典型环节分析实验报告
一、实验目的1. 理解并掌握典型环节（比例、惯性、比例微分、比例积分、积分、比例积分微分）的原理及其在控制系统中的应用。
2. 通过实验验证典型环节的阶跃响应特性，分析参数变化对系统性能的影响。
3. 熟悉MATLAB仿真软件的使用，掌握控制系统仿真方法。
二、实验原理控制系统中的典型环节是构成复杂控制系统的基础。
本实验主要研究以下典型环节：1. 比例环节（P）：输出信号与输入信号成比例关系，传递函数为 \( G(s) = K \)。
2. 惯性环节：输出信号滞后于输入信号，传递函数为 \( G(s) = \frac{K}{T s + 1} \)。
3. 比例微分环节（PD）：输出信号是输入信号及其导数的线性组合，传递函数为\( G(s) = K + \frac{K_d}{s} \)。
4. 比例积分环节（PI）：输出信号是输入信号及其积分的线性组合，传递函数为\( G(s) = K + \frac{K_i}{s} \)。
5. 积分环节（I）：输出信号是输入信号的积分，传递函数为 \( G(s) =\frac{K_i}{s} \)。
6. 比例积分微分环节（PID）：输出信号是输入信号、其导数及其积分的线性组合，传递函数为 \( G(s) = K + \frac{K_i}{s} + \frac{K_d}{s^2} \)。
三、实验设备1. 计算机：用于运行MATLAB仿真软件。
2. MATLAB仿真软件：用于控制系统仿真。
四、实验步骤1. 建立模型：根据典型环节的传递函数，在MATLAB中建立相应的传递函数模型。
2. 设置参数：设定各环节的参数值，例如比例系数、惯性时间常数、微分时间常数等。
3. 仿真分析：在MATLAB中运行仿真，观察并记录各环节的阶跃响应曲线。
4. 参数分析：改变各环节的参数值，分析参数变化对系统性能的影响。
五、实验结果与分析1. 比例环节：阶跃响应曲线为一条直线，斜率为比例系数K。
2. 惯性环节：阶跃响应曲线呈指数衰减，衰减速度由惯性时间常数T决定。
自动控制原理--典型环节及其传递函数
hc t hd (t )
l
v
2.3 控制系统的复数域数学模型
4.典型元部件的传递函数
（1）电位计
（1）比例环节
（2）电桥式误差角检测器
（2）微分环节
（3）自整角机
（3）积分环节
（4）测速发电机（交流，直流） （4）惯性环节
（5）电枢控制式直流电动机 （5）振荡环节
（6）两相异步电动机
（6）一阶复合微分环节
特点： 输出量能准确复现输入量，但须延迟一固定的时 间间隔。
在线性控制系统中，系统含有典型环节的情况，反映了系 统的结构和性能。
时滞环节
对于时滞时间很小的时滞环节，常把它展开成泰勒级数，并 略去高次项，得：
W
(
s)
1
s
2
s
2
1
3
s3
2! 3!
1
1s
时滞环节在一定条件下可近似为惯性环节
实例
带钢厚度检测环节
(6)
复习拉普拉斯变换有关内容（13）
用L变换方法解线性常微分方程
0 初条件 n>m
: 特征根（极点） : 相对于 的模态
2.3 控制系统的复数域数学模型
3.传递函数的零点和极点对输出的影响
极点决定模态； 零点影响曲线形状。
4 传递函数的局限性
例 已知某系统在0初条件下的阶跃响应为：
c(t) 1 2 et 1 e4t 33
试求：（1） 系统的传递函数； （2） 系统的增益； （3） 系统的特征根； （4） 画出对应的零极点图； （5） 求系统的单位脉冲响应； （6） 求系统微分方程；
解.（1）
(2) (3) (4) 如图所示 (5)
积分环节实例：
l
v
2.3 控制系统的复数域数学模型
4.典型元部件的传递函数
（1）电位计
（1）比例环节
（2）电桥式误差角检测器
（2）微分环节
（3）自整角机
（3）积分环节
（4）测速发电机（交流，直流） （4）惯性环节
（5）电枢控制式直流电动机 （5）振荡环节
（6）两相异步电动机
（6）一阶复合微分环节
特点： 输出量能准确复现输入量，但须延迟一固定的时 间间隔。
在线性控制系统中，系统含有典型环节的情况，反映了系 统的结构和性能。
时滞环节
对于时滞时间很小的时滞环节，常把它展开成泰勒级数，并 略去高次项，得：
W
(
s)
1
s
2
s
2
1
3
s3
2! 3!
1
1s
时滞环节在一定条件下可近似为惯性环节
实例
带钢厚度检测环节
(6)
复习拉普拉斯变换有关内容（13）
用L变换方法解线性常微分方程
0 初条件 n>m
: 特征根（极点） : 相对于 的模态
2.3 控制系统的复数域数学模型
3.传递函数的零点和极点对输出的影响
极点决定模态； 零点影响曲线形状。
4 传递函数的局限性
例 已知某系统在0初条件下的阶跃响应为：
c(t) 1 2 et 1 e4t 33
试求：（1） 系统的传递函数； （2） 系统的增益； （3） 系统的特征根； （4） 画出对应的零极点图； （5） 求系统的单位脉冲响应； （6） 求系统微分方程；
解.（1）
(2) (3) (4) 如图所示 (5)
积分环节实例：
典型环节
典型环节及其传递函数1．比例环节（放大环节）运动方程：，传递函数为：)t (Kr )t (c K )s (G，比例环节的典型例子有运算放大器、齿轮变速箱、电位器、测速发电机等。
2．惯性环节运动方程：)()()(t r t c dtt dc T+，传递函数：0011)(ωω++s Ts s G ，T 10ωT 称为惯性时间常数，只有一个实数极点T 1−，没有零点。
若输入为阶跃函数)()(t ul t r ，则该惯性环节的输出为：()[(0)]t T c t u c u e −=+−，为的初值。
)0(c c 典型的实例有一阶RC 电路。
3．积分环节运动方程：)()(t r dtt dc T 或∫t dt t r T t c 0)(1)(，即环节输出为输入信号的积分，环节由此得名。
传递函数：ss G 1)(积分环节的特点是除非输入信号恒为0，否则积分环节的输出量不可能维持为常数不变。
)(t r )(t c 4．微分环节运动方程：dtt dr Tt c )()(，即环节输出量为输入信号的微分，环节由此得名。
传递函数：，有时Ts s G )(1)(+Ts s G 也称为微分环节。
5．振荡环节运动方程：)()()(2)(222t r t c dt t dc T dtt c d T ++ξ传递函数：222222222121121)(nn n s s T T s s T Ts s T s G ωξωωξξ++++++其中T n 1ω，10<≤ξ。
该环节具有一对共轭复数极点，无零点。
其单位阶跃响应呈典型的振荡衰减形式。
6．延时环节运动方程：)()(τ−t r t c ，这个方程实际上不是微分方程而是差分方程。
传递函数：，是的无理函数，函数在s e s G τ−)(s s e τ−∞s 点有无穷多个极点和零点。
====================微分环节不能单独存在只能与其它环节配合使用，。
2-4 典型环节及其传递函数
∫
G ( s ) = R / Ts ，这也是一个积分环节。从物理意义上说，由于液箱的液容 Ｃ 太大，或液阻 Ｒ
太大，液箱流出水量不足以影响液位，如果流入水量不变，液位将随时间不断增高（积分作 用）。 另外对直流伺服电动机，由于电气时间常数和机电时间常数大小，忽略不计时，该电动 机以转速为输出量，电枢电压为输入量时的动态特性成为比例环节，其传递函数为 N (s) G( s ) = =k U a (s) 如以电动机输出轴转角为输出量，相应的传递函数是 a ( s) k G( s ) = = U a (s) s 这是一个积分环节。可见，对于同一部件，不同输入或不同输出时，其传递函数是不同的。 最后，考虑气动仪表中常用的气容，它是一个气体容室能储存或放出气体，对气体量的 变化起惯性作用，类似于电路中的电容，见图 ２－２０。 通常采用“气容”这个概念来定量地表示气室储存气体的能力，其定义为 ∆m C= ∆p 式中， 是空气储存量的增量； ∆m ∆p 是气室压力的增量。 气体的质量流量（ｋｇ／ｓ）为 ∆q (t ) = d (∆m ) / dt
5
R2 R1
Ui Ri
图 2-23 运算放大器 组成的一阶惯性环节
−
+
C
U0
式中，时间常数 Ｔ＝ＲＣ。 实际上这是纯微分环节与一阶惯性环节相串联后构成的环节；当时间常数 Ｔ＜＜１ 时，一阶 惯性环节相当于 １：１ 的比例环节，因而总的传递函数相当于微分环节的传递函数。 当然也可以用运算放大器来组成微分环节，如 R 图 ２－２４ 所示。 该运放电路的传递函数为 if C U 0 (s) Ui G( s ) = = − RCs U i (s) U0 这就相当于一个纯微分环节。 + i
−
2
典型环节的传递函数
典型环节的传递函数
1、比例环节 凡输出量与输入量成正比，输出不失真也不延迟 而按比例地反映输入的环节，称为比例环节又叫 放大环节、无惯性环节、零阶环节
•动力学方程为：
xotKxit
•传递函数为：
Gs
Xo s Xi s
K
典型环节的传递函数
2、积分环节(纯积分环节) 凡输出量与输入量的积分成正比，称为积分环节， 又称为理想积分环节
•动力学方程为：
Tdxdottxotxit
•传递函数为：
GsXXoi ss
1 Ts1
典型环节的传递函数
5、导前环节(一阶微分环节) 又称为一阶微分环节，是一个相位超前环节。
•传递函数为：
GsXXoi ssTs1
典型环节的传递函数
6、振荡环节(二பைடு நூலகம்积分环节) 振荡环节是二阶环节，又称二阶振荡环节
•传递函数为：
•动力学方程为：
xotT1xi tdt
•传递函数为：
Gs
Xo s Xi s
1 Ts
典型环节的传递函数
3、微分环节(纯微分环节) 凡输出量与输入量的微分成正比，称为微分环节， 又称为理想微分环节
•动力学方程为：
xo
t
T
dxi t
dt
•传递函数为：
Gs
Xo s Xi s
Ts
典型环节的传递函数
4、惯性环节(一阶积分环节) 又称一阶惯性环节，是一个相位滞后环节。
G sX Xo isss22 n 2 nsn 2
GsX Xo issT2s22 1Ts1
典型环节的传递函数
7、二阶微分环节
•传递函数为：
G sX Xo isss22 n 2 nsn 2 GsX Xo issT2s22Ts1
1、比例环节 凡输出量与输入量成正比，输出不失真也不延迟 而按比例地反映输入的环节，称为比例环节又叫 放大环节、无惯性环节、零阶环节
•动力学方程为：
xotKxit
•传递函数为：
Gs
Xo s Xi s
K
典型环节的传递函数
2、积分环节(纯积分环节) 凡输出量与输入量的积分成正比，称为积分环节， 又称为理想积分环节
•动力学方程为：
Tdxdottxotxit
•传递函数为：
GsXXoi ss
1 Ts1
典型环节的传递函数
5、导前环节(一阶微分环节) 又称为一阶微分环节，是一个相位超前环节。
•传递函数为：
GsXXoi ssTs1
典型环节的传递函数
6、振荡环节(二பைடு நூலகம்积分环节) 振荡环节是二阶环节，又称二阶振荡环节
•传递函数为：
•动力学方程为：
xotT1xi tdt
•传递函数为：
Gs
Xo s Xi s
1 Ts
典型环节的传递函数
3、微分环节(纯微分环节) 凡输出量与输入量的微分成正比，称为微分环节， 又称为理想微分环节
•动力学方程为：
xo
t
T
dxi t
dt
•传递函数为：
Gs
Xo s Xi s
Ts
典型环节的传递函数
4、惯性环节(一阶积分环节) 又称一阶惯性环节，是一个相位滞后环节。
G sX Xo isss22 n 2 nsn 2
GsX Xo issT2s22 1Ts1
典型环节的传递函数
7、二阶微分环节
•传递函数为：
G sX Xo isss22 n 2 nsn 2 GsX Xo issT2s22Ts1
典型环节的传递函数
21
一、典型输入信号
1. 阶跃函数：
r(t)
a t 0
a
r(t) 0 t 0
t
单位阶跃函数：
1 t 0 r(t) 1(t) 0 t 0
单位阶跃函数的拉氏变换
R(s) L[1(t)] 1 s
22
2. 速度函数(斜坡函数)：
r(t)
at t 0
r(t)
0
t0
at
t
单位速度函数(斜坡函数)：
传递函数为： G(s)
1
s
积分环节原理图为：
U2(s) 1/ Cf s 1 1 U1(s) R1 R1C f s Tis
4
空载油缸
流量：
Q
f
(t)
A
dx(t) dt
X (s) 1/ A K Q f (s) s s
小惯性电动机
m(s) Km
Ua(s) s
三、理想微分环节 微分方程为：c(t) dr(t)
4. 调节时间ts:整个过渡过程所经历的时间，有时也叫过渡过 程时间。
30
5. 超调量σ%: 响应过程中，输出量
超出稳态值的最大偏差值， 一般用它与稳态值的比值 的百分数表示，即
% h(t p ) h() 100%
h()
6. 振荡次数N:单位阶跃响应曲线在0→ts时间内，穿越稳态 值次数的一半称为振荡次数。
31
7.稳态误差ess:对单位 负反馈系统，当时间t 趋于无穷时，系统单 位阶跃响应的期望值 [即输入量1(t)] 与实际值 (即稳态值)之差，定义为 稳态误差:
ess =1 - h(∞)
当h(∞) =1时，系统的稳态误差为零。
32
注意： σ%
2.7.12.7典型环节及传递函数
典型环节及传递函数
惯性环节实例
G(s)= 1 = 1 ，T=RC RCs+1 Ts+1
R
+
+
i
ur
C uc
-
-
典型环节及传递函数
3、积分环节
1 微分方程: c t = T න r t dt
传递函数:
G(s)=
C(s)= R(s)
1 Ts
方框图: R(s)
1
C(s)
Ts
特点：输出量与输入量对时间的积分成正比，具有滞后作 用和记忆功能.
典型环节及传递函数
实例：
ur (t)
R1
R2 uc (t)
其中，比例系数 K= R2 R 1+R 2
典型环节及传递函数
例1 如图a所示的电压分压器即为一典型比例环节， 当输入量r(t)为阶跃变化信号时，输出量y(t)的 变化如图b所示
典型环节及传递函数
2、惯性环节
微分方程: T dc(t)+c(t)=r(t) dt
c(t)=1-e-
t T
典型环节及传递函数
单位阶跃信号作用下的响应:
1.0 r(t)
0.8
c(t)
0.95 0.98 0.99
0.6
0.87
0.4
0.63
0.2
T 2T 3T 4T 5T t
在单位阶跃输入信号的作用下，惯性环节的输出信号是指 数函数。当时间t=(3~4)T时，输出量才接近其稳态值。
G(s)=
Y(s) F(s)
=
1 ms2+fs+k
特点： 1、含有两种形式的储能元件，并能将储存的能量相互转
换。如动能与位能、电能与磁能间转换。
第3章 典型环节及其传递函数
５.延迟环节
• 延迟环节的特点：输出量与输入量变化形式完全相同，但在时间上有一定的 滞后。
• 延迟环节的微分方程: • 延迟环节的传递函数: • 对于延迟时间很小的延迟环节，常常将它按泰勒 级数展开，并略去高次项，得如下简化的传递函数
• 上式表明，在延迟时间很小的情况下， 延迟环节可近似为一个小惯性环节。 • 延迟环节的单位阶跃响应如图所示。
Y (s) E(s) G1(s)G2 (s) G(s)
B(s) H (s) Y (s)
B(s) E(s)
G1(s)G2 (s)H
(s)
G(s)H (s)
T (s)
Y (s) R(s)
1
G(s) G(s)H
＝ 前向传函 (s) 1＋开环传函
E(s) R(s)
1
1 G(s)H (s)
1 1＋开环传函
• 式中，T为惯性时间常数。 • 惯性环节的传递函数:
• 惯性环节的单位阶跃响应：
自动控制系统中经常含有这种环节，这种环节含有一个储能元件（如储存磁场能 的电感、储存电场能的电容、储存弹性势能的弹簧和储存动能的机械负载等）和 一个耗能元件（如电阻、阻尼器等）。下面通过两个实例来加以说明。
（１）电阻、电容电路
第3章 典型环节及其传递函数 CH3 Typical parts of transfer function
3.1 典型环节(Typical Part) 3.2 典型环节的传递函数(typical parts of transfer function)
3.1 典型环节(Typical Part)
1.比例环节G(s) K，特点：输入输出成比例，无失真和延迟
• 对上式进行拉氏变换得
• 式中，Ｔ 为积分时间常数，Ｔ＝ＲＣ。
自动控制原理--典型环节的频率特性
j
j 1
0j 1
Im
0
Re
0
积分与微分环节
L(dB) 40
积分环节
0
微分环节
40
( )
90
微分环节
0 90
积分环节
20dB / dec
20dB / dec
6
三、微分环节
传递函数: G s s
频率特性:
G(j)
j
ej
π 2
➢1. 幅频特性 A及相频特性
A ,
A
( )
0
1
T
4
2
L,
0
1
T 3dB
4
20lg 2T 2 1
2
近似曲线 精确曲线
对数幅频特性和相频特性：
L() 20 lg 1 (T )2 () tg1 T
0 L0 0
1 L 20 lg 1 3
T
2
4
L
2
L()(dB) 0 0.1 5
10 15 20
0.2
0.3 0.4
0.6 0.8 1
T
2
34
6 8 10
七、一阶不稳定环节
传递函数: G s 1
Ts 1
➢1. 幅相频率特性
频率特性: G j 1
jT 1
G j
1
jT 1
1
1 T2
T
j1 T2
U
jV
U
1 2
2
V
2
1 2
2
一阶不稳定系统的幅相频
率特性是一个为（-1，j0）
为圆心，0.5为半径的半圆。
180O 90O
Im
1
j 1
0j 1
Im
0
Re
0
积分与微分环节
L(dB) 40
积分环节
0
微分环节
40
( )
90
微分环节
0 90
积分环节
20dB / dec
20dB / dec
6
三、微分环节
传递函数: G s s
频率特性:
G(j)
j
ej
π 2
➢1. 幅频特性 A及相频特性
A ,
A
( )
0
1
T
4
2
L,
0
1
T 3dB
4
20lg 2T 2 1
2
近似曲线 精确曲线
对数幅频特性和相频特性：
L() 20 lg 1 (T )2 () tg1 T
0 L0 0
1 L 20 lg 1 3
T
2
4
L
2
L()(dB) 0 0.1 5
10 15 20
0.2
0.3 0.4
0.6 0.8 1
T
2
34
6 8 10
七、一阶不稳定环节
传递函数: G s 1
Ts 1
➢1. 幅相频率特性
频率特性: G j 1
jT 1
G j
1
jT 1
1
1 T2
T
j1 T2
U
jV
U
1 2
2
V
2
1 2
2
一阶不稳定系统的幅相频
率特性是一个为（-1，j0）
为圆心，0.5为半径的半圆。
180O 90O
Im
1
2.4传递函数及典型环节传递函数
典型环节示例 1 比例环节
输出量不失真、无惯性地跟随输入量， 两者成比例关系。
传递函数及典型环节的传递函数
比例环节的传递函数为：
传递函数及典型环节的传递函数
2 惯性环节： 凡运动方程为一阶微分方程
形式的环节称为惯性环节。其传递函数为：
K—环节增益（放大系数） T—时间常数，表征环节的惯性，和 环节结构参数有关
传递函数及典型环节的传递函数
如：有源积分网络
传递函数及典型环节的传递函数
液压缸
传递函数及典型环节的传递函数
5 二阶振荡环节 含有两个独立的储能元件，且所存储的 能量能够相互转换，从而导致输出带有 振荡的性质，运动方程为：
传递函数：
传递函数及典型环节的传递函数
振荡环节传递函数的另一常用标准形式为 （K=1）
无源微分网络
无源网络
显然，无源微分网络包括有惯性环节和微 分环节，称之为惯性微分环节，只有当 |Ts|<<1时，才近似为微分环节。
传递函数及典型环节的传递函数
除了上述微分环节外，还有一类一阶微分环 节，其传递函数为：
微分环节的输出是输入的导数，即输出反 映了输入信号的变化趋势，从而给系统以 有关输入变化趋势的预告。因此，微分环 节常用来改善控制系统的动态性能。
2) 传递函数是s 的复变函数。传递函数中的 各项系数和相应微分方程中的各项系数对应 相等，完全取决于系统结构参数；
传递函数及典型环节的传递函数
3) 传递函数是在零初始条件下定义的，即在零时 刻之前，系统对所给定的平衡工作点处于相对静 止状态。因此，传递函数原则上不能反映系统在 非零初始条件下的全部运动规律； 4) 传递函数只能表示系统输入与输出的关系,无 法描述系统内部中间变量的变化情况。
输出量不失真、无惯性地跟随输入量， 两者成比例关系。
传递函数及典型环节的传递函数
比例环节的传递函数为：
传递函数及典型环节的传递函数
2 惯性环节： 凡运动方程为一阶微分方程
形式的环节称为惯性环节。其传递函数为：
K—环节增益（放大系数） T—时间常数，表征环节的惯性，和 环节结构参数有关
传递函数及典型环节的传递函数
如：有源积分网络
传递函数及典型环节的传递函数
液压缸
传递函数及典型环节的传递函数
5 二阶振荡环节 含有两个独立的储能元件，且所存储的 能量能够相互转换，从而导致输出带有 振荡的性质，运动方程为：
传递函数：
传递函数及典型环节的传递函数
振荡环节传递函数的另一常用标准形式为 （K=1）
无源微分网络
无源网络
显然，无源微分网络包括有惯性环节和微 分环节，称之为惯性微分环节，只有当 |Ts|<<1时，才近似为微分环节。
传递函数及典型环节的传递函数
除了上述微分环节外，还有一类一阶微分环 节，其传递函数为：
微分环节的输出是输入的导数，即输出反 映了输入信号的变化趋势，从而给系统以 有关输入变化趋势的预告。因此，微分环 节常用来改善控制系统的动态性能。
2) 传递函数是s 的复变函数。传递函数中的 各项系数和相应微分方程中的各项系数对应 相等，完全取决于系统结构参数；
传递函数及典型环节的传递函数
3) 传递函数是在零初始条件下定义的，即在零时 刻之前，系统对所给定的平衡工作点处于相对静 止状态。因此，传递函数原则上不能反映系统在 非零初始条件下的全部运动规律； 4) 传递函数只能表示系统输入与输出的关系,无 法描述系统内部中间变量的变化情况。
典型环节
[G ( jω )]
1
ω →∞
0
G ( jω ) =
(1 − T ω ) + (2ζTω )
2 2 2
1
2
ωn ωn ωn
1 ω ≤ T
ς↑
ω →0
ς↓
2ζTω − arctan 1 − T 2ω 2 ∠ G ( jω ) = 2ζTω − π − arctan 1 − T 2ω 2
6、勾画出大致曲线。
①
②
当频率ω = 0 时，其开环幅相特性完全由比例环节和积分环 节决定。 节决定。 G 开环传递函数不含积分环节， 开环传递函数不含积分环节，即v = 0 时，( jω ) 曲线从正实 开始； 轴 开始；G ( j0) = K∠0° G 开环传递含有一个积分环节， 开环传递含有一个积分环节，即 v = 1 时， ( jω ) 曲线从负虚 π G 轴方向开始； 轴方向开始； ( j 0 ) = ∞ ∠ − 2 π G 曲线从负实轴方向开始； 当 v = 2 时，曲线从负实轴方向开始； ( j 0 ) = ∞∠ − 2 2 其余依次类推。 其余依次类推。 ，（即 中分母阶次n 当频率 ω = ∞ 时，若 n > m ，（即 G ( s ) 中分母阶次 大 于分子阶次m） 的模值等于0， 于分子阶次 ）其 G ( jω ) 的模值等于 ，相为 ( m − n ) π 。 2 即 π G ( j ∞ ) = 0∠ ( m − n ) 2
G ( jω) = G ( jω) e j∠G( jω) = u (ω) + jv (ω)
a) 令∠G ( jω ) = −π 。解出与负实轴交点处对应的频率 ω x 的值。再将 ω x 代入 G ( j ω ) 中，求得与负实轴交 的值。 点的模值。 点的模值。 b) 令 v (ω ) = 0 解出 ω x ，再将 ω x 代入 u (ωx ) 中求得与负 实轴交点的坐标。 实轴交点的坐标。
自动控制原理_2.4典型环节传递函数
B盘以角速度ω 转动时，因 B盘和I 轴
间以滑动键联接，故B盘滑动就会改变
偏心量e；当时e=0，A盘转动而 B盘不
转；e增大， B盘角速度ω 正比的增大， 设K为比例常数，B盘转角为θ (t)。 输入— e 输出—θ (t)
解： (t ) Ke(t )
(t ) K e(t )dt
di(t ) 1 ui (t ) L i(t ) R i(t )dt dt C 1 uo (t ) i(t )dt C
§2.4.6 延时环节（迟延环节）
xo (t ) xi (t )
τ为延迟时间
L[ x0 (t )] L[ xi (t )] G( s ) L[ xi (t )] L[ xi (t )]
当|Ts|<<1时，G(s)=Ts，
才近似为理想的微分环节。
此系统为包含有惯性环节及微分环节的系统。
（1）预见输入（ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ输入提前）
比例环节
R(s) r(t) t
1
1
X o ( s)
xo (t )
o
45
t
比例+微分
R(s) r(t ) t
1 Ts
X o ( s)
xo (t )
K G( s ) Ts 1
K为惯性环节的增益或放大系数；T为时间常数
理想的一阶惯性环节
1 G( s ) Ts 1
例1. 无源滤波电路
ui uo C为电容 R为电阻
1 ui (t ) i (t ) R i (t )dt C 解： 1 uo (t ) i (t )dt C 1 U i (t ) I ( s) R I (s) Cs LT得： 1 U o (t ) I ( s) Cs
典型环节传递函数-积分环节
4．举例
精品课件
输出量随着时间的增长而不断增加，增长的斜率为1/T。
1．微分方程
精品课件
积分环节(Integrating Element)
2．传递函数与功能框
积分环节的
功能框图
精品课件
阶跃响应
积分环节(Integrating Element)
3．动态Βιβλιοθήκη 反变换可得精品课件
积分环节(Integrating Element)
积分环节(Integrating Element)
积分环节的特点是它的输出量为输入量对时间的 积累。因此,凡是输出量对输入量有储存和积累特点的元 件一般都含有积分环节。如水箱的水位与水流量,烘箱的 温度与热流量(或功率),机械运动中的转速与转矩,位移与 速度，速度与加速度,电容的电量与电流等等。积分环节 也是自动控制系统中遇到的最多的环节之一。
精品课件
输出量随着时间的增长而不断增加，增长的斜率为1/T。
1．微分方程
精品课件
积分环节(Integrating Element)
2．传递函数与功能框
积分环节的
功能框图
精品课件
阶跃响应
积分环节(Integrating Element)
3．动态Βιβλιοθήκη 反变换可得精品课件
积分环节(Integrating Element)
积分环节(Integrating Element)
积分环节的特点是它的输出量为输入量对时间的 积累。因此,凡是输出量对输入量有储存和积累特点的元 件一般都含有积分环节。如水箱的水位与水流量,烘箱的 温度与热流量(或功率),机械运动中的转速与转矩,位移与 速度，速度与加速度,电容的电量与电流等等。积分环节 也是自动控制系统中遇到的最多的环节之一。